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Probabilidad

Instituto Tecnolgico de Campeche pgina 1

Instituto Tecnologico de Campeche

Alumno: Adrian Montero Rangel

Ingeniera industrialProbabilidad

Prof. Ramn Bocos Patrn

Trabajo: Conseptos de fundamentos de probabilidad

II semestre

Fecha de entrega ________

Trabajo Nm._______

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ndice

Definicin de conjunto3

Notacin de conjuntos3

Conjuntos explcitos e implcitos 4

Conjuntos finitos e infinitos .4

El conjunto universal ..4

Conjuntos vacio .4

Subconjunto4

Diagrama de ven ..5

Operaciones con conjuntos 5

-Unin ..6

-Interseccin .6

-Diferencia .6

-Complemento ..6

Leyes o propiedades de las operaciones con conjuntos 7

Cardinal de un conjunto .7

-Propiedades ..7

Propociciones .8

Necesidada de contar 8

Metodos para realizar un conteo .9

a)diagramas de Venn ..9

b)Diagramas de rbol 9

c)Caja o rayitas .10

d)Atraves de formulas o reglas de conteo .11

-k eventos en n intentos .11

-Para K,..kn eventos 11

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-N objetos tomados todos a la vez 12

-Permutaciones 12

-Combinaciones ..12

Introduccin a la probabilidad ..13Conceptos bsicos de probabilidad .14

-Experimento aleatorio .15

-Espacio muestral 15

Definiciones de probabilidad .16

-Enfoque clsico .16

-Enfoque emprico .17

-Axiomas bsicos .17

-Probabilidad subjetiva 18

Tipos de eventos .. ..18

Calculo de probabilidades .19

-Tablas de contingencia 20

-Probabilidad simple ..21

-Probabilidad conjunta .21

--Regla de la adicin .21

-Probabilidad condicional 22

-Regla de la multiplicacin 23

Teorema de bayes .24

Bibliografia..25

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Introduccin

En la vida cotidiana aparecen muchas situaciones en las que los resultados observados sondiferentes aunque las condiciones iniciales en las que se produce la experiencia sean lasmismas. Por ejemplo, al lanzar una moneda unas veces resultar cara y otras cruz.. Estosfenmenos, denominados aleatorios, se ven afectados por la incertidumbre.

En el lenguaje habitual, frases como "probablemente...", "es poco probable que...", "hay

muchas posibilidades de que..." hacen referencia a esta incertidumbre.La teora de la probabilidad pretende ser una herramienta para modelizar y tratar consituaciones de este tipo; Por otra parte, cuando aplicamos las tcnicas estadsticas a larecogida, anlisis e interpretacin de los datos, la teora de la probabilidad proporciona una base para evaluar la fiabilidad de las conclusiones alcanzadas y las inferencias realizadas.Debido al importante papel desempeado por la probabilidad dentro de la estadstica, esnecesario familiarizarse con sus elementos bsicos, lo que constituye el objetivo del presente tema.

Comenzamos con una motivacin sobre la incertidumbre y los distintos grados deincertidumbre, relacionndolos de manera intuitiva con los enfoques ms tradicionales para

asignar probabilidades.

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Fundamentos de probabilidad

Definicin de conjuntosEn matemticas el concepto de conjunto es considerado primitivo y no se da una definicinde este, por lo tanto la palabra CONJUNTO debe aceptarse lgicamente como un trminono definido.

Un conjunto se puede entender como una coleccin o agrupacin bien definida de objetosde cualquier clase. Los objetos que forman un conjunto son llamados miembros oelementos del conjunto.

Notacion de conjuntos

Todo conjunto se escribe entre llaves { } y se le denota mediante letras maysculas A, B,C, ...,sus elementos se separan mediante punto y coma.

Ejemplo:

El conjunto de las letras del alfabeto; a, b, c, ..., x, y, z. se puede escribir as:

L={ a; b; c; ...; x; y; z}

En teora de conjuntos no se acostumbra repetir los elementos por ejemplo:

El conjunto {x; x; x; y; y; z } simplemente ser { x; y; z }.

Al nmero de elementos que tiene un conjunto Q se le llama CARDINAL DELCONJUNTO y se le representa por n(Q).

Ejemplo:

A= {a;b;c;d;e} su cardinal n(A)=5

B= {x;x;x;y;y;z} su cardinal n(B)= 8

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Conjuntos finitos e infinitos

Conjunto finito: Es el conjunto con limitado nmero de elementos.

Conjunto infinito: Es el conjunto con ilimitado nmero de elementos.

Conjunto universalEs un conjunto referencial que contiene a todos los elementos de una situacin particular,generalmente se le representa por la letra U

Conjunto vacioEs un conjunto que no tiene elementos, tambin se le llama conjunto nulo. Generalmente se

le representa por los smbolos: o { }Ejemplo

A = o A = { } se lee: A es el conjunto vaco o A es el conjunto nulo

M = { nmeros mayores que 9 y menores que 5 }

P = { x / }

SubconjuntoConjunto que forma parte de otro conjunto dado.

Por ejemplo, el conjunto de los nmeros c, {1, 2, 3, 4, ...}, es un subconjunto de los enterosI, {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...}, y se escribe como c I.

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Diagrama de ven-el concepto grafico de conjuntos

Los diagramas de Venn son ilustraciones usadas en la rama de las matemticas conocidacomo teora de conjuntos.

Estos diagramas se usan para mostrar grficamente la relacin matemtica o lgica entrediferentes grupos de cosas (conjuntos), representando cada conjunto mediante un valo ocrculo.

La forma en que esos crculos se sobreponen entre s muestra todas las posibles relacioneslgicas entre los conjuntos que representan. Por ejemplo, cuando los crculos sesuperponen, indican la existencia de subconjuntos con algunas caractersticas comunes.

Operaciones con conjuntos

Sean A y B dos subconjuntos de un conjunto universalU . Definimos las siguientes operacionesentre conjuntos:

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Propiedades de la unin de conjuntos

1. Propiedad idempotente. Puede exponerse mediante la siguiente expresin, que por sertan lgica, no necesita ms explicacin:

VA => A = A2. Propiedad conmutativa. Es tambin evidente:

AUB = BUA

3. Propiedad asociativa. Dados tres conjuntos A, B y C se verifica que:

(AUB)UC = AU(BUC) = AUBUC

Se puede demostrar mediante un ejemplo sencillo. Sean: A = {m, n, p}, B ={j, k, l}, C = {r,

p, l}.El nuevo conjunto y ste unido con el conjunto C, dar como resultado el conjunto:(AUB)UC = {m, n, p,j,k,l,r}

ahora bien, si hacemos antes la unin de B con C tendremos: BUC = {j,k,l,r,p} que unidocon el conjunto A nos da: AU(BUC) = {m, n, p, j,k,l,r,p}

Luego, los conjuntos (AUB)UC y AU(BUC) son iguales por estar formados por los mismoselementos.

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Cardinal de un conjunto

El cardinal indica el nmero o cantidad de elementos de un conjunto, sea esta cantidad finita oinfinita. Los nmeros cardinales constituyen una generalizacin interesante del concepto de nmeronatural, permitiendo comparar la cantidad de elementos de conjuntos infinito.

Propiedades

Los conjuntos pueden no ser divididos en clases de equivalenciadefinidas en funcin de larelacin de equivalenciaque incluye a un par de conjuntos si y slo si entre stos existe una biyeccin. Cardinalidad de un conjunto sera la clase de equivalencia a la cual ste pertenece. Tener dos conjuntos A, B con la misma cardinalidad (o sea, que pertenezcan almismo cardinal) se denota:

La existencia de unafuncin inyectivaentre dos conjuntos tambin define una relacin deordenentre sus cardinales; es decir:

La relacin excluye la posibilidad que los cardinales sean iguales.Es posible demostrar que si

y esto implica que

El cardinal del conjunto vaco se denota convencionalmente como 0 (cero) y contiene alnico conjunto vaco.El primer cardinal infinito (en el sentido de que sus representantes son conjuntos infinitos)es el cardinal de los naturales, y se denota usualmente por . Se puede tambin demostrarque existe una funcin biyectiva entre los ordinales y los cardinales de conjuntos infinitos,tal que preserva el orden en ambos conjuntos (el orden de los ordinales y el -orden en
http://es.wikipedia.org/wiki/Clase_de_equivalenciahttp://es.wikipedia.org/wiki/Relaci%C3%B3n_de_equivalenciahttp://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_biyectivahttp://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_inyectivahttp://es.wikipedia.org/wiki/Relaci%C3%B3n_de_ordenhttp://es.wikipedia.org/wiki/Relaci%C3%B3n_de_ordenhttp://es.wikipedia.org/wiki/Relaci%C3%B3n_de_ordenhttp://es.wikipedia.org/wiki/Relaci%C3%B3n_de_ordenhttp://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_inyectivahttp://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_biyectivahttp://es.wikipedia.org/wiki/Relaci%C3%B3n_de_equivalenciahttp://es.wikipedia.org/wiki/Clase_de_equivalencia

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los cardinales). Esta funcin, llamada , induce un buen ordenen los cardinales, y de aqu proviene la notacin para el primer cardinal infinito, para el siguiente, etc.

Los nmeros cardinales de algunos conjuntos se representan con smbolos especiales:

El cardinal de los nmeros reales: ; El cardinal de los nmeros naturales: (Alef-0). El cardinal inmediatamente superior a :

Usando los axiomas de Zermelo-Fraenkel(ZF) puede comprobarse que los tres cardinalesanteriores cumplen . Lahiptesis del continuoafirma que de hecho

. Gdel prob en 1938que esta hiptesis es consistente con los axiomas ZF, y portanto puede ser tomado como un axioma nuevo para la teora de conjuntos. Sin embargo, en1963 Paul Cohen prob que la negacin de la hiptesis del continuo tambin es consistentecon los axiomas ZF, lo cual prueba que dicha hiptesis es totalmente independiente de los

axiomas ZF. Es decir, pueden construirse tanto "teoras de conjuntos cantorianas" en lasque la hiptesis del continuo es una afirmacin cierta, como "teoras de conjuntos nocantorianas" en las que la hiptesis del continuo sea falsa. Esta situacin es similar a la delas geometras no eucldeas.

Necesidad de contarse comenz a formar, desde que elhombre vio la necesidad de contar objetos, estanecesidad lo llev a la creacin de sistemasde numeracin que inicialmente se componancon la utilizacin de los dedos, piernas, o piedras. De nuevo, por la necesidad, se hizoforzosa la implementacin de sistemas ms avanzados y que pudieran resolver la mayorade los problemasque se presentaban con continuidad.
http://es.wikipedia.org/wiki/Relaci%C3%B3n_de_ordenhttp://es.wikipedia.org/wiki/Alef-0http://es.wikipedia.org/wiki/Axiomas_de_Zermelo-Fraenkelhttp://es.wikipedia.org/wiki/Hip%C3%B3tesis_del_continuohttp://es.wikipedia.org/wiki/Kurt_G%C3%B6delhttp://es.wikipedia.org/wiki/1938http://es.wikipedia.org/wiki/1963http://es.wikipedia.org/wiki/Paul_Cohenhttp://es.wikipedia.org/wiki/Postulados_de_Euclideshttp://www.monografias.com/trabajos15/fundamento-ontologico/fundamento-ontologico.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos11/teosis/teosis.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos15/calidad-serv/calidad-serv.shtml#PLANThttp://www.monografias.com/trabajos15/calidad-serv/calidad-serv.shtml#PLANThttp://www.monografias.com/trabajos11/teosis/teosis.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos15/fundamento-ontologico/fundamento-ontologico.shtmlhttp://es.wikipedia.org/wiki/Postulados_de_Euclideshttp://es.wikipedia.org/wiki/Paul_Cohenhttp://es.wikipedia.org/wiki/1963http://es.wikipedia.org/wiki/1938http://es.wikipedia.org/wiki/Kurt_G%C3%B6delhttp://es.wikipedia.org/wiki/Hip%C3%B3tesis_del_continuohttp://es.wikipedia.org/wiki/Axiomas_de_Zermelo-Fraenkelhttp://es.wikipedia.org/wiki/Alef-0http://es.wikipedia.org/wiki/Relaci%C3%B3n_de_orden

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Mtodos para realizar un conteo

Diagrama de rbol

Un diagrama de rbol es una representacin grfica que muestra los resultados posibles deuna serie de experimentos y sus respectivas probabilidades.

Construccin Del Diagrama De rbol

Sean: A={2,6,0} y B={3,7}

a) Fijar un nodo inicial (Un punto situado a la izquierda, representa la raz del rbol);

b) Abrir a partir del mismo, tantas ramas como elementos tenga el conjunto A;

c) Abrir a partir de cada una de estas, tantas ramas como elementos tenga el conjunto B;

d) Leer el conjunto ordenado resultante sobre cada secuencia de ramas.

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Diagrama de caja

Un diagrama de caja es un grfico, basado encuartiles, mediante el cual se visualiza unconjunto de datos. Est compuesto por un rectngulo, la "caja", y dos brazos, los "bigotes".

Es un grfico que suministra informacin sobre los valores mnimo y mximo, los cuartilesQ1, Q2 omediana y Q3, y sobre la existencia de valores atpicos y la simetra de ladistribucin.

Ordenar los datos y obtener el valor mnimo, el mximo, los cuartiles Q1, Q2 y Q3 y elintervalo intercuartil (IQR)

Dibujar un rectngulo con Q1 y Q3 como extremos e indicar la posicin de la mediana (Q2)mediante una lnea.

Para dibujar los bigotes, las lneas que se extienden desde la caja, hay que calcular los

lmites superior e inferior, Li y Ls, que identifiquen a los valores atpicos. Para ello se calcula cundo se consideran atpicos los valores. Son aquellos inferiores a Q1-1.5*IQR o superiores a Q3+1.5*IQR.

Ahora se buscan los ltimos valores queNO son atpicos, que sern los extremos de los bigotes.

Marcar como atpicos todos los datos que estn fuera del intervalo (Li, Ls).

Adems, se pueden considerar valores extremadamente atpicos aquellos que exceden Q1-

3*IQR o Q3+3*IQR.
http://es.wikipedia.org/wiki/Cuartil#Cuartileshttp://es.wikipedia.org/wiki/Mediana_(estad%C3%ADstica)http://es.wikipedia.org/wiki/Valor_at%C3%ADpicohttp://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/6/67/Diagrama_de_caja.svghttp://es.wikipedia.org/wiki/Valor_at%C3%ADpicohttp://es.wikipedia.org/wiki/Mediana_(estad%C3%ADstica)http://es.wikipedia.org/wiki/Cuartil#Cuartiles

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k eventos en n intento

Se define como la posibilidad repetida N veces por lo tanto es P=K elevado a la n

Para Kkn

Se consideran como P=K*K*K*K..n

N objetos tomados todos ala vez

Se define como P=N!

Permutaciones

Las permutaciones son tambin conocidas comoordenaciones, y de hecho toman estenombre porque son ordenaciones der objetos den dados. En este curso las representaremoscomoORnr nOR r .

En general, si se tomanr objetos den, la cantidad de permutaciones u ordenaciones conrepeticin obtenidas son:

ORnr = nOR r = n

A diferencia del anterior, se realizan ordenaciones der objetos den dadosatendiendo a lasituacin de cada objeto en la ordenacin. Su representacin ser P nr n P r .

En general, si se tomanr objetos de un total den, la cantidad de permutaciones

P nr = n P r =

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Combinaciones

Es una seleccin der objetos den dados sin atender a la ordenacin de los mismos. Esdecir, es la obtencin de subcojuntos, der elementos cada uno, a partir de unconjuntOinicial den elementos. La denotaremos con

C nr , nC r .

En general, si den objetos dados se hacen combinaciones der objetos cada una, el nmerode combinaciones obtenidas son:

C nr = nC r =

o, que es lo mismo,

C nr = nC r =

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Introduccin a la probabilidad

El estudio cientfico de la probabilidad es un desarrollo moderno. Los juegos de azarmuestran que ha habido un inters en cuantificar las ideas de la probabilidad durantemilenios, pero las descripciones matemticas exactas de utilidad en estos problemas slosurgieron mucho despus.

Aparte de algunas consideraciones elementales hechas porGirolamo Cardanoen el sigloXVI, la doctrina de las probabilidades data de la correspondencia dePierre de FermatyBlaise Pascal(1654). Christiaan Huygens(1657) le dio el tratamiento cientfico conocidoms temprano al concepto. Ars Conjectandi (pstumo, 1713) de Jakob Bernoulliy Doctrineof Chances (1718) de Abraham de Moivretrataron el tema como una rama de lasmatemticas. Vase El surgimiento de la probabilidad (The Emergence of Probability ) deIan Hacking para una historia de los inicios del desarrollo del propio concepto de probabilidad matemtica.

La teora de errores puede trazarse atrs en el tiempo hastaOpera Miscellanea (pstumo,1722) de Roger Cotes, pero una memoria preparada por Thomas Simpsonen 1755 (impresaen 1756) aplic por primera vez la teora para la discusin de errores de observacin. Lareimpresin (1757) de esta memoria expone los axiomas de que los errores positivos ynegativos son igualmente probables, y que hay ciertos lmites asignables dentro de loscuales se supone que caen todos los errores; se discuten los errores continuos y se da unacurva de la probabilidad.Dos aplicaciones principales de la teora de la probabilidad en elda a da son en el anlisis de riesgoy en el comercio de los mercados de materias primas. Los gobiernos normalmente aplican mtodos probabilsticos en regulacin ambientaldondese les llama"anlisis de vas de dispersin", y a menudo miden el bienestarusando mtodosque son estocsticos por naturaleza, y escogen qu proyectos emprender basndose enanlisis estadsticos de su probable efecto en la poblacin como un conjunto. No es correctodecir que la estadsticaest incluida en el propio modelado, ya que tpicamente los anlisisde riesgo son para una nica vez y por lo tanto requieren ms modelos de probabilidadfundamentales, por ej. "la probabilidad de otro 11-S". Una ley de nmeros pequeostiendea aplicarse a todas aquellas elecciones y percepciones del efecto de estas elecciones, lo quehace de las medidas probabilsticas un tema poltico.

Se puede decir razonablemente que el descubrimiento de mtodos rigurosos para calcular ycombinar los clculos de probabilidad ha tenido un profundo efecto en la sociedadmoderna. Por consiguiente, puede ser de alguna importancia para la mayora de losciudadanos entender cmo se clculan los pronsticos y las probabilidades, y cmo

contribuyen a la reputacin y a las decisiones, especialmente en una democracia.
http://es.wikipedia.org/wiki/Juegos_de_azarhttp://es.wikipedia.org/wiki/Girolamo_Cardanohttp://es.wikipedia.org/wiki/Pierre_de_Fermathttp://es.wikipedia.org/wiki/Blaise_Pascalhttp://es.wikipedia.org/wiki/Christiaan_Huygenshttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Ars_Conjectandi&action=edit&redlink=1http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Ars_Conjectandi&action=edit&redlink=1http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Ars_Conjectandi&action=edit&redlink=1http://es.wikipedia.org/wiki/Jakob_Bernoullihttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Doctrine_of_Chances&action=edit&redlink=1http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Doctrine_of_Chances&action=edit&redlink=1http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Doctrine_of_Chances&action=edit&redlink=1http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Doctrine_of_Chances&action=edit&redlink=1http://es.wikipedia.org/wiki/Abraham_de_Moivrehttp://es.wikipedia.org/wiki/Ian_Hackinghttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Roger_Cotes&action=edit&redlink=1http://es.wikipedia.org/wiki/Thomas_Simpsonhttp://es.wikipedia.org/wiki/Riesgohttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Mercado_de_materias_primas&action=edit&redlink=1http://es.wikipedia.org/wiki/Regulaci%C3%B3n_ambientalhttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=An%C3%A1lisis_de_v%C3%ADas_de_dispersi%C3%B3n&action=edit&redlink=1http://es.wikipedia.org/wiki/Calidad_de_vidahttp://es.wikipedia.org/wiki/Estad%C3%ADsticahttp://es.wikipedia.org/wiki/Riesgohttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Ley_de_n%C3%BAmeros_peque%C3%B1os&action=edit&redlink=1http://es.wikipedia.org/wiki/Democraciahttp://es.wikipedia.org/wiki/Democraciahttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Ley_de_n%C3%BAmeros_peque%C3%B1os&action=edit&redlink=1http://es.wikipedia.org/wiki/Riesgohttp://es.wikipedia.org/wiki/Estad%C3%ADsticahttp://es.wikipedia.org/wiki/Calidad_de_vidahttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=An%C3%A1lisis_de_v%C3%ADas_de_dispersi%C3%B3n&action=edit&redlink=1http://es.wikipedia.org/wiki/Regulaci%C3%B3n_ambientalhttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Mercado_de_materias_primas&action=edit&redlink=1http://es.wikipedia.org/wiki/Riesgohttp://es.wikipedia.org/wiki/Thomas_Simpsonhttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Roger_Cotes&action=edit&redlink=1http://es.wikipedia.org/wiki/Ian_Hackinghttp://es.wikipedia.org/wiki/Abraham_de_Moivrehttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Doctrine_of_Chances&action=edit&redlink=1http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Doctrine_of_Chances&action=edit&redlink=1http://es.wikipedia.org/wiki/Jakob_Bernoullihttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Ars_Conjectandi&action=edit&redlink=1http://es.wikipedia.org/wiki/Christiaan_Huygenshttp://es.wikipedia.org/wiki/Blaise_Pascalhttp://es.wikipedia.org/wiki/Pierre_de_Fermathttp://es.wikipedia.org/wiki/Girolamo_Cardanohttp://es.wikipedia.org/wiki/Juegos_de_azar

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Conceptos bsicos de probabilidad

Experimento aleatorio: conjunto de pruebas cuyos resultados estn determinadosnicamente por el azar.

Espacio muestral: conjunto de todos los resultados posibles de un experimento aleatorio

Punto muestral o suceso elemental: el resultado de una sola prueba de un experimentomuestral

Suceso o evento: cualquier subconjunto de puntos muestrales

Sucesos mutuamente excluyentes: sucesos o eventos que no pueden ocurrirsimultaneamente .

Sucesos complementarios:dos sucesos o eventos mutuamente excluyentes cuya unin esel espacio muestral

Sucesos independientes: sucesos o eventos que no tienen relacin entre s; la ocurrencia deuno no afecta la ocurrencia del otro

Sucesos dependientes: sucesos o eventos que s tienen relacin entre s; la ocurrencia deuno s afecta la ocurrencia del otro.

Experimento aleatorio: conjunto de pruebas cuyos resultados estn determinadosnicamente por el azar.

Espacio muestral: conjunto de todos los resultados posibles de un experimento aleatorio

Punto muestral o suceso elemental: el resultado de una sola prueba de un experimentomuestral

Suceso o evento: cualquier subconjunto de puntos muestrales

Sucesos mutuamente excluyentes: sucesos o eventos que no pueden ocurrirsimultaneamente .

Sucesos complementarios:dos sucesos o eventos mutuamente excluyentes cuya unin esel espacio muestral

Sucesos independientes: sucesos o eventos que no tienen relacin entre s; la ocurrencia deuno no afecta la ocurrencia del otro

Sucesos dependientes: sucesos o eventos que s tienen relacin entre s; la ocurrencia deuno s afecta la ocurrencia del otro.

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Experimento aleatorio.

Cuando en un experimento no se puede predecir el resultado final, hablamos deexperimento aleatorio. Este es el caso cuando lanzamos un dado y observamos suresultado.

En los experimentos aleatorios se observa que cuando el nmero de experimentos aumenta,las frecuencias relativas con las que ocurre cierto sucesoe, f n(e),

tiende a converger hacia cierta cantidad que denominamosprobabilidad de e.

Espacio muestral

En estadsticase llama espacio muestral al conjunto de todos los posibles resultadosindividuales de un experimento aleatorio. Se suele representar por .

Sus elementos se representan por letras minsculas (w1,w2,...) y se denominaneventos osucesos elementales. Los subconjuntos de se designan por medio de letras maysculas( A, B,C , D,...) y se denominaneventos o sucesos. Los sucesos representan los posiblesresultados del experimento aleatorio.

Podemos diferenciar entre dos tipos de espacios muestrales:

Discretos --> Aquellos espacios donde el n de sucesos elementales es finito o infinitocontable(numerable).

Continuos --> Aquellos espacios donde el n de sucesos elementales es infinito incontable.

EventoUn evento o suceso es un subconjunto de un espacio muestral, es decir, un conjunto de

posibles resultados que se pueden dar en un experimento aleatorio.

Formalmente, sea un espacio muestral, entonces unevento es un subconjunto, donde (w1,w2,...) son una serie de posibles resultados.
http://es.wikipedia.org/wiki/Estad%C3%ADsticahttp://es.wikipedia.org/wiki/Fen%C3%B3meno_aleatoriohttp://es.wikipedia.org/wiki/Evento_estad%C3%ADsticohttp://es.wikipedia.org/wiki/Evento_estad%C3%ADsticohttp://es.wikipedia.org/wiki/Evento_estad%C3%ADsticohttp://es.wikipedia.org/wiki/Evento_estad%C3%ADsticohttp://es.wikipedia.org/wiki/Evento_estad%C3%ADsticohttp://es.wikipedia.org/wiki/Evento_estad%C3%ADsticohttp://es.wikipedia.org/wiki/Fen%C3%B3meno_aleatoriohttp://es.wikipedia.org/wiki/Estad%C3%ADstica

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Se dice que un evento Aocurre , si el resultado del experimento aleatorio es un elemento deA.

Ejemplos de espacios muestrales y sucesos elementales:

Si se trata de contar objetos y el espacio muestralS = {0, 1, 2, 3, ...} (losnmerosnaturales), entonces los sucesos elementales son cada uno de los conjuntos {k }, dondek N.

Si se lanza una moneda dos veces,S = {cc, cs, sc, ss}, donde (c representa "sale cara" y s,"sale cruz"), los sucesos elementales son {cc}, {cs}, {sc} y {ss}.

Si X es una variable aleatoria normalmente distribuida, S = (-, +), los nmeros reales, lossucesos elementales son todos los conjuntos { x}, donde x .

Los sucesos elementales pueden tener probabilidades que son estrictamente mayores quecero, cero, no definidas o cualquier combinacin de estas. Por ejemplo, la probabilidad decualquier variable aleatoria discretaest determinada por las probabilidades asignadas a lossucesos elementales del experimento que determina la variable. Por otra parte, cualquiersuceso elemental tiene probabilidad cero en cualquier variable aleatoria continua. Existendistribuciones mixtas que no son completamente continuas, ni completamente discretas,entre las que pueden darse ambas situaciones.

Definiciones de probabilidad

a)Enfoque clasico

Probabilidad Clsica y Probabilidad Subjetiva.La probabilidad clsica es aquella que setoma demanera objetiva y que puede considerarse de dos maneras: a priori y a posteriori.

Probabilidad a Priori. La probabilidad de un evento A,P(A), es la medida del chance de queese evento ocurra.

En este caso los resultados del experimento son igualmente probables. Este mtodo fuedesarrollado por Laplace.

# de maneras que A puede ocurrirP(A) = -------------------------------------------------

# total de resultados posiblesA (eventos que corresponden a A )

P(A) = ----------------------------------------------------------S (eventos totales en el espacio muestral S )
http://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmeros_naturaleshttp://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmeros_naturaleshttp://es.wikipedia.org/wiki/Variable_aleatoriahttp://es.wikipedia.org/wiki/Distribuci%C3%B3n_normalhttp://es.wikipedia.org/wiki/Distribuci%C3%B3n_de_probabilidad#Distribuciones_de_variable_discretahttp://es.wikipedia.org/wiki/Distribuci%C3%B3n_de_probabilidad#Distribuciones_de_variable_continuahttp://es.wikipedia.org/wiki/Distribuci%C3%B3n_de_probabilidad#Distribuciones_de_variable_continuahttp://es.wikipedia.org/wiki/Distribuci%C3%B3n_de_probabilidad#Distribuciones_de_variable_discretahttp://es.wikipedia.org/wiki/Distribuci%C3%B3n_normalhttp://es.wikipedia.org/wiki/Variable_aleatoriahttp://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmeros_naturaleshttp://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmeros_naturales

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Ejemplo. Se lanzan dos monedas al aire, cul es la probabilidad de que ambas sean cara(H)?S = { HH, HT, TH, TT } P ( HH ) = _

b) Enfoque emprico o frecuencialProbabilidad a posteriori. En el caso que los eventos noposeen igual posibilidad deocurrencia, el problema deasignar las probabilidades ocurre a posteriori.El concepto de probabilidad a posteriori lo desarrolla Richard Von Mises y est basado en el principiosiguiente:Si un experimento se realiza un nmero grande de veces, N por ejemplo, y sea n el nmerode veces que ocurre un evento E. Entonces, se observa experimentalmente el hecho de quea medida N aumenta la relacin n / M tiende a un valor estable p.Ese valor p se llama la probabilidad de E y se escribe p(E).

Axiomas basicos.

Los axiomas de probabilidad son las condiciones mnimas que deben verificarse para queuna funcin definida sobre un conjunto de sucesos determine consistentemente sus probabilidades.

Para el clculo de probabilidades hay que tomar en cuenta los Axiomas que a continuacinse enumeran.

1)La probabilidad de que ocurra un evento A cualquiera se encuentra entre cero y uno.

0 p(A) 1

2)La probabilidad de que ocurra el espacio muestral debe de ser 1.

p( ) = 1

3)Si A y B son eventos mutuamente excluyentes, entonces la p(AB) = p(A) + p(B)

Generalizando:Si se tienenn eventos mutuamente excluyentes o exclusivos A1, A2, A3,.....An, entonces;

p(A1 A2 ......... An) = p(A1) + p(A2) + .......+ p(An)

En trminos ms formales, una probabilidad es una medida sobre una -lgebra desubconjuntos del espacio muestral, siendo los subconjuntos miembros de la -lgebra los

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sucesos y definida de tal manera que la medida del total sea 1. Tal medida, gracias a sudefinicin matemtica, verifica igualmente los tres axiomas de Kolmogrov. A la ternaformada por el espacio muestral, la -lgebra y la funcin de probabilidad se la denominaEspacio probabilstico, esto es, un "espacio de sucesos" (el espacio muestral) en el que sehan definido los posibles sucesos a considerar (la -lgebra) y la probabilidad de cada

suceso (la funcin de probabilidad).

Probabilidad subjetiva

La probabilidad subjetiva de un evento se la asigna la persona que hace el estudio, ydepende delconocimiento que esta persona tenga sobre el tema. Precisamente por su carcter desubjetividad no se considera con validez cientfica, aunque en la vida diaria es de las mscomnes que se utilizan al no apoyarse ms que en el sentido comn y los conocimientos previos, y no en resultados estadsticos.

Ejemplos de la probabilidad subjetiva son estimar la probabilidad de que los Salgado deSalta ganen la Lotera el prximo ao y estimar la probabilidad de que ocurra un terremotoen Los Angeles este ao.

Tipos de eventos

Evento elemental o simple: consiste de un nico resultado individual.

Evento compuesto: consiste de ms de un evento elemental.

Eventos complementarios. seda en los que cuando dos eventos y su unin da el espaciomuestral y su interseccin es vaca. La suma de las probabilidades de dos eventoscomplementarios es igual a 1.

Exhaustivos.-Se dice que dos o ms eventos son exhaustivos si se consideran todos los posibles resultados.

No exhaustivos.- Se dice que dos o ms eventos son no exhaustivos si no agotan todos los posibles resultados.

Mutuamente exclusivos.- Eventos que no pueden ocurrir en forma simultnea.

No mutuamente exclusivos.- Eventos que pueden ocurrir en forma simultnea.

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Calculo de contingencia

Tabla de contingencia

Las tablas de contingencia se emplean para registrar y analizar la relacin entre dos o msvariables, habitualmente de naturaleza cualitativa(nominales u ordinales).

Las cifras en la columna de la derecha y en la fila inferior reciben el nombre de frecuenciasmarginales y la cifra situada en la esquina inferior derecha es el gran total.

La tabla nos permite ver de un vistazo que la proporcin de hombres diestros esaproximadamente igual a la proporcin de mujeres diestras. Sin embargo, ambas proporciones no son idnticas y lasignificacin estadsticade la diferencia entre ellas puede ser evaluada con la prueba de Pearson , supuesto que las cifras de la tabla son una

muestra aleatoria de una poblacin. Si la proporcin de individuos en cada columna varaentre las diversas filas y viceversa, se dice que existeasociacin entre las dos variables. Sino existe asociacin se dice que ambas variables sonindependientes .
http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Cualitativa&action=edit&redlink=1http://es.wikipedia.org/wiki/Significaci%C3%B3n_estad%C3%ADsticahttp://es.wikipedia.org/wiki/Prueba_%CF%87%C2%B2_de_Pearsonhttp://es.wikipedia.org/wiki/Prueba_%CF%87%C2%B2_de_Pearsonhttp://es.wikipedia.org/wiki/Prueba_%CF%87%C2%B2_de_Pearsonhttp://es.wikipedia.org/wiki/Prueba_%CF%87%C2%B2_de_Pearsonhttp://es.wikipedia.org/wiki/Significaci%C3%B3n_estad%C3%ADsticahttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Cualitativa&action=edit&redlink=1

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Probabilidad simple

Si quisiramos saber cul es la probabilidad de sacar un dos o un cinco al tirar un dado,estamos hablando de sucesos mutuamente excluyentes; pues slo al tirar el dado puedes

sacar uno de ellos dos, es decir, un evento (sacar dos) imposibilita el otro (sacar un cinco)ya que no puedes sacar los dos al mismo tiempo.

Para sacar la probabilidad total de dos o ms sucesos mutuamente excluyentes se suman las probabilidades de cada uno de los sucesos.

Primero calculemos la probabilidad de obtener una vela. 150 invitados es el nmero decasos posibles, mientras que 50 es el nmero de casos favorables pues son 50 velas.

La probabilidad de obtener un centro de mesa es exactamente la misma pues hay el mismonmero de centros de mesa.

La probabilidad total ser la suma de cada una de las probabilidades obtenidas, es decir:

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Probabilidad conjunta

Si quisiramos conocer cul es la probabilidad de sacar 5 al tirar dos veces un dado,estamos hablando de sucesos independientes; pues los tiros son distintos.

Para estos casos la probabilidad de ocurrencia de ambos sucesos simultneamente serigual al producto de las probabilidades individuales.

Nota: Aplicamos la misma frmula para eventos dependientes siempre y cuando estemos buscando la probabilidad simultnea de los sucesos. Por ejemplo al buscar la probabilidadde sacar dos reinas en una baraja de 52 cartas sin devolver la primera carta, se tomar encuenta para la segunda extraccin que ya hay 51 cartas y slo 3 reinas. Es decir:

Regla general de adicion.

Si A y B son dos eventos que no son mutuamente excluyentes, entonces

P(A o B) se calcula con la siguiente frmula:

P(A o B) = P(A) + P(B) - P(A y B)

La Regla de la Adicin expresa que: la probabilidad de ocurrencia de al menos dos sucesos A y Bes igual a: P(A o B) = P(A) U P(B) = P(A) + P(B) si A y B son mutuamente excluyente P(A o B) =P(A) + P(B) - P(A y B) si A y B son no excluyentes Siendo: P(A) = probabilidad de ocurrencia delevento A P(B) = probabilidad de ocurrencia del evento B P(A y B) = probabilidad de ocurrenciasimultanea de los eventos A y B

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Probabilidad condicional e independencia estadstica

Sea un espacio muestral en donde se ha definido un evento E, donde p(E)0, si deseamosdeterminar la probabilidad de que ocurra un evento A (el que tambin es definido en elmismo espacio muestral), dado que E ya ocurri, entonces deseamos determinar una probabilidad de tipo condicional, la que se determina como se muestra;

Donde:

p(A E) = probabilidad de que ocurra A dado que E ya ocurri p(A E) = probabilidad de que ocurra A y E a un mismo tiempo p(E) = probabilidad de que ocurra E

Luego;

Por tanto:

Donde:

A E = nmero de elementos comunes a los eventos A y EE = nmero de elementos del evento E

Luego entonces podemos usar cualquiera de las dos frmulas para calcular la probabilidad condicional de A dado que E ya ocurri.

) E ( p ) E A( p

) E | A( p

E A ) E A( P

E ) E ( P

E E A

) E | A( P

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En teora de probabilidades, se dice que dos sucesos aleatoriosson independientes entre scuando la probabilidadde cada uno de ellos no est influida por que el otro suceso ocurra ono, es decir, cuando ambos sucesos no estn correlacionados.

Dos sucesos son independientes si la probabilidad de que ocurran ambos simultneamente

es igual al producto de las probabilidades de que ocurra cada uno de ellos, es decir, si A y B son dos sucesos, y P ( A) y P ( B) son las probabilidades de que ocurran respectivamenteentonces:

A y B son independientes si y solo si

Sean A y B dos sucesos tales que P ( B) > 0, intuitivamente A es independiente de B si la probabilidad de A condicionada por B es igual a la probabilidad de A. Es decir si:

De la propia definicin de probabilidad condicionada:

se deduce que y dado quededucimos trivialmente que .

Si el suceso A es independiente del suceso B, automticamente el suceso B es independiente

de A.

Regla de la multiplicacin e independencia de la estadstica

Un frecuente objeto de estudio en la estadstica es si los diferentes sucesos sondependientes o independientes uno del otro, es decir si favorece a la realizacin de unsuceso a travs de otro. Se analizan ejemplos en la investigacin de mercados, si influyen elestatus y la educacin de un consumidor la compra de un determinado peridico.
http://es.wikipedia.org/wiki/Teor%C3%ADa_de_probabilidadeshttp://es.wikipedia.org/wiki/Suceso_aleatoriohttp://es.wikipedia.org/wiki/Probabilidadhttp://es.wikipedia.org/wiki/Correlaci%C3%B3nhttp://es.wikipedia.org/wiki/Si_y_solo_sihttp://es.wikipedia.org/wiki/Probabilidad_condicionadahttp://es.wikipedia.org/wiki/Probabilidad_condicionadahttp://es.wikipedia.org/wiki/Si_y_solo_sihttp://es.wikipedia.org/wiki/Correlaci%C3%B3nhttp://es.wikipedia.org/wiki/Probabilidadhttp://es.wikipedia.org/wiki/Suceso_aleatoriohttp://es.wikipedia.org/wiki/Teor%C3%ADa_de_probabilidades

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Teorema de Bayes

El teorema de Bayes, enunciado porThomas Bayes, en la teora de la probabilidad, es elresultado que da la distribucin de probabilidad condicionalde un evento aleatorioA dadoB en trminos de la distribucin de probabilidad condicional del evento B dado A y la

distribucin de probabilidad marginalde slo A.Sea {A1,A3,...,Ai,...,An} un conjunto de sucesos mutuamente excluyentes y exhaustivos, ytales que la probabilidad de cada uno de ellos es distinta de cero. Sea B un sucesocualquiera del que se conocen las probabilidades condicionales P(B | Ai). Entonces, la probabilidad P(Ai | B) viene dada por la expresin:

donde: P(Ai) son las probabilidades a priori. P(B | Ai) es la probabilidad de B en la hiptesis Ai. P(Ai | B) son las probabilidades a posteriori.

Esto se cumple

Aplicaciones

El teorema de Bayes es vlido en todas las aplicaciones de la teora de la probabilidad. Sin

embargo, hay una controversia sobre el tipo de probabilidades que emplea. En esencia, losseguidores de la estadstica tradicional slo admiten probabilidades basadas enexperimentos repetibles y que tengan una confirmacin emprica mientras que los llamadosestadsticos bayesianos permiten probabilidades subjetivas. El teorema puede servirentonces para indicar cmo debemos modificar nuestras probabilidades subjetivas cuandorecibimos informacin adicional de un experimento. La estadstica bayesiana estdemostrando su utilidad en ciertas estimaciones basadas en el conocimiento subjetivo a priori y el hecho de permitir revisar esas estimaciones en funcin de la evidencia empricaes lo que est abriendo nuevas formas de hacer conocimiento. Una aplicacin de esto sonlos clasificadores bayesianosque son frecuentemente usados en implementaciones de filtrosde correo basura o spam, que se adaptan con el uso.

Como observacin, se tiene y su demostracin resulta trivial.
http://es.wikipedia.org/wiki/Thomas_Bayeshttp://es.wikipedia.org/wiki/Probabilidadhttp://es.wikipedia.org/wiki/Distribuci%C3%B3n_de_probabilidadhttp://es.wikipedia.org/wiki/Probabilidad_condicionadahttp://es.wikipedia.org/wiki/Suceso_aleatoriohttp://es.wikipedia.org/wiki/Probabilidad_condicionadahttp://es.wikipedia.org/wiki/Estad%C3%ADsticahttp://es.wikipedia.org/wiki/Clasificador_bayesianohttp://es.wikipedia.org/wiki/Spamhttp://es.wikipedia.org/wiki/Spamhttp://es.wikipedia.org/wiki/Clasificador_bayesianohttp://es.wikipedia.org/wiki/Estad%C3%ADsticahttp://es.wikipedia.org/wiki/Probabilidad_condicionadahttp://es.wikipedia.org/wiki/Suceso_aleatoriohttp://es.wikipedia.org/wiki/Probabilidad_condicionadahttp://es.wikipedia.org/wiki/Distribuci%C3%B3n_de_probabilidadhttp://es.wikipedia.org/wiki/Probabilidadhttp://es.wikipedia.org/wiki/Thomas_Bayes

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Bibliografahttp://www.monografias.com/trabajos54/resumen-estadistica/resumen-estadistica2.shtml

http://thales.cica.es/rd/Recursos/rd98/Matematicas/28/matematicas-28.html

http://nutriserver.com/Cursos/Bioestadistica/Probabilidad.html

http://www.fisterra.com/mbe/investiga/probabilidades/probabilidades.asp

http://es.wikipedia.org/wiki/Probabilidad

http://www.eumed.net/cursecon/libreria/drm/1p.htm

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