MATEMÁTICA BÁSICA · UNL-FCE. Matemática Básica. Algebra Lineal 2 El presente es el fascículo...

MATEMÁTICA BÁSICA

-2da PARTE-

2018

EQUIPO DOCENTE

Susana Marcipar Claudia Zanabria Marta Nardoni

Gabriela Roldán Cecilia Municoy Cristina Rogiano

Gustavo Cabaña Verónica Valetti Mariel Lovatto

Agustina Huespe Juan Ignacio Suppo (Ayudante alumno)

Algebra Lineal y

Aplicaciones 2da Edición

Teoría de los juegos,

Cadenas de Markov,

Criptografía

Material Elaborado por: Claudia Zanabria,

Cristina Rogiano y Gabriela Roldán

UNL FCE

Extraído de la película: Una mente brillante.

UNL-FCE. Matemática Básica. Algebra Lineal

1

“Yo siempre he creído en los números. En

las ecuaciones y lógicas que llevan a la

razón. Pero tras una vida de tales

actividades, pregunto: ¿Qué es

realmente la lógica? ¿Quién decide qué

es la razón? Mi búsqueda me ha llevado

a través de lo físico... metafísico...

alucinatorio... y de regreso. Y he hecho el

descubrimiento más grande de mi

carrera. El descubrimiento más

importante de mi vida: Solo en las

misteriosas ecuaciones de amor puede

uno encontrar lógica y razón”.

John Nash

Zanabria, Claudia

Algebra lineal y Aplicaciones, 2da edición : Teoría de los juegos, Cadenas de Markov,

Criptografía / Claudia Zanabria ; Gabriela Roldán ; Cristina Rogiano. - 2a ed mejorada. – Santa

Fe : Universidad Nacional del Litoral, 2016.

Libro digital, PDF

Archivo Digital: descarga y online

ISBN 978-987-692-099-5

1. Álgebra. 2. Economía. 3. Matemática Aplicada. I. Roldán, Gabriela II. Rogiano, Cristina III. Título

CDD 512.5


2

El presente es el fascículo del tema “Algebra Lineal” de la colección bibliográfica de Matemática Básica. En él se

abordan tres situaciones contextuales centrales, dos de ellas son problemas de decisión en el marco de: Teoría

de los Juegos y Cadenas de Markov y una tercera situación relaciona la codificación y decodificación de datos,

criptografía. El análisis y resolución de estas tres situaciones requiere la producción de modelos matemáticos

que involucran conceptos fundamentales del Algebra Lineal como los son: Matrices y Sistemas de Ecuaciones

La red conceptual del capítulo es:

El material se organiza en tres bloques:

Bloque 1: TEORIA DE LOS JUEGOS Y MATRICES (CONCEPTO Y OPERACIONES)

Bloque 2: CADENAS DE MARKOV Y SISTEMAS DE ECUACIONES

Bloque 3: CRIPTOGRAFIA, MATRIZ INVERSA Y ECUACIONES MATRICIALES

MATRICES

Concepto, lenguaje matricial, clasificación, operaciones y

propiedades, matriz inversa.

SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

Resolución por metodo de Gauss y determinantes. Clasificación.

Teorema del Rango

TEORIA DE LOS JUEGOS

CADENAS DE MARKOV

CRIPTOGRAFIA


3

BLOQUE 1


MATRICES

Concepto, lenguaje matricial, clasificación,

operaciones y propiedades.


4


Un juego es cualquier situación en la cual, los que participan de él, deben tomar decisiones estratégicas y en

la que el resultado final depende de lo que cada uno decida hacer. (Nicholson, 1997).

En este sentido, la teoría de los juegos trata del estudio de los problemas de decisión y propone modelos

matemáticos para su resolución.

Dicha teoría fue elaborada en 1939 por el matemático John von Neumann y el economista Oskar Morgenstern,

con el fin de realizar análisis económico de ciertos procesos de negociación.

En el mundo real, tanto en las relaciones económicas como en las políticas o sociales, son muy frecuentes las

situaciones en las que, al igual que en los juegos, su resultado depende de la conjunción de decisiones de los

diferentes agentes o jugadores que intervienen con el fin de lograr un “premio”, por ejemplo la máxima utilidad,

el mayor bienestar o el menor riesgo, entre otras.

Los jugadores pueden ser personas, equipos, empresas, países, etc. y, como en todo juego, es necesario definir:

Reglas, Estrategias y Recompensas o Resultados. Las reglas compartidas por todos los juegos establecen que los

jugadores obran racionalmente y ambos conocen la información cierta de la situación. Asimismo, en la situación

de juego es fundamental el comportamiento estratégico de cada uno de los participantes o tomadores de

decisiones.

En el marco de La economía es importante conocer y aplicar esta teoría a fines de entender qué estrategias

podrían ofrecer beneficios monetarios más grandes o menores riesgos. Algunas aplicaciones de la Teoría de

Juegos son: Contratos, Negociaciones en general, guerras militares o comerciales, marketing para la

competencia en los mercados, alianzas, entre otras.

La siguiente red conceptual muestra las categorías conceptuales a partir de las cuales se aborda la teoría de los

juegos y su intención es ofrecer un resumen de las palabras o frases claves de esta temática.

Cada una de estas categorías será tratada a través de distintas situaciones de juegos que se irán presentando a

medida que se avance en la lectura del mismo.


5

Si bien existen gran variedad de juegos, en el presente material se abordarán solamente juegos estáticos con

información completa, es decir, los jugadores toman sus decisiones simultáneamente y una sola vez sin conocer

las decisiones de los otros y, a continuación, reciben sus ganancias, que dependen de la combinación de

decisiones tomadas. Desde el inicio del juego todos los jugadores conocen las estrategias disponibles y las

ganancias resultantes de cada combinación.

La siguiente situación presenta el caso más sencillo, el juego de dos jugadores con dos estrategias, como se

muestra en la siguiente situación:

Situación 1: Dos empresas de telefonía móvil deben decidir si instalan nuevas sucursales en el mismo centro

comercial.

Se acercan los períodos de mayores ventas de telefonía móvil y dos empresas competidoras identificadas por P

y C deben decidir si abren cada una nueva sucursal, en el mismo centro comercial. De no abrir la nueva sucursal

invertirían más en publicidad para promover las ventas en los locales que ya poseen.

Por lo tanto, ambas empresas deben tomar la decisión de instalar o no la nueva sucursal en el mismo centro

comercial. Las estrategias que se presentan son:

Teoria de los Juegos

Tipos de Juegos:

ESTÁTICOS de:

SUMA CERO

SUMA NO CERO

ESTRATEGIAS PURAS

Técnicas de Resolución:

Estrategias DOMINANTES

MEJOR RESPUESTA

MAXINIM -MINIMAX

Equilibrio de NASH

Elementos del Juego:

Reglas

Jugadores

Estrategias

Beneficio


6

1- Las empresas P y C deciden instalar las sucursales: las ventajas competitivas de la empresa P le darán todo

el mercado del centro comercial e incluso se beneficiará de las inversiones publicitarias y de los clientes de la

empresa C. En este caso P gana 60 millones de pesos, mientras que C pierde esa misma cantidad.

2- La empresa P decide abrir la nueva sucursal y la empresa C no: P se queda con el mercado del centro

comercial, pero no pudiendo aprovechar todas las inversiones de C, su inversión no compensa sus ventas. En

este caso P pierde 10 millones de pesos y C gana la misma cantidad al promover más sus ventas en sus

tradicionales locales.

3- La empresa P decide no abrir la nueva sucursal, pero la empresa C si la abre: C se queda con todo el mercado

del nuevo centro comercial, pero su inversión no supera sus ventas y pierde 20 millones mientras que P gana la

misma cantidad por promover sus ventas en sus tradicionales locales.

4- Ambas empresas P y C deciden no abrir la sucursal en el mismo centro comercial: en este caso, ninguna de

las dos compañías gana o pierde.

La información dada respecto a las ganancias o pérdidas para las dos empresas P y C, pueden organizarse por

medio de las siguientes tablas:

Respecto a P:

C decide abrir sucursal C decide no abrir sucursal

P decide abrir sucursal 60 -10

P decide no abrir sucursal 20 0

Respecto a C:

C decide abrir sucursal C decide no abrir sucursal

P decide abrir sucursal -60 10

P decide no abrir sucursal -20 0

O bien empleando un arreglo o estructura rectangular ordenada en filas y columnas encerradas entre paréntesis

o corchetes llamada MATRIZ de la siguiente manera:

Para P: (60 −1020 0

) y para C: (−60 10−20 0

)

A continuación se presenta la definición de “matriz” que se utilizará para resolver problemas de la teoría de

juego.

Definición de MATRIZ

Dados dos números enteros positivos m y n, una matriz de orden mxn, es una disposición rectangular de m.n

números reales encerrados entre corchetes o paréntesis.

Se llama orden o tamaño de una matriz al número de filas y de columnas que la conforman.

Las filas se enumeran de arriba hacia abajo y las columnas de izquierda a derecha.

Los números o símbolos que se encuentran dentro de la matriz se llaman elementos de dicha matriz.


7

En símbolos: Si A es una matriz de orden mxn, entonces A puede representarse así:

A =

mnmjm2m1

iniji2i1

2n2j2221

1n1j1211

a...a...aa

..................

a...a...aa

..................

a...a...aa

a...a...aa

El elemento que se encuentra en la fila i y en la columna j se denota por aij y se lee “a sub i j”.

Simplificando esta notación se puede escribir:

A = (aij) con 1 i m y 1 j n donde aij R

o también

A = (aij) i =1,…, m y j = 1,…, n donde aij R

Se lee: A es una matriz de orden mxn cuyo elemento genérico es aij. El subíndice i, que representa el número de

fila varía entre 1 y m, siendo m la cantidad de filas de la matriz. El subíndice j, que representa el número de

columna varía entre 1 y n, siendo n el número de columnas de la matriz.

Por lo mencionado:

El símbolo aij representa un elemento genérico de la matriz A y el símbolo (aij) representa a la matriz A.

El conjunto de las matrices de orden o tamaño mxn con elementos reales se indica: Rmxn, Rmxn o Mmxn

En la Situación 1 se expresa mediante: P =(pij) y C =(cij) a las matrices (60 −1020 0

) y (−60 10−20 0

),

respectivamente.

Cada una de estas matrices se denomina Matriz de Beneficio o Pago de cada jugador.

Tanto las matrices P como C pertenecen al conjunto de las matrices de m filas y n columnas denominado Rmxn y

cada uno de sus elementos pij y cij representan los beneficios que obtiene cada una de las empresas P y C,

cuando seleccionan la estrategia i y j, respectivamente.

Los beneficios de cada empresa, en cada una de sus estrategias, se pueden escribir en una sola matriz especial

denominada bimatriz, de la siguiente manera:

(60; −60 −10; 1020; −20 0; 0

)

Los elementos que se encuentran a la izquierda del punto y coma, en cada fila, corresponden a los beneficios

del jugador P y los que se encuentran a la derecha corresponden a los beneficios del jugador C.


8

CLASIFICACIÓN DE LOS JUEGOS:

Existen diversas formas de clasificar los juegos, los más usuales son:

Por el número de jugadores: existen juegos de 2 jugadores, de tres jugadores o de más jugadores.

Por la simultaneidad de las decisiones a tomar: Si los jugadores toman las decisiones al mismo tiempo

sin conocer la decisión del otro, el juego se denomina estático, en caso contrario el juego se clasifica

como dinámico.

Por la suma de los pagos:

- Suma Cero: El premio es único y lo que un jugador gana coincide con lo que pierde otro.

- Suma no Cero: Lo que gana un jugador no necesariamente está vinculado con lo que pierde otro, o

los premios pueden ser obtenidos simultáneamente.

Por el número de estrategias: los juegos pueden incluir 2 o más estrategias, que representan las

decisiones que pueden tomar cada uno de los jugadores.

Por el tipo de estrategias:

- Juegos de Estrategia Pura: La estrategia pura es una decisión que se toma con certeza. Si un juego

no se puede resolver por estrategia pura puede pensarse como de estrategia mixta.

- Juego de Estrategia Mixta: Las estrategias de un juego son mixtas cuando es necesario asignar a cada

estrategia pura una probabilidad de ocurrencia y se interpreta como la incertidumbre de un jugador

respecto a lo que hará el otro.

El juego presentado en la situación 1, como todos lo que se abordarán en el presente material, es estático. Si se

clasifica de acuerdo a la cantidad de jugadores es un juego de dos jugadores, empresas P y C; de acuerdo a la

suma de pagos es de suma cero pues lo que gana uno de los jugadores es igual a lo que pierdo el otro jugador.

Es un juego de dos estrategias, abrir o no abrir la sucursal y dichas estrategias son puras.

TÉCNICAS DE RESOLUCIÓN DE JUEGOS:

Las técnicas de resolución nos permiten encontrar la solución de un juego, si existe, es decir determinar las

estrategias por las que decide cada jugador y los beneficios o pagos que percibe por dicha decisión, dichos

pagos se denominan valor del juego.

Para resolver cada juego (problemas de decisión) se aplican distintas técnicas como: Equilibrio de Nash,

Dominancia, Mejor Respuesta, Maximin y Minimax. La aplicación de una u otra técnica depende en general

de las expectativas de los jugadores. Si son optimistas, es decir que su objetivo es tomar decisiones que generen

las mayores ganancias se aplican técnicas de Dominancia o Mejor Respuesta. No obstante, si son pesimistas y

su objetivo es tomar decisiones que generen las mínimas pérdidas se aplican técnicas de Maximin y Minimax.

En ambos caso se optará por encontrar como solución aquellas que representen un equilibrio de Nash.

Equilibro de Nash: Es un perfil o combinación de estrategias del que ningún jugador desearía desviarse

unilateralmente, ninguno se arrepiente de la decisión tomada, dadas las estrategias decididas por el resto de

los jugadores, pues si las cambiaran obtendrían menores beneficios empeorando su situación. Por lo tanto a


9

ninguno de los jugadores les conviene cambiar de decisión optando por otra estrategia, situación que provoca

que el equilibrio de Nash sea estable en el tiempo.

Esto no significa que en un equilibrio de Nash cada jugador esté alcanzando el mejor resultado posible, sino el

mejor resultado condicionado por el hecho de que los demás jugadores jueguen las estrategias indicadas por

ellos en dicho perfil.

El Equilibrio de Nash, como estrategia de juego consiste en comparar todos los perfiles de estrategias hasta

encontrar la o las que cumplen la condición establecida. Sin embargo, en algunos casos conviene determinar

dicho equilibrio aplicando las otras técnicas nombradas.

John Forbes Nash, creador de esta teoría, es un matemático que recibió un premio nobel de economía y su

vida fue interpretada por Crowe Russell en la película “Una mente brillante”.

Dominancia de estrategias: Consiste en identificar qué estrategias (filas o columnas) dominan a otras o qué

estrategias son dominadas por otras. Ésta estrategia resulta óptima para un jugador independientemente de

los que hagan su(s) adversario(s). Matemáticamente, una estrategia domina estrictamente a otra cuando cada

uno de los elementos de la fila o columna que representa a la estrategia es mayor que cada elemento de la

misma posición de otra fila o columna, respectivamente. Una vez identificada las estrategias dominantes, se

eliminan las estrategias dominadas hasta obtener el resultado del juego.

Maximin y Minimax: Esta técnica sólo se aplica en juegos de suma cero y su objetivo es minimizar la máxima

pérdida de cada jugador.

Aclaración sobre la solución de los problemas de decisión: La solución de los problemas de decisión, depende

de las decisiones que tomen los jugadores. En algunos casos los participantes pueden decidir maximizar sus

beneficios, y aplicarán técnicas de dominancia, o en otros conformarse sólo con minimizar sus pérdidas y

elegirán técnicas de maximin y minimax, que no siempre conducen al mismo resultado. Sin embargo lo más

recomendable en todas es encontrar, si es posible, el equilibrio de Nash, porque aporta estabilidad en la

solución, dado que la solución se obtiene pensando en lo que sea óptimo para los dos.

Resolución de la Situación 1 aplicando le técnica de Dominancia

Aplicando la técnica de Dominancia de estrategias, para determinar la estrategia que más le conviene a la

empresa P (si es que existe), se comparan los elementos de cada una de las dos filas de la matriz

correspondiente.

Los beneficios para le empresa P son:

P = (pij) = (60 −1020 0

)

Se observa que no existe estrategia dominante y que por lo tanto el beneficio de la empresa P depende de la

decisión que tome C.

Los beneficios para le empresa C son:

C = (cij) = (−60 10−20 0

)


10

Aplicando la técnica de Dominancia de estrategias, para determinar, si existe, la estrategia que más le conviene

a la empresa C, se comparan los elementos de cada una de las dos columnas de la matriz correspondiente. Se

observa que la estrategia: “No abrir la sucursal”, columna 2, domina a la estrategia “Abrir la sucursal”, pues

ganar 10 millones es mejor que perder 60 millones y no ganar ni perder es mejor a perder 20 millones.

Pues se cumple que:

c12 > c11 y c22 > c21

Por lo tanto se elimina la estrategia representada en la columna 1 de la matriz de pagos de C y dicha matriz se

reduce al vector columna:

(100

)

Luego, la decisión óptima de C es “No abrir la sucursal” en el nuevo centro comercial, y en este contexto, la

decisión óptima para P es también “No abrir dicha sucursal” pues, para P, es preferible no ganar y no perder

(beneficio 0), que perder 10 millones de pesos.

Por lo tanto la decisión óptima para ambas es no abrir la sucursal, y para esta decisión el beneficio para cada

jugador es 0, este valor se denomina, valor del juego, pues representa la ganancia obtenida como consecuencia

de la resolución. Para este juego, el valor del juego es cero y en estas condiciones el juego se denomina

socialmente justo.

Si se trabaja con la bimatriz:

(60; −60 −10; 1020; −20 0; 0

)

Para decidir una estrategia dominante para la empresa P, se comparan los elementos de la fila 1 con los

elementos de la fila 2.

Para la empresa C, se comparan los elementos de la columna 1 con los de la columna 2.

De esta manera se arriba al mismo resultado.

Además se observa que:

La combinación de estrategias (0, 0) es un equilibrio de Nash, pues si cada jugador decide cambiar su estrategia

empeora su situación. Por lo tanto, la solución (0, 0) se denomina Solución estable.

Resolución de la Situación 1 aplicando le técnica de Mejor Respuesta

Es otra alternativa para resolver problemas de decisión y consiste en determinar perfiles o parejas de estrategias

que constituyan equilibrios de Nash. Cada jugador busca la estrategia que representa la mejor respuesta (el

máximo beneficio) ante las posibles estrategias de su contrincante.


11

Esta técnica consiste en comparar los pagos que un jugador obtendrá si jugara con una de sus estrategias, y se

destaca (subraya) el pago (o los pagos) máximo alcanzable, que corresponde a la estrategia (o estrategias) de

respuestas óptimas a dicha combinación.

Una combinación de estrategias es un Equilibrio de Nash, si los valores que la componen están subrayados.

En la siguiente tabla se ejemplifica este procedimiento:

JUGADOR 2

E1 E2

JUGADOR 1 E1 0, 0 1, 1

E2 2, 2 0, 0

La posición del Jugador 1 es: Suponiendo que el jugador 2 elige la estrategia E1, se comparan los pagos 0 y 2 del

jugador 1, y se subraya el máximo que es 2. Si el jugador 2 elige la estrategia E2, se comparan los pagos 1 y 0 del

jugador 1 y se subraya el máximo que es 1.

Procediendo del mismo modo, la postura del jugador 2 respecto a las estrategias del jugador 1, se llega a la

conclusión que existen dos equilibrio de Nash, que son las combinaciones de estrategias (E2, E1) y (E1, E2),

siendo sus pagos (2,2) y (1,1), respectivamente. Observar que si los jugadores cambian de estrategia empeoran

su situación, por lo que las soluciones son equilibrios de Nash y son estables.

Para la bimatriz de la situación 1 resulta:

(60 ; −60 −10; 10

20; −20 0 ; 0 )

Por lo tanto la decisión óptima para ambas es no abrir la sucursal, y para esta decisión el beneficio para cada

jugador es 0, El perfil de estrategias (0:0) es un equilibrio de Nash.

Resolución de la Situación 1 aplicando le técnica de Técnica de Maximin y Minimax

Es una técnica de decisión para minimizar la pérdida máxima esperada y por lo tanto aplicarla implica que los

jugadores tomarán una decisión pensando en minimizar el riesgo. Se aplica en juegos de suma cero.

El algoritmo, para un juego de estrategias puras es el siguiente:

Identificar los valores mínimos de cada fila y seleccionar el mayor de ellos (Maximin).

Identificar los valores máximos de cada columna y seleccionar el menor de ellos (Minimax).

Si el valor maximín del primer jugador (fila) y el minimax del segundo jugador (columna), coinciden en la misma

celda, este se denomina punto de equilibrio.


12

Si ningún jugador encuentra beneficio al cambiar su estrategia, la solución encontrada es la óptima y representa

un equilibrio de Nasch. En estas condiciones el juego es estable pues a los jugadores no les conviene cambiar

de estrategia por lo que la mantendrán. Si el maximin y el minimax no coinciden en la misma celda, no existe

equilibrio y por tanto no es posible asegurar estabilidad en las decisiones.

C decide

abrir sucursal

C decide

no abrir sucursal

Mínimos de cada fila

P decide abrir sucursal 60 -10 -10

P decide no abrir

sucursal

20 0 0

Maximos de cada

Columna 60 0

Luego, Maximin = 0 y Minimax = 0.

En la tabla se observa que:

El valor Minimax representa el menor de los máximos beneficios que obtendría C, que a su vez, es el mínimo

de las máximas pérdidas de P (minimiza pérdida de P).

El valor Maximin representa el mayor de los mínimos beneficios de P, que a su vez es la menor de las máximas

pérdidas de C (minimiza pérdida de C).

Dado que el valor maximín de P y el mInimax de C coinciden. Esta combinación de estrategias es un punto de

equilibrio. Además como ambos son iguales a cero, dicho punto se denomina: Silla de Montar.

Por lo tanto, en la Situación 1, ambos jugadores deciden “No abrir la sucursal” y el valor del juego es cero.

Observar que aplicando las técnicas de dominancia, de mejor respuesta y de maximin-minimax se llegó, en esta

situación, al mismo resultado.

A continuación se resolverá un juego en el que la suma de los pagos no es cero. Para tal fin se ha seleccionado

uno de los juegos más significativos de la teoría de los juegos: El dilema del prisionero.


13

Situación 2: El dilema del prisionero

Pedro y Juan son detenidos por la policía, en la cercanía de un robo por portar armas. Se sospecha que por lo

menos uno de los dos malhechores participó además de dicho robo. Una vez en el destacamento policial se

separan a estas dos personas para que sean interrogadas en forma individual y, por separado, se les propone lo

siguiente:

Si uno confiesa y su cómplice no, el cómplice será condenado a la pena total de diez años por robo y por portar

armas y el que confiesa será liberado por cooperar con la investigación policial.

Si ambos confiesan, a los dos se les reducirá la pena a la mitad, 5 años a cada uno.

Si ambos lo niegan, estarán encarcelados dos años por portación de armas”.

Para la representación de los años de cárcel se considerará que si está 5 años en la cárcel figurará en la tabla

el valor -5. Luego:

Juan Confiesa Juan no Confiesa

Pedro Confiesa -5

-5

-10

0

Pedro no Confiesa 0

-10

- 2

-2

El dilema del prisionero es un juego de dos jugadores, con dos estrategias puras y de suma no nula.

Análisis para la toma de decisiones:

Estrategias Dominantes: Se observa que para ambos jugadores la decisión de confesar, independientemente

de los que opine el otro, domina a la de no confesar, pues así corresponde menos años de prisión.

Si eliminamos las estrategias dominadas, para Pedro la segunda fila y para Juan la segunda columna la matriz se

reduce a:

Juan Confiesa

Pedro Confiesa -5

-5

Por lo tanto, si los dos deciden confesar tendrían una pena de 5 años, que no es una elección óptima. Si ambos

prisioneros piensan en cooperar el uno con el otro, ninguno confesaría, pero tendrían una pena de 2 años, sin

embargo esta elección tampoco es óptima.

El beneficio óptimo es quedar en libertad. Es decir, para ambos prisioneros el mayor beneficio sería que sólo

uno confiese y de esta manera sería liberado. Pero si los dos son egoístas y piensan de la misma manera, ambos

elegirán confesar.

Por lo tanto, como ambos deciden lo mismo, la condena es de 5 años para cada uno.


14

Este resultado es la clave del dilema, porque representa un resultado que no es el óptimo si se piensa en el

propio beneficio, que sucede también si ambos decidieran no confesar.

La combinación de estrategias (-5, -5) del juego es un equilibrio de Nash pues todos los jugadores toman una

decisión y, si la cambian, empeoran su condena de 5 a 10 años, por esta razón se dice que este punto de

equilibrio es de Nash. Si bien la combinación de estrategias (-2,-2) es también un punto de equilibrio, este no

es de Nash y se denomina inestable, porque si cambia de decisión, de no confesar a confesar, se reduce su

condena.

Situación 3: El dilema del prisionero en economía: Un caso de la competencia de dos empresas por un

mercado.

Dos empresas, N y A, productoras de zapatillas deportivas forman un duopolio local en el sector de los centros

comerciales. Cuando llega la época de las tradicionales rebajas, ambas empresas acostumbran a realizar

inversiones en publicidad tan altas que pueden implicar la pérdida de todo el beneficio.

Ambas han acordado no hacer publicidad por el presente año, por lo que cada una, si cumple el acuerdo, puede

obtener ganancias de $ 50 millones.

Si una de ellas traiciona el acuerdo, puede preparar su campaña publicitaria y lanzarla en el último momento

atrayendo a los consumidores y generando un beneficio de $60 millones mientras que la empresa competidora

perdería $40 millones.

Si ambas no cumplen el acuerdo obtendrán beneficio es $0.

Los pagos se representan en la siguiente tabla:

A cumple el acuerdo A no cumple el acuerdo

N cumple el acuerdo 50

50

60

-40

N no cumple el acuerdo -40

60

0

0

Aplicando la técnica de estrategias dominantes se observa que la decisión de no cumplir el acuerdo domina a la

de cumplir. Este caso, al igual que el dilema del prisionero, muestra las dificultades para establecer la

colaboración en cualquier situación en la que no accionar con honestidad beneficia a las partes que intervienen

en el juego. Por lo tanto (0, 0) es un equilibrio de Nash.


15

ACTIVIDADES. TEORIA DE LOS JUEGOS para realizar en TALLER

Actividad 1: El lenguaje de la Teoría de los juegos.

Para realizar esta actividad, revisa la red conceptual que muestra las categorías conceptuales (elementos del

juego, tipos de juegos y técnicas de resolución) a partir de las cuales se aborda la teoría de los juegos y cuya

intención es ofrecer un resumen de las palabras o frases claves de esta temática.

1) Para cada uno de los siguientes juegos:

a) Indica cuantos jugadores intervienen y cuáles son las estrategias que tienen que decidir tomar.

b) Expresa la matriz de pagos.

c) Indica si son de suma cero o de suma no cero.

Juego 1: Lucrecia y Benjamín deben decidir quién se queda con una tablet que ganaron en un premio. Sólo uno

de los dos puede quedarse con ella, y deciden por azar quién se quedará con el premio. Cada uno tiene en su

billetera una moneda de un peso y una de dos pesos. Con la mano derecha cada jugador debe elegir y mantener

oculta una moneda. Si las dos monedas son iguales, Lucrecia se queda con el premio. Si las dos monedas son

diferentes, Benjamín se quedará con la tablet. Es decir que si uno gana, el otro pierde.

Juego 2: A y B deben decidir simultáneamente sobre un caso. Si A se decide por su primera opción y B también

lo hace, tanto A como B pierden dos mil dólares. Si A se decide por su primera opción y B se decide por su

segunda opción, A gana tres mil dólares y B pierde esa cantidad. Si A se decide por su segunda opción y B se

decide por su primera opción, A pierde tres mil dólares y B los gana. Finalmente, si A y B se deciden por sus

segundas opciones, tanto A como B ganan, cada uno, dos mil dólares.

2) Considerando el juego: “Piedra, Papel o Tijera” y los pagos: 1 para el que gana, -1 para el que pierde y 0 para

el empate.

a) Elabora la matriz de Beneficio o Pago de dicho juego.

b) Este juego ¿posee estrategias dominantes? ¿Tiene equilibrio de Nash?

3) La siguiente matriz es la matriz de pagos del jugador fila de un juego de suma cero

A= (aij) =(−1 0 −23 2 10 −1 0

4 3 5

)

a) ¿Cuántos jugadores hay y cuantas estrategias tiene cada uno?

b) Indica el significado de: a2j y a14.

c) Si los jugadores son optimistas, ¿qué técnicas pueden aplicar? ¿Y si son pesimistas?

d) Resuelve el juego en ambas situaciones, optimistas y pesimistas.

4) Determinar un valor de k para que el siguiente juego tenga un equilibrio de Nash y otro para que no tenga

equilibrio. (−3; 3 7; 5−5; k 8; 8

)


16

5) La bimatriz de pagos de un juego es:

(4; 4 1; 88; 1 2; 2

)

a) ¿Cuántos jugadores participan es este juego y cuantas estrategias tiene cada uno para optar?

b) Indica el significado de los elementos de esta bimatriz

c) Explica por qué el par de estrategias (2;2) es un equilibrio estable

Actividad 2: Resolución de juegos mediante aplicación de distintas técnicas.

6) Para cada uno los siguientes juegos expresados en las tablas I y II:

a) Expresa la bimatriz de pagos de cada uno e indica el significado de sus elementos.

b) ¿Existen estrategias dominantes en cada uno de los siguientes juegos?

c) Aplica técnicas de “máximos pagos” para determinar los equilibrios de Nash en cada uno de los siguientes

juegos expresados matricialmente.

I) II)

7) Considera el siguiente problema: “Dos negocios de fotocopiadoras, F1 y F2, se encuentran una al lado de

otra y enfrente de una universidad. Los estudiantes están pendientes del precio de cada fotocopia y las

fotocopiadoras deben decidir si les conviene establecer un precio bajo o alto”.

La bimatriz de pagos es la siguiente:

F2 precio alto F2 precio bajo Mínimos de F2

F1 precio alto 0

0

20

-20

F1 precio bajo -20

20

0

0

Máximos de F1

a) Resuelve aplicando técnicas de estrategias dominantes y luego aplicando el criterio Maximin y Minimax.

b) Determina si el resultado del mismo es un equilibrio de Nash.

8) Aplica la técnica de estrategias dominadas al siguiente juego, ¿qué estrategias podemos estar seguros de

que nunca se jugarán?

8, 2 1, 1 4,0

0,2 5, 1 1,0

1,3 0, 100 9,0

L R

U 0, 0 2,2

D 10,11 -1,0

A B

D 0, 1 5,4

E 3,6 -1,0


17

9) Dos empresas automovilísticas deciden lanzar al mercado al mismo tiempo un modelo de coche de gama

intermedia. Cada una de ellas se está planteando si ofrecer o no financiación a los clientes, lo cual le supondría

captar mayor cuota de mercado, pero llevaría consigo ciertos costos. Ambas empresas prefieren no ofertar dicha

financiación, pero cada una teme que la otra la ofrezca y, por tanto, acapare mayor número de compradores.

Supongamos que los beneficios esperados por las empresas son los siguientes. Si ambas ofrecen financiación,

400 millones para cada una; si ninguna lo hace, 600 para cada una, y si una la ofrece y la otra no, la primera gana

800 y la segunda 300. Represente el juego en forma normal. Calcule los equilibrios de Nash.

10) La siguiente matriz es la bimatriz de pagos de un juego:

(100; 100 −40; 30 60, −5080; 120 30; −80 −100; 15070; 80 −50; 70 70; 70

120; 8070: −50

100: 100 )

Determina las relaciones de dominancia entre las distintas estrategias y, si es posible, resuelve el juego.

11) Indicar los equilibrios de Nash de los juegos determinados por las siguientes matrices, utilizando la técnica

de mejor respuesta.

a) (𝟎 −𝟓𝟓 𝟏𝟎

) b) (−𝟏𝟎 𝟑

𝟑 𝟏𝟎) c) (

𝟎 𝟑 𝟕−𝟑 𝟎 −𝟑−𝟕 𝟑 𝟎

)

12) Dos ciudades turísticas vecinas deben decidir entre realizar publicidad vía internet, hacerlo, vía canales de

televisión, o no hacer publicidad. Si ambas ciudades toman la misma decisión, cada una obtiene un beneficio

de 200 millones; si una elige publicitar vía internet y la otra vía televisión, la primera gana 500 millones

mientras que la segunda gana 300 millones; si una elige publicitar vía internet y la otra no realiza publicidad, la

primera gana 800 millones y la segunda pierde 100 millones; y por ultimo si una publicita vía televisión y la

otra no realiza publicidad, la primera gana 400 millones y la segunda gana 100 millones.

Representa el juego en forma matricial y calcula los equilibrios de Nash.


18

RESPUESTAS. TEORIA DE LOS JUEGOS

Actividad 1

1) Juego 1:

El valor 1 indica que gana la Tablet y el valor -1 que pierde la Tablet.

El juego es de suma cero pues lo que gana un jugador es exactamente igual a lo que pierde el otro.

Juego 2:

El pago se mide en miles de dólares. El juego no es de suma cero.

2)

Jugador 2

PIEDRA PAPEL TIJERA

Jugador 1

PIEDRA 0; 0 -1; 1 1; -1

PAPEL 1; -1 0,0 -1,1

TIJERA -1; 1 1,-1 0,0

Si enumeramos las estrategias piedra, papel y tijera como 1, 2 y 3, respectivamente, la matriz de pagos será

Este juego es de suma cero. No posee estrategias dominantes ni equilibrio de Nash.

3) a) Hay 2 jugadores. El jugador fila posee 3 estrategias y el jugador columna posee 4.

b) a2j representa la fila de pagos que obtiene el jugador fila si opta por su segunda estrategia, y a14 es el pago

que obtiene si él elige su estrategia 1 y el jugador columna elige su estrategia 4.

c,d) Si los jugadores son optimistas utilizan técnicas de dominancia o mejor respuesta. El jugador fila elige su

estrategia 2 y el jugador columna elige la 3 siendo el valor del juego es (1,-1).

Si son pesimistas utilizan técnicas de maximin-minimax. El maximin y el minimax coinciden en la misma celda y

por lo tanto el valor del juego es (1,-1).

BENJAMÍN

Elige $1 Elige $2

LUCRECIA Elige $1 1, -1 -1, 1

Elige $2 -1, 1 1, -1

Jugador B

Elige 1ra opción Elige 2da opción

Elige 1ra opción -2, -2 3, -3

Elige 2da opción -3, 3 2, 2


19

4) Si k<8, por ejemplo k=0, hay equilibrio de Nash. Si k>8, por ejemplo k=10, no hay equilibrio de Nash.

5) a) En el juego participan dos jugadores y cada uno debe decidir entre dos estrategias.

b) Los elementos de la bimatriz indican los pagos que recibe cada jugador al optar por una de las estrategias. La

primer componente en cada celda es el pago del jugador fila y la segunda componente el del jugador columna.

c) (2, 2) es un equilibrio estable porque al cambiar de estrategia cada uno de los dos jugadores empeoran su

situación y esta situación provoca que no la cambie su decisión.

Actividad 2: Técnicas de Resolución

6) Ninguno de los dos juegos tienen estrategias dominantes. Aplicando máximos pagos, se obtienen los

siguientes equilibrios de Nash:

I) (D,L) (U,R) II) (E,A) (D, B)

7) Al tratarse de un problema de suma cero la matriz de pagos se puede escribir: (0 −2020 0

)

Evidentemente la fila 2, domina a la fila 1 y la matriz se reduce a: (20 0). Análogamente el jugador columna

elimina la columna 1 que es dominada por la 2. Por tanto se obtiene como solución 0. Es decir que a ambas

fotocopiadoras les conviene decidir por “precios bajos” y el beneficio para ambas es 0 y (0;0) es equilibrio de

Nash, porque si cambian de estrategia empeoran su situación.

Se obtiene el mismo resultado aplicando Maximin y Minimax :

F2 precio alto F1 precio bajo

F1 precio alto 0 -20 -20

F1 precio bajo 20 0 0

20 0 Max=Min = 0

8) El jugador “Columna” elegirá C1 y “Fila” finalmente elegirá F1, que es mejor que F2 como respuesta a C1,

siendo el valor del juego es (8; 2)

9) Ambas empresas deben decidir si ofrecen o no la financiación.

L R

U 0, 0 2,2

D 10,11 -1,0

A B

D 0, 1 5,4

E 3,6 -1,0


20

Por dominancia (eliminando fila 2 y columna 2)

la solución es (400, 400) y es equilibrio de Nash. La misma conclusión se obtiene aplicando máximos pagos

(subrayado)

10) El valor del juego es (100;100)

11) a) Estrategias 2 y 1. (5,-5). b) Estrategias 2 y 1. (3,-3). c) Estrategias 1 y 1. (0,0).

12) Estrategias 2 y 1 o estrategias 1 y 2 generan equilibrios de Nash.

Empresa 2

Ofrece

Empresa 2

No ofrece

Empresa 1

Ofrece

400, 400 800, 300

Empresa 1

No Ofrece

300, 800 600, 600


21

AUTOEVALUACIÓN: TEORIA DE LOS JUEGOS

Problema 1: Japón y EEUU están analizando normas de actuación para abrir o cerrar sus mercados de

importación. La matriz de beneficios en millones de dólares es:

JAPÓN

ABRIR CERRAR

EEUU ABRIR 500, 500 1100, 0

CERRAR 0, 1100 1000,1000

a) Considera que cada país conoce la matriz de beneficio y cree que el otro país actuará en su propio

interés, es decir, por la decisión que maximiza su beneficio. ¿Cuál estrategia elegiría? ¿Existe un valor del

juego?

b)¿Existe alguna combinación de estrategia que represente un equilibrio de Nash? ¿Es único?

Problema 2: La siguiente es la matriz de beneficios de un juego de suma cero:

511

342

413

a) Expresa el juego empleando una bimatriz.

b) Si cada jugador es optimista y su decisión es optar por la estrategia que corresponde a generar su

óptimo beneficio. ¿Existe alguna estrategia que cada jugador nunca elegirá?

c) Si en el inciso b) se obtiene una solución, responde: Dicha solución, ¿es equilibrio de Nash?

d) Si en el inciso b no se obtiene una solución, los jugadores se tornan pesimistas y para resolver el juego

optan por minimizar sus pérdidas

¿Cuál es la solución para cada jugador? ¿Es un equilibrio de Nash?

La resolución de estas actividades de Autoevaluación se encuentran en el aula virtual.

BIBLIOGRAFIA

-ANZIL, Federico (2005). “Teoría de Juegos”. Universidad Nacional de Córdoba- Argentina. Econlink,

disponible en: http://www.econlink.com.ar/definicion/teoriadejuegos.shtml

-ARNTZ,W & CHASSE,B & VINCENT,M (2006);”¿¡ Y tú qué sabes!?”Ed KIER SA, Buenos Aires, argentina.

-D’ANDREA, CARLOS. “Juegos Matemáticos y análisis de estrategias ganadoras” Departamento de Álgebra y

Geometría, Facultad de Matemáticas, Universidad de Barcelona. Gran Via 505, 08007, Barcelona. España

-PEREZ, JOAQUIN ET AL. (2004), Teoria de los juegos. Ed. Pearson. Madrid.

- Epositorio.uis.edu.co/jspui/bitstream/123456789/7243/2/118745.pdf

-http://www.eco.uc3m.es/docencia/new_juegos/doc/Problemas%20Esta%CC%81ticos.pdf

- RUFASTO, AUGUSTO. Teoria de los Juegos. Disponible en:

http://www.geocities.com/arufast/juegos.html

http://www.econlink.com.ar/definicion/teoriadejuegos.shtml

http://www.eco.uc3m.es/docencia/new_juegos/doc/Problemas%20Esta%CC%81ticos.pdf


22

MATRICES. ALGEBRA MATRICIAL

La teoría de los juegos mostró la utilidad de representar en forma organizada información, suministrada a través

de datos numéricos, empleando matrices.

En otros contextos como sociales, económico, administrativos, etc, también es conveniente exhibir, organizar

y realizar una rápida lectura de la información a través de las matrices.

En esta sección se presentan distintos tipos de matrices, que por su forma se identifican con distintos nombres.

MATRICES ESPECIALES

Tipo de matriz Ejemplos

Matriz columna o vector columna: Es una matriz de

orden mx1.

A5x1 =

2

1

3

0

2

y B4x1 =

0

1

2

1

Matriz fila o vector fila: Es una matriz de orden 1xn. A1x3 = (3 2 1) y B1x4 = (4 10 -5 172)

Matriz nula o matriz cero: Es una matriz de orden

mxn donde todos sus elementos son ceros.

Usualmente la designamos con las letras O o N

N2x4 =

0000

0000 N2x2=

00

00

N2x1=

0

0

Matriz cuadrada: Una matriz es cuadrada cuando el

número de filas coincide con el número de columnas.

Los elementos de estas matrices que cumplen la

condición que número de fila es igual al número de

columna forman la diagonal principal de la matriz.

Decimos que A es de orden nxn o que A es de orden

n.

M =

31

2/12 B =

032

301

210

Matriz opuesta: Llamamos matriz opuesta de A de

orden mxn a una matriz del mismo orden que A, que

se obtiene multiplicando todos los elementos de A

por 1. La indicamos –A (leemos opuesta de A).

Sea A =

50

52 , la opuesta es –A =

50

52

Matriz Diagonal: Sea D una matriz cuadrada. La

matriz D es una matriz diagonal si y solo si todos los

elementos que están fuera de la diagonal principal

son iguales a cero. La cantidad de elementos de la

diagonal principal nos da el orden de la matriz.

Son matrices diagonales:

T=

300

010

002

; G =

50

00 ; H =

20

02; N =

00

00

Notación: T= Diag(2, 1, 3), G = Diag(0, 5),

H = Diag(2, 2) y N = Diag(0, 0)


23

Matriz escalar: Una matriz es escalar si y solo si es una

matriz diagonal que tiene todos los elementos de la

diagonal principal iguales a una constante.

A =

300

030

003

y B =2 0

0 2

N =

00

00

Matriz identidad (o matriz unidad): Una matriz es

una matriz identidad si es una matriz diagonal cuyos

elementos de la diagonal principal son iguales a 1

I2 =

10

01 y I3 =

100

010

001

Matriz triangular superior: Una matriz U = (uij) de

orden mxn es triangular superior si y solo si

uij = 0 si i > j para 1 i m; 1 j n F =

000

100

200

432

V =

10

11

Matriz triangular inferior: Una matriz L = (lij) de orden

mxn es triangular inferior si y solo si lij = 0 si i < j para

1 i m; 1 j n.

L =

0110

0012

0001

y F =

301

026

000

Matriz triangular inferior unidad: Una matriz es una

matriz triangular inferior unidad si y solo si es

triangular inferior y sus elementos diagonales son

iguales a 1.

V =

143

012

001

D =

304

125

013

001

Matriz triangular superior unidad: Una matriz es una

matriz triangular superior unidad si y solo si es

triangular superior y sus elementos diagonales son

iguales a 1.

T =

2100

1010

0121

S =

1 2 3

0 1 4

0 0 1

MATRICES IGUALES

Dos matrices son iguales si y solo si tienen el mismo orden

y los elementos ubicados en la misma posición o correspondientes son iguales

Ejemplos

1- Las matrices A = (1 2 −4

0 41

2

) y B = (1 2 −4

0 41

2

) son iguales porque tienen el mismo orden, ambas son de

orden 2x3 y los elementos correspondientes son iguales:

a11 = b11 , a12 = b12 , a13 = b13 , a21 = b21 , a22 = b22, a23 = b23

2- Dadas las matrices: C= (2 a0 5

) y E= (2 4b 5

) Para que C = E se debe cumplir que: a = 4 y b = 0


24

ACTIVIDADES: MATRICES

1- Considerando las siguientes matrices, donde x, y, z, m R:

A =

2/17812

1531 B =

103793

1412

z34x

23

1 C = 7576xy12 D =

12

yx

58

E =

xz

6745

m139

x36

G =

0000

2m00

x78150

x4535123

H =

0010

0001 M =

000

000

35100

H =

000

000

000

a) Establecer el orden de las matrices.

b) Clasificarlas en: cuadradas, diagonales, triangulares, nulas, etc

2- Dada la siguiente matriz A =

1129835

1103487

2315 356

3

a) Identificar los elementos: a23, a33, a12, a21.

b) ¿Cuáles son los elementos que forman la diagonal principal?

3- Completa los siguientes enunciados para que resulten verdaderos:

a) A = (aij) es una matriz 3x3. A es escalar si y sólo si i = j : aij = 2 y i j: ……………

b) B es una matriz 4x5. B es triangular inferior si y sólo si i < j : bij =…………..

c) C es una matriz 2x4. C es triangular superior si y sólo si i >j : cij =…………..

4- Explicitar las matrices A, B y C dadas a continuación

A2x3 = (aij) / aij =

ji si ji

ji si 1 B3x3 = (bij) / bij =

ji si 2i

ji si j-i

C3x3 = (cij) / cij =

ji si i-j

ji si j+2i D3x4 = (dij) /dij =

ji si j . i

ji si j : i

5- Indicar si las siguientes matrices son triangulares superiores, inferiores o ninguna de las anteriores:

N =

000

000

000

; A =

1129835

1103487

2315 356

3

; B =

00

00

00

20

012

; C =

005

004 M =

064

601

410

; R =

000

100; S =

100

010

000


25

RESPUESTAS ACTIVIDAD: MATRICES

1.a) A es de orden 2x3 ; B es de orden 3x3; C es de orden 1x4; D es de orden 3x1; E es de orden 4x2; G es

de orden 4x4; H es de orden 2x4; M es de orden 3x3; H es de orden 3x3

b) A es rectangular, B es cuadrada, C es matriz fila, D es matriz columna

E es matriz rectangular, G es cuadrada y triangular superior.

H es rectangular, triangular superior unidad y triangular inferior unidad.

M es cuadrada y triangular superior.

H es cuadrada y nula

2. a23 = 110, a33 = 11, a12 = 3/56, a21 = -87 b) {15, 34, 11}

3. a) aij = 0 si i j b) bij = 0 si i < j c) cij = 0 si i > j

4. A =

111

211; B =

066

404

220

; C =

912

161

213

; D =

12163

8612

4321

5. N es triangular superior e inferior, A ninguna de las anteriores, B es triangular superior e inferior, C es

triangular inferior, M ninguna de las anteriores, R triangular superior, S triangular superior e inferior

OPERACIONES MATRICIALES

En diversas situaciones como la que se muestra a continuación es de utilidad emplear operaciones matriciales

para su resolución en forma organizada. Dicha resolución dará cuenta del sentido y significado de cada una de

las operaciones matriciales para luego formalizar cada concepto.

Situación: Una empresa nacional tiene cuatro distribuidoras, una en cada región (norte, centro, sur y cuyo).

Las ventas de tres de sus productos por región, expresadas en millones de dólares, fueron:

Año 2014 Año 2015

Región 1, producto 1: 2.6 Región 1, producto 1: 3.6








26






I- Organizar los datos anteriores de modo que la información se presente en forma más clara.

Denotando con A a la matriz del año 2014 y con B a la correspondiente al año 2015, y representando en cada

fila las ventas por regiones 1, 2, 3 y 4 respectivamente y en cada columna las ventas por producto 1, 2 y 3

respectivamente, los datos se organizan:

A =

5.28.29.0

8.35.28.1

6.34.48.4

4.22.36.2

B =

48.35.2

6.45.30.3

0.30.55.2

9.25.46.3

II- Siendo A la matriz de ventas del año 2014 y B la del año 2015.

a) Expresar el significado de los elementos a23 y b21

a23 = 3.6 representa las ventas correspondientes al producto 3 en la región 2.

b21 = 2.5 representa las ventas correspondientes al producto 1 en la región 2.

b) Calcular las ventas totales de los dos años de cada producto y cada región.

Calcular las ventas totales discriminadas por producto y región, significa que por ejemplo de la región 1

(fila1) de cada año, sumo las ventas generadas por los productos 1: a11 + b11 , de los productos 2: a12 +

b12 y de los productos 3: a13 + b13 . Análogamente se procede con las otras tres regiones. Luego, los

cálculos se organizan expresando:

A+ B =

2.6 3.6 3.2 4.5 2.4 2.9

4.8 2.5 4.4 5.0 3.6 3.0

1.8 3 2.5 3.5 3.8 4.6

0.9 2.5 2.8 3.8 2.5 4

=

5.66.64.3

4.80.68.4

6.64.93.7

3.57.72.6

c) Calcular e interpretar A- B

A-B = A+ (-B) =

2.6 3.6 3.2 4.5 2.4 2.9

4.8 2.5 4.4 5.0 3.6 3.0

1.8 3 2.5 3.5 3.8 4.6

0.9 2.5 2.8 3.8 2.5 4

=

5.116.1

8.012.1

6.06.03.2

5.03.11


27

A-B representa la variación (incremento o disminución) en las ventas del año 2014 al 2015

d) La gerencia de la empresa había proyectado para el año 2015 un 30 % de incremento en las ventas de

los productos en todas las regiones respecto al año 2014. ¿Se cumplió este objetivo?

Para resolver esta situación se debe calcular el incremento del 30% en cada venta del 2014 y luego

compararlos con los elementos del año 2015. Es decir que se debe multiplicar la matriz A, cada eleento

de ella, por el número 1.3. Los cálculos se organizan como se muestra

(A + 0.30 A) = 1.30 A =

(1.3)2.6 (1.3)3.2 (1.3)2.4

(1.3)4.8 (1.3)4.4 (1.3)3.6

(1.3)1.8 (1.3)2.5 (1.3)3.8

(1.3)0.9 (1.3)2.8 (1.3)2.5

=

3.38 4.6 3.12

6.24 5.72 4.68

2.38 3.25 4.94

1.17 3.68 3.25

Comparando con los elementos de B, se concluye que no se cumple el objetivo.

e) Si para el año 2016, se espera triplicar las ventas del producto 1 y duplicar las de los productos 2 y 3

respecto al año 2015. Determinar las ventas totales para cada una de las cuatro regiones para el

año 2016.

La venta total esperada para la región 1, si se triplica la venta del producto 1, y se duplican las

ventas de los productos 2 y 3 es: (3.6)3 (4.5)2 (2.9)2 .

Análogamente para la región 2, se obtiene: (2.5)3 (5.0)2 (3.0)2 .

De la misma manera se procede con las otras regiones.

Todos estos cálculos se organizan como se muestra:

3.6 4.5 2.9 (3.6)3 (4.5)2 (2.9)2 25.63

2.5 5.0 3.0 (2.5)3 (5.0)2 (3.0)2 23.52

3.0 3.5 4.6 (3.0)3 (3.5)2 (4.6)2 25.22

2.5 3.8 4 (2.5)3 (3.8)2 (4)2 23.1

La resolución de esta situación da cuenta del sentido y el significado de las operaciones matriciales: , adición, sustracción,

producto de una matriz por un escalar y producto entre dos matrices. A continuación se formalizarán los correspondientes

conceptos.


28

Definiciones:

Operación Ejemplo Propiedades

Adición de matrices

Dadas dos matrices A = (aij) y

B = (bij) de orden mxn , se

define A más B y se indica

como A + B a una nueva matriz

S = (sij) de orden mxn tal que

cada elemento de S se obtiene

sumando a cada elemento de

A el correspondiente elemento

de B.

A =

23

117, B =

28-

56

A + B =

22-8)(3

(-5)1-617

A+ B =

45-

6-23

a) Asociativa: A + (B + C) = (A + B) + C

b) Conmutativa: A + B = B + A

c) Existencia de elemento neutro:

Existe la matriz nula N de orden mxn

tal que para toda matriz A de orden

mxn se cumple que A más la matriz

N es igual a la matriz N más A, y esta

suma es igual a la matriz A.

En símbolos:

N / A: A + N = N + A = A

d) Existencia de matriz opuesta: Para

toda matriz A de orden mxn existe la

opuesta A tal que A más su opuesta

es igual a la matriz nula.

En símbolos:

A: A / A +( A) = (A) + A = N

Sustracción de matrices

Restar a la matriz A la matriz

B, es lo mismo que sumar a la

matriz A la opuesta de la

matriz B, es decir,

A B = A + (B)

A =

23

117 y B =

28-

56

A B = A + (B) = =

23

117+

-6 5

8 -2

= 11 4

11 0

Multiplicación entre un

número real y una matriz

Sea A una matriz de orden

mxn y r un número real. La

multiplicación entre un

número real r y una matriz A

da como resultado una matriz

de orden mxn cuyos

elementos se obtienen

multiplicando cada elemento

de la matriz A por el número

real r.

En símbolos: Sean A = (aij) de

tamaño mxn y r R

r . A = r. ( aij )=(r aij)

Sea la matriz A =

1400

2100

750

que

representa las ventas de 3

productos para el año actual. Si se

prevee un aumento de las ventas de

un 20%

B =

1400

2100

750

+ 0,20

1400

2100

750

=

= 1,20

1400

2100

750

=

1680

2520

900

representa

la proyección para el año siguiente

Sean A, B, N matrices de orden mxn;

N una matriz nula y r, s números

reales entonces:

a) (𝑟 + 𝑠)𝐴 = 𝑟𝐴 + 𝑠𝐴

b) 𝑟(𝑠𝐴) = (𝑟𝑠)𝐴

c) 𝑟(𝐴 + 𝐵) = 𝑟𝐴 + 𝑟𝐵

d) (−1)𝐴 = −𝐴

e) 0𝐴 = 𝑁, 0 ∈ 𝑅

f) 𝑟𝑁 = 𝑁


29

Multiplicación de matrices

Dadas dos matrices

A = (aij) y B = (bij) de órdenes

mxq y qxn, respectivamente,

llamamos matriz producto de

A con B a la matriz C de

orden mxn tal que cada

elemento cij de esta matriz

producto se obtiene como el

producto anteriormente

definido entre la matriz fila i

de A con la matriz columna j

de B.

En símbolos Amxq . Bqxn=Cmxn

El producto A.B se indica A B

Para que el producto AB esté

bien definido el número de

columnas de la matriz A debe

coincidir con el número de filas

de la matriz B. De esta manera

que A y B son conformables

para el producto.

A =

35 28 25

35 30 24

32 28 24

y B =

5

5

8

8

A.B 5

5

35 28 25 35.8+28.5+25.5

35 30 24 35.8+30.5+24.5

32 28 24 32.8+28.5+24.5

El resultado de A.B es la matriz

C =

516

550

545

de orden 3x1.

Sean A, B y C matrices conformables

para el producto. Se cumple:

a) Propiedad Asociativa

A (B C) = (A B) C

b) Propiedad Distributiva

A (B + C) = A B + A C

(A + B) C = A C + B C

c) Existencia de elemento neutro

Si A es una matriz de orden nxn

entonces A In = In A = A.

La matriz In se llama elemento

neutro para la multiplicación de

matrices cuadradas de orden nxn.

d) c(A B) = (c A) B = A (c B) c R

e) Existencia de elemento absorbente

Si A es una matriz de orden nxn

entonces A N = N A = N.

La matriz N se llama elemento

absorbente para la multiplicación de

matrices.

Potencia de matrices

En función de la operación

multiplicación de matrices se

define la potencia enésima de

una matriz.

Sean A una matriz cuadrada y

n Z+ definimos

A0 = I

A1 = A

An+1 = An . A1

Ejemplo:

A =

2/14

13. A0 =

10

01

A1=

2/14

13 A2= A A=

=

2/14

13

2/14

13=

4/1710

2/513

A3 = A2A =

8/6347

4/4749

Am An = Am + n = An Am n, m Z+

Transposición de matrices

Transponer una matriz

consiste en crear una nueva

matriz a partir de una dada,

donde las filas de la nueva

matriz son las columnas de la

original, y donde las columnas

de la nueva matriz son las filas

Si A =

120

121 entonces

At =

11

22

01

a) (At )t = A

b) (A + B)t = At + Bt

c) (c A)t = c At siendo c R

d) (A B)t = Bt At


30

de la original, cambio que

debe efectuarse de acuerdo al

orden en que aparecen las filas

y columnas en la matriz

original.

Multiplicación entre una

matriz fila y una matriz

columna

Sean A = (a1, a2,…, an) y

B =(b1, b2,…bn)t .

Definimos el producto AB de la

siguiente manera

AB =a1.b1+ a2b2+…+anbn,

obteniendo una matriz de

orden 1x1

Sean A =(1 3 5) y B = (1 3 7)t

Luego, AB= (1 . 1 + 3.3 + 5 .7)= (45)

Reflexiones sobre las propiedades de la multiplicación de matrices

En la lista de propiedades que verifica la multiplicación de matrices, no se han mencionado las propiedades

conmutativa y cancelativa.

¿Se cumple que A B = B A? Los siguientes ejemplos permitirán dar respuesta a esta pregunta:

1) Si A = (1 2) y B =

84

63 el producto AB está bien definido, es decir es posible pues el número de

columnas de A coincide con el número de filas de B, pero BA no puede efectuarse ya que el número de columnas

de B no coincide con el número de filas de A.

2) Si A =

11

21 y B =

11

10 los productos AB y BA están bien definidos, pero A B =

01

32es distinto de B

A =

30

11

En este ejemplo A B y B A están bien definidos y las matrices que resultan de estas multiplicaciones tienen el

mismo orden, pero A B B A

3) Si A = (1 2) y B =

4

3, AB y BA están definidos, AB = ( 5 ) y BA =

84

63 . En este ejemplo A B y B A están

bien definidos y las matrices que resultan de estas multiplicaciones tienen distinto orden, por lo tanto también

en este ejemplo A B B A

Luego se afirma que:


31

La multiplicación de matrices NO verifica la propiedad conmutativa

Respecto a la propiedad cancelativa, el siguiente ejemplo muestra que:

Si A =

00

02 , B =

00

02 y C =

40

00 de orden 2x2.

Resulta que: A B =

00

00= A C pero B C

La multiplicación de matrices NO se cumple la propiedad cancelativa

Si A B = A C (o B A = C A) no implica que B = C

ACTIVIDADES: OPERACIONES MATRICIALES

6- Realizar, si es posible, las siguientes operaciones: A + B, A – C, A + D – B, –A + B, E + C

siendo A =

129

23045

2/1213

, B =

13/11

007

42115

, C = (13 –4 1 5), D =

2/123

000

7215

y E =

2

5/4

2

3

7- Hallar la opuesta de a) A =

2/13/23

90100

7521

b) B = (15 –25 11/5)

8- Calcular x, n, z, w y m R para que sea cierta la siguiente igualdad:

n542

362x

1123

+

63w1

241-3

02z1

=

2m01

51012

1114

9- Dadas las siguientes matrices:

A2x2 =

10

12 B2x1 =

0

1 C1x2 = 12 D2x3=

210

121

Calcular todos los posibles productos tomando las matrices de a dos.

10- Dadas las matrices:

a) A =

121

101 y B =

10

12

21

. Calcular y comparar A B con B A.


32

b) ¿Puede ocurrir que dos matrices se puedan sumar pero no se puedan multiplicar? Justificar.

11- Sea A =

31

12

a) Hallar: A2 – 2A b) Comprobar que: A2 – 2A = A (A – 2I )

12- Dada la matriz A =

34

21

a) Calcular f(A) si f(X) = 2 X3 - 4X + 5

(Nota: En esta expresión polinómica matricial el término independiente 5 significa el producto del número real

5 por la matriz identidad, es decir, 5 I y f(A) es la función f(X) evaluada en X = A, es decir, f(A) = 2 A3 - 4A + 5 I)

b) Muestra que A es un cero o raíz del polinomio P(X) = X2 + 2 X - 11I, es decir, que la función P evaluada en X

= A da como resultado la matriz nula.

13- Sea A =

2/11

36 , B =

605

211 C =

221

403 . Verifica que: AB = AC pero B C.

RESPUESTAS ACTIVIDADES OPERACIONES MATRICIALES

6. A + B =

23/710

23038

2/74212

, A C y E + C no son posibles,

A + D – B =

2/13/1111

23052

2/523

; A + B =

03/58

23052

2/9018

7. a) –A =

2/13/23

90100

7521

b) –B = (15 25 11/5)

8. z = 3, x = 1, w = 4, m = 8, n = 8

9. AB =

0

2 , AD =

210

432 , BC =

00

12 , CD = (2 3 -4)

CB = (2), CA = (4 -3)

10. a) AB =

15

11 BA =

121

321

143

b) Si. Por ejemplo, dos matrices de orden 4x3 se pueden sumar, pero no multiplicar.

11. a)

43

31 12. f(A) =

117104

5213

14- MATRICES EN CONTEXTO.


33

Resolver los siguientes problemas:

(Para ello: organiza todos los datos que aportan empleando matrices, en los casos en los que no estén dados

con esta disposición, y luego resuelve aplicando operaciones matriciales)

Problema nº1: Los consumos anuales de cuatro familias (f1, f2, f3, f4) en tres alimentos básicos (a1,a2,a3),

vienen dados en la siguiente matriz A . Los precios de esos mismos productos en los últimos cinco años están

dados en la siguiente matriz B. Calcular el gasto por alimento de cada familia en cada año, empleando

matrices.

01186

38012

12154

81543

A B =

1512796

1161154

10151231

Problema nº2: Un empresario del espectáculo planea construir un cine, sala de fiestas y pabellón de deportes

en tres localidades L1, L2, L3. Según un muestreo previo, las preferencias de dichos ciudadanos (en tanto por

ciento) se plasman en la siguiente matriz:

Cine fiestas deportes

404218

503515

404020

A

Si el total de habitantes, mayores de 16 años, de las ciudades citadas vienen dado por la matriz fila:

L1 L2 L3

H = ( 72 000 14 500 39 200)

Investigar qué tipo de espectáculo tendrá mayor número clientes.

Problema nº3: Un colegio universitario está comparando sus datos de admisión para los últimos dos años. Tiene

interés en la distribución de estudiantes locales en relación con los extranjeros y en la matrícula por sexo. Las

matrices A y B resumen el número de estudiantes admitidos en los últimos dos años.

M F M F

a) Halla la admisión total para cada categoría durante los pasados dos años.

b) Suponga que el colegio universitario del problema anterior está esperando un aumento de un 20% con

respecto al último año en las admisiones para cada categoría de estudiantes para el tercer año. ¿Cuál será la

nueva matrícula en el colegio?

c) Un maestro preparó tres exámenes a cinco estudiantes. Ha decidido considerar los primeros dos exámenes

a un 30% cada uno, y el tercero a un 40%. El maestro desea calcular los promedio finales para los cinco

estudiantes empleando la multiplicación de matrices. La matriz de calificaciones es:


34

Los porcentajes están indicados en la matriz fila: B = (30 30 40).

Calcular las puntuaciones promedios para los cinco estudiantes.

Problema nº4: Una compañía manufacturera de televisores LCD HDTV fabricó tres modelos de diferente calidad

en tres tamaños distintos. La capacidad de producción (en miles) en la fábrica de Nueva York está dada por la

siguiente tabla

Modelo I Modelo II Modelo III

Tamaño 32” 5 3 2

Tamaño 37” 7 4 5

Tamaño 40” 10 8 4

(En otras palabras, la capacidad de la fábrica es de 5,000 televisores del Modelo I de 32 pulgadas, 8,000

televisores del Modelo II de 40 pulgadas y así sucesivamente).

La capacidad de producción en la fábrica de California está dada por la siguiente tabla.


Tamaño 32” 4 5 3

Tamaño 37” 9 6 4

Tamaño 40” 8 12 2

a) Representa los datos matricialmente.

b) ¿Cuál es el total de capacidad de producción en las dos fábricas?

c) ¿Cuál será la nueva producción en la fábrica de Nueva York si se decide aumentar por lo menos la

producción en un 20%?

Problema nº5: Un negocio tiene para la venta televisores LCD Sony de varios tamaños. Tiene 5 de 40

pulgadas; 8 de 37 pulgadas; 4 de 32 pulgadas y 10 de 26 pulgadas. Los de 40 pulgadas se venden a $6500 los

de 37 pulgadas a $4400, los de 32 pulgadas a $3100 y los de 26 pulgadas a $2200. Expresa el total de venta de

los televisores como un producto de dos matrices e indica el ingreso total.

Problema nº6: Un hipermercado quiere ofertar tres clases de bandejas: A, B y C. La bandeja A contiene 40 g

de queso manchego, 160 g de roquefort y 80 g de camembert; la bandeja B contiene 120 g de cada uno de los

tres tipos de queso anteriores; y la bandeja C, contiene 150 g de queso manchego, 80 g de roquefort y 80 g de

camembert. Si se quiere sacar a la venta 50 bandejas del tipo A, 80 de B y 100 de C, obtén matricialmente la

cantidad que necesitarán, en kilogramos de cada una de las tres clases de quesos.

Problema nº7: Una fábrica produce tres tipos de artículos, A1, A2 y A3, distribuyendo su producción entre cuatro


35

clientes. En el mes de marzo el primer cliente ha adquirido 9 unidades de A1, 5 de A2 y 2 de A3; el segundo cliente

3, 8 y 0, respectivamente; no compró nada el tercer cliente y el cuarto 6, 7 y 1 unidades, respectivamente.

En abril, el cuarto cliente no hizo pedido alguno, el tercer cliente compró 4 unidades de cada artículo,

mientras que los otros dos duplicaron el número de unidades adquiridas en marzo.

a) Construye las matrices 4 x 3 correspondientes a las ventas de los meses de marzo y abril.

b) Si los precios de los artículos son (en cientos de pesos por unidad) 10, 8 y 9, respectivamente, calcular lo

que factura la fábrica a cada cliente por sus pedidos en los meses de marzo y abril.

Problema nº 8: Una empresa fabrica tres tipos de artículos: A, B y C. Los costos de cada unidad son $600, $920

y $1430, respectivamente. Los correspondientes precios de venta de una unidad de cada artículo son $1800,

$2800 y $4000. El número de unidades vendidas anualmente es de 2240, 1625 y 842, respectivamente.

Sabiendo que las matrices de costo C y precio de venta P, son diagonales y que la matriz de cantidad vendida,

Q, es una matriz fila, se pide:

a) Determinar las matrices C, P y Q.

b) Obtener, a partir de las matrices anteriores, la matriz de ingresos anuales correspondientes a los tres

artículos, la matriz de gastos anuales y la matriz de beneficios anuales.

Respuestas de los problemas de la actividad 14. Matrices en contexto

1 . AB =

151 276 737 831 715

144 276 886 948 786

350 463 1045 696 1045

130 313 1153 1356 981

2. 517305033923631HA100

1 la que tiene mayor número de clientes es deportes.

3. a) A +B =

150165

600760 b) 1.2 B =

10896

372480 c)

9.74

3.81

7.67

8.95

5.81

AB100

1 t

4. a)


Tamaño 32” 9 8 5

Tamaño 37” 16 10 9

Tamaño 40” 18 20 6


Tamaño 32” 6 4 3

Tamaño 37” 9 5 6

Tamaño 40” 12 10 5


36

Aclaración: producción mínima para cubrir el aumento de 20 % por lo menos

5. )102100(

2200

3100

4400

6500

10485

6. Se necesita 26.6 kg de manchego, 25.6 kg de roquefort y 21.6 kg de camembert.

7. a)

000

444

0166

41018

176

000

083

259

; b)

0

108

188

296

125

0

94

148

8.a)

842625.1240.2Q

,

000.400

0800.20

00800.1

P,

143000

09200

00600

C

) 4032000 4550000 3368000 ,

1344.000 1495000 1204060 ,

2688000 3055000 2163940

b


37

BLOQUE 2

CADENAS DE MARKOV


Resolución por metodo de Gauss y determinantes. Clasificación.

Teorema del Rango


38

CADENAS O PROCESOS DE MARKOV

Introducción: Uso de las cadenas de Markov para tomar mejores decisiones.

Las cadenas de Markov proporcionan un sistema muy útil para crear e implementar un proceso de toma de

decisiones que aprecie posibles escenarios permitiendo predecir comportamientos futuros. Precisamente, el

trabajo teórico del matemático Andrey Markov, consiste en un proceso de decisión de control estocástico, es

decir con componente aleatoria, en las que el valor de la variable en el futuro depende del valor de la variable

en el presente. En este sentido, una cadena de Markov consiste en una serie de estados, en los cuales la

probabilidad de que un evento ocurra depende del estado inmediatamente anterior, y no de la secuencia de

estados que le preceden. Estos cambios de estados se llaman transiciones. Cada proceso tiene un estado inicial

y una matriz de transiciones que muestra todas las posibles transformaciones futuras a partir de él.

Las cadenas de Markov tienen muchas aplicaciones en el mundo real, destacando su uso en negocios, política,

finanzas, deportes, salud, genética, física, economía, como:

análisis de los movimientos de los precios de artículos de consumo

preferencias de los clientes

procesos físicos

procesos meteorológicos

A modo de presentación del tema se analiza la siguiente situación:

Situación 1: “Competencia en el mercado entre tres proveedores de marcas identificadas por: A, B, C”

Un estudio de mercado obtiene la siguiente información relativa a las preferencias de los compradores respecto

a tres marcas identificadas como A, B y C: los compradores que hoy compran un producto de la marca A, en un

determinado periodo de tiempo un 30% volverá a comprar esta marca, un 40% cambiará a la marca B y un 30%

a la marca C. Estos datos juntos a los de B y C se muestran en la siguiente matriz:

A B C

ABC

(0.30 0.40 0.100.40 0.10 0.300.30 0.50 0.60

)

Esta matriz se denomina MATRIZ DE TRANSICIÓN la llamaremos matriz P = (pij) y cada uno de sus elementos pij

representa la probabilidad de que el proceso pase del estado j al estado i.

Por ejemplo: p32 = 0.50 indica que en un determinado período de tiempo los compradores de la marca B pasarán

de consumir la marca C.

A modo de predecir la participación en el mercado de las marcas A, B y C en un período siguiente, dicho estudio

de mercado informa sobre las participaciones actuales en el mercado de A, B y C, resultando: 40%, 50% y 10%,

respectivamente. Esto significa que, actualmente, el 40% del total de compradores eligen la marca A;

análogamente para la marca B y C.

http://www.datascienceassn.org/content/online-structure-learning-markov-logic-networks


39

Organizando estos datos en la siguiente matriz: 𝑋0 = (0.400.500.10

)

En un periodo de tiempo siguiente, las participaciones en el mercado de A, B y C será:

Para A: 0,3 ⋅ 0,4 + 0,4 ⋅ 0,5 + 0,1 ⋅ 0,1 = 33%

Para B: 0,4 ⋅ 0,4 + 0,1 ⋅ 0,5 + 0,3 ⋅ 0,1 = 24%

Para C = 0,3 ⋅ 0,4 + 0,5 ⋅ 0,5 + 0,6 ⋅ 0,1 = 43%

Empleando notación matricial y operaciones entre matrices se expresa la situación en este nuevo período de

la siguiente manera:

X1 = P X0 = (0.30 0.40 0.100.40 0.10 0.300.30 0.50 0.60

)(0.400.500.10

) = (0.330.240.43

)

Si se necesita predecir la situación en un segundo período, se debe considerar como situación inicial a la

matriz:

X1 = (0.330.240.43

)

Luego:

X2 = P X1 = (0.30 0.40 0.100.40 0.10 0.300.30 0.50 0.60

)(0.330.240.43

) = (0.2380.2850.477

)

o bien

X2 = P X1 = P(P X0) = P2 X0 = (0.30 0.40 0.100.40 0.10 0.300.30 0.50 0.60

) (0.30 0.40 0.100.40 0.10 0.300.30 0.50 0.60

)(0.400.500.10

) = (0.2380.2850.477

)

En general:

Xt+1 = P Xt o Xt = Pt X0

Se formalizarán los conceptos surgidos en la situación 1 mediante las siguientes definiciones:

-CADENA DE MARKOV es un proceso con las siguientes características

Existe un número finito “n” de estados posibles 1, 2,....., n dentro de un mismo sistema.

En un tiempo dado el proceso está en uno y solamente en uno de los estados dados.

Que el proceso se encuentre en un determinado estado, depende únicamente del estado

inmediatamente anterior en el que estuvo.


40

-MATRIZ DE TRANSICIÓN: Se denomina matriz de transición de estados a la matriz:

11 12 1n

21 22 2n

n1 n2 nn

p p ... p

p p ... p

. . . .

. . . .

. . . .

p p ... p

P

Donde cada elemento pij de la matriz representa la probabilidad de que el proceso pase del estado j al estado i.

En particular, si i = j, pij representa la probabilidad de que estando el proceso en el estado i, siga permaneciendo

en dicho estado.

Los elementos de una matriz de transición de estados cumplen dos condiciones:

a) 0 pij 1 i = 1,..., n y j = 1,..., n .

b) La suma de los elementos pij de cada columna de la matriz es igual a 1.

-VECTOR DE CONDICIONES INICIALES: es una matriz columna de orden n x 1 cuyos elementos indican la

situación inicial en que se encuentra el sistema.

Se representa por: X0 =

n0

20

10

x

...

x

x

. Por ejemplo en la situación 1 analizada anteriormente el elemento 𝑥02

representa fracción de compradores que eligen la marca B actualmente (0.50).

-VECTOR DE ESTADO es una matriz de orden n x 1 cuyos elementos indican la situación del sistema transcurrido

un determinado tiempo t. Se representa por Xt =

nt

2t

1t

x

...

x

x

En la siguiente situación 2, se identificarán los “n” estados del proceso, la matriz de transición de estados, el

vector de condiciones iniciales para luego generaran nuevos conceptos.

Situación 2: Las autoridades de tránsito han realizado estudios que predicen el porcentaje de quienes utilizarán

el sistema de transporte urbano de pasajeros y el de quienes seguirán manejando su propio automóvil de un

año al siguiente año.

Se obtiene la siguiente información: el 70% de las personas que utilizaban el transporte urbano de pasajeros

en un determinado año lo seguirán usando al año siguiente, mientras que el 20% de las personas que utilizaban

automóvil al año siguiente utilizarán transporte urbano de pasajeros.

Los datos de la siguiente tabla nos informan las probabilidades de los cambios de estado:


41

TRANSPORTE

AUTOMOVIL

TRANSPORTE 0,7 0,2

AUTOMÓVIL 0,3 0,8

Se obtiene la siguiente matriz de transición de un año al siguiente donde los distintos estados son:

T = utiliza transporte urbano de pasajeros A = utiliza automóvil propio

Presente año

T A

El próximo año 0.7 0.2

0.3 0.8

T

A

La matriz de transición de estados, muestra las probabilidades de pasar de un estado a otro estado, del presente

año al siguiente año.

Además el estudio realizado cuenta con el dato del comportamiento de la situación actual:

Vector de condiciones iniciales es X0 =

45.0

55.0

Con esta información interesa responder:

a) ¿Qué porcentaje de la población utilizará transporte urbano de pasajeros al cabo de un año?

b) ¿Qué porcentaje de la población utilizará transporte urbano de pasajeros después de 2 años?

a) X1 = P X0 =

8,03,0

2,07,0

45,0

55,0=

525,0

475,0

Esto significa que el 47,5% de los personas utilizan transporte urbano de pasajeros al cabo de un año y el 52,5% utilizan

automóvil.

b) El vector que representa el comportamiento al cabo de dos años, identificado como X2 es:

X2 = P X1 = P (P X0 ) = (P P) X0 = P2 X0

X2 =

8,03,0

2,07,0

525,0

475,0=

5625,0

4375,0

Lo cual significa que el 43,75 % de las personas utilizarán transporte y el 56.25% de las personas automóvil, al cabo

de dos años.


42

Análogamente, si se multiplica por P al vector X2 se obtiene X3:

X3 = P X2 = P (P X1) = P P P X0 = P3 X0 =

58125,0

41875,0

Para obtener el vector de estado dentro de 10 años, X10:

X10 = P10 X0 =

10

8,03,0

2,07,0

45,0

55,0 =

5998535156,0

4001464843,0

La siguiente tabla que muestra la distribución esperada de la población según el tipo de transporte.

Año (t) T (transporte urbano) A(auto)

1 0,475 0,525

2 0,4375 0,5625

3 0,41875 0,58125

4 0,409375 0,590625

5 0,4046875 0,5953125

6 0,40234375 0,59765625

7 0,401171875 0,598828125

8 0,4005859375 0,5994140625

9 0,4002929687 0,5997070312

10 0,4001464843 0,5998535156

Se observa que los números que se encuentran en cada columna se aproximan a 40% y 60% respectivamente

a medida que transcurre el tiempo:

X5 =

60,0

40,0 X6 X7 X8 X9 X10

Es decir que es posible predecir “valores estables o de equilibrio” después del quinto período.

En general la condición de equilibrio se cumple si el vector de estado en el tiempo t es igual al vector de estado

en el tiempo t + 1. En forma simbólica:

Xt+1 = P Xt = Xt


43

En la situación 2, se obtiene:

2

1t

1

1t

x

x=

0,80,3

0,20,7

2

t

1

t

x

x =

2

t

1

t

x

x.

Este sistema de ecuaciones se puede expresar como:

2

t

2

t

1

t

1

t

2

t

1

t

x x0,8 x0,3

x= x0,2 + x0,7

Considerando además que: xt1 + xt

2 = 1, se obtiene el siguiente sistema de ecuaciones lineales:

1xx

0x0,8x0,3x

00,2xx0,7x

2

t

1

t

2

t

2

t

1

t

2

t

1

t

1

t

1xx

00,2x0,3x

00,2x0,3x-

2

t

1

t

2

t

1

t

2

t

1

t

Como la ecuación 2 del sistema es equivalente a la ecuación 1 E1=(-1).E2

El sistema se reduce a

1

02.03.0

21

21

tt

tt

xx

xx

Resolviendo el sistema se obtiene como solución: xt1 = 0,4 y xt

2 = 0,6.

En este caso el sistema es compatible determinado y su solución expresa la existencia de una condición de

equilibrio del problema dado, pero no nos informa en qué momento (cantidad de períodos) se da esa

condición de equilibrio.

En general:

La CONDICIÓN DE EQUILIBRIO PARA UN MODELO DE MARKOV se puede plantear en términos de la existencia

de un vector columna, de probabilidad fijo, no nulo identificado por “X” que satisfaga

P X = X

siendo P la matriz de transición, y con la condición adicional de que la suma de las componentes del vector X

sea igual a uno. Para el caso de dos estados resulta que:

Si el sistema:

1xx

XPX

21

es compatible determinado, su solución expresa la existencia de la condición de

equilibrio del problema dado.

Observación: Se puede generalizar para n estados.


44

ACTIVIDADES: CADENAS DE MARKOV para realizar en Taller

Actividad 1: El lenguaje de las cadenas de Markov

Recordemos que las cadenas de Markov proporcionan un sistema muy útil para crear e implementar un proceso

de toma de decisiones que aprecie posibles escenarios permitiendo predecir comportamientos futuros. Para

producir modelos cadenas de Markov es fundamental incorporar los conceptos propios de esta teoría, ellos

son: Matriz de Transición, Vector de Condiciones Iniciales, Vector de Estado y Condición de Equilibrio.

Esta actividad tiene por objeto que comprendas, identifiques y apliques estos conceptos:

1) Considerando la siguiente matriz de transición entre dos estados A y B, explica el significado de cada uno de

los elementos a11, a12, a21, a22

(aij) =(0,7 0,10,3 0,9

)

2) En un día determinado de la semana, una maquina hidráulica puede funcionar correctamente o romperse. Si

hoy la maquina funciona correctamente, la probabilidad de que mañana siga funcionando correctamente se

estima en un 98%; si la máquina está rota hoy, la probabilidad de que mañana funcione correctamente es del

25%.

a) Construir la matriz de transición de estados.

b) Sabiendo que la máquina hoy está rota, determina:

b1) la probabilidad de que dentro de un día siga rota. Identificando el vector de condiciones iniciales y el vector

de estados.

b2) la probabilidad de que dentro de tres días siga rota. ¿Y en 30 días? ¿Y en 90 días? (Puedes resolver

empleando herramientas tecnológicas como PC o aplicaciones para Smartphone).

b3) el modelo de condición de equilibrio de esta cadena de Markov.

Actividad 2: Resuelve cada uno de las siguientes situaciones:

3) En el último censo de población se clasificó a los habitantes del país en dos categorías: residentes en zonas

urbanas y residentes en zonas rurales.

El censo tomó en consideración las comparaciones entre el domicilio actual y el domicilio que tenía en el

momento de efectuarse el censo anterior, y este censo reveló que, de los que habitan en zonas urbanas un 85%

permanece en ellas y de los que habitan en zonas rurales el 75% permanece en ellas. Con estos datos:

a) Construye la matriz de transición de estados que refleje los movimientos de la población.

b) Si el 70% de la población actualmente habita zonas urbanas, estima los porcentajes que habrá cuando se

realice el próximo censo.

c) Determina, si existe, cuál es el estado de equilibrio del sistema.

4) Un día, en una ciudad, puede presentarse soleado, nublado o lluvioso. Si hoy el día está soleado, existe una

probabilidad del 70% de que continúe mañana de la misma manera y una probabilidad del 10% de que sea

lluvioso. Si hoy el día está nublado, mañana podrá estar soleado, nublado o lluvioso con probabilidades de 20%,

60%, 20%, respectivamente. Por último si hoy el día es lluvioso, para mañana hay probabilidades de 40% y 20%

de que sea soleado o nublado, respectivamente.

http://www.datascienceassn.org/content/online-structure-learning-markov-logic-networks


45

a) Construye la matriz de transición de estados.

b) Si hoy el día es lluvioso, ¿qué probabilidad existe de que dentro de tres días esté soleado?

5) La siguiente tabla expresa las preferencias de los clientes por la compra bianual de dos marcas de televisores:

M1 y M2

Marca M1 Marca M2

Marca M1 0,9 0,3

Marca M2 0,1 0,7

a) Si hoy el cliente compró la marca M1, ¿Cuál es la probabilidad que dentro de dos años lo cambie por la marca

M2?

b) ¿Cuáles serán las preferencias de los clientes dentro de cuatro años si sólo se mantienen estas dos marcas en

el mercado?

6) Un agente comercial realiza su trabajo en tres ciudades A, B y C. Para evitar desplazamientos innecesarios

está todo el día en la misma ciudad y allí pernocta, desplazándose a otra ciudad al día siguiente, si no tiene

suficiente trabajo. Después de estar trabajando un día en C, la probabilidad de tener que seguir trabajando en

ella al día siguiente es 0.4, la de tener que viajar a B es 0.4 y la de tener que ir a A es 0.2. Si el viajante duerme

un día en B, con probabilidad de un 20% tendrá que seguir trabajando en la misma ciudad al día siguiente, en el

60% de los casos viajará a C, mientras que irá a A con probabilidad 0.2. Por último si el agente comercial trabaja

todo un día en A, permanecerá en esa misma ciudad, al día siguiente, con una probabilidad 0.1, irá a B con una

probabilidad de 0.3 y a C con una probabilidad de 0.6.

a) Si hoy el viajante está en C, ¿cuál es la probabilidad de que también tenga que trabajar en C al cabo de cuatro

días?

b) ¿Cuáles son los porcentajes de días en los que el agente comercial está en cada una de las tres ciudades?

7) En un barrio de una ciudad se entrevistó a 200 familias para determinar su preferencia en cuanto a la compra

en tres grandes panaderías de la zona: A, B y C. Los entrevistados dieron el nombre de la panadería donde la

familia había realizado sus compras la semana anterior y donde prefirió hacerlo durante esta semana. La

siguiente tabla resume las respuestas:

A B C

A 40 15 12 B 20 30 18 C 20 15 30

Total 80 60 60 Considerando que los resultados son representativos de las tendencias generales de los clientes y que no

existen en el barrio más que esas panaderías:

a) Construye la matriz de transición de estados.

b) ¿Cuáles fueron las fracciones de clientes que la semana pasada compraron en las panaderías A, B y C?

c) Si una familia compra en la panadería A, ¿qué probabilidad hay de que vuelva a comprar dentro de dos

semanas en la misma panadería?


46

8) En una pequeña ciudad existen dos casas de ventas de repuestos de automóviles que controlan el mercado

que designaremos con E1 y E2 si la matriz de cambio de estados es P= (0.9 0.20.1 0.8

) . Estudiar si existe estado de

equilibrio.

9) Interesa analizar la participación de mercado y la lealtad de los clientes para los dos únicos supermercados A

y B de una pequeña ciudad. Se supone que un cliente realiza una compra semanal en un supermercado, pero

no en ambos.

Como parte de un estudio de investigación de mercado, se recopilan datos respecto de 100 compradores. De

esos datos se desprenden que, de todos los clientes que compraron en el supermercado A, en una determinada

semana, el 90% compró en ese mismo supermercado la semana siguiente y que, de todos los clientes que

compraron en el supermercado B en una determinada semana, el 80% compró en el mismo supermercado B la

semana siguiente.

a) Determina la matriz de transición.

b) Suponiendo que la última visita del cliente fue al supermercado A: ¿Cuál es la probabilidad de que

cambie de supermercado la próxima semana?¿Cuál es la probabilidad que dentro de 3 semanas siga

comprando en el mismo?

c) Determina cuál es el estado de equilibrio del sistema.

10) El departamento de estudios de mercado de una fábrica estima que el 20% de la gente que compra un

producto un mes, no lo comprará el mes siguiente. Además, el 30% de quienes no lo compren un mes lo

adquirirá al mes siguiente. En una población de 1000 individuos, 100 compraron el producto el primer mes.

a) ¿Cuántos lo comprarán al mes próximo? ¿Y dentro de dos meses?

b) Determina la condición de equilibrio de este problema

11) Una empresa está considerando utilizar Cadenas de Markov para analizar los cambios en las preferencias de los usuarios por tres marcas distintas de un determinado producto. El estudio ha arrojado la siguiente estimación de la matriz de probabilidades de cambiarse de una marca a otra cada mes:

P = (0.80 0.03 0.200.10 0.95 0.050.10 0.02 0.75

)

a) Indica el significado de p23 b) Si en la actualidad la participación de mercado es de 45%, 25% y 30%, respectivamente. ¿Cuáles serán

las participaciones de mercado de cada marca en dos meses más? c) Determina, si existe, cuál es el estado de equilibrio del sistema.


47

RESPUESTAS. ACTIVIDADES CADENAS DE MARKOV

2) Orden: funciona - rota

a) (0.98 0.250.02 0.75

)

b) x0 = (01) b1) 0.75 b2) 0.434275 (3 días) 0.741476 (30 días) 0.740741 (90 días).

b3) {𝑥1 + 𝑥2 = 1

0.02𝑥1 − 0.25𝑥2 = 0

3) Orden: Residentes en zonas urbanas – Residentes en zonas rurales

a) (0.85 0.250.15 0.75

)

b) 67% en zona urbana y el 33% en zona rural

c) Existe estado de equilibrio 62.5% en zona urbana y el 37.5% en zona rural

4) Orden soleado -nublado -lluvioso

a)(0.7 0.2 0.40.2 0.6 0.20.1 0.2 0.4

)

b) soleado 48.8%

5) Orden: marca M1-marca M2 (0.9 0.20.1 0.8

)

a) en 2 años la probabilidad de que cambie por la marca M1 es 0.1

b) en 4 años la marca M1 0.84 la marca M2 0.16

6) Orden: ciudad A - ciudad B - ciudad C (0.1 0.2 0.20.3 0.2 0.40.6 0.6 0.4

)

a) al cabo de 4 días la probabilidad de que siga trabajando en C es 50,08%

b) (0.1818180.318182

0.5)

7) Orden: Panaderia A – panadería B – Panaderia C

a)(0.5 0.25 0.20.25 0.5 0.30.25 0.25 0.5

)

b) Panadería A 80/200 = 0.4

Panadería B 60/200 = 0.3

Panadería C 60/200 = 0.3

c) 36.25%


48

8) (2/31/3

)

9) Orden: A - B

a) (0.9 0.20.1 0.8

)

b) 10% es la probabilidad de que cambia al supermercado B

Siga en comprando en el supermercado A es 78.10%

c) Equilibrio supermercado A: 2/3 del mercado , supermercado B: 1/3 del mercado

10) Orden: C compra- NC no compran

(0.8 0.30.2 0.7

)

a) El próximo mes compraran 350 personas y no compraran 650 y en 2 meses compraran 475 personas y no

compraran 525.

b) El equilibrio resulta en 600 personas comprando y 400 no.

11) a) x2 = (0,4059250,3391250,25495

) b) (0,2371130,6185570,14433

)


49


Ecuaciones Lineales

Las ecuaciones son expresiones del lenguaje matemático que se emplean para modelar distintas situaciones ya

sea de la vida cotidiana o del campo científico. Por tal motivo, representan una estrategia para resolver

problemas. En este sentido es importante tener en cuenta:

Leer y comprender el enunciado.

Definir la incógnita.

Plantear la ecuación.

Resolver la ecuación.

Discutir e interpretar los resultados.

Ecuación lineal con n incógnitas

Una ecuación lineal con n incógnitas y coeficientes reales es una expresión de la forma:

a1 x1 + a2 x2 + ... + an xn = b

donde a1, a2 , a3, ... , an y b son números reales, x1, x2, x3, ... , xn son las incógnitas.

Los ai son los coeficientes de las incógnitas xi i: i = 1, 2, 3, ..., n, mientras que b es el término independiente de

la ecuación.

Ejemplo

Las siguientes son ecuaciones lineales con 3, 2 y 4 incógnitas, respectivamente:

8x1+x2 10x3=0 ; 2x1+5x2=1 ; x1 – 4x2+2

1x3= x4+2

Solución de una ecuación

Dada la ecuación lineal con n incógnitas a1 x1 + a2 x2 + … + an xn = b entonces la n-upla (t1, t2 ,..., tn) de números

reales que verifica la igualdad:

a1 t1 + a2 t2 + ... + an tn = b

es una solución de la ecuación.

Ecuaciones como modelo en la resolución de problemas:

Situación 1:

La compañía ESTILO fabrica dos productos diferentes A y B. Para el próximo mes dispone de 500 horas de

trabajo destinadas a la elaboración de ambos productos. Como la fabricación de ambos productos aporta


50

Importantes ganancias a la compañía, interesa utilizar todas las horas disponibles del mes. Cada unidad de

producto A, requiere 5 horas de trabajo para su elaboración y cada unidad de producto B, requiere 4 horas para

su elaboración.

a) Plantear una ecuación que describa la situación.

b) ¿Cuántas unidades de A se pueden fabricar si se elaboran 80 unidades de B?

c) Si se decide producir un solo artículo, ¿cuál será la cantidad máxima que puede fabricarse del producto A? ¿Y

cuál es la cantidad máxima del producto B?

a) Definiendo las variables:

x1 : cantidad de unidades fabricadas de producto A.

x2 : cantidad de unidades fabricadas de producto B.

El modelo que representa la situación es:

5x1 + 4x2 = 500

b) Si se fabrican 80 unidades de B entonces x2 = 80,

luego 5x1 + 4 . 80 = 500.

5x1 = 500 320 entonces x1 = 36.

Un par de valores que satisfacen la ecuación es (36, 80), o bien, una combinación de los dos productos que usará

totalmente las 500 horas es 36 unidades del producto A y 80 unidades del producto B.

c) Si la dirección de la empresa decide fabricar sólo el producto A entonces x2 = 0.

Luego , 5 x1 + 4 . 0 = 500 de donde x1 = 100.

Por lo tanto, 100 es el número máximo de unidades de A que se pueden fabricar.

Si decide fabricar sólo el producto B entonces x1 = 0.

Por lo tanto, 5. 0 + 4 x2 = 500, de donde x2 = 125.

Luego, 125 es el número máximo de unidades de B que se pueden fabricar.

Situación 2:

Una camioneta tiene que transportar cuatro tipos de insumos de computadoras: A, B, C, D; que se llevarán en

cajas. Una caja del insumo A pesa 10 kg, una caja del insumo B pesa 15 kg, una del insumo C pesa 12 kg. Y una

caja del insumo D pesa 20 kg. La capacidad de la camioneta es 600 kg.

a) Determinar la ecuación adecuada para que la camioneta esté cargada en toda su capacidad.

b) Si se decide enviar 13 cajas del insumo A, 10 del B y 10 del C. ¿Cuántas cajas del insumo D se enviarán?

c) Si se decide enviar un sólo insumo por vez, ¿cuántas cajas de cada insumo se pueden transportar?

a) Si se define;

x1: cantidad de cajas del insumo A x2: cantidad de cajas del insumo B

x3: cantidad de cajas del insumo C x4: cantidad de cajas del insumo D


51

El modelo que representa la situación 2 es:

10 x1 + 15 x2 + 12 x3 + 20 x4 = 600

b) 10 .13 + 15.10 + 12 10 + 20 x4 = 600 resulta x4= 10 insumos de tipo D

c) En el caso de enviar sólo el insumo A, las variables x2, x3, y x4 tomarán el valor cero y se obtiene:

10 x1 + 15 .0 + 12 .0 + 20 .0 = 600 resultando A = 60

de la misma forma resulta la cantidad de insumos de tipo B es 40, del tipo C 50 y tipo D 30

Diversas situaciones requieren de más de una ecuación para ser modeladas, como la que se presenta a

continuación:

Situación 3: Una fábrica de repuestos automotor decide lanzar al mercados dos nuevos modelos de

carburadores para los cuales necesita dos tipos de piezas: piezas tipo A y piezas tipo B.

Los requerimientos de cada modelo y la disponibilidad de piezas A y B se consignan en la siguiente tabla:

Primer Modelo Segundo Modelo Total disponible por día

Piezas A 8 10 680

Piezas B 4 2 232

¿Cuántas unidades de cada modelo deben fabricarse por día, de manera que se utilicen todas las piezas A y las

piezas B?

Las variables que se emplearán para producir el modelo son:

x1 : número de unidades del Primer Modelo de carburador que se fabrican por día

x2 : número de unidades del Segundo Modelo que se fabrican por día.

De la definición de las incógnitas se desprende que sólo pueden tomar valores enteros no es posible pensar en

fracción de una pieza o en un número negativo de piezas.

Como se disponen de 680 piezas A, y cada unidad del Primer Modelo necesita 8 piezas A y cada unidad del

Segundo Modelo necesita 10 piezas A, se obtiene: 8x1 + 10 x2 = 680

Asimismo la ecuación respecto de las piezas B, es: 4x1 + 2x2 = 232

Por lo tanto, el modelo que representa la situación 3 es:

232x2x4

680x10x8

21

21

Esta expresión se denomina: sistema de 2 ecuaciones lineales con 2 incógnitas.


52

Resolviendo el sistema por el método de sustitución de variables:

De la primera ecuación: x1= 8

x10680 2

Sustituyendo x1= 8

x10680 2 en la segunda ecuación: 2

2

680 104. 2 232

8

xx

Luego:

3405x2+2x2=232 -> x2= 36.

Con el valor x2= 36, resulta x1= 8

360680 = 40.

La solución del sistema es (x1, x2) = (40,36) por lo tanto existe un par ordenado que satisface simultáneamente

las dos ecuaciones. Esto significa que el sistema tiene solución y se clasifica como compatible o consistente.

Para interpretar gráficamente esta situación, se pueden pensar las incógnitas como variables reales. Cada

ecuación lineal admite una representación gráfica que es una recta, llamadas respectivamente L1 y L2. Las rectas

L1 y L2 se cortan en un punto de coordenadas (40, 36).

Situación 4:

Una empresa fabrica compoteras y tazas de cerámica. Por cada compotera o taza existe una cantidad fija de

materia prima que debe colocarse y estar disponible en un recipiente. Un empleado demora un promedio de

dos minutos para seleccionar y colocar en un recipiente la materia prima para cada utensilio y trabaja en forma

permanente durante una jornada diaria de 6 horas. La empresa asigna $72 diarios para la producción, que se

destinan sólo a pagar el material utilizado. Cada utensilio tiene un costo diario de $0,20 en materia prima y

puede fabricar 180 entre los dos. ¿Cuántas compoteras y tazas pueden fabricarse diariamente?

Solución del problema:

El problema puede modelarse en términos de un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas.

Donde:

x : cantidad de compoteras

y : cantidad de tazas


53

72y20,0x20,0

180yx

Resolviendo por el método de sustitución de variables:

De la primera ecuación: y = 180 x;

Sustituyendo en la segunda: 0,20x + 0,20. (180 x) = 72

Resolviendo se obtiene: 36 = 72 que es un absurdo.

En este caso, el problema no tiene solución. Gráficamente:

El sistema de ecuaciones lineales es inconsistente y gráficamente representa dos rectas paralelas.

Si bien se han analizado distintas situaciones que se modelan con un sistema de ecuaciones lineales de dos

ecuaciones y con dos incógnitas, un gran número de ellas requiere la definición de más variables y más

ecuaciones para ser modelado y por lo tanto se necesitarán métodos de resolución más adecuados para estos

casos. Dichos métodos requieren el conocimiento de nuevos conceptos que se presentarán a lo largo de este

material.

Situación 5

En una residencia de estudiantes se compran semanalmente 110 barras de cereales de distintos sabores: frutal,

chocolate con leche y con almendras. El presupuesto destinado para esta compra es de $540, siendo el precio

de cada cereal de $4 el frutal, $5 el de chocolate con leche y $6 el de almendras. Conocidos los gustos de los

estudiante, se sabe que entre barras de chocolate con leche y los que contienen almendras se han de comprar

el 20% más que de los frutales. ¿Cuántas barras de cereales de cada sabor se compran por semana?

Solución del Problema:

Se debe determinar la cantidad de cereales de cada sabor que se compran por semana. Por lo tanto este

problema necesita definir tres variables: x1, x2 y x3

x1 : Cantidad de barras de cereales frutales que se compran por semana

x2 : Cantidad de barras de chocolate con leche que se compran por semana

x3 : Cantidad de barras de cereales con almendras que se compran por semana


54

De acuerdo a la información dada, el modelo que representa la situación 4 es:

{

𝑥1 + 𝑥2 + 𝑥3 = 1104𝑥1 + 5𝑥2 + 6𝑥3 = 54012𝑥1 − 10𝑥2 − 10𝑥3 = 0

Como se puede observar, a diferencia de las situaciones anteriores, este sistema contiene tres ecuaciones y tres

incógnitas. Si bien es posible resolver este sistema por el método de sustitución, cuantas más variables contenga

el sistema, más tedioso resulta este método. Por esta razón se incorporarán nuevos método de resolución, cuya

principal característica es trabajar sólo con los coeficientes y términos independientes del mismo.

Sistemas de m ecuaciones lineales con n incógnitas

Sean m, n números naturales. Un sistema de m ecuaciones lineales con n incógnitas es un conjunto de m

ecuaciones lineales con n incógnitas que se indica:

S:

mnmn3m32m21m1

3n3n333232131

2n2n323222121

1n1n313212111

bxa...xaxaxa

..........................................................

bxa...xaxaxa

bxa...xaxaxa

bxa...xaxaxa

donde a11, a12,....., a1n son los coeficientes de la primera ecuación; a21, a22, .......,a2n son los coeficientes de la

segunda ecuación y am1, am2,......, amn los coeficientes de la última ecuación. Las letras x1, x2,....xn son las

incógnitas y b1, b2,......, bm los términos independientes.

Un sistema de m ecuaciones con n incógnitas se dice que es de orden mxn

Solución de un sistema de m ecuaciones lineales con n incógnitas

Se llama solución del sistema de m ecuaciones lineales con n incógnitas a toda n-upla (t1, t2,..., tn) de números

reales que es solución de todas las ecuaciones del sistema. El conjunto de las soluciones del sistema se denomina

Conjunto Solución

En símbolos: Conjunto Solución = CS = {(t1, t2,..., tn) con ti R con i = 1,…,n}

Clasificación de los sistemas de ecuaciones lineales

Un sistema de m ecuaciones lineales con n incógnitas es compatible o consistente cuando tiene al menos una

solución. Si no tiene solución es incompatible o inconsistente.

Los sistemas de ecuaciones lineales compatibles pueden tener una o infinitas soluciones.


55

Si un sistema de ecuaciones lineales tiene:

Única solución se denomina determinado

Infinitas soluciones se llama indeterminado.

Interpretación Gráfica para el caso de sistemas de orden 3x3

Al abordar el tema. FUNCIONES, se analizó que las funciones lineales de tres variables, dos de ellas

independientes, se representan en el espacio tridimensional mediante planos.

Estas representaciones gráficas permiten interpretar gráficamente la solución de los sistemas de ecuaciones

lineales de tres incógnitas, como se muestra a continuación:

Si el sistema de ecuaciones tiene solución única la gráfica se ve como:

En los sistemas compatibles indeteminados puede ocurrir:

En los sistemas incompatibles se pueden presentar situaciones gráficas que son:


56

Ejemplo: Verifica que S={(-1,0,2)} es el conjunto solución del sistema:

S={

2x − y + z = 0x + 2y − z = −33x + y − 2z = −7

Para comprobar que la solución es única, no hay otra, se recurre a la interpretación gráfica de la solución del

sistema que muestra que cada una de las ecuaciones lineales que conforman el sistema representa un plano

en el espacio y que los tres planos se cortan en un punto:

Método de resolución de Sistemas de ecuaciones lineales: Eliminación de Gauss

El método de eliminación de Gauss permite resolver sistemas de ecuaciones trabajando sólo con los coeficientes

y términos independientes del mismo, sin las variables. Previamente, se introducirán conceptos necesarios para

la comprensión de este método.

Para el caso del sistema de la situación 5:

{

𝑥1 + 𝑥2 + 𝑥3 = 1104𝑥1 + 5𝑥2 + 6𝑥3 = 54012𝑥1 − 10𝑥2 − 10𝑥3 = 0


57

Se organizan los coeficientes y términos independientes empleando una disposición matricial con el objeto de

resolver el sistema aplicando operaciones elementales sobre dicha matriz.

(1 1 1 1104 5 6 54012 −10 −10 0

)

Operaciones elementales y forma escalonada de una matriz

Se presentarán operaciones que se efectúan entre las filas de una matriz que conducirán, a posteriori, a

describir el método de eliminación de Gauss para resolver sistemas de ecuaciones.

Una operación elemental de fila (a veces llamada sólo operación de fila u operación de renglón) en una matriz

A, es cualquiera de los tres tipos de operaciones:

i) Intercambio de dos filas.

ii) Reemplazo de una fila por un múltiplo escalar no nulo de ella.

iii) Reemplazo de una fila por la suma entre ella y un múltiplo escalar de otra.

Para indicar estas operaciones elementales usaremos la siguiente notación.

i) Fi Fj intercambiar las filas i y j

ii) Fi c . Fi reemplazar la fila i por la fila i previamente multiplicada por el número real c ; c 0.

iii) Fj Fj + c. Fi reemplazar la fila j por la la fila j más la fila i multiplicada por una constante c.

Estas operaciones elementales también pueden aplicarse sobre las ecuaciones del sistema. Al aplicarlas se

generan sistemas de ecuaciones equivalentes al original, es decir sistemas que admiten la misma solución que

el dado.

En el siguiente cuadro comparativo se muestra cómo se aplican las operaciones elementales, indistintamente

sobre las ecuaciones del sistema o sobre las filas de la matriz que se obtiene del sistema.

Intercambio de ecuaciones o de filas

Con ecuaciones 1 2

1 2

2 3

0

x x

x x

E1E2

3xx2

0xx

21

21 Con matrices2 1 3

1 1 0

F1F2

1 1 0

2 1 3

Multiplicación de una ecuación, o fila, por un escalar distinto de cero

Con ecuaciones 1 2

1 2

2 3

0

x x

x x

E1 E1.(2)

1 2

1 2

4 2 6

0

x x

x x

Con matrices (2 11 −1

| 3| 0

) → (4 −21 −1

| 3| 0

)

F1 F1(2)

Sustitución de una ecuación, o fila, por la suma entre esta y un múltiplo de otra

Con ecuaciones 1 2

1 2

2 3

0

x x

x x

E1 E1 + E2.(-4)

0

352

21

21

xx

xx

Con matrices 2 1 3

1 1 0

2 5 3

1 1 0

F1 F1 + F2.(-4)


58

Estas operaciones elementales deben aplicarse estratégicamente en la resolución de un sistema de ecuaciones.

Es decir generando sistemas equivalentes al original pero más simples de resolver, esto se logra transformando

algunos de los coeficientes de las variables en ceros como se muestra a continuación:

Caso particular: cómo obtener un cero como coeficiente de alguna variable en una ecuación

Con ecuaciones

0xx

3xx2

21

22 E1E2

3xx2

0xx

21

21

E2 E2 E1.(-2)+E2 1 2

1 2

0

0 3 3

x x

x x

Con matrices2 1 3

1 1 0

F1F2

1 1 0

2 1 3

F2 F1.(-2)+F2 1 1 0

0 3 3

En términos formales, las operaciones de renglón serán utilizadas con el objetivo de obtener a partir de la matriz

del sistema otra matriz denominada “Forma Escalonada por renglones o Forma de Gauss” de una matriz.

Forma Escalonada por Renglones o Forma de Gauss

Una matriz de orden mxn, se encuentra en la Forma Escalonada por Renglones o Forma de Gauss si se cumplen

las siguientes condiciones:

1- Todas las filas nulas, que son las tienen todos sus elementos iguales a cero, si las hay, aparecen en la parte

inferior de la matriz. Es decir, si existen filas nulas, éstas son las últimas filas de la matriz.

2- El primer número distinto de cero a partir de la izquierda en cualquier fila no nula es 1.

3- Si dos filas sucesivas son diferentes de cero, entonces el primer 1 en la fila inferior aparece más hacia la

derecha que el primer 1 de la fila superior.

4- El número de ceros (que están antes que el 1, desde la izquierda) de la fila inferior es mayor que el número

de ceros de la fila superior.

Ejemplo

Sea M=

3111

0111

5012

una matriz, aplicando operaciones elementales entre filas, podemos obtener una

Forma Escalonada por Renglones de la matriz M.

3111

0111

5012

F1 F3

5012

0111

3111

F2F2 + F1

5012

3020

3111

F3 F3 + 2F1


59

1210

3020

3111

F2 F3

3020

1210

3111

F3 F3+(2)F2

1400

1210

3111

F3(1/4)F3

4/1100

1210

3111

Finalmente, la matriz F =

4/1100

1210

3111

es una Forma Escalonada por Renglones de la matriz M.

Las matrices que se dan a continuación están en la Forma Escalonada por Renglones

A =

1000

1110

0201

, B =

0000

2110

5321

y C =

2100

1301

Forma escalonada por renglones reducida (o Forma de Gauss-Jordan)

Una matriz de orden mxn se encuentra en la Forma Escalonada por Renglones Reducida o en la Forma de

Gauss – Jordan si a las tres condiciones de la definición anterior le agregamos la siguiente:

5- Cualquier columna que contenga el primer 1 de un renglón no nulo tiene ceros en las demás posiciones.

Ejemplo

Estas matrices están en la Forma de Gauss - Jordan:

A =

100

010

001

; B =

1000

0010

0001

; C =

0000

2110

5301

; D =

2100

1001

En la Forma Escalonada por Renglones, todos los números situados debajo del primer 1 de una fila de cero son

ceros. En la Forma Escalonada por Renglones Reducida, todos los números situados arriba y abajo del primer 1

de una fila diferente de cero son ceros.

Si una matriz está en la Forma Escalonada por Renglones Reducida entonces

está en la Forma Escalonada por Renglones

¿Es es cierta la proposición recíproca de la anterior? ¿Por qué?

La Forma Escalonada por Renglones o Forma de Gauss de una matriz no es única

Ejemplo


60

Sea A =

1113

1121

2222

. Para obtener una Forma Escalonada por Renglones, podemos realizar las siguientes

operaciones elementales, que no son las únicas

1113

1121

2222

F1 2

1 F1

1113

1121

1111

F3 F3 + (3)F1

2220

1121

1111

F2 F2 + (1)F1

2220

2210

1111

F3 2

1 F3

1110

2210

1111

F3F3+(1)F2

3300

2210

1111

F3 3

1F3

1100

2210

1111

La matriz B =

1100

2210

1111

es una Forma Escalonada por Renglones de la matriz A.

Análogamente se puede obtener otra Forma Escalonada por Renglones de la matriz A realizando otras

operaciones elementales de renglón.

A =

1113

1121

2222

F2 F1

1113

2222

1121

F2 F2 +(-2)F1, F3 F3 + (-3)F1

4450

4420

1121

F3 F2

4420

4450

1121

F2 f2.(-1/5)

4420

5/45/410

1121

F3 2F2 + F3

5/125/1200

5/45/410

1121

F3 F3.(5/12)

1100

5/45/410

1121

La matriz C =

1100

5/45/410

1121

es otra Forma Escalonada por Renglones de la matriz A.

La Forma Escalonada por Renglones Reducida o Forma de Gauss – Jordan de una matriz es única

Ejemplo

Dada la matriz A =

111

442 . Para obtener la Forma Escalonada por Renglones Reducida o Forma de Gauss-

Jordan, se pueden realizar las siguientes operaciones elementales:


61

111

442 F1(1/2)F1

111

221 F2 F2 +(1)F1

110

221 F2 (1)F2

110

221F1 F1 + (2)F2

110

001

La matriz B =

110

001 es la Forma Escalonada por Renglones Reducida de la matriz A.

Asimismo se puede obtener la matriz B =

110

001 realizando otras operaciones elementales entre las filas de

la matriz A, por ejemplo:

A=

111

442 F1 F2

442

111 F2 F2 + (2)F1

220

111

F2 (1/2)F2

110

111 F1 F1 + (1)F2

110

001 , que es la misma matriz obtenida anteriormente y resulta

ser la única Forma Escalonada por Renglones Reducida de la matriz A.

Resolución del sistema de la situación 5 mediante el método de Gauss:

Aplicar el método de Eliminación de Gauss consiste en transformar la matriz del sistema en una matriz

escalonada por renglones o escalonada reducida por renglones como se muestra a continuación.

El sistema que modeliza la situación 5 es:

{

𝑥1 + 𝑥2 + 𝑥3 = 1104𝑥1 + 5𝑥2 + 6𝑥3 = 54012𝑥1 − 10𝑥2 − 10𝑥3 = 0

La matriz que se genera a partir del sistema es:

(1 1 1 1104 5 6 54012 −10 −10 0

)

Esta matriz se denomina Matriz Ampliada del sistema y las siguientes son las matrices de coeficientes y la matriz

de términos independientes del sistema:

(1 1 1 4 5 6 12 −10 −10

) (1105400

)

Se transformará la matriz ampliada en una matriz escalonada o escalonada reducida con la finalidad de generar

una sistema de ecuaciones equivalente al dado pero más sencillo de resolver.


62

(1 1 1 1104 5 6 540

12 −10 −10 0 )

(1 1 1 1100 1 2 1000 −22 −22 − 1320

)

F2 F1( -4) + F2

F3 F1( -12) + F3

(1 0 −1 100 1 2 1000 0 22 880

)

F1 F2( -1) + F1

F3 F2( 22) + F3

(1 0 −1 100 1 2 1000 0 1 40

)

F3 F3( 1/22)

(1 0 0 500 1 0 200 0 1 40

)

F1 F3( 1) + F1

F2 F3( -2) + F2

Como se puede observar la forma escalonada reducida de la matriz ampliada del sistema es:

(1 0 0 500 1 0 200 0 1 40

)

Y por lo tanto el sistema de ecuaciones que se obtiene es:

{ 𝑥1 = 50𝑥2 = 20𝑥3 = 40

Este último sistema es equivalente al dado:

Por lo tanto ambos admiten la misma solución: (50; 20; 40)

La respuesta del problema que se modelizó con el sistema de ecuaciones que se acaba de resolver es:

Por semana se compran 50 barras de cereal de sabor frutal, 20 de chocolate con leche y 40 barras de cereal

que contienen almendras.

Rango de una matriz

Sea A una matriz y E cualquier Forma Escalonada por Renglones o forma Gauss de A. El número de filas

diferentes de cero es el mismo en cualquier Forma Escalonada por Renglones de A y coincide con el número de

filas diferentes de cero de la única Forma Escalonada por Renglones Reducida de A o forma Gauss-Jordan. Este

número juega un papel fundamental en gran parte del Álgebra Lineal, y por lo tanto, se le da un nombre especial:


63

Se denomina rango de una matriz A y se indica r(A) al número de filas diferentes de cero

de cualquier Forma de Gauss o Gauss - Jordan de la matriz A

Ejemplo

Sea M =

433

211

642

Para determinar su rango se debe obtener una Forma Escalonada por Renglones o su Forma Escalonada por

Renglones Reducida de M aplicando operaciones elementales entre filas; de esta manera:

M =

433

211

642

433

211

321

530

530

321

000

530

321

000

3/510

321

El rango de M es 2 y se indica r(M) = 2.

Ejemplo

Las matrices A =

1000

1110

0201

, B =

0000

2110

5321

y C

10

11 son Formas Escalonadas por Renglones de

tres matrices cuyas definiciones desconocemos. Los rangos de estas matrices desconocidas, cuyas Formas

Escalonadas por Renglones son las matrices A, B y C son 3, 2 y 2, respectivamente.

Teorema del Rango

Los conceptos de rango, conjunto solución y número de ecuaciones están íntimamente ligados como muestra

el próximo teorema.

TEOREMA: Sean S un sistema de m ecuaciones lineales con n incógnitas y siendo A y A´ las matrices de

coeficientes y ampliada del sistema S y r(A) y r(A´) los rangos de la matriz de coeficientes y de la matriz ampliada,

respectivamente.

Entonces se cumple una de las siguientes proposiciones:

S es incompatible r(A´) > r(A)

S es compatible determinado r(A´) = r(A) y r(A´) = n

S es compatible indeterminado r(A´) = r(A) y r(A´) < n

Un sistema de ecuaciones lineales tiene solución única si y solo si el rango de la matriz de coeficientes y

el rango de la matriz ampliada son iguales y estos rangos iguales coinciden con el número de incógnitas.

Un sistema de ecuaciones lineales tiene infinitas soluciones si y solo si los rangos son iguales y menores

que el número de incógnitas.

La diferencia n r(A) indica la cantidad de incógnitas que asumen valores reales arbitrarios.

Un sistema de ecuaciones lineales no admite solución si y solo si los rangos son distintos.


64

Ejemplos

1- Para el sistema de la situación 5:

La forma escalonada reducida de la matriz del sistema resultó:

(1 0 0 500 1 0 200 0 1 40

)

Donde r(A) =3=r(A´) por lo que el sistema resulta compatible de determinada como ya se comprobó al encontrar

como única solución el punto: (50; 20; 40)

y para Escalonada por Renglones se aplican operaciones elementales:

Y se obtiene:

(1 10 10 0

|

2121

)

El sistema dado es incompatible porque los rangos de la matriz de coeficientes y de la matriz ampliada r(A) = 2

y r(A´) = 3, respectivamente, son distintos.

la Forma Escalonada por Renglones de la matriz ampliada del sistema se obtiene como sigue:

El sistema tiene infinitas soluciones porque r (A) = r (A´) = 2 y n = 4 > r = 2.

Para obtener las infinitas soluciones, la diferencia n r = 4 2 indica que dos incógnitas deben asumir valores

reales arbitrarios. Por lo tanto:

2

-

-


65

x3 = t; x4 = u t, u R ;

x2 = t4

3u

2

1

4

1

; x1 = t4

1u

2

1

4

9 .

El conjunto solución es CS = {( t4

1u

2

1

4

9 , t

4

3u

2

1

4

1

, t , u) t, u R}

Observación: Un sistema que tenga más incógnitas que ecuaciones nunca puede ser compatible determinado

ya que el rango de la matriz siempre es menor que el número de incógnitas: El rango es siempre menor o igual

que el mínimo entre el número de ecuaciones y número de incógnitas. En estos sistemas donde m < n el rango

será menor que m.

Sistemas de ecuaciones lineales homogéneos

Un sistema de ecuaciones lineales donde todos los términos independientes son nulos se llama Sistema

Homogéneo (SH).

SH:

nmnmm

nn

nn

xa...xaxa

.................................

xa...xaxa

xa...xaxa

Los sistemas lineales homogéneos siempre tienen solución pues la n-upla nula 0 = (0, 0, …, 0) siempre verifica

el sistema. Es decir que un sistema homogéneo nunca es incompatible.

Si r(A) = r(A’) = n la única solución es la nula o trivial

Si r(A) = r(A’) n el sistema tiene infinitas soluciones

Ejemplo

1- Sea el sistema homogéneo SH:

0x2xx

0x2xx2

0xx2x

321

321

321

Observación: Para resolver el sistema por el método de eliminación de Gauss conviene aplicar las operaciones

elementales trabajando con la matriz de coeficientes. No es necesario incluir la columna de términos

independientes porque siempre resultará una columna nula, cualquiera sea la operación elemental que se haga.

Lo que sigue muestra cómo la matriz A de coeficientes del sistema, mediante operaciones elementales entre

filas, se lleva a una forma escalonada:

211

212

121

330

430

121

100

430

121

100

3/410

121


66

Los rangos verifican que r(A) = r( A´) = 3 y coinciden con el número de incógnitas entonces el sistema tiene

solución única y es la solución nula (solución trivial)

Si a partir de la forma escalonada se plantea el sistema equivalente al dado se obtiene:

0

03

4

02

3

32

321

x

xx

xxx

Y la solución es CS = {(0, 0, 0)

Ejemplo

2- Para el sistema

043

0

032

21

321

321

xx

xxx

xxx

Se obtiene:

043

111

132

043

132

111

310

310

111

000

310

111

Los rangos verifican que r(A) = r(A´) = 2 y r(A) < 3, donde 3 representa el número de incógnitas entonces el

sistema tiene infinitas soluciones.

El sistema equivalente al dado es:

03

0

32

321

xx

xxx

Si x3 = t, t R; x2 = 3t y x1 = x2 x3 entonces x1 = 3t t = 4t.

El conjunto solución del sistema es CS = {(4 t, 3 t, t ) t R}

3- El sistema

zyx

zyxes homogéneo con más incógnitas que ecuaciones. Como el rango de la matriz de

coeficientes es a lo sumo 2 resultará menor que el número de incógnitas y por lo tanto es compatible

indeterminado.


67

ACTIVIDADES: SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

1- Dados los siguientes sistemas de ecuaciones lineales:

1.1)

5x3x2

2xx

21

21 1.2)

5x3x3

3x2x2

2xx

21

21

21

1.3)

132

32

231

x3xx2

x25x3

x2xx

1.4)

13

231

321

x3x3

x5x2x2

2xxx

1.5)

0z6y3x

0zy2x 1.6)

5z4yx2

1zy2x3

1.7)

0x

5xx

2x5

4x

5

2x

3

32

321

1.8)

34xx2x

12x2x3x

36xx42x

321

321

321

1.9)

40x30x15

4x3x2

3x

8x6x3x 2

32

321

321

1.10)

15x4xx2x

54xxx x

139x4x3x x2

4321

4321

4321

1.11)

02xx73x-

-1xx5x2

1x2xx

321

321

321

1.12)

23xx

1x2x

3xx

21

21

21

1.13)

321

231

132

x33xx

x5x2x2

x2xx2

+

1.14)

23

321

x15x

4x53xx

a) Determinar si son o no compatibles.

b) Si son compatibles hallar su conjunto solución.

2- Hallar X, considerando el sistema de ecuaciones AX = 5X, siendo:

A =

811

441

316

y X =

3

2

1

x

x

x


68

3- En los problemas de 1 a 16:

a) Definir las variables que intervienen.

b) Plantear el sistema de ecuaciones lineales que modela el problema.

c) Resolver el sistema, clasifícalo en compatible determinado, compatible indeterminado o incompatible y

expresar el conjunto solución.

Problema nº 1: Un granjero tiene 1200 hectáreas de tierra en los que cultiva maíz, trigo y soja. Le cuesta $45

por cada hectárea cultivar maíz, $60 por cada hectárea cultivar trigo y $50 por cada hectárea cultivar soja.

Debido a la demanda del mercado cultivará el doble de hectáreas de trigo que de maíz. Ya destinó $63750 para

los costos del cultivo de los cereales. ¿Cuántas hectáreas de cada cereal debe plantar?

Problema nº 2: En una fábrica se producen tres artículos: sillas, mesas de café y mesas para comedor los cuales

deben pasar por tres procesos lijado, pintura y barnizado. Los tiempos requeridos para fabricar una unidad de

cada artículo se muestran en la siguiente tabla:

Lijado Pintura Barnizado

Silla 10 min 6 min 12 min

Mesa de café 12 min 8 min 12 min

Mesa de comedor 15 min 12 min 18 min

Para el proceso de lijado se dispone de 16 hs por semana, para el de pintura 11 horas por semana y para

barnizado 18 hs. ¿Cuántas unidades de cada artículo deben fabricarse por semana de tal forma que se ocupen

todas las horas disponibles de los tres procesos?

Problema nº 3: Un turista que fue a Europa gastó $30 al día por hospedaje en Inglaterra, $20 al día en Francia y

$20 al día en España. Para alimento gastó $ 20, $30 y $20 respectivamente. Además por conceptos varios gastó

$10 en cada uno de los países mencionados. A su regreso su registro de viajero indicaba un total de $340 por

hospedaje, $320 por alimentos y $140 por gastos varios.

Hallar la cantidad de días que estuvo el viajero en cada país.

Problema nº 4: Una compañía produce tres artículos A, B y C que se procesan en tres máquinas, I, II y III. El

tiempo requerido en horas para el procesamiento de cada unidad de cada producto en las tres máquinas están

dados por

I II III

A 3 1 2.

B 1 2 1

C 2 4 1

La máquina I está disponible 850hs, la II durante 1200hs y la III durante 550hs. ¿Cuántas unidades de cada

artículo deben ser producidas para utilizar todo el tiempo disponible de las máquinas?.


69

Problema nº 5: Una compañía elabora tres productos que han de ser procesados en tres departamentos. En el

siguiente cuadro se resumen las horas requeridas por unidad de cada producto en cada departamento y las

capacidades semanales se expresan para cada departamento en término de las horas disponibles. Se desea

determinar cuántas unidades de cada producto se pueden elaborar de manera de aprovechar al máximo la

disponibilidad horaria semanal de los tres departamentos (A, B y C)

Producto 1 Producto 2 Producto 3 Hs disponibles

A 2 3.5 3 1200

B 3 2.5 2 1150

C 4 3 2 1400

Problema nº 6: Un inversionista posee tres grupos de acciones: A, B y C. Los precios de las acciones al cierre en

tres días comerciales consecutivos se proporcionan en la siguiente tabla:

Acciones A Acciones B Acciones C

1er día $10 $25 $29

2do día $12 $20 $32

3er día $16 $15 $32

A pesar de la volatilidad de los precios de las acciones, el valor total de las acciones del inversionista permanece

sin cambio en $74000 al final de cada uno de los tres días. ¿Cuánto posee de cada acción el inversionista?

Problema nº 7: Un granjero da de comer a su ganado una mezcla de dos tipos de alimentos. Una unidad del

alimento A proporciona a un novillo el 10% del requerimiento diario de proteínas y el 15 % del de carbohidratos.

Una unidad del alimento B proporciona a un novillo el 12 % del requerimiento diario de proteínas y el 8 % del

de carbohidratos. Si el granjero quiere alimentar a su ganado con el 100% del requerimiento diario de proteínas

y de carbohidratos ¿Cuántas unidades de cada tipo de alimento debe dar a un novillo al día

Problema nº 8: Un departamento de pesca y caza del estado proporciona tres tipos de comida a un lago que

alberga tres especies de peces. Cada pez de la especie 1 consume cada semana un promedio de 1 unidad del

alimento 1, 1 unidad del alimento 2 y 2 unidades del alimento 3. Cada pez de la especie 2 consume cada

semana un promedio de 3 unidades del alimento 1, 4 del 2 y 5 del 3. Cada pez de la especie 3 consume cada

semana un promedio de 2 unidades del alimento 1, 1 del 2 y 5 del 3. Cada semana se proporciona al lago

25000 unidades del alimento 1, 20000 del alimento 2 y 55000 del 3. Si se supone que los peces se comen todo

el alimento ¿Cuántos peces de cada especie pueden coexistir en el lago?

Problema nº 9: Un editor publica libros en tres presentaciones distintas: A, B y C las cuales deben pasar por el

proceso de cosido y pegado. Los tiempos requeridos, por unidad, en cada proceso se muestran en la siguiente

tabla:


70

A B C

Cosido 1 min 2 min 3 min

Pegado 2 min 4 min 5 min

La planta de cosido está disponible 6 hs diarias y la planta de pegado está disponible 11hs diarias.

¿Cuántas unidades de cada presentación deben fabricarse por día de tal forma que las dos plantas se

aprovechen en toda su capacidad?

Problema nº 10: Un empresario tiene tres máquinas que son empleadas en la fabricación de cuatro productos

diferentes y para utilizar plenamente las máquinas, estas estarán en operación 8 hs. diarias. El número de horas

que cada máquina es usada en la producción de una unidad de cada uno de los cuatro productos está dado por

Producto 1 Producto 2 Producto 3 Producto 4

Máquina 1 1 2 1 2

Máquina 2 2 0 1 1

Máquina 3 1 2 3 0

Determinar el número de unidades que se deben producir de cada uno de los cuatro productos en un día de 8

hs. bajo el supuesto que cada máquina se usa las 8hs completas.

Problema nº 11: A una persona le prescribieron tomar 10 unidades de vitamina A, 9 unidades de vitamina D y

19 unidades de vitamina E diariamente. La persona puede elegir entre tres marcas de píldoras. La marca X

contiene 2 unidades de vitamina A, 3 de vitamina D y 5 de vitamina E, la marca Y tiene 1,3 y 4 unidades,

respectivamente y la marca Z contiene 1 de A, ninguna de D y 1 de E.

a) Encuentrar todas las combinaciones posibles de marcas de píldoras que proporcionen las cantidades

requeridas.

b) Si el precio de venta de las píldoras de la marca X es de 1ctvo cada una, de la marca Y es de 6 ctvos y de la Z

es de 3 ctvos ¿Existe una combinación de las halladas en A que cueste 15 ctvos por día?

c) ¿Cuál es la combinación más económica? ¿Cuál es la combinación más cara?

Problema nº 12:

Una compañía de elabora tres productos A, B y C, para los cuales se necesita para fabricarlos tres tipos de

materias primas: M1, M2 y M3. La siguiente tabla muestra los requerimientos de cada producto por unidad:

Producto A Producto B Producto C

M1 12 20 32

M2 16 12 28

M3 8 28 36


71

a) Suponiendo que la compañía dispone de 220 unidades de la materia prima de tipo M1, 176 de tipo M2 y

264 de tipo M3.

Determinar las posibles combinaciones de unidades A, B y C que satisfagan las disponibilidades de la

compañía.

b) Suponiendo que cada unidad A tiene un costo de $300, el de tipo B $400 y el de tipo C $600. ¿Cuál es la

combinación más económica?

Problema nº 13: El tesorero de un club invirtió $5000 de los ahorros en tres cuentas distintas, a intereses

anuales del 8, 9 y 10%.El dinero obtenido en un año por los interese fue $460. La cantidad ganada por el

depósito al 10% fue $20 más que la que ganó al 9%. ¿Cuánto dinero invirtió en cada tasa de interés?

Problema nº 14: Un inversionista tiene $100000 para invertir en tres tipos de bonos: corto plazo, mediano plazo

y largo plazo. Si los bonos a corto plazo dan un rendimiento de un 4% anual, los de mediano plazo un 5% y los

de largo un 6%. ¿Qué cantidad de dinero en bonos de cada tipo debe invertir si quiere obtener un rendimiento

anual total de 5,1% con cantidades iguales de bonos de corto plazo y de mediano plazo?

Problema nº 15: Por un rotulador, un cuaderno y una carpeta se pagan $33. Se sabe que el precio del cuaderno

es la mitad del precio del rotulador y que, el precio de la carpeta es igual al precio del cuaderno más el 20% del

precio del rotulador.

a) Calcular los precios que marcaba cada uno de los útiles.

b) Si sobre esos precios se ha hecho el 10% de descuento. ¿Cuáles son los nuevos precios?

Problema nº 16: En una reunión hay 22 personas, entre hombres, mujeres y niños. El doble del número de

mujeres más el triple del número de niños, es igual al doble del número de hombres.

a) Con estos datos, ¿se puede determinar exactamente el número de hombres que hay? Justifica.

b) Si además se sabe que el número de hombres es el doble del de mujeres, ¿cuántos hombres, mujeres y niños

hay?

RESPUESTAS ACTIVIDADES: SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

1. 1.1) compatible determinado (x1, x2 ) = (1; 1);

1.2) incompatible

1.3) compatible indeterminado ( x1, x2, x3) = (1/3 (1/3)t, 5/3 (2/3)t, t) t R

1.4) compatible indeterminado

( x1, x2, x3) = ( 3 3t, 1 + 4t, t) t R.

1.5) compatible indeterminado (x,y,z) = (-3t, t, t) t R.


(x,y,z) = (9/7-9/7t, -17/7++10/7t,t) t R

1.7) compatible determinado ( x1 , x2 , x3 ) = ( 0, 5, 0 )

1.8) compatible determinado ( x1 , x2 ,x3 ) = ( 1/2, 1/4, 1/2 )


72


( x1 , x2 ,x3 ) = ( 86t; 8/3 2t; t ) t R


( x1 , x2 ,x3 , x4) = ( r 3s +2, 2r + s 3, r, s ) r, s R

1.11) compatible indeterminado ( x1, x2, x3 ) = ( 7 3t, 3 t, t) t R.

1.12) incompatible.

1.13) compatible determinado

( x1, x2, x3) = (0, 9/5, 8/5)


( x1, x2, x3 ) = ( 2 19t, 1 + 5t, t ) t R.

2) compatible indeterminado (x, y, z) = (t, t, 0) t R.

3) Problemas:

3.1. x: número de hectáreas que debe plantar de maíz

y: número de hectáreas que debe plantar de trigo

z: número de hectáreas que debe plantar de soja

x2y

63750z50y60x45

1200zyx

Sistema compatible determinado

Se deben plantar 250 hectáreas de maíz, 500 de trigo y 450 de soja

3.2. x: número de sillas

y: número de mesas de café

z: número de mesas de comedor

1080z18y12x12

660z12y8x6

960z15y12x10


Se deben fabricar: 30 sillas, 30 mesas de café y 20 mesas de comedor

3.3. x: número de días que estuvo en Inglaterra

y: número de días que estuvo en Francia

z: número de días que estuvo en España

140z10y10x10

320z20y30x20

340z20y20x30


Estuvo: 6 días en Inglaterra , 4 es Francia y 4 en España


73

3.4. x: número de unidades del artículo A

y: número de unidades del artículo B

z: número de unidades del artículo C

550zyx2

1200z4y2x

850z2yx3


Debe producir: 100 unidades del artículo A, 150 de B y 200 de C

3.5. x: número de unidades a elaborar del Producto 1

y: número de unidades a elaborar el Producto 2

z: número de unidades a elaborar del Producto 3


1400z2y3x4

1150z2y5.2x3

1200z3y5.3x2

Se debe elaborar: 200 unidades del Producto 1, 100 unidades del Producto 2 y 150 unidades del Producto 3

3.6. x: número de acciones de tipo A

y: número de acciones de tipo B

z: número de de acciones de tipo C

74000z32y15x16

74000z32y20x12

74000z29y25x10


El inversionista tiene: 1500 acciones de tipo A; 1200 acciones de tipo B; 1000 acciones de tipo C

3.7. x: número de unidades del alimento de tipo A

y: número de unidades del alimento de tipo B

1y08.0x15.0

1y12.0x10.0


Se le debe dar al novillo por día: 4 unidades de alimento de tipo A y 5 unidades de alimento de tipo B

3.8. x: cantidad de peces de la especie 1

y: cantidad de peces de la especie 2

z: cantidad de peces de la especie 3


74

55000z5y5x2

20000zy4x

25000z2y3x

Sistema compatible indeterminado

(x1,x2,x3) = (40000-5x3, x3-5000,x3) 5000 x3 8000

3.9. . x: número de libros con presentación de tipo A

y: número de libros con presentación de tipo B

z: número de libros con presentación de tipo C

660z5y4x2

360z3y2x

Sistema compatible indeterminado

(x, y, z)= (180-2t, t,60) t 90 t N0

3.10. . x: número de unidades del Producto P1

y: número de unidades del Producto P2

z: número de unidades del Producto P3

w: número de unidades del Producto P4

8z3y2x

8wzx2

8w2zy2x

Sistema compatible indeterminado (sólo algunas soluciones verifican las condiciones del problema)

Las posibles soluciones son:

4 unidades del P1, 2 unidades del P2, 0 unidades del P3 y 0 unidades deP4

3 unidades del P1, 1 unidades del P2, 1 unidad del P3 y 1 unidad de P4

2 unidades del P1, 0 unidades del P2, 2 unidades del P3 y 2 unidades deP4

3.11 x: cantidad de píldoras de la marca X

y: cantidad de píldoras de la marca Y

z: cantidad de píldoras de la marca Z

19zy4x5

9y3x3

10zyx2



a) 3 píldoras de la marca X, 0 de Y , 4 de Z

2 píldoras de la marca X, 1 de Y , 5 de Z

1 píldora de la marca X, 2 de Y , 6 de Z



75

b) 3 píldoras de la marca X, 0 de Y , 4 de Z

c) 3 píldoras de la marca de X, 0 de Y , 4 de Z


3.12. x: cantidad de unidades del producto A

y: cantidad de unidades del producto B

z: cantidad de unidades del producto C

264z36y28x8

176z28y12x16

220z32y20x12



a) 5 unidades de A, 8 de B y 0 de C

4 unidades de A, 7 de B y 1 de C





b) 0 unidades de A, 3 de B y 5 de C

3.13. x: cantidad de dinero que se invirtió a un interés anual del 8%

y: cantidad de dinero que se invirtió a un interés anual del 9%

z: cantidad de dinero que se invirtió a un interés anual del 10%

5000

0.08 0.09 0.10 460

0.10 0.09 20

x y z

x y z

z y


Se invirtió: $1000 al 8%, $2000 al 9%, $2000 al 10%

3.14. x: cantidad de dinero invertido en bonos a corto plazo,

y: cantidad de dinero invertido en bonos a mediano plazo

z: cantidad de dinero invertido en bonos a largo plazo

yx

5100z06.0y05.0x04.0

100000zyx


Debe invertir: $30000 en bonos a corto plazo, $30000 en bonos a mediano plazo y $40000 en bonos a largo

plazo.


76

3.15. a) x: precio del rotulador

y. precio del cuaderno

z: precio de la carpeta

x20.0yz

x2

1y

33zyx

El precio del rotulador es $ 15, del cuaderno es $7.50 y de la carpeta es $10.50

b) El nuevo precio del rotulador es $ 13.50, del cuaderno es $6.75 y de la carpeta es $9.45

3.16.

h: número de hombres

m: número de mujeres

n: número de niños

a)

h2n3m2

22nmh

No se puede saber cuántos hombres hay exactamente en la reunión porque el sistema no tiene una única

solución.

b)

m2h

h2n3m2

22nmh

El nuevo sistema es compatible determinado. En la reunión hay 12 hombres, 6 mujeres y 4 niños


77

Otra estrategia para resolver sistemas de ecuaciones: Regla de Cramer

Se introducirá un nuevo método para resolver sistemas de ecuaciones lineales válidos para aquellos sistemas

en los que la matriz de coeficientes en cuadrada, de orden nxn y con rango n. Dicho método se conoce con la

denominación de “Regla de Cramer”. Previamente se presentarán conceptos que permitirán comprender este

nuevo método.

DETERMINANTE. Concepto

Determinante es una función que teniendo como dominio el conjunto de matrices cuadradas Mnxn y como

conjunto de salida el conjunto de los números reales hace corresponder a cada matriz A de orden nxn un

número real llamado también determinante

En símbolos: det: Mnxn R / det (A) = a, a R

Métodos para calcular determinantes:

Determinantes de matrices de orden 2x2

Si A =

2221

1211

aa

aade orden 2x2. El determinante de la matriz A, det A o |A|, es el nro. Real que se obtiene al

resolver la sustracción entre el producto de los elementos de la diagonal principal y el producto de los elementos

de la diagonal secundaria.

Esto es det (A) = a11a22 a21 a12.

A = aa

aa

2221

1211 = a11a22 a21 a12

Ejemplo

Si A =

31

42 entonces det A = 2.3 4.(1)= 10

Método para calcular determinantes de matrices de orden nxn: Desarrollo por cofactores

El cálculo de determinantes mediante el desarrollo por cofactores requiere del conocimiento de los siguientes

conceptos previos:

Concepto de Menor: Sea A una matriz de orden nxn y Mij la matriz de orden (n–1) x (n–1) obtenida de la matriz

A que se obtiene de eliminar la fila i y la columna j de la matriz A, la matriz M ij se llama ij-ésimo Menor de la

matriz A.


78

Ejemplo: Calcular los menores M13 y M32 de una matriz A de orden 3 x 3.

Si A =

433

7110

514

eliminando fila 1 y columna 3 obtenemos M13 =

33

110

y suprimiendo fila 3 y columna 2 resulta M32 =

710

54

Ejemplo:

Sea A =

72274

29251

33272

615310

. Eliminando la tercera fila y la segunda columna de la matriz A obtenemos el Menor

M32 =

724

332

61510

Concepto de Cofactor: Si A es una matriz de orden nxn, el ij-ésimo cofactor de A denotado Aij se define como:

Aij = (–1 )i + j . jiM

Se observa que que si i+j es par la potencia (1)i+j su resultado 1 y si i+j es impar, su resultado es 1, es decir,

(–1 )i+j =

mpariesjisi1

paresjisi1

Ejemplo:

El cofactor A32 correspondiente a la matriz A=

72274

29251

33272

615310

es:

72-

724

332

61510

- M (-1)A 3223

32

Cálculo de determinantes mediante el desarrollo de cofactores

Si la matriz cuadrada A =

nn2n1n

n22221

n11211

a ....a a

..........

..........

a ....a a

a ....a a

det (A) = a 11 A11 + a12 A12 + a13 A13 + ..... + a1n A1n


79

A la expresión del lado derecho de la igualdad la llamaremos desarrollo del determinante de la matriz A

mediante los cofactores de la primera fila. Desarrollándola se obtiene:

Si A =

333231

232221

131211

aaa

aaa

aaa

obtenemos que A a11 A11 + a12 A12 + a13 A 13

= (1)1+1a11 aa

aa

3332

2322 +(1)1+2 a12 aa

aa

3331

2321 + (1)1+3 a13 3231

2221

aa

aa

= a11(a22 a33 a23 a32 ) a 12 (a21 a33 a23 a31) + a13 (a21a32 a22 a31)

La ventaja de este método es que permite calcular determinantes de una matriz de orden nxn a partir de

determinantes de una matriz de orden menor, (n-1)x(n-1)

Observación: Si bien el determinante de la matriz se ha planteado desarrollando la primer fila, el valor del

mismo no cambia si se selecciona cualquier otra fila o columna. Siempre conviene seleccionar la que más ceros

tenga.

Ejemplo: Calcular el determinante de una matriz de orden 3x3 implica calcular determinantes de orden 2x2.

Si A =

947

224

251

luego, det A = a11 A11 + a12 A12 + a13 A 13 =

= (1)1+1.1 94

22 +(1)1+2.(5)

97

24

+ (1)1+3 . 2 47

24

=

= 10 + 5. 50 + 2. 30 = 320


80

RESOLUCIÓN DE SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES MEDIANTE DETERMINANTES: Regla de Cramer

La regla de Cramer ofrece un método, aplicando determinantes, para resolver un sistema de ecuaciones lineales

de la forma AX = B donde A es la matriz de coeficientes del sistema de orden nxn, X la matriz de las incógnitas

de orden nx1 y B la matriz de los términos independientes de orden nx1.

El valor de la variable j-ésima, se obtiene calculando: A

Ajx j siendo A 0

Aj es el determinante de la matriz Aj que se obtiene a partir de la matriz A reemplazando la columna j-ésima

por la columna de los términos independientes. Nótese que la matriz A debe ser regular.

Genéricamente en un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas:

2222121

1212111

bxaxa

bxaxa cuya forma matricial

es: AX=B , donde A =

2221

1211

aa

aa es la matriz de coeficientes y

2

1

b

bB la columna de los términos

independientes, con A 0

Como A 0 el sistema tiene única solución y los valores de las dos incógnitas son:

2221

1211

222

121

1

aa

aa

ab

ab

x

2221

1211

221

111

2

aa

aa

ba

ba

x

Si det A = 0, el sistema AX = B es compatible indeterminado o incompatible y en estos casos es necesario recurrir

a otros métodos como el de eliminación de Gauss para resolverlos.

Ejemplo:

14x5x4

5x2x

21

21 3

54

21A 0

13

3

54

21

514

25

x1

2

3

6

54

21

144

51

x 2

Solución (x1,x2) = (1,2)


81

ACTIVIDADES: DETERMINANTES

1- Dada la matriz A =

201

325

514

.Calcular M13, M32, A32, A23 y det A.

2- Si A =

21x0

11x

11x0

y x R, expresar el det A en función de x.

3- Si existe, hallar el valor de kR para que el determinante de la matriz A =

k04

k20

11k

sea cero.

4- Resolver las siguientes ecuaciones en la variable x R:

a) 32xx

13x

= 3/2 b)

14

1611

x2

012

12x

101-

0x1

c) 3 x1

2x + 2

1x

xx x = 0 d) 26

x77

2x

e) 60

1x00

99x0

x2x3

5- Considerando la matriz X =

02

11calcular el determinante de la matriz que se obtiene al resolver:

X2 2X + 3I

6- Resolver los siguientes sistemas de ecuaciones aplicando la Regla de Cramer

a)

8y2x

9y2x b)

1y23x

3y6x

c)

02

113

02

yx

zx

zyx

d)

074

102

453

yx

zx

zy

Respuestas Actividades: Determinantes

1. M13 =

01

25 ; M32 =

35

54 ; A32 = 13 ; A23 = 1 ; det A = 13

2. det A = x2 + 3x.

3. No existe ningún valor real que anule el determinante.

4. a) x = 6

1 , x = 2

3 b) x = 4 x = 5 c) x = 2, x = 3

d) x = 3, x = 4. e) x = 4 x = 5

5. El valor del determinante es 2

6. a) (x,y) = (-2,5 ) b) (x,y) = (0.6 ,-0.4 )

c) (x,y,z) = ( 4, 2 ,-1 )

d) (x,y,z) = ( 189/29, -108/29 ,88/29)


82

BLOQUE 3

CRIPTOGRAFIA

ECUACIONES MATRICIALES

TEOREMA INTEGRADOR


83

LAS MATRICES Y LOS MENSAJES SECRETOS

CRIPTOGRAFÍA

La Criptografía es la ciencia que se encarga de diseñar métodos para mantener confidencial a la información

que es enviada por un medio inseguro.

Casi todos los medios de comunicación son inseguros, es decir, un espía siempre puede intervenir una

comunicación, y en tal caso conocer su contenido, borrar el contenido, etc.

La Criptografía es un algoritmo de cifrado con una clave que permite que el emisor de un mensaje pueda estar

seguro que éste sea confidencial y sólo el receptor autorizado pueda saber el contenido aplicando un proceso

de método de descifrado con su respectiva clave.

La criptografía tiene una amplia historia y ha existido desde los inicios de la civilización.

Para resolver problemas de criptografía es necesario introducir el concepto de matriz inversa.

Matriz Inversa de una matriz cuadrada

Se denomina inversa de una matriz A de orden nxn , a una matriz C de orden nxn para la cual se verifica:

A C = C A = I

Si existe tal matriz C, A es inversible o invertible o no singular o regular y se indica C= A-1

Ejemplos

1- Dada A =

21

01 , se analizará si A tiene inversa. Para ello se recurre a la definición y por lo tanto la

estrategia consiste en buscar una matriz C =

wz

yx que satisfaga A C = C A = I.

Como AC=

2w-y2z-x

yx , por definición se debe cumplir:

2w-y2z-x

yx =

10

01

Aplicando el concepto de matrices iguales se genera un sistema de ecuaciones lineales:

12wy

02zx

0y

1x

Resolviendo el sistema de ecuaciones, la matriz C =

2/12/1

01


84

Planteando la igualdad C A = I:

10

01

2wwz

2yyxAC

Nuevamente se obtiene un sistema de ecuaciones lineales:

12w

0 wz

02y

1 yx

que permite obtener C =

2/12/1

01 ; luego, es posible asegurar que la matriz C es la inversa de la matriz A

pues AC = CA = I

2- Sea 1 4

C1/ 2 2

, se analizará si existe una matriz

wz

yxL inversa de C que satisfaga las

igualdades:

C L = L C = I

Calculando C L e igualando este producto a la matriz identidad:

22/1

41

wz

yx

=

w2y)2/1(z2x)2/1(

w4yz4x

=

10

01

Por el concepto de igualdad de matrices se obtiene el sistema de ecuaciones

12w(1/2)y

02z(1/2)x

04wy

14zx

La primera ecuación dice que x + 4 z = 1 y si multiplicando la tercera ecuación por 2: x + 4 z = 0, lo cual es un

absurdo; por lo tanto este sistema no tiene solución. De donde se concluye que la matriz C no tiene inversa.

Los ejemplos precedentes muestran que existen matrices cuadradas que tienen inversa mientras que otras

no la poseen. La condición necesaria, pero NO suficiente, para que una matriz tenga inversa es que sea cuadrada.

Método del Espejo para obtener la inversa de una matriz A de orden nxn

Este método se sustenta en la aplicación de operaciones elementales por renglón.


85

Para su aplicación se sugiere aplicar las siguientes etapas:

1) Elaborar una tabla de doble entrada y ubicar en la entrada izquierda la matriz A y en la entrada derecha la

la matriz identidad del mismo orden de A como indica el esquema (AI)

2) Aplicar operaciones elementales con el objeto de obtener una forma escalonada reducida de A. Si la forma

escalonada reducida de A, o forma Gauss-Jordan es la matriz identidad la matriz que se genera en la entrada

derecha es la matriz identidad. Es decir se debe transformar: (AI) en la forma ( I A-1)

Ejemplos:

1- Sea la matriz A = se deteminará una matriz A-1 tal que A . A-1 = A-1 A = I

Aplicando el método de espejo:

Por lo tanto: A-1 =

2- Para la matriz A =

112

201

110 se obtiene:

100

010

001

112

201

110

100

001

010

112

110

201

120

001

010

510

110

201

121

001

010

600

110

201

6/13/11/6

001

010

100

110

201

6/13/11/6

1/61/35/6

010

100

010

201

6/13/11/6

1/61/35/6

/31/311/3

100

010

001

Luego, A-1 =

6/13/11/6

1/61/35/6

1/31/31/3

3- Sea la matriz A= (1 8

1/4 2)

Aplicando el método de espejo se obtiene:

(1 80 0

1 0

−1/4 1)

Se observa que la forma escalonada reducida de A no es la matriz identidad pues se generó una fila completa

de ceros, situación que implica además que el r(A) = 1 < 2

(1 80 0

)

Luego la matriz A no tiene inversa

4 3

1 1

4 3 1 0

1 1 0 1

1 1 0 1

4 3 1 0

1 1 0 1

0 1 1 4

1 1 0 1

0 1 1 4

1 0 1 3

0 1 1 4

1 3

1 4


86

Condiciones necesarias y suficientes para la existencia de la Matriz Inversa

Una matriz A de orden nxn admite inversa si y solo si:

- su forma escalonada reducida es la matriz identidad de orden nxn o

- su rango es n: r(A) =n

ENCRIPTACIÓN Y DESENCRIPTACIÓN UN MENSAJE

Sea A una matriz de orden nxn y M un mensaje con forma de matriz de orden nxm entonces:

C = A.M

es el mensaje cifrado.

Para poder descifrar el mensaje, es necesario hallar la matriz M. Esta situación implica resolver una ECUACIÓN

MATRICIAL con incógnita M.

Para poder resolver la ecuación matricial se aplica el concepto de matriz inversa que se denota por: A-1

Luego:

C = A.M

A-1 . C = A-1 . A . M

A-1 . C = I . M

A-1 . C = M

Ejemplo: Para cifrar un mensaje se realiza un proceso que consta de las siguientes etapas:

1- Primera etapa: Proceso de preparación:

Si el mensaje original es : “HOY ES EL PRIMER DÍA”

La primera etapa consiste en CODIFICAR el mensaje con números de acuerdo a la siguiente tabla. Pero

aclaramos que se pueden utilizar otros códigos como lo haremos en otras situaciones.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 12 13

A B C D E F G H I J K L L M

14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27

N O P Q R S T U V W X Y Z -

Así, el mensaje queda codificado como:

H O Y - E S - E L - P R I M E R - D I A

8 15 25 27 5 19 27 5 12 27 16 18 9 13 5 18 27 4 9 1


87

Dada la clave A =

213

132

111

2-La segunda etapa es el: Proceso de Cifrado

Como la clave tiene orden 3x3 entonces el primer paso para cifrar el mensaje es separar este mensaje de 3 letras

en 3, completando el mensaje a un múltiplo de 3 con blancos.

25158

YOH

19527

SE

12527

LE

181627

RP

5139

EMI

42718

DR

2719

AI

El segundo paso es construir la matriz M del mensaje, colocando como columnas cada grupo de 3 letras.

M =

274518121925

12713165515

91892727278

Finalmente para obtener el mensaje cifrado realizamos el producto A .M

A. M =

213

132

111.

274518121925

12713165515

91892727278

=

26733061624811

61135284575036

19139710332

3-La tercera etapa es el: Proceso de Descifrado

Para descifrar el mensaje simplemente se realiza el producto A-1 . C= M

A-1 .C =

547

111

435.

26733061624811

61135284575036

19139710332 =

274518121925

12713165515

91892727278


88

ACTIVIDADES: CRIPTOGRAFIA para realizar en Taller

Actividad 1: El lenguaje de la CRIPTOGRAFIA

Las siguientes actividades tienen por objeto cifrar o descifrar mensajes empleando operaciones matriciales

mediante los siguientes modelos:

Mensaje cifrado o encriptado: C = A.M donde A una matriz de orden nxn y M un mensaje con forma de matriz

de orden nxm

Mensaje descifrado o desencriptado: M= A-1. C

En ambos procesos se emplearán los datos de códigos siguientes:

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

A B C D E F G H I J K L M N Ñ

16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28

O P Q R S T U V W X Y Z -

SUEÑO 29 GUITARRA 30 AUTO 31

LLUEVE 32 PELOTA 33 BICICLETA 34

SOL RADIANTE 35 NOTEBOOK 36 AVIÓN 37

AMÉRICA 38 CONTENTO 39 DE ACUERDO 40

HAMBURGUESA 41 MONITO 42 TORMENTA 43

PAPAS FRITAS 44 PERRITO 45 CARGAR NAFTA 46


89

MANZANA 47 MOTO 48 TORTA DE

CUMPLEAÑOS 49

NADAR 50 HOSPITAL 51 CHOCOLATE 52

HELADO 53 PLAYA 54

CAMPAMENTO 55

ESTADIO 56 FLOR 57 CASA 58

LENTES DE SOL 59 SOMBRERO 60 CARAMELO 61

CERO 62 UNO 63 DOS 64

TRES 65 CUATRO 66 CINCO 67

SEIS 68 SIETE 69 OCHO 70

NUEVE 71

Actividades:

1) Realiza un glosario con los términos propios de criptografía. 2) Propone un mensaje M y una matriz de cifrado A de orden 2 y encripta el mensaje. 3) Utiliza la martiz A para cifrar los siguientes mensajes:

𝐴 = (2 3 −1

−1 3 −24 −3 2

)

a) SOMOS SERES HUMANOS b) HUMEDAD Y CALOR

4) Utiliza adecuadamente la matriz de cifrado A y el mensaje cifrado C para hallar el mensaje original M.

a) 𝐴 = (−2 5 12 −3 10 1 −1

); 𝐶 = (−8 21 10016 17 −12−2 −9 −12

98 87 82

−42 −13 −4210 5 18

34

−148

).


90

b) 𝐴 = (1 0 10 2 −13 2 −2

); 𝐶 = (26 41 5618 −18 2416 25 80

42 23 29−9 25 1241 18 −13

).

c) 𝐴 = (1 1 −10 2 −10 −1 1

); 𝐶 = (7 8 −713 −3 12−4 6 8

−8 17 11−10 19 513 −3 −2

20280

).

RESPUESTAS Actividades de Criptografía

3) a) 𝐶 = (75 64 362 −12 −4358 60 103

42 69 28−1 32 916 −8 −6

968

−52)

b) 𝐶 = (69 21 6632 5 28−8 10 −16

64 53

−21 −2105 38

)

4) a) HACIENDO CRIPTOGRAFIA

b) FRUTAS Y VERDURAS

c) CIENCIAS ECONOMICAS


91

MATRIZ INVERSA. ECUACIONES MATRICIALES Y SISTEMAS

RESOLUCIÓN DE SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES A PARTIR DE SU EXPRESIÓN EN FORMA MATRICIAL

Considerando el sistema de ecuaciones lineales que modela la situación 5 ya tratada:

Este sistema puede expresarse en forma matricial como:

(1 1 14 5 612 −10 −10

)(

𝑥1

𝑥2

𝑥3

) = (1105400

)

En general un sistema de ecuaciones lineales se puede escribir mediante la expresión matricial:

AX=B

donde A es la matriz de coeficientes de orden mxn, X es la matriz de orden nx1 cuyos elementos son las

variables del sistema y B es la matriz de orden mx1 que contiene lo términos independientes del sistema.

Resolver un sistema de la forma AX=B, significa hallar la matriz X que verifica la igualdad. Por esta razón la

expresión AX=B es una ecuación matricial.

El siguiente cuadro comparativo muestra mediante un ejemplo la resolución de ecuaciones algebraicas y

matriciales:

Resolución de una ecuación algebraica Resolución de una ecuación matricial

2x= 3

Multiplicando ambos miembros por el inverso

multiplicativo de 2:

2-1 2 x = 2-1 3

Como producto entre un nro y su inverso

multiplicativo es 1: 2-1 2 = 1, se obtiene:

1 x= ½ 3

Resolviendo:

x = 3/2

AX = B

Multiplicando ambos miembros por el inversa

multiplicativa de A:

A-1 A X =A-1 B

Como producto entre una matriz y su inversa debe ser

la matriz unidad: AA-1 = I, se obtiene:

I X = A-1 B

Resolviendo:

X = A-1 B

¿Pero existe A-1 en el conjunto de las matrices? Para

responder esta pregunta es necesario presentar los

siguientes conceptos:


92

Matriz Inversa y Resolución de Sistemas de Ecuaciones Lineales

Por todo lo analizado se afirma:

Dado un sistema de ecuaciones lineales expresado en la forma matricial: AX=B

Si la matriz de coeficientes en cuadrada y tiene inversa su solución es: X= A-1B

Ejemplo: Se resolverá el sistema de ecuaciones lineales que modela la situación 5 aplicando el concepto de

matriz inversa:

Su forma matricial AX = B es: (1 1 14 5 612 −10 −10

) (

𝑥1

𝑥2

𝑥3

) = (1105400

)

De donde: X = A-1 B, en este caso: (

𝑥1

𝑥2

𝑥3

) = (1 1 14 5 612 −10 −10

)

−1

(1105400

)

Por lo tanto debemos hallar A-1, es decir: (1 1 14 5 612 −10 −10

)

−1

Aplicando el método de espejo:

A I

(1 1 1 4 5 6 12 −10 −10

| 1 0 00 1 00 0 1

)

(1 1 1 0 1 2 0 −22 −22

| 1 0 0

−4 1 0−12 0 1

)

F2 F1( -4) + F2

F3 F1( -12) + F3


93

(1 0 −1 0 1 2 0 0 22

| 5 −1 0

−4 1 0−100 22 1

)

F1 F2( -1) + F1

F3 F2( 22) + F3

(1 0 −1 0 1 2 0 0 1

| 5 −1 0

−4 1 0−50/11 1 1/22

)

F3 F3( 1/22)

(1 0 0 0 1 0 0 0 1

|

5/11 0 1/2256/11 −1 −1/11

−50/11 1 1/22 )

I A-1

F1 F3( 1) + F1

F2 F3( -2) + F2

Luego:

𝐀−𝟏 = (

5/11 0 1/2256/11 −1 −1/11

−50/11 1 1/22)

Por lo tanto:

(

𝑥1

𝑥2

𝑥3

) = (1 1 14 5 612 −10 −10

)

−1

(1105400

)

(

𝑥1

𝑥2

𝑥3

) = (1105400

) (

5/11 0 1/22

56/11 −1 −1/11

−50/11 1 1/22

) = (50

20

40

)

Y la solución del sistema es el punto (50; 20; 40) tal como se obtuvo al aplicar el método de eliminación de

Gauss.

Propiedades de las matrices inversibles

Sean A y B matrices inversibles entonces:

a) La inversa de A B es igual a la inversa de B por la inversa de A. En símbolos: (AB)-1 = B-1 A-1

b) La inversa de la inversa de la matriz A es igual a la matriz A. En símbolos: (A-1 )-1 = A

c) La inversa de At es igual a la transpuesta de la inversa de A. En símbolos: (At )-1 = ( A-1)t


94

Aplicación del concepto de matriz inversa para la resolución de ecuaciones matriciales

Ejemplo: Sea la ecuación matricial AX + B = C, donde la matriz X la incógnita y A es una matriz cuadrada que

tiene inversa.

Para determinar la matriz X que verifica la igualdad:

sumando a ambos miembros de la igualdad la opuesta de B,

AX + B + (B) = C + (B)

como B + (B) = N,

AX = C + (B)

Resolviendo

AX = C B

Premultiplicando ambos miembros de la ecuación por A-1

A-1 AX = A-1(C B)

De esta manera

I X = A-1 (C B)

X= A-1(C B)

Por lo tanto, X= A-1(C B) es la solución a la ecuación matricial.

Más ejemplos resueltos:

1) X + A = B

X= B A

3) CX + A = B

CX = B A

C 1 . C . X= C1 . (B A)

IX= C1 .(B A)

X= C1 .(B A)

4) B1 X + C = A

B1 X = A C

BB1 X = B(A C)

IX = B(A C)

X = B(A C)

2) 2X + A = B

X= 21 (B A)

5) A-1XD + H = B

A -1 XD =B H

AA-1 XD = A(B H)

IXD = A(B H)

XD = A(B H)

XDD-1 = A(B H) D-1

XI = A(B H) D-1

X= A(B H) D-1

6) AX + BX = C

(A + B)X = C

(A + B)-1 (A + B)X = (A + B)-1 C

IX = (A + B)-1 C

X = (A + B)-1 C

7) XA+ B = C +2X

XA 2X = C B

X(A 2) = C B

X(A 2I) = C B

X(A 2I)(A 2I)1=(C B)(A2I)1

XI = (C B)(A 2I)1

X = (C B)(A 2I)1


95

RELACIONES CONCEPTUALES

TEOREMA: Si A es una matriz inversible entonces det A 0 y

det A 1 = Adet

1

Ejemplo:

Sean A =

51

24, su inversa es A1=

9/218/1

9/118/5. Calculando sus determinantes det A = 18 det A1=

18

1 y

vemos que se verifica el teorema.

El siguiente teorema unifica y relaciona conceptos relativos a sistemas de ecuaciones, matrices y

determinantes. Por este motivo se identificará como Teorema Integrador

TEOREMA INTEGRADOR

Sea A una matriz de orden nxn. Los siguientes enunciados son equivalentes:

a) A es una matriz inversible.

b) El determinante de la matriz A es distinto de cero.

c) Cualquier Forma de Gauss de A es una matriz triangular superior unitaria.

d) La Forma escalonada por renglones reducida de la matriz A es la matriz identidad I de orden nxn.

e) El rango de la matriz A es n.

f) El sistema AX = B es compatible determinado (X= A-1B).

g) El sistema AX = 0 es compatible determinado. Su única solución es la trivial (X= 0)

Ejemplo: En el siguiente ejemplo se muestra la equivalencia de las proposiciones enunciadas en el teorema

anterior.

Para el sistema

24zy2x3

5zyx2

11zyx

. A =

123

112

111

es la matriz de coeficientes del sistema de ecuaciones.

La forma escalonada por renglones reducida de A es la matriz identidad.

123

112

111

210

130

111

210

3/110

111

3/500

3/110

111

100

3/110

111

100

010

001

.

Se observa además que r(A) = 3 y coincide con el orden de A, n = 3.


96

El det A = 5

123

112

111

distinto de cero, y existe la matriz inversa de A, A1=

5

3

5

1

5

75

1

5

2

5

15

2

5

1

5

3

.

Para el sistema no homogéneo se verifica

z

y

x

=

5

3

5

1

5

75

1

5

2

5

15

2

5

1

5

3

2

5

4

24

5

11

, por lo que resulta compatible

determinado.

Para el sistema homogéneo se verifica

z

y

x

=

5

3

5

1

5

75

1

5

2

5

15

2

5

1

5

3

por lo que tiene solución trivial.

MÁS RELACIONES CONCEPTUALES

AX = B sistema no homogéneo

r(A´)r(A)leincompatib

nr(A´)r(A)adoindetermin

nr(A´)r(A)odeterminadcompatible

AX = 0 sistema homogéneo r(A)=r(A´) compatibles determinado r(A) n

indeterminado r(A) n

Relación con el determinante de la matriz de coeficientes

Anxn

)soluciones ( adoindetermin sistema 0A

0X rivialsolución t odeterminad compatible sistema 0A0AX

)soluciones ( adoindetermin sistema

ó

leincompatib sistema

0A

odeterminad compatible sistema BAX 0A 1

BAX

Observación: un sistema que tenga más incógnitas que ecuaciones nunca puede ser compatible determinado

ya que el rango de la matriz siempre es menor que el número de incógnitas: El rango es siempre mínimo entre

el nº de ecuaciones y nº de incógnitas. En estos sistemas donde m < n el rango será menor que m.

En un sistema no homogéneo


97

Sea Amxn Bmx1 Xnx1 AX= B

adoindetermincompatible

ó

leincompatib

nm

leincompatib

ó


ó

odeterminadcompatible

nm

En general en un sistema homogéneo

Sea Amxn 0mx1 Xnx1 AX= 0

doindeterminsiemprenm


ó

odeterminadcompatible

nm


98

ACTIVIDADES: MATRIZ INVERSA Y ECUACIONES MATRICIALES

1- Sea B una matriz de orden 2x2, tales que bij = 1 si i > j y bij = 1 para i j. Construir la matriz B y, si existe,

determina B-1.

2- Resolver las siguientes ecuaciones matriciales, considerando que X es la matriz incógnita y A es una matriz

cuadrada que posee inversa.

a) A X + B = C b) (X A)-1 = A-1 B

c) A-1 X A + B = A d) A X – 3 I = 4 (AB + X)

3- Sean R, S y M matrices inversibles y M = RS

a) ¿A qué es igual R? b) ¿A qué es igual S1?

4- Sabiendo que la inversa de A es

12

21 y que la inversa de AB es

21

13.Calcular B.

5- Si A y B son matrices inversibles. ¿Se cumple que A + B es inversible?

6- Justificar si son verdaderas o falsas las siguientes proposiciones

a) La ecuación matricial 2A X + 3AX = AB BA admite como solución X = N

b) Si A y B son matrices regulares de nxn entonces (AB)-1 = A-1B-1

7- Expresar los siguientes sistemas en la forma matricial AX = B. Resolverlos si es posible utilizando la matriz

inversa, X = A-1B

a)

2yx

96y5x

b)

zyx

zyx

zyx

8- Considerando los siguientes sistemas de ecuaciones ¿Se pueden resolver los sistemas aplicando las técnicas

de resolución de ecuaciones matriciales?

a) AX = X siendo: A =

y X =

3

2

1

x

x

x

b) AX = 3X +B siendo: A =

132

250

214

B =

y X =

3

2

1

x

x

x

a) Plantear el sistema a resolver.

b) Determinar si el sistema resulta compatible determinado o indeterminado. Si es compatible, expresar el

conjunto solución.


99

RESPUESTA ACTIVIDADES: ECUACIONES MATRICIALES Y SISTEMAS

1. B =

11

11 B-1=

2/12/1

2/12/1

2. a) X = A-1 (C – B) ; b) X = B-1 ; c) X = A (A – B)A-1; d) X = (A – 4)– 1 (3 – 4 A B)

3. a) R = M S-1 b) S-1 = M-1 R

4. A-1 =

12

21 y (AB)-1 =

21

13= C AB = C-1 B = A-1 C-1 =

51

53

10

5. No. Contraejemplo:

A =

10

01 y B =

10

01A y B tienen inversa, pero A + B = O no

6. a) Falso. La solución es la matriz X = A-1 (A B – B A)

b) Falso. La propiedad es Si A y B son matrices regulares de nxn entonces (AB)-1 = B-1 A-1

7. a) (x, y) = ( 3, 1) b) (x, y, z ) = ( 1, 5, -1)

8. a)

02xx

0x4x2x

0x2x

32

321

32

( x1, x2, x3 ) = (0,0,0) sistema homogéneo compatible determinado (solución trivial )

b) compatible determinado (x, y, z) = ( 22, 8, 15/2)


100

TALLER CONCEPTUAL DE ALGEBRA LINEAL

Actividad 1: Elaborar un texto que relacione coherentemente los siguientes conceptos: Sistemas de Ecuaciones

Lineales, Método de eliminación de Gauss, Matriz Ampliada, Matriz Escalonada, Matriz Escalonada Reducida,

Rango de una Matriz, Sistemas compatibles determinados, Sistemas Compatibles indeterminados y Sistemas

Incompatibles.

Actividad 2: Responde cada una de las siguientes preguntas correspondientes a cada sistema, y luego

identifica los conceptos: Matriz Escalonada, Matriz Escalonada Reducida, Rango de una Matriz, Sistemas

compatibles determinados, Sistemas Compatibles indeterminados y Sistemas Incompatibles.

Puedes responder empleando herramientas tecnológicas como aplicaciones de smarphone o software

matemáticos

S1-

64

85

yx

yx S2-

32

3

0222

zyx

yx

zyx

S3-

108622

15433

10432

wzyx

wzyx

wzyx

a) Indica la cantidad de incógnitas y ecuaciones que posee cada uno.

b) Determina la solución del sistema con la opción.

c) Verifica dicha solución con la opción.

d) Comprueba los resultados obtenidos abriendo las ventanas de gráficos.

Actividad 3: La importancia del siguiente teorema es integrar los contenidos fundamentales de la las unidades

correspondientes al algebra lineal:

a) Completa los siguientes enunciados del teorema de modo que sean equivalentes.

Para toda matriz A cuadrada se cumple:

La matriz A es inversible o………………………………………………………………………

El rango de A es ………………………………………………………………………………………

La forma escalonada de A es una matriz …………………………………………………

La forma escalonada reducida de A es una matriz ……………………………………

El sistema de ecuaciones lineales AX=B es ………………………………………………

El sistema de ecuaciones lineales AX=0 es ………………………………………………

El determinante de A es …………………………………………………………………………

b) Comprueba que:

b1) La matriz: (1 4

−2 1) cumple todos los enunciados del teorema.

b2) La matriz : (3 61 2

) no cumple ninguno de los enunciados del teorema.


101

Actividad 4: Para cada enunciado Argumenta si resulta verdadero o falso:

a) El rango de la matriz:(1 2 10 0 1

3/4 3/2 1/4 ) es 3.

b) El sistema homogéneo que tiene por matriz de coeficientes: A = (0 0 40 3 −11 0 1

) admite como única

solución la solución trivial.

c) En un sistema de ecuaciones es incompatible el rango de la matriz de coeficientes es igual al rango de la

matriz ampliada del sistema.

d) El sistema

2wz =yx

wz =3y 2x admite infinitas soluciones.

e) Si A es una matriz cuadrada y det (A) = 0 se puede asegurar que X = A-1B es la única solución del sistema de

ecuaciones lineales AX=B.

f) A es una matriz escalar de orden 4 que cumple que aij= 2 para todo i=j. Entonces |A| = 24

g) En el sistema de ecuaciones lineales dado, el rango de la matriz de coeficientes es menor que el rango de la

matriz ampliada. {𝑥 + 𝑧 = 1𝑦 + 𝑥 = 0

𝑦 = 𝑧

h) La matriz de coeficientes del sistema: {𝑥 + 𝑧 = 1𝑦 + 𝑥 = 0

𝑦 = 𝑧 es inversible.

i) X= 2A es solución de la ecuación: 2 X + AB – BA = X I

Actividad 5: Resuelve las siguientes ecuaciones matriciales, donde A,B,X son matrices cuadradas del mismo

orden y que poseen inversa, y 0 es la matriz nula.

a) AX −BA = 0

b) A(X + A−1)−B = 0

c) A−1(X −BA)−B = 0

MATEMÁTICA BÁSICA · UNL-FCE. Matemática Básica. Algebra Lineal 2 El presente es el fascículo...

Documents

Transcript of MATEMÁTICA BÁSICA · UNL-FCE. Matemática Básica. Algebra Lineal 2 El presente es el fascículo...