4 Guia 04 Semestre 2 Limites de Funciones

Profesor: Erwin Coronado C. Sector: Matemática

Puerto Montt Curso: IV° Medio Electivo

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Guía de ejercicios N°4, Segundo Semestre

Tema: Límites de funciones.

Debes saber que:

El 31 de octubre de 1815, nació Karl T. Weierstrass en Ostenfelde (Westfalia). A los 14

años inició sus estudios de Bachillerato y consiguió el título de mejor alumno.

En 1834 realizó estudios que le permitieron desarrollar tareas administrativas y de

jurisprudencia. Tres años después las abandonó para consagrarse a las matemáticas,

definitivamente, desde 1841 a 1854. Trabajó de maestro y, a pesar de su orientación

educativa, se dedicó a seguir investigando en matemáticas sin tener contacto con otros

colegas de su tiempo. Sus publicaciones le permitieron incorporarse a la Universidad de

Berlín, donde sería profesor titular a partir de 1863.

Weierstrass fundamentó el análisis con el máximo rigor posible, sin tener que recurrir a

la intuición y, aunque publicó poco sus enseñanzas en la universidad le otorgaron

numerosos discípulos.

Los límites se aplican actualmente en las diferentes ramas de la ciencia; para realizar

aproximaciones, cuando no se puede obtener valores exactos; así como también para

determinar valores máximos y mínimos que puede asumir una expresión matemática, en

cualquiera de sus formas.

Límite de funciones

El concepto de límite de funciones es fundamental en el cálculo infinitesimal y corresponde a

determinar si los valores f x tienden hacia un valor L , que escribiremos f x L , cuando x

se aproxima indefinidamente a un valor a , o x tiende a a , en símbolos x a .

Cuando x a en forma arbitraria, esto es por la derecha o por la izquierda, se tiene que ,f x L

entonces diremos que el límite de la función existe y se escribirá: limx a

f x L

.

Límites laterales de una función

Cuando x tiende a a por la izquierda se escribirá x a , mientras que cuando x tiende a a por

la derecha se escribirá x a .

Definición:

Si lim limx a x a

f x f x L

entonces limx a

f x L

Observación:

Se debe indicar que para que el límite exista no es necesario que la función esté definida para el

valor a , solo es necesario que esté definida para valores muy cercanos a a



2

Noción de Límite

Para un primer acercamiento al concepto de límite consideremos la función 22 1

1

x xf x

x

.

Esta función está definida para todo real x , excepto 1x , es decir Dom 1f .

Observa que para todo 1x , se puede dividir el numerador por 1x y se tiene

2 2 1 12 1

2 11 1

x xx xf x x

x x

.

Al estudiar los valores de la función f cuando 1x , es decir para valores menores que 1 se

tiene

x 0 0,5 0,75 0,9 0,99 0,999

f x 1 2 2,5 2,8 2,98 2,998

Al estudiar los valores de la función f cuando 1x , es decir para valores mayores que 1 se

tiene

x 2 1,5 1,25 1,1 1,01 01,001

f x 5 4 3,5 3,2 3,02 3,002

Observa que ambas tablas cuando x se aproxima a 1, los valores de la función se aproximan a 3.

Luego 2

1

2 1lim 3

1x

x x

x

Definición formal de Límite

Del ejemplo anterior observa que en la primera tabla

0,9 2,8x f x , esto es 1 0,1 3 0,2x f x

0,99 2,98x f x , esto es 1 0,01 3 0,02x f x

0,999 2,998x f x , esto es 1 0,001 3 0,002x f x

y de la segunda tabla

1,1 3,2x f x , esto es 1 0,1 3 0,2x f x

1,01 3,02x f x , esto es 1 0,01 3 0,02x f x

1,001 3,002x f x , esto es 1 0,001 3 0,002x f x



3

Y utilizando la definición de valor absoluto podemos escribir

1 0,1 3 0,2x f x

1 0,01 3 0,02x f x

1 0,001 3 0,002x f x

Es decir, podemos aproximar los valores de f x a 3 tanto como queramos mientras x lo hacemos

muy cercano a 1.

Para las diferencias que se presentan se utilizan los símbolos (epsilon) y (delta). De esta

forma, se entrega la definción formal de límite.

Definición:

Sea I un intervalo abierto al cual pertenece el número real a .

Sea f una función definida para x I a . Diremos que el

límite de f x es L , cuando x tiende a a , y se escribirá

limx a

f x L

, si para todo 0 , existe 0 tal que si

0 x a entonces f x L

Ejemplo

Demostrar utilizando la definición que 2

1

2 1lim 3

1x

x x

x

Solución

De la definición: si 2

1

2 1lim 3

1x

x x

x

, tenemos

22 13

1f x

x x

x

lo que implica

2 1 3x , es decir 2 2x

Esto es 2 1x , de lo que se desprende que 12

x

Es decir, haciendo 2

se tiene que 1x implica

22 13

1

x x

x

.

Luego

1 2 1 2 2 2 1 32 f x

x x x x

Lo que demuestra lo solicitado



4

Observación:

Si observas, el que 2

se cumple en las diferencias presentadas en los cálculos realizados en

la página anterior. Por ejemplo 1 0,1 3 0,2x f x .

Ejemplo

Si 1

lim 2 3 1x

x

y 0,06 determina el valor de .

Solución

Aplicando la definición se tiene que si 0 1x entonces 2 3 1x

Es decir

2 3 1

3 3

3 1

13

x

x

x

x

Pero 1 1x x , por lo tanto 13

x

Lo que implica que toma los valores

0,060,02

3 3

Es importante indicar el siguiente teorema.

Teorema:

Si 1limx a

f x L

y 2limx a

f x L

entonces 1 2L L

Observación:

El teorema anterior indica que si una función tiene límite, entonces este es único.



5

Propiedades de límites

Si f es una función tal que f x c

1. limx a

f x c

Si f es una función tal que f x x

2. limx a

f x a

Si f y g son funciones tales que limx a

f x L

y limx a

g x M

y ,c n entonces se cumple

que:

3. lim limx a x a

c f x c f x c L

4. lim lim limx a x a x a

f x g x f x g x L M


f x g x f x g x L M


f x g x f x g x L M

7.

limlim

lim

x a

x a

x a

f xf x L

g x g x M

si lim 0x a

g x M

8. lim limnn n

x a x af x f x L

9. lim lim nn n

x a x af x f x L

Ejemplo

1. Utilizando los teoremas anteriores comprueba que 2

2lim 3 4 6x

x x

Solución

2 2

2 2 2 2

2

2 2

2

lim 3 4 lim lim3 lim 4

= lim 3 lim 4

= 2 3 2 4

=4 6 4

=6

x x x x

x x

x x x x

x x



6

2. Si 3 2

3 2

xf x

x

, determina el valor de

1

2

limx

f x

Solución

1 1 1

2 2 2

1

1 1 12

2 2 2

1lim 3 2 lim3 2 lim3 2

3 1 2 12lim1lim 3 2 lim3 2 lim 3 1 4 2

3 22

x x x

x

x x x

x x

f xx x

Como puedes observar, el uso de los teoremas nos permite sustituir el valor al cual tiende x en la

función y podemos determinar si la función tiene o no límite.

Ejemplo

1. Calcula 2

3

9lim

2 1x

x

x

Solución

Sustituyendo se obtiene que 2 2

3

9 3 9 9 9 0lim 0

2 1 2 3 1 6 1 7x

x

x

2. Determina si existe 42

4lim

4x x

Solución

Sustituyendo se obtiene

4 22

4 4 4 4lim

4 2 4 4 4 0x x

Luego el límite no existe, ya que la división por cero no existe.



7

Ejercicios

1. Con el apoyo de una calculadora, determina a qué valor tiende la función 2

5f x

x

a. Cuando x tiende a 3

b. Cuando x tiende a 5

c. Cuando x tiende a

d. Cuando x tiende a

2. Con el apoyo de tu calculadora y siguiendo la misma estrategia del ejercicio anterior, calcula

el límite de la función 23 3f x x cuando 2x y 5x .

3. Calcula, con el apoyo de tu calculadora, el límite de la función 3 1

5

xg x

x x

cuando 1x

y 0x .

4. Encuentra 3 1

lim2x

x

x

y

3 1lim

2x

x

x

5. Calcula la tendencia de las siguientes funciones cuando x se acerca a 3, distinguiendo si es por

la derecha o por la izquierda.

a. 5 8f x x c. 1

xg x

x

b. 27h x x d. 6

p xx

6. ¿Cuál es el límite de estas funciones cuando x tiende a 4?

a. 2

4f x

x

c.

2

4

xf x

x

b. 2 16

4

xf x

x

d.

1

4

xf x

x

7. Dada la gráfica que se presenta a continuación, determina los límites solicitados, si existen.

a. 2

limx

f x

; 2

limx

f x

; 2

limx

f x

b. 2

limx

f x

; 2

limx

f x

; 2

limx

f x

c. 0

limx

f x

; 0

limx

f x

; 0

limx

f x

Y

X



8

8. Dada la gráfica que se presenta a continuación, determina los límites solicitados, si existen.

a. 2

limx

f x

; 2

limx

f x

; 2

limx

f x

b. 1

limx

f x

; 1

limx

f x

; 1

limx

f x

c. 2

limx

f x

; 2

limx

f x

; 2

limx

f x

d. 3

limx

f x

; 3

limx

f x

; 3

limx

f x

9. Dada la gráfica que se presenta a continuación,

determina si los límites solicitados existen.

a. 1

limx

f x

b. 0

limx

f x

10. Dada la gráfica que se presenta a continuación,

determina si los límites solicitados existen.

a. 5

limx

f x

b. 3

limx

f x

c. 1

limx

f x

d. 2

limx

f x

e. 4

limx

f x

11. Utilizando la definición de límite demuestra que

a. 2

lim 3 4 10x

x

f. 1

2

lim 2 1 0x

x

b. 1

lim 2 5 3x

x

g. 2

lim 1 3 7x

x

c. 3

lim 5 8x

x

h. 2

7

49lim 14

7x

x

x

d. 0

3lim 1 1

4xx

i.

2lim 2 3 8x a

a x a

e. 2

2

5 4lim 3

1x

x x

x

j.

2

1 11lim 3

2 2xx

Y

Y

X

X

X

Y



9

12. Obtén el valor de o en los siguientes ejercicios

a. Si 1

lim 3 2 5x

x

y 0,03 , encuentra el valor de

b. Si 2

5

lim 5 1 1x

x


c. Si 0

lim 2 7 7x

x


d. Si 1

2

lim 3 2 2x

x


e. Si 2

lim 3 7 1x

x

y 0,06 , determina el valor de

f. Si 1

lim 2 7 5x

x


g. Si 1

lim 2 7 5x

x


13. Determina el valor de los siguientes límites utilizando los teoremas.

a. 2

lim 7 2x

x

i. 1

4 3lim

2 1z

z

z

b. 2

3lim 4 2 6x

x x

j. 1

3 1lim

2 5x

z

z

c. 4

lim 6 3x

x

k. 2

3

9lim

3 1x

x

x

d. 3

2lim 8t

t

l. 2 2

limx h

x h

x h

e. 2

2lim 7 14 7z

z z

m. 2

1

2 3lim

1y

y

y

f. 2

4lim 8 4 8x

x x

n.

2 2

0

1lim

1x

x x

x

g. 2

1

3

1 1lim

9 3x

x x

o.

22

3 2lim

6 5x

x

x x

h. 2

4

2 1 4lim

2rr

r r

p.

2

2

2 3 2lim

6 4x

x x

x

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