8-INECUACIONES

Desigualdades e Inecuaciones

Ing. José Silva C.115

CAPÍTULO VIIIDESIGUALDADES E INECUACIONES

8.1. DESIGUALDAD.- Es la relación que establece que dos cantidades tienen diferente valor.

Los signos que se utiliza para designar desigualdades, son:

> que se lee : “ mayor que ” ; < que se lee : “ menor que ” que se lee : “ mayor o igual que ” ; que se lee : “ menor o igual que ”

Las desigualdades que no incluyen el signo igual se determinan estrictas y las que lo incluyen sedenominan no estrictas.

Por lo tanto una desigualdad es una expresión que indica que un número es mayor o menor que otro.

8.1.1. PROPIEDADES DE LAS DESIGUALDADES

Axiomas de orden

1) cyb,a se cumple una y solo una de las siguientes proposiciones:

ba,ba,ba Ley de tricotomía

2) Si abba

3) Si ba y cb ca

4) Si cbcaba ; Si dbcadcba

5) Número positivo: 0a ; Número negativo: 0a

6) 02 aa

7) Si 01

001

0 a

aóa

a

8) Siba

baóab

ba11

0011

0

9) Siba

baóab

ba11

011

00

10) Si ba yc

b

c

aóbcacc 0

11) Si ba yc

b

c

aóbcacc 0

12) Si dbcadcba 000



8.1.2. DESIGUALDADES ABSOLUTAS.- Son aquellas que se verifican para cualquier valor que se den ala variable.

05 2 x , desigualdad absoluta verdadera Solución: x

05 2 x , desigualdad absoluta verdadera Solución: 5 x

05 2 x , desigualdad absoluta falsa Solución:

En los tres casos el resultado del paréntesis siempre va a ser un número positivo para cualquier valor quele asignemos a la variable x .

8.2. INECUACIÓN O DESIGUALDAD CONDICIONAL.- Es una desigualdad que se verifica paradeterminados valores que se den a la variable.

Ejemplo:

172 x ; 82 x ; 4x ; se verifica para todos los valores mayores que 4

Al resolver inecuaciones, a veces se pueden simplificar los términos que contienen la variable y quedarcomo resultado una inecuación absoluta verdadera o falsa en cuyo caso la solución será por ejemplo:

1) x:SolV;xx;xx 032324842

132

2) :SolF;xxx;xxx 102102322042

132

El objeto de estudiar inecuaciones, es porque se aplican: para acotar funciones; para hallar el dominio y rango

de relaciones de en y de funciones.

8.3. CONJUNTO SOLUCIÓN DE UNA INECUACIÓN

Resolver una inecuación significa encontrar su conjunto solución C.S.; es decir, hallar el intervalo ointervalos donde están los valores que puede tomar la incógnita para que verifique la inecuación.

8.4. INTERVALOS

Un intervalo se define como el subconjunto de números reales que está comprendido entre dos números a yb llamados extremos.

8.4.1. TIPOS DE INTERVALO.

INTERVALO CERRADO. Incluyen a los extremos

bxa , se denota por: b,ax

INTERVALO ABIERTO. Excluye a los extremos

bxa , se denota por: b,ax ó b,ax

a b

a b



INTERVALO SEMIABIERTO. Combinación de los anteriores



INTERVALOS INFINITOS

ax , se denota por: ,ax

ax , se denota por: a,x

x , se denota por: x

8.5. OPERACIONES CON INTERVALOS

Como los intervalos representan un conjunto de números, se pueden realizar las mismas operaciones queexisten entre conjuntos numéricos.

Ejemplos:

1) Determine el complemento del intervalo 53 ;

Complemento: ,,x 53

2) Hallar la unión e intersección de los siguientes intervalos

a) 15213204 x;,,;,,

Unión = ,,x 104 ; Intersección = 52 ,x

a b

a b

a

a

- ∞ + ∞

-3 5



b) 0x ; 4224 xx ; 21 x

Unión = 4,x ; Intersección =

8.5.1. APLICACIONES DEL BUEN USO DE LOS INTERVALOS

Los siguientes ejemplos ilustran la manera correcta de aplicar las definiciones de los intervalos y de laspropiedades de las desigualdades.

1) Si 52 ,x , ¿ a qué intervalo pertenece la expresión x23 ?

Si 52 ,x entonces a partir de 52 x formamos el término x23Multiplicar por 2 : 1024 x

Sumar 3 : 7237 x

Ordenar : 7237 x

Conclusión 7723 ,x

2) Si 2742 ,x , a qué intervalo pertenece la expresión23

12

x

x?

Para hacer más sencillo el cálculo se divide:

12 x 23 x

3

42 x

3

2

3

7

Si 2742 ,x entonces a partir de 2427 x , hallamos una desigualdad para “ x ”

Sumar 2 : 449 x

Multiplicar por4

1 : 1

4

9 x

Ordenar :4

91 x , a partir de la desigualdad formamos 1

Multiplicar por 3 :4

2733 x

Sumar 2 :4

35235 x

Invertir :5

1

23

1

35

4

x

Multiplicar por3

7 :

15

4

233

7

15

7

x

123

37

3

2

23

12

xx

x



Sumar3

2:

15

6

233

7

3

2

15

3

x

Simplificar :5

2

233

7

3

2

5

1

x

Conclusión

5

2

5

1

23

12,

x

x

3) Si 1681

12,

x

x

, hallar el mayor valor m y el menor valor n , tal que n,mx

Si 1681

12,

x

x

entonces 161

128

x

x

161

328

x

Sumar 2 : 141

36

x

Invertir :6

1

3

1

14

1

x


11

14

3 x

Sumar 1 :2

3

14

17 x nxm

Conclusión :2

3

14

17 n;m

4) Si

2

1

2

5

2

3,

x, ¿ a qué intervalo pertenece “ x ” ?

Si

2

1

2

5

2

3,

xentonces

2

1

2

3

2

5

x

Invertir :5

2

3

22

x


626 x

Sumar 2 :5

44 x

Conclusión

5

44 ,x

NOTA: Sólo se invierte cuando los extremos de una desigualdad son negativos o positivos



5) Si 03 x , ¿ a qué intervalo pertenece la expresión 293

2x ?

Si 03 x

Multiplicar por 1 : 03 x ( 1 )

Elevar al cuadrado : 09 2 x

Multiplicar por 1 : 09 2 x

Sumar 9 : 990 2 x

Extraer raíz cuadrada : 390 2 x

Multiplicar por3

2: 29

3

20 2 x

Conclusión : 2093

2 2 ,x

6) Si 24 ,x , ¿ a qué intervalo pertenece la expresión algebraica3

22 x

?

Si 24 ,x entonces 24 x

Multiplicar por 1 : 24 x ( 1 )


Sumar 3 : 1313 2 x ( 2 )

Extraer raíz cuadrada : 1313 2 x

Invertir : 13

1

13

12

x

Multiplicar por 2 : 23

2

13

22

x

Conclusión :

2

13

2

3

22

,x

NOTA: Sólo se puede elevar al cuadrado, cuando los extremos son positivos o cero ( 1 )

NOTA: Sólo se extrae la raíz cuadrada cuando los extremos son positivos ( 2 )

7) Si 52 ,x , ¿ a qué intervalo pertenece la expresión 242 xx ?

242 xx completando cuadrados equivale a 62 2 x

Si 52 ,x , entonces a partir de 52 x formamos el término 62 2 x

Sumar 2 : 720 x


Sumar 6 : 43626 2 x

Conclusión : 436242 ,xx



8) Si x , ¿ a qué intervalo pertenece la expresión algebraica52

32 x

?

x 02 x ; 02 2 x ; 552 2 x ;5

1

52

10

2

x;

5

3

52

30

2

x

Conclusión :

5

3,0

52

32x

EJERCICIOS PARA RESOLVER EN EL AULA

Exprese la desigualdad como un intervalo y dibuje su gráfica:

1) x3

4) 105 x

2) 4x

5)2

63 x

3) 74 x

6) 50 x

Utilice desigualdades para describir los siguientes conjuntos:

1) 50 , 2) 13 , 3) ,8 4) 531 ,,

Efectúe las siguientes operaciones entre intervalos:

1) ,,, 2021 2) 0101 ,,,

3) 3104 ,, 4)

3

2

34212 ,,, 5) 855 ,,

EJERCICIOS DE REFUERZO

1) Si 2131 ,x , a qué intervalo pertenece la expresión 23 x ?

2) Si 532

,x , a qué intervalo pertenece la expresión 13 x ?

3) Si 105 ,x , hallar el menor valor n y el mayor valor m , tal que nx

xm

23

12

4) Si 31712 2 ,x , a qué intervalo pertenece x ?

5) Si 851

4,

x

, a qué intervalo pertenece la expresión 12 x ?

6) Si 20102

23,

x

x

, hallar los valores de m y n tal que nxm

7) Si x , ¿ a qué intervalo pertenece la expresión algebraica4

52 x

?

8) Si se sabe que 3x y además que: bx

xa

5

469, hallar el valor de ba .

Respuestas:

1) 41 ,x 2)

1

5

1,x 3)

32

19

17

9 n;m 4) 4224 ,,x

5)

5

132 ,x 6)

7

22

17

42 n;m 7)

4

5,0x 8)

2

25



8.6. INECUACIONES DE PRIMER GRADO O LINEALES

Son de la forma: 0000 bxaóbxaóbxaóbxa , donde a y b son constantes

y 0a

Para su resolución se considera si la desigualdad es estricta o no estricta para determinar el tipo de intervalosen la solución de la siguiente manera:

> < significa intervalos abiertos ; significa intervalos cerrados

EJERCICIOS RESUELTOS

Resolver las siguientes inecuaciones:

1)5

21

3

12

xx

5

25

3

12

xx , 22613321510 x,x,xx : 2,.. xSC

2) )x()x( 2610332

1261066 xx , 80124 , )( F .S.C

3)

xxx)x(x

3

2

323

2

1

32

32

2

3

2

1 xxxx , 3

2

1

2

3

2

1 xx , 0

2

93

2

3 , )(V xSC ..

4)4

1

2

7

4

121

2

1 32

x

x]x)x([

4

1

4

3

2

7

4

123

2

1

xx]xx[ ,

4

1

4

3

2

7

2

1

44

3

2

1

xx

xx ,4

1

2

7

41 x

x

4

11

42

7

xx ,

3

1515515 x,x,x

3

1,.. xSC


Resuelva las siguientes inecuaciones lineales:

1)3

212

xx 2)

4

13

2

1132

x

x

3)

7

13

3

75

7

12

3

2

xxxx4) xxx 82

4

1

2

1462

3

1

Respuestas:

1)5

1x 2)

24

1x 3)

9

4x 4) x

8.7. SISTEMA DE INECUACIONES LINEALES CON UNA VARIABLE

20

10

22

11

Solbxa

Solbxa



La solución de un sistema de inecuaciones está dada por: 21 SolSolSol Ejemplos:

Resolver los siguientes sistemas:

1)

1453

642

x

x

1453642 xx

35 xx , entonces: ,x.S.C 5

2)

932

754

3

xx

x

182628203 xxx

2416 xx , entonces: 2416 ,x.S.C

8.7.1. INECUACIONES SIMULTÁNEAS

Representan un sistema de inecuaciones que pueden ser resueltas simultáneamente aislando la variable en lamitad cuando es posible, caso contrario se resuelve el sistema:

Ejemplos:


1) 2426 x

4244246 x , 622 x

)()x()( 62

12

2

12

2

1 , 31 x , ];]x.S.C 31

2) 12

345

x

)(x

)( 122

34252

, 23410 x , 42344410 x

2314 x , )()x()( 23

13

3

114

3

1

,

3

2

3

14 x

3

14

3

2 x ,

3

14,

3

2.. xSC

3) 123 x , 212223 x , 35 x ; absurdo : :Sol


Resuelva los siguientes sistemas lineales:

1) 2331 x 2) 225 x 3) 42

323

x

4) 8281025 xxx 5) 884532 xxx



Respuestas:

1)

3

5

3

2,x 2) 3)

2

3

2

5,x 4) 5) ,x 4

8.8. INECUACIONES DE SEGUNDO GRADO O CUADRÁTICAS

Son de la forma:00

0022

22

cbxaxócbxax

cbxaxócbxax

Donde 0a y c,b,a

Para su resolución se aplica el método del diagrama de signos o de los puntos referenciales.

8.8.1. MÉTODO DEL DIAGRAMA DE SIGNOS O PUNTOS REFERENCIALES

1) Factorizar el polinomio.

2) Igualar a cero cada factor, para obtener los puntos referenciales y ubicarlos en la recta real.

3) Determinar el signo de cada factor en los distintos intervalos que se originan mediante la siguienteregla:

Si la variable es positiva, “del punto referencial a la derecha se pone signo positivo,sentido contrario negativo”.

Si la variable es negativa, “del punto referencial a la derecha se pone signo negativo,sentido contrario positivo”.

4) Determinar que signo le corresponde el producto de los factores en cada uno de los intervalosanteriores mediante la ley de los signos de la multiplicación.

5) Seleccionar los intervalos donde el signo del producto satisfaga la desigualdad.

Signo (+) tiene relación con el sentido de la desigualdad > ó Signo (-) tiene relación con el sentido de la desigualdad < ó Si la desigualdad es estricta, los intervalos de la solución son cerrados b,a

Si la desigualdad es no estricta, los intervalos de la solución son abiertos b,a

El conjunto solución es la unión de todos los intervalos con el mismo signo.

Ejemplos:


1) 032 2 xx , 0321 )x()x(

Puntos referenciales:2

3032101 xxxx

Se elabora el diagrama de signos.

INTERVALO1x - + +32 x - - +

321 xx + - +

1

2

3



Como el sentido de la desigualdad es “ < ”, seleccionamos el intervalo con signo negativo, siendo entoncesel conjunto solución de la inecuación el intervalo:

2

31 ;x.S.C

2)3

8

3

21

2

21

)x()x(

03

8

3

122

2

122

)xx(xx , 06

1612221223

)xx()xx(

016242363 22 xxxx , 01522 xx , 035 xx

Puntos referenciales: 303505 xxxx

Elaboramos el diagrama de signos.

INTERVALO5x - - +3x - + +

325 xx + - +

Como el sentido de la desigualdad es “ ” se seleccionan los intervalos con signo positivo.

;;x.S.C 53

3) 0832 2 xx ; 0832 2 xx

El polinomio de segundo grado no admite raíces reales, lo cual se comprueba calculando su discriminantecuyo valor es negativo.

558242342 cab

Por lo tanto la inecuación dada es de la forma 02 cbxxa , siendo 0a ; lo que significa que para

cualquier valor que demos a “ x ” en el polinomio, este dará como resultado siempre una cantidad positiva ,

x , 0832 2 xx V x.S.C

8.8.2. MÉTODO DE LOS INTERVALOS

Sirve para resolver inecuaciones polinómicas de cualquier grado y lo que se debe hacer es lo siguiente:

1) Descomponer en factores el polinomio.

2) Determinar las raíces o puntos referenciales y ubicar en la recta numérica.

3) Aplicar la siguiente regla: “ De la raíz mayor a la derecha signo positivo, luego van alternados”,esto siempre y cuando en todos los factores la variable “ x ” tenga signo positivo.

4) Si existe un número impar de factores donde la variable “ x ” tiene signo negativo, en ese caso seaplica la siguiente regla: “ De la raíz mayor a la derecha signo menos y luego van alternados”

Por ejemplo si la desigualdad polinomial fuese: 0 cxbxax , la solución sería:

3

5



Raíces o puntos referenciales: cx,bx,ax 321 Asumamos que bc

..SC ;; bca

Ejemplos:


1) 062 xx , 023 )x()x(

Puntos referenciales: 202303 xxxx

,,x.S.C 23

2) 0132 2 xx , 0121 )x()x(


1012101 xxxx

1

2

1,x.S.C

3) 0142 xx No es fácil factorar, en este caso completamos cuadrados

014442 xx , 032 2 x , 03232 xx

Puntos referenciales: 3232 xx

,,x.S.C 3232

8.8.3. PRINCIPIO DE ABSORCIÓN

Para todo factor positivo:

1) Zn,bxabxa n 00 22

x.S.C

00

2) 00 22 cxbxacxbxa ; Para ambos casos se tiene qué:

040 2 acba:Si

00 22 cbxaxocbxax,x siempre va hacer positivo, por lo tanto tenemos

una desigualdad absoluta verdadera y la solución será : x.S.C

Ejemplos:

1) 035 2 )x()x( Por principio de absorción se reduce a:

03 )x( , 3x , ,x.S.C 3

2-3

1

2

1

32 3-2

c-a b



El punto referencial 5x si satisface la desigualdad.

2) 035 2 )x()x( Por principio de absorción se reduce a:

03 )x( ; 53 ,x.S.C

El punto referencial 5x no satisface la desigualdad.

Nota: Cuando se absorbe algún factor, hay que verificar si el punto referencial de ese factor satisface o no ladesigualdad.

3) 0512 )x()xx( Por principio de absorción se reduce a:

05 x , ya que para 012 xx,x

5x ; 5,x.S.C


Resuelva las siguientes inecuaciones cuadráticas:

1) 42 x 2) 03 2 x 3) 03 2 x 4) 03 2 x

5) 03 2 x 6) 022 x 7) 072 x 8) 030132 xx

9) 01062 xx 10) 0126 2 xx 11) 01262 xx

12) 012 xx 13) xxx 44882

Respuestas:

1) 22 x 2) x 3) 3x4) 5) 3x 6) 7) x 8) 103 xx 9)

10)3

4

2

3 x 11) x 12) 13) 2x

8.9. INECUACIONES POLINÓMICAS

Para resolver una inecuación polinómicas a más del método del diagrama de signos se puede utilizar elmétodo de los intervalos.

Ejemplos:


1) 05323 xxx

03523 xxx

,,x.S.C 2

5

33

2) 027351 xxxxx

027351 xxxxx

2

5

3-3



75321 ,,,x.S.C

Regla:a) Si se cambia el signo a un número par de factores, no cambia el sentido de la desigualdad.

b) Si se cambia el signo a un número impar de factores, cambia el sentido de la desigualdad.

8.9.1. RAÍCES DE MULTIPLICIDAD PAR O IMPAR

Al descomponer en factores el polinomio puede darse el caso de que algunos factores se repitan (raízmúltiple), en cuyo caso se debe considerar la siguiente regla:

a) Si se repite un número par de veces (multiplicidad par), los signos en los intervalos situados a ambosde la raíz o puntos críticos son iguales.

b) Si se repite un número impar de veces (multiplicidad impar) los signos en los intervalos situados aambos lados de la raíz son diferentes.

Ejemplos:


1) 035 2 xx

Raíces o puntos referenciales: 51 x de multiplicidad par y, 3x de multiplicidad impar

Sol: ,x 3

2) 02 2 x ; 2x es una raíz de multipliciad par

Se podría haber considerado también que 22x para cualquier valor asignado a “x”el resultado es siempre

positivo y como un cantidad positiva es mayor que cero se concluye que la solución es todos los valores.

02 2 x ; 0 (verdad) Sol: x

3) 023 23 xxx

0232 xxx ; 012 xxx ; Raíces: 210 ,,x de multiplicidad impar

Sol: ,,x 210

4) 0935 3456 xxxx

0935 233 xxxx ; 031 23 xxx

Raíces: 0x multiplicidad impar , 1x multiplicidad impar , 3x multiplicidad par

32-1 75

5-3

2

10 2



Sol: 01 ,x

Si la inecuación hubiese sido de la forma 0)x(P la solución sería: Sol: 301 ,x


Resuelva las siguientes inecuaciones polinómicas:

1) 0673 xx 2) 365 24 xx

3) 0842 23 xxx 4) 24 9124 xxx

5) 063422 2345 xxxxx 6) 024503510 234 xxxx

7) 0161210116 2345 xxxxx 8) 02111 33 xxxx

9) 05312 342 xxxx

Respuestas:

1) ,,x 213 2) ,,x 22 3) 22 ,x

4) 231 ,x 5) 211 ,,x 6) 4321 ,,x

7) ,,x 411 8)

,,,x 1

2

101 9) 3215 ,,x



1) 543

4224

3

2 xxx 2)

15

92

124

5

3

3

xxx

3) 022 xx 4) 016 2 xx

5) 0994 2 xx 6) 054 2 xx

7) 03103 2 xx 8) 24 xx

9) 0321 42 xxx 10) 0822 22 xxxx

11) 01249 24 xxx 12) 24 9124 xxx

13) 03019153 234 xxxx 14) 081227 235 xxxx

15) 02564 23456 xxxxxx

Respuestas:

1)11

10x 2) 3x 3) 20 ,x

4)2

1

3

1 xx 5) 6)

4

51 ,x

7)

3

3

1,x 8) 01,1 x 9) 3,2 x

0-1 3



10) ,24,x 11) ,31,x 12) 231 ,x

13) 5213 ,,x 14) 2x 15) 112 x

Resolver las siguientes inecuaciones continuas:

1) 42

323

x2) 0

3

24

x3) 1

2

312 x

xx

4) 421054 xxx 5) 114718 2 x

6) Hallar el conjunto de enteros que satisfacen la inecuación: xxx

583

22

3

5

2

152

7) Si 11432 ,x hallar el menor valor de m que satisface la siguiente desigualdad: mx

x

2

4

8) Para todo x , halle el valor de k en la siguiente inecuación: 21

23

2

2

xx

xkx

Respuestas:

1)2

3

2

5 x 2) 3) 2x 4)

5) 115511 ,,x 6) 432 ,, 7)5

9m 8) 21 ,k

8.10. INECUACIONES RACIONALES ( FRACCIONARIAS )

Sean xP y xQ polinomios. Son inecuaciones racionales:

0

)x(Q

xP,

0

)x(Q

xP,

0

)x(Q

xPy

0

)x(Q

xP

Para su resolución se puede aplicar el método de diagrama de signos ó el método de los intervalos.

RECOMENDACIONES

1)2

32

5

23

xx, 325232 xx correcto

2) En la inecuación 53

2

x, no hacer 352 x ; porque el signo de 3x no se conoce,

puede ser positive o negativo.

3) En la inecuación41

2 x

x

, no hacer 18 xx ; porque el signo de 1x no se conoce.

4) En 51

23

x, no invertir; porque los extremos 3 y 5 tienen signos opuestos.

5) En 51

23

x, no multiplicar así: 15213 xx ; porque el signo de

1x no se conoce.

6)32

2

23

5

xx, 232325 xx incorrecto

7)32

2

23

5

xx, 0

32

2

23

5

xxcorrecto

8) Si hace: 242 xx es incorrecto. Lo correcto es: 044 22 xx



9) Hacer: 3294 2 xx es incorrecto.

Lo correcto es: 9494 222 xxx

0904 22 xx

8.10.1. RESTRICCIÓN DEL DENOMINADOR:

En las inecuaciones racionales no estrictas deben excluirse en la solución, los valores referencialescorrespondientes al denominador para evitar de esta manera al sustituir dichos valores en la inecuación, estase transforme en una indeterminación. En las inecuaciones estrictas, los extremos de los intervalos de lasolución son abiertos, por lo tanto no es necesario hacer la restricción de los puntos referenciales deldenominador.Ejemplos:


1) 032

5

xx

x; 32 xx

,,x.S.C 523

2) 0

31

32

xxx ; 0x ; 1x ; 3x

30 ,x.S.C

3)

0345

22

xx

x

El factor 32 x no tiene raíces reales, para cualquier valor asignado a x el resultado va a ser siempre

una cantidad positiva, al omitir dicho factor no se altera el comportamiento de la inecuación.

04

2

x

x; 4x

,,x.S.C 42

4) 0

25

524

xx

xx; 52 xx

El factor 5x se puede simplificar, pero se debe tomar en cuenta que dicha raíz o punto referencial, no

debe considerarse en la solución.

02

2

x

x; 5x

522 ,,x.S.C

2-3 5

0-1 3

4-2

2-2




Resuelva las siguientes inecuaciones racionales:

1) 03

8

x2)

0

7

52

x3) 0

1

82

x4) 0

2

3

x

x5) 0

5

122

x

x

6)3

5

3

92

xx

xx 7)

01

12124

32

x

xx8) 0

21

1

23

1

xxx

9)x

x

1

11 10)

0

51

2 2

xx

x11) 0

34

811

2

xx

x

12)1

1

2

122

x

x

x

x13) 0

6

7151

2

xx

x14) 2

1

8332

2

xx

xx

15)1

8

1

2

1 2

xxx

x16) 0

152

4241

2

xx

x17)

1

1

1

223

2

x

x

x

x

18)2

2

1

14

5

4

5

x

x

x

x

Respuestas:

1) 3x 2) 7x 3) 4) 23 xx 5)

5

2

1,x

6) ,,x 431 7) 12

1

,x 8) 21 ,x

9) 01 ,x 10) 2,15, x11) 213 ,x 12) x 13) 323 xx

14) ,,x 32 15) 3112 ,,x 16) 353 ,,x

17) 11,x 18) 1 ,x


Resolver las siguientes inecuaciones racionales:

1) 02

x

x2)

2

1

13

4

x

x3)

43

3

12

2

xx4) 0

21

1

33

1

xxx

5)x

x

1

11 6)

1

1

3

3

x

x

x

x7)

22

282

ax

a

ax

a

ax

x

8) xxxx

x

3572

11

7253

9) xx

x

xxx

x

13

2

2

2

652

10)4

2

44

422

x

x

xx

x

11) Un padre dispone de $ 300 para ir al estadio con sus hijos. Si compra entradas de $ 50 le falta dinero,si compra entradas de $ 40 le sobra dinero. ¿Cuántos hijos tiene?

12) En un gallinero había cierto número de gallinas. Se duplicó el número y se vendieron 27 queda dandomenos de 54. Después se triplicó el número de gallinas que había al principio y se vendieron78quedando más de 39. ¿Cuántas gallinas había al principio?



13) Se compra igual cantidad de lapiceros de dos colores: al venderse la cuarta parte quedan menos de 118por vender; si se vendiera la sexta parte quedarían más de 129 por vender. ¿Cuántos lapiceros secompraron?

14) Un comerciante disponía de una cantidad de dinero para comprar un cierto número de objetos igualesentre sí. Pensaba comprarlos al precio de $ 50 cada uno y la faltaban más de $ 48, y después pensócomprar los de $ 40 y le sobraban más de $ 152; y por último los compro al precio de $ 30 cada uno yle sobraron menos de $ 372. ¿Cuál fue el número de objetos comprados?

Respuestas:

1) 2,0x 2)5

9

3

1 xx 3)

3

4

2

1 x 4) ,32,1x

5) 0,1 x 6) 3,01, x

7) ,3,2, aaaax 8)

2

7,32,

3

5x

9) 3,2,1 x 10) 2x 11) 6 hijos

12) Habían 40 gallinas 13) Total 156 lapiceros 14) 21 objetos

8.11. VALOR ABSOLUTO

El valor absoluto del número real “ x ” que se denota por x , se define por la siguiente regla:

0

0

xsi;x

xsi;xx

Ejemplos:

33 , 222 )( , 00 El valor absoluto de cualquier número real x será siempre

positivo.

8.11.1. PROPIEDADES:

1) x , se cumple: 0x

2) 00 xx

3) 2222xxóxx, x

4) aa, x 2

5) x-x, x

6) ba;abba

7) ba;baba

8) 0 b;b

a

b

a

9) axaxaxSi ó 222axaxax Si 2

10) a- xax aax 0

11) y, x ;yxyx Desigualdad triangular

12) axaaax 0

13) a,axaxax

14) 2222a xaxax




Resolver las siguientes ecuaciones e inecuaciones con valor absoluto:

1) 02 xx

Por propiedad 2): 00 22 xxxx

01 xx , 010 xx

10 xx , 10 ,.S.C

2) 834 x

Por propiedad 10) tenemos que: 08 834834 xx

3

4x 4x ,

4

3

4,.S.C

3) 0942 x

Por propiedad 2): 94094 22 x,x Por propiedad 10) :

09 9494 22 xx

513 22 xx

1313 xx , 13,13.. SC

4) 021 xx

21 xx Por propiedad 9): 2121 xxxx

2121 xx

2

1 xFalso

2

1 x ,

2

1.S.C

Igual resultado obtenemos si aplicamos: 222axax 2

5) 322 xx Por propiedad 9) tenemos:

322322 xxxx

135 xx

3

15 xx ;

3

15 ,x.S.C

Otra manera de resolver, aplicando la otra equivalencia de la propiedad 9) tenemos:

22322 xx

22 322 xx ; 29124164 22 xxxxx ; 05163 2 xx

513 xx ; 05013 xx ; 53

1 xx ;

3

15 ,x.S.C



6) 09 x

Por definición del valor absoluto este es siempre positivo y para cualquier valor que asignamos a x alefectuar el valor absoluto nos dará una cantidad positiva con lo que concluiremos siempre en un absurdo,consecuentemente no tendrá solución la desigualdad.

Por lo tanto la desigualdad no tiene solución , .S.C

7) 0x 92 , Por la condición de la desigualdad, los únicos valores que satisfacen la condición

son 3 y 3 . 33 ;.S.C

Si la desigualdad fuera 092 x , se cumpliría para cualquier valor que demos a x, en cuyo caso

diremos que la solución está dada por: x.S.C

8) 13 xx Por propiedad 12) tenemos:

13101 xxxx

13311 xxxxx

22311 xx

11 xx Intersecando los intervalos tenemos como solución:

1 ,x.S.C

9) 25

32

x

25

32

x; 1032 x Por propiedad 13) tenemos:

xx

xx

xx

xx

3

84

83123

83123

10321032

;4

3

8;.. xSC

10) 0152222 xx

22

11422114

0152244015222

22

22

xxx

,xxx

xxx,xx

2

1142

2

xxx Por propiedad 12) tenemos:

43

8



BA

xxxxxx

xxxxx

xxxxxxxx

xxxx

xxxx

xxx

xxxx

017-0350152152

07601520152

02

114420

2

421141544

02

114202

2

1140114

2

1142

2

1140

2

114

222

222

222

222

A)

Sol A: ,,x 152152

B)

Sol B ;73;x

Sol: Sol A Sol B ,73,

11) xx 234 Por propiedad 15) tenemos:

072034129816234 22222 xx;xxxx;xx

0713 xx

;;x.S.C

3

17

1 53 7

5-3

152 15-2

7-1

3

1-7

3 152 152 7



12) Resolver 422 xx por definición.

2022

20222

x;xSi;x

x;xSi;xx

4220242202 xx,xSixx,xSi

23262 x,xx,x

3

2262 x,xx,x

3

2x

3

2

3

2.S.Cx

13) Resolver 312

x

xpor definición.

312

012312

012x

x,xSi

x

x,xSi

0312

2

103

12

2

1

x

xx

x

xx

0312

2

10

312

2

1

x

xxx

x

xxx

015

2

10

1

2

1

x

xx

x

xx

BA

x

xx

x

xx 0

15

2

10

1

2

1

A)

2

1x

,xA.Sol

2

1

B)

2

1x

2

1

5

10 ,;xB.Sol

B.SolA.Sol.S.C ,

,,x.S.C

5

10

1 0

2

1

0-1

5

10

5

1

2

10



8.11.2. MÉTODO DE LAS REGIONES

Este método es útil cuando se tiene dos o más valores absolutos lineales y no se puede aplicarpropiedades:

PROCEDIMIENTO:

1) Se determina las raíces o puntos referenciales de cada valor absoluto.

2) Se coloca los puntos referenciales en una recta, la misma que queda dividida en regiones opartes.

3) Se determinan los signos de cada valor absoluto en las respectivas regiones con los mismoscriterios del método del “Diagrama de Signos” para resolver inecuaciones.

4) Se resuelve la ecuación o inecuación tomando en cuenta los signos de cada región:

Signo + ; se elimina el valor absoluto y se conservan los signos de la expresión algebraica.

Signo - ; se elimina el valor absoluto y se cambian los signos de la expresión algebraica.

5) La solución de la inecuación se obtiene realizando la “unión” de las soluciones de cada una delas regiones.

...SolSolSolSol 321

Ejemplos:

Resolver las siguientes ecuaciones e inecuaciones con valor absoluto:

1) 18334 xxx


834 xx,x

4x - + + +3x - - - +83 x - - + +

44 xx 44 xx 44 xx 44 xx

33 xx 33 xx 33 xx 33 xx

8383 xx 8383 xx 8383 xx 8383 xx

Región I : 4 ,x

18334 xxx

18334 xxx , 18334 xxx

8x Este valor se encuentra en el intervalo 4 ,x , por lo tanto 81 x:Sol

43

8

3

I II III IV



Región II :

3

84 ,x

18334 xxx

18334 xxx , 18334 xxx , 163 x

3

16x Este valor no se encuentra en el intervalo

3

84 ,x , por lo tanto :Sol 2

Región III :

3

3

8,x

18334 xxx

18334 xxx , 18334 xxx

0x Este valor se encuentra en el intervalo

3

3

8,x , por lo tanto 03 x:Sol

Región IV : ,x 3

18334 xxx

18334 xxx , 18334 xxx

6x Este valor no se encuentra en el intervalo ,3x , por lo tanto :4Sol

4321.. SolSolSolSolSC ; 0,8:.. xSC

2) 623 xx

Puntos referenciales: 20 xx

x - + +2x - - +

xx xx xx

22 xx 22 xx 22 xx

Región I : 0,x

144623623

623

x,x,xx,)x(x

xx

011 ,xSol

Región II : 20 ,x

242623623

623

x,x,xx,)x(x

xx

202 ,x:Sol

0 2

I II III

1

0

0

2



Región III : ,x 2

284623

623

x,x,xx

xx

23 x:Sol

321 SolSolSol.S.C ; 21 ,x.S.C


Resuelva las siguientes inecuaciones con valor absoluto:

1) 35 x 2) 32 x 3) 21

13

x

x

4) 321

94

x

x5) 15 xx 6) 4325 xx

7) xx 623 8) 121 xx 9) 232 x

10) 12

4

x

x11) 012 x 12) 11 23 xxx

13) 14

46 2

x

xx14)

24

222

x

x

x

x15) 321 xx

16) xxx 5252 17) xxx 334 18) 0372 2 xx

19) 01

1

x

xx20) 1

4

112 2

xxx 21) 42 x

Respuestas:

1) 82 xx 2) 15,x 3)

3

5

1,x 4)

2

16

5

3,x

5) 2x 6)

3

4

1,x 7) 22,x 8) 2x

9) ,73,13,x 10) 11) x

12) 2,0x 13) 07,54,4 x 14) x

15) 21 xx 16)

2

3

4,x 17) x

18)

,3

2

1,

2

13,x 19)

,1

2

1,1x

20)2

3

2

1 x 21) 4,4x

2




Resolver las siguientes ecuaciones e inecuaciones con valor absoluto.

1) 5x 2) 422 2 xxx 3) 572 xx

4) 1213 xx 5) 512 xx 6) 7523 xx

7) 35 x 8) 15 xx 9) 232 x

10)

04

253

xx

xx11) 1322 xxx 12) 1

2313

xx

13) 18334 xxx 14) 22 4291144 xxxx

15)x

xx

x

xx 823 22

16) 112 22 xxx 17) 3312 xx

18)x

xx1

3 19) 11

42

x

x20)

x

x

x

x

3

12

12

2

21) 62121 2 xxxxx 22) 342262 xxxx

23) 111 22 xxxx 24) 6 xx

25) 21

410

x

xxx26) 0

272

xx 27) 3

2

1132

x

xx

28) 13 xx 29) 0152222 xx 30) 0652 xx

31) 021 xx 32)2

2

1

xx

x33) 2192 2 xx

34)x

xx

31 35) 0

1

54

2

2

x

xx36) 0

31

213

xx

xx

37) 825416

254016 2

xx

xx38) 421 x

Respuestas:

1) 55 , 2) 21 , 3) 4) 11 ,

5) 26 , 6) 7) ,82,

8) ,2x 9) x 10) 3,42

5,0

x

11) ,12,x 12)

2

7

6,x 13) 08 ,x



14)

,

4

51,x 15) 05, x 16) 2,0x

17)

3

57 ,x 18) 19)

,

2

131

2

131,x

20)

2

1,

2

62

2

62,x 21) ,31,x

22)

,

2

5x 23)

,

2

1x 24) 3x 25) 41 xx

26) 6,10 x 27) 15 ,x 28) 22 ,x 29) 73 xx

30) 3223 ,,, 31)

2

132) 21 ,x

33)

2

7

4

1371,x 34) 30 ,x 35) 5,1x

36)

2

1,x 37)

4

47

20

17,x 38) 6,31,2 x

8.12. INECUACIONES IRRACIONALES

Para su resolución debe tomarse en cuenta las siguientes consideraciones:

1) Si n es un entero positivo par

i) 0)(0)(,0)( xPxPxP n

ii) )x(Q)x(P)x(Q)x(P nn 0

2) 2) Si n es un entero positivo impar

i) 0(x)P)x(Pn 0

ii) 00 )x(P)x(Pn

iii) )x(Q)x(P)x(Q)x(P nn

PARA INECUACIONES IRRACIONALES DE LAS FORMAS:

1) )x(Q)x(P

a) )x(Q)x(P)x(Q)x(P 200

b) )b)a:;)x(Q)x(P SolSolSol 00

2) )x(Q)x(P)x(Q)x(P:,)x(Q)x(P 200 Sol

3) 2000 )x(Q)x(P:,)x(Q)x(P Sol

4) 000 )x(Q)x(P:,)x(Q)x(P Sol

5) 2000 )x(Qk)x(P)x(Q)x(P:;k,k)x(Q)x(P Sol



6) Si n es un entero par positivo:

000

000

000

000

)x(R

)x(P)x(Q

)x(R)x(Q

)x(P

)x(R

)x(P)x(Q

)x(R)x(Q

)x(P

)x(Q)x(P)x(Q)x(P

)x(Q)x(P)x(Q)x(P

n

n

n

n

7) Si n es un entero impar positivo:

)x(Q)x(P)x(Q)x(P

)x(Q)x(R

)x(P

)x(Q)x(R

)x(P

)x(R

)x(Q)x(P

)x(R

)x(Q)x(P

nn

n

n

00

00

OBSERVACIÓN

Cuando en una expresión existan n radicales se deben calcular los intervalos de existencia para cada radical..EC (condición de existencia).

Para poder elevar al cuadrado debemos garantizar que los dos miembros de la desigualdad sean positivos.



1) 37 x

,x:,x,x:C.E 7707 SolPara todo el intervalo se cumple la desigualdad.

2) x 04

4x,4x;04-x:C.E no se cumple la desigualad ya que 0 )F(

Si 4x , se cumple la desigualdad 00 ; por lo tanto la solución es: Sol: 4x

3) 010 x1010010 x,x,x:C.E no se cumple la desigualdad

)F(0 entonces :Sol

4) 2954 x

5

445054 x,x,x:C.E , podemos elevar al cuadrado ya que ambos

miembros son positivos, entonces: 52552954 x,x;x

La solución se obtiene:

5

455

5

4,xx x:Sol



5) xx 546

46460406 ,xx;xx:C.E x:Sol

La suma de dos cantidades positivas va hacer siempre mayor que un número negativo.

6) 03 x

303 x,x:C.E Como la raíz tiene signo negativo entonces para cualquier

valor de la condición de existencia el resultados será siempre un número negativo es decir: F,0- :Sol

7) 6512 22 xxxx

6512065012 2222 xxxxxxxx

184023034 x)x()x()x()x(

2

93243 xxxxx

Teniendo como resultado:

2

943 ;];]x:Sol

8) 228112 xxx Es de la forma )x(Q)x(P ó

)b

)a

a) )x(Q)x(P)x(Q)x(P 200 222 228110202811 )x(xxxxx

4428112047 22 xxxxx)x()x(

7

24274 xxxx

Teniendo como resultado:

7

242 ,x:a)Sol

b) 00 )x(Q)x(P

02028112 xxx

2047 x)x()x(

274 xxx

Teniendo como resultado: 2,x: b)Sol

)bSol)aSol TotalSol ;

7

24;xTotalSol.

9) 16 xxx 2 Es de la forma

b)-

a)óxQ)x(P

a) )x(Q)x(P)x(Q0)x(P 20 222 160106 )x(xxxxx

1261023 22 xxxxx)x()x(

3

2132 xxxx

Teniendo como resultado: ,x: 3a)Sol

El literal b) no existe ya que un número positivo nunca es menor que un número negativo.



10) 0532 xx

:xx,xx Sol52

305032

11) 0623 xx

33306203 :xx,xx lSo


Resolver las siguientes inecuaciones irracionales:

1) ` 723 x 2) 23 x 3) 212 xx

4) xx 53 5) 464 xx 6) 4 51 xx

7) 31522 xx 8) xxx 43 2 9) xx 3161

10) 0113 xx 11) 55 xx 12) 3273 xx

13) 125 2 xx 14) 034

445 2

32

xx

xx15) xxx 23

Respuestas:

1)

3

47

3

2,x 2) 3x 3)

5,

2

1x

4) 4,3x 5) ,208,4x 6) 11,x

7) ,53,x 8) 30,x 9)

6

1

3

4,x

10) 11) 4,0x 12) ,63,2x

13) 5,43,5 x 14) 3,24, x 15)

3

2

3,x


Resolver las siguientes inecuaciones irracionales:

1) 213 x 2) 752 x 3) 13 xx

4) xx 392 5) 21 xx 6) 5824 x

7) 242133 xxx 8) 11522 xxx 9) xxx 2224

10) 69242 xxx 11) 056932 22 xxxx

12) xx 723 13) 5393 2 xxx 14) 01

13

x

x



15) xx

x

2

416) xxx 2224 17) 0

1

5

2

93

x

x

x

x

18) 1224 2

x

xx19) 0

51

3

54 2

3

xx

x20) x.xxx 21232

21) 11 2 xx 22)1

1

1

1

x

x

x

x23) 11 2 xx

24) 44 xx 25) 12322 xxx 26) xx 6

27) xx 12 28) 11 xx 29) 26443

2 2

2

2

xx

x

xx

30) 03

122

x

xx31) 5134 xx 32) 0

14

162

xx

x

33) 11

xx

x.x34) 0

34

44

5 2

32

xx

x.x35) 0

3

5

1

82

x

x

x

x

36) 5612 22 xxxx 37) 1123 xx 38) 32

2

x

x

39) 052425

420 2

xxxx

x40) 5

2

34

3

26

2

1

2

1

x

x

x

x

Respuestas:

1)3

5x 2)

2

5x 3) 3x 4)

5) 1x 6) 4x 7) 1,2x 8) 3x

9) 4,3x 10)2

1x 11) 3,1

2

3,6

x 12) 3,2x

13) 2x 14) 1;1x 15) 4,2x 16) 4,3x

17) 53 ,x 18) 4,30,6 x 19) 3115 ,,x

20) 21 ,x 21) ,,x 11 22) 1 ,x

23) 102 ,,x 24) 44 ,x 25) ,x 1

26) 62 ,x 27) 1x 28) 211 ,,x

29) 212 ,x 30)

63

2

1,x 31) 34 ,x

32) 4,x 33) 2,1x 34) 3,24, x

35) 5,41,3 x 36) 3x 37) 12x

38) 22

5

5

8

,x 39)

,31,

4

7x 40)

1,

3

11x



Resolver los siguientes sistemas de inecuaciones:

1)

01892

251

2

2

xx

xx

2)

05194

02

3

2 xx

x

x

3)

114

1

322932

2

22

x

x

xxxx

4)

0621343

4

2

44

4

42

22

22

xxxx

x

x

xx

x

x

4)

09

13

05312

424

2

342

2

x

xx

xxxx

xx

Respuestas:

1) 5,4x 2) 2,0x 3)

4

5,

2

171x

4) 242

1

,x 5) 0,3x

8.13. SISTEMA DE INECUACIONES CON DOS VARIABLES

Una solución de una desigualdad en "" x y "" y es un par ordenado b,a , que produce una aseveración

cierta si se sustituye en x y y por a y b respectivamente. Resolver una desigualdad en x y y quiere

decir determinar todas las soluciones. La solución de un sistema con dos variables se determina en formagráfica, determinando el conjunto de todos los puntos b,a en el plano yx que corresponden a las

soluciones. Geométricamente, cada uno de estos conjuntos describe un semiplano R.

8.13.1. PROCEDIMIENTO PARA TRAZAR LA GRÁFICA DE UNA DESIGUALDAD EN x y y

1) Reemplazar el signo de desigualdad por el signo igual, y trazar la gráfica de la ecuación resultante. Siel signo de la desigualdad es o bien , usar línea discontinua para indicar que ningún punto de lagráfica produce una solución. Si el símbolo es o bien , use una línea continua para indicar que lassoluciones de la ecuación son soluciones de la desigualdad.

2) Si R es una región del plano yx determinada por la gráfica del paso 1) , y si un punto de prueba

q,p en R produce una solución de la desigualdad, entonces todo punto en R produce una solución,

no sombrear R para indicarlo. Si q,p no es solución, entonces ningún punto en R produce una

solución, en este caso sombreamos R. Por lo general se realiza la prueba con el punto de coordenadas 00 , .

3) La gráfica de la solución del sistema de inecuaciones está determinada por la parte no sombreada de laintersección de las gráficas de cada una de las desigualdades.




Determine la solución de los siguientes sistemas de desigualdades:

1)

32

6

xy

yx

Primero graficamos la desigualdad 6 yx mediante la ecuación 6 yx

Tomando el punto 00 , del plano de la

región que se encuentra bajo la recta yreemplazando éstos valores en ladesigualdad tenemos: 6 yx ;

600 , 60 V ; lo que

significa que todos los puntos que seencuentra en la región inferior de la rectasatisfacen la desigualdad, por lo tanto nosombreamos dicha región

Procediendo de manera igual en la desigualdad 32 xy , el gráfico resultante luego de realizar la prueba

del 00 , es decir: 300 , 30 , V es:

La solución está determinada por la parte sin sombrear. Al intersecar los gráficos anteriores tenemos lasolución del sistema.



2)

4

22xy

xy

Siguiendo los pasos del ejercicio anterior, el gráfico resultante es:

3)

2052

2447

0

0

yx

yx

y

x

El gráfico resultante es:

EJERCICIOS PARA RESOLVER


Trace la gráfica de los siguientes sistemas de desigualdades:

1)

42

4

xy

xy2)

82

6

4

0

0

yx

yx

x

y

x



Respuestas:

1) 2)


Trace la gráfica de los siguientes sistemas de desigualdades:

1)

2

4

y

x2)

3

2054

x

yx3)

2

2

xy

yx4)

42

2 2

xy

xy

5)

yx

yx

1

12

6)

3

2

y

x7)

1

2

y

x8)

2

12

y

x

9)

53

12

y

x10)

3

2

xy

xy11)

0

2

4

y

x

yx

12)

0

2

43

x

yx

yx

13)

0

1

632

74

y

x

yx

yx

14)

0

103

52

1

y

yx

yx

yx

15)

2

2

6

2424

y

x

yx

yx

16)

0

0

4 2

y

x

xy

xxy

Respuestas:

1) 2)



3) 4)

5) 6)

7) 8)

9) 10)



11) 12)

13) 14)

15) 16)

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