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  • 15 Sptima Olimpiada Interuniversitaria de Ciencias Bsicas

    4. PRUEBAS Y SOLUCIONES

    4.1 MATEMTICA

    SPTIMA OLIMPIADA INTERUNIVERSITARIA EXAMEN DE MATEMTICA NIVEL I

    Instrucciones:

    A continuacin se le presenta una serie de siete problemas, resulvalos correctamente

    en el cuadernillo de trabajo. El tiempo de la prueba es de 100 minutos.

    Problema 1: (10 puntos)

    Encuentre las soluciones reales de las ecuaciones propuestas

    (a) 2 7

    log 9 2

    x

    (b) 1 2

    2 sen 2+cos

    (c) 5 59 27 6 3x x

    Problema 2: (10 puntos)

    Usando el principio del teorema de Pitgoras y trigonometra, encuentre el rea

    encerrada entre las lneas punteadas en trminos de a, b y c.

    a

    b

    c

  • 16 Sptima Olimpiada Interuniversitaria de Ciencias Bsicas

    Problema 3: (15 puntos)

    Demostrar que si dos crculos se tocan en dos y solo dos puntos, los puntos de interseccin

    estn sobre una recta que es perpendicular a la recta a la que pertenecen los centros de

    los crculos.

    Problema 4: (15 puntos)

    Existen exactamente dos rectas que son tangentes simultneamente a las parbolas 2 4 3y x x y 2 4 3y x x . Determine sus ecuaciones.

    Problema 5: (20 puntos)

    Halle los valores de a y b tales que ( )f x sea diferenciable en 2.

    2

    si 2( )

    2 1 si 2

    ax b xf x

    x x

    Problema 6: (10 puntos)

    Una embarcacin se refugia de una tormenta en una pequea baha cuyo fondo tiene

    una inclinacin 30 . Los vientos de la tormenta hacen que la embarcacin sea

    arrastrada hacia aguas ms profundas. Se ha determinado que el ngulo de depresin

    de la lnea de la cadena del ancla, la cual tiene una longitud constante 30l m, ha

    cambiado de 20 a 25 en cinco minutos.

    a. Determine cul es el cambio de la profundidad por debajo del barco.

    b. Suponiendo que el ritmo al cual cambia el ngulo de depresin de la cadena es

    constante, determine a qu ritmo cambia la profundidad cuando el ngulo es de 30.

    ll

    1H2H

    30

    Problema 7: (20 puntos)

    Determine la longitud L de la varilla ms larga que puede pasar horizontalmente una

    esquina en un corredor de 2 metros de ancho, hacia otro de 4 metros de ancho.

  • 17 Sptima Olimpiada Interuniversitaria de Ciencias Bsicas

    SOLUCIN DE LA PRUEBA

    Problema 1: (10 puntos)

    Encuentre las soluciones reales de las ecuaciones propuestas

    a. 2 7

    log 9 2

    x

    b. 1 2

    2 sen 2+cos

    c. 5 59 27 6 3x x

    Solucin

    a.

    27

    2

    2 2

    2

    2

    9

    9 4 28 49

    40 28 4 0

    10 7 1 0

    (5 1)(2 1) 0

    1

    5

    1

    log 9 2

    2

    2

    7

    x

    x x x

    x x

    x x

    x x

    x

    x

    x

    Al sustituir 1

    5x en la ecuacin original se obtiene una base negativa 3,

    mientras que para1

    2x se obtiene una base positiva 3, Si se descarta la base

    negativa la solucin de la ecuacin es 1

    2x

    b. Expresando en valores de sen

    2 2

    1 2

    2 sen 2+cos

    2 cos 4 2sen

    cos 2 2sen

    cos 4 8sen 4sen

  • 18 Sptima Olimpiada Interuniversitaria de Ciencias Bsicas

    2 2

    2

    1 sen 4 8sen 4sen

    5sen 8sen 3 0

    (5sen 3)(sen 1) 0

    Si sen 1 se obtiene que 2 ,2

    k k

    Si 3

    sen5

    , entonces 1 3sen5

    , de donde se obtiene

    0.6435 2 ,

    2.4981 2 ,

    k k

    k k

    Al hacer la prueba, el ltimo valor no satisface la ecuacin dada (se elev al

    cuadrado); por lo tanto la solucin general de la ecuacin es

    2,2

    0.6435 2

    kk

    k

    c. Para resolver la ecuacin se expresar usando solo la base 3

    5 5

    2 5 5

    9 27 6 3

    3 6 3 27 0

    x x

    x x

    Haciendo la sustitucin 5u x

    23 6 3 27 0

    3 3 3 9 0

    u u

    u u

    Ahora se puede despejar 3u :

    Si 3 3 0u entonces 3 3u

    Si 3 9 0u entonces 3 9u

    Aplicando logaritmo de base 3 a ambos lados, se obtiene:

    3 3log 3 log ( 3)u , que no est definido

    3 3log 3 log 9

    2

    u

    u

    Como 5u x

    5 2

    5 4

    9

    x

    x

    x

    La solucin de la ecuacin es 9x

  • 19 Sptima Olimpiada Interuniversitaria de Ciencias Bsicas

    Problema 2: (10 puntos)

    Usando el principio del teorema de Pitgoras y trigonometra, encuentre el rea

    encerrada entre las lneas punteadas en trminos de a, b y c.

    a

    b

    c

    Solucin

    Primero se denominarn las reas con los siguientes nombres: 1 2 7, ,A A A ,

    para cada una de ellas se establecer el clculo de su rea respectivamente,

    como se muestra en el dibujo.

    a

    b

    c

    1A

    2A

    3A

    4A5A

    6A

    7A

    Para 1A , se observa un tringulo rectngulo, donde a y b son los catetos y c es

    la hipotenusa. Para este tringulo

    11

    2A ab ,

    Consecutivamente se observa que las reas de los cuadrados, son los siguientes

    2 2 22 3 4, ,A c A a A b

    El rea 5A es un tringulo rectngulo de catetos a y b entonces

    51

    2A ab

  • 20 Sptima Olimpiada Interuniversitaria de Ciencias Bsicas

    Para calcular 6A y 7A , se usara la ecuacin para el rea de un tringulo donde

    se conoce, sus lados y el ngulo entre ellos, como se puede observar en la

    siguiente grfica.

    a

    b

    c

    1A

    2A

    3A

    4A5A

    6A

    7A

    De donde:

    61

    sen2

    A ac

    Y para:

    71

    sen2

    A bc

    Si se relacionan los ngulos y con el ngulo interno del tringulo

    rectngulo , se obtiene que 90 y 180 , de donde las reas

    quedaran expresadas de la siguiente manera.

    6

    1sen 90

    2A ac

    71

    sen(180 )2

    A bc

    Al desarrollar la suma y diferencia de ngulos, se obtiene:

    61

    (sen90cos cos90sen )2

    1cos

    2

    A ac

    ac

    71

    (sen180cos cos180sen )2

    1sen

    2

    A bc

    bc

    Si se tiene que cosb

    c y sen

    a

    c ; las expresiones finales de las reas son:

  • 21 Sptima Olimpiada Interuniversitaria de Ciencias Bsicas

    6 1 1 1cos2 2 2

    bA ac ac ab

    c

    7 1 1 1sen2 2 2

    aA bc bc ab

    c

    Tomando en cuenta todas las reas se tiene:

    7

    2 2 2

    1

    2 2 2

    1 1 1 1

    2 2 2 2

    2

    iA A ab c b a ab ab ab

    ab a b c

    De donde el rea total es: 2 2 22A ab a b c

    Si se usa el teorema de Pitgoras 2 2 2a b c , el rea total quedar expresada

    como:

    2 22 2 2( )A ab c ab c

  • 22 Sptima Olimpiada Interuniversitaria de Ciencias Bsicas

    Problema 3: (15 puntos)

    Demostrar que si dos crculos se tocan en dos y solo dos puntos, los puntos de interseccin

    estn sobre una recta que es perpendicular a la recta a la que pertenecen los centros de

    los crculos.

    Solucin

    Primero, colocamos el centro de uno de los crculos en el origen, y el centro del

    segundo crculos en el punto ,h k . Como se muestra en la figura

    x

    y

    ( , )h k

    ky x

    h

    Entonces, las ecuaciones de los crculos son:

    2 2 21x y r &

    2 2 22x h y k r

    Bajo estas condiciones, la recta que une los centros de ambos crculos pasa por

    el origen, y por el punto ,h k , por lo que tiene una ecuacin

    k

    y xh

    .

    Entonces, para encontrar los puntos de interseccin, resolvemos ambas

    ecuaciones como simultneas, y como primer paso restaremos ambas

    ecuaciones:

    2 2 2 2 2 22 1 0x h y k r x y r

    Es decir

    2 2 2 2 2 2 2 22 1( 2 2 ) 0x hx h y ky k r x y r

    De lo cual eliminando trminos semejantes obtenemos:

    2 2 2 22 12 2 0hx ky h k r r

    Esta es la ecuacin de una recta a la que pertenecen los puntos que pueden ser

    punto de interseccin entre los crculos, y que depende de los valores de

    1 2, , , h k r r , que son valores constantes.

  • 23 Sptima Olimpiada Interuniversitaria de Ciencias Bsicas

    S escribimos la recta de la forma y mx b , obtenemos.

    221

    222

    2

    r rhy x

    k k

    h k

    Como la pendiente de esta recta es h

    k y la pendiente de la recta que pasa por

    los centros es k

    h, entonces las rectas son perpendiculares. Esto es suficiente

    para demostrar que los puntos de interseccin estn sobre una recta

    perpendicular a la recta que une los centros de los crculos.

    (Para un caso particular, se puede sustituir esta ecuacin en la ecuacin 2 2 2

    1x y r , para obtener los puntos de interseccin y la ecuacin particular

    de la recta que los une)

  • 24 Sptima Olimpiada Interuniversitaria de Ciencias Bsicas

    Problema 4: (15 puntos)

    Existen exactamente dos rectas que son tangentes simultneamente a las parbolas 2 4 3y x x & 2 4 3y x x . Determine sus ecuaciones.

    Solucin

    Le recomendamos trazar la grfica de las dos parbolas para comprender mejor

    el problema, como se muestra en la figura siguiente

    -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5

    -20

    -10

    10

    20

    x

    y

    Sea la primera parbola 2 4 3f x x x y la segunda 2 4 3g x x x

    Sea ,a f a el punto de tangencia de la recta a la primera parbola y ,b g b

    el punto de tangencia a la segunda. Por lo tanto, la pendiente de la recta debe