Actividades Para El Aprendizaje de Ecuaciones Cuadraticas en Noveno Grado

8/18/2019 Actividades Para El Aprendizaje de Ecuaciones Cuadraticas en Noveno Grado

1/10

Ecuaciones Cuadráticas UNIDAD N° Prof. Luis Edmundo

CENTRO ESCOLAR “LUCÍA DE VILLACORTA 1

Objetivo: Determinar el di!riminante de "na e!"a!i#n de e$"ndo $rado %ara ditin$"ir eln"mero de ol"!ioneExisten fenómenos físicos que el hombre a través de la historia ha tratado de explicarse. Muchaspersonas de ciencias han utilizado como herramienta principal la ecuación cuadrática. Como ejemplopalpable se puede mencionar que la altura de una partícula lanzada verticalmente hacia arriba desde

el suelo está dada por la ecuación

&

&

1 gt t ! o +=

! donde es la altura! o

es la velocidad inicial de la

partícula! g la constante de la "ravedad # t es el tiempo.

Ejem%lo de 'i$"ra %arab#li!a

la trayectoria de una pelota que rebota recorre parábolas

ECUACIONES CUADR(TICAS

Es toda ecuaci"n en #a cua#$ una ez sim%#ificada$ e# ma&or e'%onente de #a aria(#ees ).

Así $*') + ,' + - / es una ecuaci"n de segundo gr ad o.

Ecuaciones com%#etas de segundo grado so ecuaciones de #a forma a') + (' + c /$

0ue tiene un termino en ')

$ un termino en ' & un termino ind e%end iente. Así$ ') + ,' + 1 /

*') 2 3' + - /

3') + 1' 2 - / son ecuaciones com%#et a s.

Ecuaciones incom%#etas de segundo grado son ecuaciones de #a f orma4

a') + c /$ carecen de# termino '.

Así$ ') + 1 /

*') + - /


2/10

Ecuaciones Cuadráticas UNIDAD N° Prof. Luis Edmundo

CENTRO ESCOLAR “LUCÍA DE VILLACORTA &

3') 2 - / son ecuaciones incom %#et a s.

Raíces de una ecuaci"n son #os a#ore de #a inc"gnita 0ue sat i s f acen #aecuaci"n. Así 56 & 3 son raíces de #a ecuaci"n ') 2 ) ' 2 3 /

Puesto 0ue 7268) 2 ). 7268 2 3 /$ además 738) 2 ). 738 2 3 /

Para determinar e# n9mero de raíces de #a ecuaci"n cuadrática :acemos uso de una#or ##amado discriminante$ e# cua# se o(tiene mediante #a formu#a () 2 *ac & 0ue

se

denota con ∆.

;i ∆ >/ tiene dos raíces rea# es.;i ∆ / tiene una raíz rea# .;i


3/10

B. Determinar e# DI;CRI / -8 ') 2 *' 2 1 /

,8 3z ) 2 z 2 ) / ?8 6/t

) 2 3t 2 61 '/

>8 )1') 2 6/' + 6 / 6/8 2 '

)+ 3' + ) /

Objetivo: Determinar la rai!e o ol"!ione de "na e!"a!i#n de e$"ndo $rado

Con@unto de so#uci"n

Es e# con@unto 0ue contiene # a s raíces de una ecuaci"n cuad r át ica. Para determinar este con@unto e'i sten arios mtodos. Uno de e##os reci(e e# nom(r ede formu#a gener a#5

La formu#a genera# corres%onde a #a e'%resi"n

' =− ( ± ∆

&aEjem%lo &

Para determinar e# con@unto de so#uci"n de ')

+ 3 ' 2 * /

∆ 738 ) 2 * . 5* . 6

∆ > + 6-

∆ )1


4/10

Como es ma&or 0ue cero$ tiene dos so#uciones %or #o tanto$ uti#izamos dos f ormu#a s

' 1 =

' 1 =

− ( + ∆

& a

− ) + &*

&+ 1

' & =

' 1 =

− ( − ∆

& a

− ) − &*

& +1

' 1 = 1 ' 1 = − ,

Para ')

+ 3 ' 2 * / ; = {− , -1}

Ejem%lo )

Para determinar e# con@unto de so#uci"n de ') 2 *'+* /

∆ 75*8 ) 2 *. 6. *

∆ 6- + 6-

∆ /

Como es igua# a cero$ tiene una so#uci"n %or #o tanto$ uti#izamos una f ormu# a ' 1 =

' 1 =

− ( + ∆

& a

− . − , / + 0

& + 1 ' 1 = &

Para ') 2 *'+* / ; = {& }

Ejemplo 4

ara determinar el !onj"nto de ol"!i#n de ') 2 *'+6/ ∆ 75*8 ) 2 * . 6. 6

∆ 6- 2 *

∆ 6)2a 3"e el di!riminante e %oitivo- tenemo do ol"!ione reale

' 1 =

' 1 =

, + 1&

& + 1, + & )

&

' & =

' & =

, − 1&

& + 1, − & )

&

' 1 = & + ) ' & = & − )

Para ') 2 *'+6/ ; = {& + ) - & − ) }

Nota4 ;i e# discriminante nos da como resu#tado un n9mero negatio$ no es necesario a%#icar #a

formu#a.


5/10

La formu#a genera# esta(#ece #as raíces de cua#0uier ecuaci"n cuadrática$ %ero es (ueno sa(er 0ue4

5 Cuando #a ecuaci"n está incom%#eta de #a forma a')+c /$ e# con@unto de so#uci"n está dado %or #a

formu#a

signo.

' = ± − c $ cuando a & c son de diferente signo$ & no tiene so#uciones rea#es si son de# mismo

a

Ejemplo 5

Para ') 2 > /

; = {− )-)} %uesto 0ue

' = ±− . −4 /

1 ' = ±)

5 Cuando #a ecuaci"n esta incom%#eta en #a forma a')+(' /$ e# con@unto de so#uci"n esta dado %or un

cero & e# resu#tado de #a formu#a ' =− (

a

⎧ −

( ⎫ Es decir %ara a')+(' / e# con@unto de so#uci"n

Ejemplo 6

; = ⎨0- ⎬ ⎩ a ⎭

Para ')+ )' / ; = {− &-0}

%uesto 0ue ' =

− &

1

' 5)

Práctica # 2

A+ Determinar el !onj"nto de ol"!i#n %ara !ada "na de la i$"ientee!"a!ione de e$"ndo $rado+

1/ 5& 6 5 7 8 9 0 &/ )5& 7 *5 6& 9 0

)/ *5& 6 )5 7 & 9 0 ,/ 5 .&5 7 1/ 9 1

*/ 5& 7 105 6 &* 9 0 8/ 45& 6 85 6 1 9 0

/ )5& 7 &5 6 * 9 0 ;/ 5& 7 &5 7 & 9 0

4/ 1*5& 7 5 9 , 10/ 5& 7 5 7 8 9 0

11/ m& 7 ,m 9 * 1&/


6/10

BIBLIOGRAFIA.

• $vila %errera! &uan 'élix (l"ebr a # )ri"onometría! Editorial )ecnoló"ica de Costa

*ica! +,--.• aldor! (urelio (l"eb r a Elemental ! +,/,.

Objetivo: Resolver las ecuaciones de segundo grado utilizando el métodode completando un trinomio cuadrado perfecto

Ejemplo: *esolver 0x1 2 3x 4 5 6 7

(islemos el término independiente8 0x1 2 3x 6 25

9ividimos la ecuación entre 0! para:ue el coeficiente de x1 sea +8

x=5

3 x=

−2

3

Convertimos el primer miembro en un )rinomio cuadrado perfecto! sumando ;a misma cantidad enlos dos miembros< este valor lo encontramos! utilizando el valor del coeficiente del se"undo término!dividiéndolo entre 5! elevando al cuadrado el valor anterior= este valor es el que se suma en los dosmiembros> 8

x ²−

5

3 x+

25

36=

−2

3 +

25

36

x ²−5

3 x+

25

36=−2

3+25

36

Es decir8 ( x−56 )²= 1

36

Extraemos la raíz a ambos miembros8 √( x−5

6 )² ¿±√ 1

36

x−56=± 1

6

9espejamos la incó"nita8 x=5

6±1

6 ∴ 1 ' 6 +! & ' 65?0

@or lo tanto! las raíces de la ecuación son8 A 6 + # x 6 5?0

@*(C)BC( 0


7/10

*esolver completando el trinomio cuadrado perfecto8+. x1 2 /x D 5 6 75. x1 4 x 25 +6 70. #1 4 /# 4 3 6 7. x1 4 +7x 2 ++ 673. x1 4Fx 4 +5 6 7/. x1 4 3x 4 / 6 7F. x1 2 ,x 4 57 6 7

-. ,x1 2 0x 6 5,. x1 4 -x 4 +5 6 7+7. x1 4 +5x 2 3 6 7

G&E)BHG8 *EIG;HE* ECJ(CBGKEI 9E IELJK9G L*(9G @G* 9EICGM@GIBCBK EK '(C)G*EI

Este método es mu# conveniente cuando el trinomio es fácil de factorar .Ejemplo: *esolver x1 2 /x 4 3 6 7

'actoramos el trinomio8 6 7El producto de dos factores es

NoO si uno de los dos factores! o los dos! es 7. @or lo tanto

@rimer factor8 Ii x D 3 6 7 x 6 3Ie"undo factor8 Ii x D + 6 7 x 6 +

@or lo tanto! las raíces son x 6 + # x 6 3.

@*(C)BC( *esolver por descomposición en los factores8 +. x1 4 0x 2 5- 6 7

5. x1 4 Fx 6 +-+. 3x 2 5x1 6 5

5. x1 4 +5 6 Fx0. x1 2 x D 5+ 6 7. 0x123x25673. 57x1 2 5Fx 6 +/. x1 2 /x 4 36 7F. -x1 4 5x 2 + 6 7-. 0x1 4 5 6 Fx,. x1 4 5 6 0x+7. +3Fx 6 /7 2 -x1++. 5x1 4 Fx 4 0 6 7

La '"n!i#n !"adr=ti!a m= en!illa e f(x) = x2 !"


8/10

& ' & = ! es decir # sustitu#e a /. '

f .

La gráfica recibe el nombre de parábola, # esta presenta

Jn punto en donde la curva deja de ser decreciente # pasa

( ser creciente. 9icho punto recibe el nombre de értice de la parábola

;a parábola pasa cortando al eje de las NxO en el valor de x67! corresponde ser el punto ! siendo

este valor la solución de la ecuación 0&= ' ! es decir cuando el valor de la ordenada N#O es i"ual a

cero.

!raslaci"n de la parábola

& ' & =

;a parábola& ' & = ! se traslada una unidad hacia arriba ! se tiene la "rafica de la ecuación

1& += ' & Gráfico de = x2 ! "

;a parábola no pasa cortando al eje de

;as NxO en nin"Pn valor. Esto indica que

al resolver la ecuación 01&

=+ ' ! no

presenta soluciones reales. (demás el

vértice se encuentra en el punto .

El discriminante de la ecuación 01&

=+ ' !

es ne"ativo

• ;a parábola& ' & = ! se traslada una unidad hacia abajo ! se tiene la "rafica de la ecuación

1& −= ' &

Gráfico de = x2 # "

;a parábola pasa cortando al eje de

;as NxO en dos valores= en 1= ' # en

1−= ' . Esto indica que al resolver la ecuación

01& =− ' ! presenta dos soluciones reales.

(demás el vértice se encuentra en el punto


9/10

.El discriminante de la ecuación 01&

=− ' !

es positivo.

• ;a parábola& ' & = ! se traslada dos unidades hacia la derecha! se tiene la "rafica de la

ecuación&/&. −= ' &


;as NxO en un solo valor= en &= ' . Esto indica

que al resolver la ecuación 0/&.&=− ' ! presenta

una solución real. %a# que recordar que el cuadrado

de un binomio es equivalente a un trinomio cuadrado perfecto! es decir que 0,,/&. &&

=+−=−

' ' '

(demás el vértice se encuentra en el punto .El discriminante de la ecuación

0,,/&. && =+−=− ' ' ' ! al evaluarlo resulta cero.

• ;a parábola& ' & = ! se traslada dos unidades hacia la izquierda! se tiene la "rafica de la

ecuación&/&. −= ' &


;as NxO en un solo valor= en &−= ' .Esto indica

que al resolver la ecuación 0/&.&=+ ' ! presenta

una solución real. 9e nuevo el cuadrado de

un binomio es equivalente a un trinomio cuadrado perfecto! es decir que 0,,/&. &&

=++=+ ' ' '

(demás el vértice se encuentra en el punto .El discriminante de la ecuación

0,,/&. && =++=+ ' ' '! al evaluarlo resulta cero.

• El "ráfico corresponde a una traslación de la "ráfica de # 6 x5 ! un lu"ar a la derecha # dos

unidades hacia arriba. Ie tiene la "ráfica de la ecuación &/1. &

+−= ' &

;a parábola no corta al eje NxO en nin"Pn punto! por

;o que la ecuación 0&/1.&

=+− ' no tiene

soluciones reales. ;a ecuación es equivalente


10/10

al trinomio 0)&&

=+− ' ' # al evaluar el

discriminante resulta consi"no ne"ativo.El vértice

está localizado en el punto H .

E#ER$%$%O& '(

+. Encontrar la ecuación de la parábola que resulta de mover&

' & = 8

a> 0 unidades hacia la derecha # + unidad hacia arriba.

b> 5 unidades hacia abajo

c> unidades hacia la izquierda # 5 hacia abajo

d> 0 unidades hacia la derecha # 0 hacia abajo

e> 0 unidades hacia arriba

f> unidades hacia la izquierda

+. 9eterminar 8 el carácter de las raíces! las coordenadas del vértice # "raficar las parábolas

a> &/1. &

−−= ' &

b> &&+= ' &

c>&/). += ' &

d> 1/&. &

++= ' &

Actividades Para El Aprendizaje de Ecuaciones Cuadraticas en Noveno Grado

Documents

Transcript of Actividades Para El Aprendizaje de Ecuaciones Cuadraticas en Noveno Grado