Act. 13: Dimensionamiento del Sistema de control de centrales

telefónicas.

Judith Vivar Mesa

Contenido:

• Introducción.

• Modelos de tráfico para los sistemas de control de centrales telefónicas. Erlang C

Bibliografía: Monografía “Modelos de tráfico” (en Teleportal)

Objetivos:

• Saber aplicar el modelo de Erlang C a sistemas de control sencillos, para calcular parámetros de calidad.

• Diseñar el número de facilidades, en los sistemas de control, a partir de los parámetros de calidad.

Modelos de tráfico para sist. de control.

• El sistema de conmutación de una red telefónica es un sistema de llamadas perdidas. Sin embargo, los dispositivos de control se diseñan bajo otro principio que permite mayor eficiencia en el manejo de las llamadas.

• En un sistema de control por programa almacenado, el procesador central realiza varias tareas diferentes. Estas esperan en una cola hasta que el procesador haya completado las tareas previas.

• Consecuentemente, estos sistemas son dimensionados con determinado criterio de demora.

Sistemas con colas

• Ocurren cuando la demanda real de un servicio es superior a la capacidad que existe para dar dicho servicio.

Teoría de Colas Fundamentos teóricos

La teoría de colas brinda herramientas matemáticas para analizar el comportamiento promedio de las variables principales que caracterizan los sistemas de servicio.

Las expresiones matemáticas que modelan el comportamiento del sistema de servicio son mas complejos en la medida en que aumenta la complejidad del propio sistema. Incluso para sistemas muy complejos no pueden deducirse dichas expresiones.

Partiendo de estos modelos se pueden comparar alternativas de comportamiento del sistema de servicio bajo diferentes variantes de los valores de los parámetros del sistema.

Teoría de ColasEstructura básica del modelo de colas

Fuente ColaMecanismo

de Servicio

• Fuente de entrada (población potencial)

• Cola (infinita o finita)

• Disciplina de la cola

• Mecanismo de servicio

Clientes

ServidosClientes

Características de Calidad de los Sistemas de Servicio

Las características de calidad por las que se puede medir el comportamiento de un sistema de servicio pueden ser:

• El tiempo promedio que espera el cliente para recibir servicio.

• El tiempo total promedio que permanece el cliente en el sistema.

• La probabilidad que tiene un cliente de esperar para recibir servicio.

• El porciento de ocupación de las estaciones de servicio.• El costo total promedio por unidad de tiempo que requiere el sistema para su funcionamiento.

Características de Calidad de los Sistemas de Servicio

Usualmente las variables controlables en un sistema de servicio son:

• La cantidad de estaciones de servicio• La velocidad con que son atendidos los clientes• La disciplina con que se brinda el servicio a los clientes• La frecuencia y forma en que arriban los clientes ( en

algunas ocasiones)

Las alternativas de solución pueden ser generadas a partir de combinaciones de los valores de las variables antes mencionadas.

Notación:

Erlang C.

• Erlang C permite determinar la probabilidad de demora cuando un tráfico “A” es ofrecido a un sistema de colas con “N” servidores.

Modelo de Erlang C (M/M/N):

Erlang C es aplicable a los sistemas que cumplen:

• Tráfico aleatorio puro

• Equilibrio estadístico

• Accesibilidad completa

• Las llamadas que encuentran congestión entran a una cola y son almacenados allí hasta que un servidor esté libre.

Suposiciones de que parte Erlang

• Las tres primeras suposiciones son comunes a la teoría de los sistemas con pérdidas.

• Sin embargo, la segunda suposición implica que . Si , las llamadas entran al sistema más rápido de lo que salen. NA NA

El resultado será, que la longitud de la cola puede incrementarse continuamente hasta el infinito.

Equilibrio estadístico:

Considere un δt tan pequeño que solo pueda ocurrir un evento:

•Arribo de una llamada con probabilidad P(a).

•Terminación de una llamada con probabilidad P(e).

•Nada ocurre, con probabilidad 1- P(a)- P(e).

• El tráfico ofrecido (A) expresado en Erlangs, nos da el número promedio de llamadas que arriban durante el tiempo de retención de una llamada.

Equilibrio estadístico:

El número promedio de arribos en δt es:

Aδt /h y representa la probabilidad P(a), de que una llamada se inicie en δt. Donde “h” es el tiempo promedio de servicio

• Cuando todos los servers estén ocupados, sólo N llamadas que están siendo servidas pueden terminarse (en lugar de x llamadas como en los sistemas con pérdidas). Por tanto:

htNeP

Cuando Nx

h= tiempo de servicio promedio por llamada

11

0 !!0

N

x

xN

x

A

ANN

ANP

.

0!

PNA

NN

xPxN

0!P

x

AxP

x

De esta manera, P(x) estará dado por las ecuaciones (I) y (II), donde P(0) estará dado por la ecuación (III). Esta es la segunda distribución de Erlang, también conocida como distribución de Erlang C.

Nx

Nx

Distribución de Erlang C

La probabilidad de demora es la probabilidad de que hayan N o más llamadas en el sistema

NxPPD )(0! ,2 AEP

AN

N

N

AP N

N

D

Probabilidad de demoras, para un sistema con N servers y un tráfico ofrecido de A Erlangs. Proporción de llamadas que tienen que esperar

Esta es la fórmula de demora de Erlang. Erlang C

Tablas de demoras• Han sido publicadas tablas de la probabilidad de

demora, para N servers y tráfico A. • Sin embargo es posible calcular la probabilidad

de demora para sistemas con demoras partiendo de la probabilidad de pérdidas definida para sistemas con pérdidas, como sigue:

AEAN

NE NN ,1,2

Si es muy pequeñoNE ,1

Han sido publicadas además tablas con los valores de las probabilidades de que las demoras excedan un valor dado.

La probabilidad de demora se aproxima a 1.0 a medida que A se aproxima a N.

Cuando A>N, entonces la longitud de la cola crece indefinidamente.

Fórmula de Little:Sea:• X : Número de llamadas promedio en el sistema.• λ: Razón de llamadas promedio que arriban al

sistema • T: tiempo promedio, en el sistema, por llamada

X= λ * T

Algunos resultados útiles

1. Número medio de llamadas en el sistema:

• Cuando hay demora en el sistema:

• Promediado sobre todo el tiempo:

NAN

Ax

'

APAN

Ax D

2. Longitud promedio de la cola:– Cuando hay demora en el sistema:

– Promediado sobre todo el tiempo

Algunos resultados útiles

AN

ANxq

''

DD PAN

APqq

'

3. Tiempo de demora promedio (FIFO)– Cuando hay demora:

– Promediado sobre todo el tiempo

Algunos resultados útiles

ANhT 'donde h es el tiempo promedio de servicio.

'TPT D ANhPD

• Distribución de las demoras (disciplina de la cola FIFO). Los tiempos de retención tienen una distribución de probabilidad exponencial negativa, llamemos a las demoras :

– Cuando hay demora:

– Promediado sobre todo el tiempo

Algunos resultados útiles

T

t

D etTP

)(

T

t

ND eAEtTP

)()( ,2

DT

Sistemas con un solo servidorM/M/1

• Cuando existe un solo servidor, la probabilidad de que esté ocupado es simplemente su ocupación, A, y esta es la probabilidad de demora, P(1)=A.

• Y AP 10

Sistemas con un solo servidor Ax 11'

AAx 1

AAq 1'

AAxP x 1

AhT 1'

AhAT 1

zAzxP

• Un sistema práctico no puede contener una cola infinita. Esto significa que cuando la cola esté llena las llamadas que arriben se perderán.

Capacidad de cola finita

• Sin embargo, si la probabilidad de pérdida es pequeña, hay un error despreciable en calcular esta probabilidad de pérdida, primero asumiendo que la capacidad de la cola es infinita y entonces calculando .

NQxP

Capacidad de cola finita

Capacidad de cola finita

0!

PAN

N

N

A

N

NNQxP

NQN

D

Q

PNA

NQxP

De esta manera puede ser calculada la capacidad de la cola Q, necesaria para obtener una probabilidad de pérdida baja.

Ejercicio:• Un sistema de comunicaciones es organizado con dos

procesadores especializados, uno de los cuales procesa las funciones asociadas con un grupo de usuarios y el otro procesa las funciones del otro grupo. Cada uno tiene su propia cola. La razón de arribo de peticiones de procesamiento es la misma para los dos procesadores (140/second). Los arribos siguen una distribución de Poisson. El tiempo de servicio es el mismo para los dos procesadores (same power) y siguen una ley exponencial con valor medio de 6 ms.a) Calcule la probabilidad de que una petición tenga que esperar.

¿Cuál es el tiempo promedio de espera?b) El responsable del sistema decide hacer una variación en el

funcionamiento de sistema. Ahora el sistema tendrá dos procesadores de propósitos generales: El procesamiento será realizado por uno u otro procesador, el que se encuentre libre. Los dos procesadores comparten una cola común ¿Qué se gana con esta modificación?

Inciso a)

• Tenemos dos colas M/M/1:PD = A

A=140 tareas/s x 6.10-3 s =0.84

AhAT 1

msmsT 5.3184.01684.0

Inciso b)

• Tenemos una cola M/M/2. Ahora la frecuencia de arribo es el doble, 280/s

A = 1.68

76.0068.12

2

!2

2

PA

PD

088.068.1168.122

68.120

12

P

Inciso b)

mSTPT D 14'

mSANhT 18'

Con la nueva organización se reduce el tiempo de espera promedio de 31,5 mS a 14 mS

Tarea:

Ejercicio 1Una PBX tiene tres operadores para manipular el arribo de llamadas. Se reciben 400 llamadas durante la hora activa. Las llamadas de entrada entran a una cola y son encaminadas con el orden en que llegaron. El tiempo promedio que le toma al operador encaminar la llamada es 18 segundos. El arribo de llamadas sigue una distribución de Poisson y el tiempo de servicio del operador sigue una distribución exponencial negativa.1. ¿Qué porcentaje de llamadas tienen que esperar

por que un operador responda?2. ¿Cuál es la demora promedio, para todas las

llamadas y para aquellas que encuentran demora?3. ¿Qué porciento de llamadas son demoradas por

más de 30 segundos?

Ejercicio 2

Un centro de conmutación de mensajes envía mensajes a un circuito de salida a una razón de 480 caracteres por segundo. El número promedio de caracteres por mensaje es 24 y la longitud del mensaje tiene una distribución exponencial negativa. La entrada de mensajes es un proceso de Poisson y estos son servidos en el mismo orden en que llegan.

¿Cuántos mensajes pueden ser manipulados por segundo si la demora promedio (promediada para todos los mensajes) no excede 0.5 segundos?