Tema 5.- SOLUCIONES EN SERIES DE POTENCIAS DE E.D.O. LINEALESAmpliacin de Matemticas.Ingeniera Tcnica Industrial. Especialidad en Electrnica Industrial.

ndice General

1 Introduccin 1

2 Series numricas 12.1 Series de trminos no negativos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32.2 Series alternadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42.3 Series absolutamente convergentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

3 Series de potencias. Radio e intervalo de convergencia 43.1 Desarrollos en series de potencias. Series de Taylor y Mac-Laurin. Series binmicas . . . . 7

4 Soluciones en series de potencias de E.D.O. lineales 94.1 Soluciones en serie en torno a puntos ordinarios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114.2 Soluciones en torno a puntos singulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1 Introduccin

Hasta ahora hemos resuelto, principalmente, ecuaciones diferenciales lineales de segundo orden o de orden superior, cuando las ecuaciones tenan coeficientes constantes. Sin embargo, en las aplicaciones, se puede observar que las ecuaciones lineales con coeficientes variables tienen la misma importancia, si no ms, que las de coeficientes constantes, y que ecuaciones sencillas de segundo orden, como por ejemplo y00 + xy = 0, no tienen soluciones expresables en trminos de funciones elementales. Por esta razn vamos a dedicar este tema a la bsqueda de soluciones linealmente independientes que vienen representadas por lo que se denominan series de potencias.As, en la primera parte del tema introduciremos algunas nociones y propiedades de las series de potencias para posteriormente, observar una de sus aplicaciones importantes como es la obtencin de soluciones de ecuaciones diferenciales ordinarias. Previamente, antes de definir y estudiar las propiedades elementales de las series de potencias, daremos algunos conceptos y resultados bsicos relativos a las series numricas que nos sern necesarios para abordar el estudio de las series de potencias.

2 Series numricas

Se llama serie de nmeros reales a todo par ordenado ({an }, {Sn }) en el que {an } es una sucesin de nmeros reales arbitraria y {Sn } es la sucesin definida por:

S1 = a1Sn+1 = Sn + an+1 = a1 + + an+1 para todo n N.

A {an } se le llama trmino general de la serie mientras que a la sucesin {Sn } se llamar sucesin desumas parciales de la serie. En adelante denotaremos por trmino general {an }.

1

P

n=1

an (o ms brevemente

P an ) a la serie de

Se dice que la serie de nmeros reales P an es convergente cuando su sucesin de sumas parciales esconvergente (esto es, cuando su sucesin de sumas parciales tiene lmite finito), en cuyo caso el lmite de

Tema 5. Soluciones en serie de potencias de EDOs. Ampliacin de Matemticas. Esp. Electrnica Industrial.10la sucesin de sumas parciales recibe el nombre de suma de la serie y se le representa porX an = limn

nSn = lim (a1 + + an ).n=1Cuando la sucesin de sumas parciales no es convergente (esto es, no tenga lmite o bien el lmite sea), diremos que la serie es divergente, en cuyo caso no hablaremos de suma de la serie.Ejemplos:

1) Se denomina serie geomtrica de razn r y primer trmino a, siendo a y r dos nmeros reales no nulos, a laX arn1 = a + ar + ar2 + n=1Esta serie es convergente si y slo si | r |< 1. En efecto, para r = 1, se tiene:arn a

y por tanto,

Sn = a + ar + ... + arn1 =

a

r 1 a) Cuando | r |< 1, entonces lim Sn = 1a

y la serie es convergente independientemente del rvalor de a siendo su suma

.1 rb) Cuando | r |> 1, la serie es divergente ya que + si r > 1 y a > 0

lim

Sn = lim

rn 1

a =

si r > 1 y a < 0n

n

r 1

no existe si r < 1

c) Cuando r = 1, como la sucesin de sumas parciales es a, 0, a, 0,.. . y el nmero a es no nulo, entonces la serie es divergente.d) En el caso r = 1, se tiene que Sn = a n y de ah que la serie diverja para cualquier valor de a.2) La serie P 1n

se denomina serie armnica. Dicha serie es divergente pues se verifica que lim Sn =+, ya que, como se puede comprobar, la sucesin de sumas parciales {Sn } es estrictamentecreciente y no est acotada superiormente.3) Para cada nmero real , la serie P 1n

recibe el nombre de serie armnica de orden . El estudiode la convergencia de esta serie pone de manifiesto que, para 1, dicha serie es divergente y para > 1, la serie es convergente.

Veremos ahora dos propiedades generales de las series numricas.

Teorema 2.1 (Condicin necesaria de convergencia) Una condicin necesaria para que la serieP an sea convergente es que lim an = 0.Teorema 2.2 (Propiedad de linealidad) Si las series P an y P bn son convergentes, entonces la serie P(an + bn ) con , R es convergente y se cumple: X(an + bn ) = X an + X bn .n=1

n=1

n=1A continuacin daremos algunos resultados importantes en el estudio de la convergencia de algunos tipos de series.

2.1 Series de trminos no negativosDefinicin 2.1 Una serie P an tal que an 0 para todo n N, se denomina serie de trminos nonegativos.

La sucesin de sumas parciales de una serie de este tipo es creciente, luego la serie es convergente si, y slo si, la sucesin de sumas parciales est acotada superiormente. Este hecho hace que las series de trminos no negativos sean especialmente fciles de tratar, y aunque se dispone de numerosos criterios de convergencia para las mismas, nicamente veremos los criterios de comparacin, de DAlembert, de Raabe y de Pringsheim.

Teorema 2.3 (Criterio de comparacin)Si, para las series de nmeros reales no negativos P an y P bn , se cumple la desigualdad

an bn para todo n p,entonces se verifica: si la serie P bn es convergente, la serie P an es convergente.Y en consecuencia: si la serie P an es divergente, la serie P bn es divergente.Teorema 2.4 (Criterio de DAlembert o del cociente) Si P an es una serie de trminos positivos tal que existe

se verifica:

limn

an+1an

= R

1) Si < 1, entonces la serie P an es convergente.2) Si > 1, pudiendo ser = +, entonces la serie P an es divergente.an+13) Si = 1 el criterio no afirma nada, salvo que seaanen cuyo caso la serie P an es divergente.

> 1 para todo n a partir de un cierto p NTeorema 2.5 (Criterio de Raabe)Si para la serie de trminos positivos P an existe el lmite

entonces:

1) Si 1 < , la serie converge.

2) Si < 1, la serie diverge.

lim nn

an+1

1an

=

an+1

3) Si = 1 el criterio no afirma nada, salvo que sea n 1anla serie diverge.

< 1 para todo n p en cuyo caso

Teorema 2.6 (Criterio de Pringsheim)Si P an es una serie de trminos no negativos, y existe un nmero real tal que la sucesin{nan }converge a un nmero real positivo, entonces:X an converge si, y slo si, > 1.

2.2 Series alternadas

Definicin 2.2 Las series cuyos trminos consecutivos alternan el signo se llaman alternadas. As, suponiendo an > 0 para todo n N, las series alternadas aparecen de dos maneras: P(1)n an P(1)n1 an .

Teorema 2.7 (Criterio de Leibnitz) Una condicin suficiente para que converja la serie alternadaP(1)n an es que lim an = 0 y la sucesin {an } sea decreciente.

2.3 Series absolutamente convergentes

Definicin 2.3 Una serie de trminos arbitrarios P an es absolutamente convergente (absolutamente divergente) cuando la serie de trminos no negativos P |an | es convergente (divergente).

Teorema 2.8 Toda serie absolutamente convergente, es convergente.

El recproco del teorema anterior no es en general cierto. Por ejemplo, la serie de trmino general(1)nan =

es convergente pero no absolutamente convergente.n

Definicin 2.4 Las series que son convergentes pero no absolutamente convergentes, se llaman series condicionalmente convergentes.

3 Series de potencias. Radio e intervalo de convergencia

Una serie de potencias centrada en un punto x0 R es una expresin de la formaX an (x x0 )n = a0 + a1 (x x0 )+ a2 (x x0 )2 + n=0

donde a0 , a1 ,.. . son constantes reales. La serie anterior tambin se denomina serie de potencias de x x0 .

Obsrvese que en las series de potencias adoptaremos el convenio de hacer variar el ndice de la suma desde cero, en lugar de comenzar con 1 como ha sido habitual hasta ahora, con el objeto de que el subndice de cada monomio coincida con el grado de ste.Cuando se toma x0 = 0, se obtiene como caso particular una serie de potencias de xX an xn = a0 + a1 x + a2 x2 + n=0

Puesto que un simple cambio de variables, tomando como nueva variable x x0 , permite reducir cualquier serie de potencias considerada a otra anloga con x0 = 0, en lo sucesivo slo manejaremos este ltimo caso particular, que abrevia la escritura, sin que ello suponga restriccin a los resultados que obtengamos.

Asociada a dicha serie de potencias tenemos la sucesin de funciones {Sn (x)} definida as:

Sn (x) = a0 + a1 x + a2 x2 + + an xn

que recibe el nombre de sucesin de sumas parciales.Diremos que la serie P an xn converge (diverge) en un punto c R cuando la serie numrica P an cnsea convergente (divergente). As pues, la serie de potencias es convergente en el punto c cuando existey es finito limn

Sn (c), cuyo valor se llama suma de la serie en el punto c.

El subconjunto D de R formado por los puntos en los que la serie de potencias es convergente se denomina dominio de convergencia de la serie, en l es posible definir una funcin S : D R dada por

S(x) = limn

que se denomina suma de la serie en el conjunto D.

Sn (x)

Diremos que la serie P an xn es absolutamente convergente (divergente) en un punto c R cuando la serie numrica P an cn sea absolutamente convergente (divergente).

Teorema 3.1 (Teorema de Abel)1) Si una serie de potencias P an xn es convergente en un punto c R,c = 0, entonces es absoluta- mente convergente en todo punto del intervalo abierto ( |c| , |c|).

2) Si la serie diverge en un punto d, entonces diverge para todo valor de x tal que |x| > |d|.

Puesto que toda serie de potencias P an xn es convergente en el punto x = 0, el teorema anterior nos permite precisar an ms cmo es el dominio de convergencia de tales series. As, para toda serie depotencias P an xn se presenta una, y slo una, de las tres situaciones siguientes:

1. La serie slo converge en el origen. Se dice entonces que el radio de convergencia es R = 0.

2. La serie converge absolutamente en todo R. Se dice que tiene radio de convergencia R = y que su intervalo de convergencia es I = (, +)

3. Existe un nmero R R+ tal que la serie es absolutamente convergente en el intervalo abierto (R, R) y diverge en todo punto x R tal que | x |> R. En este caso el radio de convergencia es R = R y el intervalo de convergencia es I = (R, +R).

En los ejemplos siguientes se comprueba que hay series de potencias con los tres tipos de radio de convergencia (R = 0,R = y R R+ ).Ejemplos:1) La serie de potencias P xn para cada valor de x da lugar a una serie geomtrica de razn x. Por ello es convergente si |x| < 1 y divergente si |x| 1. Se trata de una serie con radio de convergencia R = 1. Su intervalo de convergencia es ] 1, 1[ y en l su suma es 1/(1 x).

2) La serie de potencias P n!xn slo converge en el origen (R = 0), ya que para cualquier x R,x = 0,nla serie numrica P n! |x|

es divergente (se puede comprobar aplicando el criterio de DAlembert);luego la serie dada no converge absolutamente en ningn x = 0, lo que asegura (justifquese!) que la serie slo converge en x = 0.3) La serie de potencias P

xnes absolutamente convergente para cualquier valor real de x y porn=1 nntanto su radio de convergencia es R = .

4) La serie de potencias

P xn n=1 n

tambin es absolutamente convergente para todo x con |x| < 1, y divergente cuando |x| > 1. As que su radio de convergencia es 1. Ahora la serie converge noabsolutamente para x = 1 y diverge para x = 1 (armnica). Su intervalo de convergencia es, por tanto, el intervalo (1, 1) y su dominio de convergencia es [1, 1).

Clculo del radio de convergenciaDada una serie de potencias P an xn , se sabe que en el interior de su intervalo de convergencia la seriees absolutamente convergente. Por tanto, para averiguar el radio de convergencia consideraremos la serienP |an | |x|

y veremos en qu puntos x converge esta ltima. Para ello, podemos aplicar el criterio deDAlembert, calculando

limn

n+1

|an+1 | |x|n = L (x)|an | |x|

y deduciendo los valores de x que para los que L (x) < 1. Estos valores constituirn el intervalo de convergencia de la serie.

Ejemplos:

1) El radio de convergencia de la serie P an2 xn , con 0 < a < 1, es R =entonces R = 0.

. Si a fuera mayor que 1,

nn2) Las series P xn , P x

, P x

tienen radio de convergencia R = 1. Un estudio posteriorn +1

(n + 1)2en los puntos 1 y 1 no lleva a decir que: la primera no es convergente en los puntos 1 y 1, lasegunda converge en 1 pero no en 1 y la tercera converge en ambos puntos.

PROPIEDADES DE LAS SERIES DE POTENCIASPComo los trminos de una serie de potencias

n=0

an xn son funciones potenciales y stas son continuas,derivables e integrables, vamos a estudiar si su suma goza de las mismas propiedades. Ello nos llevaestudiar series de potencias de la forma:

XX nan xn1 ,

an

xn+1

n=1

n=0

n +1

que son series de potencias obtenidas al derivar o integrar trmino a trmino la serie dada.

Teorema 3.2 Las tres series de potencias

P an xn ,

P nan xn1 , P

an xn+1 tienen el mismo radio

de convergencia.

n=0

n=1

n=0 n +1

nObservacin. Puede ocurrir que el dominio de convergencia de una serie de potencias y el de la serie obtenida al derivar trmino a trmino no coincidan; aunque, segn el teorema anterior, ambas tienen elmismo radio de convergencia. Ntese que la serie P x

converge en [

n1

x3, 3], mientras que P

slo

converge en [3, 3[.P

n2 3n

n3nTeorema 3.3 Si

n=0

an xn es una serie de potencias con radio de convergencia R = 0, intervalo deconvergencia I, y suma S(x) para cada x I, se verifica:La funcin suma es derivable en el intervalo I, y adems S0 (x) =

P

n=1

nan xn1 , es decir, la derivadade la suma de una serie de potencias se puede obtener derivando trmino a trmino la serie de potenciasdada.

Corolario 3.1 La suma de una serie de potencias

P

n=0

an xn con radio de convergencia no nulo, tienederivadas de todos los rdenes en los puntos del intervalo de convergencia de la serie dada, y sus derivadasse pueden obtener derivando sucesivamente trmino a trmino la serie dada.

Teorema 3.4 Si

P

n=0

an xn es una serie de potencias con radio de convergencia R = 0, dominio deconvergencia D, y suma S(x) para cada x D, se verifica:P1) La suma S(x) =

n=0P

an xn es continua en D.2) La suma S(x) = n=0

an xn es integrable en todo intervalo cerrado y acotado contenido en D, y suintegral se puede obtener integrando trmino a trmino la serie dada. Es decir:

para cualesquiera , x de D.

x x

ZZS(t)dt = X n=0

an tn dt

3.1 Desarrollos en series de potencias. Series de Taylor y Mac-Laurin. Series binmicas

En este apartado se trata de dar respuesta a una cuestin que, en cierto modo, es recproca de la anterior: Dada una funcin f , existe una serie de potencias con radio de convergencia no nulo cuya suma sea igual a f ? La respuesta a esta pregunta es negativa: no todas las funciones se pueden expresar como series de potencias. Aquellas funciones que se distinguen por poder representarse en dicha forma se llaman analticas.

Definicin 3.1 Se dice que una funcin f es analtica en x0 si, en un intervalo abierto que contenga aPx0 , esta funcin es la suma de una serie de potenciaspositivo.

n=0

an (x x0 )n que tiene un radio de convergencia

Teorema 3.5 Si f es analtica en x0 , entonces la representacin

n)f (x) = X f

(x0 ) (x

x )nn! 0n=0

es vlida en cierto intervalo abierto centrado en x0 .La serie anterior se llama serie de Taylor de f centrada en x0 . Cuando x0 = 0, tambin se leconoce como serie de Maclaurin de f.

Adems de los resultados conocidos ya sobre series de potencias, stas tienen tambin una propiedad de unicidad; esto es, si la ecuacin

X an (x x0 )n = X bn (x x0 )nn=0

n=0

es vlida en algn intervalo abierto que contiene a x0 , entonces an = bn para n = 0, 1, 2,... . Por tanto, si de alguna manera se puede obtener un desarrollo en serie de potencias para una funcin analtica, entonces esta serie de potencias debe ser su serie de Taylor.

El clculo directo de los coeficientes de la serie de Taylor o Maclaurin por derivaciones sucesivas puede resultar difcil. El mtodo ms prctico para hallar una serie de Taylor o Maclaurin consiste en desarrollar series de potencias para una lista bsica de funciones elementales. De esta lista se podrn deducir series de potencias para otras funciones mediante suma, resta, producto, divisin, derivacin integracin o composicin con series conocidas. Antes de presentar esta lista bsica desarrollaremos enserie la funcin f (x)= (1 + x)r con r R que produce lo que se llama la serie binmica.

Las funciones de este tipo slo son polinomios cuando r es natural o cero. Son indefinidamente derivables en un entorno del cero, y se tiene:f n) (x) = r(r 1) (r n + 1)(1+ x)rn , f n) (0) = r(r 1) (r n + 1)r Por tanto, si cuando n N y r R utilizamos la notacin

para indicarnr =n

r(r 1) (r n + 1)n!

ry = 1 0

obtenemos como posible desarrollo en serie de Mac-Laurin de la funcin dada el siguiente:

X

n=0

r xnn

Cuando r no es un nmero natural o cero, el radio de convergencia de la serie de la expresin anterior es R = 1. La serie, en consecuencia, es absolutamente convergente en ] 1, 1[ y divergente cuando | x |> 1. Se puede probar tambin que la suma de dicha serie en ] 1, 1[ es precisamente la funcin f (x) = (1 + x)r .

La serie

P

n=0

r xn se denomina serie binomial o binmica puesto que cuando r es un nmero naturalnslo sus n +1 primeros trminos son no nulos, y adems su expresin es la conocida frmula de Newtonpara la potencia del binomio (1 + x)r .

Como casos particulares de la serie binmica citamos los siguientes:Para r = 1

Para r = 1/2

11+ x

= 1 x + x2 x3 +

1+ x = 1 + x

1 x2 + 1 3 x3

1 3 5

x4 +

Para r = 1/2

2 2 4

2 4 6

2 4 6 8

x1 1 1 3 2

1 3 5 3

1+ x = 1 2 x + 2 4 x

2 4 6

+

En la lista que sigue, ofrecemos las series de Maclaurin de otras funciones elementales junto con sus intervalos de convergencia.

SERIES DE POTENCIAS PARA FUNCIONES ELEMENTALES

x3 x5

(1)n

2n+1senx = x 3! + 5! + (2n + 1)! x

+ < x <

x2 x4

(1)n 2ncos x = 1 2! + 4! +

x(2n)!

+ < x <

2nex = 1 + x + x + + x +

< x 0, existe una solucin de la forma

y1 (x) = Xan xn+r1 , a0 = 0 n=0

correspondiente a la raz mayor r1 .

(b) Si r1 r2 no es cero ni un entero positivo, entonces existe una segunda solucin linealmente inde- pendiente para x > 0 de la forma

y2 (x) = Xbn xn+r2 , b0 = 0 n=0

correspondiente a la raz menor r2 .

Ejemplo: Encontrar la solucin de

3xy00 + y0 y = 0

en forma de serie de potencias en torno al punto singular regular x = 0.Solucin: Ensayamos una solucin de la forma

Puesto que

y(x) = Xan xn+r .n=0

y0 (x) = X (n + r) an xn+r1 , y00 (x) = X (n + r) (n + r 1) an xn+r2n=0

n=0

al sustituir en la ecuacin, obtenemos 3X (n + r) (n + r 1) an xn+r1 + X (n + r) an xn+r1 Xan xn+rn=0

n=0

n=0 = X (n + r) (3n + 3r 2) an xn+r1 Xan xn+rn=0"

n=0" # #= xr

lo cual implica que

r (3r 2) a0 x1 +

X (k + r + 1) (3k + 3r + 1) ak+1 ak xk = 0 k=0

r (3r 2) a0 = 0

1ak+1 = (k + r + 1) (3k + 3r + 1) ak k = 0, 1, 2,.. . (5)2De la ecuacin r (3r 2) = 0 (ecuacin indicial), tenemos que r1 = 3 y r2 = 0. Al sustituir en (5) losdos valores de r resultan dos relaciones de recurrencia diferentes1 1ak+1 = (3k + 5) (k + 1) ak ak+1 = (k + 1) (3k + 1) ak

Iterando en ambas relaciones obtenemos

a1 = 5

1a0 a1 = 1

1 1

1a01 1

1 1

8a2 =

a1 =2

2!5 8

a0 a2 =

2 4

a1 =

a02!1 4

1

a3 = 11

1

a2 =3

13!5 8 11

1

a0 a3 =

13 7

1

a1 =

1a03!1 4 7

1a4 = 14

.

a3 = 4

4!5 8 11 14

a0 a4 =

.

4 10

a1 =

a04!1 4 7 10

an = n!5

18 11

a0 an =(3n + 2) n!1

1a04 7 (3n 2)

Conseguimos as dos soluciones en serie

y1 (x) = a0 x2/3 P

1 xnn=0 n!5 8 11 (3n + 2)

y2 (x) = a0 x0 P

1 xnn=0 n!1 4 7 (3n 2)Se puede comprobar que el radio de convergencia de estas series es R = . Adems se puede ver que ninguna es un mltiplo constante de la otra y por lo tanto, y1 (x) y y2 (x) son soluciones linealmente independientes. Luego,

y (x) = C1 y1 (x)+ C2 y2 (x)" 1

# " 1 #= C1

x2/3 Xn=0

xnn!5 8 11 (3n + 2)

+ C2

x0 Xn=0

xnn!1 4 7 (3n 2)

representa la solucin general de la ecuacin diferencial en cualquier intervalo que no contenga al origen.

En el caso en el que r1 = r2 slo puede haber una solucin en serie de Frobenius. Si r1 r2 es un entero positivo, puede existir o no una segunda solucin en serie de Frobenius correspondiente a la raz menor r2 . Los resultados correspondientes a la obtencin de una segunda solucin linealmente independiente en estas dos situaciones particulares los enunciamos en el siguiente teorema.

Teorema 4.3 Sea x = 0 un punto singular regular de la ecuacin y00 + p (x) y0 + q (x) y = 0 y sean r1 yr2 las races, con r1 r2 , de la ecuacin indicial asociada. Entonces:

(a) Si r1 = r2 , existen dos soluciones linealmente independientes para x > 0 de la forma

y1 (x) =

Xan xn+r1 a0 = 0 n=0y2 (x) = y1 (x) ln x + Xbn xn+r1n=1

(b) Si r1 r2 es un entero positivo, existen dos soluciones linealmente independientes para x > 0 de la forma

y1 (x) =

Xan xn+r1 a0 = 0 n=0y2 (x) = Cy1 (x) ln x + Xbn xn+r2 b0 = 0 n=0

donde C es una constante que puede ser cero.

En el caso (b) del teorema b0 = 0, pero C puede ser cero o no; de modo que el trmino logartmico puede estar presente o no en la segunda solucin. Los coeficientes de estas series (y la constante C ) pueden determinarse por sustitucin directa de las series en la ecuacin diferencial.

Observacin: Puede ocurrir que al intentar encontrar la solucin en serie de una ecuacin diferencial de la forma (3), en torno a un punto singular regular, las races de la ecuacin indicial resulten ser nmeros complejos. Cuando r1 y r2 son complejos, la suposicin r1 > r2 carece de significado y debe ser reemplazada por Re (r1 ) > Re (r2 ) , y, en este caso las soluciones sern complejas. Esta dificultad puede ser superada mediante el principio de superposicin. Puesto que una combinacin de soluciones tambin es solucin de la ecuacin diferencial, podramos formar combinaciones adecuadas de y1 (x) y y2 (x) para obtener soluciones reales.

Por ltimo, si x = 0 es un punto singular irregular, debe hacerse notar que puede ser posible noPencontrar ninguna solucin de la forma y(x) = n=0

an xn+r .