Cuaderno de Matemática 3er Año Media

Autor: Luis. E. Camacho. S.

Profesor de Matemática; Especialista en Planificación y Evaluación

Deposito Legallf 03220035101806X

2

Prologo

El cuaderno de Matemática que utilizarán los alumnos, refleja en forma sencilla y

práctica los objetivos del programa de Matemática de 3º Año de Media General.

Este trabajo refleja las inquietudes del autor, por presentarles a los alumnos un

instrumento que, mediante lo práctico de sus ejercicios facilite el proceso de

aprendizaje dentro y fuera del aula.

Todos los juegos de Matemática que aparecen en este cuaderno, son creación del

Profesor Luis Eduardo Camacho, se aplicaron con anterioridad y los resultados

fueron muy satisfactorios.

Los Teques, Septiembre del 2003

3

Agradecimientos:

Por la revisión, observaciones y validación de mi trabajo:

Msc. Miguel Carmona, especialista de Matemática

Msc. Milagros Coromoto Camacho, asesora Metodológica

Marcos Salas, profesor de computación

Especialmente a:

A mi esposa: por su apoyo.

A mis hijos: por ser la inspiración de todo mi trabajo.

A mis alumnos: por ser la razón pura de mi profesión.

A mis Colegios apreciados: U. E. P.”Gran Aborigen”

Liceo San Pedro de Los Altos

U. E. C. “Andrés Bello”

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Contenido

.- Conjunto N° Irracionales, números racionales..................6

.- Números reales................7

.- Aproximaciones reales................7

.- Expresiones decimales…...........8

.- Fracción generatriz............8,9,10,11

.- Suma de N° reales...........12

.- Resta de N° reales...............12

.- Representar gráficamente un irracional................13,14

.- Producto de N° reales...............14

.- Propiedades..............15,16

.-Cálculo de raíz cuadrada.....................16,17

.- Ejercicios...............18,19,20,21

.- Radicación en R..............21

.- Simplificar radicales......................21,22

.-Suma y sustracción de radicales.............22

.- Producto de radicales................23,24

.- División de radicales..............24,25

.- Potencia de radicales...............25,26

.- Racionalización.............26,27

.- Intervalos.............27,28,29

.- Inecuaciones..............29

.- Ejercicios....................30,31,32

.- Sistema de coordenadas............33,34

.- Plano real............34,35

.- Puntos en el plano ...............36,37

.- Función afín................37,38

.- Haz de rectas.................39

.- Distancia entre dos puntos.............38,40,41

.- Sistema de inecuaciones...............42,43,44,45,46,47,48,49,50

.- Función cuadrática...........50,51,52

.- Ecuación de segundo grado..........52,53,54

.- Ecuación irracional..............54,55,56

.- Teorema de Pitágoras y Euclides.................56,57,58,59,60,61,62

.- Probabilidad estadística............63,64,65,66

.- Estadística......67,68,69,70,71,72,73,74,75,76,77,78,79,80,81,82,83,84,85,86,87,88, 89,90,91,92,93,94,95,96,97.- Ejercicios...............98,99,100,101,102,103,104.- Informática........105,106,107,108,109,110,111,112,113,114,115,116,117,118.- Juegos Matemáticos..............119,120,121,122,123,124,125,126,127,128,129,130, 131,132,133,134,135,136,137,138,139.- Páginas de resolución de ejercicios............. 140,141,142,143,144,145,146,147,148,149.- Bibliografía............150

5

Conjunto de los N° Irracionales:

Los números decimales que no podemos expresar exactamente por números

racionales, son los que corresponden a los números decimales con infinitas cifras no

periódicas y que se denominan números irracionales n a Q , Q ∩ I = 0

Números Irracionales:

3,8 : es una expresión decimal limitada, por lo tanto es un N° irracional, no es

racional.

5,4343 : es una expresión decimal periódica, por lo tanto es un N° racional.

Π = 3,141592654 : es irracional, pues no tiene parte decimal que se repite.

√2 = 1,4142135562 : es irracional, pues no tiene parte decimal que se repita.

6

Conjunto de los N° Reales:

Los números Reales es el conjunto formado por la unión de los N° racionales (Q)

y los irracionales (I), y se anota con la letra R.

R = Q U I y Q ∩ I = 0

Podemos escribir: N Z Q R es decir: los N° naturales son un subconjunto de

los enteros, a su vez subconjunto de los racionales, a su vez subconjunto de los reales

Aproximaciones racionales de N° reales:

Cuando se trabaja con N° reales, no siempre se utilizan todas las cifras

decimales.

Por lo tanto, utilizamos algunas de ellas para dar una mejor aproximación por

defecto o exceso.

Por defecto: aproximación un poco menor de un número.

Ejemplos: a) 2 = (1,4)2 = 1,96

(1,41)2= 1,9881

(1,414)2= 1,999396

7

b) 3= (1,6)2 = 2,56

(1,61)2= 2,5921

(1,616)2= 2,611456

Por exceso: aproximación un poco mayor de un número.

Ejemplo: a) 2 = (1,415)2 = 2,002225

(2,231)2= 4,977361

(2,232)2= 4,981824

Expresiones Decimales:

Decimal Mixta: en una expresión decimal periódica mixta, hay parte decimal que no

se repite y parte decimal que se repite siempre. El período no comienza en las

décimas. El no período lo forman las cifras comprendidas entre la coma y el

período.

Ejemplo: 2,56363 2 = parte entera

5 = ante-período

6363 = período

8

Ejercicios: 5/12 = 0,4166 Parte entera:_____

Ante-período:______

Período. ______

5/6 = 0 ,8 33 Parte entera:____

Ante-período:____

Período:____

Decimal Pura: en una expresión decimal pura el período empieza en la primera

cifra decimal. El período viene dado por el grupo de cifras que siempre se repite.

Ejemplo: 3,4646 Parte entera: 3 Período: 4646

9

Expresión generatriz decimal pura o limitada:

Si tenemos un N° decimal con número limitado de cifras decimales, su fracción

generatriz será la que tenga:

a) Como numerador, la parte entera seguida de las cifras decimales,

prescindiendo de la coma.

b) Como denominador, la unidad seguida de tantos ceros como cifras decimales

tenga.

Ejemplo: Calcular la fracción generatriz f = 3, 4

10f = 10 x 3,4 = 34, 4

-f = -1 x 3,4 = -3, 4

9f 31

f = 31

9

10

Expresión generatriz mixta o ilimitada:

Si tenemos un N° decimal con infinitas cifras, periódico mixto, su fracción

generatriz será la que tenga:

a) Como numerador, la parte entera seguida del no-período y del

período(prescindiendo de la coma) menos la parte entera seguida del no-

período (prescindiendo de la como)

b) Como denominador, tantos nueves como cifras tenga el período seguidos de

tantos ceros como cifras tenga el no-período.

Ejemplo: Calcular la fracción generatriz f = 3,5 21

1000f = 1000 x 3,5 21 = 3521, 21

-10f = -10 x 3,5 21 = -35, 21

990f 3486

f = 3486

990

11

Suma de números reales:

Para efectuar cualquier adición de números reales, basta sustituir cada

sumando dado por su correspondiente número racional de acuerdo a la mejor

aproximación decimal propuesta.

Ejemplo: Sumar: 3/8 + 5 + 8,360 = 0,375 + 2,236 + 8,360

= 10,971

Resta de N° reales:

Ejemplos:

1) Resolver 5,34 – 3,24 = 2,10

2) Resolver 6 – 1,3 – 0,3 = 2,44 – 1,3 – 0,3 = 0,84

12

Representación gráfica de un N° irracional:

Representar gráficamente el número 2

Como 12 + 12 = ( 2)2, de acuerdo con el Teorema de Pitágoras, podemos

construir un triángulo rectángulo cuyos catetos midan 1.

Para ello, trazaremos una recta “L” y sobre ella tomamos como base un cateto

cuyos extremos son 0 y 1, la altura es el otro cateto de longitud 1. Se traza la

hipotenusa 0A igual a 2 .

Luego, con abertura de compás igual a 0A y centro en 0 se traza el arco AA.

El punto de intersección A’ del arco con la recta representa el irracional 2.

A

2

1 A’

-1 0 1 2 2

13

Ejemplo: Representar x = 13

13 = 22 + 32 = x2 = 22 + 32 = x = 22 + 32

x = 4 + 9 x = 13 = 3,6

13

0 1 2 3 4 5 6

Producto de N° reales:

Para multiplicar N° reales con una aproximación de “n” cifras decimales:

a) Se escribe la mejor aproximación con “n” cifras decimales de cada factor.

b) Se efectúa el producto.

c) El resultado se da solamente con “n” cifras decimales.

14

Ejemplos:

1) Resuelve 5 . 1,34 . 1,34 = 2,23 . 1,34 . 1,34

3 2 1,41 3 1,41 1,41

= 0,74 . 0,95 . 0,95 = 0,66

Propiedades de la multiplicación de N° reales:

1) Conmutativa: a . b = b . a

Resuelve: 1) 4,5 . 3,6 = 2) 6/4 . 3,5 = 3) 5 . 3 =

2) Asociativa: a . b . c = a . (b . c) = (a . b) . c

Resuelve: 1) 5,4 . 5,3 . 3 = 2) 4 . 6,4 . 7/2 =

3) Elemento Neutro: a . 1 = 1 . a = a

Resuelve. 1) 5 .1 = 2) 6 . 1 = 3) 7 .1 = 4) -5 . 1 = 5) -√3 . 1 =

4) Elemento Simétrico: a . 1/a = 1

Resuelve: 1) √11 . 1 = 2) - √2 . 1 =√11 -√2

15

5) Distributiva: a . { b c} = a . b a . c

Resuelve: 1) 3 . { 3,5 + 4} 2) 4/6 . { 6 + 2,5}

Raíz enésima de un N° real:

n a = b = signo radical

a = cantidad sub-radical

n = índice de la raíz

b = raíz n-sima de a

Si a y b son números reales y “n” un número natural, se dice que “b” es la raíz

enésima de “a” sí cumple que bn = a (a 0 y b 0 cuando “n” es par).

n a = b bn = a

Cálculo de raíces cuadradas:

Ejemplo:

1) Sea calcular 625

16

a) Formamos grupos de dos cifras, de derecha a izquierda. El último grupo puede

tener 1 ó 2 cifras. 6 . 25

b) Se extrae 6 con un error menor que la unidad: 6 = 2

625 2

c) Se eleva al cuadrado el 2 y se resta de 6 : 6 – 4 = 2

6 . 25 2

-4

2

d) Se coloca a la derecha del resto el grupo siguiente al 6(25) y se separa una cifra a

partir de la derecha.

6 . 25 2

-4

22.5

e) Se toma el doble de 2 que es 4 y se coloca debajo de él.

6.25 2

-4 4

22.5

f) Se divide 22:4 y el resultado 5 se coloca a la derecha del 2 y del 4.

6.25 25 Se efectúa 45 x 5 y se resta de 225

-4 45 x 5 =225

22.5

- 22.5

0

17

Identifica los números racionales e irracionales:

a) 34,3458______ b) 5,3434________ c) 2/7 _______

d) 6/8 _______ e) 56,2 _______ f) 2,02003______

g) 7 ______ h) 3 ______ i) ℮ = 2,71828______

Determina, para cada número real que se especifica, sí la aproximación

que se da es por defecto o por exceso:

a) 3,31 de ℮√11 _____ b) 2,3 de √ 5 ______

c) 3,2 de π ________ d) 2,45 de 6,25 _____

e) 3,17 de √10 ______ f) 1,12 de 1,25_______

Resuelve el racional y determina si la expresión decimal es mixta o pura,

y sus partes:

a) 5/13 b) 81/4 c) 24/5 d) 125/90

e) 20/12 f) 2/7 g) 11/20 h) 10/3

i) 52/99 j) 6/12

18

Calcular la fracción generatriz de los siguientes decimales:

a) f=3,456 b) f=44 ,28 c) f= 35,285 d) f= 59,4

e) f= 126,835 f) f= 23,567 g) f= 30,54 h) f=349,34

Suma los siguientes N° reales:

a) 5/4 + 3/6 + √3/2 b) √4/3 + 2,36 + √7

c) 7,52 + √6 + 2 d) 6 + 1,28 + 0,34

2 3 4

Aplica las propiedades de la suma de N° reales:

a) Conmutativa 3 + √7 b) Conmutativa √8 + 9

4 2

c) Asociativa 5 + 1,34 + √3 d) Asociativa √8 + 4 + 0,32

2 3

e) Elemento neutro 2,382 + √2 + 3 + 0 =

5 7

f) Elemento simétrico √2 + 3 = g) Elemento simétrico 3 + 8 =

5 2

19

Problemas de suma y resta de N° reales:

a) Un terreno mide 32.000m2. Se dividirá en 5 partes. La primera 2/5 de la

longitud; la segunda ¼; la tercera 2/5; la cuarta 1/5 y la quinta 1/8.

¿ Cuántos metros corresponden a cada parte?

b) Una torta pesa 4 Kg. Se dividirá entre Luis 2/5; Pedro 1/5; Julio 2/7 y

Javier 2/9. ¿ Cuanto Kg le tocó a cada uno?

c) La distancia entre dos ciudades es de 356 Km. Si un vehículo parte de una

ciudad hacia la otra, y hace el siguiente recorrido: la primera hora reco-

rre 1/9 de la distancia; la segunda hora 2/5; la tercera hora 1/5; y la

cuarta hora 2/7. ¿ Qué distancia recorrió el vehículo?

Representa los N° irracionales:

a) √25 b) √29 c) √34 d) √45 e) √41

f) √52 g) √58 h) √61 i) √32 j) √74

20

Hallar la raíz cuadrada de los siguientes números:

a) Sea calcular √123 b) Sea calcular √2345

c) Sea calcular √1345 d) Sea calcular √2763

e) Sea calcular √354 f) Sea calcular √276

Radicación en R:

La radicación consiste en hallar números que elevados a 2 ‘o elevados a 3, den

el número expuesto en la parte sub.-radical. Si es elevado a 2 se llamará raíz

cuadrada, y si es elevado a 3 se llamará raíz cúbica.

Simplificación de radicales:

Para simplificar radicales, se divide su índice y el exponente de la parte sub.-

radical por el mismo número.

21

Ejemplo: Simplificar √125 = 125 = 53

6√53 = 6/3 √5

Ejemplo: Simplificar 4 9a2b2 = 9 = 32

= 4 (3ab)2 = 3ab

Suma y sustracción de radicales semejantes:

Ejemplos:

1) 4 √3 + 5 √3 = 4 + 5 √3 = 9 √3

2) √5 + 3 √5 = 3 + 1 √5 = 4 √5

3) 3 √15 - 2 √15 = 3 –2 √15 = √15

4) 15 √x - 2 √x = 13 √x

22

Multiplicación de radicales del mismo índice:

Para multiplicar radicales del mismo índice, se escribe el índice común y se

multiplican las partes sub.-radicales.

Ejemplos:

1) 3 2 . 3 3 = 3 6

2) 5 3a2 . 5 2a4 = 5 6a6

Multiplicación de radicales con diferente índice:

Regla:

a) Se halla el mínimo común índice de todos los índices.

b) Se multiplica el índice y el exponente de cada uno de ellos por el cociente que

resulta de dividir dicho mínimo por el índice respectivo.

23

Ejemplo:

1) 3 a2 . b = m.c.i (3,2) = 6

6/3 a2 . 6/2 b = 6 (a2)2 . b3 6 a4 b3

División de Radicales con igual índice:

Para dividir radicales del mismo índice, se escribe el índice común y se dividen

las partes sub.-radicales.

Ejemplo:

1) 3 6 = 3 6 = 3 2

3

3 2

24

2) 3 4a2b = 3 4a2b = 3 2a

2ab

3 2ab

División de radicales con diferente índice:

1) 3 a2 . 5 = m.c.i (3,24) = 12

4 ab2

12 (a2)4 . 12 56 = 12 a8 . 56 = 12 56 . a5

a3 . b6 b6

12 (ab2)3

Potencia de radicales:

Potencia de un radical: para elevar un radical a una potencia, se eleva la parte

sub-radical a dicha potencia.

m a n = m an

25

Raíz de un radical: se halla la raíz de la misma parte sub-radical con índice igual

al producto de los índices.

m n a = m.n a

Racionalización de expresiones radicales monomias:

Se multiplica el numerador y el denominador por una raíz del mismo índice que la

del denominador y una parte sub-radical, cuyas letras y números llevan exponentes

que sumados con los que ya tiene el denominador, nos de el índice o un múltiplo de

él.

Ejemplo: Racionalizar a . 5 a2 =

5 a3. 5 a2

a 5 a2 = a 5 a2 = 5 a2

5 a5 a

26

Racionalización de expresiones radicales binomias:

En este caso, generalmente las raíces son cuadradas, por lo tanto se multiplica el

numerador y el denominador por la expresión conjugada del denominador.

Ejemplo: Racionalizar 2 . 2 - 2 =

2 + 2 2 - 2

2 (2 - 2 ) = 2(2 - 2 ) = = 2(2 - 2 ) = 2 - √2

(2)2 – (√2)2 4 – 2 2

Representar intervalos:

Sean a y b dos números reales cualesquiera tales que a < b . A cada uno de

estos números le corresponde un punto de la recta real.

a b

A B

27

Al conjunto de los números comprendidos en a y b se le llama intervalo, que en

la recta real se interpreta como el segmento comprendido entre los puntos a y b.

Intervalo cerrado: cuando los extremos se incluyen. a , b ó a ≤ x ≤ b

Intervalo abierto: cuando los extremos se excluyen. a , b ó a < x < b

Ejemplos Representar gráficamente

1) 3 , 6 ∩ -5 , 8

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8

entonces 3 , 6

2) -3 , 5 ∩ 2 ,

28

-3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

entonces 2 , 5

Inecuaciones:

Una inecuación es todo valor que sustituido en lugar de la incógnita, la

transforma en una desigualdad del mismo sentido. Generalmente la solución de una

inecuación es una semirrecta.

Ejemplo: Resolver la inecuación 3x + 2 ≥ 14

x ≥ 14 – 2 = x ≥ 12 = x ≥ 4

3 3

0 1 2 3 4 5

5 ,

29

Simplificar las siguientes expresiones radicales:

1) 10 243 2) 6 8a3 b3 3) 4 9a2 + 6ab + b2

4) 5 32a10b15 5) 4 256x8y4z12 6) 3 216a3b6c15

Efectúa las siguientes sumas y restas de radicales semejantes:

1) 5 √a + 3 √a 2) 6√x + 3√x 3) 14 √6 + 2 √6

4) 10 √5 - 2 √5 5) 8 √c - 4 √c 6) 4 √3 + 2 √3 - √3

Efectúa los productos de radicales:

1) 3 x2 . 3 x3 2) 4 2x3y2 . 4 3x2

3) 5 3a2b3c . 5 a2b3 4) 6 4a2b3x . 6 a2b2x2

5) 3 4a2b3x . 6 a2b2x2 6) 4 2x2y3 . 5 3x3

30

Resuelve las divisiones de radicales:

1) 4 2x2 2) 3 6a2b3 3) 5 10a3b4c8

4 2x 3 2ab2 5 5a2b2

4) 3 3x2y4 5) 2x2y4 . 3 a2x3 6) 4 6 x3y4

4 3

x2y3 a2y2 3xy

Resuelve las siguientes potencias:3 2

1) 4 a2b 2) 3 2a2b 3) 3a2 3 ab2 2

c2

4) 5 3 a2 5) 5 3 6) 3 a 4 b

√ a

31

Racionalizar las siguientes expresiones:

1) x5 2) ab 3) 2 4) 3 a2b

3 x2 4 a3b 3 2ab2 c

5) 5 6) 2 7) 2 + 3

5 + 5 3 - 2 5 - 2

Representa gráficamente los siguientes intervalos:

1) -2,3 ∩ 2,6 2) -1,3 ∩ 0,2

3) -4,6 ∩ -2,4 4) 0,7 ∩ 5,8

32

Resuelve las siguientes inecuaciones:

1) 3x + 6 ≤ 4 2) 4x – 2x +3 ≤ 7 3) x + 3x – 5 ≥ 7

2

4) x + x – 4 ≤ 2 5) 3x + 6 ≥ 18 6) 4(x + 3) – 5 ≥ -1 2

Sistema de Coordenadas.

Definiciones:

a.- Un punto: es un ente matemático que no tiene dimensiones.

b.- Una recta: es un ente matemático que solamente tiene longitud y está formado

por infinitos puntos, por lo tanto, una recta es un conjunto de puntos.

Cuando se dan dos puntos sobre la recta: * *

a b

Se anota: ab recta “ab”

c.- Plano: es un ente matemático que solamente tiene longitud y anchura, y está

formado por infinitos puntos, por lo tanto, un plano es un conjunto de puntos, y una

recta es un subconjunto del plano que las contiene.

33

Sistema de CoordenadasY

II I

X

III IV

Los ejes de coordenadas se llaman OX y OY y dividen el plano en cuatro

subconjuntos llamados cuadrantes.

Definir el plano real como una biyección entre el conjunto R y el sistema de

coordenadas rectangulares.

Se dice que hay relación en el plano, ya que hay que buscar la forma de unir dos

puntos de dos rectas dadas.

Ejemplo:

L’

0 L

34

Trazamos por un punto (p) cualquiera, rectas paralelas dadas, cuyos puntos de

corte son (a y b)

L’

b p

0 a L

Se observa que el par (a , b) representan rectas reales del mismo origen, entonces

(a, b) ε R x R.

Los números reales (a y b) se llaman coordenadas de punto (p).

35

Representar puntos en el plano:

a.- Situar los puntos a(2,5) ; b(2,1) ; c(-1,-4) ; d(3,-5)

y

5

4

3

2

1

x

-2 -1 0 1 2-1

-2

-3

-4

36

Ejercicios: Representar los siguientes puntos:

1.- a(2,-6) ; b(-2,-6) ; c(8,-3) ; d(5,9)

2.- a(-4,7) ; b(-2,4) ; c(1,6) ; d(-5,8)

3.- a(6,7) ; b(-8,2) ; c(-4,8) ; d(3,-9)

4.- a(-4,-7) ; b(7,12) ; c(-7,0) ; d(-3,5)

5.- a(-4,-7) ; b(7,3) ; c(-4,7) ; d(-6,0)

6.- a(12,4) ; b(4,9) ; c(-3,7) d(9,5)

7.- a(12,4) , b(-5,-6) ; c(6,8) ; d(-9,-3)

8.- a(3,4) ; b(2,-7) ; c(-1,1) ; d(4,9)

Representar gráficamente la función afín.

Son las funciones de la forma f: x R en donde x es un subconjunto de R(x

R).

Variable: es una letra que representa indistintamente cualquiera de los elementos

de un conjunto de números. A este conjunto se le llama dominio de la variable.

37

Ejemplo: Representar y = 2x donde x = -2,-1,0,1,2

y

x = -2--------- y = 2(-2) = -4

x = -1---------y = 2(-1) = -2 4

x = 0---------y = 2(0) = 0 3

x = 1---------y = 2(1) = 2 2

x = 2---------y = 2(2) = 4 1

x

-2 -1 0 1 2

-1

-2

-3

-4

Ejercicios: Representar gráficamente las siguientes funciones: donde: x =-2,-1,0,1,2

1.- y = 2 –x 2.- y = 3x – 2 3.- y = 4x + 5

4.- y = 5 – 2x 5.- y = x + 4 6.- y = 6x - 2 2

7.- y = 2x + x 8.- y = 5x + 2 9.- y = 4x -1

38

Haz de Rectas: por un punto de un plano se pueden trazar infinitas rectas. Al

conjunto formado por estas infinitas rectas que pasan por el mismo punto se le llama

haz de rectas.

a

.

Calcular la distancia entre dos puntos.

Cuando al medir dos segmentos obtenemos el mismo número, los segmentos son

congruentes.

Cuando al medir dos segmentos obtenemos números diferentes, los segmentos son

diferentes.

Para hallar la distancia “d” del punto P1 a P2 utilizamos el Teorema de

Pitágoras; ya que la d(P1,P2) es la hipotenusa de un triángulo rectángulo, cuyos

catetos son : (x2 – x1) y (y2 – y1) .

39

y

y2 P2=(x2,y2)

y1

P1(x1,y1) x2 – x1

x1 x2 x

Formula: d(P1,P2) = (x2 – x1)² + (y2 – y1)²

Ejemplo: Ubica los puntos en el plano y calcula el perímetro de :

P1(3,2) P2(1,-1) P3(3,0)

d(P1,P2) = (1-3)² + (-1-2)² = (-2)² + (-3)² = 4 + 9 = 13

d(P2,P3) = (3-1)² + (0+1)² = 2² + 1² = 4 + 1 = 5

d(P3,P1) = (3-3)² + (2-0)² = 0² + 2² = 4 = 2

40

y

P1(3,2)

2

1

0 1 2 3 x

-1 P3(3,0)

P2(1,-1)

Ejercicios: Representa los siguientes puntos:

1.- P1(2,4) P2(-2,5) P3(2,5) 2.- P1(3,-2) P2(-2,4) P3(-1,2)

3.- P1(-3,6) P2(2,1) P3(-3,6) 4.- P1(-4,7) P2(-4,8) P3(2,4)

5.- P1(5,8) P2(1,2) P3(-4,7) 6.- P1(5,6) P2(3,5) P3(-1,4)

41

Establecer el concepto de Sistemas de Ecuaciones Lineales y solución del sistema.

Se llama solución de una ecuación lineal con dos incógnitas, al conjunto formado

por los pares de valores de las incógnitas que sustituidas en la ecuación la

transforman en una identidad.

Resolver gráficamente Sistemas de Ecuaciones Lineales con dos incógnitas.

Ejemplo: Resolver gráficamente el sistema:

3x – 2y = -1 x =(1,3) Despejamos y: 3x – 2y = -1

2x + y = 4 x =(0,-1) y = 3x + 1 2

Sustituimos x por 1:

y = 3(1) + 1 y = 3 + 1 y = 4 y = 2 2 2 2

A(1,2)

Sustituimos x por 3: y = 3(3) + 1 y = 9 + 1 y = 10 y = 5 2 2 2

B(3,5)

42

Despejamos y en la otra ecuación: 2x + y = 4 y = 4 – 2x

Sustituimos x por 0: y = 4 – 2(0) y = 4 –0 y = 4 C(0,4)

Sustituimos x por –1

y = 4 – 2(-1) y = 4 + 2 y = 6 D(-1,6)

y

6 C

5 B

4 D

3

2 A 1

-1 0 1 2 3 x

Ejercicios: Resolver gráficamente los sistemas:

1.- 2x + y = 4 2.- 2x – 7y = 6 3.- 2x – 3y = 1

3x + 2y=-1 4x – 3y = 2 3x + 4y =10

43

Analizar la solución de Sistemas de Ecuaciones mediante interpretación geométrica.

a.- Sistema Incompatible: se dice que el sistema es incompatible cuando entre todas

las soluciones de la primera ecuación y todas las soluciones de la segunda, no hay

solución común.

La representación gráfica de este sistema son dos rectas paralelas.

y L

L’

x

b.- Sistema Indeterminado: se dice que el sistema es indeterminado ya que todas las

soluciones de la primera ecuación sean exactamente iguales a todas las soluciones

de la segunda, o sea las ecuaciones son equivalentes.

44

La representación gráfica de este sistema es una línea recta.

y

x

c.- Sistema Determinado: se dice que el sistema es determinado, ya que entre todas

las soluciones de la primera ecuación y todas las soluciones de la segunda,

solamente haya una solución común.

La representación gráfica de este sistema son dos rectas que se cortan.

y L

L’

x

45

Resolver analíticamente Sistemas de Ecuaciones Lineales con dos incógnitas.

a.- Método de Reducción: Este método es algebraico y consiste en hacer las

transformaciones necesarias para que el sistema de dos ecuaciones con dos

incógnitas se transforman en una ecuación con una incógnita para lo cual nos

apoyamos en las siguientes propiedades:

a.1.- Si una ecuación la multiplicamos o dividimos por un número resulta una

ecuación equivalente(tiene las mismas soluciones).

a.2.- Si sumamos o restamos miembro a miembro dos ecuaciones resulta una

ecuación equivalente a estas.

Ejemplo: Resolver x + 2y = 8 -2 x + 2y = 8

2x + y = 7 1 2x + y = 7

-2x – 4y = -16

2x + y = 7

-3y = -9 Calculamos x en cualquier ecuación:

y = -9/-3 y = 3 x + 2y = 8

46

x + 2(3) = 8

x + 6 = 8 x = 8 – 6 x = 2

Ejercicios:

1.- 3x – y = 5 2.- 2x – 2y = 10 3.- 4x + y = -12

2x + y =10 3x + 2y = 10 2x – 3y = 1

4.- 5x – 2y = -2 5.- 2x + y = -2 6.- 3x – 2y = 2

x – 2y = 2 x + 3y = -11 3x + 4y =22

b.- Método de Sustitución: También es algebraico y consiste en despejar una de las

incógnitas en una de las ecuaciones y sustituir su valor en la otra ecuación.

Ejemplo: Resolver x – 5y = 8 despejamos x: x – 5y = 8

-7x + 8y = 25 x = 8 +5y

47

Sustituimos en la otra ecuación -7x + 8y = 25 -7(8 + 5y) + 8y = 25

-56 – 35y + 8y = 25

-35y + 8y = 25 + 56

-27y = 81

y = 81/-27 = y = -3

encontramos el valor de x: x = 8 + 5y x = 8 + 5(-3)

x = 8 – 15

Ejercicios:

1. - 2x + y = 3 2.- x + y = 1 3.- 5x + 2y = 3

x + y = 8 x – y = 1 2x + 3y =-1

4.- 5x – y = 0 5.- 4x – 5y = 3 6.- 2x – 2y = 10

2x + y = 1 3x – 3y = -3 3x + 2y = 10

48

c.- Método de Igualación: también es algebraico y consiste en despejar la misma

incógnita en cada una de las ecuaciones para después igualar sus valores.

Ejemplo: Resolver: 2x + 1 = y 4(2x + 1) = 5y5 4

8x + 4 = 5y 2x – 3y = -8

8x – 5y = -4

sustituimos la x en las dos ecuaciones: 8x – 5y = -4 = x = -4 + 5y 8

2x – 3y = -8 = x = -8 + 3y 2

igualamos los valores de x: -4 + 5y = -8 + 3y = 2(-4 + 5y) = 8(-8 + 3y) 8 2

-8 + 10y = -64 + 24y

10y – 24y = -64 + 8

-14y = -56

y = -56/-14

y = 4

49

sustituimos y en la segunda ecuación: 2x – 3y =-8 2x –3(4) = -8

2x – 12 = -8

x = -8 +12 2

x = 4/2 = x = 2

Ejercicios:

1.- 2x + y = 3 2.- x + y = 5 3.- 2x – 7y = 10

4x + 4y = 8 x – y = 0 4x - y = -6

4.- 2x - y = -6 5.- 5x + 2y = 3 6.- 8x – 4y = 9

x + y = 1 2x + 3y =-1 6x + 2y = 7

Función Cuadrática: se llama función cuadrática a toda función real de variable

real, definida de la siguiente manera: f(x) = Ax2 + B x + C, donde A ,B, C sin

números reales y A ≠ 0. Es decir:

F : R R x f(x) = Ax2 + Bx + C

50

Ejemplo: Dado f(x) = 3x2 dónde x = -2,-1,0,1,2

x f(x) = 3x2 y

-2 3(-2)2= 3. 4 12

-1 3(-1)2 = 3 .1 3

0 3(0)2 = 3 . 0 0

1 3(1)2 = 3 . 1 3

2 3(2)2 = 3 .4 12

Representación gráfica: f(x)

12

11

10

9

8

7

6

5

4

3

2

1

-2 -1 0 1 2 x

51

Ejercicios: Todos estos ejercicios con los valores: x = - 2 , -1 , 0 , 1 , 2

a) f(x)= 3 + x2 b) f(x)= x2 + 2 c) f(x)= 2x2 – 1

d) f(x)= 6x2 – 2 e) f(x)= 2 + x2 f) f(x)= 10 – x2

3

g)f(x) = x2 + 6 h) f(x)= 4x2 – x i) f(x)= x2 + 5x

2

Ecuación de Segundo Grado:

Una ecuación de segundo grado y variable x es una igualdad de la forma:

Ax2 + Bx + C = 0 ; A ≠ 0

Resolución de la ecuación de segundo grado:

Hallar los ceros o raíces de una función cuadrática equivale a resolver la

ecuación de segundo grado.

Los valores de “x” que anulan a la función cuadrática, se llaman ceros de la

función o raíces de la ecuación.

En las gráficas cuando la función es cero, la curva corta al eje de las “x”, por lo

tanto una ecuación de segundo grado puede tener dos raíces, una o ninguna.

Resolver una ecuación de segundo grado es hallar él o los valores de”x “ que lo

transforman en una identidad.

52

Fórmula: x = - b ± b2 – 4 . a . c

2 . a

La formula se llama resolvente de una ecuación de 2do grado, la cual permite

hallar directamente las raíces de la ecuación, sin más que sustituir en dicha

resolvente los valores de A, B y C..

Ejemplo: Resolver x2 – 5x + 6 = 0 donde: a = 1

b = -5

c = 6

x = -(- 5) ± (-5)2 – 4 . 1 . 6 x = 5 ± 25 - 24

2 . 1 2

x1 = 5 + 1 x1 = 5 + 1 x1 = 6 x1 = 3

2 2 2

x2 = 5 – 1 x2 = 4 x2 = 2

2 2

53

Ejercicios:

1) x2 + 3x – 10 = 0 2) - x2 + x + 12 = 0 3) 2x2 + 5x – 3 = 0

4) 3x2 – x – 2 = 0 5) 6x2 + x – 1 = 0 6) –4x2 + 5x + 6 = 0

7) x2 + 4x + 3 = 0 8) x2 – 5x + 4 = 0 9) 2x2 + 0x – 8 = 0

Ecuación Irracional:

Son aquellas en que la incógnita se encuentra bajo el signo radical. Para resolver

una ecuación irracional se aísla su raíz, pasando al otro miembro la “x”, y

finalmente se eleva al cuadrado los dos miembros de la ecuación, para destruir la

raíz.

54

Ejemplo: Resolver x + 25 – x2 = 7

Pasamos al otro miembro la x : 25 – x2 = 7 – x

Elevamos al cuadrado los dos miembros : ( 25 – x2 )2 = (7 – x)2

Producto notable: 25 – x2 = 49 – 14x + x2 donde: a2 – 2ab + b2

2x2 – 14x + 24 = 0 ecuación de segundo grado :

x = -(-14) ± (14)2 – 4 . 2 . 24 x1 = 14 ± 196 - 192

2 . 2 4

x1 = 14 + 2 x1 = 4 x2 = 14 – 2 x2 = 3

4 4

Ejercicios:

a) 4x – 3 - x + 6 = x – 3 b) x + 40 – x2 = 8

c) x + 26 – x2 = 6 d) x + 65 – x2 = 9

55

e) x + 16 – x2 = 4 f) 3 + x – 8 = 14 – x

g) x + 20 – x2 = 6 h) 4 + x – 7 = 13 – x

Teorema de Pitágoras:

En un triángulo rectángulo el cuadrado de la longitud de la hipotenusa es igual a

la suma de los cuadrados de las longitudes de los catetos.

B Los puntos A, B, y C del plano determi-

nan un triángulo rectángulo y sus lados

están formados por los vectores AB= a

y AC = b . La diferencia de estos vec-

tores es el vector CB = a – b .

A C

El producto escalar es CB . CB = ( a – b ) . ( a – b )

56

Ejemplo: Los catetos de un triángulo rectángulo miden respectivamente 3 m y 4 m.

Hallar el valor de la hipotenusa.

B / CB / 2 = / BA /2 + / CA /2

x2 = (4m)2 + (3m)2

4 m x x2 = 16m2 + 9m2

x = 25 m2

x = 5 m

A 3 m C

Primer Teorema de Euclides:

En un triángulo rectángulo, la longitud de un cateto al cuadrado, es igual al

producto de la longitud de la hipotenusa por la proyección de dicho cateto sobre

ella.

/ AB /2 = / AC / . / AD / .

57

Segundo Teorema de Euclides:

En un triángulo rectángulo el cuadrado de la longitud de la altura

correspondiente a la hipotenusa, es igual al producto de las longitudes de las

proyecciones de los catetos sobre dicha hipotenusa. / BD /2 = / AD / . / DC /.

Ejemplos:

1) En el triángulo rectángulo B, BD es la perpendicular a la hipotenusa AC. Se

conocen AB = 8m y AD = 2m, se pide el valor de la hipotenusa AC.

B

A D C

Aplicamos el 1er Teorema:

/ AB /2 = AD . AC AC = AB2

AD

/ AC / = ( 8m)2 AC = 64m2 AC = 32 m

2m 2m

58

2) Los puntos ABC determinan un triángulo rectángulo en B y BD es la

perpendicular a la hipotenusa. Se conocen AD = 4m y DC = 8 m. Hallar el valor

de BD.

B Aplicamos el segundo Teorema.

A D C

/ BD /2 = AD . DC = / BD / = 4m . 8m

/ BD / = 32m = 25m = 4 2m

59

Ejercicios: Resuelve los siguientes triángulos rectángulos, aplicando el Teorema

correspondiente:

1) En un triángulo rectángulo, la hipotenusa mide

10 m y uno de sus catetos 6 m. Hallar el valor

del otro cateto.

B

10 m solución: 8 m

X

A 6 m C

2) ABC es un triángulo rectángulo en B y BD es la perpendicular a la hipotenusa

AC . Se conocen AD = 3m , DC = 6m . Hallar AB.

B

Solución: 3 3

A D C

60

2) El triángulo ABC es rectángulo en B y BD es la perpendicular a la

hipotenusa. Se conocen AB = 10 m y AD = 5 m . Hallar: BC.

B

x solución: 300

10 m

A 5 m C

3) Resuelve el siguiente triángulo rectángulo:

A

Solución: x1= -5

x + 1 x x2 = 1

B x + 2 C

61

4) Resuelve el siguiente triángulo rectángulo:

A

5

2 solución: x = 1

C x B

6) Dado el triángulo rectángulo, calcular: AD y DC.

B solución: DC = 2,49 m

AD = 1,12 m

2 m 3m

A D C

62

Probabilidad: también conocida como teoría de la probabilidad, es la rama de

las matemáticas que se ocupa de medir o determinar cuantitativamente la

posibilidad de que un suceso o experimento produzca un determinado resultado. La

probabilidad está basada en el estudio de la combinatoria y es fundamento

necesario de la estadística.

La creación de la probabilidad se atribuye a los matemáticos franceses del siglo

XVII Blaise Pascal y Pierre de Fermat, aunque algunos matemáticos anteriores,

como Gerolamo Cardano en el siglo XVI, habían aportado importantes

contribuciones a su desarrollo. La probabilidad matemática comenzó como un

intento de responder a varias preguntas que surgían en los juegos de azar, por

ejemplo saber cuántas veces se han de lanzar un par de dados para que la

probabilidad de que salga seis sea el 50 por ciento.

La probabilidad de un resultado se representa con un número entre 0 y 1,

ambos inclusive. La probabilidad 0 indica que el resultado no ocurrirá nunca, y la

probabilidad 1 que el resultado ocurrirá siempre. Los problemas más sencillos

estudian la probabilidad de un suceso favorable en un experimento o

acontecimiento con un número finito de resultados, todos ellos con igual

probabilidad de ocurrir. Si un experimento tiene n posibles resultados, y f de ellos

se consideran favorables, la probabilidad de un suceso favorable es f/n. Por

ejemplo, un dado no trucado se puede lanzar de seis formas posibles, por tanto, la

probabilidad de que salga un 5 o un 6 es 2/6. Problemas más complicados estudian

acontecimientos en que los distintos resultados tienen distintas probabilidades de

63

ocurrir. Por ejemplo, encontrar la probabilidad de que salga 5 o 6 al lanzar un par

de dados: los distintos resultados (2, 3,…12) tienen distintas probabilidades.

Algunos experimentos pueden incluso tener un número infinito de posibles

resultados, como la probabilidad de que una cuerda de circunferencia dibujada

aleatoriamente sea de longitud mayor que el radio.

Los problemas que estudian experimentos repetitivos relacionan la probabilidad

y la estadística. Algunos ejemplos: encontrar la probabilidad de obtener 5 veces un

3 y al menos 4 veces un 6 al lanzar un dado sin hacer trampas 50 veces; si una

persona lanza una moneda al aire y da un paso hacia delante si sale cara y un paso

hacia atrás si sale cruz, calcular la probabilidad de que, después de 50 pasos, la

persona esté a menos de 10 pasos del origen.

En términos probabilísticos, dos sucesos de un experimento son mutuamente

excluyentes si la probabilidad de que los dos ocurran al mismo tiempo es cero; dos

sucesos son independientes si la probabilidad de que ocurran al mismo tiempo es

igual al producto de sus probabilidades individuales. Es decir, dos sucesos son

excluyentes si la ocurrencia de uno prohíbe la ocurrencia del otro; dos sucesos son

independientes si la ocurrencia o no de uno no afecta a la probabilidad de que el

otro ocurra o no. Probabilidad compuesta es la probabilidad de que todos los

casos de un conjunto dado de sucesos ocurran a la vez; probabilidad total es la de

que al menos uno de los casos de un conjunto dado de sucesos ocurra.

Probabilidad condicional es la probabilidad de que un suceso ocurra cuando se

sabe que otro suceso ha ocurrido o va a ocurrir.

Si la probabilidad de que un suceso ocurra es p, la probabilidad de que no

ocurra es q = 1 - p. Por tanto, la confianza en que el suceso ocurra es p contra q y

la de que no ocurra es q contra p. Si las probabilidades de dos sucesos mutuamente

excluyentes X e Y son p y P respectivamente, la confianza en que X ocurra y que Y

no ocurra es p contra P. Si un experimento debe dar como resultado uno de los

sucesos O1, O2,…, On, mutuamente excluyentes, cuyas probabilidades son p1, p2,

64

…, pn, respectivamente, y si a cada uno de los posibles resultados se le asigna un

valor numérico v1, v2, … vn, el resultado esperado del experimento es E = p1v1 +

p2v2 + … + pnvn. Por ejemplo, una persona lanza un dado, ganando 4 pasteles si

saca 1, 2 o 3 y 3 pasteles si saca 4 o 5; pierde 12 pasteles si saca un 6. El resultado

esperado con un solo lanzamiento es 3/6 × 4 + 2/6 × 3 - 1/6 × 12 = 1, o lo que es

lo mismo, un pastel.

El uso más generalizado de la probabilidad es su utilización en el análisis

estadístico. Por ejemplo, la probabilidad de sacar 7 al lanzar dos dados es 1/6, lo

que significa (se interpreta como) que al lanzar dos dados aleatoriamente y sin

hacer trampas, un gran número de veces, alrededor de un sexto de los lanzamientos

darán 7. Este concepto se utiliza a menudo para calcular estadísticamente la

probabilidad de un suceso que no se puede medir o es imposible de obtener. Así, si

la estadística a largo plazo muestra que por cada 100 personas entre 20 y 30 años

sólo habrá 42 vivos cuando tengan 70, lo que quiere decir que la probabilidad de

que una de esas personas llegue a los 70 años es de un 42 por ciento.

La probabilidad matemática se utiliza mucho en las ciencias físicas, biológicas

y sociales, así como en el comercio y la industria. Se aplica a muchas áreas tan

dispares como la genética, la mecánica cuántica y los seguros. También estudia

problemas matemáticos teóricos de gran importancia y dificultad y está bastante

relacionada con la teoría del análisis matemático, que se desarrolló a partir del

cálculo.

P= CF casos favorables CP casos posibles

Ejemplos: 1.- Calcular la probabilidad de que al lanzar una moneda salga cara.

P= 1 lo que significa 0,5 x 100% = 50% 2

65

2.- Calcular la probabilidad de que al lanzar un dado salga el N° 5.

P= 1 lo que significa 0,16 x 100% = 16,6% 6

Ejercicios: Hallar la probabilidad de que:

a.- Al lanzar dos dados salga el N° 4 y 6.

b.- Al lanzar dos monedas salga cara y sello.

c.- Al meter la mano en un envase que contiene una ficha azul, dos rojas y una verde,

salga una azul y una roja.

d.- Al lanzar una moneda y un dado salga sello y 3.

66

Estadística: rama de las matemáticas que se ocupa de reunir, organizar y

analizar datos numéricos y que ayuda a resolver problemas como el diseño de

experimentos y la toma de decisiones.

Historia:

Desde los comienzos de la civilización han existido formas sencillas de

estadística, pues ya se utilizaban representaciones gráficas y otros símbolos en

pieles, rocas, palos de madera y paredes de cuevas para contar el número de

personas, animales o ciertas cosas. Hacia el año 3000 a.C. los babilonios usaban

ya pequeñas tablillas de arcilla para recopilar datos en tablas sobre la producción

agrícola y de los géneros vendidos o cambiados mediante trueque. Los egipcios

analizaban los datos de la población y la renta del país mucho antes de construir

las pirámides en el siglo XXXI a.C. Los libros bíblicos de Números y Crónicas

incluyen, en algunas partes, trabajos de estadística. El primero contiene dos censos

de la población de Israel y el segundo describe el bienestar material de las diversas

tribus judías. En China existían registros numéricos similares con anterioridad al

año 2000 a.C. Los griegos clásicos realizaban censos cuya información se utilizaba

hacia el 594 a.C. para cobrar impuestos.

El Imperio romano fue el primer gobierno que recopiló una gran cantidad de

datos sobre la población, superficie y renta de todos los territorios bajo su control.

Durante la edad media sólo se realizaron algunos censos exhaustivos en

Europa. Los reyes caloringios Pipino el Breve y Carlomagno ordenaron hacer

estudios minuciosos de las propiedades de la Iglesia en los años 758 y 762

respectivamente. Después de la conquista normanda de Inglaterra en 1066, el rey

67

Guillermo I de Inglaterra encargó un censo. La información obtenida con este

censo, llevado a cabo en 1086, se recoge en el Domesday Book. El registro de

nacimientos y defunciones comenzó en Inglaterra a principios del siglo XVI, y en

1662 apareció el primer estudio estadístico notable de población, titulado

Observations on the London Bills of Mortality (Comentarios sobre las partidas de

defunción en Londres). Un estudio similar sobre la tasa de mortalidad en la ciudad

de Breslau, en Alemania, realizado en 1691, fue utilizado por el astrónomo inglés

Edmund Halley como base para la primera tabla de mortalidad. En el siglo XIX,

con la generalización del método científico para estudiar todos los fenómenos de

las ciencias naturales y sociales, los investigadores aceptaron la necesidad de

reducir la información a valores numéricos para evitar la ambigüedad de las

descripciones verbales.

En nuestros días, la estadística se ha convertido en un método efectivo para

describir con exactitud los valores de datos económicos, políticos, sociales,

psicológicos, biológicos y físicos, y sirve como herramienta para relacionar y

analizar dichos datos. El trabajo del experto estadístico no consiste ya sólo en

reunir y tabular los datos, sino sobre todo en el proceso de interpretación de esa

información. El desarrollo de la teoría de la probabilidad ha aumentado el alcance

de las aplicaciones de la estadística. Muchos conjuntos de datos se pueden

aproximar, con gran exactitud, utilizando determinadas distribuciones

probabilísticas; los resultados de éstas se pueden utilizar para analizar datos

estadísticos. La probabilidad es útil para comprobar la fiabilidad de las inferencias

estadísticas y para predecir el tipo y la cantidad de datos necesarios en un

determinado estudio estadístico.

Métodos estadísticos:

La materia prima de la estadística consiste en conjuntos de números obtenidos

al contar o medir cosas. Al recopilar datos estadísticos se ha de tener especial

cuidado para garantizar que la información sea completa y correcta.

68

El primer problema para los estadísticos reside en determinar qué información

y cuánta se ha de reunir. En realidad, la dificultad al compilar un censo está en

obtener el número de habitantes de forma completa y exacta; de la misma manera

que un físico que quiere contar el número de colisiones por segundo entre las

moléculas de un gas debe empezar determinando con precisión la naturaleza de los

objetos a contar. Los estadísticos se enfrentan a un complejo problema cuando, por

ejemplo, toman una muestra para un sondeo de opinión o una encuesta electoral.

El seleccionar una muestra capaz de representar con exactitud las preferencias

del total de la población no es tarea fácil.

Para establecer una ley física, biológica o social, el estadístico debe comenzar

con un conjunto de datos y modificarlo basándose en la experiencia. Por ejemplo,

en los primeros estudios sobre crecimiento de la población los cambios en el

número de habitantes se predecían calculando la diferencia entre el número de

nacimientos y el de fallecimientos en un determinado lapso. Los expertos en

estudios de población comprobaron que la tasa de crecimiento depende sólo del

número de nacimientos, sin que el número de defunciones tenga importancia. Por

tanto, el futuro crecimiento de la población se empezó a calcular basándose en el

número anual de nacimientos por cada 1.000 habitantes. Sin embargo, pronto se

dieron cuenta que las predicciones obtenidas utilizando este método no daban

resultados correctos. Los estadísticos comprobaron que hay otros factores que

limitan el crecimiento de la población. Dado que el número de posibles

nacimientos depende del número de mujeres, y no del total de la población, y dado

que las mujeres sólo tienen hijos durante parte de su vida, el dato más importante

que se ha de utilizar para predecir la población es el número de niños nacidos

vivos por cada 1.000 mujeres en edad de procrear. El valor obtenido utilizando

este dato mejora al combinarlo con el dato del porcentaje de mujeres sin

descendencia. Por tanto, la diferencia entre nacimientos y fallecimientos sólo es

útil para indicar el crecimiento de población en un determinado periodo de tiempo

del pasado, el número de nacimientos por cada 1.000 habitantes sólo expresa la

69

tasa de crecimiento en el mismo periodo, y sólo el número de nacimientos por cada

1.000 mujeres en edad de procrear sirve para predecir el número de habitantes en

el futuro.

Tipos de Gráficos:

1.- Gráfico de Barras:

45kg

pesos 40kg

35kg

30kg

25kg

1 2 3 4 5 6 7 8 9

Alumnos

70

2.- Gráfico Circular:

3.- Gráfico de Líneas:

20

15

notas 10

05

01

5 10 15 20

alumnos

71

4.- Gráfico de puntos:

5000 *

4000 *

Bolívares 3000 *

2000 *

1000 *

01 05 10 15 20

Compradores

Ejemplo: Con la siguiente tabla de distribución, hacer el gráfico de barras:

Intervalos frecuencia clase frecuencia acumulada

01 - 05 6 6

06 - 10 8 14

11 - 15 4 18

16 - 20 5 23

72

y

8

7

6

5

Frecuencia 4

3

2

1

01 05 10 15 20

Intervalos

73

Ejemplo: Con la siguiente distribución de frecuencias, hacer un gráfico circular

Clases frecuencias punto medio frecuencia acumulada

01-05 5 3 5

06-10 6 8 11

11-15 4 13 15

16-20 7 18 22

Ejercicios: Con los siguientes datos, hacer un gráfico de barras

Intervalos frecuencias Punto medio P . m x f

001-002 6

003-004 8

005-006 7

007-008 4

74

La parte de la estadística que trata de describir y analizar los datos sin sacar

conclusiones se llama estadística descriptiva. La parte de la estadística que trata de

dar soluciones y conclusiones para los cuales son válidos, se llama estadística

inductiva o inferencial.

Población:

Es una colección de datos con características especiales (cualidad) de un grupo

de individuos o de un grupo de objetos.

Ejemplos:

1.- Conjunto de cadetes de la Guardia Nacional.

2.- Número de docentes del Estado Miranda.

3.- Investigación de los sueldos mensuales de los médicos de un hospital.

Muestra:

Es una parte de la población que se elige con el fin de investigar las propiedades

de la población de donde fue recolectada.

Ejemplos:

1.- Cadetes del 2do año de la Guardia Nacional.

2.- Número de docentes del Municipio Guaicaipuro.

3.- Sueldos mensuales de los médicos de la unidad de pediatría.

Elemento Característica

Alumno Estatura, sexo, edad, calificaciones.

Docente Salario, estado civil.

Hogar Gastos.

75

División de la Estadística:

La estadística puede dividirse fundamentalmente en dos partes: Estadística

Descriptiva y Estadística Inferencial.

Estadística Descriptiva:

Esta se ocupa de la recolección, clasificación, ordenación, tabulaciones y

representaciones gráficas de los datos estadísticos que se deriven de la medición de

las características objeto de estudio.

Estadística Inferencial:

Esta se propone obtener conclusiones válidas de la población en estudio, a partir

del análisis de subconjuntos representativos llamados muestras.

Razones, Proporciones y Porcentajes:

Razón: Es un cociente que indica la relación existente entre dos cantidades, una

como numerador con otra como denominador, pero el numerador no debe estar

contenido en el denominador; por tanto la razón puede ser un número mayor que la

unidad.

R = a R = razón

b a = dato que posee la característica

b = dato que no posee la característica

76

Ejemplo :

En una escuela hay 500 alumnos, de los cuales 300 son varones y 200 son

hembras. La razón de varones con respecto a las hembras es: R = 300 varones = 3

200 hembras 2

Proporción:

Es un cociente que indica la relación existente entre una cantidad y el total de las

unidades consideradas. La proporción se calcula mediante la ecuación:

P = a a = cantidad n n = unidades consideradas

Ejemplo:

Se aplicó un test a un grupo de 40 personas, de los cuales 25 son mujeres y 15 son

hombres. La proporción de mujeres es:

P = 25 = 0,625

40

La proporción de hombres es: P = 15 = 0,375

40

77

Porcentaje:

Son proporciones que se han multiplicado por cien.

P % = P . 100 P % = Porcentaje

P = Proporción

Medidas de Tendencia Central:

Las medidas de tendencia central son los números alrededor de los cuales se

encuentra la mayoría de las observaciones de una serie.

La Media Aritmética:

Es el punto de balance de una distribución. Se le denomina simplemente media X .

Media Aritmética Simple:

Se calcula sumando todos los datos y dividiendo por el número de ellos. La media de

un conjunto de números: X1, X2, X3,..........Xn se obtiene mediante la ecuación:

X = X1 + X2 + X3..........+ X = ∑ X n n

78

Ejemplo: Calcule la media de las siguientes calificaciones: 18, 16, 18, 16,20, 18, 14,

16, 18, 14

X = 18 + 16 + 18 + 20 + 18 + 14 + 16 + 18 + 14 = 168 = 16,8 10 10

Media Aritmética para una Distribución de Frecuencia Simple:

Cuando el número de datos de la muestra es elevado, el calculo de la media se

simplifica si agrupamos los datos en una distribución de frecuencias simple.

Pasos para calcularla:

1.- Se multiplica cada dato por su respectiva frecuencia.

2.- Se suman estos productos.

3.- Se divide la suma anterior por el numero total de datos de la muestra, es decir:

X = ∑ f . X n

79

Ejemplo:

Los siguientes datos corresponden al numero de hijos de un grupo de personas:

2 0 2 4 4 6 6 4 6 7

4 4 7 4 2 0 4 6 7 7

Calcular la media de hijos del grupo, usando una distribución de frecuencias

simple:

N° de Hijos N° de Personas f . X

X f

0 2 0

2 3 6

4 7 28

6 4 24

7 4 28

∑ 20 86

X = ∑ f . X = 86 = 4,3n 20

80

Media Aritmética para datos agrupados en Intervalos:

Cuando los datos están agrupados en intervalos, el cálculo de la media se hace de

la siguiente manera:

1.- Calculamos las marsas de clase correspondientes a cada intervalo.

2.- Multiplicamos cada marca de clase por su respectiva frecuencia.

3.- Sumamos los resultados obtenidos y lo dividimos por el número total de datos de

la muestra:

X = ∑ f . Mc n

81

Ejemplo:

La siguiente distribución representa las calificaciones de 30 alumnos en una

evaluación:

Calificaciones N° de alumnos Mc f . Mc

X f

5 - 7 4 6 24

8 - 10 6 9 54

11 - 13 8 12 96

14 - 16 7 15 105

17 - 19 5 18 90

∑ n=30 369

La calificación promedio o media del grupo es:

X = ∑ f . Mc = 369 = 12,3 puntos n 30

82

Media Aritmética Ponderada:

Pasos para calcularla:

1.- Multiplicar cada valor por su respectiva ponderación.

2.- Sumar todos los productos y dividirlos por el número total de ponderaciones.

X = w1 . X1 + w2 . X2 +…….………. + wn . Xh = ∑ w . X W1 + w2 + w3 +…………….wk ∑ w

Ejemplo:

La siguiente tabla representa las asignaturas cursadas por un alumno de

Administración de Recursos Humanos en un semestre:

Asignatura Calificación Unidad Crédito

Nómina 7 3

A. R. H 8 2

Registro y Control 5 3

Evaluación y Eficiencia 9 4

Calcular su rendimiento promedio en el semestre.

X = 7 .3 + 8 . 2 + 5 . 3 + 9 . 4 = 21 + 16 + 15 + 36 = 88 = 7,33 12 12 12

El promedio del alumno en el semestre es de 7,33 puntos en una escala del 1 al 9.

83

La Media Aritmética de Varias Medias:

Cuando tenemos varias medias correspondientes a dos o más muestras y se desea

hallar la media de todas las medias como si se tratara de un solo grupo, se puede

hacer usando la media ponderada.

Ejemplo:

Se aplicó un test a tres grupos de alumnos y los resultados fueron:

X1 = 60 ; X2=50 ; X3=40 ; n1=10 ; n2=60 ; n3=30

Calcular la media aritmética de los grupos combinados.

X = n1 . X1 + n2 . X2 + n3 . X3 = 10 . 60 + 60 . 50 + 30 . 40 =

n1 + n2 + n3 10 + 60 + 30

X = 600 + 3000 + 1200 = 4800 = 48 puntos

100 100

84

La Mediana:

Se define como el valor de la variable que supera la mitad de los datos y a su vez

es superado por la otra mitad de los datos. Por esta razón se le considera como el

valor central, ya que estará situado en el centro de la distribución.

Mediana para Datos no Agrupados:

a.- Cuando el número de datos es impar: ordenando previamente los datos, la

mediana coincide con el término central. 12, 13, 14,15, 17, 18, 19

El término central es Md =15 puntos.

b.- Cuando el número de datos en par: ordenando previamente los datos, la mediana

será la media aritmética de los términos centrales. 14, 15, 15, 16, 17, 18

La mediana es: Md = 15 + 16 = 15,5 puntos 2

Mediana para Datos Agrupados en Frecuencias Simples:

Pasos:

1.- Se calculan las frecuencias acumuladas.

2.- Se halla la mitad de los datos de la muestra, es decir. n/2.

3.- La mediana será el valor de la variable cuya frecuencia acumulada sea n/2 o la

inmediata superior.

85

Ejemplo:

La siguiente distribución representa las calificaciones de un grupo de alumnos:

Calificaciones Alumnos fa X f 13 1 1 14 4 5 15 8 13 16 10 23 17 6 29 18 2 31 19 3 34 20 2 36

∑ n=36

La mediana anterior se calcula:

1.- Calculamos n/2 = 36/2 = 18

2.- Ubicamos la mitad de los datos, es decir 18, en la referencia acumulada igual a

18 o en la inmediata superior, el valor de la variable correspondiente es 16; luego

Md=16 puntos.

El resultado indica que la mitad de los alumnos tiene calificaciones mayores que

16 puntos y la otra mitad menores que 16 puntos.

86

Mediana para Datos Agrupados en Intervalos:

Cuando los datos están agrupados en intervalos, la mediana se calcula a través

de los siguientes pasos:

1.- Se determina la posición de la mediana, es decir n/2.

2.- Se determina el intervalo medianal (intervalo que contiene a la mediana). Que es

aquel cuya frecuencia acumulada sea igual a n/2 o la inmediata superior.

3.- Se efectúa la diferencia entre el orden de la mediana y la frecuencia acumulada

anterior a la que contiene.

4.- Se calcula la mediana mediante la ecuación:

Md = Lri + n - fa (anterior) . C 2

f

Md = Mediana

Lri= Límite real inferior del intervalo medianal.

n/2 = Posición de la mediana.

f = frecuencia medianal.

C = Amplitud del intervalo medianal.

Lri = 10 + 11 = 10,52

87

Ejemplo:

Calcular la mediana del siguiente grupo de calificaciones:

Calificaciones N° de Alumnos fa

X f

5 - 7 4 4

8 - 10 6 10

11 - 13 8 18

14 - 16 7 25

17 - 19 5 30

∑ n = 30

Solución:

Calculamos n/2 = 30/2 = 15

El intervalo que contiene a la mediana es aquel cuya frecuencia acumulada sea

igual a 15 o la inmediata superior, en nuestro caso la inmediata superior a 15, es

decir fa= 18; luego la mediana está en el intervalo 11 – 13

De donde: Lri = 10,5 ; n/2 = 15 ; fa(anterior)= 10 ; f = 8 ; C = 3

Aplicando la ecuación: Md = 10,5 + 15 – 10 . 3 = 10,5 + (0,625) . 3 8

10,5 + 1,875 = 12,375

Este resultado significa que 15 alumnos tiene más de 12,375 puntos y los otros 15,

menos de 12,375 puntos.

88

Calculo de la Mediana en forma Gráfica:

Pasos:

1.- Se grafica un polígono de frecuencias acumuladas u ojiva.

2.- Se determina el orden de la mediana.

3.- Se localiza este punto en el eje vertical, el de las frecuencias acumuladas.

4.- Por este punto se traza una paralela al eje de las abscisas hasta tocar la curva de

la ( fa).

5.- se traza una perpendicular al eje horizontal por el punto de corte con la curva.

6.- El corte de la perpendicular con el eje de las abscisas es la mediana.

Ojiva

(fa)

A 30

l 25

u 20

m 15

n 10

o 5

s 0

4,5 7,5 10,5 13,5 16,5 19,5

Calificaciones

Md = 12,375

89

La Moda:

Es el valor de la variable que presenta mayor frecuencia. La moda se simboliza :

Mo.

Moda para Datos Agrupados:

Ejemplo 1: La moda en la serie de calificaciones : 17, 15, 18, 17, 14, 19 es:

Mo = 17, ya que tiene mayor frecuencia (se repite dos veces).

Ejemplo 2: La moda en la serie de calificaciones: 14,17, 11, 10, 19, 12, 15 es:

Mo= no tiene, ya que ninguna calificación se repite.

Ejemplo 3: La moda de las siguientes calificaciones: 20, 15, 20, 15, 18, 17, 15, 20,

18 es: Mo= 20 y 15, ya que ambas presentan mayor frecuencia.

90

Moda para datos Agrupados en Frecuencias Simples:

Pesos Frecuencias

X f

46 1

47 4

48 5

49 3

50 2

51 3

52 2

∑ n=20

La moda de esta distribución es Mo= 48 kg, ya que es el peso con mayor

frecuencia.

91

Moda para Datos Agrupados en Intervalos:

Cuando los datos están agrupados en intervalos, la moda es la marca de clase con

mayor frecuencia

Calificaciones N° de alumnos Mc

X f

5 - 7 4 6

8 - 10 6 9

11 - 13 8 12

14 - 16 7 15

17 - 19 5 18

∑ n=30

Es Mo= 12 puntos, ya que es la marca de clase con mayor frecuencia.

Relación entre las Medidas de Tendencia Central:

Se cumple la relación empírica de Pearson:

Media – Moda = 3.(Media – Mediana).

Moda = 3 Mediana – 2 Media.

Esta relación permite calcular, cualquiera de ellas, conociendo las otras dos.

Cuando tenemos una distribución abierta, la relación anterior nos permite calcular

la media a partir de la mediana y la moda.

92

Medidas de Posición:

Son valores que permiten dividir un conjunto de datos en partes iguales.

Percentiles:

Se llaman percentiles a los valores que corresponden a determinados porcentajes

de la frecuencia acumulada. Por ejemplo, el percentil veinte P20 es el valor que

corresponde al 20% de las frecuencias acumuladas.

Cuartíles:

Los tres percentíles que dividen el total de los datos en cuatro partes iguales P25,

P50, P75 reciben el nombre de cuartiles y se representan por Q1, Q2, y Q3 .

Deciles:

Los percentiles múltiplos de diez P10, P20, P30, .......,P90 reciben el nombre de

deciles y se representan por D1, D2, D3,..........D9.

De lo anterior podemos deducir:

P25 P50 P75

Q1 D5= Q2 = Md Q3

93

Calculo de las Medidas de Posición para Datos no Agrupados:

Para calcularlas utilizaremos el mismo procedimiento que se usa en el calculo de

la mediana para datos no agrupados, tanto para datos pares como datos impares.

1.- Cuando n es par:

Dx = x . n Qx = x . n Px = x . n 10 4 100

Ejemplo:

Los siguientes datos corresponden a las calificaciones obtenidas por ocho

alumnos en una evaluación de Matemática: 18, 16, 19, 18, 13, 20, 10, 17 puntos.

Calcular: D4, Q3 y P25

Ordenamos los datos: 10, 13, 16, 17, 18, 18, 19, 20

D4 = 4 . 8 = 3,2 ; Q3 = 3 . 8 = 6 ; P25 = 25 . 8 = 2 10 4 100

2.- Cuando n es impar:

Dx= x . (n + 1) ; Qx= x . (n + 1) ; Px= x . (n + 1) 10 4 100

94

Ejemplo:

Los siguientes datos representan las edades de un grupo de alumnos: 20, 18, 19,

22, 19 y 23 años.

Calcular: D7, Q3 y P50

Ordenamos los datos: 18, 19, 19, 20, 21, 22, 23

D7 = 7 . 8 = 5,6 ; Q3 = 3 . 8 = 6 ; P50= 50 . 8 = 4 10 4 100

Calculo de las Medidas de Posición para Datos Agrupados en Intervalos:

Se utiliza el mismo procedimiento para el calculo de la mediana.

P = Lri + P - fa (anterior) . C

fP = Valor que representa la posición de la medida.

Lri= Límite real inferior del intervalo que contiene la medida buscada.

fa = frecuencia acumulada anterior a la que contiene la medida.

C = Amplitud del intervalo que contiene la medida de posición.

95

Ejemplo:

En la siguiente distribución, calcular: Q1, D5 y P60

Calificaciones N° de Alumnos fa

X f

5 - 7 4 4

8 - 10 6 10

11 - 13 8 18

14 - 16 7 25

18 - 19 5 30

∑ n = 30

Calculamos Q1: Hallamos la posición de la media: P = 1 . n = 1 . 30 = 7,5

4 4

Q1 está ubicado en el intervalo 8 – 10

De donde: Lri = 7,5 ; P = 7,5 ; fa(anterior)= 4 ; f = 6 ; C = 3

Aplicando la ecuación: Q1 = 7,5 + 7,5 – 4 . 3 = 7,5 + 1,74 = 9,24 puntos 6

Este resultado significa que el 25% de los alumnos, tienen calificaciones menores

que 9,24 puntos.

Calculamos el D5

Primero hallamos la posición de la medida: P = 5 . n = 5 . 30 = 15 10 10

96

El D5 está en el intervalo 11 – 13

De donde: lri = 10,5 ; P = 15 ; fa(anterior) = 10 , f =8 , C =3

D5 = 10,5 + 15 – 10 . 3 = 10,5 + (0,625 . 3) = 10,5 + 1,875 = 12,375 8

Calculamos el P75 = 75 . n = 75 . 30 = 22,5100 100

El P75 está en el intervalo 14 – 16

De donde: Lri = 13,5 ; P = 22,5 ; fa(anterior) = 18 ; f = 7 , C = 3

P75 = 13,5 + 22,5 – 18 . 3 = 13,5 + (0,642 . 3) = 13,5 + 1,926 = 15,426 7

97

Hallar la probabilidad de que:

a) Al lanzar dos dados y una moneda salga: 3,4 y cara.

b) Al lanzar tres dados salga: 3,6,5.

c) Al lanzar cuatro dados y dos monedas salga:1,6,4,3,cara y sello.

d) En un recipiente que contiene 3 metras azules, 2 metras rojas y 5 metras

verdes, al meter la mano sacar una azul y dos rojas.

e) En el siguiente cuadro numérico al lanzar un dardo, que posibilidad hay

de

Acierte el N° 4.

4 5 8 9 1 0 3

12 4 7 10 23 13 43

32 89 45 54 78 98 46

27 37 4 60 100 48 41

96 3 12 76 1 0 52

98

Con la siguiente distribución de frecuencias, hacer un gráfico de barras,

uno de líneas y uno circular.

Clases frecuencias punto medio f. acumulada

00-06 5

07-13 7

14-20 4

21-27 8

Con la siguiente distribución de frecuencias, hacer un gráfico de barras y

uno de puntos:

Intervalos frecuencias punto medio p .m x f

1 – 10 5

11 - 20 8

21 – 30 6

31 - 40 9

99

Un alumno realizó una encuesta a sus profesores y encontró que sus edades

eran: 32, 28, 32, 31, 30, 32, 25 y 41 años. Determine: Media de las edades,

mediana, moda, rango, desviación típica y varianza.

Antonio obtuvo las calificaciones:19, 18, 15, 15, 16 y 17 puntos. Determine:

Media de las calificaciones, mediana, moda, rango, desviación típica y

Varianza.

Halle la media aritmética : mediana, moda, rango, desviación típica y

varianza de los siguientes datos: 5, 8, 4, 3, 7, 8, 4, 2, 9, 5, 6, 7.

Calcule: Q3, D9, P50 y P84 de los datos: 200, 140, 230, 155, 180, 205, 140, 165

140, 190, 180, 225, 240, 140, 140, 155, 165, 140, 140, 140

El número de hijos por familia de un grupo de docentes es: 2, 1, 2, 4, 4, 6, 6,

4, 6, 7, 4, 4,7, 4, 2, 1, 4, 6, 7, 7. Elabore una distribución de frecuencias

simple y luego determine : Media de hijos por familia, mediana, moda,

desviación típica y varianza.

Las edades de un grupo de alumnos son: 13, 15, 14, 16, 18, 13, 14, 17, 15, 16,

13, 15, 14, 16, 16, 17 y 15 años. Elabore una distribución de frecuencias simple

y luego determine: la media de las edades, mediana, moda, desviación típica y

varianza.

100

Calcule : Q1, D5, P70, y P50 en la distribución:

X f

36 237 138 339 440 541 442 243 344 1

Tres secciones A, B y C de una escuela presentaron los siguientes resultados

en una evaluación de matemática:

XA = 11,9 puntos con nA = 24 alumnos.

XA = 14,2 puntos con nB = 30 alumnos

XA = 10,8 puntos con nB= 28 alumnos.

Calcule la media aritmética de los grupos combinados

101

Calcule la media de las medias en:___ ___ ___

X1 = 60 X2 = 40 X3 = 50

__ __ __ X4 = 12 X5 = 30 X6 = 60

Un carro a una velocidad de 60 km/h en la primera hora de recorrido, 70km/h en la segunda hora y 80 km/h en la tercera hora. Halle la velocidad promedio del carro.

___

Si una distribución tiene X = 18, Md = 14 y Mo = 12 entonces es ¿simétrica?, ¿asimétrica positiva? o ¿asimétrica negativa?

102

Dada la distribución de frecuencias:

Peso Alumnos(kg) f

50-52 6 53-55 11

56-58 7 59-61 9 62-64 7

∑ n=40

Calcule: la media de los pesos, Md, Mo, D3, Q1, P60, Q, S, S 2

Dada la distribución:

Bs f

201-230 8231-260 10261-290 16291-320 14321-350 10351-380 7

∑ n=65

Calcule: la media aritmética, Md, Mo, D4, P80, Q3, S, S

103

Dada la distribución:

Puntajes Alumnos f

7-11 2 12-16 7

17-21 1222-26 727-31 2

∑ n=30

Calcule: la media de las calificaciones, Md, Mo, Q1, P60, Q, S, S 2

La antigüedad en el trabajo de un grupo de docentes, se muestra en la distri- bución:

Antigüedad Docentes (años) f

1- 5 126-10 22

11-15 35 16-20 46 21-25 46 26-30 29

31-35 10

∑ n=200

Calcule: la antigüedad promedio del grupo de docentes, Md, Mo, D8, Q1, P60, Q, S, S 2

104

Nociones elementales de Informática:

a) Dato: es la representación de hechos, conceptos o instrucciones de una

manera formalizada, ajustada para la comunicación, interpretación o

procedimiento manual o automatizado.

b) Información: conocimiento adecuado para dar respuesta coherente y lógica a

un hecho o fenómeno.

c) Tipos de datos:

1) Primarios: son los que permiten verificar las transacciones que dan

origen al proceso.

2) Secundarios: se originan de otros datos o de una información, no

permiten verificar todas las transacciones.

d) Procesamiento datos: son dispositivos conectados a las computadoras,

capaces de leer en estos soportes la información y escribirla en ellos según se

trate de una lectura o de una escritura.

e) Formas de procesamiento de datos:

.- Medios perforados.

.- Soportes perforados: tarjetas perforadas.

cintas perforadas.

105

.- Medios magnéticos: tambor magnético.

soporte magnético.

cintas magnéticas.

disco magnético.

.- Medios ópticos.

.- Terminales de teclado-pantalla.

.- Impresora.

Estructura de los computadores: generalmente una computadora normal, está

formada por:

a) Monitor o pantalla.

b) Teclado.

c) C .P.U

d) Impresora.

e) Mouse.

f) Fax.

g) Scanner.

108

Partes de un Computador

Unidad de Entrada Unidad de Memoria Unidad de Salida

Traduce palabras y números Almacena datos e lenguaje a lenguaje de máqui- instrucciones nas.

Unidad de Control

Controla los cálculos y el ordende las instrucciones

Unidad Aritmética

Ejecuta todos los cálculos

Unidad Central de Procesamiento

Traduce ellenguaje demáquina apalabras ynúmeros

109

Características de los computadores:

a) Existen dos tipos de máquinas capaces de ejecutar algoritmo:

.- Con lógica cabienda: la información está impresa en los circuitos.

.- Con lógica programada: admiten la programación de algoritmo por

medio de lenguajes de programación.

b) Tienen gran velocidad de cálculo.

c) Tienen gran capacidad de almacenamiento.

d) Tienen gran precisión.

e) Son versátiles ya que pueden realizar multitud de trabajos de distintos

Tópicos.

f)Son automatizadas, ya que la mano del hombre interviene relativamente.

Aplicaciones de los computadores:

Uno de los mayores impactos de la informática ha sido el que ha afectado a los

trabajos administrativos de la oficina, dando lugar a una técnica conocida con el

nombre de ofimática.

110

Tareas administrativas del computador:

a) Gestión de personal.

b) Proceso de nóminas.

c) Control de inventarios.

d) Gestión de almacén.

e) Facturación y contabilidad.

f) Análisis de todos los datos relacionados con el negocio.

g) Información de productores, partes y materiales.

h) Estado de cuentas de los clientes.

Aplicaciones Industriales:

a) Control de procesos industriales.

b) Robótica industrial.

c) Diseño.

d) Otros.

Aplicaciones tecno-científico:

a) Predicciones meteorológicas.

b) Control ambiental.

c) Control de comunicación satelital.

d) Programas de simulación (vuelos).

e) Otros.

111

Aplicaciones médicas:

a) Control clínico del paciente.

b) Mantenimiento de hospitales.

c) Tomografía computarizada.

d) Otros.

Concepto de algoritmo:

El algoritmo es un procedimiento general con acciones y decisiones claramente

especificado y sin ambigüedades que conducen a la solución de un problema

específico (definido), siguiendo un número infinito de pasos (instrucciones)

ordenadas lógicamente.

112

Símbolos empleados en el diseño de diagramas de flujo:

Proceso salida - entrada

Operación

Manual decisión

Inicio-fin introducción

manual

magnetic-tape

documento punched

card

113

Representación gráfica de algoritmos :

1) Algoritmo para abrir una puerta

inicio

acercarse a

la puerta

intentar abrirla dándole vuelta al pomo

no ¿ está cerrada si buscar la introducir la con llave? Llave llave en la

cerradura

darle vuelta a

la llave

dar vuelta no ¿ Se abrió

al pomo la puerta

abrir comple- salir tamente la puerta

fin

114

Problema N° 2: Calcular la suma de los 20 primeros números enteros positivos.

Algoritmo:

1.- Asignar variables SUM y N el valor 0 (se escribe SUM = 0 y N = 0)

2.- Aumentar a N en 1 (se escribe : N = N + 1)

3.- Sumar a SUM el valor en N (se escribe: SUM = SUM + N)

4.- Si N < 20, pasar a instrucción 2.

5.- Imprimir : SUM.

Comienzo

N = 0SUM = 0

N = N + 1

SUM = SUM + N

Si

¿ Es N < 20

No

Imprima SUM fin

115

Problema N° 3: Calcular la suma de los veinte primeros números pares enterospositivos.

Algoritmo:

1.- Asignar a las variables SUM, X y N el valor 0.2.- Aumentar a X en 2 (se escribe : X = X + 2)3.- Aumentar a N en 1 (se escribe : N = N + 1)4.- Sumar SUM el valor en X (se escribe: SUM = SUM + X)5.- Si N < 20, pasar a instrucción 2.6.- Imprimir

Comienzo

N = 0X = 0

SUM = 0

X = X + 2

N = N + 1

SUM = SUM + X

Si ¿ Es N < 20 ? No Imprima

fin

116

1) Representar el algoritmo para montar un caucho del carro.

2) Representar el algoritmo para bañarse.

3) Representar el algoritmo para presentar un examen de matemática.

4) Representar el algoritmo para levantarse.

Problema N° 1: Multiplicar dos números enteros positivos

1) Leer los N° enteros positivos A y B2) Asignar a las variables PROD y N el valor 03) Sumar a PROD el valor en A4) Aumentar a N en 1.5) Si N < B pasar a instrucción3.6) Imprimir: PROD

Problema N° 2 : Dividir dos números enteros positivos.

1) Leer los N° enteros positivos A y B.2) Asignar a las variable COC el valor 0.1) Efectuar A – B y asignarlo a A.2) Aumentar a COC en 1.3) Asignar a RES el valor A.4) Imprimir: COC y RES

117

Problema N° 3: Determinar el Máximo Común Divisor de dos N° enteros

positivos, utilizando divisiones sucesivas.

1) Leer los números enteros positivos A y B.

2) Si A > B, pasar a instrucción 4.

3) Intercambiar valores de A y B.

4) Dividir a entre b y obtener cociente C y resto R.

5) Si R = 0 pasar a instrucción 7

6) Asignar en A el valor de B, y en B el valor R.

7) Imprimir; MCD (A , B) = B

119

Laberinto de los Números Reales y Radicales

Descripción:

Consta de un tablero de cartulina en el que se dibuja un laberinto. Este laberinto

en su trayectoria tiene 20 preguntas identificadas como ¿1? y 20 respuestas

identificadas como 1 .

Además en la ruta el jugador encontrará observaciones como : “avanza

espacios” ; “pierdes un turno” ; “retrocede espacios” ; “avanza siguiente

pregunta” ; “vuelve a lanzar”.

Se utilizará un dado convencional por tablero. Se elaborarán 4 fichas de color:

rojo, verde, azul, amarillo.

Regla del Juego:

1.- Se podrá jugar de 2, 3 ó 4 jugadores.

2.- Se utilizará un dado a la vez.

3.- Se rifará el salidor, lanzando el dado y quien saque el mayor número saldrá

primero.

4.- El jugador al ir avanzando respetará las observaciones en la ruta. Al caer en

una estrella de pregunta, tendrá que contestarla y si lo hace correctamente

ganará un (1) punto. Si no la contesta se le restará 0,5 puntos a lo que lleve

acumulado.

5.- Ganará el jugador que al llegar a la meta, tenga el mayor puntaje.

6.- El docente estará pendiente de cada tablero y llevará las anotaciones correspon-

dientes.

Objetivo Terminal:

Con el juego se busca lograr la comprensión y desarrollo de los objetivos de los

Números Reales, Irracionales y Radicales, mediante una interacción entre

compañeros y profesor.

120

Avanza a 6

Avanza a 2

Avanza a 4

Avanza

a 8

Avanza

a 11

Avanza

a 14

Avanza

a 1616

Avanza

a 19

Pierde

1 turno

Pierde

1 turno

Pierde1 turno

Pierde

1 turno

Pierde

1 turno

Atrás 3

espacios

Atrás 4

espacios

Atrás 2

espacios

Atrás 4

espacios

Atrás 1

espacios

Atrás 2

espacios

Vuelve a

lanzar

Vuelve alanzar

Vuelve alanzar

Vuelve a lanzar

Avanza 1espacio

Avanza 5espacios

Avanza 1espacio

121

Preguntas Respuestas

Cara Posterior Cara Posterior

Preguntas:

3El decimal 3,8 es

un N°:

1

Define NúmeroIrracional

2El conjunto de los

N° Reales es:

4Las expresiones

decimales seclasifican en:

6Calcular la fracción

generatriz f = 3,4

5

En 0,4166 ¿Cuál es laparte entera, anteperiodo y periodo

122

9

En na = bn = ? = ?

b = ?

7Suma los Reales

5/2 + 2 + 0,36 =

8

Representar 2

10

Simplificar 125

12Multiplicar

43a2 . 42a

11Sumar los radicales

43 + 53 + 3 =

13Multiplicar

3a2 . b

15Dividir

3a2 . 54ab2

16Resuelve la potencia

( 4a2b)3 =

14Dividir

34a2b = 32ab

123

Respuestas:

18Restar

5x - 2x =

17Racionalizar

... a.....5a3

19Racionalizar

.... 2......2 + 2

20Resuelve la potencia

5 3a =

1Son los N° decimales que no

podemos expresar exactamentepor N° racionales.

2Es el conjunto formado por launión de los Q e I. Se anota

como R.

3

Irracional, porque es unaexpresión decimal limitada

4

a) Decimal mixtab) Decimal pura

124

2

5Parte entera: 0

Ante periodo: 41Periodo: 66

6

10f = 10 . 3,4 = 34,4-f = -1 . 3,4 = - 3,4

9f = 31f = 31 9

7

4,274

8

2 2

9 = signo radical

n = índice de la raíza = cantidad subradical

b = raíz n-sima de a

10

653 = 6/35 = 5

11

103

12

46a3

125

13

6/3(a2)2 . 6/3b3 = 6a4b3

14

3 4a2b = 32a 2ab

1512(a2)4 . 1256 =

12(ab2)3

12 a8.56 = 12 56.a5

a3.b6 b6

16

4(a2b)3 = 4a6b3 = aa2b3

17

...a... . 5a2 = a 5a2 = 5a3 5a2 a

5a2

18

3x

19 2 . 2-2 = 2(2-2)

2+2 2-2 22 – (2)2

2(2-2) = 2 - 2 4 - 2

20

15a

126

Ludo del Sistema de Coordenadas Rectangulares

Descripción:

Consta de un tablero rectangular elaborado en cartulina, distinguido con cuatro

colores : verde, azul, amarillo y rojo. Además contiene 16 fichas (4 verdes, 4 azules,

4 amarillas y 4 rojas) para ser utilizado por cuatro jugadores.

El recorrido en el juego estará representado por varias operaciones relacionadas

con el sistema de coordenadas rectangulares, sistema de ecuaciones y función afín.

Regla del Juego:

1.- Se rifa el salidor ( saldrá primero el que saque el mayor número del dado).

2.- Se utilizará un dado a la vez.

3.- Se podrá jugar con una ficha a la vez, hasta que se introduzcan una a una en la

casilla de llegada.

4.- Al llegar a una casilla con operaciones, hay que contestar. Si es correcto

esperara su siguiente turno, si es incorrecto se perderá un turno de juego.

5.- Ganará el que introduzca todas las fichas en el triángulo de llegada.

Objetivo Terminal:

El alumno mediante el juego del Ludo, conocerá las operaciones fundamentales

del sistema de coordenadas de coordenadas, sistemas de ecuaciones y función afín.

128

Subiendo y bajando la escalera (Estadística)

Descripción:

Este juego se dibujará en una hoja blanca o cartulina, utilizando cuatro fichas

de colores diferentes para identificar los jugadores .

Regla del juego:

1.- Constará de 24 escalones enumerados.

2.- Por cada escalón habrá una tarjeta con una pregunta, ejercicio o sugerencia,

deberá

contestar o resolver el ejercicio para poder avanzar.

3.- Se jugará de dos (2) hasta cuatro (4) alumnos por cada escalera.

4.- Se utilizará un (1) dado a la vez.

5.- Cada alumno debe tener hojas blancas, lápiz, regla y colores, para poder

cumplir con

los ejercicios.

6.- El docente supervisará el desarrollo del juego.

7.- Ganará el alumno que logre contestar todas las preguntas y llegue primero.

8.- Habrá ocho (8) tarjetas de inmunidad para solventar las preguntas, si no la

sabe, y

librarse de la caída de la casilla 13.

Objetivo terminal:

El objetivo de este juego es obtener el conocimiento básico de los objetivos de

estadística y probabilidad del programa de Matemática de una manera sencilla y

amena.

129

Vuelve a empezar

13

12

11

10

9

8

7

6

5

4

3

2

1

14

15

16

17

18

19

20

21

22

23

24

130

Tarjetas de Preguntas

Posterior

3Toma una tarjeta de

inmunidad

1

Define Estadística

2

¿ Qué significa % ?

4

Hallar la probabilidad deque al lanzar un dado salga

el N° 4

5¿Este es un gráfico?

frecuencia

rojo

verde

azul

amarillo

morado

6¿ Que es la

probabilidad ?

131

7Lanza dos monedas y halla

la probabilidad de que salgacara y sello

8

Toma una tarjeta deinmunidad

11 ¿ Este es un gráfico de?

0

20

40

60

80

100

1er trim. 2do trim. 3er trim. 4to trim.

9

¿Qué significa fr ?

10


13

Define población

14


12

Avanza 2 escalones

132

15

Define muestra

16

¿ Cuál es la moda en?3,4,5,2,1,3,6,8,3

19Grafica el siguiente cuadro:

Intervalos Frecuencia 00 - 05 1 06 - 10 4 11 - 15 6 16 – 20 2

17


18

Retrocede 4 escalones

20


21

Define la mediana

22Calcular la media en:

5, 3, 10, 9, 5, 6, 4

133

Tarjetas de Inmunidad

23¿ Qué porcentaje es

350 de 1000?

24Calcular la mediana en:

1, 3, 4, 5, 6, 2, 8

134

Respuestas

1.- Es la ciencia en la que se ordena y clasifican experiencias sobre fenómenos

que han ocurrido

2.- Significa porcentaje

3.-

4.- La probabilidad es P = 1/6

5.- Gráfico circular

6.- Es el estudio de fenómenos ocurridos al azar

7.- P = 2/4

8.-

9.- Frecuencia relativa

10.-

135

11.- Gráfico de barras

12.- Avanza 2 escalones

13.- Es el conjunto de todos los objetos de estudio de una investigación

14.-

15.- Es un subconjunto de la población

16.- La moda es: 3

17.-

18.- Retrocede 4 escalones

19.-

0

2

4

6

00 - 05 06 - 10 11 - 15 16 - 20

136

20.-

21.- La mediana es el valor central de una distribución.

22.- x = 42 x = 6 7

23.- 35%

24.- es 5

137

Crucigrama Matemática (Teorema de Pitágoras y Euclides)

10

Verticales:

1.- este triángulo se denomina

3.- Este triángulo se llama

4.- Este triángulo se llama

8.- Esta fórmula corresponde al teorema /CB/2 = /BA/2 + /CA/2

10.- En 4m x x es igual a

3m

Horizontales:

1.- El rectángulo tiene ángulos 7.- x este cateto se llama

2.- se denomina 9.- Nació en Siracusa en 287-212 a de J .C

5.- Figura formada por dos líneas que parten de un mismo punto.

6.- los lados de un triángulo se llaman

1

2 4 3

6

5

7

9

8

138

Crucigrama Matemático:

1 5

2 3

6 7

4

8 9

10 11 10

12

Horizontal: Vertical:

1.- Suma de 3 + 4 1.- se define + como

2.- Se llama 3.- 8 se escribe

4.- . se escribe 5.- 3 se escribe

6.- Siete en ingles 7.- 21 – 1 es igual

8.- 2 + 3 es igual 9.- x en x = 5 – 1 es igual

10.- 13 se escribe 11.- se conoce como

12.- + se escribe

149

BIBLIOGRAFIA

NAVARRO, E………………………………..Matemática 9no Grado. Distribuidora

Zacarías. Caracas Venezuela.1987.

SARABIA, José y BARRAGÁN, Fernando. Matemática 9no Grado. Ediciones

CO-BO. Caracas. Venezuela. 1993

PULIDO, Jesús………………………….Estadística General. Caracas I.U.M.P.M

1986.

MICROSSOF ENCARTA 99

Cuaderno de Matemática 3er Año Media

Education

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