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COLEGIO JOSE ANTONIO GALAN

MATEMATICAS, GRADO DECIMO

PROFESOR: FREDY RODRIGUEZ

Grado DécimoMatemáticas

El Teorema de Pitágoras establece que en un triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la

suma de los cuadrados de los dos catetos.

DEFINICION

a

b

c 222 cba

Si un triángulo rectángulo tiene catetos de longitudes a y b , y la medida de la hipotenusa es c , se establece

que:

Grado DécimoMatemáticas

HISTORIAEl Teorema de Pitágoras lleva este nombre

porque su descubrimiento recae sobre la escuela pitagórica.

Anteriormente, en Mesopotamia y el Antiguo Egipto se conocían ternas de valores

que se correspondían con los lados de un triángulo rectángulo, y se utilizaban para

resolver problemas referentes a los citados triángulos, tal como se indica en algunas tablillas y papiros, pero no ha perdurado

ningún documento que exponga teóricamente su relación.

Grado DécimoMatemáticas

HISTORIA

El Teorema de Pitágoras es de los que cuentan con un

mayor número de demostraciones diferentes,

utilizando métodos muy diversos. Una de las causas

de esto es que en la Edad Media se exigía una nueva demostración de él para alcanzar el grado de

Magíster matheseos.

Grado DécimoMatemáticas

EJEMPLO

Encontrar el valor de la hipotenusa

En este triángulo nos están dando el valor de los catetos y debemos hallar el valor de la

hipotenusa.

Para el triángulo se tiene que a = 40 y b = 9

Aplicando el Teorema de Pitágoras:

222 cba 222 940 c2811600 c21681 c

c41

Y de aquí que:

Solución:

c1681

c = ?

a =

b =

EJEMPLO

Encontrar el valor del cateto b de la figura:

c = 40

a = 5

b = ?

Aplicando el Teorema de Pitágoras:222 cba

222 405 b222 540 b

2516002 b

15752 bY de aquí que:

1575b

739,b

EJERCICIO 1

.

Hallar el valor de la hipotenusa del siguiente triángulo rectángulo:

a = 7 cm

b = 12 cm

c = ?

EJERCICIO 2

Hallar el valor del cateto b del triángulo rectángulo:

a = 36,2 cm

c = 65,3 cm

b = ?

EJERCICIO 3

Halla la altura de un triángulo isósceles cuyos Lados miden c = 5 cm. y a = b = 4 cm.

c = 5 cm.

b = 4 cm. a

= 4

cm

.h

EJERCICIO 4

El tamaño de las pantallas de televisión viene dado por la longitud en pulgadas

de la diagonal de la pantalla (una pulgada equivale a 2,54 cm). Si un

televisor mide 34,5 cm de base y 30 cm de altura, ¿cuál será su tamaño?

30 cm.

34,5 cm.

d

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RAZONES TRIGONOMETRICAS

Sea ABC, un triángulo rectángulo:

a

bc

θ

β

A

BC

El lado es el cateto opuesto al ángulo θ y el cateto adyacente al ángulo β

AC

El lado es el cateto opuesto al ángulo β y el cateto adyacente al ángulo θ

BC

El lado es la hipotenusaAB

El ángulo C mide 90º

Los ángulos agudos θ y β son complementarios

º90 mm

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RAZONES TRIGONOMETRICAS

Se llaman Razones trigonométricas o Relaciones trigonométricas, a la razón (cociente) existente entre los lados de un triángulo rectángulo.

Las seis relaciones trigonométricas para el ángulo θ se definen por:

a

bc

θ

β

A

BC

Coseno θ = Cos θ =Cateto adyacente

Hipotenusa

Tangente θ = Tan θ =Cateto opuesto

Cateto adyacente

Cotangente θ = Cot θ =Cateto adyacente

Cateto opuesto

Secante θ = Sec θ = Cateto adyacenteHipotenusa

Seno θ = Sen θ =Cateto opuesto

Hipotenusa c

b

c

a

a

b

b

a

a

c

Cosecante θ = Csc θ = Cateto opuestoHipotenusa

b

c

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EJERCICIO 1

a = 21,2

b = 13,5c = 45,3β

A

BC

Halla las relaciones trigonométricas para el ángulo β de la figura anterior :

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EJERCICIO 2

Construya cada uno un triángulo rectángulo donde el ángulo θ = 60º y halle cada una de las relaciones trigonométricas del ángulo θ

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EJERCICIO 3

Los triángulos ABC y ADE son rectángulos con el ángulo α común a los dos triángulos. Hallar el valor de las razones trigonométricas del

ángulo α

15

1236

13

39

5

αAB

C

D

E

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EJERCICIO 4

Hallar el valor de las razones trigonométricas para el ángulo β del siguiente triángulo rectángulo:

9 cm

12 cm

β

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EJERCICIO 5

Si se sabe que , calcular las demás funciones

trigonométricas para el ángulo θ

2

6θ sec