ÁLGEBRA - 3RO.doc

PRODUCTOS NOTABLES

Son productos indicados que tienen una forma determinada, de los cuales se puede recordar fcilmente su desarrollo, sin necesidad de efectuar la operacin.

1. TRINOMIO CUADRADO PERFECTO

(a + b)2 = a2 + 2ab + b2(a b)2 = a2 - 2ab + b2Identidad de Legendre

I1 : (a + b)2 + (a b)2 = 2(a2 + b2)

I2 : (a + b)2 (a b)2 = 4ab

2. DIFERENCIA DE CUADRADOS

(a + b) (a b) = a2 b23. DESARROLLO DE UN BINOMIO AL CUBO

(a + b)3 = a3 + 32 b + 3ab2 + b3(a b)3 = a3 3a2b + 3ab2 b3Relaciones particulares:

(a + b)3 + (a b)3 = 2a (a2 + 3b2)

(a + b)3 (a b)3 = 2b (3a2 + b2)

4. SUMA Y DIFERENCIA DE CUBOS

(a + b) (a2 ab + b2) = a3 + b3(a b) (a2 + ab + b2) = a3 b35. IDENTIDADES DE STEVIN

(x + a) (x + b) = x2 + (a + b)x + ab

(x + a) (x + b) (x + c) = x3 + (a + b + c) x2 + (ab + bc + ca)x + ac

(x a) (x b) (x c) = x3 (a + b + c)x2 + (ab + bc + ca) x abc

6. IDENTIDAD TRINMICA DE ARGAND

Formas particulares ms usuales: Si: m = 1; n = 1

Si: m = 1, n = 0

7. IDENTIDAD DE LAGRANGE

1. Si: a2 + b2 = 12; ab = 2

Hallar: E = a + b (E > 0)

a) 2b) 1c) 4

d) 4e) dos respuestas

2. Si: a + b = 5; ab = 3

Hallar: M = a b (M > 0)

a) 1b)

c) 7

d)

e)

3. Simplificar:

E = (x2 4x 1)2 (x2 4x 2)2 2(x 2)2a) 0b) 3c) 10

d) 9e) -11

4. Sabiendo que: a + b = 8 y ab = 5

Hallar: V = a b

a) 2

b)

c) 2

d) 4

e) 4

5. Sabiendo que:

x + y =

xy = 2- 3

Calcular: A =

a) 4

b)

c) 2

d) 3

e)

6. Calcular m entero positivo de tal forma que:

16x6 + (m 2) x3 y4 + 49y8sea un trinomio cuadrado perfecto.

a) 56b) 54c) 58

d) 52e) 60

7. Calcular:

donde: e = 2,7182.....

a) 1b) 2c) 4

d) ee) e2

8. Reducir:

M = (x - y) (x + y) (x2 + y2)(x4 + y4) + 2y8Si:

a) 1b) -2c) 2

d) 2e) 1

1. Calcular:

M =[(x+13) (13 x) 6 (x + 12) (x 12)]0.5

a) 1b) 2c) 3

d) 4e) 5

2. Reducir:

M = (2x + 1)2 + (2x 1)2 2

a) 8b) 0c) 4

d) 4x2e) 8x23. Calcular el equivalente de:

E = (4a + b)2 + (4a-b)2 2(8a2+b)2a) 4a2 + b2b) 16aac) 8a2

d) 4a2 b2e) 2b24. Hallar:

M = (2x2 + y3)2 + (2x2 y3)2 8x4a) y6b) 2y6c) 4x4d) 2y6e) 4y65. Efectuar:

E = (x+ y + z) (x + y - z) + (x +y+z) (-x-y+z)

a) 0b) xyz

c) xyd) xy + xz + yz

e) 4xy

6. Efectuar:

M = (x + 1) (x +3) + (x + 2)(x + 2)2x275x

a) 4xb) 2c) 3x

d) 2xe) 2x

7. Calcular:

E = (x + 4) (x 2) + (x 6) (x + 4) 2x2a) 16b) -16c) 24

d) -32e) 30

8. Calcular:

E = (x + 3) (x + 2) (x + 7) (x-2) + (x + 9)

(x 4) (x + 4) (x + 1)

a) -28b) -24c) 54

d) -14e) -20

1. Si: x2 + x + 1 = a5

x 1 = a

Hallar:

a) ab) a-1c)

d) 1e) a22. Si: x3 + y3 = 28; adems:

xy (x + y) = 12

Calcular: A = x + y

a) 2b) 3c) 4

d) 2e) 3

3. Efectuar:

(x+3) (x 3) + (x + 1)3 x3 x (4x+1)+9-2x

a) 1b) 2c) 3

d) 4e) 5

4. Si: x2 + y2 = 5; xy = 2

Hallar: x6 + y6a) 125b) 60c) 65

d) 50e) 110

5. Si: (a + b + c + d)2 = 4(a + b)(c + d)

Encontrar el valor de:

a) 4b) 5c) 7

d) 3e) 9

6. Calcular:

B=

Si: x =

a) 1b)

c) 4

d) 3e) 5

7. Sabiendo que:

Calcular:

a) 2b) 2

c) 0

d)

e) 4

8. Hallar el equivalente de:

a) 2b) 3c) 4

d) 6e) 5

1. Efectuar:

(x+y+2)2 + 2(x+y+2) (x-y-2)+(x-y-2)2 4x2a) 1b) x2c) 4x2d) 0e) 1/x

2. Calcular:

a) 32b) 16c) 8

d) 4e) 2

3. Calcular:

Si: x =

a) 1b)

c)

d) 3e) 5

4. Simplificar:

a) 1b) 2c) 3

d) 4e) 5

5. Si: a + b = 3;

Hallar: a3 + b3a) 18b) 27c) 9

d) 27e) 18

6. Si: x + = 3

Calcular:

x3 +

a) 9b) 15c) 18

d) 21e) 27

7. Efectuar:

(x + 1) (x2 + x + 1) (x - 1)(x2 x + 1) - x6a) 1b) 2c) 0

d) 2e) 1

8. Efectuar:

a) x3 + 2b) x c) x + 2

d) 2e) 0

DIVISION NO ALGEBRAICA DE POLINOMIOSEsta divisin exige condiciones especiales:

a) Aplicamos el mtodo de Horner con el ordenamiento de los polinomios ascendentemente.

b) El cociente obtenido posee infinitos trminos.

c) El resto se hace tender a cero.

d) Dicha divisin es vlida para ciertos intervalos de la variable.

Ejemplos: Dividir 1 entre 1 x

Resolucin: Por Horner

110000............

1(1111............

11111

( 1 = 1 + x + x2 + x3 + .;

1-x

| x | < 1

Dividir 1 entre 1 4x + 4x2


110000.........

4

-4

4-4

16-16

48-48.........

141232.........

( 1 = 1 + 4x + 12x2 + 32x3 + .;

1-4x + 4x2

| x | < 1

2

Dividir 2x2 3x + 3 entre 4x3 x + 1


13-3200.........

1

0

-430

0-12

0

20

0-8

302-10.........

( 2x2 3x + 3 = 3 + 2x2 - 10x3 + .;

4x3 x + 1

Es la operacin que tiene como objetivo calcular una expresin llamada cociente (q) y otra llamada residuo (R ), conociendo otras denominadas dividendo (D) y divisor (d).

Esquema clsico

D d

Se conoce: D y d

R q

Por conocer: q y R

Se cumple: D = dq + R

PROPIEDADES1. El grado del cociente es igual al grado del dividendo menos el grado del divisor.

2. El grado mximo del resto es el grado del divisor disminuido en uno.

RMAX ( Grado mximo del resto

3. La propiedad fundamental de la divisin en el lgebra forma una identidad.

4. Si la divisin es exacta, el resto es un polinomio idnticamente nulo.

Ejemplo:

8

D (x8 + x4 + 2x 3q = 8 5 = 3

d (x2 + x5 7

RMAX = 5 1 = 4

5

DIVISION ENTRE POLINOMIOS

Para todos los mtodos es necesario que el dividendo y el divisor estn ordenados y completos (o al menos tenga esa forma).

Mtodo de HornerPara este mtodo slo se utilizan coeficientes, empleando el siguiente esquema:

d D I V I D E N D O

i

v

I i

s

o

r

C O C I E N T E RESTO

Observacin:

Los lugares en que se indica Dividendo y divisor se colocan slo coeficientes. En el caso del divisor la letra d simboliza el primer coeficiente del divisor, las dems letras representan a los dems coeficientes, que se colocan con signo cambiado.

La lnea que separa el cociente del resto se traza de acuerdo al grado del divisor. Es decir, se cuenta de derecha a izquierda tantos lugares como lo indica el nmero que representa el grado del divisor.

Ejemplo:Dividir:

10x5-4x4 + 8x3 + 6x2 5x + 112x2 2x + 4

Solucin:

Aplicando Horner:

2

10 -4 8 6 -511

2

10-20

-4

6-12

-6 12

-1224

5 3 -3 -6 -535

Coef. del cocienteCoef. del resto

La variable se agrega de acuerdo al grado del cociente y del resto.

Se tiene:

q = 3; RMAX = 1

q = 5x3 + 3x2 3x 6

R = 5x + 35

1) Determinar a + b; si la divisin:

3x4 5x3 + ax + b

x2 + x 1

deja como residuo: 5x + 7

a) 28

b) 24

c) 20

d) 16

e) 12

2) En la siguiente divisin:

2X2 + 7X3 + 16X2 + Ax + B

2x2 + 3x 4

deja como resto: 2x + 30

a) 1

b) 20

c) 1/2

d) 1/3

30

3) Hallar el residuo luego de dividir:

8x6 9x4 2x2 4

x2 2

a) 10

b) 20

c) 30

d) 40

e) N.A.

4) Determinar m + n, para que la divisin:

6x4 + 16x3 + 25x2 + mx + n

3x2 + 2x + 1

sea exacta.

a) 17

b) 18

c) 19

d) 20

e) N.A.

5) Determine p q, si la divisin:

6x4 8x2 + px + q

3x2 3x 7

es exacta.

a) 1

b) 2

c) 3

d) 4

e) N.A.

6) Calcule A + B, si la divisin:

12x4 12x3 + 13x2 + Ax B

2x2 + 3x + 5

deja como resto: 4x + 5

a) 45

b) 46

c) 47

d) 48

e) N.A.

7) Calcular A + B C, si la divisin:

8x5 + 4x3 + Ax2 +Bx + C

2x3 + x2 + 3

deja como resto: 5x2 + 11x + 7

a) 8

b) 9

c) 10

d) 7

e) N.A.

8) Si al dividir:

4x4 + 6x3 2x2 + ax + b

x2 + 2x 2

deja un resto: -25x + 21, hallar a b

a) 2

b) 0

c) 2

d) 1

e) 1

1. Al dividir:

6x6 + 13x5 7x4 + 11x2 8x + 52x3 + 3x2 + 1

Sealar el coeficiente:

a) 3x3 + 2x2 + x + 2

b) x3 + 2x2 + x + 2

c) x3 + x2 + x + 1

d) x3 - 2x2 + 3x - 2

e) 8x2 + x + 3

Sealar el residuo:

a) x2 + 2x + 2

b) 3x3 + 2x2 + x +2

c) 8x2 + x + 3

d) x2 x + 1

e) 2

2. El coeficiente del trmino lineal del cociente es:

a) 1

b) 2

c) 3

d) 0

e) 4

3. La suma de coeficientes del cociente:

a) 4

b) 7

c) 6

d) 5

e) 8

4. Hallar el cociente de la siguiente divisin:

y3 + 5y2 7y + 5 y2 + 2y 3

a) y + 5

b) y2 + 3

c) y + 3

d) 10y + 14

b) 10y + 14

5. Hallar el residuo de la divisin:

z4 + 3z3 + 2z2 + z - 5z2 3z + 1

a) z2 + 1

b) 2

c) 4z

d) 6

e) 4z 6

6. Hallar A + B, si la siguiente divisin:

x4 + 3x3 + 2x2 + Ax + b

X2 + 3x 2

es exacta.

a) 1

b) 2

c) 3

d) 4

e) 5

7. Calcular m + n + p si la divisin:

6y5 17y4 + 7y3 + my2 + ny + p

3y3 4y2 + 5y 7

es exacta.

a) 22

b) 18

c) 17

d) 25

e) 28

8. En la siguiente divisin exacta:

2m4 4m3 + am2 5m + b

m2 m + 2

calcular a + b

a) 2

b) 13

c) 9

d) 8

e) 19

METODO DE RUFFINI TEOREMA DEL RESTO

Mtodo de RuffiniSe aplica cuando el divisor es un binomio de primer grado de la forma: ax + b. Al igual que en Horner, utilizaremos slo coeficientes, cumpliendo el siguiente esquema:

ND I V I D E N D O

C O C I E N T ER

Valor de x al igualar el divisor a cero

Ejemplo:Dividir:

3x5 2x4 + 7x3 11x2 + 5x + 1

x 2

Solucin

Por Ruffini:

x 2 = 03-2 7-11 5 1

2

6 8 303886Resto

3 415 19 4387

coeficientes del cociente

Como:

q = 5 1 = 4

q = 3x4 +4x3 + 15x2 + 19x + 43

R = 87

Observacin:

Si el divisor: ax + b, a ( 1, luego de dividir por Ruffini, los coeficientes del cociente deben dividirse entre a para obtener el cociente correcto.

Ejemplo:

Dividir:

3x4 + 5x3 17x2 + 8x + 7

3x 1

Solucin:

Por Ruffini:

3x 1 = 035 -17 87

1/3( 1 2 -51

3 6-15 38

(3(( ( (

12 -5 1

coeficientes del cociente

Como:

q = 4 1

q = x3 + 2x2 5x + 1

R = 8

Teorema del resto

Se utiliza para calcular el resto sin tener que efectuar la divisin, se aplica cuando el divisor es un binomio de primer grado de la forma: ax + b y en algunos casos especiales.

Regla:Para calcular el resto, se iguala el divisor a cero, se calcula el valor de la variable (siempre que el divisor sea de 1er grado) y el valor obtenido se reemplaza en el dividendo. El resultado obtenido es el res to.

Ejemplo: Calcular el resto en:

x5 + 3x 5

x 2

Solucin

T. Resto: x 2 = 0 ( x = 2

( R = 25 + 3(2) 5 ( R = 33

1) Hallar a en la divisin exacta.

5x4 + 16x3 8x + a

x + 3

a) 4

b) 4

c) 3

d) 3

e) 2

2) Hallar el resto en:

(x 4)80 + (x 4)60 + 1x 5

a) 1

b) 3

c 2

d) 1

e) 0

3) Al dividir obtengo como resto el menor nmero primo:

6x4 4x3 + x2 + 10x 2 3x + 1

hallar a.

a) 3

b) 1

c) 1

2

d) 5

e) 52 2

4) En la divisin:

2x4 3x3 + 2ax2 3a

x + 1

a) 3

b) 2

c) 1

d) 2

e) 1

5) Hallar el coeficiente lineal del cociente, en la divisin:

2x5 + 4x3 2x + 5x 3

a) 50

b) 60

c) 66

d) 66

e) 50

6) Hallar el coeficiente cuadrtico del cociente, en:

x5 + x3 xx + 1

a) 3

b) 1

c) 0

d) 2

e) 2

7) Hallar el resto en:

2x9 3x6 + x3 + 1

x3- 1

a) 1

b) 2

c) 0

d) 1

e) 2

8) Hallar el residuo, en:

-3x15 + 6x10 3x5 + 1

a) 5

b) 4

c) 10

d) 6

e) 8

1) Hallar el residuo en la siguiente divisin

15x4 6x2 5x3 + 7x 85x 2

a) 6

b)

c) 5

d) 4

e) N.A.

2) En el siguiente esquema de Ruffini:

4 ?6 ? 8

?

-4?-15 ?

? ?? ?16

Hallar la suma de coeficientes del cociente.

a) 1

b) 2

c) 3

d) 4

e) N.A.

3) Calcular el resto en:

8x4 + 18x3 + ax2 + bx + c

2x + 3

son nmeros consecutivos y el residuo es 8; calcular a + b + c

a) 16

b) 18

c) 20

d) 22

e) N.A.

4) Hallar el resto en la siguiente divisin:

x3 + 3x 15x 2

a) 5

b) 5

c) 0

d) 1

e) 1

5) Hallar el resto y el coeficiente mayor del cociente, en la divisin:

a) 35 y 3

b) 32 y 16c) 30 y 10

d) 31 y 5

e) 0 y 1


(x 2)8 + (x + 1)4 16x 1

a) 0

b) 2

c) 32

d) 16

e) 1

7) Hallar la suma de coeficientes en la siguiente divisin:

x(x2 + 1) 3x2(x 1) + 2x 2

a) 8

b) 7

c) 8

d) 6

e) 0


(x + 1)2n (x + 1)n 3x + 2

n es impar.

a) 1

b) 1

c) 2

d) 2

e) 0

Al expresar 24 = 3 . 8 se ha factorizado 24 en producto de enteros; siendo 3 y 8 factores enteros de 24. A su vez 24 = 3. 23; 3 y 2 son tambin factores de 24 y se llaman factores primos.

Al expresar un polinomio como el producto de otros polinomios pertenecientes a un conjunto dado, se ha efectuado una factorizacin de polinomios.

No todos los polinomios se pueden factorizar. De acuerdo a las caractersticas que presentan los polinomios se puede aplicar tal o cual mtodo, por ejemplo:

ax2y2 + bxy3z + cx3my4

(Factor comn

Ax2n + Bxnym + Cy2m

(Aspa simple

Ax2n + Bxnym + Cy2m + Dxn + Eym + F(Aspa doble

Ax4n + Bx3n + Cx2n + Dxn + E

(Aspa doble especial

Ax3 + Bx2 + Cx + D

(Divisores binmicos

Entre otros casos particulares.

Comience factorizando cada uno de los polinomios:

x2y2 + xy3 + x2y

24x2y2 + 16xy3z + 32x3my4 64zx3y5 9ab + 12bd 45ac 60cd

121m2 169n2 256p8 q8 4x2 20xy + 9y2 3x2 10xy 3y2 x4 22x2 75

para saber cmo estamos comenzando en este maravilloso tema que es la factorizacin.

DefinicinEs un proceso mediante el cual, un polinomio se expresa como la multiplicacin indicada de factores primos. Para llevar a cabo este proceso se usarn diversos criterios, como:

- El factor comn

- Agrupacin de trminos

- Identidades

- Aspas

- Evaluacin

Factor primoEs aquel que no se puede factorizar ms; es decir son aquellos polinomios de grado positivo que no se pueden expresar como una multiplicacin de factores de grado positivo. As por ejemplo:

F(x) = x2 4; no es primo; porque se puede expresar como: (x 2) (x + 2)

F(x) = x 2: si es primo; porque no se puede factorizar.

G(x) = 3x 6; si es primo; porque al obtener 3(x 2), perctese que 3 es de grado cero.

Se dice que la factorizacin se realiza en ( cuando los factores primos obtenidos presentan nicamente coeficientes enteros; mientras no se indique alguna aclaracin la factorizacin slo se realizar en Z.

Ejemplos:

1. Factorizar: F(x) = x2 25

Reconociendo una diferencia de cuadrados obtenemos:

F(x) = (x 5) ( x + 5)

2. Factorizar: G(x) =x2 3

Diremos: no se puede factorizar, es primo; en cambio si el enunciado fuera:

Factorizar en R, entonces:

G(x) = (x - (3)(x + (3)

Ntese que la variable no est bajo el signo radical; ambos factores son de primer grado y esto es correcto.

Observaciones:

1) Todo polinomio de primer grado es primo.

Por ejemplo: 4x 3; x + y + 1

2) Para reconocer si un polinomio es primo en Z, no es suficiente con agotar los recursos necesarios; a veces se encuentran en un artificio de sumas y restas.

Por ejemplo: F(x) = x4 + 4x2 + 4 4x2

T.C.P.

= (x2 + 2)2 (2x)2diferencia de cuadrados

= (x2 + 2 + 2x) (x2 + 2 2x)

Criterios diversosI. Factor Comn.- Se denomina as al factor repetido en varios trminos; para lo cual se eligen las bases comunes afectadas al menor exponente.

As:

4x3y4 5x2y5 +7x4y7Se observa: (x2y4) como factor comn. Luego factorizando tenemos:

X2y4(4x -+ 5y + 7x2y3)

II. Identidades.- Es la aplicacin inmediata de algunos productos notables como:

A. Diferencia de cuadrados:A2 B2 = (A + B)(A B)

As, al factorizar: 9x2 16

Reconocemos: (3x)2 (4)2Luego:

9x2 16 = (3x 4)(3x + 4)

B. Diferencia de cubos:A3 B3 = (A B)(A2 + AB + B2)

As, al factorizar: 27n3 8

Reconocemos: (3n)3 (2)3Luego:

27n3 8 = (3n 2)(9n2 + 6n + 4)

C. Suma de cubos:A3 + B3 = (A + B)(A2 AB + B2)

As, al factorizar: 8n6 + 1

Reconocemos: (2n2)3 + (1)3Luego:

8n6 + 1 = (2n2 + 1)(4n4 2n2 + 1)

D. Trinomio cuadrado perfecto:A2 + 2AB + B2 = (A + B)2A2 2AB + B2 = (B A)2 = (A - B)2As, al factorizar: 9X4 + 6X2 + 1

Ntese: (3x2)2 + 2(3x2)(1) + (1)2

Luego:

9X4 + 6X2 + 1 = (3x2 +1)2Factorizar: 25y4 20y2 + 4

Ntese: (5y2)2 2(52)(2) + (2)2Luego:

25y4 20y2 + 4 = (5y2 2)2III. AgrupacinConsiste en seleccionar convenientemente los trminos de tal manera que se genere algn factor comn o alguna identidad.

As, al factorizar: a10 a2b8 + a8b2 b10Nos percatamos que no hay factor repetido en todos los trminos; pero si agrupamos de dos en dos obtenemos:

a2(a8 b8) + b2(a8 b8)

Factor repetido: a8 b8Luego: (a8 b8)(a2 b2)

Continuamos: (a4 + b4)(a2 + b2)(a + b)(a - b)(a2 + b2)

Se us repetidas veces diferencias de cuadrados.

(a4 + b4)(a2 + b2)(a + b)(a - b)

1. Al factorizar:

ac4x4y ab4c4y

Cuntos factores primos se obtienen?

a) 5

b) 6

c) 4

d) 7

e) 3

2. Despus de factotizar:

x4 1

sealar el nmero de factores primos.

a) 1

b) 2

c) 3

d) 4

e) 5

3. Hallar el nmero de factores primos de:

ax2 + bx2 ay2 by2a) 1

b) 5

c) 3

d) 4

e) 2

4. Cuntos factores primos se obtienen al factorizar:

a4m + a4n b4m b4n?

a) 2

b) 3

c) 1

d) 4

e) 0

5. Despus de factorizar:

a2x2 + b2y2 b2x2 a2y2indicar un factor primo.

a) x + y

b) x + bc) y + b

d) x + a

e) x a

6. Factorizar:

(4x + 3y)2 (x y)2e indicar un factor.

a) 5x + 4y

b) 3x + 2yc) 2x + 5y

d) 3x + 4y

e) 5x + 3

7. Factorizar:

x3y2 + y3z2 x3z2 y5sealar un factor primo.

a) x + y

b) y + zc) y + 1

d) x2 xz + y2e) x2 xy + y28. Factorizar:

a2(b c) + b2(c a) +c2(a b)

a) (b c)(a b)(a c)

b) (a + b)(a + c)(b + c)

c) (a + b)(a b)(a + c)

d) (a + b + c)(ab + ac + bc)

e) N.A.

1. Factorizar los siguientes polinomios:

a. mx + nx

b. ay + by

c. cm dm

d. x2a + x2b

e. m3y + m3t

f. a3x a2y

g. a2x + ay

h. a3 + a2 + a

2. Factorizar los siguientes polinomios:

a. (x y)a + (x y)b

b. (a + b)m2 + (a + b)n

c. (x + y)a3 + (x + y)b2d. (a + 2b)x4 + (2b + a)y3e. (m2 + n2)x2 + (m2 + n2)y2f. (a + b + c)x + (a + b + c)y

g. (m3 + n4)a4 (m3 + n4)b3h. (x4 a)3y2 (x4 a)(y 1)

3. Factorizar:

a. ax + bx + x2 + ab

b. m2 mn mp + np

c. ax + bx + cx + ay + by + cy

d. x2y2 + x3y3 + x5 + y5e. x7 x4y4 x3y3 + y74. Factorizar:

a. 1 x2b. 16 y2c. a4 y2d. 4x2 b2e. a2 + b2f. 25x2 9y2g. (x +3)2 16

h. (2a+ 1)2 25

5. Sealar el nmero de factores primos de cada factorizacin:

a. P(x) = (x 3)(x 2) (x 1)(x 5)

a) 1

b) 2

c) 3

d) 4

e) 5

b. Q(x) = (x + 1)2(x + 2)3(x + 3)

a) 1

b) 2

c) 3

d) 6

e) 5

c. M(x) = x(x + 1)(x - 2)5(x - 7)9(x 1)

a) 1

b) 2

c) 3

d) 4

e) 5

d. F(x) = 2x3(x + 1)(x2 1)4 (x + 1)5a) 1

b) 2

c) 3

d) 4

e) 5

Aspa simpleSe utiliza para factorizar particularmente polinomios de la forma ax2n + bxn + c; o que se amolden a dicha forma.

Proceso:

1. Descomponer los extremos.

2. Verificar que la suma de productos en aspa sea igual al trmino central.

As, al factorizar: x2 7x + 12

Descomponemos:

Verificando: 3x 4x = - 7x

Luego, los factores se forman horizontalmente: (x 3)(x 4)

Criterio de evaluarSe usa bsicamente para factorizar polinomios de grado mayores o iguales a 3.

Proceso:Consiste en evaluar usando el esquema de Ruffini, as dado un polinomio F(x):

Luego:

F(x) = )x a)q(x)Al valor a se denomina cero del polinomio.

Ejemplo: x3 x2 4; si evaluamos en x = 2, tenemos:

Luego: x3 x2 4; se puede expresar como: (x 2)(x2 + x + 2). Ntese que est factorizado. Importante es saber en qu valores podemos usar el esquema; entonces veamos:

1. Si el primer coeficiente es la unidad (polinomio mnico), se trabaja con los divisores del trmino independiente.

As, al factorizar: x3 + 3x2 x 6; notamos que es mnico, luego planteamos: + (1; 2; 3; 6).

Probando:

Luego (x + 2)(x2 + x 3)

2. Si no es mnico el polinomio, ,usaremos opcionalmente:

+ divisores del trmino independiente divisores del coeficiente principal

As, al factorizar: 2x3 + x2 + x 1

Planteamos, luego:

+ 1

1;2

Al usar el esquema, una vez agotados los valores enteros: (1; -1) no genera divisin exacta, entonces probamos:

Finalmente:

x 1 (2x2 + 2x + 2) = 2x 1 2(x2 + x + 1) = (2x 1)(x2 + x + 1)

2

2

EJEMPLOS

Problemas para la clase

1. Factorizar por aspa simple:

x2 + 7x + 12

x2 9x + 8

x2 14x 32

x2 + 4x 21

21 + m2 10m

y2 27 6y

n4 + n2 6

p6 6p3 + 5

z10 z5 20

6x2 7x + 2

142 + 29 - 15

3x7 + 10x14 1

32 + 5ab 2b2 15x4 + x2y 6y2 11x2y + 10x4 6y2 21m8 17m4n + 2n2 54a7b2 + 7a14 16b4 6x2y4 + 7xy2z 5z2 15x2a + 9xa 108

40x2a + 2 xa + 1-15

2. Factorizar por aspa doble:

x2 + 2xy + y2 + 3x + 3y + 2

a2 + ab -2b2 + 11bc 2ac 15c2 7bc + 2a2 3ab 3c2 2b2 ac

x2 7xy 4xz + 10y2 11yz + 3z2 m2 2n2 + 6p2 mn + 5mp np

2x2 + 4xy 11x 6y2 + 7y + 5

12x2 xy + 11x 6y2 + 13y 5

2m2 5mm + 2n2 -3n 2

2x2 + 3xy + xy 2y2 3yz z2 6a2 ab b2 + 5b 6

1. Factorizar:

12x2 + 7xy - 12y2 + 2x + 11y 2

indicar la suma de los trminos independientes de sus factores primos.

a) 1

b) -1

c) 3

d) -3

e) 5

2. Factorizar:

12x2 + 20xy + 8y2 - 12x - 10y + 3

la suma de los coeficientes de uno de sus factores primos es:

a) 4

b) 5

c) 6

d) 7

e) 9

3. Factorizar:

6x2 7xy + 2y2 + 12x 7y + 6

la suma de los coeficientes de uno de sus factores primos es:

a) 3

b) 5

c) 7

d) 9

e) 11

4. Cuntos factores primos lineales se obtienen al factorizar:

4x4y + 4y 17x2y?

a) 1

b) 2

C) 3

d) 4

e) 5

1. Uno de los factores que se obtiene al factorizar:

(5x4 1) (x2 + 3)

es:

a) x 2

b) x2 + 1

c) x + 1

d) x3 + 2

e) 2x + 1

2. Cuntos factores primos se obtienen al factorizar:

x3yz x2y2z 6y3xz?

a) 1

b) 2

c) 3

d) 4

e) 5

3. Hallar la suma de los trminos independientes de los factores primos de:

P(y) = 4y2 + y4 5

a) 5

b) 6

c) 7

d) 3

e) N.A.

4. Cuntos factores primos de segundo grado se obtienen al factorizar:

9m6 + 26m4 3m2?

a) 1

b) 2

c) 3

d) 4

e) N.A.

5. Cuntos factores primos lineales se obtienen al factorizar:

P(x) = 4x2y2 + 12xy3 + 9y4?

a) 1

b) 2

c) 3

d) 4

e) N.A.

6. Cuntos factores primos de segundo grado se obtienen al factorizar P(x)?

P(x) = 25x6 10x4 + x2a) 1

b) 2

c) 3

d) 4

e) 0

7. Sealar un factor de:

F(x; y) = 10x2 + 23xy + 12y2 +26x + 25y + 12

a) 3x + 4y + 1b) 2x + y + 3

c) 2x + 3y +4d) 2x + 3y + 1

e) 2x 3y + 4

8. Factorizar:

P(x; y) = 4x2 + 13xy +10y2 +18x + 27y + 18

a) 5x + 7y + 9b) 5x + 4y + 8

c) 5x + 3y + 7d) 4x + 7y + 6

e) 4x + 6y + 7

ACTIVIDAD EN AULA

ACTIVIDAD DOMICILIARIA

Un fracaso debe ser una exhortacin para realizar con sagacidad una nueva tentativa.

ACTIVIDAD EN AULA


El mundo progresa menos, porque los hombres buscan apoyo en los dems y no en s mismos.

Un fracaso debe ser una exhortacin para realizar con sagacidad una nueva tentativa.

OBSERVA

Mira que fcil!

q = D - d

RMAX = d - 1

D = dq + R

ESFURZATE POR SER MEJOR CADA DA.

EL TRIUNFO ES TUYO.

R = 0

Triunfan slo quienes se atreven a atreverse.

con su mismo signo

Con signo cambiado

LA PACIENCIA ES LA CLAVE DEL XITO.

ACTIVIDAD EN AULA


La lealtad constituye el ms sagrado bien del corazn humano.

Hay quienes, incapaces de elevarse un centmetro, tratan de levantarse sobre la ruina de otros.

ACTIVIDAD EN AULA


El hombre no debe pensar en lo que le dan o le prestan, sino en lo que por si mismo es y por su propio esfuerzo adquiere.

La confianza en s mismo, es el secreto del xito.

ACTIVIDAD EN AULA


x2 7x + 12

x -3

x -4

Coeficiente del polinomio F(x)

x = a

0 divisin exacta

Cociente

1-10-4

x = 2 22 4

1 12 0

1 3-1-6

x = 2 -2-2 6

1 1-30

divisin

exacta

211-1

x = 1/211 1

2 22 0

importante!

Divisin exacta

ACTIVIDAD EN AULA


Sub rea: lgebra

3 SecundariaSub rea: lgebra

3 Secundaria

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