I.- FUNCIONES: POLINOMIALES, RACIONALES, VALOR ABSOLUTO,EXPONENCIAL Y LOGARTMICA

1.- Dadas las siguientes funciones reales :

f ( x ) = 2 x + 3 , g ( x ) = 1 x

1

h ( x ) = x 3 + ( 1 x ) 2 - x , r ( x ) = x5

x2 3

Determinar :

1 ) f ( 0 ) 2 ) g ( 2 ) 3 ) h ( 1 ) 4 ) r ( 1 ) 5 ) f ( 3 ) 6 ) g ( 1 ) 7 ) h ( 0 ) 8 ) r ( 1 ) 9 ) f ( a + 1 ) 10 ) g ( 2 a ) 11 ) h ( a 2) 12 ) r ( 1 a ) 13 ) f ( 3 x ) 14 ) g ( 1 + x ) 15 ) h ( x 2 ) 16 ) r ( x 1 ) 17 ) f

x

1

18 ) g

2x

19 ) h

x

2

20 ) r

3x

2.- En las siguientes funciones reales determinar : a ) Dominio b ) Recorrido c ) Bosquejo de grfica

1 ) f ( x ) = x 2 ) f ( x ) = x 2 + 1

3 ) f ( x ) = ( x + 1 ) 2 4 ) f ( x ) = 1

5 ) f ( x ) = 3 x 2 6 ) f ( x ) = 2 x 2

7 ) f ( x ) = 3 x 2 8 ) f ( x ) = ( x 2 ) 3 + 1

REA CIENCIAS BSICAS

FUNDAMENTOS MATEMTICOS

GUA N 4 FUNCIONES REALES

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9 ) f ( x ) = x 3 2 10 ) f ( x ) = x 2 3 x + 2

11 ) f ( x ) = + x 12 ) f ( x ) = x

13 ) f ( x ) = + x 2 14 ) f ( x ) = 1 x 3

15 ) f ( x ) = 1 x

x

16 ) f ( x ) =

4 x 23

17 ) f ( x ) = 1 x

12

18 ) f ( x ) = x 3 x 3

19 ) f ( x ) = x

x2 1 20 ) f ( x ) = 6 x 5

4 x 3

21 ) f ( x ) = 2 x 2 x

22 ) f ( x ) = 34 x

8

23 ) f ( x ) = | x + 1 | 24 ) f ( x ) = | x 2 + x 6 | 25 ) f ( x ) = | x 1 | + 2 26 ) f ( x ) = | x | 3 27 ) f ( x ) = | x 3 + 1 | 28 ) f ( x ) = | x 2 + x 6 | + 2 29 ) f ( x ) = ln ( x ) + 1 30 ) f ( x ) = e x + 1

31 ) f ( x ) = e x + 2 32 ) f ( x ) = ln ( x + 1 )

33 ) f ( x ) = | ln ( x ) | 34 ) f ( x ) = e x 2 + 1 35 ) f ( x ) = ln ( x + 1 ) + 2 36 ) f ( x ) = | ln ( x 2 ) 1 |

37 ) f ( x ) = 2x 1 x

38 ) f ( x ) = 1 x

x 3

39 ) f ( x ) = 1 x 1 x

40 ) f ( x ) =

2 x 3 3 x 2

41 ) f ( x ) =

0 x si 4 x 0 x si x 2

42 ) f ( x ) =

0 x si 0

0 x si x

1

43 ) f ( x ) =

2 x si 4 x 2 x si x 3 x 2

44 ) f ( x ) =

2 x si x 0 x si 1

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45 ) f ( x ) =

2 x si x 2 x 1 si x

1 x si 0

2

46 ) f ( x ) =

2 x si 1 x 2 x si x

3.- Sean f y g funciones reales tales que :

f ( x ) = x 13

, g ( x ) = x 3 . Determinar :

1 ) Dominio de f y g 2 ) { x / f ( x ) = x } 3 ) f ( 5 ) + 2 g ( 2 ) 4 ) 3 f ( 0 ) 5 g ( 3 ) 5 ) f ( x ) g ( x ) 6 ) f ( x ) / g ( x )

4.- Dada la siguiente funcin real definida por: f (x) = ( x 1 ) 2 + 1 complete lasiguiente tabla y grafique:

x f ( x ) f ( x + 1 ) f ( x 1 ) f ( 2 x ) 2 f ( x )-2-1012

Qu pasa con la funcin ? ( explique con palabras )

5.- Dada la siguiente funcin real definida por : f (x) = x + 1 complete lasiguiente tabla y grafique:

x f ( x ) f ( x + 1 ) f ( x ) + 1 f ( 2 x ) 2 f ( x )21012

Qu pasa con la funcin? ( explique con palabras )

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6.- Dada la funcin f definida por: f (x) = 1 2x 1 3

x

Determine Dom ( f ) y Rec ( f )

7.- Si x 1

1 ) x ( f que tal 1 :

f

Hallar Rec ( f )

8.- a) Si 2 x 3 ) x ( f que tal 0 : f Hallar Rec ( f )

b) Si g : 3 , tal que g ( x ) = ( x 2 ) 2 + 1

Determine las funciones f + g ; f gGrafique la funcin g

9.-

0 x si x 0 x si 1

0 x si x ) x ( f

:que tal : Sea

3

f

a) Grafique f si x 0 b) Hallar el Rec ( f )

II.- EXPONENCIALES Y LOGARITMOS:

1.- Trazar la grfica de las siguientes funciones:

a) y = 2 e x b) y = e 2x c) y = 2 xd) y = ( ) x e) y = 4 x f) y = ( ) xg) y = ln x h) y = log x i) y = ln z j) y = ln x k) y = ln x 2 l) y = ln x

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2.- Simplicar las expresiones dadas, dando respuesta en forma exponencial:

a) a x a 4x a 2x b) b 2y b y b y 1 c) ex e 2x e 3/ 8 e 2

d) 2 x 2 3 x2

10 10 1010 10 10 21

x e) 5 x + 5 2x

3.- Hallar el valor de las expresiones correspondientes o simplificarlas:

a) 3 log 3 ( 3 ) + 3 log 3 ( 9 ) b) e ln x + ln e x

4.- Hallar el nmero real x si 3 x = 4

5.- Resolver la ecuacin e x e x + 1 = 0

6.- Resolver en x e y el sistema: 4 x = 3 y2 ( 4 x ) = 5 y

7.- Cul es el valor de x y si x = log b (a) e y = log a (b) ?

8.- Cul es el valor de yx

si x = log b (a) e y = log a (b) ?

9.- Si a x b 2x = b z , hallar z

III.- PROBLEMAS DE APLICACIN

1.- Se sabe que las utilidades ( y ) en miles de pesos de cierto mineral muy utilizado, dependen de las ventas ( x ) en kilos .

Si la relacin es: y = x 2 199 x 200

a ) Cul es la utilidad si se venden 350 kilos.? b ) Cuntos kilos se deben vender para obtener $ 4500 de utilidad ?

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c ) A partir de qu cantidad de ventas se empiezan a obtener utilidades ? d ) Grafique la curva que representa las utilidades debido a las ventas.

2.- Las ventas ( y ) de una agencia de viajes dependen de la inversin en publicidad ( x ) en miles de pesos . Esta dependencia est dada por la funcin :

y = e k x + 3

Se sabe adems que si se invierten $ 100.000 en publicidad, se venden 7 viajes.

a ) Determinar el valor de k b ) Cuntos viajes se venden si se invierten 300 mil pesos en publicidad ? c ) Cuntos viajes se venden si no se invierte en publicidad ? d ) Cunto debe invertirse en publicidad para vender 100 viajes ?

3 .- El % de alcohol ( y ) que hay en cierta sustancia depende del peso ( x ) en gramos de dicha sustancia . Se sabe que :

y =

10 x 9 si )x 10 ( 100 9 x 8 si ) 8 x ( 100

a ) Qu % de alcohol tiene la sustancia si pesa 8.9 grs. ? b ) Qu % de alcohol hay en 9.7 grs. de sustancia ? c ) Cunto pesa una sustancia que tiene 30 % de alcohol?

4.- El nmero y de accidentes en una industria en un tiempo t en meses viene dado por :

y = N0 e 3 t

donde N0 representa la cantidad de accidentes el primer mes.Se sabe adems que el segundo mes hubo 12 accidentes.

a ) Cul era el nmero de accidentes en el tiempo t = 0 ( primer mes)?b ) En qu mes la cantidad de accidentes ser el doble de la del primer mes ?

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5.- Una empresa industrial fabrica un producto con unos costos variables por unidad de $3,3 y costos fijos de $20000 para toda la produccin.

a) Graficar la funcin de costo total de la empresa para niveles de produccin de 0 hasta 25 unidades.

b) En el mismo grfico obtenido en a) grafique la funcin ingresos de dicha empresa considerando que el precio de venta del producto es de $6 por unidad.

c) Determine la funcin que representa el beneficio B de la empresa en funcin del nivel de produccin.

6.- Toms le dijo a Jeremas: estoy pensando en un nmero; cuando le resto 5 ymultiplico el resultado por 3 obtengo 42. Cul es mi nmero?. Jeremas calculcul era. Puede usted ?

7.- La Direccin General de Carabineros de Chile estudia la compra de un CarroLanza-Agua ultra moderno. Los analistas de Carabineros estiman que el costo delcarro, completamente equipado, es de U$ 18.000. Han estimado tambin un costopromedio de operaciones de 0,40 dlares por kilmetro.Determine:a) La funcin que representa el costo total C, de la obtencin y operacin del

Carro Lanza-Agua, en trminos del nmero de kilmetros que recorra.b) Cul es el costo proyectado si el carro recorre 50.000 kilmetros en su vida

til?c) Cul es el costo proyectado si el carro recorre 100.000 kilmetros en su

vida til?d) El recorrido o rango restringido de la funcin de costo total si el Carro

Lanza-Agua no puede recorrer ms de 150.000.

8.- El nmero de bacterias de un cultivo en el tiempo t viene dado por:

y = N0 e 5 t. Cuntas habra en el instante t = 0 ? Cundo su nmero ser el doble de la cantidad inicial ?

9.- Si una sustancia se desintegra segn la frmula y = N0 e k t , dado que lavida media de una sustancia radioactiva es 10 minutos, qu parte de una muestradada de 5 gramos permanecer sin descomponer despus de 20 minutos?Observacin: se debe hallar primero k con t = 10 minutos y N0 = 5

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