lgebra

COLEGIO PRE UNIVERSITARIO3er Grado de Primaria

LGEBRA

El lgebra es una rama de la matemtica que realiza sus operaciones utilizando nmeros y letras.Por ejemplo:

2 pelotas + 3 pelotas = 5 pelotasSi reemplazamos la palabra pelotas por la letra p, tendramos:

2p + 3p = 5pTambin podramos utilizar otra letra o letras, por ejemplo:

2x + 3x = 5x

El lgebra es una herramienta muy importante para otras materias como aritmtica, geometra, fsica, qumica, en el clculo de problemas de la vida cotidiana, etc.

Ejemplo 01.-

Paty tiene 2 soles ms que Tito. De qu manera representamos la cantidad de dinero que tiene Paty?

Solucin:Representamos con la letra x a la cantidad de dinero que tiene Paty, como Tito tiene 2 soles ms, podramos expresarlo as:

Dinero de Paty = Dinero de Tito + S/. 2

Dinero de Paty = x + S/. 2

O tambin:P = x + 2

Ejemplo 02.-Bety recibe cada da una propina de S/.3, luego, Cunto recibir en una cantidad cualquiera de das?

Solucin:Llamemos a a una cantidad cualquiera de das, entonces, tendremos lo siguiente:

En un da recibir 3 soles

En dos das recibir 3 + 3 = 3.2 = 6 soles

En tres das recibir 3 + 3 + 3 = 3.3 = 9 soles

En cuatro das recibir 3 + 3 + 3 + 3 = 3.4 = 12 soles

En a das recibir 3 + 3 + + 3 = 3.a soles

a veces 3Por la tanto, si llamamos B a la propina que recibir Bety, en a das tendr:B = 3.aACTIVIDADES PROPUESTAS

1. Halla el resultado de:

a) 15 soles + 29 soles =

b) 37 libros 25 libros =

c) 58 palomas 35 palomas =

d) 75 patos 70 pollos =e) 108m 78m =

f) 76abc 54abc =

2. Representa las siguientes situaciones mediante nmeros y letras. Por ejemplo: la edad de Percy hace 5 aos: x - 5a) La edad de Ana:b) La edad de la profesora dentro de 3 aos:

c) Tengo 10 soles ms que Juan:

d) El nmero de nios de 3er grado:

e) El doble de dinero que tiene Mary:

f) Lina tiene 3 caramelos ms que yo:

EL CONJUNTO DE LOS NMEROS ENTEROS

Cuntos elementos tiene el conjunto A?

Respuesta:

El conjunto A tiene elementos.

Los nmeros que utilizamos para contar pertenecen al Conjunto de los Nmeros Naturales o Conjunto IN.Pero, en algunas ocasiones, veremos que para representar algunas cantidades sern necesarios otros nmeros menores que cero. Estos nmeros menores que cero se les conoce como Nmeros Negativos y pertenecen al Conjunto de los Nmeros Enteros o Conjunto Z.

Por ejemplo, ahora veremos algunos casos que nos ilustren la necesidad de nmeros negativos:

Jos no tena dinero, pero su mam

le dio 2 soles para comprar una gaseosa.

Jos perdi el dinero, ahora tiene -2 soles,

ya que le debe a su mam.

Pablo gast su dinero en la lotera. Para

seguir jugando se prest 3 soles y volvi a

perder. Ahora Pablo debe 3 soles, entonces,

decimos que Pablo tiene -3 soles.

Sheyla tena 10 soles y apost por su equipo 15soles. Su equipo perdi el partido y Sheyla tuvo,

que pagar su apuesta. Pag 10 soles y se prest

5 soles, entonces, Sheyla tiene soles.

Los nmeros que hemos utilizado: -2, -3, -5, tienen el signo menos (-) delante, se llaman nmeros negativos y se utilizan para representar cantidades menores que cero.

Carlitos no tena dinero, cuando de

pronto se encontr 5 soles, entonces,

ahora Carlitos tiene +5 soles.

Carmen estaba sin dinero, cuando recibi

de propina 8 soles, entonces, ahora

Carmen tiene +8 soles.

Los nmeros que hemos utilizado: +5, +8, con un signo ms (+) por delante, se llaman nmeros positivos y se utilizan para representar cantidades mayores que cero.

ACTIVIDADES PROPUESTAS

1. Representa mediante un nmero positivo, negativo o cero, las siguientes situaciones.

a) Tengo 12 soles:

b) Debo a Naty 3 soles:

c) Gan 7 fichas:

d) Perd 23 soles:

e) Encontr 9 soles:

f) No tengo ni un sol:

g) Me regalaron 45 soles:h) Pagu 18 soles por la cuenta:

i) Perd 37 figuritas:

j) Gan un amigo:

k) No gane ni perd:

REPRESENTACIN EN LA RECTA NUMRICA

Los nmeros en la recta numrica aumentan de izquierda a derecha. Es decir, un nmero entero es menor que otro, si est colocado a la izquierda de l en la recta numrica; y es mayor, cuando est a su derecha.

. . . -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 +1 +2 +3 +4 +5 +6 +7 . . . Nmeros negativos

Nmeros positivos

Los nmeros en Z aumentan de izquierda a derecha.

Ejemplo:-2 > -3 porque -2 est ms a la derecha que -30 > -1 porque 0 est ms a la derecha de -1

+3 > -3 porque +3 est ms a la derecha que -3

-2 < -1 porque -2 est ms a la izquierda que -1

-1 < 0 porque -1 est ms a la izquierda de 0

-5 < -3 porque -5 est ms a la izquierda que -3

Recuerda:

> significa: es mayor que

< significa: es menor que

ACTIVIDADES PROPUESTAS

1. Localiza en la recta numrica los siguientes nmeros enteros, luego encirralos con una lnea curva de color rojo.

a) -3 ; +2 ; -5 ; +1

. . . -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 +1 +2 +3 +4 +5 +6 +7 . . .

b) -7 ; +6 ; -1 ; +3

. . . -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 +1 +2 +3 +4 +5 +6 +7 . . .

c) -2 ; +7 ; -2 ; +6 ; 0

. . . -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 +1 +2 +3 +4 +5 +6 +7 . . .2. Coloca el signo >, < o = segn corresponda.

a) -7 -5 porque -7 est ms a la que -5b) -4 -5 porque -4 est ms a la de -5c) +1 -1 porque +1 est ms a la que -1d) 0 -4 porque 0 est ms a la que -4e) +4 +6 porque +4 est ms a la de +6f) -5 -6 porque -5 est ms a la que -6g) -10 -12 porque -10 est ms a la que -12h) -8 -6 porque -8 est ms a la de -6i) -15 -16 porque -15 est ms a la que -16ADICIN DE NMEROS ENTEROS

Felipe anot 3 goles en el primer tiempo, luego, en el segundo tiempo anot 4 goles ms, Cuntos goles anot en total?

Solucin:Goles anotados en el primer tiempo:

+5Goles anotados en el segundo tiempo:

+4

Total de goles: ( +5 ) + ( +4 ) =

A Susana se le perdi en el parque 4 soles, luego volvi a perder 3 soles, Cunto tiene Susana en total?

Solucin:Primero perdi 4 soles:

-4Luego perdi 3 soles:

-3Total: ( -4 ) + ( -3 ) =

REGLA OPERATIVA PARA LA ADICIN

Para sumar dos nmeros enteros que tengan el mismo signo, se suman los valores de los nmeros (los nmeros sin su signo), y al resultado se le antepone el signo comn.

Ejemplos:

(+1) + (+3) =

(+5) + (+7) =

(-8) + (-3) =

(-2) + (-6) =

(+4) + (+3) =

(+9) + (+3) =

(-7) + (-4) =

(-5) + (-7) =

Para sumar dos nmeros enteros que tengan diferente signo, se restan el mayor valor menos el menor valor (los nmeros sin su signo), y al resultado se le antepone el signo del nmero que tena mayor valor.

Ejemplos:

(+3) + (-5) =

(-2) + (+3) =

(+6) + (-3) =

(-7) + (+5) =

(+3) + (-10) =

(-6) + (+11) =

Ejemplos:

(-4) + (+4) =

(+5) + (-5) =

(-9) + (+9) =

(+50) + (-50) =

Efecta las siguientes sumas:a) (-105) + (+72) =

c) (+120) + (-155) =

b) (+100) + (+137) =

d) (-140) + (-120) = ACTIVIDADES PROPUESTAS PARA LA CASA

1. Calcula:

a) (+3) + (+7) =

b) (-8) + (-2) =

c) (+9) + (+7) =

d) (-6) + (-5) =

e) (-11) + (-2) =

f) (-4) + (-20) =

g) (+5) + (+7) =2. Calcular:

a) (-5) + (+4) =

b) (-3) + (+2) =

c) (-4) + (+5) =

d) (+8) + (-5) =

e) (-8) + (+7) =

f) (-4) + (-15) =

g) (+8) + (-6) =

h) (-17) + (+17) =

i) (+5) + (-7) =

j) (-12) + (+12) =

SUSTRACCIN DE NMEROS ENTEROS

Para calcular la diferencia de dos nmeros enteros, debemos cambiar el operador resta (-) por suma (+) e invertir el signo del sustraendo. Luego, procederemos como en el caso de la adicin. De la siguiente manera:

Ejemplos:

(+2) (- 3 ) = (+4) + (+3) =

(-2) (+1) = (-2) + (-1) =

(-7) (-6) = (-7) + (+6) =

(+8) (+5) = (+8) + (-5) =

(-10) (-7) = (-10) + (+7) =

EJERCICIOS PROPUESTOSDesarrollar las siguientes operaciones con nmeros enteros, utilizando la escritura simplificada:

(+4) - (-6) = (+4) + (+ 6) = _______

(-10) - (-5) = (-10) + (+5) = ______

(+5) - (-8) = ________________

(-10) - (+9) = ________________

(+7) - (+3) = ________________

(-8) - (+10) = ________________

(+2) - (-7) = ________________

(+6) - (-7) = ________________

(-20) - (-8) = ________________

(+7) - (-14) = ________________

(+12) - (-7) = ________________

(+1) - (-9) = ________________

(-2) - (+8) = ________________

(+3) - (-16) = ________________

MULTIPLICACIN DE NMEROS ENTEROS

Para multiplicar dos nmeros enteros tendremos especial cuidado con los signos. Multiplicaremos primero los nmeros sin su signo, luego, se operar de acuerdo a la ley de signos.

LEY DE SIGNOS

Ejemplos:

(+3) . (+5) =

(+2) . (+7) =

(+7) . (+5) =

(-5) . (-2) =

(-6) . (-4) =

(-3) . (-8) =

(-4) . (+7) =

RecuerdaSi los factores tienen signos puestos, el producto es negativo.

Ejemplos:

(-3) . (+2) =

(+5) . (-2) =

(- 5) . (+4) =

(-8) . (+1) =

(+3) . (-6) =

(-6) . (+4) =

(+7) . (-3) =

(-8) . (+3) =

(+3) . (-5) =

(-6) . (+5) =

(-7) . (+2) =

(-8) . (+2) =

(+4) . (-7) =

(-2) . (+5) =

(-4) . (+3) =

ACTIVIDADES PARA LA CASA1. Calcula:

a) (+2) . (+4) =

b) (-5) . (+7) =

c) (-7) . (-6) =

d) (+8) . (-4) =

e) (-3) . (+12) =

f) (-5) . (-8) =

g) (-7) . (-10) =

h) (-4) . (+6) =

i) (+3) . (-9) =

j) (+8) . (+6) =

k) (+6) . (+3) =

l) (-12) . (+8) =

m) (-6) . (-10) =

n) (-10) . (+4) =

o) (+3) . (+11) =

p) (-11) . (+3) =

q) (-11) . (+7) =

r) (-9) . (-10) =

POTENCIAS

Luisa quiere saber cuntos bisabuelos y tatarabuelos ha tenido. Para contarlos dibuja en su cuaderno su rbol genealgico:

Ella tiene 2 padres (un padre y una madre).Cada uno de ellos tiene 2 padres. Por tanto, tiene 2*2 = 4 abuelos.Cada abuelo tiene a su vez 2 padres, luego tiene 2*2*2 = 8 bisabuelos.Cada bisabuelo tiene a su vez 2 padres; tiene 2*2*2*2 = 16 tatarabuelos.

OperacinResultado

Padres2 = 212

Abuelos2*2 = 224

Bisabuelos2*2*2 = 238

Tatarabuelos2*2*2*2 = 2416

En muchas situaciones hay que multiplicar un nmero por s mismo varias veces. Para abreviar, en lugar de escribir 2*2*2*2 escribimos 24 y lo llamaremos potencia.24 se lee "2 elevado a 4" o tambin "2 elevado a la cuarta".52 se lee "5 elevado a 2" o tambin "2 elevado al cuadrado".

Una potencia es el resultado de multiplicar un nmeropor s mismo varias veces. El nmero que multiplicamos se llama base, el nmero de veces que multiplicamos la base se llama exponente.

En la potencia 24, la base es 2 y el exponente es 4.

Exponente

24

Base

EJERCICIOS PROPUESTOS

1. Calcula las siguientes potencias: (En cada caso escribe cul es la base y cul es el exponente). a) 12 = base

exponente b) 22 = base

exponente c) 32 = base

exponente d) 42 = base

exponente e) 52 = base

exponente f) 62 = base

exponente g) 72 = base

exponente h) 82 = base

exponente i) 92 = base

exponente j) 102 = base

exponente 2. Expresa las siguientes multiplicaciones como potencias y luego halla el resultado.a) 1*1*1*1*1*1*1 =b) 2*2*2*2*2 =

c) 3*3*3*3 =

d) 4*4*4 =

e) 5*5 =

CASOS ESPECIALES DE LA POTENCIACINa) Potencias de 0 (cero) Calcula las siguientes potencias y luego saca una conclusin:

02 =

05 =

07 =

010 =

Conclusin:

b) Potencias de 1

Calcula las siguientes potencias y luego saca una conclusin:

15 = 18 = 12 = 110 =

Conclusin:

c) Exponente 1 Calcula las siguientes potencias y luego saca una conclusin:

31 = 51 = 91 = 101 =

Conclusin:

d) Exponente 0 (cero): Calcula las siguientes potencias y luego saca una conclusin:

20 =

30 =

80 =

100 =

Conclusin:

EJERCICIOS PROPUESTOS PARA LA CASA1. Halla el resultado de las siguientes potencias:a) 80 =

b) 032 =

c) 19 =

d) 270 = e) 9270 =

f) 61 =g) 9871 =

h) 01 =

i) 31 =

j) 201 =

k) 123 =

l) 8001 =

m) 0642 =

n) 117 =

o) 152 =

p) 10001 =

LEYES DE EXPONENTES

1) Multiplicacin de bases iguales Observa los ejemplos:

a) 2 * 23 = (2)*(2*2*2) = 2*2*2*2 =

b) 32 * 33 = (3*3)*(3*3*3) = 3*3*3*3*3 =

c) 42 * 4 = (4*4)*(4) = 4*4*4 =

d) 83 x 82 = (8*8*8)*(8*8) = 8*8*8*8*8 =

Cuando tengamos una multiplicacin de dos potencias que tengan bases iguales, el resultado ser una sola potencia con la base comn, y como exponente se colocar la suma de los exponentes dados.

Ejemplos:a. 22. 23 = _________________

b. 63. 62 = _________________

c. 52. 53 = _________________

d. 9. 96 = _________________

e. 810. 85 = _________________

f. 10x. 10y = _________________

2) Divisin de bases iguales

Observa los ejemplos:

a) 23 ( 22 = (2*2*2) =

(2*2 ) b) 34 ( 32 = (3*3*3*3) =

(3*3)c) 44 ( 43 = (4*4*4*4) =

(4*4*4)d) 83 ( 82 = (8*8*8) =

(8*8)

Cuando tengamos una divisin de dos potencias que tengan bases iguales, la potencia resultante tendr la base comn, y el exponente se obtendr restando los exponentes dados.

Ejemplos:a. 25 ( 23 = _________________

b. 32 ( 3 = _________________c. 64 ( 62 = _________________

d. 57 ( 54 = _________________

e. 46 ( 45 = _________________

f. 910 ( 97 = _________________g. 57 ( 52 = _________________

h. 46 ( 45 = _________________

i. 88 ( 85 = _________________EJERCICIOS PARA LA CLASE

1) Expresa como potencia:a) 2 . 2 . 2 . 2 =

b) 3 . 3 . 3 =

c) x . x . x . x . x =

d) m . m . m . m =

e) q . q . q . q . q . q =

2) Halla la potencia usando la primera ley:a. 23 . 22 =

b. 33 . 32 =

c. 4 . 42 =

d. p5 . p3 =

e. x2 . x3 =

f. xa . xb =

g. p10 ( p7 =

h. n4 ( n3 =

i. z13 ( z7 =

j. q8 ( q6 =

3) Efectaa) 140 . 3 =

b) (17 . 23)0 =

c) (a . b . c)0 =

d) x3 . x-2 =

4) Escriba V si es verdadero y F si es falso:

a) 210 . 2 = 211

( )

b) 53 . 54 = 512

( )

c) x4 . x5 = x45

( )

d) m3 . m = m4

( )

EJERCICIOS PARA LA CASA1) Efectaa) a2 . a3 =

b) m4 . m2 =

c) x3 . x2 =

d) p . p . p =

e) z13 ( z6 =

f) c7 ( c2 =

g) (4m + 5)0 =

h) (720 ( 716)0 =

i) q2 ( q 3 =

2) Expresa como potencia:a) 2 . 2 . 2 . 2 . 2 . 2 =b) b . b . b . c . c . c . b . b . c . b =

c) (x . x . x . x) : (x . x . x) =

d) 55 ( (5 . 5 . 5) =

3) Escribe V o F segn corresponda: (Recuerda, para aplicar la regla estudiada las bases deben ser iguales)a) 23 . 32 = 65

( )

b) m3 . m2 = m6

( )

c) q9 : q3 = q3

( )

d) x10 ( x8 = x2

( )

e) x12 : x7 = x5

( )

+

=

A

Regla de Signos

(+) . (+) = (+)

(-) . (-) = (+)

a b = a + ( - b )

La suma de un nmero y su opuesto es cero. (Cero no tiene signo).

Regla de Signos

(-) . (+) = (-)

(+) . (-) = (-)

El producto es

positivo

Un nmero natural elevado al exponente uno (1) es igual a ...

El producto es negativo

( + ) . ( + ) = +

( - ) . ( - ) = +

( + ) . ( - ) = -

( - ) . ( + ) = -

Signos diferentes

Signos iguales

am. an = _____

El nmero 0 (cero) elevado a cualquier potencia es igual a

El nmero 1 (uno) elevado a cualquier potencia es igual a

Un nmero natural elevado al exponente 0 (cero) es igual a

EMBED Equation.3 ( a 0

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