Formación matemática universitaria

sugerencias desde la investigación didáctica

Carmen Azcárate

Departamento de Didáctica de las Matemáticas y las Ciencias Experimentales

Universidad Autónoma de Barcelona

Índice de la charla

1. ¿Investigación en Didáctica de las Matemáticas? - enfoque sistémico de la Didáctica de las Matemáticas

2. Pensamiento matemático avanzado- percepción y acción- procesos del pensamiento matemático avanzado- obstáculos cognitivos- modelos del pensamiento matemático avanzado

3. La formación de profesores universitarios- profesores de universidad: algunos resultados de la investigación

Formación matemática universitaria: sugerencias desde la investigación didáctica

1. ¿Investigación en Didáctica de las Matemáticas? - un enfoque sistémico

Preguntas clave tradicionales:

¿ Qué CuándoCómo ENSEÑAR ?

¿ Qué Cuándo Cómo EVALUAR ?

MATEMÁTICAS

ALUMNO/A CLASE

PROFESOR/A

Tres “polos”:

MATEMÁTICAS que se enseñan

ALUMNO/A CLASE

PROFESOR/A

Historia Epistemología Física Biología Otras ciencias ...

MATEMÁTICAS (campo científico)

TRANSPOSICIÓN DIDÁCTICA

S OC I E D A D

S OC I E D A D

S O

C I

E D

A D

S O

C I

E D

A D

PLANIFICACIÓN

MATEMÁTICAS que se enseñan

ALUMNO/A CLASE

PROFESOR/A

Historia Epistemología Física Biología Otras ciencias ...

MATEMÁTICAS (campo científico)

TRANSPOSICIÓN DIDÁCTICA

S OC I E D A D

S OC I E D A D

S O

C I

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CURRÍCULOS

Adulto Personalidad Ideología Creencias Formación ...

PLANIFICACIÓN

MATEMÁTICAS que se enseñan

ALUMNO/A CLASE

PROFESOR/A

Historia Epistemología Física Biología Otras ciencias ...

MATEMÁTICAS (campo científico)

TRANSPOSICIÓN DIDÁCTICA

S OC I E D A D

S OC I E D A D

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S O

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CURRÍCULOS

Adulto Personalidad Ideología Creencias Formación ...

APRENDIZAJE

Niño/a-adolescente Género Personalidad Creencias Estructura cognitiva ...

PLANIFICACIÓN

MATEMÁTICAS que se enseñan

ALUMNO/A CLASE PROFESOR/A

Historia Epistemología Física Biología Otras ciencias ...

MATEMÁTICAS (campo científico)

TRANSPOSICIÓN DIDÁCTICA

S OC I E D A D

S OC I E D A D

S O

C I

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S O

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CURRÍCULOS

Adulto Personalidad Ideología Creencias Formación ...

APRENDIZAJE

Niño/a-adolescente Género Personalidad Creencias Estructura cognitiva ...

GESTIÓN DEL AULA CONTRATO DIDÁCTICO

COMUNICACIÓN

=> ¿qué, cuándo, cómo enseñar/evaluar?

Ejemplos de investigaciones

El profesor universitario de Matemáticas: estudio de las concepciones y creencias acerca de la enseñanza de las ecuaciones diferenciales. Estudio de casos. (Moreno, 2001)

Infinito actual: inconsistencias e incoherencias de estudiantes de 16-17 años. (Garbin, 2000)

Un estudio sobre el papel de las definiciones y las demostraciones en cursos preuniversitarios de cálculo Diferencial e Integral. (Calvo, 2001)

La derivada como objeto matemático y como objeto de enseñanza en profesores de Matemática de Colombia(Badillo, 2003)

2. Pensamiento matemático avanzado

- percepción y acción

- procesos del pensamiento matemático avanzado

- obstáculos cognitivos

- modelos del pensamiento matemático avanzado

- percepción y acción

David Tall: existen dos secuencias de desarrollo, distintas y

simultáneas, que empiezan, una por la PERCEPCIÓN de objetos

y la otra con la ACCIÓN.

La actividad matemática empieza por la percepción de objetos en

forma VISUO-ESPACIAL seguida de su descripción verbal, su

clasificación y el inicio de deducciones verbales -> GEOMETRÍA

La acción sobre objetos matemáticos nos lleva a considerar un

tipo de desarrollo cognitivo distinto, relacionado con la

DUALIDAD PROCESO-OBJETO

La función: f(x) = x2 – 9 representa simultáneamente:- el PROCESO de cómo calcular el valor de la función f(x) para un valor particular de x;- el OBJETO, es decir el concepto de función para un valor

general de x.

- el PROCESO de tender a un límite; la indicación del cálculo que hay que realizar;- el OBJETO valor del límite

lim ______x - 1 x - 1

2

x ->1; lim ______

sen x

x x -> 0

Cuando un proceso y su producto se representan mediante el

mismo símbolo, David Tall utiliza el término PROCEPTO

(PROceso/conCEPTO).

P. M

. E.

P. M

. A.

TR

AN

SIC

IÓN

HA

CIA

EL

P. M

. A.

Interacciones con el sistema exterior

PERCEPCIONES DE OBJETOS

ACCIONES SOBRE OBJETOS

GEOMETRÍA ARITMÉTICA

ÁLGEBRA

CÁLCULO

GEOMETRÍA ALGEBRAICA

ALGEBRA AVANZADADEMOSTRACIÓN EUCLÍDEA

TRIGONOMETRÍA

MEDIDA

- procesos del pensamiento matemático avanzado

La principal distinción entre el llamado “pensamiento matemático elemental” (PME) y el “pensamiento matemático avanzado” (PMA) es la COMPLEJIDAD y la CAPACIDAD DE CONTROLARLA

Los procesos más potentes son aquellos que permiten este control, en particular la REPRESENTACIÓN y la ABSTRACCIÓN

ABSTRAER: sustituir fenómenos concretos por “conceptos confinados a la mente humana” (Dreyfus)

Procesos matemáticos: • analizar, categorizar, conjeturar, generalizar, sintetizar

• DEFINIR, DEMOSTRAR, FORMALIZAR

Procesos matemáticos y psicológicos:

• representar, conceptualizar (formar conceptos), inducir, visualizar.

COMPRENDER: puede ser un “click” de la mente pero suele suceder como una secuencia de actividades donde ocurren una gran variedad de procesos mentales que interaccionan entre sí.

Demostrar la igualdad: 2 2+k

∫ f(x) dx = ∫ f(x– k) dx 1 1+k

- ocultar los verdaderos procesos matemáticos anteriores a

los resultados finales refinados y formales:

- ensayo y error

- intuición, imprecisión

- visualización

- enseñar rutinas:

se aceptan las rutinas bien ejecutadas como un éxito (aunque solo sea un éxito aparente)

- hacer solo ejercicios de aplicación, pocos problemas

Características "perversas" de la enseñanza universitaria:

- sucesión: definición - teorema - demostración - aplicación

Frente a esas prácticas, fomentar la METACOGNICION es una

condición importante del auténtico aprendizaje :

- Recapacitar y pensar en cómo se ha llegado a la solución.

- Adelantar la solución.

- Controlar la complejidad en la abstracción y la representación.

- Controlar los procesos mentales y matemáticos.

- obstáculos cognitivos

"El error no es solo efecto de la ignorancia, del azar... sino

EL EFECTO DE UN CONOCIMIENTO ANTERIOR,

que tuvo su interés, su éxito, y que después se revela falso o simplemente inadaptado.

Los errores de este tipo no son fortuitos e imprevisibles, se constituyen en obstáculos." (Brousseau,1983).

La forma en que se aprende no suele coincidir con la manera formal lógica de presentar un concepto matemático dentro de la comunidad matemática.

La presentación lógica suele ofrecer OBSTÁCULOS COGNITIVOS para el que aprende.

Obstáculos de los números racionales:- multiplicar aumenta/dividir disminuye- existe el siguiente de un número, …- los números decimales son PARES DE NÚMEROS NATURALES

Bien! Mal!

“Esta maestra está loca: yo siempre lo hago igual y ella, unas veces me pone “bien!” y otras veces me pone “mal!”

2, 37 2, 37 + 5, 41 + 5, 89

7, 78 7, 126

Características fundamentales de los obstáculos cognitivos

1. Se trata siempre de un conocimiento, no de una ausencia de conocimiento; puede ser incorrecto o incompleto, pero es coherente.

2. Los errores producidos son muy resistentes a la corrección.

3. Es un conocimiento que produce respuestas correctas en

determinadas situaciones o dominios de problemas.

4. Es un conocimiento que engendra respuestas erróneas para ciertas situaciones o problemas nuevos.

5. Los errores que producen no son esporádicos, se repiten sistemáticamente en situaciones similares.

Nos proponemos:

Identificar lo que caracteriza la RIQUEZA o COMPLEJIDAD de las REPRESENTACIONES MENTALES de los conceptos matemáticos.

Una representación mental es RICA si refleja muchos aspectos relacionados con el concepto de tal manera que exista una gran flexibilidad a la hora de enfrentarse y resolver problemas.

Para investigar en este sentido se recurre a modelos teóricos.

- modelos del pensamiento matemático avanzado

ESQUEMA CONCEPTUAL es un modelo que sirve para referirse

a la ESTRUCTURA COGNITIVA,

se habla del ESQUEMA CONCEPTUAL que cada uno de

nosotros tiene de un CONCEPTO MATEMATICOS

Componentes del esquema conceptual de un concepto

matemático:

- imágenes mentales

- propiedades asociadas

- procedimientos

- situaciones o problemas asociados

- sensaciones, afectos

ESQUEMAS CONCEPTUALES (Vinner, Dreyfus, Tall)

Imágenes mentales

La imagen mental de un concepto es el conjunto de imágenes asociadas al concepto en nuestra mente

Por ejemplo, para el concepto de derivada:

• Imágenes gráficas:

• Distintas expresiones simbólicas:

f[x + ∆(x) – f(x)y’ f ’(x) lim -------------------- …

∆(x)->0 ∆(x)

Propiedades asociadas al concepto de derivada

- “La derivada es aquello que se obtiene multiplicando por los exponentes y bajándolos en una unidad”.

- “La derivada describe la variación de una función en un punto”.

- “La derivada de una función es la tangente”.

- “La derivada de f(x) es:

lim [f(x + ∆x) - f(x)/∆x] para ∆x -› 0”. - …

Procedimientos

- La derivada de un producto de funciones es el producto de las derivadas de cada función.

- La derivada de una suma de funciones es la suma de las derivadas de cada función.

- La derivada de una función en un punto se calcula obteniendo la pendiente de la recta tangente en ese punto.

- Para calcular derivadas es necesario saberse de memoria las reglas de derivación o tener la tabla.

- …

Experiencias asociadas

- “El velocímetro de un coche marca la velocidad instantánea que es una derivada.”

- “Recuerdo un problema de una piedra que se caía y que resolvimos calculando derivadas.”

- “Cuando estudié el movimiento armónico simple usábamos las ecuaciones:

l = r sen ∂t (l: elongación, ∂: vel. ang.) v = r∂ cos ∂t a = - r∂2 sen ∂t

donde cada función es derivada de la anterior”.

- …

Sensaciones, afectos

- Me lo paso muy bien calculando derivadas.

- Siempre me armo un lío con las funciones compuestas.

- No me salen bien los problemas de tangentes y secantes.

- No me gusta calcular derivadas en Física cuando la x es una t.

- No entiendo eso de la variación instantánea.

DEFINICIÓN DE UN CONCEPTO Y ESQUEMA CONCEPTUAL

Se pueden distinguir:

- las matemáticas como sistema formal: definición formal del concepto

- las matemáticas como actividad mental: forma en que las personas piensan acerca de un concepto matemático

2- El ESQUEMA CONCEPTUAL que tiene una persona de

un concepto matemático que nos permite referirnos a su

estructura cognitiva.

Consideraremos por separado:

1. LA DEFINICIÓN de un concepto matemático: secuencia de palabras o definición verbal del concepto, fruto de su evolución histórica

definiciones formales, convenidas y aceptadas por la comunidad científica de los matemáticos

definiciones personales, que utilizan las personas (estudiantes, profesores, matemáticos) como construcción o reconstrucción de una definición formal.

3. La formación de profesores

- profesores de universidad: algunos resultados de la investigación

Dos estudios (Moreno y Azcárate):

1- ENSEÑANZA DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES A QUÍMICOS Y

BIÓLOGOS DESDE LA PERSPECTIVA DEL PROFESOR DE MATEMÁTICAS. UN

ESTUDIO DE CASOS. (199)

Objetivos• Indagar acerca de las concepciones de los profesores de

matemáticas sobre la enseñanza de las ecuaciones diferenciales en carreras científico-experimentales.

• Detectar y descubrir dificultades relativas al “qué” y “cómo” enseñar ecuaciones diferenciales en esas titulaciones.

“Las creencias son conocimientos subjetivos, poco elaborados, generados a nivel particular por cada individuo para explicarse y justificarse muchas de las decisiones y actuaciones personales y profesionales vividas.

Las creencias no se fundamentan sobre la racionalidad, sino más bien sobre los sentimientos, las experiencias y la ausencia de conocimientos específicos del tema con el que se relacionan, lo que las hace ser muy consistentes y duraderas para cada individuo”.

“Las concepciones son organizadores implícitos de los conceptos, de naturaleza esencialmente cognitiva y que incluyen creencias, significados, conceptos, proposiciones, reglas, imágenes mentales, preferencias, etc., que influyen en lo que se percibe y en los procesos de razonamiento que se realizan.

El carácter subjetivo es menor en cuanto se apoyan sobre un sustrato filosófico que describe la naturaleza de los objetos matemáticos”.

Conclusiones: estilos docentes

Estilo tradicional:

• Potencia el aspecto procedimental sobre el conceptual.

• Elabora un discurso matemático para matemáticos.

• Toma la matemática como “objeto en sí misma”.

• Tiende al acopio de técnicas y métodos de resolución analíticos.

• Hay ausencia del ordenador en el aula como instrumento de aprendizaje.

• Los problemas se utilizan siempre como ejemplos o aplicaciones, nunca para la introducción o el desarrollo.

Estilo “avanzado”:

• Se integra la matemática con situaciones globales y de biología o química.

• Se presenta un equilibrio entre las dos dimensiones de la matemática: como objeto y como instrumento.

• Los problemas se integran de manera natural en el currículo.

• Se elabora un discurso matemático para biólogos o químicos y se motiva la enseñanza de las ED a partir de modelos concretos de B o Q.

• Se incorpora el ordenador como instrumento de enseñanza-aprendizaje.

Objetivos

- Determinar las características relevantes de la enseñanza

universitaria.

- Explicar la persistencia de las metodologías que favorecen

las rutinas.

- Caracterizar a los profesores en función de sus creencias y

sus concepciones.

- Determinar el nivel de coherencia entre las concepciones y

creencias y las práctica docente.

- Valorar la consistencia y permeabilidad de tales

concepciones y creencias

2- EL PROFESOR UNIVERSITARIO DE MATEMÁTICAS: ESTUDIO DE LAS CONCEPCIONES Y CREENCIAS ACERCA DE LA ENSEÑANZA DE LAS

ECUACIONES DIFERENCIALES. ESTUDIO DE CASOS. (2001)

Algunas de las creencias que destacan en la mayoría de los profesores:

• Los estudiantes son aprendices de matemáticas con un nivel de competencia elemental que solo les permite ejecutar actividades mecánicamente.

• Los estudiantes aprenden matemáticas por imitación y memorización de situaciones y esquemas de resolución vistos en clase.

• Los estudiantes son incapaces de pensar, crear y razonar por sí mismos.• No queda más remedio que presentar los contenidos muy simplificados,

eliminando lo superfluo, dirigiendo mucho todas las actividades y explicaciones, como única opción para elevar el nivel de éxito de los estudiantes.

• Las definiciones son algo mecánico que debe aprenderse y que no hay que entender.

• La utilización de ordenadores obligaría a cambiar la manera de enseñar dando más importancia a los métodos gráficos y numéricos.

• La formación de los profesores como matemáticos está muy alejada de las aplicaciones a otros campos de las ciencias experimentales.

Se hace necesario un debate y reflexión sobre:

El planteamiento de la enseñanza universitaria de las matemáticas y sus aplicaciones, teniendo en cuenta las aportaciones de la investigación en didáctica así como las nuevas tecnologías.

El tipo de formación más adecuada para los profesores de matemáticas de universidad que satisfaga sus necesidades.

¡ GRACIAS !