45, Olimpiada Internacional Agrupado (2)

8/16/2019 45, Olimpiada Internacional Agrupado (2)

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José Luis Hernández Pérez - Ricardo David Fernández Cruz - Jaime Solá de los Santos .

Madrid 2014

1

Problemas de

Las Olimpiadas

Internacionales

e Física

José Luis Hernández Pérez

Ricardo David Fernández Cruz

Jaime Solá de los Santos

Madrid 2014


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XLV. OLIMPIADA INTERNACIONAL DE FÍSICA. 2014.KAZAKHSTAN

PROBLEMA 1

Este problema consta de tr es partes independientes

PARTE A. MecánicaSobre la parte interior de un cil indro hueco de masa M y radio R, conun espesor de pared pequeño, se coloca un disco de masa m.I ni cialmente el ci l indr o está en reposo sobre un suelo horizontal y eldisco se encuentr a locali zado a una altur a R por encima del suelo, talcomo puede observarse en l a figura

Consideramos un sistema de referencia cartesiano ligado al suelo, dicho sistema dereferencia es inercial. Las fuerzas reales que actúan sobre el cilindro son: peso Mg,fuerza de rozamiento del cilindro con el suelo FR , fuerza con que el disco empuja alcilindro Nc, y la fuerza con que el suelo empuja al cilindro N1. Las fuerzas que actúan sobre el disco son: su peso mg y la fuerza con que el cilindroempuja al disco, Nd. (ver la figura A1).

R

M

m

FR

N1

Mgmg

Nd

Nc

+

+

C C

Encontrar la fuerza de interacción entr e el

disco y el ci l indro justamente en el instanteen que el disco pasa por la parte infer ior desu trayectoria.Suponer que entre el disco y la partein ter ior del cil indro no existe rozamiento yque el cil indro se desplaza por el suelo sindeslizar.

F ig. A1

+ O


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Las fuerzas Nc y Nd son de acción y reacción, por tanto, sus módulos son iguales: Nc=Nd=N. La fuerza de rozamiento FR se dirige hacia la derecha, porque cuando eldisco se desplaza por el interior del cilindro, éste se mueve hacia la izquierda.Al cilindro de la figura A1, le aplicamos las leyes de Newton, desde los ejes inercialesen O, cuyos sentidos positivos se indican en la figura, (esta cuestión es convencional).

(1)aM2αsen NMaaMαsen NaMR

aR MF

R γacilindroelrodar Por

γR MR

γR M

R

γIF;γIR FM;MaFαsen NF

CCCC

C

R

C

2

R R CCR x

La aceleración del cilindro es un vector paralelo al suelo y dirigido de derecha aizquierda

Procedemos igual con el disco

- (2)amαsen N X ; N cos α – m g = m ay

La aceleración del disco respecto de O, es un vector con dos componentes. Sinembargo como en nuestro estudio consideramos el instante en el que el disco llega alsuelo y entonces su velocidad es solo según el eje X y dirigida de izquierda a derecha,nos basta con tener solo en cuenta la componente según X de la aceleración, sinnecesidad de ocuparnos también de la otra.

Comparando (1) y (2)

CtevmvM2dtdvm

dt

dvM2ama2M XC

XC

xc

En el instante inicial las velocidades del cilindro y del disco son cero, luego Cte=0

(3)vmvM2 XC

El vector velocidad del cilindro es paralelo al suelo y dirigido de derecha a izquierdaAmbos vectores se han determinado con respecto al sistema inercial ligado al suelo.

La fuerza de rozamiento actúa en el sentido de proporcionar un momento de fuerza paraque el cilindro gire, pero no es una fuerza disipativa por no haber deslizamiento.

La energía inicial del sistema es potencial mgR y cuando el disco pase por la parteinferior de su trayectoria, la energía es: cinética de traslación del disco, cinética detraslación del cilindro y cinética de rotación del cilindro. Como no hay rozamiento entreel cilindro y el disco, éste desliza sin rotar.


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4

(4)vmvM2R gm2

vm2

1vM

R

vMR 2

1vm

2

1vM

2

1Iω2

1vm

2

1vM

2

1R gm

2

X

2

C

2

X

2

C2

2

C22

X

2

C

22

X

2

C

Despajamos vX de la ecuación (3) y sustituimos en la ecuación (4).

(5)

m2M

R gM

M

m

m2MM

R gmv

m

2M1M

R gmv

m

M2Mv

m

Mv2vMR gm

m

vM4vM2v

m

M2mvM2R gm2v

m

M2v

2

C

C

22

C

22

C

2

C

2

C

2

2

C

2

C

2

CCX

Sustituyendo (5) en (3)

(6)m2M

gR M2vvm

m2M

gR M

M

mM2 XX

Vamos ahora a determinar la velocidad del disco respecto del cilindro cuando el disco pase por la parte inferior, pero antes explicamos con un ejemplo el proceso.

F ig. A2

O

Y

Y´

H

X´

t = 0

C

X

vC

vH

O

Y

Y´

H

X´

t´= Δt

C

X

vC

vHxC xH


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5

En la figura A.2, y ligado al suelo se ha considerado un sistema de referencia inercialOXY. C es un carrito que en el instante t=0 tiene una velocidad vC respecto de OXY yligado a él se considera un sistema de referencia O´X´Y´. H representa a un hombre que

se desplaza sobre el carrito con una velocidad vH respecto de OXY. Al cabo de un cortotiempo las posiciones del H y del carrito C se indican en la segunda figura de A2.La posición del hombre respecto del sistema ligado al carrito (O´X´Y´) es:

tvtvvtvtvXXX relHCHCHc

En el problema, el carrito es el cilindro hueco y el hombre el disco, por tanto, lavelocidad relativa del disco respecto del cilindro es la suma de vC y vH = vX

La fuerza que el cilindro ejerce sobre el disco en la parte inferior, es igual y contraria ala suma del peso del disco más la fuerza centrípeta para girar alrededor del punto C,Fig.A1.

M3

m1gm3

M

m3gm

M

gmg2mgm

M

mM2gR

R

mgmF

M

mM2

mM2

R gM

R

mgm2

M

m

mM2

R gM

R

mgmF

mM2

R gM2

mM2

R gM

M

m

R

mgm

R

vmgmF

2

22

22

rel

PARTE B. Física molecular

Una burbuja de radio r= 5,00 cm contiene un gas ideal diatómico, lapelícula jabonosa tiene un espesor h= 10,0 m, dicha burbuj a estásituada en el vacío. La tensión super f icial de la disolución jabonosa es = 4,00.10 -2 N/m y su densidad = 1,10 g/cm 3 . 1) Determinar lacapacidad molar del gas en el proceso de sumini strar le calor de maneramuy lenta de modo que la burbuja permanece en equil ibrio mecánico. 2)Encontrar la expresión de la f recuencia angular de las pequeñasoscil aciones radiales de la burbuja, en el supuesto de que la capacidadcalorífica de la película jabonosa es mucho mayor que la del gas.


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Suponer que el equi l ibr io térmico se alcanza mucho más rápidamenteque el per iodo de las oscil aciones.

Ayu da. Laplace demo stró que existe un a diferencia de presión dentro yfuera de una sup erf ic ie curv ada originad a po r la tensión superf ic ial de la

interfas e entre el líqu ido y el gas, sien dor

σ 2 Δp

1. La película jabonosa tiene dos superficies, debido a tener un cierto espesor h, sinembargo éste lo vamos a considerar muy pequeño frente al radio, por lo que podemoshacer una aproximación considerando a los dos radios, interior y exterior, iguales. En

consecuencia la presión capilar es: .r

σ4 Dado que la presión externa es nula y existe

equilibrio mecánico, esa es la presión del gas contenido en la burbuja.

Aplicamos el primer principio de la termodinámica

(1)dT

dV

n

pCCdV pdTCndTCndQ VV

Aplicamos la ecuación de los gases perfectos al gas que está contenido en la burbuja.

dr r π3

12dVr π

3

4V

nR

dr r π3

32

dTdTnR dr r π3

32TR nr π

3

16nRTr π

3

4

r

σ4

23

23

Sustituyendo en (1)

R 4R 2

3R 2

5R 2

3C

nR

dr σr π

3

32

dr r π3

12

r n

σ4CC V

2

V

2) En principio, al suministrar una cantidad de calor al gas contenido en la burbujaaumentaría su temperatura y además intercambiaría energía calorífica con la solución

jabonosa

JJ

GG

JJGGcm

ΔtcmΔt´Δt´cmΔtcm

Teniendo en cuenta, según el enunciado, que cJ>>cG , t´ tiende a cero, esto significaque la película jabonosa mantiene su temperatura y además el gas también la mantiene,

por tanto, consideramos el proceso isotérmico y a costa de la energía recibida, efectuarátrabajo contra la burbuja que aumenta de volumen, pero como es de comportamientoelástico esta membrana efectuará oscilaciones entre dos posiciones de distintos radios.


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Imaginemos que la burbuja en un instante t, tiene un radio r+x, siendo x pequeñocomparado con r.

La diferencia entre la fuerza debida a la presión del gas (ahora designado con p´) y ladebida a la tensión superficial crea una fuerza resultante que tiende a llevar a la burbuja

a su radio primitivo. En esta situación se producirán un conjunto de oscilacionesradiales de la burbuja. La ecuación diferencial.

(1)dt

xdmxr ·4π4σxr ·4π p;

dt

xdmxr ·4π

xr

2σ2·xr ·4π p

22

22

222

Veamos la relación entre p´ y la presión del gas p, cuando los radios son: r y r+x.

2233

3

3

3

xr 3xr 3xr

r p

xr π3

4

r π3

4

pV´

V p p´ p´V´ pV

Puesto que x


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La ecuación (2) es la de un movimiento armónico simple

PARTE C. Electricidad

En el instante ini cial el interruptor S (ver figura) está abierto y elcondensador 1 de capacidad 2C posee una carga q o ; el condensador 2 decapacidad C está descargado y por las bobinas, de coeficientes deautoinducción L y 2L respectivamente, no pasa corr iente.

Cuando S esté abierto el circuito de la figura superior es un circuito oscilante concapacidad C

E y autoinducción L

E= L+ 2L =3L.

C3

2C

C

1

2C

1

C

1E

E

El periodo de dicho circuito es:

LC2

1ωLC2π2C

3

2L3π2CLπ2T EE

Designamos con t al tiempo transcurrido desde que se ha iniciado la descarga, con q 1 la

carga eléctrica del condensador 1 y con q2 la del condensador 2 y con I la intensidad dela corriente eléctrica que circula por las bobinas.Según el principio de conservación de la carga eléctrica.

21o qqq

Dado que no existen resistencias en el circuito, aplicamos el principio de conservaciónde la energía

1

2

L

2L

2C

C

S

El condensador 1 comienzaa descargarse y justamentecuando la corriente que

circula por las bobinas esmáxima, se cierra de formainstantánea el interruptor S.Determinar la intensidadmáxima de corr iente quecircula por S.


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)1(CL6

q4qq3qI

2

q4qq3q

C2

qq2qq2qq

3LI

IL3C

qq

C2

q

C2

qI3L

2

1

C

q

2

1

C2

q

2

1

C2

q

2

1

1o

2

1

2

o

1o

2

1

2

o1o

2

1

2

o

2

1

2

o2

2

2

1O

2

1

2

o2

2

2

2

1

2

o

Para determinar la intensidad máxima de la corriente derivamos la ecuación (1)respecto de q1 e igualamos a cero

ooo2

01o1

1o

2

1

2

o

o1

1

q3

1q3

2qq

q3

2q0q4q60

qq4q3q2

q4q6

CL6

1

dq

dI

Sustituimos estos valores de las cargas en I.

CL18

q

LC6

q3

2q4q

9

43q

I ooo

2

o

2

o

max

(2)

Al cerrar instantáneamente el interruptor S, en el circuito superior el condensador tiene

una carga (2/3) qo , y la bobina almacena una energía 2maxLI2

1. La intensidad máxima

en el circuito superior IMS, se producirá cuando la energía almacenada en elcondensador pase a la bobina.

max

o

2

o

MS

2

o

2

o2

MS

2

MS

2

o

2

o2

MS

2

max

2

o

I5CL18

q5

CL18

q5I

CL18

q

CL18

q4I

ILCL18

qL

C18

q4IL

2

1IL

2

1

2C

q3

2

2

1

En el circuito inferior la intensidad máxima IMI


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10

max

o

2

o

MI

2

o

2

o2

MI

2

MI

2

o

2

o2

MI

2

max

2

o

I2CL18

q2

CL18

q2I

CL18

q

CL18

qI

IL2CL18

qL2

C9

qI2L

2

1IL2

2

1

C

q3

1

2

1

Las intensidades máximas anteriores no coinciden en el tiempo a través de S.

En el instante inicial (cierre instantáneo de S), en el circuito superior la energía delcondensador supera a la energía almacenada en la bobina.

36C

q

18LC

qL2

1LI2

1E;C9

q

C36

4q

2C

q3

2

2

1E2o

2o2

maxL

2o

2o

2

o

C

Por consiguiente a partir del instante de cierre de S, el condensador 1 se siguedescargando. La ecuación de la intensidad de la corriente en el circuito superior es:

θtωsenI5θtωsenIi maxMSS

En el instante t=0 (cierre de S) la ecuación anterior conduce a:

5

52

25

51θcos

5

5

5

1θsenθsenI5Ii maxmaxS

En el instante inicial (cierre instantáneo de S), en el circuito inferior la energía de la bobina es igual que la del condensador

C18

q

18LC

qLI2L

2

1E;

C81

q

C

q3

1

2

1E

2

o

2

o2

max2L

2

o

2

o

C

El condensador sigue recibiendo carga.

tωsenI2tωsenIi maxMSI

En el instante t=0 (cierre de S) la ecuación anterior conduce a:

2

2

4

21ψcos

2

2

2

1ψsenψsenI2Ii maxmaxI


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El diagrama rotatorio para las dos intensidades es:

C2L

q

CL18

q33II

02

22

5

55IψsenI2θsenI5(Y)I

3I2

22

5

525IψcosI2θcosI5(X)I

oo

maxS

maxmaxmaxS

maxmaxmaxmaxS

maxI5

maxI2


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PROBLEMA 2. Ecuación de estado de van der Waals

La conocida ecuación de estado de los gases ideales parte de lasuposición de que las moléculas ni tienen tamaño ni interactúan entresí. En real idad sí que tienen un tamaño finito e interaccionan entr eellas.Todas las partes de este problema se refieren a un mol de agua.

Parte A. Ecuación de estado de un gas no ideal

Teniendo en cuenta el tamaño f inito de las moléculas l a ecuación deestado de un gas se escr ibe como

RT b V P P es la presión del gas, V el volumen ocupado por el gas y T latemperatura, R es la constante de los gases, b representa una constanteextraída a par ti r del volumen de las moléculas.

El término b se introduce en la ecuación de los gases ideales restando del volumen V

medido del gas un volumen relacionado con el tamaño de las moléculas. A primera vistase podría restar el volumen de las NA moléculas que existen en el mol de gas, pero estono es correcto porque las moléculas, consideradas como esferas rígidas, no puedenaproximarse tanto como para tocarse entre sí, puesto que aparecen fuerzas eléctricasrepulsivas, esto conlleva a considerar a b mayor que el volumen de las moléculas. Lasestimaciones más sencillas suponen que b es cuatro veces el volumen de lasmoléculas.(Puede consultarse el razonamiento en Química-Física de S.Glasstone,

página 270 .Editorial Aguilar).

3

AA

3

d2N N2

dπ3

44 b

Van der Waals propuso una ecuación, en l a que se incluía un término enla presión para considerar las fuerzas intermoleculares, que de formaaproximada describen los estados gaseoso y líquido de la materia.

T R b V 2 V

a P

En dicha ecuación a es una constante.

A1 . Est imar b y exp resar la en fun ción d el diámetro d de las molécu las


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A una temperatura T inf er ior a la de un valor crítico T C la ecuación devan der Waals, cundo se representa en un diagrama P-V, proporcionauna isoterma (curva 1 de la figura 1) denominada isoterma de van derWaals, En la misma gráfica la cur va 2 representa a un gas ideal para

esa misma temperatura.

La isoterma 1 de la f igura 1 se separa de la isoterma real porque entr eB y A existe una línea recta tr azada a una presión constante P LG Este

segmento recto se localiza entre los volúmenes V L (líquido) y V G (gas) y

Fig.1.- Isoterma de vander Waals de g as líqu ido(curva 1) y la isoterma deun g as ideal (curva 2 ).

Fig.2.- Diferentes isotermasde la ecuación de van derWaals


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representa que en esa zona coexi sten en equi l ibrio las fases líquida ygaseosa. A partir de la segunda ley de la termodinámica J. Maxwelldemostró que P LG debe escogerse cuando las áreas I y II (sombradas enla figura 1) sean iguales.

Si se aumenta la temperatura, el segmento recto AB de la isoterma sereduce a un punto en el que la temperatura y la presión son T c y P GL=P C .Los parámetros T C y P C se denominan críti cos y por la vía experimentalse miden con gran precisión.

La isoterma TC presenta un punto de inflexión lo cual se traduce, desde el punto devista matemático, en dos ecuaciones:

0dV

Pdy0

dV

dP

T

2

C

C

2

TC

C

Despejamos PC de la ecuación de van der Waals y hallamos las derivadas

3C

4

C

C

4

C

3

C

C

4

C

4

C

CC

T

2

C

C

2

2

C

3

C

C

3

C

2

C

C

TC

C

2

CC

C

C

bV

V

TR

a3

V

a6

bV

TR 2

V

a6

bV

bV2TR

dV

Pd

bV

V

TR

a2:0

V

a2

bV

TR

dV

dP;

V

a

bV

TR P

Dividiendo miembro a miembro las dos últimas ecuaciones

b27a8

TR ; b4

27

TR

a2

b b3

b27

TR

a2

b3V

bV

V

2

3

bVV

bV

V

TR 2a

TR

3a

C

C

2

3

C

C

C

C

2

C

3

C

3

C

4

C

C

C

Sustituyendo en la ecuación de van der Waals

A2. Expresar las cons tantes a y b de la ecuación de van d er Waals enfunción de T C y P C


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15

C

2

C

2

C

C

P

TR

64

27a

P8

TR b

2

C

C

C

C

CC

C

C

Cc

2

222C2C

C

2C

P8

TR P27a

b2

TR P3P

b2

TR

P27a9

aP:ecuación primeralaensusttyendo;

27P

a b

b27

a

b9

a

b27

a4P

2b b27

a8

b9

aP

b2

TR

b9

aP

mol

m3,1.10

m

N2,2.108

K 647K mol

m N8,31

b

mol

mPa0,55

mol

m N0,55

m

Nmol

m N

0,55

m

N2,2.10

K 647K mol

J8,31

64

27a

35

2

7

2

6

2

4

2

2

22

2

7

2

2

O2H

O2H

Según el apartado A1

m3,0.10mol6,02.102

mol

m3,1.10

2N

bd

103

123

35

3

A

Parte B. Propiedades de gas y líquido

Esta parte del problema se refiere a las propiedades del agua en losestados gaseoso y líqui do a la temperatura de T = 100ºC. L a presión del

A3. Para el agu a, T C =647 K y P C =2,2.10 7 Pa. Calcular las con stantes a yb del agua

A4. Es tim ar el d iámetr o d e un a mo lécu la de agu a


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vapor saturado a esa temperatura vale P GL= P o = 1,0.10 5Pa y el volumenmolar del agua es = 1,8.10 -2 kg/mol.Estado gaseoso

Resul ta razonable suponer que V G >>b es válida para la descr ipción delas propiedades del agua en el estado gaseoso

A partir de la ecuación de van der Waals

TR bVV

a p G2

G

o

Teniendo en cuenta la suposición del enunciado GG V bV

o

o

22

GG

2

Go

G

Go p2

a p4TR RTV0aTVR V pRT

V

aV p

Para decidir entre el signo más o el menos, apliquemos la ecuación obtenida a un gasideal para el que a =0

RTRTV p2 Go

Si el signo fuese negativo VG =0, lo cual es imposible , por tanto, la solución es.

o

o

22

G p2

a p4TR RTV

(1)

Sustituyendo valores en la ecuación anterior

35

52

G m0,03081,0.102

0,551,0.1043738,313738,31V

Si utilizamos la ecuación de los gases ideales

3

5

o

Go m0,03101,0.10

3738,31

p

RTV

Si empleamos la ecuación de los gasea ideales se obtiene prácticamente el

mismo volumen.

B1. Obtener la formula de V G exp resánd ola en func ión de R, T , p o y a

B2. Obtener el porc entaje de dism inución del volumen debido a las

fuerzas interm oleculares.Go

G Go

Go

G

V

V V

V

ΔV


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17

Calculamos anteriormente el volumen con la ecuación (1), VG=0,0308 m3

Calculamos anteriormente el volumen con la ecuación de los gases ideales,VGo=0,0310 m3

%0,651000,0310

0,0308-0,0310%

Si el volumen del sistema se reduce por debajo de V G el gas comienza acondensase. No obstante un gas muy puro puede permanecer en eseestado metaestable, llamado vapor subenfr iado, hasta que el volumenalcanza un cierto valor V G min

En la figura 1, la isoterma de van der Waals penetra en la región en que coexisten lasfases gas y líquido y esa isoterma adquiere un valor máximo. Admitimos que el gas se

puede mantener como tal hasta ese punto, en el que se cumple que 0dV

dP

T

.

Despejamos la presión de la ecuación de van der Waals y hacemos la derivada

0V

2a

bV

TR

dV

dP

V

a

bV

TR P

3

min

2

minGT

2

G

Hacemos la aproximación GminGmin V bV

783,55.10

0,0308

V

V

mol

m.1054,3

K 733

K mol

Nm8,31

mol

m N0,552

TR

a2V

V

2aRT

4

Gmin

G

34

2

4

Gmin

Gmin

Estado líquido

Para el estado líquido resul ta razonable admiti r que P


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18

La ecuación de van der Waals aplicada con la condición del enunciado da lugar a:

TR 2

a

T bR 411a

TR 2

a

T bR 41aa

V

TR 2

T bR a4aaV0abaVRTVRT bV

V

a

L

2

LL

2

LL2

L

Surge la duda sobre qué signo debe utilizarse en la ecuación anterior.La densidad del agua a 100ºC es 0,958 g/cm3 Un mol de agua (0,018 kg) en estadolíquido ocupa un volumen a 100ºC de

35

33 m1,72.10VV

kg0,018

m0,958.10

aguadekg1

El cociente 53

510.72,1

m

kg8,9.10

3738,312

0,55

T2R

a

, por consiguiente el

término incluido en el paréntesis debe ser menor que la unidad y eso conlleva utilizar elsigno menos.Calculemos el volumen que ocupa un mol de agua a 100ºC proporcionado por laecuación deducida anteriormente, empleando el signo menos.

355

L m4,01.100,55

3738,313,1.10411

3738,312

0,55C)(100ºV

Como se observa un valor muy diferente del valor experimental, lo que en definitiva nosdice que la ecuación de van der Waals no puede aplicarse en estado líquido siqueremos obtener valores que se acerquen razonablemente a los experimentales.

Suponiendo que bRT


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19

a/bRT 46 21 14 11 8,6 7,1

La suposición de que a>>bRT se cumple cuando T tiende a cero, si ponemos estacondición en la ecuación de van der Waals, el segundo miembro tiende a cero y el

primero debe hacerlo para mantener la igualdad, luego VL-b tiende a cero, esto es, el

volumen tiende al valor de b

335l m

kg581

mol

m3,1.10

mol

kg0,018

b

μ

V

μρ

Calculamos la densidad del agua líquida a 100ºC

35C100ºm

kg944

10.01,4

0,018ρ

Un resultado que nada tiene que ver con la densidad del agua a 100º C que según lastablas es 958 kg/m3 .Volvemos a lo comentado en el apartado anterior la ecuación de van der Waals no esaplicable al estado líquido a 100ºC

Escogemos la ecuación

a

TR b411

2RT

aVL y representamos VL frente a T a

temperaturas bajas con lo que se obtiene prácticamente una línea recta de ecuación

B6. Exp resar el c oef icien te de exp ans ión térm ica ΔT

ΔV

V

1 α

L

L

en función

a,b, R y dar su valor.


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20

y = 2E-08x + 3E-05

R2 = 0,9983

0,0000285

0,000029

0,0000295

0,00003

0,0000305

0,000031

0,0000315

0 50 100 150 200

temperatura en K

Volumenenm

3

14

58

8

8

58

8

l

58

L

K 6,3.103.10752.10

2.10α75K T para

TT´

TT´2.10

3.10T2.10

1αTT´2.10ΔV3.10T2.10V

Para T =20 K ; = 6,6.10-4

K -1

; Para T =293 K , = 5,6.10-4

K -1

El coeficiente del agua a 20 ºC es 2,1.10-4 K -1 .

El término de la ecuación de van der Waals que tiene en cuenta la interacción moleculares: 2La/V , término que tiene las dimensiones de una presión .Veamos la variación de ese

término al pasar del líquido a gas

B7. Expresar el calor de vaporización del agua en función de , a , b ,Ry calcular lo.


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21

kg

J.1067,0

mol

m4,01.10

mol

kg0,018

mol

m N0,55

L

a

TR b411

2RT

aμ

a

Vμ

aL

V

a

V

a

V

adV

V

aμLE

6

35

2

4

LLLG

2

GV

LV

El calor latente de vaporización del agua que se encuentra en las tablas es 2,26,106 J/kg,como se observa valor muy discrepante de este cálculo.

Suponemos que las moléculas cuando forman una superficie molecular están encontacto entre si. Si hay NA moléculas (imagínese que son cubos) ofrecen una superficie

OHA 2l N2 , siendo OH2l la longitud de la arista y el 2 porque se forman dos superficies

una por arriba y otra por debajo.La tensión superficial se define como la energía que hay que aportar por unidad de

superficie.Si las NA moléculas pasan del estado gaseoso a formar la capa monomolecular laenergía el L (expresado en J/mol). Al suponer que las moléculas se tocan la longitud dela arista coincide con OH2d , obtenido en el apartado A1.

2210123

6

2

OHA m

J0,12

m3.10mol6,02.102

mol

kg0,018

kg

J0,76.10

d N2

Lσ

2

La tensión superficial del agua en contacto con aire y a una temperatura de 20ºC es0,073 J/m2 .

Nosotros opinamos que no deberían haberse incluido estos apar tados en elproblema, dado que los valores obteni dos tan lejos de los reales pueden desorientar alalumno.

Parte C. Sistema líquido – gas

La regla de Maxwell implica que sean iguales las áreas I y I I en laf igura 1 determinadas por la recta AB que corta a la isoterma de van der

Waals junto con las aproximaciones reali zadas en la parte B, conducen

B8. Consid erar una capa monomo lecular de agua, est imar la tensiónsup erf ic ial del agua.


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a que la presión de vapor p LG dependa de la temperatura según laecuación

T

B Ap ln

LG

en l a que A y B son constantes que pueden expresarse en función de a yb

R b

a B ; 1

2 b

a ln A

Designamos con pV la presión del vapor saturado en la superficie libre del líquido y con´

V p , la presión del vapor justamente encima de la superficie del menisco de radio r.

Nos piden la diferencia entre estas presiones, que tiene que ser un valor muy pequeño.

El equilibrio de presiones medidas a la altura del menisco y a la misma altura en ellíquido nos conduce a:

C1. Encon trar el pequ eño camb io de pres ión p T del vapor saturadosobre la superf ic ie cu rvada del líqu ido , exp resándolo en fu nc ión de la

densidad del vapor,S , la den sid ad del líqu ido, L , la tensión

superf ic ial ,

y el radio d e la superf ic ie ,r .

W.Thomson demostró que la presióndel vapor saturado depende de lacurvatura de la superf icie dellíquido. Considérese un líquido que

no moja al capilar (ángulo decontacto 180º), al sumergi r el capi laren el líquido el ni vel disminuyerespecto de la superficie libre dellíquido debido a la tensiónsuper fi cial.(ver la figura 3).

Fig.3.- Un tu bo capilar estásum ergid o en un líqui do queno mo ja al material del capi lar.


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23

SL

S

SL

LSL

T

SL

L

SLLLTV

´

V

SL

SVLV

´

VLV

ρρ

ρ

r

σ2

ρρ

ρρρ

r

σ2Δp

1ρρ

ρ

r

σ2

r

σ2-

ρρgr

σ2gρ

r

σ2-hgρΔp p p

ρρgr

σ2h

r

σ2hgρ phgρ p

r

σ2 phgρ p

Los estados metaestables considerados en el apartado B3 se utilizanampl iamente en experimentos reales como la cámara de ni ebla empleadaen el registr o de partículas elemental es. También ocurre en fenómenos

naturales, tales como la formación de rocío matinal en donde el vaporsubenf r iado se condensa formando gotas. Las gotas muy pequeñas seevaporan rápidamente pero las que ti enen cierto tamaño pueden creceraún más. .

Calculamos las presiones del vapor saturado a 20º C y a 15º C.

Pa1,32.10C) p(15º11,79288213519,2C) p(15ºLn

Pa1,49.10C) p(20º11,9293

213519,2C) p(20ºLn

21358,313,1.10

0,55B;19,21

3,1.10

0,55lnA

5

5

525

Si la presión de la gota es mayor que la exterior tenderá a evaporarse y si es menortenderá a crecer, en el límite

5

sL

s5

T 1,49.10ρρ

ρ

r

σ21,32.10C) p(20ºΔpC) p(15º

La densidad del vapor la calculamos suponiendo que el vapor se comporta como un gasideal

C2. Supo ner que al anoch ecer y a la temperatura de t e =20ºC, el air e s eencu entra satu rado de v apo r de agua, pero al am anecer del día

sigu iente la temperatura ha descend ido en T=5,0º C. Supo niendo quela presión de vapor n o ha camb iado est imar el radio mínimo de lasgo tas que to davía pued en cr ecer.

Ut i l izar la tensión del vapor del agua de las tablas, cuy o valor es =0,073 N/m


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m.105,89990,17.10

0,990,0732r 0,17.10

0,991000

0,99

r

0,0732

m

kg0,99

288K K mol

m N8,31

mol

kg0,018

m

N1,32.10

TR

μC) p(15ºρ

9

5

5

3

2

5

S

Los valores de las tablas de la presión de vapor de agua saturado son: a 15ºC , 1,71 kPay a 20ºC , 2,34 kPa.

Aplicando estos datos:

m1,9.10

1000

0,0130,0732r

m

kg0,013

8,31.288

0,0181710ρ;630

ρρ

ρ

r

σ2 63S

sL

s


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PROBLEMA 3. Un modelo simple de la descarga en un gas

Una cor r iente eléctr ica que cir cula a través de un gas recibe el nombre de

descarga eléctr ica en un gas. Existen diversos ti pos de descargas, comola de las lámparas incandescentes, la descarga en ar co en la real izaciónde soldaduras y la conocida descarga eléctr ica entre las nubes y la tier raen forma de rayo.

Parte A. Descarga en un gas no automantenida

En esta parte del problema se estudia la descarga de un gas noautomantenida. Para mantener la descarga de forma permanente senecesita que actúe un ioni zador externo, Z ext ,el cual crea por pares ionesy electrones libres por unidad de volumen y por unidad de tiempo deforma uniforme en todo el volumen.Cuando el ioni zador externo está en funcionamiento, el número deelectrones e iones en el gas aumenta. El aumento de la densidad deelectr ones y de iones en el gas se contrarresta debido a un pr oceso derecombinación por el que se unen electrones con iones para formar

átomos neutr os. El número de recombinaciones Z rec en el gas por unidadde volumen y de tiempo esta dado por

i n e n r rec Z

En la anterior ecuación, r es una constante denominada coeficiente derecombinación, n e y n i son las densidades de los electrones y los ionesrespectivamente.Suponer que el tiempo t=0, se conecta el ionizador externo y lasdensidades de los electrones y de los iones son nulas. La densidad deelectr ones n e (t) depende del ti empo según la ecuación:

bt tagh αo n (t) e n

n o , a y b son constantes y tagh es la tangente hiperbólica.

Al actuar el ionizador en el seno del gas aparecen iones al mismo tiempo una parte deellos desaparece por recombinación En un principio se producen más iones quedesaparecen, pero a medida que su número crece aumenta la recombinación por lo quetras un tiempo grande, su número permanece constante.La velocidad de variación de la densidad de los iones (o de los electrones) con respectodel tiempo vale;

A1. Expresar n o , a y b en fu nción de Z ext y de r .


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ieextrecext nnr ZZZdt

dn

Como se producen los mismos iones que electrones, ne=ni = n(t), al sustituir en laecuación anterior

2

oext

2

ext bt)taghar(nZnr Zdt

dn

Según el enunciado en el tiempo t=0, no hay ni iones ni electrones, por tanto no =0.Cuando transcurra un tiempo grande, t , y ya no varíe la densidad de electrones

sino que se mantiene constante 0dt

dn .

r

Zaar Z

0e

0ear Z

ee

eear Z bttaghar Z0

ext2

ext

2

2

ext

2

2

ext

22

ext bt

bt

bt bt

bt bt

b?

Suponer que existen dos ionizadotes disponibles. Cuando el primerofunciona la densidad de electrones en el gas alcanza un valor deequi li brio de n e1 =12.10 10 cm -3 . Cuando lo hace el segundo el valor deequi l ibrio para la densidad de electrones es n e2 =16.10 10 cm -3 .

Cuando funciona el primer ionizador y se alcanza el equilibrio.

:r

Zan;

r

Za

1

ext

e1

1

ext

Cuando funciona el segundo ionizador y se alcanza el equilibrio.

:r

Zan;

a

Za

2

ext

e2

2

ext

Cuando funcionan los dos ionizadotes simultáneamente

3112102102e2

2

e1e

2

e2

2

e1

2

ext

1

ext2

e

2

ext

1

ext

e

2

ext

1

extext

cm2.1016.1012.10nnn

nnr

ZZn

r

ZZan;

r

ZZ

r

Za

A2. Enco ntrar la densid ad de electron es n e en el equi l ibr io s i los dosionizadores externos func ionan simultáneamente.


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¡Atención! A continuación se supone que el ionizador

externo está funcionando durante un largo periodo de

tiempo de modo que el proceso se encuentra en estado

estacionario , esto es, no depende del tiempo. No se considera

el campo eléctrico de los portadores de carga.

Se supone que el gas l lena un ci l indro que tiene dos platos conductoresen sus extr emos de área S cada uno y separados entre sí una distancia

S L . Por medio de los platos se aplica al ci l indro un voltaje U quecrea un campo eléctr ico E entr e los mencionados platos. Admi ti r que lasdensidades de ambas clases de cargas permanecen prácti camente

constantes a lo largo del cil indro.Debido al campo eléctr ico E, ambos por tadores de cargas (electrones, e,e iones i) tienen la misma velocidad v proporcional al campo v= E,

expresión en l a que es una constante llamada movil idad de la carga.

En el estado de equilibrio dentro del cilindro se están produciendo electrones por unidad

de tiempo: Zext LS. En esa unidad de tiempo desaparecen por recombinación Z rec LS, yademás existe una intensidad de corriente Ie. Si n representa los electrones quedesaparecen al llegar al ánodo (electrodo positivo) que forman parte de la intensidad dela corriente, la carga es ne y por definición de intensidad

e

I

t

n

t

neI ee

El balance por unidad de tiempo en el estado estacionario es:

e

ISLnnr

e

ISLZSLZ eie

e

recext

Como se producen los mismos iones que electrones, el argumento anterior sirve para los

iones

e

ISLnnr

e

ISLZSLZ iie

i

recext

La intensidad de la corriente electrónica esEβSe

InEβSenvSenI eeeee y la

de la corriente iónicaEβSe

InEβSenvSenI iiiii

Sustituyendo estos valores en las ecuaciones anteriores y sumándolas

A3. Exp resar la corrien te eléctric a I en el cil ind ro en fun ción de U, , L,S , Z ext , r y e ( e = carga elemen tal de electricid ad)


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2eII

EβSe

IISLr SLZ

e

II

EβSe

I

EβSe

ISLr 2SL2Z ie

2

ie

ext

ieie

ext

Designamos con I a la intensidad total y como la contribución de la corriente electrónicay la iónica son iguales, resulta que

2

IIIIII ieie . La relación entre el

campo E y el voltaje aplicado es U = E L, sustituyendo en la última ecuación

0SLZIe2

1ISUβe4

Lr

2e

I

SUβe4

ILr

2e

I

UβeS

4

ILr

SLZ ext2

222

3

222

23

2

2

ext

L

Resolviendo la ecuación de segundo grado

3

22

ext

4

22

22

3

ext22

3

222

3

ext22

3

222

3

ext222

3

2

Lr

Uβ

ZLr 411-SUβe

SUβe

Lr

SLZSUβ

Lr 4

11I

SUβe2

Lr

SLZSUβ

Lr 41

e2

1

e2

1

SUβe2

Lr

SLZSUβe4

Lr 4

e4

1

e2

1

I

I tiene que ser positivo por ello se ha elegido el término positivo en la solución.

Si el voltaje aplicado U es suficientemente pequeño 1Uβ

ZLr 422

ext4

, aproximamos el

término de la raíz cuadrada de la ecuación anterior a:

A4. Encontrar la resist iv idad gas cuand o el vol taje apl icado seasu ficien temen te pequeño y expres arlo en func ión de , L , Z ex t , r y e.


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ULr

Zr Sβe2Zr Uβ

L2

Lr

SUβeI

Zr Uβ

L2asaproximamo

Uβ

ZLr 41

ext

ext

2

3

22

ext

2

22

ext

4

La última ecuación es la ley de Ohm I=U/R, de donde deducimos R

extext

gas

ext

gasZ

r

βe2

1

rZβe2

r ρ

Zr Sβe2

Lr

S

Lρ

I

UR

Parte B. Descarga en un gas automantenida

En esta parte del problema se considera cómo la ign ición de unadescarga del gas automantenida conduce a que la corr iente eléctr ica enel ci l indro sea automantenida.

¡Atención! En lo que sigue se supone que el ionizador

continua funcionando con la misma rapidez Zext , se desprecia

el campo eléctrico debido a los portadores de carga por lo

que el campo eléctrico a lo largo del cilindro es uniforme y

la recombinación no se tendrá en cuenta.

En la descarga del gas automantenida existen dos procesos importantesque anter iormente no se habían considerado. El primero es la emisiónsecundaria de electrones y el segundo la formación de una avalancha deelectrones.

La emisión secundar iaocurre cuando los

iones chocan con elelectrodo negativo,l lamado cátodo, y loselectrones rebotanhacia el electrodopositivo, llamado

ánodo. El cocienteentre el número de


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30

electrones que rebotan por un idad de tiempo Ne, y los que chocan contr ael cátodo Ni es el denominado coeficiente de emisión electróni ca

secundariai

N e N γ .

La formación de la avalancha electrónica se expl ica a continuación. Elcampo eléctr ico acelera a los electrones l ibres, los cuales adquieren lasuf iciente energía cinética para que al chocar contr a los átomos del gaslos ionicen, y como resultado de este proceso, el número de electronesque se desplazan hacia el ánodo aumenta considerablemente. Esteproceso se descri be mediante el denominado coefi ciente de Townsend ,el cual caracter iza un i ncremento en el número de electrones dN e ,debido a los electrones N e que han atravesado la distancia dl

e N αdl e dN

La corr iente total I en una sección normal del cil indro que contiene elgas es la suma de dos corr ientes: una ióni ca I e (x) y una electrónica I e (x).En el estado estacionar io esta última corriente depende de la coordenadax, véase la f igura superior .La corr iente electrónica I e (x) varía a lo largo del eje X según la ecuación

2

x 1

A

1 Ae C (x) e I

Siendo A 1 , A2 y C 1 constantes.

Designamos con (x)Ie la intensidad eléctrica debida a los electrones a la altura x de la

sección del cilindro y dx)I(x la intensidad a una distancia dx de la anterior.

La intensidad dx)I(x > (x)Ie ya que por una parte se han producido nuevos

electrones debido al ionizador externo (Zext) y por otra a los que aparecen debido alefecto de avalancha (efecto Townsend)..

Los electrones viajan a una velocidad v y emplean un tiempo dt en recorrer la distanciadx.. El cociente I/e representa el número de electrones por unidad de tiempo, luego elnúmero de electrones en el tiempo dt es:

dtdxdx

(x)dI

e

1dt

e

I(x)dx)(xIdN eee

(1)

Zext representa el número de electrones (también de iones) que el ionizador externo produce por unidad de tiempo y de volumen, por tanto, en el tiempo dt y en el volumen

Sdx, se producen :los siguientes electrones: dtSdxZdN extext

e .

B1. Encont rar A 1 y A 2 y expresar las en func ión de Z ext , , e, L y S


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Debido al efecto de avalancha y de acuerdo con la ecuación el enunciado:dx NαdN e

α

e

Recordemos que la densidad electrónica es el número de electrones por unidad devolumen, que dx= v dt y que I = ne e S v

dtdxe

(x)IαvdtdxSnαdN

dxS

Nn ee

α

e

e

e

Llevando los resultados de los dos efectos a la ecuación (1) resulta:

(2) (x)IαSeZdx

(x)dI

e

(x)IαSZ

dx

(x)dI

e

1eext

ee

ext

e

Según el enunciado del apartado

x1Ax

1A

eACdx

(x)dIAeC(x)I 11

e21e

Sustituyendo en la ecuación (2)

21ext11 AαeCαSeZeACx1Ax

1A

Para que la igualdad se cumpla

α

SeZAAαSeZ

AαeCαeAC

ext

22ext

1111

x1Ax

1A

La corr iente iónica I i varía lo lar go del eje X según la ecuación

2 x B

1 C e B (x) I 2

i

Siendo B 1 , B 2 y C 2 constantes.

La intensidad de corriente iónica Ii es, en valor absoluto, igual a la intensidad decorriente electrónica Ie, ya que el ionizador externo produce los mismos electrones queiones (véase la parte A del problema), la velocidad de los electrones y de los iones seconsidera igual (véase el enunciado anterior a la pregunta A3), y en el fenómeno de laavalancha, cada electrón al chocar con un átomo neutro da lugar a un electrón y a unión. La diferencia es que la corriente electrónica se desplaza en el sentido positivo deleje X, y la iónica en sentido contrario. Este paralelismo nos permite escribir

(x)IαSeZ

dx

(x)dIeext

i

B2. Encont rar B 1 y B 2 y expresar las en func ión de Z ext , , e, L, S y C 1


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Hallamos la derivada de Ii(x) respecto de X y sustituimos en la ecuación del enunciado

21ext2121

i AαeCαSeZeBBeBBdx

(x)dI x1Ax

2Bx

2B

En la última ecuación sabemos que 2ext1 AαeSZyAα , luego.

111112

12121121

CBCααByαAB

xAxByCαBBeCαeBBx1Ax

2B

1

Los iones se mueven hacia el electrodo negativo (cátodo) y son rechazados por elelectrodo positivo (ánodo), en consecuencia no puede haber corriente registrada en este

electrodo:0(L)I i .

Cuando x=0 nos encontramos en el cátodo donde llegan los iones positivos que alchocar contra el electrodo dan lugar a electrones que justamente lo abandonan. El

enunciado nos dice la relación γ N N N Nγ ie

i

e , como la intensidad es

proporcional al número de electrones por unidad de tiempo, podemos escribir laecuación

(x)Iγ(x)I ie

La intensidad total es la suma de las intensidades iónica y electrónica cuyas ecuacionesestán dadas en el enunciado

2121ei AeCCeB(x)I(x)II

x1Ax

2B

Hemos visto que: αB,CB,α

SZeAα,A 211

ext

21

α

SextZe

Cα

SextZexα

eCCxα

eCI2121

Cuando x =L , Ii(L)=0

B3. Enco ntrar el valor de I i

x c uando x= L

B4. Encon trar la relación de I i (x) y I e (x) cuand o x= 0

B5. Enco ntrar la corr iente total I y expresar la en función de Z ex t , , , e,L y S. Se sup one qu e permanece f ini ta.


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33

(3)e

CCeCe-BCCeB0(L)I

αLαLL2

BL2B

2

111221i

Cuando x=0, (0)Iγ(0)Iie

)4(

γ1α

SeZ

1

CγC

α

SeZCγγ1CCCγACCBγAC

ext2

1

ext

2121212121

Igualando (3) y (4)

γγ1e

1

α

SZe

eγγ1

e

α

SZeC

eα

SZeeγγ1Ceγ1α

SZe

γ1

eγ1Cγ1α

SZe

γ1

Cγ

e

C

Lα-Lα

Lα

LαLαLαLα

Lα

extext

2

ext2ext2ext22

Llevando el valor de C2 a la intensidad total, resulta:

)5(1

γγ1Lα-

e

1

α

SextZe

α

SextZe

γγ1Lα-

e

1

α

SextZe

I

Sea el coeficiente a de Townsend constante. Si la longi tud del cil indrocrece y se alcanza un valor crítico LC >L , entonces el ionizador externopuede desconectarse y la descarga es automantenida.

De la ecuación (5) se deduce que si la longitud del cilindro aumenta, el denominador dela fracción que figura dentro del paréntesis cuadrado puede hacerse negativo lo cualconlleva a valores de I negativos, lo cual carece de sentido para una descarga con elionizador externo funcionando.

Townsend propuso que el paso a la descarga automantenida se produce cuando

B6. Encont rar LC y expresar su valor en fun ción de Z ex t , , , e , L y S


34/34

34

γ

11lnα

1Lγ

γ1lnLα

γ

γ1Lαe

γ1

γ

Lαe

1

γ1

γLαe0γγ1

Lαe

CC

C

C

CC

45, Olimpiada Internacional Agrupado (2)

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