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Curso: 3er año de formación matemática

Docente: Lic. Santiago Quelali Arpita

CÁLCULO DIFERENCIAL I LA DERIVADA

INTRODUCCIÓN

2.1 Historia

A lo largo del tiempo la humanidad ha luchado por encontrar el porqué de las cosas. Muchos

temas han sido motivo de investigación y sin duda alguna, la

matemática no es la excepción.

El cálculo constituye una de las grandes conquistas

intelectuales: cristaliza conceptos y métodos que la

humanidad estuvo tratando de dominar durante siglos. Hubo

que esperar hasta el siglo XVII para tener la madurez social,

científica y matemática que permitiera construir el cálculo

que utilizamos en nuestros días. A pesar de que algunas veces

su ejercicio se toma difícil, pocos saben que, a través de los

años, esta eficaz rama de las matemáticas encierra grandes

historias que narran como surgió, quienes se encargaron de

su establecimiento y de qué manera ha evolucionado con el

tiempo.

DEFINICIÓN

¿Qué es la derivada?

En matemáticas, la derivada de una función es

una medida de la rapidez con la que cambia el

valor de dicha función según cambie el valor de

su variable independiente. La derivada de una

función es un concepto local, es decir, se calcula

como el límite de la rapidez de cambio media de

la función en un cierto intervalo, cuando el

intervalo considerado para la variable

independiente se toma cada vez más pequeño.

Por ello se habla del valor de la derivada de una

cierta función en un punto dado.

La derivada geométricamente está representada por la recta tangente y físicamente por la

razón del cambio. El concepto de derivada es uno de los dos conceptos centrales del cálculo

infinitesimal. El otro concepto es la antiderivada o integral; ambos están relacionados por el

teorema fundamental del cálculo. A su vez, los dos conceptos centrales del cálculo están

basados en el concepto de límite, el cual separa las matemáticas previas, como el Álgebra, la

Trigonometría o la Geometría Analítica, del Cálculo. Quizá la derivada es el concepto más

importante del Cálculo Infinitesimal.

La derivada es un concepto que tiene variadas aplicaciones. Se

aplica en aquellos casos donde es necesario medir la rapidez con

que se produce el cambio de una magnitud o situación. Es una

herramienta de cálculo fundamental en los estudios

de Física, Química y Biología, o en ciencias sociales como

la Economía y la Sociología. Por ejemplo, cuando se refiere a

la gráfica de dos dimensiones de , se considera la derivada como

la pendiente de la recta tangente del gráfico en el punto . Se

puede aproximar la pendiente de esta tangente como el límite cuando la distancia entre los

dos puntos que determinan una recta secante tiende a cero, es decir, se transforma la recta

secante en una recta tangente. Con esta interpretación, pueden determinarse muchas

propiedades geométricas de los gráficos de funciones, tales como concavidad o convexidad.

Algunas funciones no tienen derivada en todos o en

alguno de sus puntos. Por ejemplo, una función no tiene

derivada en los puntos en que se tiene una tangente

vertical, una discontinuidad o un punto anguloso.

Afortunadamente, gran cantidad de las funciones que

se consideran en las aplicaciones son continuas y su

gráfica es una curva suave, por lo que es susceptible

de derivación.

3.2 Aplicaciones de la derivada

En definitiva, las derivadas se suelen usar para relacionar dos magnitudes, en la vida

cotidiana se usan con mucha frecuencia y a veces sin darnos cuenta.

Derivadas En Medicina

Variedad de funciones biológicas

Análisis FOT

Con estas consideraciones y tras varios años de estudios de las

funciones cardiovasculares de presión y velocidad de la sangre,

proponemos que el estudio de la variabilidad de la presión arterial,

bajo diferentes condiciones hemodinámicas, se realice

gráficamente.

En efecto, una marcada tendencia actual en el estudio del estado o condición cardiovascular

de los pacientes, es la observación de las formas de las ondas de presión arterial (p (t)) y su

análisis mediante métodos matemáticos.

El cálculo más utilizado es la obtención de la derivada (dp/dt) máxima, y

existen numerosas publicaciones que correlacionan este parámetro con

otras mediciones más complejas como el índice cardiaco y otros cuadros

patológicos [2, 3,4,]. Su demostrada utilidad clínica ha llevado a la

elaboración de software comercial, que permiten un cálculo automático de

dicho parámetro a partir de señales de pulso arterial.

Nosotros hemos desarrollado y aplicado otro método matemático elemental,

utilizando el plano de fase de la dinámica no lineal (función biológica p (t) versus su primera

derivada dp/dt), al estudio de las ondas pulsátiles de origen cardiovascular, y que hemos

denominado Fast Orbital Transform (FOT).

3.3 ¿Qué es Razón de cambio?

El cambio se matematiza mediante el cálculo, que se considera como la rama

de las matemáticas que realiza las operaciones necesarias para prever un

resultado de una acción previamente concebida, o conocer las consecuencias

que se pueden derivar de unos datos previamente conocidos.

La razón de cambio se define como un cociente incremental o de Diferencias.

El cociente es definido como el cambio o diferencia en el eje Y dividido por

el respectivo cambio en el eje X, recociendo que el cambio se establece

hallando la diferencia entre una magnitud final con una inicial. Usando la notación moderna

puede escribirse como:∆(𝑦)

∆(𝑥)=

𝑦2−𝑦1

𝑥2−𝑥1

Es importante resaltar que en muchas ocasiones la razón de cambio está dotada de un

significado contextual, pues plantea relaciones significantes entre las magnitudes que

intervienen. Este cociente en algunos casos siempre daría el mismo resultado, definiéndose

como constante y en caso contrario como razón de cambio variable.

3.4 Utilidad de razón de cambio

Según lo dicho anteriormente, el concepto de razón de cambio está presente en la vida diaria,

muchas veces manejado sin darle un nombre específico o sin reflexionar sobre las acciones

realizadas. Ya que vivimos en un mundo físico, social, político, económico, biológico, resulta

importante poder describir y medir estos cambios a través de modelos matemáticos.

Por ejemplo, una planta crece a medida que el tiempo

transcurre, puede detener su crecimiento en algún instante,

para luego volver a crecer, o permanecer estacionaria.

También la población de un país varía con el correr del

tiempo y la variación depende básicamente de la cantidad

de nacimientos y de muertes.

Es importante medir estas variaciones y expresarlas en números pues estos nos permitirán

extraer conclusiones. Esto nos permite saber, por ejemplo, en el caso de consumo de energía

eléctrica como función del tiempo, cuándo se produce un

aumento repentino, lo que indica la necesidad de aumentar

la capacidad eléctrica; si estamos analizando la evolución de

una enfermedad a través del tiempo podremos saber cuándo

se está propagando con mayor rapidez y así reforzar las

medidas sanitarias necesarias.

METODOLOGÍA

Estrategia para resolver problemas de razón de cambio

Si es posible realice un

bosquejo del problema con

la ayuda de gráficos y

letras.

Identificar las variables y las

constantes de preferencia usar letra

mayúscula para constantes o valores

numéricos y letras minúsculas para

las variables.

Determinar la o las ecuaciones

que relacionan las variables con

las constantes.

Derivar la ecuación obtenida en el paso

anterior respecto a la variable

independiente en este paso tenga en cuenta

lo observado en el paso 2.

4.2 Ejemplos Prácticos

1. A un depósito cilíndrico de base circular y 5 m de radio, le está entrando agua a razón de

25 litros por segundo. Calcular la rapidez a la que sube la superficie del agua.

¿Que se pide en el problema?

Se pide calcular la rapidez (velocidad) a la que está aumentando la altura deun cilindro

circular de radio fijo, cuando su volumen aumenta a razón de 25 litros por segundo (25

dm3/s).

Es decir, si consideramos un cilindro circular que tiene un radio fijo r=5m, altura h y volumen

V, entonces lo que se desea es calcular la rapidez con que cambia (razón de cambio de) la

altura h, cuando la razón de cambio del volumen V es de 25 𝑑𝑚3

𝑠. Esto es, se pide calcular a la

derivada 𝑑ℎ

𝑑𝑡cuando r=50dm y

𝑑𝑉

𝑑𝑡= 25

𝑑𝑚3

𝑠.

El volumen V de un cilindro circular de radio r y altura h es V = π𝑟2h. Entonces

cuando r=50 dm el volumen del cilindro es V = π502h = 2500 π h 𝑑𝑚3.

Sabiendo que tanto la altura como el volumen son función del tiempo t,

derivamos respecto a t y obtenemos

dV/dt=2500π (dh/dt)→ dh/dt=1/2500π (25)→dh/dt=(1/100π dm)/s≈0.032dm/s

Por lo tanto, la rapidez con que sube la superficie del agua es2dm/s

2. Una infección viral se propaga en cierta población de manera tal que

personas contraen el virus en t semanas. ¿A qué velocidad se propaga el contagio al final de

4 semanas?

Necesitamos calcular . Dado que

Despeje la derivada de la

variable de interés y

reemplace datos numéricos.

Tenemos:

Como implicación puede afirmarse que en el transcurso del siguiente día una séptima parte

de la semana 1/7(210) = 30 personas se habrán contagiado, aproximadamente.

Aplicación

Se conoce la función𝑓(𝑥) = (−0.0106)𝑥2 + (2.0677)𝑥 − 13.3104

mediante la cual determinaremos la rapidez con la que se

desarrolla él bebe a medida que pasan las semanas lo haremos

a partir del periodo fetal ya que en ese tiempo él bebe tiene un

tamaño considerable siendo la función dada en los intervalos de

(15,40) donde empieza el periodo a calcular.

Función derivada:

𝑓′(𝑥) = 2𝑥(−0.0106) + (2.0677)

Cálculos

Los cálculos se llevarán a cabo en base a la tabla ilustrada.

Semana 16

𝑓(𝑥) = (−0.0106)𝑥2 + (2.0677)𝑥 − 13.310

𝑓(𝑥) = (−0.0106)(16)2 + (2.0677)(16) − 13.310

𝑓(𝑥) =17.05596cm

𝑓′(𝑥) = 2𝑥(−0.0106) + (2.0677)

𝑓′(𝑥) = 2(16)(−0.0106) + (2.0677)

𝑓′(𝑥) =1.1785 cm/semana

Semana 20

𝑓(𝑥) = (−0.0106)𝑥2 + (2.0677)𝑥 − 13.310

𝑓(𝑥) = (−0.0106)202 + (2.0677)20 − 13.310

𝑓(𝑥) = 23.804cm

𝑓′(𝑥) = 2𝑥(−0.0106) + (2.0677)

𝑓′(𝑥) = 2(20)(−0.0106) + (2.0677)

𝑓′(𝑥) =1.6437cm/semana

Semana 40

𝑓(𝑥) = (−0.0106)𝑥2 + (2.0677)𝑥 − 13.310

𝑓(𝑥) = (−0.0106)402 + (2.0677)40 − 13.310

𝑓(𝑥) = 52.438𝑐𝑚

𝑓′(𝑥) = 2𝑥(−0.0106) + (2.0677)

𝑓′(𝑥) = 2(40)(−0.0106) + (2.0677)

𝑓′(𝑥) = 1.2197 cm/semana