Problemas Olimpiada

OLIMPIADA MATEMTICA

PROVINCIAL DE TOLEDO

ENUNCIADOS DE PROBLEMAS

COMISIN ORGANIZADORA DE LAIX OLIMPIADA PROVINCIAL DE MATEMTICAS

CURSO 2008-09

NIVEL 12/14

1.- EL CASO DEL PASTEL DESAPARECIDOEn la cocina haba un pastel destinado al cumpleaos de pap,

pero al llegar ste, ha desaparecido. En la casa hay cinco hijos: Atalfo, Basilia, Calepodio, Desdmona y Efialtes. Mam sabe que alguno, o varios, son los autores del desaguisado y les interroga. He aqu sus respuestas:

Atalfo: Esto es obra de uno solo de nosotros.Basilia: No, de dos de nosotros.Calepodio: No, de tres de nosotros.Desdmona: No, de cuatro de nosotros.Efialtes: Entre todos nos lo comimos.

Mam sabe que los inocentes dicen la verdad, mientras que los culpables mienten. Quin o quines se comieron el pastel?

Se comi o se comieron el pastel:.........................................

2.- EL RELOJ DIGITALUn reloj digital marca la hora y la fecha con diez dgitos de la

siguiente manera:

1 7 5 8 2 6 0 4 9 3hora min. da mes ao

Esta hora y fecha es la ltima del siglo XX en que se utilizan los diez dgitos cada uno una sola vez Cul es la primera fecha del siglo XXI en que ocurre esa misma circunstancia?

Escribe la solucin:

hora min. da mes ao

3.- LOS HUEVOS DE GALLINA Y DE PATAEl huevero tiene ante s 6 cestas con huevos. Cada una tiene

huevos de una clase, de gallina o de pata. Cada cesta tiene el nmero de huevos que se indica:

6 15 29 12 14 23

Sociedad Castellano Manchega de Profesores de Matemticas. Toledo. 2

El huevero dice, sealando una cesta que no acierto a ver cul es exactamente: Si vendo esta cesta, me quedar el doble de huevos de gallina que de pata. Podras ayudarme a averiguar de que cesta est hablando?

Est hablando de la cesta:

4.- ZONA NO SOMBREADACalcula el rea de la zona no sombreada de la figura

Dato: rea del crculo: A = pi r 2

rea =

5.- COLOR DEL SOMBREROEn el dibujo, hay 4 hombres enterrados hasta el cuello. No se

pueden mover, por lo tanto slo ven lo que tienen enfrente (D puede ver B y C). Entre el hombre A y el B hay una pared opaca (no ven nada). Saben que 2 de ellos tienen el sombrero negro y otros 2 lo tienen blanco. No saben de qu color es el sombrero que ellos mismos poseen. Para no ser fusilados, uno de ellos tiene que decir al verdugo cul es el color de su sombrero. Si se equivoca, todos sern fusilados, no estn autorizados ni a hablar ni a darse la vuelta, y tienen 10 minutos para encontrar la solucin de lo contrario todo se acaba..... Al cabo de un minuto, cul de ellos llama al verdugo? Por qu est seguro del color de su sombrero?

Llam al verdugo el hombre..................... porque .........................

.................................................................................................


6.- LAS MATEMTICAS FALLAN?Tres mujeres van a un hotel y preguntan el precio de una

habitacin, a lo que el recepcionista contesta 300 euros. Cmo es mucho, deciden coger una habitacin para las tres, con lo que cada una paga 100 euros.

Un rato despus el recepcionista ve que se ha equivocado y que la habitacin costaba slo 250 euros, por lo que manda al botones que las devuelva 50 euros.

El botones decide quedarse con 20 euros y darles slo 30 euros (10 a cada una).

Ahora bien, si cada una paga 100 euros y le devuelven 10 entonces cada una paga 90 euros, como son tres, en total pagan 270 euros y como el botones se queda con 20 euros, en total hacen 290 euros. Dnde estn los otros 10 euros?

Respuesta:

7.- CALCULADORA!, PARA QU?Sin efectuar operaciones, halla el valor de A.

A = 838756834702 (83875683469 x 83875683471)

Solucin: A =

8.- LA VENTA DE SOLARESUna agencia inmobiliaria puso a la venta un solar triangular,

situado en la parte ms cara del rea comercial de una zona residencial de Chicago. El anuncio era el que se adjunta.

Por qu crees que no se presentaron compradores?Solucin:


9.- DISCOSAqu tienes dos discos circulares. En la cara superior de cada

uno de ellos hay escrito un nmero. En la otra cara tienen escrito otro nmero. Si lanzamos los discos al aire y sumamos los dos nmeros que salen, podemos obtener como resultado 11, 12, 16 o 17. Investiga qu nmeros estn escritos en la cara oculta de cada disco.

Solucin: En el anverso debern figurar respectivamente los nmeros:

10.- LOS PINTORES DE LA CATEDRALUnos pintores estn pintando las paredes interiores de una

catedral. A una ventana circular de un metro de dimetro le aadieron dos lneas tangente y dos semicrculos cerrando la figura.

Qu rea tiene la figura sombreada?

Solucin: rea =


7 10

11.- CON SLO DOS PESASEl juego de pesas de una balanza consta slo de dos pesas, una

de 10 gramos y otra de 40 gramos. En slo tres pesadas separa 1800 gramos de semillas en dos bolsas de 400 y 1400 gramos.

Solucin: 1 Pesada: 2 Pesada: 3 Pesada:

12.- EL RELOJ REVOLUCIONARIOLos revolucionarios franceses intentaron, a la manera del

sistema mtrico decimal, medir el tiempo tambin de modo decimal. Se pens que habra que dividir el da en diez horas, cada hora en cien minutos y cada minuto en cien segundos. Si llamamos reloj revolucionario al que marque la hora de ese modo y reloj normal al que usamos normalmente, cuando en un reloj normal sean las 7 horas, 53 minutos y 24 segundos, qu hora marcar un reloj revolucionario?

13.- UN DEPSITO CON FUGAUn depsito tarda tres horas en llenarse con un grifo y cinco

horas con otro grifo. Un da decidimos llenarlo usando los dos grifos a la vez y observamos que el depsito se ha llenado en cuatro horas. Cuestiones:

1 Deduce de los datos que el depsito tiene una fuga.2 Calcula cul es el tiempo que, una vez lleno, tardara el

depsito en vaciarse a travs de la fuga.

(Suponemos que tanto el agua que sale por los grifos como la que se escapa por la fuga lo hace a un ritmo constante)

14.- UN BUEN TRABAJADOR.Tres empleados de una fbrica Aniceto, Bonifacio y Carmelo

realizaban las tareas de abridor de puertas, cerrador de puertas y obrero, aunque no respectivamente. Debido a la naturaleza oscilante de sus tareas, el abridor y el cerrador de puertas haban adquirido el hbito de mentir. En cambio, el obrero, adems de buen trabajador, era hombre veraz. Dijeron lo siguiente:

Aniceto: Carmelo cierra las puertas.Bonifacio: Aniceto abre las puertas.Carmelo: Bonifacio es el obrero.

Cul era la tarea de cada uno?


15.- DOCE CERILLASDispones de doce cerillas iguales. Con todas ellas, y tomando

como unidad de medida la longitud de una, forma un polgono de rea nueve. Fcil? Forma ahora uno de rea cinco. Lo has conseguido? Pues forma otro de rea cuatro.

(Importante: los polgonos a formar pueden tener cualquier forma.)

16.- LAS CAJASUna fbrica realiza cajas en forma de paraleleppedo de

distintos tamaos. Sabiendo que la medida de sus aristas puede ser cualquier nmero entero del 1 al 10, cuntas cajas distintas puede realizar?

17.- SIEMPRE EXACTOEncontrar los menores 9 nmeros consecutivos (mayores que

10), el primero terminado en 1, , y el mayor terminado en 9, de manera que al dividirse por su ltima cifra, el resultado de siempre exacto.

Ejemplo: 31/1 si, 32/2 si, 33/3 si, 34/4 no, ...

18.- LA HISTORIA DEL COMERCIANTEEsta es la historia de un comerciante que sali a visitar tres

ferias. En la primera duplic el dinero que llevaba y se gast 30 monedas. En la segunda triplic el dinero que tena y desgraciadamente perdi 54 monedas. En la tercera cuadruplic todo el dinero que le quedaba y gast 72 monedas. Al final le quedaron 48 monedas. Cuntas monedas llevaba cuando sali de su casa?

SALI CON ____________________ MONEDAS.

19.- EL MALVADO COCODRILOUn cocodrilo le quit el beb a una mujer. Entonces, le dijo:

Respndeme correctamente y te lo devolver: Me voy a comer a tu hijo, o no?. Qu respondi la mujer para salvar a su hijo?

LA MUJER DIJO AL COCODRILO (razona la respuesta):


20.- UN PROBLEMA DE MELONESLos hermanos Harim y Ahmed me encargaron vender 60

melones. Harim me dio 30, para vender 3 por un denario y Ahmed me dio otros 30, para vender 2 por un denario. Como no quera tener dos precios diferentes, opt por vender 5 melones por 2 denarios que es vender 3 melones a 1 denario y 2 melones a 1 denario. Pero hecha la venta obtuve de los 60 melones, 12 lotes a 2 denarios, 24 denarios. Pero tena que dar a Harim 10 denarios y a Ahmed 15 denarios, en total 25 denarios. Dnde est el denario que me falta?

SOLUCIN:

21.- CUATRO CRCULOS IGUALESTenemos cuatro crculos iguales de radio 1 m. Uniendo los

centros obtenemos un cuadriltero irregular. Cunto mide el rea sombreada?

EL REA VALE:

22.- EL LADRN INCONFORMISTAEn los L.F.J. (Ladrones Fuertemente Jerarquizados) de cada

grado slo hay uno. Salen a robar y roban unas esmeraldas, todas ellas iguales. Cuando reparten el botn, el primero se lleva 1 esmeralda, el segundo 2 esmeraldas, el tercero tres, y as sucesivamente. Pero uno no est de acuerdo y dice: Ni hablar, repartiremos 5 esmeraldas para cada uno. Cuntas esmeraldas robaron?. Cuntos ladrones hay?

HAY _____________ ESMERALDAS Y ______________ LADRONES.


23.- EL HOMBRE QUE AHORRABAUn negociante separa al principio de cada ao 100 escudos para

los gastos del ao y al finalizar cada ao aumenta su capital un tercio de lo que tiene. Al cabo de tres aos ha duplicado su dinero. Qu dinero tiene al comienzo de los 3 aos?

TENA ____________ ESCUDOS.

24.- TRINGULOSCuntos tringulos pueden construirse uniendo puntos del

tablero?

25.- ESCALONESUn muchacho que vive en la planta alta de un edificio sube las

escaleras de 2 en 2 y las baja de 3 en 3, con lo que da 100 saltos. Cuntos escalones tiene la escalera?

26.- MULTIPLICANDOCompletar, razonadamente, la siguiente operacin de

multiplicar:


27.- EL VIAJERO DE LOS ANILLOSEn una oportunidad un viajero se presento en un hotel con una

cadena de oro con siete eslabones. El viajero acord con el hostelero que el valor de la habitacin seria de 1 eslabn diario. Como el viajero no conoce cunto tiempo se va ha hospedar decide pagar la habitacin diariamente. Al terminarse la semana se fue pagando todos los eslabones. Cuntos eslabones como mnimo se tienen que abrir para poder pagar el hotel diariamente.

28.- CUBOS DE CUATRO CIFRASHallar todos los nmeros naturales de 4 cifras, escritos en base

10, que sean igual al cubo de la suma de sus cifras.

29.- MESASUn carpintero hizo un nmero concreto de mesas; vende 70 y le

quedan por vender ms de la mitad. Despus hace 6 y vende 36 y le quedan menos de 42 por vender. Cuntas mesas ha hecho?

30.- LOS HERMANOS ZIPI Y ZAPEZipi slo miente los lunes, martes y mircoles, y Zape slo

miente los jueves, viernes y sbados. Un da los dos hermanos tuvieron esta charla: Ayer me toc mentir dijo Zipi. Pues a m tambin me toc mentir dijo Zape. En qu da de la semana estaban? Razona la respuesta.

31.- UN CRCULO GRANDE Y DOS PEQUEOSLos crculos pequeos, de radio 1 cm, son tangentes entre s y

tangentes al crculo mayor. Cul es el rea, en cm2, de la zona sombreada?


32.- EL HOTEL DE LOS LOSEn un hotel numeran las habitaciones con tres cifras, donde la

primera indica la planta y las dos siguientes el nmero de habitacin. Por ejemplo, 115 indica la habitacin 15 de la primera planta y 311 la habitacin 11 de la tercera planta. Si el hotel tiene en total 5 plantas con 35 habitaciones por planta, cuntas veces habrn utilizado la cifra 2 para numerar todas las habitaciones?

33.- UN NMERO Y SUS DIVISORESEl nmero entero positivo N tiene exactamente seis divisores,

incluyendo 1 y N. Si el producto de cinco de ellos es 648. Calcular el nmero entero que es su sexto divisor y el nmero N.

34.- CONCURSO CON PROBLEMASEn un concurso de opcin mltiple y con 30 problemas, se

punta con 12 puntos cada respuesta correcta, se restan 7 puntos por cada respuesta incorrecta y 0 por cada respuesta en blanco. Si Antonio obtuvo 234 puntos, cuntas respuestas dej en blanco?

35.- CUADRADOS Y RECTGULOSDividimos un cuadrado en 9 rectngulos con rectas paralelas a

los lados como muestra la figura. El rectngulo central resulta ser otro cuadrado y las reas de tres rectngulos de las esquinas, en cm2, son las que te mostramos. Cul es el rea y el permetro del rectngulo sombreado?

36.- MATRICULA DE PRIMOSEl nmero de matrcula del coche de Pedro es de 4 cifras pero

no es muy difcil de recordar, pues es de la forma abba con a y b distintos y ab y ba nmeros primos de dos cifras. Cuntos nmeros podran ser los nmeros de matrcula del coche de Pedro?


37.- REPARTIENDO, QUE ES GERUNDIOEn una caja hay ms de 40 monedas pero menos de 70. Si las

repartimos a partes iguales entre 6 personas sobran 4, pero si lo hacemos entre 5 sobran 3 monedas. Cuntas sobraran si las repartiramos equitativamente entre 7 personas?

38.- CURIOSA MULTIPLICACINEn la multiplicacin A B A C D = C D C D, (A, B, C y D son

cifras diferentes). Cunto suman A + B?

39.- FIGURAS SEMEJANTESLos tres tringulos de la figura son rectngulos y semejantes. Si

el lado AP mide 12 cm, determinar la longitud, en cm, del segmento BC.

40.- UN LIO DE EDADESLa edad del padre de Nacho es cuatro veces la edad de ste.

Dentro de cuatro aos ser slo el triple. Cuntos aos desde ahora deben pasar para que sea slo el doble?


NIVEL 14/16

1.- LAS ABEJASLas abejas macho nacen de huevos sin fecundar, y por tanto

tienen madre, pero no padre. Las abejas hembra nacen de huevos fecundados. Cuntos antepasados tendr una abeja macho en la duodcima generacin? Cuntos de ellos sern machos?.

Total de antepasados:Total antepasados machos:

2.- ZONA SOMBREADACalcula el rea de la zona sombreada en la figura adjunta

El rea sombreada mide:

3.- UN ROMBO CURIOSOEn una circunferencia hemos inscrito un rectngulo y en l un

rombo, tomando los puntos medios de los lados del rectngulo. Si el dimetro del crculo es de 10 cm, cunto mide el permetro del rombo?

El permetro del rombo mide:


4.- NO SLO SE VE POR LOS OJOSDe tres prisioneros en cierta crcel, uno tiene visin normal, el

segundo slo tiene un ojo, y el tercero est totalmente ciego. Todos tienen por lo menos una inteligencia media. El carcelero les dijo a los prisioneros que, de una seleccin de tres sombreros blancos y dos sombreros rojos, escogera tres sombreros y se los pondra en sus cabezas. Se evit que cada uno pudiera ver el color del sombrero puesto en su cabeza. Se reuni a los prisioneros y el carcelero ofreci liberar al prisionero con visin normal si poda decir el color del sombrero que tena puesto. El prisionero confes que no saba. Entonces el carcelero ofreci liberar al prisionero con slo un ojo si poda decir el color del sombrero en su cabeza. El segundo prisionero confes que tampoco saba. El carcelero ni se molest en hacer la oferta al prisionero ciego, pero accedi a hacrsela en los mismos trminos cuando la solicit. Entonces el prisionero ciego sonri ampliamente y dijo:

No necesito tener mi vista;de lo que mis amigos con ojos han dicho,claramente puedo ver que mi sombrero es ...........................

Llena el espacio correctamente.

5.- FIESTA SORPRESAOcho personas de lenguas distintas, que identificamos con los

nmeros del 1 al 8, acuden a una fiesta sorpresa. Cada hablante entiende la lengua de los nmeros inmediatos, por parentesco lingstico. Y queremos mantenerlos incomunicados hasta el momento de desvelar la sorpresa.

Sita en estas ocho casillas los nmeros del 1 al 8, de modo que dos nmeros consecutivos no estn nunca juntos, ni de lado ni en diagonal.


6.- LAS EDADES ESCONDIDAS- Tienes prisa, Ral?. (Observ el profesor mientras su amigo tragaba el resto de su caf y se levantaba para irse).- Saco a pasear a tres muchachas en mi coche. (Contest Ral). El profesor ri. - Con que era eso!. Y qu edad tienen esas tres chicas?. Ral pens un momento. - Multiplicando sus edades entre s se obtiene 2.450 y adems la suma de sus edades es exactamente el doble de tu propia edad. El profesor neg con la cabeza. - Muy interesante, pero eso todava no aclara las edades de ellas. Ral coincidi con el profesor. - Es cierto, me olvid de mencionar que yo soy por lo menos un ao ms joven que la ms vieja. Y con esto creo que queda todo bien claro.El profesor, por supuesto, saba la edad de su amigo.Puedes t calcular las edades de las chicas, la del profesor y la del propio Ral?.

Edad de la chicas:Edad del profesor: Edad de Ral:

7.- CURIOSO CUADRADOExistirn 16 nmeros naturales distintos y menores de 100

tales que al colocarlos en las casillas de un tablero 4x4 el producto de los situados en cada fila sea el mismo y, a su vez, coincida con el producto de los colocados en cada columna y en las dos diagonales principales?.

Si la respuesta es afirmativa, indica cules son. Si la respuesta es negativa, justifcalo.


8.- FRMULA TRIGONOMTRICADeterminar los dos valores de x ms prximos a 2004o que

cumplen la siguiente ecuacin:

3111111222222

=

xeccosxsecxgcotxtgxcosxsen

Solucin: x1 = x2 =

9.- EL TESORO ESCONDIDOEn una finca cuya planta tena forma de un trapecio PQRS (ver

figura, que no ha sido dibujada a escala), se enterr un tesoro exactamente bajo el poste (situado en T) comn a dos vallados internos de forma cuadrada y dispuestos como se indica en la figura.

Con el paso del tiempo y el abandono de la finca, slo quedaron los postes situados en Q y S cuya distancia entre ellos es 100 m. Todas las dems indicaciones haban desaparecido. Pero se recuerda que el rea de la finca era 12500 m2 y que el tesoro estaba enterrado ms cerca de S que de Q. A qu distancia de Q, en metros, se encuentra el tesoro escondido?.

Notaciones: a = QT, b = TS, f = PQ y h = RS

Solucin: A _________________ m.


10.- MOROS Y CRISTIANOSTras la batalla, el sultn Aben-Hazzar, mand a su Gran Visir

reunir a los 15 prisioneros cristianos y a otros 15 moros, con objeto de arrojar al mar a la mitad de ellos.

Colcalos en crculo y contando de 9 en 9, arroja al agua al que le toque cada vez.

El Gran Visir, que odiaba a los moros, coloc a los 30 prisioneros de tal forma que salv a los 15 cristianos. Cmo los coloc?.

Solucin: Considrate el Gran Visir y coloca en el siguiente cuadro a los 15 cristianos (C) y a los 15 moros (M) para cumplir sus deseos.

11.- TRAVESA POR PESOCinco personas que pesan 10, 20, 30, 40 y 50 kilogramos,

respectivamente, van a cruzar un ro con un bote que slo admite una carga de 50 a 70 Kg. (ni menos de 50 ni ms de 70). Cmo lo cruzarn si deben procurar hacer el menor nmero posible de travesas?.

Solucin:


12.- CUADRADOS EN RECTNGULOEl rectngulo de la figura ABCD est dividido en cuadrados.

Calcula la altura y la longitud del rectngulo sabiendo que el cuadradito ms pequeo de todos tiene 4 metros de lado.

Solucin: Altura = metros.Longitud = metros.

13.- MUY ELEGANTEEn la figura adjunta, cunto mide B?.

Solucin:

14.- PROBLEMA DEL DENTFRICOCuando extendemos la pasta dentfrica en el cepillo no solemos

reparar en su grosor y nos fijamos fundamentalmente en la longitud. Por tal motivo, un fabricante de pasta dentfrica decide incrementar el dimetro de la boca del tubo para as aumentar las ventas. La cuestin es: para una misma longitud de pasta, si el dimetro de la boca del tubo se incrementa en 8%, en qu porcentaje se incrementa el volumen?


15.- EL TENDEDEROTenemos un tendedero en un patio que consta de una cuerda

continua que se puede desplazar a un lado o a otro por medio de dos pequeas poleas. Podemos tender ropa en ambos lados de la cuerda, pero lo hacemos desde una ventana situada en un extremo del tendedero y que slo nos permite acceder a un tercio de la longitud del mismo.

1 Demuestra que es imposible tender ropa en toda la cuerda.2 Supongamos que el tendedero mide 6 metros de largo (por

tanto tenemos 12 metros de cuerda). Calcula cul ser la mxima longitud de cuerda que podemos aprovechar para tender.

16.- EL RECTNGULOEn un rectngulo ABCD tomamos el punto medio M de CD y lo

unimos a A. Llamamos N al punto interseccin del segmento AM con la diagonal BD. Si el rea del tringulo DNM es 1 m2, cul es el rea del rectngulo?

17.- LOS TRES CONDENADOSTres ladrones, que llamaremos A, B y C, fueron capturados

mientras robaban en el palacio de un Gobernador desptico, y condenados a muerte por el mismo. Antes de cumplirse la sentencia, el Gobernador se arrepinti de su severidad, y decidi indultar a uno de los presos. Para procurar que este beneficio recayese en el ms inteligente de los condenados, dispuso lo siguiente:A la vista de los presos mostr tres tiras de pao blancas, y dos tiras negras. Despus, orden que a la espalda de cada preso, por separado, se colgase una de estas cinco tiras. Hecho esto permiti que los presos se viesen libremente entre s, pero que no se comunicasen. Prometi la libertad al que primero supiese acertar, con razonamiento infalible, el color de su propia tira.El preso A vio que las tiras de B y C eran blancas, y a los pocos segundos pidi ser llevado ante el Gobernador, quien expuso la respuesta acertada. Qu fue lo que dijo A y cmo lo razon?

18.- LA TIRA DE NUEVESSi el nmero 9999 tiene 500 cifras. Cuntas cifras tiene el

nmero (999...9)2 1?


19.- EL TELFONO DE MI COLEGALe ped a mi amigo su nmero de telfono (que tiene 7 cifras).

Como es un gran profesor de matemticas, me contest diciendo: El nmero que forman las cifras de las posiciones 4 y 5 es un cuadrado perfecto, al igual que el de las posiciones 5 y 6 y el de las posiciones 6 y 7. Las tres primeras cifras forman un cubo perfecto que es igual al producto de los otros cuatro dgitos.

Cul es el telfono de mi amigo?

20.- UN CASO IMPREVISTOUn hombre, cuya mujer est por dar a luz, muere disponiendo

en su testamento que si nace nio, ste se llevar 2/3 de la herencia y 1/3 la madre. Si nace nia, sta se llevar 1/3 y 2/3 la madre. Ocurre que nacen mellizos, nio y nia. Cmo deben repartirse la herencia si sta consiste en 21 monedas de oro?

LA MADRE: _____________________.

EL NIO: _______________________.

LA NIA: _______________________.

21.- DIFERENTES FIGURAS GEOMTRICAS Sea M un punto interior del segmento AB. Se construyen

cuadrados AMCD y BEHM en el mismo lado de AB. Si N es el segundo punto de interseccin de las circunferencias circunscritas a dichos cuadrados, probar que:

1.- Los puntos B, N y C estn alineados.2.- El punto H es el ortocentro del tringulo ABC.

22.- EL EXPLORADOR INTELIGENTEImagina que eres un explorador apresado por una tribu de

canbales y el jefe te ofrece una posibilidad de escapar: T tener dos caminos, uno conducir a la selva; el otro, a la olla. Cada camino est protegido por un guardin. Puedes hacer una sola pregunta a uno de ellos; y despus elegir tu camino hacia la muerte o hacia la libertad. Pero hay una ligera pega, de los dos guardias, uno siempre miente y el otro siempre dice la verdad. Pero cul es cul?. La cosa est bastante negra. Qu haras t?

SOLUCIN (razona la respuesta):


23.- LA HERENCIA DEL RAJUn da un raj, dej en herencia cierto nmero de perlas y

haba que repartirlas de una forma muy especial. Cada una de las hijas recibir:- La primera, una perla ms 1/7 de las restantes.- La segunda, dos perlas ms 1/7 de las restantes.- La tercera, tres perlas ms 1/7 de las restantes.- ...As todas las hijas. Las hijas menores se sintieron perjudicadas por este reparto, ms el juez, tras contar las perlas, dijo: No es cierto, segn este reparto todas las hijas se llevarn el mismo nmero de perlas.

Cuntas hijas y perlas hay?

HAY ____________ HIJAS Y __________ PERLAS.

24.- EL VALOR DE LA CAPAUn amo promete a su sirviente darle al cabo de un ao 10

monedas de oro y una capa. Al sptimo mes lo despide dndole la capa y 2 monedas de oro. Cul es el valor de la capa?

LA CAPA VALE:________________________.

25.- EL CUADRADO INSCRITOEn un tringulo rectngulo de lados 3, 4 y 5, inscribimos un

cuadrado como se ve en la figura. Cunto vale el rea del cuadrado?

EL REA DEL CUADRADO VALE: __________________________


26.- HEXGONO En el tringulo ACB se construyen, sobre sus lados, los

cuadrados indicados en la figura. De esta forma se determina un hexgono MFEKDP. Determinar el rea de dicho hexgono.

27.- UNO DE LGEBRA

Si 011216 2 =+ xx , calcular el valor de 2

24

16148256

xxxJ +=

28.- LOS HABITANTES DE VILLA HORACIAEl nmero de habitantes de Villa Horacia es en un cierto

instante un cuadrado perfecto. Con 100 habitantes ms sera un cuadrado perfecto ms 1 y con otros 100 habitantes volvera a ser un cuadrado perfecto. Cuntos habitantes tena Villa Horacia en el momento inicial?

29.- DIVISIBILIDAD POR 14Al dividir un nmero x por 7 obtenemos de resto 6. Cul ser

el menor nmero que habr que sumarle para que sea divisible por 14?


3O.- MOSAICODe un mosaico cuadrado compuesto de tringulos rectngulos y

de rombos, se sabe que su lado est formado por los lados de cuatro rombos y las hipotenusas de dos tringulos, tal como se indica en la figura. Los lados de los rombos miden 1 unidad y los catetos de los tringulos rectngulos tambin miden 1 unidad. De cuntas piezas est compuesto el mosaico? (tringulos + rombos).

31.- COMIENDO BOMBONESUn muchacho tiene 215 bombones en cajas de 3, 6 y 8

bombones. Se come todas las cajas que contienen 6 bombones y otras tantas cajas de las que contienen 3 bombones. En el resto de las cajas de 3 bombones slo queda un bombn en cada caja. Las de 8 bombones estn intactas. Los cuenta y tiene 85 bombones. Cuntas cajas tena de cada clase?

32.- SUMA DE PARESSabiendo que la suma de los n primeros cuadrados, 12 + 22 +

32 + ... + n2 , es ( ) ( )

6121 ++ nnn

, entonces la suma de los diez

primeros cuadrados pares, 22 + 42 + ... + 202 es:

33.- EL HEXGONO Y EL HEXAGONITOSi el hexgono grande de la figura tiene 180 cm2 de rea,

calcula el rea del hexgono central sombreado.


34.- LA ABUELA Y EL NIETOAmparo le dijo a su nieto David: Durante seis aos

seguidos mi edad ha sido un mltiplo de la tuya, pero este ao ya no ha ocurrido eso. Cuando ocurra de nuevo que la edad de Amparo sea mltiplo de la de David, cunto ser la suma de sus edades?

35.- REUNIN DE NEGOCIOSEn una reunin, exactamente el 76 % de los asistentes lleva

mvil. Cul es el menor nmero posible de asistentes?

36.- EL FACTORIALDesignamos por n!, donde n es un nmero natural, al producto

( ) ( ) 1221 ...nnn . As por ejemplo: 5!=54321=120

Cul es la ltima cifra de 20! que no es cero?

37.- UN CUBO Y UN FACTORIALCon 10! (diez factorial) representamos al producto 10 9 8

... 2 1 (multiplicar diez por todos los enteros anteriores hasta el uno) Cul es el nmero ms pequeo que multiplicado por 10! nos da un cubo perfecto?

38.- FIGURAS SEMEJANTESLos tres tringulos de la figura son rectngulos y semejantes.

Si el tringulo ABP tiene de rea 12 cm2, determinar el rea, en cm2, del trapecio ABCD.


39.- PROBLEMA DE EDADESLa edad actual de Juan, T aos, es la suma de las edades de

sus tres hijos y hace N aos era el doble de la suma de las edades

que sus hijos tenan entonces. Cul es el valor de NT

?

40.- PODA ESTAR MS CERCAMi casa dista del instituto 720 m. Tanto al ir como al volver lo

hago con velocidad uniforme. Tardo 4 minutos al ir y 6 minutos al volver. A qu distancia de mi casa est el punto en el que los tiempos empleados en ir desde casa y volver desde el instituto son los mismos?


NIVEL 14/16

Problemas Olimpiada

Documents

Transcript of Problemas Olimpiada