4to Sem Pre Álgebra 2012-i

CICLO PREUNIVERSITARIO ADMISIÓN 2012 – I SEMINARIO Nº 04

CEPRE-UNI ÁLGEBRA - 1 -

ÁLGEBRA

01. La gráfica de la función polinomial

2P x x x 2 es

02. Determine la suma de las raíces no

reales de la ecuación 5 4 3 2x x 11x 11x 18x 18 0

A) 1 B) 5i C) 3 4i D) 0 E) -1

03. Sea 3 4

f(x) x 1 x 5 . Halle la

gráfica de f(x).

04. En la figura adjunta se muestra la

gráfica de un polinomio P de grado mínimo, ¿cuál es el cardinal del

conjunto B x R / P x 0 ?

A) 2 B) 4 C) 5 D) 6 E) 8

y

x

0

A)

y

x

0

D)

y

x

A)

1

5

y

x

B)

1

5

y

x

D)

1

5

-5 -3

y

x 0 4 6

y

x

0

B)

y

x

0

C)

y

x

0

E)

y

x

C)

1

y

x

E)

4 1



05. En la figura adjunta se muestra la gráfica de la función polinomial

y P x , entonces podemos afirmar:

I. P(x) no puede ser de grado 6. II. P(x) no puede ser de grado 8. III. El coeficiente principal es positivo. IV. El coeficiente principal es

negativo. V. El coeficiente principal es racional.

Indique cuántas son correctas. A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5

06. Sea 3 2P x ax bx cx d un

polinomio con coeficientes complejos. Determine el valor de verdad de las siguientes afirmaciones: I. P(x) tiene tres raíces. II. P(x) tiene exactamente una raíz. III. P(x) tiene dos raíces reales. A) VFF B) FFF C) FVF D) FFV E) FVV

07. Dada la ecuación cúbica en x:

3 23x ax bx 12 0 ; donde

a;b , si una raíz es 1 3 ,

determine el valor de b a

9

.

A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 6

08. Resuelva

7 5 4 2 3x 20x 2x 40x 64x 128 0

de cómo respuesta la suma de todas las raíces reales.

A) 3 2 B) 32 2 C) 20

D) 2 20 E) 20

09. Si las ecuaciones

4 2x ax 5 0 , 4 3x x bx 10 0 tienen 3 raíces comunes. Determine el valor de "a b" .

A) -3 B) -2 C) 2 D) 3 E) 5

10. Si tres de las raíces de la ecuación

4 3 2x px qx rx s 0 son tgA;

tgB; tgC donde A; B; C son los ángulos de un triángulo. Determine la cuarta raíz.

A) p r B) p s

2

C) ps D) 2p p 4s

2

E) 2p p 4s

2

11. Sea 50 4P x x x 1 , halle la suma

de sus raíces. A) -1 B) 0 C) 2 D) 4 E) 5

12. Indique el valor de verdad (V) o

falsedad (F) de las siguientes proposiciones: I. Si a; b y c son raíces de la

ecuación 33x 1 7x , entonces

3 3 31 1 1a b c 7

a b c

.

II. Toda ecuación polinomial de coeficientes reales y de grado impar posee el menos una raíz real.

III. La suma de las raíces complejas

de la ecuación 3 2x 7x 17x 15 0

es 4. A) VVV B) VVF C) VFF D) FVV E) VFV

0 -1 2 3

y

x



13. Si el número n 31 a es solución real

de la ecuación 6 4 2x 3x 3x 8 0 ,

determine el valor de n aa n es

A) 17 B) 32 C) 57 D) 100 E) 177

14. Dada la ecuación 5 4 3 2x 2x 3x 8x 3x 2 0 , de

raíces x1; x2; x3; x4; x5, tal que

5m

xn

, donde m;n Z 0 .

Determine el valor de

5 1 5 2 5 3 5 4

1 2 3 4

x x 1 x x 1 x x 1 x x 1E

x x x x

A) 10 B) 19 C) 20 D) 21 E) 22

15. Determine el polinomio mónico de

menor grado posible que tenga coeficientes enteros y admita a

2 3 1 y a 2 3 como dos de

sus raíces. De cómo respuesta la suma de sus coeficientes. A) -8 B) 2 C) 4 D) 6 E) 8

16. Si el siguiente polinomio

5 4 3 2 2P x x 3x mx 7x nx p ,

tiene como raíz de multiplicidad tres al número uno. Halle m n . A) 10 B) 11 C) 13 D) 21 E) 30

17. Si tiene la misma siguiente ecuación

5 4 2x 5x ax bx c 0 donde

a;b;c y 2 2 es una raíz de

la ecuación. Halle la suma de productos binarios de las 3 raíces racionales. A) -6 B)-1 C) 1 D) 5 E) 6

18. En la ecuación 3 2x ax bx c 0 se cumple que una de las raíces es la opuesta de la otra, ¿qué condiciones existe entre a, b y c? A) a ab 0 B) c ab 0

C) a bc D) 2b ac

E) 2c ab

19. Conociendo que n 4 determinarlo

de 2

n n1 i 1 i 256

A) 2 B) 6 C) 10 D) 14 E) 18

20. Simplifique la expresión

2 4 6 8 80i i i i iZ 1 i i i i i A) 0 B) 1 C) 1 i D) 1 i E) -1

21. Si Z,W tal que Z 2; W 3 ,

calcule el valor de

Z Z W W Z W Z WJ

Z W Z W Z W Z W

A) 5

2 B)

5

3 C)

3

4

D) 6

5 E)

5

4

22. Halle

3

2 i 5 1 i 3

5 i 3

A) 2 B) 3 C) 5

D) 5 3 E) 6 2

23. Si se tiene el complejo

2 3 19

Z 1 i 1 i 1 i 1 i

Determine e z m z

A) 511 B) 512 C) 1023 D) 1024 E) 2048



24. Halle tal que

z 1 z 2 4 2i

A) 1 i B) 1 i C) 1 2i

D) 1

2i2 E)

11 i

2

25. Si 3b 2ai

4 3i

es real y de módulo uno.

Halle a b . A) 1 B) 2 C) 4 D) 5 E) 7

26. Si se cumple

1 ai a 3iki, k; a

a i 1 ai

, halle

4k 1 . A) 15 B) 16 C) 17 D) 19 E) 20

27. Para qué valor real de a es número

a 2 a 9 iZ

a 5 ai

este representado

en el plano mostrado en la figura

A) 1

5 B) 5 C) 5

D) 10 E) 25

28. Dados los complejos z1, z2, z3

representados en el plano de Argand-Gauss.

Indique el valor de verdad:

I. 1 2Arg z ,z 340º

II. 1 2e z m z 0

III. 3 1Arg z Arg z 240º

A) FVV B) FVF C) VVV D) FFF E) FFV

29. Considere el número complejo

Z 2 3 2i , el cual se puede

representar en el plano por el par

ordenado 2 3,2 . Para rotar Z en

sentido antihorario un ángulo de 270º se debe multiplicar z por

A) i2 B) 2i 1 C) -i

D) i 1 E) z

30. Si 2/ z z . Halle el de z que cumple dicha relación A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5

31. Halle la suma de todos los números z

tal que z 5 y

22

7 Re(z) 22 Im z 3 85

A) 88

i5

B) 48

i5

C) 8i

D) 58

i5

E) 38

i5

32. Si y 1

z 1z

, halle el mayor

módulo de z.

A) z 2 B) 1 5

z2

C) 1 6

z2

D) z 1 3

E) 1

z 12

Im

Re

Im

e

z1

z3

z2

45º

15º

15º



33. Para todo z a bi definimos

z b ai . Indique el valor de verdad

de las afirmaciones:

I.

z z

II. z z

III. i z z

A) VVF B) VFF C) FVV D) FFV E) FFF

34. Dadas las siguientes proposiciones,

indique la secuencia correcta después de determinar si la proposición es verdadera (V) o falsa (F):

I. z : z 2i 2z i z 3i

II. 1

Si z 1 z entonces Re z2

III. Si z se localiza en el primer

cuadrante, entonces - z se localiza en el segundo cuadrante.

A) VVV B) VVF C) VFV D) FVV E) FVF

35. Halle el valor de verdad de las

siguientes afirmaciones:

I. Sean z,w tal que z w 3 ,

entonces Re z Re w .

II. Si z pertenece al III cuadrante,

entonces 1

z pertenecen al I

cuadrante. III. Si z y w son imaginarios puros

diferentes, entonces z w es imaginario puro.

A) VVV B) FVF C) VFF D) FVV E) FFF

36. Determine

21 2 3 1 2

5z 5z 2z z z z

4 si

4 4

1

1 i 1 iZ ;

2 i

23

2

4i iZ ,

1 2i

683

3Z i 1 i

A) 7i B) -7i C) 7i-20 D) 8i E) 10i

37. Indique el valor de verdad (V) o

falsedad (F) de las siguientes proposiciones: I. El módulo del complejo

3 2

6

1 i 1 iz

1 i

es

1

4.

II. El argumento principal del

complejo Z sen icos8 8

es

5

8

.

III. El complejo 30 30

Z 1 3 i 1 3 i

es un complejo real. A) VFV B) VVF C) VFF D) VVV E) FVV

38. Determine la menor parte imaginaria

entre las raíces complejas de

3 2P z z 3 i z 2 3i z 6

A) -1 B) 0 C) 1 D) 2 E) 3

39. Si z1 y z2 son las raíces cuadradas

del número complejo z 0 , entonces

el valor de 3

1 2z z es

A) z1 z2 B) -1 C) 0

D) 1 E) 2



40. Si z C , cumple la condición 22z z 12i 8, z C , entonces el

complejo z es A) 2 3i B) 2 3i C) 3 2i

D) 3 2i E) 3 3i

41. Dado un número complejo Z que

cumple 3z 36 5z 40i

z 4 z 8 . Halle un valor de z .

A) 6 8i B) 6 17i C) 6 9i

D) 6 17i E) -i 42. Determine la verdad (V) o falsedad

(F) de las siguientes afirmaciones:

I. Sea 1 2z ,z de módulo 1,

entonces 1 2 1 2z z 2 z z .

II. Si 1 2 1 2 1 2z z z z ; z ,z 0 ,

entonces 1 2z / z es imaginario

puro.

III. 1 2 1 2 1 2z z z z z ,z

A) VVF B) VFF C) FFV D) VVV E) VFV

43. Sea w 0 \ (fijo). Si z es un

número complejo tal que ze w . Indique la verdad (V) o falsedad (F) de las siguientes afirmaciones:

I. Re z w

II. m z arg w 2k , k

III. f : definida por zf z e

es suryectiva. A) VFF B) FVF C) VVF D) VVV E) FVV

44. Sea tal que z z 1 2i . Halle

Re z m z .

A) 1

2 B)

1

2 C)

5

2

D) 7

4 E) 3

45. Determine el valor de verdad de las siguientes afirmaciones:

I. z ; z 2i 2z i z 3i

II. Si z 1 z , entonces 1

Re z2

.

III. Si z se localiza en el primer

cuadrante, entonces z se localiza en el segundo cuadrante.

A) VVV B) VVF C) VFV D) FVV E) FVF

46. Determine el valor de verdad de las

siguientes afirmaciones:

I. 11

1arg arg z

z 2

II. Si 1z cis , entonces

isen1arg z 0 .

III. 1 1n

22

z z1arg arg

n zz

.

A) VVV B) FVV C) VVF D) VFV E) FVF

47. Halle el valor de

1001 cos x isenx

1 cos x isenx

; siendo x

4

A) -21000 B) -2 C) -1

D) 2 E) 2100

48. Dada 3 i a bi , calcule

3 3M 1 1

a b

A) 8 B) 9 C) 10 D) 11 E) 12

49. Si E es un número real, halle el valor

de

325 2 i

E i3 4i

.

A) -2 B) 2 C) 4 D) 6 E) 8



50. Halle el valor de n: 2n 2n n2i 2 2i 1 i 96i

A) 1

2 B)

1

10 C) 2

D) 3 E) 4

51. Si 1

ai 3z

b i

, 2

bi az

3 i

están

ubicados en el plano gauseano de la siguiente forma

Halle una relación entre a y b. A) a b B) a 2b C) a 3b D) a 5b E) 2a b

52. Halle el valor de

3 5E 1 i 2i 4 1 i

A) 4 - i B) i C) 4i D) 3 - i E) 1 - i

53. Si z tal que nz 1, n z 1 ,

halle el valor de w , si:

2 3 n 1w 1 2z 3z 4z n z

A) n n 1

2

B)

n n 1

2

C) 2 D) n

z 1

E) n

z 1

54. Halle una expresión equivalente para n

1 sen icosE

1 sen icos

A) n

cis n2

B)

ncis n

2

C) n

cis2

D)

ncis

2

E) cis n n

55. Sea el número complejo z, tal que

1z 2cos

z . Calcule 10

10

1z

z .

A) sen(10)i B) –sen(10)i C) 2sen(10)i D) 4sen(10)i E) 9sen(10)i

56. Sea z x yi , tal que nz 1; z 1 ,

tal que 2 n 1wi 1 2z 3z nz . Halle w en términos de x e y.

A) ny

nix 1

B) ny ni

2 1 x 2

C) ny ni

1 x 2

D)

ny

ni2 1 x

E) ny ni

2 x 1 2

57. Halle el argumento de complejidad

wz i , si w es una raíz cúbica no real de la unidad.

A) 4

B)

2

C)

3

4

D) E) 3

2

58. Determine el total de números

enteros positivos n de dos cifras que verifican la igualdad

n1 3 1 3

i i2 2 2 2

A) 60 B) 65 C) 70 D) 75 E) 80

Im

e

z1

z2



59. ¿Cuántas raíces complejas tiene la

ecuación 100z 1 0 con argumento

en el intervalo 4

;25 25

?

A) 0 B) 4 C) 5 D) 8 E) 10

60. Determine el número de raíces que

se encuentran en el tercer cuadrante

del plano complejo: si 50z i 1 . A) 11 B) 12 C) 13 D) 14 E) 15

61. Halle una de las soluciones de la

ecuación 4 3 2z 2z 7z 18z 26 0 , si 1 i

es una solución de la ecuación. A) 1 4i B) 2 3i C) 5 2i

D) 2 3i E) 2 5i 62. Respecto a las raíces de la ecuación

6 3z 7z 8 0 podemos afirmar que: I. Una raíz se ubica en c/u de los

cuadrantes y dos en el eje imaginario.

II. Una raíz se ubica en c/u de los cuadrantes y dos en el eje real.

III. Dos raíces se ubican en el I cuadrante, dos en el II cuadrante y dos en el eje imaginario.

A) FVV B) FVF C) FFF D) VFF E) FFV

63. Al resolver la ecuación

2x 5 i x 8 i 0 , indique el

cuadrado de una de sus raíces. A) 3 4i B) 5 12i C) 3 4i

D) 4 12i E) 3 2i 64. Con respecto a la ecuación

4 3 2z 4z 6z 4z 5 0 , señale el valor de verdad de cada una de las afirmaciones. I. Tiene 2 raíces reales y 2

imaginarios.

II. La suma de los cuadrados de las raíces es 4.

III. Una de sus raíces está en el III cuadrante.

A) VFF B) VFV C) VVF D) FFF E) FVF

65. Sea A z / z 2 z 2i 2 . Si

z A , halle la suma de los valores de

z tal que z z 2i sea máximo.

A) 2i B) i C) 3i D) 4i E) 1 2i

66. Sea

R z / z 5 3 arg z 0,2

Halle un z R tal que arg(z) sea máximo.

A) 12 16

i5 5 B) 2 2i

C) 5 3i D) i

E) 16 12

i5 5

67. Si M es el conjunto definido por

z 2M z / m 3

z 1

, entonces

la gráfica que mejor representa al conjunto M es:

1

1 0

y

x

A)

1

0

y

x

B)



68. Determine la región compleja

determinada por el conjunto:

A z / z z 9 z 3 i 1 0 arg z3

69. La gráfica que mejor representa al

conjunto A z / z 2 m z

es

70. Determine el dominio de

x x 1log 3 37

5f x log e

A) B) 0; C) 1;

D) 3;3 E) 2;2

1 0

y

x

C)

2 1 0

y

x

D)

2

1

-1

-1 0

y

x

E)

232222-2--

Im

Re

3;1

A)

Im

Re

3;1

B)

Im

Re

3;1

C)

Im

Re

3;1

D)

Im

Re

3;1

E)

Im

e -2

1

2

A)

Im

e

B)

Im

e -2

-1 2

C)

Im

e -2

-1 2

D)

Im

e -2

-1 2

E)

1



71. Sea la función 2

x x

4 xf x

5 7

,

determine el dominio maximal.

A) 2;0 B) 2;0 C) 1;0

D) 0;1 E) 1;1

72. Determine el rango de x x 1f x 5

A) ;5 B) 0;5 C) 0;5

D) 0; E)

73. La gráfica que mejor representa la

función x 2f x e 2

74. Si definimos x xe e

f x2

,

x xe e

g x2

y

f xh x

g x . Sobre

las gráficas

La gráfica correcta es A) Solo I B) Solo II C) Solo III D) I y II E) II y III

75. Dada la función f definida por

xf x e x 2 . Indique el valor de

verdad de las siguientes proposiciones: I. Tiene solo una raíz. II. Es decreciente en el intervalo

0;2 .

III. Existe una raíz en 3;0 .

A) FVF B) FFF C) VFF D) VVV E) FFV

0

y

x

A)

y

x

B)

y

x

C)

y

x

D)

y

x

E)

f

II

g

I

h

III

1

-1



76. Determine la gráfica de f; si establecemos que

3xx1

M x R / ee

;

2f x x 2 x ; x M

77. Sean las reglas de correspondencia y

las gráficas xf x b e ; xg x e b

Valore las proposiciones siguientes:

I. La gráfica de f es I. II. La gráfica de g es II. III. Las gráficas se intersectan en más

de un punto. A) VVV B) VFV C) VVF D) FFF E) VFF

78. Determine el rango de la función

1 In 1 xf x e

,

1 1x ;

2 4

A) e

;e2

B) e

;e2

C) e

e;2

D) e

;e2

E) e

;e2

79. Determine el dominio de la función

3

8 1

2

1f x log 2x 4 log

5x 3

A) 2 1

;5 4

B)

3 1;

5 3

C)

4 1;

5 4

D) 3 1

;5 2

E)

7 2;

5 3

80. El rango de la función

2log 2 log sgn x x5 x3 3f x 5 2 e e

es a; , entonces el valor de

5a a 2 es A) 0 B) 2 C) 4 D) 6 E) 8

81. Determine el dominio de

4 3 2f x log log log 8 x

A) ,6 B) ,7 C) ,8

D) 0, E) 8,

82. Se define

bf x log x; x 0; b 1, b 0 ,

valore las proposiciones siguientes:

y

x 1 -1

0

A)

y

x -1 0

B)

1

y

x -1

0

C)

y

x 1 -1

0

E)

y

x -1 0

D)

-1

1

-1

I

II

y

x

100

1



I. Si 2 1b b 0, entonces f 0

2

II. Si

2f 1 f 2 entonces, x R : f x 2x 3 0

III. Si

2f 2 f 1 entoces, x R : f x 2x 4 0

A) VVV B) FVV C) FVF D) FFV E) VFV

83. Si el logaritmo de 53 9 en base 15 27

es igual a 4 5 347 14 29 x .

Calcule 3logx2x 10 .

A) 2 B) 3 C) 4 D) 18 E) 27

84. Determine el valor de

7n 3 2 2 4 n 2 1

16E25

n 2 18

A) -2 B) -1 C) 0 D) 1 E) 2


2 41 log log25 13E 4 625 13

A) 625 B) 626 C) 720 D) 825 E) 1040

86. Sea x , x 1 tal que log log a5 3

log x5x 2 . Halle el valor de

27T 3 log a 2 .

A) -1 B) 0 C) 1 D) 2 E) 3


3 4 10 11E log 2 log 3 Log 9 log 10

A) 11log 2 B) 10log 11 C) 23log 11

D) 11log 9 E) 11log 5

88. Si y son las raíces de

2 2x 3x m 0 con 3

m2

, halle el

valor de

m m m mR log log log log

m 1 . A) 1 B) 3 C) 5 D) 6 E) 7

89. Calcule la función inversa de

3 3f x log x 3 log x 3

A) xf x 3 9

B) xf x 3 1

C) xf x 3 1

D) xf x 3 1

E) xf x 3 9

90. Resolver

3logx9 27x , de cómo

respuesta la menor de sus soluciones.

A) 3 B) 1

3 C)

1

9

D) 1

27 E)

1

81

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