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Revisin de algunos conceptos de probabilidad

1 i i i ~ i i c~liiiliii \c r i i i , i i l i i i q i i i ' ' 1 ' . '1: Ii1r1.1 i. riii;. ii.i.ili>., ,l i l , i , i l.iii>ii q l l i < i \ Ii,it

Introduccin Los capitulos 2 al 4 se centraron en la estadistica descriptiva. En el capitulo 2. los precios de 80 vehiculos que se vendieron el mes pasado en la agencia Whitner Pontiac. se organizaron en una distribucin de frecuencias para mostrar los precios de venta ms bajos y ms altos. y dnde se presenta la mayor concentracin de datos. En los capitulos 3 y 4 se utilizaron medidas de tendencia central y de dispersin para establecer el precio de venta tipico [aproximadamente $20 000 (dlares)] y para examinar la dispersin de los datos. La dispersiri de los precios de venta se describi empleando medidas de dispersin como la amplitud de va- riacin y la desviacin estandar Por tanto, la estadstica descriptiva se ocupa de describir algo que ya ha ocurrido. Por ejemplo, los precios de venta de los vehiculos en la agencia Whitner Pontiac, el mes pasado.

Ahora la atencin se dirigir al estudio de la segunda faceta de la estadstica. que es el calculo de la posibilidad de que algo ocurra en el futuro. Esta parte de la estadstica se denomina estadistica inferencia1 o bien. inferencia estadstica.

En muy pocas ocasiones el encargado de tomar decisiones dispone de informacion completa a partir de la cual pueda realizar una determinacin. Por ejemplo:

Toys 8, Things, un fabricante de juguetes y rompecabezas, ha desarrollado un nuevo juego basado en una trivia deportiva, y desea saber si los aficionados al deporte comprarn o no dicho juego. Dos de los posibles nombres son "Slam Dunk y "Home Run". Una forma de minimizar el riesgo de una decisin equivocada consiste en contratar a una em-

presa de encuestas para que tome una muestra de. por ejemplo, 2 000 personas de la poblacin. y pregunte a cada una cmo reaccionaria ante el nuevo juego y los titulos propuestos.

El departamento de control de calidad de la empresa Bethlehem Steel debe asegurar a ia gerencia respectiva que el alambre de un cuarto de pulgada de grosor que se est produciendo, tiene una resistencia aceptable a la tensin. Es obvio que no todo el alambre producido se puede probar para determinar su resistencia a la tensin mecnica, pues la prueba requiere que se estire hasta romperlo, destruyndolo. De manera que se selecciona una muestra aleatoria de 10 piezas y se prueba. Con base en los resultados del ensayo, todo el alambre producido se consi-

derara satisfactorio o no satisfactorio. Otras cuestiones relacionadas con la incertidumbre son: Debe discontinuarse de inmedia- to la telenovela Days of Our Lives? 'Deberia el equipo Gigantes de Nueva York seleccionar en ia primera ronda de contrataciones a Sarnmy Uwea o a Clint Murray para las ligas cole- giales de beisbol? LProducira ganancias un nuevo cereal con sabor a menta al ser introdu- cido al mercado? Debe el casarse con Jean? LDeberia comprar un Roiis Royce nuevo? Debemos votar por Charles Linden como representante de la ciudad donde vivo?

La inferencia estadstica se ocupa de obtener conclusiones acerca de una poblacin basndose eii una muestra tomada de aquella. (Las poblaciones en los ejemplos anteriores son: todos los consumidores a los que les gustan los juegos de trivias deportivas, todo el alambre de acero de un 114 de pulgada que se fabric, todos los televidentes aficionados a las telenovelas. la totalidad de los jugadores de futbol americano colegial que sern contratados por los equipos profesionales. y asi sucesivamente.)

Debido a que existe una incertidumbre considerable al tomar decisiones; resulta impor- tante que se evalen en forma cientifica todos los riesgos iniplicitos conocidos. Es de gran ayuda en esta evaluacin la teor;a de ia probabilidad, a la que frecuentemente se denomina "ciencia de la incertidumbre". El empleo de la teoria de la probabilidad permite -a quien toma decisiones con informacion Iimitada- analizar los riesgos y minimizar el azar inherente. Por ejemplo, al lanzar al mercado un nuevo producto o aceptar un embarque recin llegado que puede contener piezas defectuosas.

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Como los conceptos de probabilidad son tan importantes en el campo de la inferencia estadstica (cuyo anlisis se iniciar en el capitulo E), en este capitulo se presenta el lengua- ]e bsico de la probabilidad, que comprende trminos como experimento. evenfo, probabilidad subjetiva y las reglas de adicin y multiplicacin

Qu es una probabilidad? Sin duda alguna el lector est familiarizando con trminos tales como probabilidad, posibilidad y azar. Con frecuencia se utilizan indistintamente. El pronstico del servicio meteorolgi- co anuncia que hay 70% de posibilidades de lluvia para el domingo en el que se realiza el luego del Super Tazn en el futbol de EUA. Mediante una encuesta a consumidores que probaron un nuevo pepinillo con sabor a pltano, la probabilidad de que si se lanza al mercado sea un xito financiero, es 0.03. (Esto significa que la posibilidad de que el nuevo pepinillo con sabor a pltano sea aceptado por el pblico, es ms bien remota). Que es una probabilidad? En general, es un nmero que evala la posibilidad de que algo suceda.

Probabilidad Valor que va desde cero hasta uno, inclusive, que describe la posibilidad relativa de que ocurra un evento.

En el estudio de la probabilidad se utilizan tres palabras clave: experimento, resultado y evento. Estos trminos se emplean en el habla cotidiana. pero en estadistica tienen signifi- cados especificas.

Experimento Proceso que conduce a que ocurra una (y solamente una) de varias o b ~ e ~ a c i o n e s posibles.

Esta definic~n es ms general-que la que se utiliza en las ciencias fisicas, donde es fcil imaginar a una persona manipulando microscopios o tubos de ensayo. En probabilidad, un experimento tiene dos o ms resultados posibles, y es incierto cul es el que ocurrir.

Resultado Un suceso particular proveniente de un experimento.

Por ejemplo. lanzar una moneda al aire es un experimento. Se puede observar el lanza- mento de la moneda. pero no se sabe si caer "cara" (anverso) o "cruz" (reverso), De forma semejante. preguntar a 500 universitarios si cornprarian o no la nueva computadora Dei1 a un precio determinado, seria un experimento. Si la moneda se tira al aire. un resultado particular es "cara". El resultado alternativo es "cruz". En el experimento de la compra de una computadora, un resultado posible es que 273 estudiantes indiquen que si la comprarian. Otro resultado puede ser que 317 alumnos si adquiriran la mquina. Otro resultado ms es que 423 estudiantes digan que si la adquiriran. Cuando se observan uno o ms de los resuitados de un experimento, esto se conoce como un evento.

1 Evento Conjunto de uno o ms resultados de un experimento. 1 En las siguientes pginas se presentan algunos ejemplos para aclarar las definiciones de

los trminos experimento. resulfado y evento en la ciencia estadistica. En el experimento de lanzar un dado existen seis resultados posibles, pero hay muchos

eventos posibles. Si se cuenta el numero de miembros del consejo directivo mayores de 60 anos, en las 500 compaiiias presentadas en la revista Foriune. el numero de resultados posibles puede estar entre cero y la cantidad total de miembros. En este experimento hay un gran numero de eventos posibles.

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152 Captulo 5

1 Experimento Lanzar un dado

Obtener i i r i 1 Obtener iiii 2 Obteiier ori 3 Otitenei uii 4 Obtener uri 5 Obtener i i r i 6

Contar d numero de miembros del consejo direct~vo en las 600

ornpresas presentadas en Foni;rie cuya edad es superior a 60 anos.

- -~

Ninguno tieiie nis de 60 Uno tiene ms de 60 Dos tienen mas de 60

29 tienen inbs de 60

l 1 Alrliiiirjs $veritos posibles i Onterier LJII t i i !~n?~c l ~ ~ r Mas d? 13 tener? mas de 63 l l Ot;le!ie: Liii nurnero iiiny::iO~i i ~ c iqiie el S o quc SIC %he 3 : e i l . de ;iui!ler,to oe que llueva :iesapareica gane el, e Deihy iiiin ~~ioi i

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Autoexamen 5.1 Se ha desarroilado un nuevo i u e ~ o de video. 80 iuqadores veteranos de este tipo de atraccio- ~. . .

nes van a probar su potencial de mercado. a) 'Cul es el experimento? b) Cul es un resultado posible? c) Suponga que 65 jugadores probaron el nuevo juego y afirmaron que les gusto. Es 65

una ~robabilidad? d) La p;obabilidad de que el nuevo juego de video sea un xito se calcula que es-1. Qu

le indica esto? e) Especifique un evento posible.

Que funcin tiene la probabiiidad en la toma de decisiones? Esta pregunta puede con- testarse citando dos casos que se analizaran en capitulos posteriores.

Caso 1 Con base en la experiencia, una empresa editorial determin que al inenos 20% de cierto grupo. como el de msicos. debe suscribirse a una revista mensuai para que sta sea un xito financiero. La empresa esta considerando una publicacin mensual para aficionados a observar aves. Se diseti un numero especial y se envio a una muestra de 1 000 aficionados. En respuesta, 190 de 1 000, es decir 19%. afirmaron que se siiscribirian a la revista si sta se publicara. Debe afirmarse que esta proporcin es menor que 20%. y decidir inmediata- mente que no se va a publicar la revista? ' 0 podria atribuirse la diferencia entre el porcentaje necesario (20) y el porcentaje muestra1 (19) al muestreo, es decir. al azar? La probabilidad ayuda a tomar una decisin en este tipo de situaciones, que se analizarn en ei capitulo 10.

Caso 2 En un gran proyecto de construccion se requieren miles de bloques de concreto. Las espe- cificaciones indican que stos deben soportar, en promedio, presiones de 1 050 libras por piilgada cuadrada (Iblpulg', o psi). Dos empresas que fabrican estos bloques presentaron muestras para probarlos. La resistencia de los bloques de la firma Strong Block Co. tuvo un valor medio de 1 070 psi; los de la Taylor Company tuvieron una resistencia de 1 062 psi. La Strong Block Co. considera que se le debe otorgar el contrato porque sus bloques tienen una resistencia media mayor. La compaa Taylor no est de acuerdo. ya que senala que la diferencia de slo 8 psi podria deberse al muestre0 (al azar). Si la afirmacon de Strong Block es correcta, se le debe otorgar el contrato. Si la aseveracin de Taylor tambin es correcta, ei contrato se dividir entre las dos compafiias. La probabilidad ayudar a tomar una decisin en un caso como ste, como se vera en el captulo 11.

Enfoques de la probabilidad Se analizaran dos enfoques del anlisis probabilstico, especificamente. los puntos de vista objetivo y subjehvo. La probabilidad objetiva puede subdividirse en: (1) probabilidad ciasi- ca y (2) probabilidad ernpiiica.

Probabilidad clsica La probabilidad clsica se basa en la consideracin de que los resultados de un experimen- to son igualmente posibies. Empleando el punto de vista clsico, la probabilidad de que suceda un evento se calcula dividiendo el nmero de resultados favorables entre el numero total de resultados posibles:

DEFINICI~N DE LA PROBABILIDAD CLSICA probabilidad de un evento = - -Numero de resultados favorables u-

Numero total deresultados posibles 5.11

EJEMPLO Considrese el experimento de lanzar un dado comun. Cul es la probabilidad del even- to "cae un numero par"?

S O L U C I ~ N Los resultados posibles son: un uno un cuatro 0 1 un dos m un cinco Ijn tres

Hay tres resultados "favorables" (un "dos", un "cuatro" y un "seis") en el conjunto de seis resultados posibles igualmente probables. Por tanto:

-~ ~

probabilidad de un par 3 t Nmero de resultados favorables . ~- 6 + [;=tal de resultados posibles ~ 0.5

Si slo uno de varios eventos puede ocurrir cada vez. se dice que los eventos son mutuamente excluyentes.

- - ~

Mutuamente exciuvente La ocurrencia de un evento implica que ninguno de los otros eventos puede ocurrir al mismo tiempo.

En el experimento de tirar un dado, los eventos "un numero par" y "un nmero impar" son mutuamente excluyentes. Si cae un numero par, no puede caer un numero impar al inismo tiempo.

Si un experimento tiene un conjunto de eventos que comprende a todos los resultados posibles, tales como los eventos "cae un nmero par" y "cae un nmero impar" cuando se lanza un dado, entonces el conjunto de eventos es colectivamente exhaustivo.

Colectivameiite exhaiistivo Por lo menos uno de los eventos debe ocurrir cuando se realiza un experimento.

En el experimento de tirar un dado, cada resultado sera un nmero par o impar. Por tan- to. el conjunto es colectivamente exhaustivo.

Sunia de probabilida- Si el conjunto de eventos es colectivamente exhaustivo y los eventos son mutuamente ex- des = 1 cluyentes. la suma de las probabilidades es 1. En el experimento donde se lanza una moneda:

Probabilidad 1 Evento: Cara O 5 I 1 Evento Cruz - 0 5

1 O

Para que se pueda aplicar el enfoque clsico, los eventos deben tener la misma posibilidad de ocurrir (a lo que se denomina eventos igualmente posibles.) Adems; el conjiiiito de eventos debe ser mutuamente excluyente y colectivamente exhaustivo.

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EJEMPLO

Desde un punto de vista histrico. el enfoque clasico de la probabilidad se desarroll y aplico en o s siglos XVll y XVlll a juegos de arar, como el de cartas y el de dados. Observese que es innecesario realizar un experimerito para determinar la probabilidad de que ocurra un evento cuando se utiliza el enfoque clsico. Por ejemplo. se puede llegar en forma logica a la probabilidad de obtener "cruz" en el lanzamiento de una moneda, o bien tres "caras" cuando se lanzan al are tres monedas. De la misma forma. tampoco se tierie que realizar un experimento para determinar la probabilidad de que su declaracin de impuestos fiscales sea sometida a una auditoria. si hay 2 millones de declaraciones que se envian a la oficina fiscal de recaudacitn de su distrito y se va a realizar una auditoria slo a 2 400. Suponiendo que todas las declaraciones tengan la misma probabilidad de ser auditadas. la probabilidad de que o au- ditaran seria 0.0012. que se obtiene al dividir 2 400 entre 2 millones. Es obvio que la probabilidad de que su declaracin sea sometida a una auditoria es muy pequea (o remota.)

Concepto emprico Otro modo de definir la probabilidad es basndose en las frecuencias relativas. La probabilidad de que un evento ocurra se determina observando en que fraccin de tiempo suce- dieron eventos semejantes en el pasado. Utilizando una frmula:

de qi,e suceda un evento Numero de veces que ocurrio e everito en el pasado Numero total de obse~aclones

Se efectu un estudio con 751 egresados de la carrera de administracin de empresas, i en la Universidad de Toledo (EUA). Este experimento revelo que 383 de los 751 egresa i dos no estaban empleados de acuerdo con su principal rea de estudio. Por ejemplo. un ! egresado especializado en contaduria, ahora es gerente de mercadotecnia en una em- i presa empacadora de tomates. Cul es la probabilidad de que un egresado de admi- : nistracion labore en una rea distinta a la de sus estudios universitarios?

Probabilidad de que suceda u n evento Numero de veces que ocurrio el evento en e pasado ~~ ~ ~ ~~~. ~ Nhe ro totalde observaciones

Para simplificar, se pueden utilizar letras o nmeros; P corresponde a probabilidad. y en ; este caso P(A) indica la probabilidad de que un graduado no labore en el rea principal ; de sus estudios universitarios. evento A.

Puesto que 383 de los 751 egresados. es decir, 0.51 en terminos de probabilidad. estan en un campo laboral diferente al de su rea de estudio. se puede emplear esto como una estimacin de la probabilidad. En otras palabras. con base en la experiencia. existe una probabilidad de 0.51 de que un graduado en administracin labore en un campo distinto del de su rea de estudios.

I'robahiliclad siihjetiva SI existe poca o ninguna experiencia en la cual se pueda basar una probabilidad, puede de- terminarse una probabilidad en forma subjetiva Fundamentalmente. esto significa evaluar las opiniones disponibles y otra informacin para despues estimar o asignar la probabilidad. Ati- nadaniente. a este concepto se e denomina probabilidad subjetiva.

to de I>robal>ili

Son ejemplos de probabilidad subjetiva: 1. Estimar la posibilidad de que el equipo de los Patriotas de Nueva Inglaterra participen en

el juego del Sper Tazn de futbol americano para el prximo ao en (EUA). 2. Evaluar la probabilidad de que la empresa General Motors Corp. pierda su lugar numero

1 en el total de unidades vendidas, frente a la Ford Motor Co., o a la Chrysler Corp., en un lapso de dos aos.

3. Estimar la posibilidad de que usted obtenga una calificacin de 10 en este curso. En resumen. hay dos puntos de vista con respecto a la probabiiidad: el objetivo y el sub-

jetivo. Se observ que una expresin probabilistica siempre constituye la estimacin de u11 vaior desconocido que regir un evento que an no sucede. Desde luego, hay una extensin considerable en el grado de incertidumbre que rodea a tal estimacin, el cual se basa princi- palmente en el conocimiento que posea la persona que analiza el proceso en cuestin. El in- dividuo sabe lo suficiente acerca del lanzamiento de un dado normal, y puede indicar que la probabilidad de que caiga un "uno" al lanzarlo, es 116. Pero conoce muy poco acerca de la aceptacin en el mercado de un nuevo producto todavia no probado. Por ejemplo. aunque una directora de investigacin de mercado pruebe un producto nuevo en 40 supermercados. e indique que hay 70% de probabilidad de que el producto tenga ventas de mas de un mi- iln de unidades, sabe muy poco acerca de la forma en que reaccionarn los consumidores cuando el producto se introduzca en el mercado nacional. En ambos casos (cuando se lanza un dado y en la prueba de un producto nuevo) una persona asigna un valor de probabilidad a un evento de inters, y slo existe diferencia en la confianza del pronstico en cuanto a la precisin de la estimacin. Sin embargo, sea cual fuere el punto de vista, se aplicarn las mismas leyes de probabilidad (que se exponen en las siguientes secciones.)

Autoexamen 5.2 l . Se va a seleccionar al azar una carta de una baraja americana de 52 naipes. Cual es la probabilidad de que la carta elegida sea una reina? Que enfoque de la probabilidad utili- z para contestar a esta pregunta?

2. El Centro Nacional de Estadisticas de Salud de Estados Unidos, inform que de cada 883 decesos, 24 se debieron a accidentes automovilisticos, 182 al cncer, y 333 a enfermeda- des del corazn. Cul es la probabilidad de que una muerte especifica se deba a un accidente de automvil? Que enfoque de la probabilidad utiliz para contestar a esta pregunta?

3. Cual es la probabiiidad de que el Promedio Industrial Dow Jones (PIDJ) sobrepase e valor de 12 000 antes que llegase el Tercer Milenio? Que enfoque de la probabilidad utiliz para contestar a esta pregunta?

-

Eiercicios 1. Algunas personas en IEUA) estan a favor de la reduccion en os beneficios del Seguro Social.

a fin de lograr un presupuesto equilibrado. en tanto que otras estan en contra. Se seecciona- ron dos personas y se registraron sus opiniones. Mencione los resultados posibles.

2. Un inspector de control de calidad eligi una pieza fabricada para probarla. Posteriormente se establece si la parte se acepta, se repara. o se desecha. Despus se prueba otra. Mencione todos los posibles resultados de este experimento.

3. Una encuesta en un grupo de 34 estudiantes de una escuela de administracin. revela la siguiente seleccin de carreras profesionales:

! Contaduria 10 1 ' Finanzas 5

Sistemas de informacin 3 Administracin 6 Mercadotecnia 1 U

~ -~ -~ ~~

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Suponga que selecciona un estudiante y se considera su eleccin profesional. a ) Cual es la probabilidad de que el o ella estudie la carrera de administracin? b) Qu concepto de probabilidad utilizo para hacer tal estimacin?

4. Una empresa grande planea contratar a un nuevo presidente y ha preparado una lista final de cinco candidatos, todos igualmente capacitados. Dos son miembros de un grupo de minora social. La empresa decide seleccionar a presidente mediante un sorteo. a ) Cual es a probabilidad de que contraten a un integrante de a minoria? b) Que concepto de probabilidad utiliz para llegar a tal conclusin?

5. El departamento de via publica. en la ciudad de Whitehouse, lllinois, esta considerando am- pliar la Avenida Indiana a tres carriles. Antes de tomar una decisin, se pregunto a 500 ciuda- danos si apoyaban la ampliacin. a ) 'Cul es el experimeiito? b) 'Cules son algunos de los eventos posibles? c) Mencione dos resultados posibles.

6. El presidente del comit directivo de la empresa Rudd lndustries pronunciara maana un dis- curso ante os accionistas de la compania, explicando su opinin en lo concerniente a que dicha corporacin debe fusionarse con la empresa Zimmerman Plastics. Ha recibido seis cartas por correo respecto a este asunto. y esta interesado en conocer el numero de remitentes ex- ternos que estn de acuerdo con el. a ) Cual es el experimento? b) Cuales son algunos de los posibles eventos? c) Mencione dos resultados posibles.

7. En cada uno de los casos siguientes indique si se utiliza la probabilidad clsica, emprica o subjetiva. a ) Una jugadora de basquetbol realiza 30 canastas (o encestes) en 50 tiros por faltas. La pro-

babilidad de que efectue bien el siguiente tiro es 0.6. b) Se formo un comit de alumnos ritegrado por siete miembros para estudiar asuntos am-

bientales. Cuai es la probabilidad de que uno de ellos sea elegido como el vocero? c) Considere que usted compra uno de los 5 millones de billetes que se vendieron en el sor-

teo de loteria. Cual es la probabilidad de que gane el premio mayor de uii milln de dolares?

d) La probabilidad de que ocurra un sismo en el norte de California en los prximos 10 arios. es 0.80.

8. Una empresa conceder un ascenso a dos empleados de un grupo de seis hombres y tres niu- jeres. a) Mencione los resultados de este experimento si hay inters especial relacionado con la

igualdad de gnero sexual. b) Que concepto de probabilidad utilizaria para calcular esas probabilidades?

9. Hay 52 cartas en una baraja americana. a ) Cual es a probabilidad de que la primera carta que se saque sea una de espadas? b) 'Cul es a probabilidad de que a primera carta seleccionada sea el sota de espadas? c) Que concepto de probabilidad ilustran los incisos a y b7

10. Se lanza un solo dado a ) Cual es la probabilidad de que caiga un "dos"? b) Que concepto de probabilidad se ilustra con esto? c) Los resultados para los numeros del "1" al " 6 son igualmente probables y mutuamente

excluyentes? Explique 11. Se selecciono una muestra de 40 ejecutivos para que respondieran a un cuestionario de prue-

ba. Una pregunta relacionada con aspectos ambientales requiere una respuesta de si o no. a ) Cul es el experimento? b) Mencione un evento posible. c) Diez de los 40 ejecutivos respondieron "si". Con base en as respuestas de la muestra.

cul es la probabilidad de que la respuesta de un ejecutivo sea afirmativa? d) Qu concepto de probabilidad ilustra esto? e) Cada uno de los resultados posibles son igualmente probables y mutuamente excluyentes?

12. Una muestra de 2 000 conductores con licencia revel la siguiente informacion relacionada con el nmero de infracciones de transito.

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Numero de infracciones Nmero de conductores 1 - O 1910 i 1 46 2 18 3 4 9 5 o nias 5

--

Total 2 O00

l 2 i L - .. ~ a) De que experimento se trata? b) Mencione Lin evento posible. c) Cual es la probabilidad de que un conductor especifico haya cometido exactamente dos

infracciones? 4 Que concepto de probabilidad ilustra esto?

13. En ia actualidad los clientes bancarios seleccionan su propio numero de identificacin personal (NIP) de cuatro dgitos. para utilizario en los cajeros automaticos. a) Considere esto como un experimento y mencione cuatro resultados posibles. b) Cual es la probabilidad de que el serior Jones y laseiiora Smth seleccionen el mismo NIP? c) Que concepto de probabilidad utiliz para contestar a la pregunta anterior?

14. Un inversionista compra 100 acciones de AT&T y registra el cambio diario de precio. a) Mencione los eventos posibles para este experimento. b) Calcule la probabilidad para cada evento que considero en el inciso anterior c) que concepto de probabilidad utilizo en el inciso b7

Algunas reglas de probabilidad Ahora que se ha definido la probabilidad y se han descrito los diferentes enfoques de !a misma. se examinarn las combinaciones de eventos mediante la aplicacin de las reglas de adicin y de multiplicacin.

Reglas de adicin Dos eventos mutuamente Regla especial de adicin Para aplicar la regla especial de adicin, los eventos deben de excluyentes no pueden ser mutuamente excluyentes. Recurdese que mutuamente excluyente significa que cuando ocurrir al mismo tiempo. ocurre un evento, ninguno de los otros puede suceder al mismo tiempo. Un ejemplo de even-

tos mutuamente excluyentes es el experimento de tirar un solo dado, con los eventos ''el numero 4 o mayor" y "el numero 2 o uno menor". Si el resultado se encuentra en el primer grupo (4. 5 y ti} no puede estar tambin en el segundo grupo (1 y 2). Y un producto industrial que sale de una lnea de ensamble no puede ser defectuoso y satisfactorio al mismo tiempo.

Si dos eventos A y B son mutuamente excluyentes, la regla especial de la adicin indica que la probabilidad de que ocurra uno u otro de los eventos, es igual a la suma de sus probabilidades. Esta regla se expresa en la frmula siguiente:

REGLA ESPECIAL DE ADICI~N pyi O B) = P(A) + P(B) i5.21 Para tres eventos mutuamente excluyentes, representados por A. B y C, la regla se ex-

presa como: P(A o B o C) = P(A) + PIB) + P(C)

EJEMPLO Una rnaqufna automatica Shaw llena bolsas de plastico con una mezcla de frijoles, bro colis y otras legumbres La mayor parte de las bolsas contiene el peso correcto, pero debido a ligeras variaciones en el tamao de las verduras, un paquete puede tener un peso

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ligeramente menor o mayor. Una verificacin de 4 000 paquetes que se llenaron el mes pasado revelo lo siguiente:

~ .~~~~~ ..

Nmero de Probabilidad Peso Evento paquetes de ocurrencia

.. . ~p-~ ~. . ~~

Menor A 1 O0 0.025 1 O0 &~ Satisfactorio 0 3 600 O

~ ~

4 000 1 000 ~~ - ~-~-p ~ p~~ ~~ ~ -- ~

LCual es ia probabilidad de que un determinado paquete tenga un peso menor o mayor?

S O L U C I ~ N El resultado "peso menor' es el evento A. El resultado '"peso mayor" es el evento C. Apli. cnrido la regla especial de adicin:

Observe que los eventos son niutuamente excluyentes, lo ciial sigiiifica que un paquete con legumbres mixtas no pirede tener peso menor, peso satisfactorio y peso mayor, al inismo tiempo. Estos eventos son tambin colectivamente exhaustivos. lo que significa que un determinado paquete deber tener un peso menor. un peso satisfactorio o un peso mayor.

Un diagrama de Venn es El experto en lgica. de nacionalidad inglesa. J. Venn (1835-18881 ide un diagrama pa- lin niedio til para repre- ra representar grficameiite el resultado de un experimento. El concepto rnutuarnente excili- sentar la reglade adicion yenfe y otras reglas diversas para combinar probabilidades pueden visiializarse empleatido o la de rnultiplicacion este recurso. Para elaborar iin diagrama de Venn. primero se deiriiita un espacio en u11 pla-

iio que representara todos los resultados posibles. Este espacio genernlrriente tiene forina de rectjngiilo. Un evento se representa mediante un circulo, cuya afea es proporcional a la pro- habilidad del evento, y se dibuja dentro del rectngulo. El sigiiiente diagrarna de Venn representa el concepto mutuarnerite excliiyente. Los eventos no se sobreponen, lo cual indica que son mutuamente excliiyentes.

.. ...~ . ~ ~~.

!

La probabilidad de que una bolsa de legumbres niixtas tenga inenos peso, P(A). mas la probabilidad de que no sea iiria bolsa con peso merior, que se ii?drca P(--A) y se lee "no A . debe ser Iogcamente igual a 1 . Fsto se expresa como sigue:

Lo anterior puede expresarse con a regla del complemento:

REGLA DEL COMPLEMENTO P(A) = 1 - P(-A) i5.31 Esta es la regla del complemento. Observe que los eventos A y --A son mutuaniente ex-

cliiyentes y colectivamente exhaustivos. La regla del complemento se ~it i l ira para determinar la probabilidad de que ocurra un

evento restando de 1 la probabilidad de que el evento no ocurra. Un diagrama de Venn qiie iliistre la regla del coniplenicnto seria.

EJEMPLO

S O L U C I ~ N

Cabe recordar que la probabilidad de que una bolsa con verduras mixtas tenga menos peso es 0.025. y que la probabilidad de que tenga mas peso es 0.075. Aplique a regla del complemento para demostrar que la probabilidad de que una bolsa tenga el peso correcto es 0.900. Ilustre la solucin utilizando un diagrama de Venn.

La probabilidad de que el peso de la bolsa de legumbres no sea el correcto es igual a la probabilidad de que su peso sea mayor, ms la probabilidad de que su peso sea menor Esto es, P(A o Ci = P(A) ; P(C) = 0.025 + 0.075 = 0.1 OO. El peso de la bolsa es satisfactorio si no es menor ni mayor, por tanto P(B) = 1 [P(A)] + [P(C)] = 1 - [0.025 + 0075j = 0.900. El diagrama de Venii que ilustra esta situacin es:

La regia del complemento es iinportante en el estudio de la probabilidad. En muchos casos es mas fcil calcular la probabilidad de que ocurra un evento determinando primero la probabiiidad de que no siiceda, y restando luego de 1 el resultado.

Autoexamen 5.3 Se va a entrevistar un grupo selecto de empleados de la compaia Worldwide Enterprises con respecto a un nuevo plan de pensiones. Se efectuaran entrevistas detalladas a cada uno de los empleados seleccionados en la muestra. stos se clasificaron como sigue:

-

.... . .

Nmero de 7 ! rea de trabajo Evento empleados : - ~~ -~ ~ ~ ~ - ~~-

Supervisi6n A 120 Mantenimiento B 50 Produccion C 1 4 6 0

; Gerencia D 302 ; Secretaral E -- -

68

a Cul es la probabilidad de que la primera persona seleccionada: (i) sea empleado de mantenimiento o una secretaria? (11) no sea miembro de la gerencia?

b) Elabore un diagrama de Venn mostrando sus respuestas del inciso a). C) Los eventos de la parte a) (1) son complementarios, mutuamente excluyentes. o bien, de

ambas clases?


I,a estadstica en accin

Si ili,rc.i Ilnninila aten- < ihtt PI? 1,' [~r6%iima t e ~ ~ . ,,i,,, 1, 12 cp,c >,$ihk+. ,,,,,,,,tic .

En la expresion P@ o 5). la palabra "o" indica que puede ocurrir A. o bien que puede ocurrir 5. Esto incluye asimismo la posibilidad de que ocurran A y B. A este uso de la "o" a veces se le llama inclusivo. Dicho de otra forma. quiz uno vera con agrado que ocurran ambos. A y B. o bien que suceda cualquiera de los dos.

'Cuai es la probabilidad de que una carta elegida al azar d~ una baraja americana sea un rey o una reina de corazones7

S O L U C I ~ N Uno puede pensar en sumar la probabilidad de que salga un rey y la probabilidad de que se teriga una carta de corazones. Pero esto crea un problema. Si se hiciera as, el rey de corazories se contara con los reyes y tambin con las cartas de corazones. En coiise- cuencia, si solamente se suma la probabilidad de un rey (hay 4 en la baraja de 52 naipes) a la probabilidad de una carta de corazones (hay 13 en una baraja de 52 naipes) y se indica que 17 de las 52 cartas satisfacen el requisito. se habra contado dos veces al rey de corazones. Se necesita restar 1 carta de las 17 para que el rey de corazones se considere una sola vez. Por tanto, hay 16 cartas que son de corazones. o de rey. En conse- ciiericia la probabilidad es 16/52 2 0.3077.

. ~ ~ ~~ ~- - ~ . ---

Caria Probabilidad Expiicacion ~- ~ -~ ~~ . ~ ~ ~ ~ ~~ ~ ~

~~~ ..

He v PPd 4/52 Hay 4 reyes en la baraja de 52 cartas Cotarones p(BI 13152 Hay 13 cartas de corazones e i i la baraja de 52 naipes Rey de cotazoiiss P(A y BI - 1/52 Hay 1 rey de corazones en la baraja de 52 cartas

.~ ~ .~ .--~ - -. -- - .

Utilizando la formula (5.4):

4/52 i 13/52 - 1/52 16/52, o bien O 3077

Un diagrama de Venn presenta estos resultados que no son mutuamente excluyenies

Reyes Ci~ra~


Autoexamen 5.4 Como parie de un programa de servicio de salud para los empleados de la empresa General Concrete. se efectan anualmente examenesfisicos de rutina. Se descubri que 8% de los empleados necesitaban zapatos correctivos; 15%, un trabajo dental imporiante: y 3%. requerian tanto zapatos correctivos como un trabajo dental inayor. a) 'Cual es la probabiiidad de que un empleado seleccionado al azar necesite calzado correc-

tivo o un trabajo dental considerable? b) Muestre esta situacin coii un diagrama de Verin.

Ejercicios 15. Los eventos A y B son mutuamente excluyentes. Supngase que P(A) : 0.30 y P(B) : 0.20.

'Cual es la probabilidad de que ocurra A o B? Ciial es la probabilidad de que no suceda ni A ni B?

16. LOS eventos X y Y son mutuamente excluyentes Supongase que P!X) = 0.05 y P(Y) = 0.02. Cual es la probabilidad de que ocurra X o Y? Cual es la probabilidad de que no suceda X ni Y7

17. Un estiidio eii 200 cadenas de tiendas de comestbies revelo estos iiigresos (en dolares). despues del pago de impuestos:

1 ~~~ ~ - ~ ~~ ~ Ingreso (en dolares) despus de impuestos Cantidad de empresas -~ ~ ~~ ~ ~- ~~ ---- ~ Menos de 1 niiliii 102 De 1 iiiillon a 20 millones 61 De 20 iiiilnnes o mas 37 ~ ~ 1 ~~~ - ~ ~- ~ 1

a) 'Cual es a probabilidad de que uria cadena determnada teiiga menos de 1 miloii (dedo- lares) de ingresos despus de pagar iinpiiestos?

b) 'Cual es la probabilidad de que una cadena de tiendas seleccionada al azar tenga un ingreso entre 1 milln y 20 mitones, o un ingreso de 20 millones o mas? 'Que regia de probabilidad se aplico?

18. Un estudio de as opiriiones de diseadiires eii lo referente al color primario mas conveniente para aplicar en oficinas ejecutivas indico:

~ ~

~~ ~ ----- ~ -~~~~ ~~ ~~~ ~ ~ ~p

1 Color primario NUmero de opiniones 1~~ ~ ~ ~ Color primario Numero de opiniones ~~ - ~ - .. ~~~ -

Rojo 92 Ariil 37 Naranja 86 lndiy 46 An~aiilln 46 Violeta 2 Verde

1 9 1

~

~ ~ .- -~~ -. . . . ~ ~-

i j

a) Cual es el experiinento? b) Cual es uri evento posible? c ) 'Cual es la probabilidad de seleccioiiar uria respuesta especifica y descubrir que el dise-

ador prefiere rojo o verde? d) 'Cual es la probabilidad de que un disenador no prefiera el amarillo?

19. El presiderite de una Junta de Directores dice: "Hay 50% de posibilidad de que esta compaia tenga iitilidades. 30% de qiie quede a nivel, y 20%i rle que pierda dinero el siguiente trimestre." a) Utilice la regla d r adicin para encontrar la probabilidad de que no se pierda dinero el pr-

xiiilo trimestre. b) Ose la regla del conipleinento para encoritrar la probabilidad de que no pierda dinero el

prOxim0 trlnlestre. 20. Suporiga qiie la probabilidad de que usted obtenga irna calificacin de A en el curso de esta

nlateria es 0.25. y la de que teriga iina B. es 0.50. ,Cual es la probabilidad de aue su califica- cien sea rnayor que iina de C?

21. Se tira iin solo dado. El everitoA es "sale un 4". el evento B es "sale un niiniero par", y el even- to C corresponde a ';sale un numero impar". Considere todas las parejas posibles de estos eventos e indique si son mutuamente excluyentes. Despues ideiitifique si son conipiementarias.

22. Se arizan dos monedas al aire S A es ei evento 'caen dos caras" y B es e evento '.caen dos cruces". son A y B mutuamente excuyentes? Son eventos complementarios?

23. Las probabilidades de los eventos A y B son 0.20 y 0.30. respectivamerite. La probabilidad de que tarito A como B ocurran es 0.15. 'Cul es la probabilidad de que suceda A o E?

24. Sea P(X) 0.55 y P(Y) = 0.35. Siipongase que la probabilidad de que ambos ocurrari es 0.20. Cual es la probabilidad de que ocurran X o Y?

25. Suporiqase que los dos eventos A y B son mutuamente excluyentes. Cual es la probabilidad de su ocurrencia conjunta?

26. Uii estudiante est tomando dos cursos. Historia y Matematicas La probabilidad de que apruebe e curso oe Historia es 0.60. y la de que apruebe el curso de Matematicas. es 0.70. La probabilidad de que apruebe urnbos es 0.50. Cual es la probabilidad de que pase al menos uno?

27. Una encliesta a ejecutivos de alto nivel en EUA, revelo que 35% leen con regiilaridad la revista Time. 20%) leen Newsweek. y 40% leen U.S. News & Worid Report. Un 10% lee tanto Time como U.S. News & Worid Report. a) Cual es la probabilidad de que un elecutivo determinado lea Time. o bien. U.S. Nervs &

World Hepoi? con regularidad? b ) Corno se denomina a a probabilidad con valor de 0.107 C) LOS everitos son mutuamente excluyentes? Explique ia respuesta.

28. Un estiidio reahzado por el Servicio de Parques Nacionales (de Estados Uriidos) revelo que 50'96 de los vacacionistas que viajan a la regin de las Montaas Rocosas van al Parque Ye- Iowstoiie. 40% visitan Tetons. y 35% van a ambos sitios. a) Cual es la probabilidad de que un vacacionista visite al menos una de estas atracciones? b) Conlo se denomina a la probabilidad 0 35? c) Los everitos son mutuaniente excluyentes7 Explique sii respuesta.

Reglas cci:il l ic; ici( i i i La regla especial de la multiplicacin requiere que dos eventosA y B sean independientes. Dos eventos son indeperidientes si la ocurrencia de uno no altera la probabilidad de que suceda el otro. De nianera que si los eventos A y B son independientes. la ocurrencia de A no altera la probabilidad de B.

Indepeiidiente La ocurrencia de un evento no tiene efecto en la probabilidad de la ocurrencta de cualquier otro evento

Si dos eventos A y B son independientes, la probabilidad de que ocurran A y B se obtiene multiplicando las dos probabilidades. sta es la regla especial de multiplicacin. que ex- presada eri foriria simblica es:

REGLA ESPECIAL DE MULTIPLICACIN P(A y 8) = P(A)PIBj 15.51

Esta regla para combinar probabilidades supone que un segundo evento no se ve afectado por el primero. Para ilustrar lo que significa independencia de eventos. suponga que se lanzan al aire dos monedas. El resultado de una (cara o cruz) no se ve afectado por el resultado de a otra moneda (cara o cruz.) Puesto de otra forma. dos eventos son independientes si el resultado de un segundo evento no depende del resultado del primero.

Para tres eventos independientes A, E, C. la regla especial de multiplicacin que se uti i- za para determinar la probabilidad de que ocurran los tres eventos es:


EJEMPLO Eri tina encuesta realizada por la American Autornobile Association (M) (Asociacin Au- : tomovilistica de EUA) encontr que 60'96 de sus socios liicieron alguna reservacion en : una linea aerea el ano pasado. Se tonian dos integrantes al azar. Cual es la probabtli dad de que ambos hayan hecho una reseniacin en alguna linea aerea?

SOLUCIN La probabilidad de que el priiner socio haya hecho una reseniacion en alguna linea a- rea es 0.60, que se escribe P(R,) = 0.60 donde R, se refiere al hecho de que el primer socio haya hecho Lina reservacin La probabilidad de que el segundo socio que se selecciono haya hecho uiia reservacion es tambin 0.60. de manera que P(R,I : 0.60. Como el numero de socios de la AAA es muy grande. se puede suponer que R, y R? son independientes, Por tanto. usando la frrnula 5 5. la probabilidad de que ambos hayan hecho una reservacion es 0.36. que se obtiene de:

Todos los resultados posibles se puederi niostrar coino siqtie R sigiiifica se hizo i l ~ d resewacion y NR indica no se hizo ninguna reservacion

Autoexamen 5.5 l . Debido a su larga experiencia. en la compaia Tetoii Tire se sabe qiie a probabdad de qiie su neurnatco XB-70 dure 60 000 milas antes de perder e dibujo o fallar es 0.80. Se liace iin ajuste para el caso de cualquier llanta que no resista dicho recorrido. Usted compra cuatro neumatcus XB-70. &Cual es la probabilidad de que los ctiatro neumAticos du- ren por lo nierios 60 000 niillas?

2. Segun se mencion en un ejenipo anterior, una inaquina autornatica Shaw llena bolsas de pastco con una mezcla de legumbres. La experiencia indica que algunos paquetes tuvieron menos peso. y algunos. peso de inas, pero la mayoria tiene un peso satisfactorio.

~ - 1 Peso de paquete Prababilidad ~- ~ ~ ~ 1

Ilisuficienle Satisfactoiio 0.900 txcedidu O O o 7 < 075 1

-~

a) Cual es la probabilidad de seleccionar hoy tres paquetes de la linea de procesamien- to de alimentos. y encontrar que a los Ires les falta peso?

b) ,Qu significa esta probabilidad?

Si dos eventos i io son independientes, se dice obvianiente que son dependientes. Para ilustrar la deperidencia. suponga qiie hay diez rollos de pelicula fotografica eii una caja y que se sabe que tres estaii defectuosos. Se selecciona iirio. Es obvio que la probabilidad de escoger un rollo cori defectos es 3/10. y la probabilidad de seleccionar uno satisfactorio es 7/10. Despus se elige un seqiiiido rollo de la caja sin devolver el primero a esta. La proba-

bilidad de que sea defectuoso depende de si el primer rollo seleccionado no fue aceptable. La probabilidad de que tambin el segundo rollo tenga defectos es:

219, si el primer rollo seleccionado fue defectuoso. (Quedaran slo dos rollos defectuosos en la caja, que contiene nueve piezas.)

319. si el primer rollo seleccionado fue bueno. (Los tres rollos defectuosos siguen estan- do en la caja que contiene nueve rollos.)

A la fraccin 219 (o bien, a la 3\91 se le denomina apropiadamente probabilidad condicional porque sil valor est condicionado por (depende de) que el primer rollo que se sac de la caja haya sido defectuoso o no.

Probabilidad condicional Es la probabilidad de que ocurra un evento determinado, dado que otro evento ya haya sucedido.

Regla general de multiplicacin La regla general de multiplicacin se utiliza para determinar la probabdidad conjunta de que ocurran dos eventos, como seleccionar dos rollos fo- togrficos defectuosos de una caja con diez rollos, uno despus del otro. En general. la regla establece que dados dos eventos A y B. la probabilidad conjunta de que ambos ocurran se encuentra multiplicando la probabilidad de que suceda el evento A. por la probabilidad condicional de que ocurra el evento B. De manera simboiica. la probabilidad conjunta P(A y B) se obtiene como sigue:

REGLA GENERAL DE MULTIPLICACIN P(A y 6 ) = P(A)P(BIA) i5.61

donde P(BJAI expresa la probabilidad de que ocurra B dado que ya sucedi6 A. La raya ver- tical simboliza "dado que".

EJEMPLO Para mostrar el uso de la forniula. se considerar de nuevo el ejemplo anterior de los diez ; rollos de pelicula en una caja, tres de los cuales estn defectuosos. Se van a seleccio- j nar dos, uno despus del otro. Cul es la probabilidad de escoger un rollo con defec- 5 tos seguido de otro tambin defectuoso?

S O L U C I ~ N El primer rollo seleccionado de la caja. que result con defectos. es ei evento A. De mo- / do que P(A) - 311 0 porque tres de los diez rollos tenan defectos. El segundo rollo seleccionado. que tambin era defectuoso. es el evento B. Por tanto, P(BIA) :. 219, porque ; despus que el primer objeto seleccionado fue un rollo con defectos. solo quedaron dos : rollos "defectuosos" en la caja que contenia nueve. La probabilidad de dos rollos defec- j tuosos es [aplicando la frmula (5.6)]: !

Se supone que este experimento se realiz sin reposicin (o reemplazo); es decir. el primer rollo defectuoso de pelicula no se devolvi a la caja antes de seleccionar el siguiente rollo. Tambin debe observarse que la regla general de multiplicacin puede ampliarse 1 a ms de dos eventos. Para el caso de tres eventos: A, B y C, la frmula seria:

PIA y B y C) - P(A)P(B i AIP(C l A y B) Como ejemplo. a probabilidad de que los primeros tres rollos seleccionados de la caja I sean todos defectuosos es 0.00833. que resulta de calcular:

PalacioResaltado

PalacioResaltado


Autoexamen 5.6 El consejo directivo de la empresa Tarbell lndustries est integrado por ocho hombres y cuatro muieres. Se seleccionar al azar un comite de cuatro integrantes. al azar, para recomendar a un nuevo presidente de la compaiiia.

a) Cul es la probabilidad de que sean mujeres los cuatro integrantes del comit de investigacin?

b) 'Cual es ia probabilidad de que los cuatro integrantes sean hombres? c) La suma de las probabilidades de os eventos descritos en los incisos a y b es l? Ex-

plique su respuesta.

A continuacin se presenta otra aplicacin de la regla general de multiplicacin. Una encuesta a ejecutivos se enfoc a su lealtad a la empresa. Una de las preguntas planteadas fue: "Si otra compaia ie hiciera una oferta igual o ligeramente mejor que la de su puesto actual. permanecera con la empresa o tomaria el otro empleo?" Las respuestas de los 200 ejecutivos de la encuesta se clasificaron en forma cruzada con su tiempo de servicio en la compaia. Vea la tabla 5.1.) Al tipo de tabla que resulta, se le denomina tabla de contingencias.

Tiempo de servicio 1 - ~p .. . . --

Menosde l a 5 6a10 Masde 1 Lealtad 1 ano aos aos 10 aos Total

EJEMPLO 'Cual es la probabilidad de seleccionar ai azar un ejecutivo que sea leal a ia empresa (se i quedarla) y que tenga mas de 10 anos de servicio', S O L U C I ~ N Observese que ocurren dos eventos al mismo tiempo el ejecutivo permaneceria en la

empresa y tiene mas de 10 aos de servicio

1. El evento A ocurre si un ejecutivo seleccionado al azar permaneciera en la empresa ; a pesar de que otra compania le hiciera una oferta igual o ligeramente mejor. Para en- 1 contrar la probabilidad de que suceda el evento A, consulte la tabla 5.1. Se observa que hay 120 ejecutivos. de los 200 que participaron en la encuesta, que permanece- f rian con su empresa actual. de manera que P(A) - 1201200, o 0.60. l

2. El evento B, ocurre si un ejecutivo seleccionado al azar tiene mas de 10 aos de servicio en la empresa. De esta forina, P(BA) es la probabilidad condicional de que un ; ejecutivo con mas de 10 aos de servicio permanezca en la empresa a pesar de que otra compafiia le haga una oferta igual o ligeramente mejor. Al consultar la tabla de contingencias, tabla 5.1, 75 de los 120 ejecutivos que se quedaran tienen mas de y 10 anos de servicio, de manera que P(6, IA) = 751120.

t La probabilidad de que un ejecutivo seleccionado al azar sea uno de los que se quedarian en la compaia y de los que tienen ms de diez aos de servicio, se determina utilizando la regla general de multiplicacin que indica la frmula (5.6): !

1 Autoexamen 5.7 Refirase a la tabla 5.1. Utilizando la regla general de multiplicacin. cul es la probabilidad 1 de seleccionar aleatoriameiite un elecutivo que no perrnaneceria con la empresa y que tenga menos de un ao de sewico?

Diagrarnas de rbol Un diagrama de rbol es una representacin grafica til para organizar cilculos que abar- can varias etapas. Cada segmento en e rbol es iiiia etapa del problema. Las probabilidades escritas cerca de las ramas son las probabilidades condicionales del experimento. Para mostrar la elaboracin de un diagrama de arbol utilizaremos los datos de la tabla 5.1

Pasos para elaboiar 1. La elaboracin de un diagrama de rbol comienza trazando un pequeo punto a la iz- un diagrama de irbol. quierda. el cual representa la raiz del rbol (vea el diagrama 5.1)

120 Menos rle 1 i i io - x '0 0.050 200 120

25 80 25 O,I25 gn-, Meiio:, ilii I ao - 1 200 ao /'

\ ,,'l 5 , .,, Rj-, * a 5 ?tic>!; 53 - . ~ 1 - 0275 221: 81 1 periiianecerarr

-- 80 X 'O O 050 200 80

80 Ms tic, 1 C :,,lo,; \ !) 150 i i-0 v.;)

-

r~-.~p- ~. ~

! El total debe 1 (y] - ~ p ~ - ~ ~--p~ ~~ ~~

DIAGRAMA 5.1 1)i;igraiiia dc :irl>ol

Revisinn de algunos conceptos de probabilidad 169

2. En este problenia saleri dos ranias priiicipales de la raz. la superior representa la opcin "se quedarian" y la iriferor la de 'no se quedarian". Las probabilidades se indican en a s ramas. especificamente 120R00 y 801200. Se simbolizan por P(A) y P(-A).

3. Cuatro ramas secundarias ,'se desprenden" de cada rarna principal. y corresponden a o s tiempos de servicio: merios de 1 ano. 1 a 5 aos. 6 a 10 aos y mas de 10 anos. Las probabilidades condicionales para la rama superior de! arbol. a saber 101120. 301120. 5;120. e t c se indican sobre a s rariias correspondientes. Se trata de a s probabilidades P(B. 1 A). PIE, 1 A). P ( B 1 A) y P(Bi 1 A). donde E, se refiere a menos de 1 aiio de seivicio. B corresponde a 1 a 5 aos; B es para 6 a 10 anos. y B, a mas de 10 anos A contnua- c o n se escribe11 las probabilidades condicionales de a rama inferior

4. Por ultimo. a s probabilidades conjuntas de que los eventosA y B ocurran al mismo t e m - po. se muestran en el lado derecho. Por ejemplo. a probabilidad conj~inta de seleccioiiar a1 azar un eleciitivo que pernianeceria en a empresa y que tiene menos de un ano de servicio es. utilizando la forniula (5.6):

Debido a que a s probabilidades coiijuntas representan a todas las selecciones posibles Ice quedarian. 6 a 10 anos de servicio. no se quedarian, m i s de 10 aos de servicio: etc.). deben sIimar 1.00 (vea el diagrama 5.1 1

Autoexamen 5.8 1 Refirase al contenido del diagrama 5.1. Explique que ruta seguria para encontrar a probabilidad conjunta de seleccoiiar ~ i r i ejecutivo al azar. qiie tenga de 6 a 10 anos de seiv- cio y qiie iio pernianeceria en la empresa al recibir una oferta g~ral o ligeramente mejor de parte de otra compaia.

2. Se selecciono Lina mLiestra a azar de os empleados de a empresa Hardware Manufactu- rng Co para determinar sus panes de lubiacion despues de haber cumplido 65 anos. Los seleccionados en la muestra se dividieron en las areas de gerencia y produccon Los re- sLlItados fueron.

~ .. ~~

Planes despues de 10s 65 aos ~ ~ ~

Empleado Se retira No se retira Total -~ ~ -------- ~ ~

~~

Gerencia S 15 20 Prntlu~cio~~ 30 SO 80

100 j L-- ~-~~ - ai Corno se denomina esta tabla? b) Elabore Lin diagrama de arbol y determine las probabilidades conjuntas. c) Estas probabilidades conjuntas suman 100? 'Por que7

Ejercicios 29. Siiponqa que P[A) 0.40 y P(B / A) 0.30. Cual es a probabilidad corijurita de A y B? 30. Considere que PIX,) 0.75 y PIY, 1 X : ) 0.40. Cual es la probabilidad conjunta de X : y Y"? 31. Un banco local reporta que 80% de sus clientes tienen una cuenta de cheques, 60% una

cuenta de ahorros. y 50% tieneri ambas. Si se selecciona iin cliente al azar, cual es la probabilidad de qiie este tenga una cuenta de cheques o una de ahorros? Cual es la probabilidad de que e cliente no tenga ninguna de las dos?

32. La empresa Al1 Seasoris Plumbinq cuenta con dos camiones de servcio que se descomponen frecuentemente. Si la probabilidad de que el primer camion este disponible es 0.75. la de que el segurido camion tanibien o este es 0.50. y la probabilidad de que ambos camiones esten disponibles es 030. c m es la probablidad de que ningun vehiculo este disporiible?

33. Considere la siguiente tabla

! Primer evento ! evento A, 4 A Total 1

2 1 3 6 1

a) Determine P(A,). b) Establezca P(B. 1 A,). c) Determine P(B, y A:).

34. Cleanbrush Products envio por accidente a una farmacia tres cepillos dentales electricos. que estaban defectuosos. junto con 17 en buen estado. a) Cul es ia probabilidad de que los primeros dos cepillos vendidos se devuelvan a la far-

macia por tener defectos? b) Cual es la probabilidad de que os primeros dos cepillos vendidos no tengan defectos?

35. Cada vendedor en la negociacin Stiles-Compton se califica como "abajo del promedio", "promedio" o "arriba del promedio". con respecto a su aptitud para las ventas. Adems, cada uno se clasifica respecto de su posibilidad de promocion en: regiiar bien, o excelente. En la tabla que sigue se presenta la clasificacion cruzada respecto a estos conceptos. de los 500 vendedores.

- -~ --

Posibilidad de promocin - / ~ptitud en venas egular Buena Excelenie --\

--- /;bajodello 16 12 i ! Promedio 45 60 22 i 45 1 ' Arriba del promedio 93 72 135 ~

a) Como se denomina esta tabla? b) Cual es la probabilidad de que un vendedor seleccionado al azar tenga aptitud para las

ventas por encima del promedio y excelente posibilidad de promocin? c) Trace un diagrama de rbol que muestre las probabilidades normales, condicionaies y con-

juntas. 36. Un inversionista posee tres acciones comunes. Cada accin. independientemente de as otras.

tiene las mismas posibilidades de que (1) aumente su valor, (2) disminuya su valor, o (3) permanezca sin cambio. Mencione todos los posibles resultados de este experimento. Calcule la probabilidad de que al menos dos de las acciones aumenten de valor.

37. El comite directivo de una empresa pequea esta integrado por cinco personas. Tres son "lideres fuertes". Si aceptan un proyecto. lo aprobara11 todos los dems miembros del comite. Los otros integrantes. "Ideres dbiles". no tienen influencia aiguna. Se programa que tres vendedores haran presentaciones de ventas. uno despues de otro. ante un miembro del comite. elegido por el vendedor. Los representantes de ventas son convincentes. pero no saben qui- nes son los "lideres fuertes". Sin embargo, sabran a quien se dirigi el representante de ventas anterior. El primer vendedor que descubra a uno de los lideres fuertes ganar la cuenta. Los tres vendedores tienen la rntsma probabilidad de obtenerla? De lo contrario, evalue sus probabilidades respectivas de ganar dicha cuenta.

38. Si en la unversidad usted pregunta a tres personas desconocidas. cual es a probabilidad de que: (a) todas hayan nacido en un dia miercoles? (b) todas hayan nacido en dias de la sema- na diferentes? (c) ninguna haya nacido en sbado?

Teorema de Bayes En el siglo XVlll el reverendo Thornas Bayes, ministro presbiteriano ingles. plante ia siguiente pregunta: Realmente existe Dios? Ya que estaba interesado en las ciencias matemticas,

Revisin de algunos conceptos de probabilidad 1 - 1

intent desarrollar una formula para llegar a evaluar a probabilidad de que Dios exista. con base en la evidencia de a que el disponia aqu en la Tierra. Mas adelante. Lapace afino el trabajo de Bayes y le dio el nombre de "teorema de Bayes". En forma rnariejable, e teorema de Bayes se expresa as:

P(A,)P(B A l TEOREMA DE BAYES P(A 1 B) ~- ~ ~ . P(A,)P(B I A,) ' P(A,)P(B A?) E.71

en ;icciii En a formula 5.7 se supone que los eventos A. y A,, son mutuamente excuyentes y co-

1 c,, c5t,, . # , ,,,l.% cl, P(AI 1 Bj, qiie se interpreta como: P(se tiene a enfermedad) 1 (Los resultados de la prueba son ,~l,!~,~~\:, l , , , i L , ci, 1 posit~vos). La probabilidad de P(A, / E ] se denomina probabilidad a posteriori. < I flll

i \ l #!~ i t< l ! , , t , 8 1,,;,,+ I ! , , ~ L ~ , I I , , I ~ ~ , 1 ~ 1 ~ ~ I I 1 1 1 , , C ~ ~ ! , , ~

Prol>abilidad a posteriori Es una probabilidad revisada con base en informacin adicional.

1 , 1 - l ~ ~ ~ ~ ' ~ t l ~ ~ l ~ c ~ ~ ~ l ~ ~ 4, Con la ayuda del teorema de Bayes. formula (5.7). es posible determinar a probabilidad

a posteriori.

P(A, 1 8) ~ P(A,)P(B - 4 ) P(A,)P(B A.) ' P(A,)P(B 1 A:)

(0.05)(0.90) 0.0450 ~ ~~ - 0.24 (0.05)(0.90) (0.95)(0.15) 0.1875

EJEMPLO

Por tanto, la probabilidad de que una persona tenga la enfermedad. dado que la prueba result positiva, es 0.24. Como se interpreta este resultado? Si una persona se selecciona al azar de la poblacin, la probabilidad de que padezca la enfermedad es 0.05. Si se aplica la prueba a la persona y resulta positiva, la posibilidad de que en realidad tenga la enfermedad aumenta aproximadamente cinco veces, de 0.05 a 0.24.

En el problema anterior se tenan solamente dos eventos mutuamente excluyentes y colectivamente exhaustivos. los eventos A, y A_. Si hay n eventos de este tipo, A,, A ,,.. A,;. la formula del teorema de Bayes (5.7) se convierte en:

p(A,)P(B l A,) p(A, i B) = ~... . .. ~- ~~ ~~ P(A,)P(B 1 A,) i P(A,)P(B 1 A,) + - - . + P(A,,)P(B i A,)

Utilizando la anotacin anterior. los clculos para el problema en Urnen se pueden resu- mir en la siguiente tabla.

~ ...p....-pp ~ ~ ~-

Probabilidad Probabilidad Probabilidad Probabilidad Evento, a prori, condicional, conjunta, posteriori,

- ~ ~ - - ~ - - ~ L PY, ) P(BI A,) - A , Y 6 ) PiA, I 6 ) Tiene ia erifermedad. A, 0.05 O 90

1 0.0450 0.045010.1875 = 0.24 !

L NO tiene a enferriiedad. A O 95 0.15 0.1425 O 142510 1875 = O 76 -- qB1 0.1875 1 00 , ~ --- ~ - - -~ A continuacin se presenta otro ejemplo que muestra el uso del teorema de Bayes.

. .

Un fabricante de videograbadoras (VCR) compra un circuito integrado. el LS-24. de tres proveedores. Un 30% de los circuitos LS-24 se compran a Hall Electronics. 20% a Schu-

veedor Uii tiabajauor selecciona uno para su instaacor fectuoso &Cual es la probabilidad de que haya sido fabi

ller Sales, y el 50% restante a Crawford Components. El fabricante tiene historiales ex- tensos acerca de los tres proveedores. y sabe que 3% de los circuitos LS-24 de Hall Electronics resultan defectuosos, que 5% de los circuitos de Schiiller Sales son no aceptables, y 4% de los de Crawford Cornponents tienen defectos.

Cuando los circuitos integrados LS-24 llegan al fabricante, se colocan directamen- te en un contenedor, y no son inspeccionados o identifica- dos de algn modo por el pro-

i en una VCR. y lo encuentra de- ricado por Schuller Sales?

S O L U C I ~ N Como un primer paso, se resume enseguida parte de la informacion dada en ei enuncid- do del problema

Existen tres eventos mutuamente excluyentes y colectivamente exhaustivos, que son los tres proveedores:

A, El circuito LS-24 se conipro a Hall Electronics


A, El circuito LS-24 se compro a Schuller Sales A, El circuito LS-24 se compro a Crawford Components

Las probabilidades a priori son

P(A,) = 0.30 La probabilidad de que el circuito haya sido fabricado por Hall Elec- tronics

P(A,) = 0.70 La probabilidad de que el circuito provenga de Schuller Sales P(AJ = 0.50 La probabilidad de que el circuito haya sido fabricado por Crawford

Components La informacion adicional puede ser

6, que el circuito LS-24 sea defectuoso. E, que el circuito LS-24 no sea defectuoso

A continuacon se indican las siguientes probabilidades condicionales

P(B, 1 A , ) = O 03 La probabilidad de que un circuito LS-24 producido por Hall Elec- tronics sea defectuoso

PiB ( A ) O 05 La probabilidad de que un circuito LS-24 producido por Schuller Sales sea defectuoso

P(B l A ) O 04 La probabilidad de que un circuito procedente de Crawford Com- Donents sea defectuoso

Se toma un circuito del contenedor Como o s circuitos integrados no estn identifi- cados segun e proveedor, no se sabe con exactitud ci ia de los proveedores lo fabri- co. Se desea determinar la probabilidad de que el circuito defectuoso sea de los comprados a Schuller Saies. Esta probabilidad se expresa como P(A, 1 B . ) . Observe el informe respecto a la calidad de los productos de Schuller. Es e peor de

los tres proveedores. Ahora que se ha encontrado un circuito integrado LS-24 defectuoso. se sospecha que P(A, 5 , ) sea mayor que P(AI). Esto es. se espera que la probabilidad revisada sea mayor que 0.20 Pero, cunto mayor? El teorema de Bayes puede dar la respuesta. Como primer paso. corisideremos el diagrama de rbol presentado en el diagrama 5.2.

Los eventos son dependientes. asi que la probabilidad a priori en la primera rama se multiplica por la probabilidad condicional en la segunda. para obtener la probabilidad conjunta. Esta probabilidad conjunta se indica en la ultima columna del diagrama 5.2. Pa- ra elaborar el diagrama de rbol de dicha ilustracion. se utilizo una secuencia de tiempos que va desde el proveedor hasta la determinacion de si el circuito fue aceptable o ina- ceptable.

Lo que se requiere hacer es invertir el proceso de tiempo. Esto es. en ver de ir de izquierda a derecha en el diagrama 5.2. se necesita ir de derecha a izquierda en tal grfi- co. Se tiene un circuito defectuoso y se desea determinar la probabilidad de que sea de los comprados a Schuller Sales. Como se logra eso? Primero se observan las probabilidades conjuntas como frecuencias relativas respecto a 1 000 casos. Por ejemplo, la probabilidad de que un circuito LS-24 defectuoso haya sido producido por Hall Electro- nics es 0.009. Por tanto. en 1 000 casos se esperaria hallar nueve circuitos con defectos producidos por Hall Electronics. Se observa que en 39 de 1 000 casos el circuito seleccionado para su montaje sera defectuoso, lo que se obtiene de 9 i 10 + 20. De estos 39 circuitos defectuosos, 10 fueron producidos por Schuller Sales. De esta forma, la probabilidad de que el circuito defectuoso haya sido de los comprados a Schuller Sales es 10139 = 0.2564. Se ha determinado ahora la probabilidad revisada de P(A, 1 E,). Antes de : hallar el circuito defectuoso, la probabilidad de que hubiera sido de Schuller Sales era de 0.20. Esta probabilidad aumento a 0.2564.

Captulo 5

. ~.. ..... ..

, .

Probabilidad 1 I Probabilidad condicional conjunta

Probabilidad a priori B, = Defectuoso p 14, Y 8,) =piA,)P(B,/A,) = 10.30) (0.03) = 0.009 1

1 aolc PIA.yB:)

l L F ' ~ A , I P ( B ~ I A . ! 1 - (O 30) (O S/) = 0.291 1

H , L Defeciiioso P(A,yB.)

ii , = Sc17uiler ~ - P W 1 P IB,;A-) = (0 20) !O 05! - 3 U: 0 P iA.,i = 020

abi? l P (A, y B?!

~:P (A:,) P (B;lA;) (07O) (0.95) -o . 1

Revision de algunos conceptos de probabilidad 175

Refirase al ejemplo y solucin anteriores. a) Obtenga una formula para determinar la probabilidad de que la parte seleccionada proven-

ga de Crawford Components, dado que se trata de un circuito integrado aceptable.

Ejercicios 39. P(A,) - 0.60, P(A,) = 0.40. P(B, 1 A , ) : 0.05 y P(B, 1 A,) =: 0.10. Emplee el teorema de Bayes pa-

ra determinar P(A, / E,). 40.P(A,)=0.2O,P(A2)-0.40yP(A3) 0 . 4 0 . P ( B , ( A , ) ~ 0 . 2 5 P ( B , ( A 2 ) = 0 . 0 5 y P ( B , ( A , ) = 0 . 1 0 .

Utilice el teorema de Bayes para determinar P(A, / 5:). 41. El equipo de beisbol Ludlow Wildcats. un equipo de liga menor de la organizacin de los In-

dios de Cleveland. juega 70% de sus partidos por la noche. y 30% durante el dia. El equipo gana 50% de sus juegos nocturnos y 90% de los diurnos. De acuerdo con un diario del dia de hoy. los Ludlow Wildcats ganaron ayer. Cul es la probabilidad de que el partido se haya desarrollado por la noche?

42. La doctora Stallter ha enseando estadistica bsica durante muchos aos. Ella sabe que 80% de os estudalites hacen todos los problemas asignados. Tambin determin que de los aium- nos que hacen su tarea 90'H~ aprobara el curso De aquellos estudiantes que no hacen todos los aroblemas asionados 60% sera oromovido Miauel Sanchez curso estadistica el semestre

* "

pasado con la profesora Stallter y obtuvo una calificacin aprobatora. Cual es la probabilidad de que si haya hecho todos los problemas asignados?

43. E departamento de crdito de a tienda departamental ion 's . en Anaheim. Caiforna, inform que 30% de sus ventas son en efectivo. 30% son pagadas con cheque en e momento de la compra y 40% so11 a credito Se tiene que 20% de as compras en efectivo. 90% de las compras pagadas con cheque, y 60% de las compras acredito, son por ms de S50 (dlares) La seora Tina Stevens acaba de comprar un vestido nuevo que cuesta $120. Cual es la probabilidad de que haya pagado en efectivo?

44. Una cuarta parte de los residentes del fraccionamiento Burnin Ridge dejan abiertas las puertas de su cochera cuando salen de su casa. El lefe de la policia local calcula que en 5% de las co- cheras cuyas puertas se dejan abiertas se roban algun objeto. pero solamente en l % de las co- cheras cuyas piiertas se quedan cerradas se han robado algo. Si los delincuentes roban una cochera. cual es la probabilidad de que sus puertas se hayan dejado abiertas?

Principios de coilteo Si el numero de resiiltados posibles de un experimento es pequeno, resulta relativamente f- cil contarlos. Por ejemplo, hay seis resultados posibles cuando se lanza un dado, especificamente:

Sin embargo, si existe un gran numero de resultados posibles, como podria ser el numero de nifios y nias en familias con 10 hijos, resultara tedioso contar todas las posibilidades. Piieden tener solo ninos, un riio y nueve nias. dos nios y ocho nitias, y asi sucesivamente. Para facilitar el conteo. se exarniriaran tres frmulas: la frmula de la multiplicacin (no se debe confundir con la regla de muliiplicaciori descrita con anterioridad en este capitulo), la frmula de la permutacin. y la frmula de la combinacin.

F rm i i l a de l a mi i l t ip l icdc in Si hay m formas de hacer una cosa, y n formas de hacer otra existiran m x n iormas de hacer ambas 1

Capitulo 5

Expresado con una formula:

FRMULA DE LA MULTIPLICACIN Nmero total de arreglos = (m)@) [5.8] Lo anterior puede extenderse a ms de dos eventos. Para tres eventos m, n. o:

Numero total. de arreglos = (rn)(n)(o)

EJEMPLO Un vendedor de automoviles desea anunciar que por $29 999 [dlares) usted puede i comprar un auto convertible. un sedan de dos puertas, o un modelo de cuatro piiertas, y adems puede elegir si desea qire los rines sean slidos o deportivos. Cuntos arre glos diferentes de modelos y rines puede ofrecer el comerciante?

S O L U C I ~ N Desde luego, el vendedor podra determ~nar e nmero total de arreglos esquematzan- ; dolos y contandolos. Hay seis arreglos.

(;rnvert~blc! i:ori Co!>verhhl

Revisin de algunos conceptos de probabilidad 1 --

Autoexamen 5.10 l . La empresa Stiffin Lamps desarroll cinco bases para lmparas de mesa y cuatro pantallas intercambiables. Cuantos arreglos diferentes de base y pantalla se pueden ofrecer?

2. La compaia Pioneer fabrica tres modelos de receptores de radio estereofonicos, dos reproductores de cinta, cuatro bocinas, y tres reproductores de discos compactos. Cuando los cuatro tipos de componentes compatibles se venden juntos forman un "sistema". Cuantos sistemas distintos puede ofrecer esta empresa?

Frmula de la pemiiitaci6ri Segun se obsetvo, la formula de la multiplicacin se aplica para encontrar el numero de arreglos posibles, dados dos o mas grupos. La frmula de la permutacin se utiliza para determinar el nmero posible de arreglos cuando solo hay un grupo de objetos. Como ejemplos de este tipo de problema:

Se van a ensamblar tres partes electronicas en una unidad modular para un receptor de televisin. Las partes se pueden ensamblar en cualquier orden. La pregunta reia- cionada con coriteo es: De cuantos modos diferentes pueden ensamblarse las tres partes? Un operario debe realizar cuatro verificaciones de seguridad antes de activar su ma- quina. No importa en que orden las realice. De cuntas fornias distintas puede rea- lzar las veriticaciones?

Un orden para la prirnera ilustracin podria ser: el transistor primero. en segundo lugar los diodos emisores de luz (LED), y en tercero el sintetizador. A este arreglo se le denomina una permutacin.

Periniitacin Un arreglo o disposicin de r objetos seleccionados de un solo grupo d e n objetos posibles.

Observe que los arreglos a, b, c, y el b. a. c, son permutaciones diferentes. La frmula que se utiliza para contar e numero total de permutaciones distintas es:

FRMULA DE LA PERMUTACIN n! ,, Pr = (n-r)! P.91

donde. n es el numero de total de objetos r es el numero de objetos seleccionados

Antes de resolver los dos problemas de ejemplo debe observarse que las PermUtaCiOneS y combinaciones (que se analizaran mas adelante) utilizan una notacin que se expresa como factoriai n. Se escribe n ! . y significa el producto n(n - l ) (n - Z)(n - 3j . ( 1 ) Por e~empio, para factoriai se tiene: 51 = 5 4 3 - 2 1 = 120.

Como se muestra a continuacin. se pueden cancelar nmeros cuando se tienen las mismas cifras en nuinerador y denoninador.

Por defii,icion. el factorial cero. representado por O!. es igual a 1. Es decir, O! = 1


Por ejemplo, si los ejecutivos Abel, Bez y Chauncy han de ser elegidos como un comite para negociar una fusin de empresas. slo existe una combinacin posible de estos tres. El comit formado por Abel. Bez y Chauncy equivale al integrado por Bez, Chauncy y Abel. Utilizando la frmula de la combinacin:

i A un departamento de mercadotecnia se le ha solicitado que disee cdigos de colores para las 42 lineas de discos compactos (CD) que comercializa la empresa Goody Re- cords. Se van a utilizar tres colores en cada linea de CD, pero una combinacin de tres 1 colores que se utilizan en una linea no puede reordenarse y utilizarse para identificar a 1 otra linea diferente. Esto significa que si se usaran los colores verde, amarillo y violeta i para sealar una linea, entonces amarillo, verde y violeta (o cualquier otra combinacin f de estos tres colores) no se podria emplear para identificar otra lnea. Sern adecuados ' siete colores tomados tres a la vez para codificar adecuadamente las 42 ineas? i Aplicando la formula (5 lo), existen 35 combinaciones, que se obtienen al calcular

n! ~- 7C:i - -- . 7! -~ - -- 7! - 35 r ! - r)! 3!(7 - 3)! 3!4!

Los siete colores de los que se toman tres cada vez (esto es. tres colores para cada li- ! nea) no serian suficientes para codificar por color las 42 lineas diferentes de discos compactos, porque slo permiten 35 combinaciones. Ocho colores tomados de tres en tres 1 daran 56 combinaciones distintas. Esto seria ms que suficiente para codificar cromti- : camente las 42 lineas.

?r-i-->r;ljr-i.x-*?.:-..:79.*;r.-r-..rr.rr*n~m--.r-rq*-?-

Autoexamen 5.11 t . Un msico desea escribir una partitura basada solamente en cinco notas: si bemol, do, re, mi y sol. Sin embargo. slo tres de las cinco se utilizarn en sucesin. como do, si bemol y mi. No se permitirn repeticiones como si bemol, si bemol y mi. a) 'Cuntas permutaciones de las cinco notas. tomadas tres cada vez, son posibles? b) Utilizando la frmula (5.9), cuntas permutaciones son posibles ahora?

2 Recuerde que un operario de taller debe hacer cuatro verificaciones de seguridad antes de activar su mquina, y no importa en que orden las realice. De cuntos modos puede hacer las verificaciones el mecnico operador?

3. Se van a utilizar los 10 numeros del O al 9, para crear un codigo de cuatro dgitos e identificar un articulo de ropa. Ei 1 083 podria identificar una blusa azul, talla mediana. El 2 031. unos pantalones. talla 18; y as sucesivamente. No se permiten repeticiones de los numeros. Es decir, el mismo numero no puede ser utilizado dos veces (o mas) en una secuencia. Por ejemplo, 2 256. 2 562 o 5 559 no se permitiran. Cuntos cdigos diferentes se pueden estabiecer?

4. En la solucin dei ejemplo anterior de los discos compactos, se dijo que ocho colores tomados de tres en tres, darian 56 combinaciones diferentes. a) Use la frmula (5.10) para mostrar que esto es cierto. b) Como un plan alternativo para codificar con colores las 42 lineas, se sugiri que se co-

locaran solo dos colores en cada disco. 'Serian suficientes 10 colores para codificar las 42 lineas? (Nuevamente. una combinacin de dos colores slo puede utilizarse una vez: es decir, si para unos discos el codigo es rosa y azul, el grupo azul y rosa no puede usarse para identificar una linea diferente.)

Eiercicios 45. Obtenga el valor de lo siguiente:

a) 40ii35! bi ,P, C ) 5%

46. Evale lo siguiente: a) 2Oi1171 bl .Pr c) ?Ci

47. Un entrevistador selecciono al azar 4 de 10 persorias dispoiiii>les. LCuir~tos grupos diferentes de 4 se pueden hacer?

48. Un nmero telefnico est integrado por siete digitos. y os tres primeros representan la zona. Cuantos nmeros telefnicos distintos son posibles dentro del area ronal 537?

49. Una empresa de mensajeria nocturna rpida debe abarcar cinco c~idades eri su recorrido. Cuntas rutas diferentes se pueden hacer, suponiendo que no iniporta el orden en qLie se vi- siten as ciudades en ei recorrido?

50. Un representante de la Agencia de Proteccin Ambiental (EPA de Environrnentai Protection Agency) de Estados Unidos. desea seleccionar muestras de 10 rellerlus sanitarios. y se dispone de 15 de ellos para obtenerlas. Cuntas muestras diferentes se pueden obtener?

51. Una organizacioii nacional de encuestas ha elaborado 15 preguntas destinadas a evaluar a actuacin del presidente de Estados Unidos. El entrevistador seleccionar 10 de las preguntas. De cuantas maneras diferentes se piiedeii ordenar las 10 preguntas seieccionadas?

52. Una empresa esta creando tres divisiones nuevas, y Iiay siete gerentes disponibles para dirigir una divisioii. De cuntos modos se pueden nombrar los tres nuevos dirigentes?

Kesurneii del captiilo 1. Una probabilidad es un valor que va desde O hasta 1 inciusive. qiie representa la posibilidad

de que ocurra un evento en particular. A. Un experimento es la observacin de aiguna actividad o el acto de efectuar una medicin. B. Un resultado es el valor particular de un experimento. C. Uii evento es el conjunto de uno o ms resultados de un experimento.

11. Existen tres definiciones de probabilidad. A. La definicion clsica se aplica cuando hay n resultados igualmente probables de un expe-

rimento. B. La definicbn emprica ocurre cuando el numero de veces en que sucede un eveilto se di-

vide entre la cantidad total de obse~aciones. C. Una probabilidad subjetiva se basa en cualquier informacin disponible.

III. Dos eventos son mutuamente excluyentes si, en virtud de la ocurrencia de uno, el otro no puede suceder.

\V. Los eventos son ~ndependientes si la ocurrencia de uno no afecta la ocurrencia del otro. V. Las reglas de adicin se aplican a la unin de eventos.

A. La regla especial de la adicion se emplea cuando los eventos son inutuamente excluyentes. P(A o E) - P(A) -t P(B) i5.21

B. La regla general de ia adicin es P(A O E) = P(A) + P(B) - P(A Y B) 5.41

C. La regia del complemento sirve para determinar la probabilidad de que ocurra un evento. restando de 1 la probabilidad de que ese evento no ocurra.

P(A) = 1 - P(-A) [5.31 VI. Las reglas de multiplicacin se refieren al producto de eventos.


La estadstica en accin

lo iiii d6Ia:. ! ~IIPCIC pna i iinn su i i i ~ c i i i x i - drraliie dc diiicru i:it a l ~ n ~ ~ m crtldos i:t cam hdad w de ~ ~ I A T C S P:+ i.8 p d e i c dtixt,i~:c a .pc (le +J ,31>il;ii',- SCI,, ! e,, 1; 9$3 51(,. 1.2 ~po~>hiliciad de qiii. iiIr,*\ l,,,l,,l,r',\. \< 1,ciic iiii, prr,h.iIiiiid;id < I C l:lr>7,,n 1,r3:, ~ I , < ~ T I ~ < ~ ~ , . i .!ir< 2 3 iccc:: u l i tc~ lbcr ,ic,,,,>rv "c;,,.,

Capitulo 5

54. El numero de veces que sucedi cierto evento en el pasado se divide entre el numero total de ocurrencias. Como se le denomina a este enfoque de la probabilidad?

55. Se consider que la probabilidad de que la causa y la curacin del cncer se descubrieran antes del ao 2010 era (1.20. Qu punto de vista de la probabilidad se ilustra con esta afirmacin?

56. Si es verdad que no existe ninguna posibilidad de,que una persona se recupere despus de recibir 50 heridas de Dala, la probabiiidad asignada a este evento es 1 .00? Por qu?

57. Al tirar un dado, cul es la probabilidad de que caiga un "uno" o un "dos" o un "seis"? ,Qu definicin de probabilidad se utiliza?

58. El restaurante Berdine's Chiken Factory tiene varias sucursales en el rea de Hilton Head, en Carolina del Sur. En las solicitudes de empleo para distintos puestos, el dueo desearia incluir una pregunta acerca del valor de la propina, por cuenta, que puede esperar ganar un camarero. Un estudio de las notas recientes indica que el camarero obtuvo las siguientes propinas.

Numero de veces 200

5 hasta 10 100 10 hasta 20 75 20 hasta 50 75

50 a ms 50 Total 500

a) 'Cul es la probabilidad de que una propina sea igual o superior a $50? b) 'Se consideran mutuamente excluyentes las categoras $ O a $5, $5 a $10, etctera? c) Si se sumaran las probabilidades correspondientes a cada una de las categorias, cunto

dara esta suma? d) Cul es la probabilidad de que una propina sea mayor que $lo? e) 'Cul es la probabilidad de que una propina sea inferior a $50?

59. Defina cada uno de los siguientes trminos: a) Probabilidad condicional. b) Evento. c) Probabilidad conjunta.

60. La primera carta seleccionada de una barala americana de 52 naipes fue un rey. a) Si se devuelve la carta a la baraja completa. cul es la probabilidad de que salga rey en

la segunda toma? b) Si no se repone dicha carta, cul es la probabilidad de que aparezca un rey en la segun-

da toma? c) 'Cul es la probabilidad de que salga un rey en la primera toma y otro en la segunda (con-

siderando que el primer rey no se repuso)? 61. Armco, un fabricante de sistemas de semforos. determin que bajo pruebas aceleradas de

duracion, 95% de los sistemas recin desarrollados duraba tres aos, antes de empezar a fallar en el cambio adecuado de las seales. a) Si una ciudad adquiri cuatro de estos sistemas, cul es la probabilidad de que los cua-

tro operen adecuadamente por lo menos tres aos? b) Qu regla de probabilidad ilustra esto? C ) Utilizando letras para representar los cuatro sistemas, establezca una ecuacin que mues-

tre la forma en la que obtuvo la respuesta del inciso a). 62. Considere el diagrama siguiente.

a) 'Cmo se denomina tal representacin? b) Qu regla de probabilidad ilustra?


c) Se ttene que B representa el evento de eiegir una famiiia que recibe pagos de seguro social. A que es igual P(B) + P(-B)?

63. En un programa de capacitacin para el personal del rea administrativa en la empresa Clare- mont Enterprises, 80% de los capacitados son mujeres, y 20% varones. El 90% de las mujeres asisti a una universidad, y 78% de los varones tambin. a) Una persona que participa en el programa se selecciona al azar. Cul es la probabilidad

de que sea una mujer que no asisti a la universidad? b) Elabore un diagrama de rbol que muestre todas las probabilidades comunes, las proba-

bilidades condicionales y las probabilidades conjuntas. c) La suma de las probabilidades conjuntas es 1.00? Por qu?

64. Supngase que la posibilidad de que un vuelo de American Airlines se retrase 15 minutos con respecto a la hora de llegada estipulada es 0.90. Se seleccionan cuatro de los vuelos de ayer. a) Cul es la posibilidad de que los cuatro vuelos elegidos lleguen con un retraso de 15 mi-

nutos con respecto a la hora programada? b) Cul es la posibilidad de que ninguno de los vuelos elegidos llegue con un retraso de 15

minutos? c) Cul es la posibilidad de que por lo menos uno de los vuelos elegidos llegue con un re-

traso superior a 15 minutos? 65. Hay 100 empleados en la empresa Kiddie Carts International. de esos, 57 son de produccin,

40 son supervisores. 2 son secretarias, y el empleado restante es el director general. Supon- ga que se selecciona un empleado de ese grupo: a) Cul es la probabiiidad de que la persona elegida labore en produccin? b) 'Cul es la probabilidad de que el empleado seleccionado sea de produccin o un super-

visor? c) Son los eventos del inciso b) mutuamente excluyentes? dj Cul es la probabilidad de que el empleado elegido no sea de produccin ni un supervi-

sor? 66. Todd Helton, del equipo de bisbol Colorado Rockies, y Nomar Garciaparra, del equipo Bos-

ton Red Sox, empataron al obtener el indice ms alto de bateo en la temporada de la liga mayor de bisbol de 2000. Cada uno obtuvo un promedio de 0.372. Supngase que ambos tienen una probabilidad de 0.372 de anotar un hit cada vez que batean. Supngase que en un determinado juego ambos batean tres veces. a) Que tipo de probabilidad ilustra este ejemplo? b) Cual es la probabilidad de que logren tres hits en un determinado juego? c) 'Cul es la probabilidad de no obtener ningn hit en un juego? d) Cul es la probabilidad de que obtengan por lo menos un hit en un encuentro?

67. La probabilidad de que un avin bombardero acierte en su objetivo en una misin es 0.80. Se envan cuatro bombarderos hacia el mismo objetivo. Cul es la probabilidad de que: a) todos den en el blanco? b) ninguno acierte al objetivo? cj al menos uno acierte en el blanco?

68. En esta primavera egresarn 90 estudiantes de la preparatoria Lima Shawnee. De los 90 alumnos, 50 planean continuar los estudios universitarios. Se eligen al azar dos estudiantes para llevar el bandern en la ceremonia de fin de cursos. a) Cual es la probabilidad de que los dos estudiantes elegidos planeen continuar sus estu-

dios universitarios? b) Cul es la probabilidad de que uno de los estudiantes elegidos planee continuar sus es-

tudios universitarios? 69. La empresa de seguros Brooks quiere ofrecer seguros de vida para hombres cuya edad es de

60 aos, a travs de Internet. Las tablas de mortalidad indican que la posibilidad de que un varn de 60 aos viva un ao mas, es 0.98. Si se ofrece la pliza a cinco hombres de 60 aos: a) Cul es la probabilidad de que los cinco vivan un ao ms? b) Cul es la probabilidad de que por lo menos uno no sobreviva un ao ms?

70. Se tiene que 40% de las casas construidas en el rea de Quali Creek tienen un sistema de seguridad. Se eligen al azar tres de esas casas. a) Cul es la probabilidad de que las tres casas elegidas tengan un sistema de seguridad?

b) Cuai es la probabilidad de que ninguna de las tres tenga un sistema seguridad? c) Cul es la probabilidad de que por lo menos uiia de las tres casas seleccionadas tenga

un sistema de seguridad? d) Considera que los eventos son dependientes o independientes?

71. Refirase al ejercicio 70, pero considere que hay 10 casas y solo cuatro de ellas tienen sistema de seguridad. Se eligen al azar tres casas. a) Cul es la probabilidad de que las tres casas elegidas tengan un sistema de seguridad? b) 'Cul es la probabilidad de que ninguna de las tres casas tenga dicho sistema? c) Cul es la probabilidad de que por lo menos una de ellas tenga un sistema de seguridad? d) Se considera que los eventos son dependientes o independientes?

72. Un malabarista tiene una bolsa que contiene tres pelotas verdes, dos amarilias. una roja y cuatro azules. El malabarista toma una pelota al azar, despus sir1 volver a coiocar la primera eii la bolsa toma una segunda pelota. Cul es la probabilidad de que la primera pelota sea ama- rilla, y la segunda, azul?

73. El consejo directivo de Saner Automatic Door Co. est formado por 12 integrantes. 3 de los cuales son mujeres. Se va a redactar un nuevo manual de politicas y procedimientos para ia empresa. Debe seleccionarse un comit de 3 miembros. en forma aleatoria. del personal del Consejo, para que redacten el manual. a) Cual es la probabilidad de que todos los integrantes del comit sean varones? b) Cul es probabilidad de que al menos 1 elemento del citado comit sea una mujer?

74. Una encuesta a los estudiantes de licenciatura de la escuela de administracin de empresas, revelo lo siguiente con respecto a! gnero y area de especializac~on de los estudiantes:

-.

Especialidad Gnero Contadura Adminlstracion

Masculino 100 150 50 300 Femenino 100

---

50 50 Total 200 200 100 500

a) Cul es la probabilidad de seleccionar una alumna? b) Cul es la probabilidad de seleccionar a alguien que tenga como area de especializacin

finanzas o contaduria? c) Cul es la probabilidad de seleccionar una estudiante o alguien que tenga interes en con-

taduria? Qu regla de la adicion se aplico? d) Cul es la probabilidad de seleccionar alguien cuyo interes sea contaduria, dado que la

persona seleccionada es de sexo masculino? e) Suponga que se seleccionan dos estudiantes al azar para asistir a un almuerzo con el pre-

sidente de ia universidad. 'Cual es la probabilidad de que ambos seleccionados tengan como rea principal de interes la contaduria?

75. El comisario de la policia de Wood County clasifica los delitos de acuerdo con ia edad (en aos) del malhechor, y si el crimen ocurri con violencia o sin ella. Como se muestra a continuacin, al comisario le reportaron un total de 150 delitos cometidos durante el pasado ao.

1 Edad (en aos1 ! -.

de delito Menos de M 20 a 40 40 o mas Total - -

Con violencia 27 41 14 82 Sin violencia - 12 34 22 - 68

- 1 Tota! 39 75 36 150

a) Cul es la probabilidad de seleccionar un caso para analizarlo y encontrar que fue un delito con violencia?

b) Cul es la probabilidad de seleccionar un caso para anaitzarlo y descubrir que el delito lo cometi alguien con menos de 40 aos de edad?

c) Cul es la probabilidad de seleccionar un caso y que el crimen haya sido cometido con violencia o que el delincuente tenga menos de 20 aos? Qu regla de adicin se aplico?

Revisin de algunos conceptos de probabilidad 1 Hi

d) Dado que se selecciona para anlisis un delito con violencia, cual es la probabilidad de que lo haya cometido una persona menor de 20 aos?

e) Un juez seleccion dos casos para revisarlos. Cul es la probabilidad de que ambos sean crmenes cometidos con violencia?

76. El seor y la seora Wilhelms estan retirados y viven en Arizona. en una comunidad de personas jubiladas. Suponga que la probabilidad de que un hombre retirado viva 10 aos ms es 0.60. y la probabilidad de que una mujer retirada viva otros 10 aos es 0.70. a) Cual es la probabilidad de que tanto ei seor como la seora Wilhelms vivan despus de

10 aos? 6) 'Cual es la probabilidad de que dentro de 10 aos el seor Wilhelms no viva y la seora

Wilhelms si? c) Cual es la probabilidad de que dentro de 10 aos al menos uno de los dos viva?

77. La empresa Flashner Marketing Research se especializa en proporcionar evaluaciones de sus perspectivas a tiendas de ropa para dama en centros comerciales. Alberi Flashner, el director, informa que evala las posibilidades como buenas, regulares o malas. Los registros de las evaluaciones anteriores indican que en 60% de los casos, las perspectivas son buenas, en 30% son regulares, y en 10% son malas. De las evaluadas como buenas, 80% dieron utilidades durante el primer ao: y de las evaluadas como regulares, 60% produjeron utilidades el p

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