30 Sistema de Ecuaciones

7/21/2019 30 Sistema de Ecuaciones

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U N I D A D I I I.

SISTEMA DE

ECUACIONES LINEALES


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SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES

Los sistemas de ecuaciones lineales se presentan frecuentemente para resolverproblemas aplicados a las diferentes ramas de la ingeniera como por ejemplo el

anlisis de circuitos elctricos, mecnicos, etc.Existen diferentes mtodos para resolver estos sistemas entre los que encontramos:

ELIMINACIN DE GAUSS GAUSS - JORDAN,

MATRIZ INVERSA, JACOBI, GAUSS - SEIDEL,

CUADRATURA DE GAUSS

MTODO DE ELIMINACIN DE GAUSSConsiste en la eliminacin de las ecuaciones a cada una de las incgnitas, atravs de operaciones algebraicas de tal forma que el sistema se reduzca a matriztriangular superior una vez hecho esta sustitucin hacia atrs para obtener losvalores y las incgnitas correspondientes

-R3+R2 -2R

-2R1+R2R1+R3

R3/31


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GAUSS JORDAN

Es una mejora del mtodo anterior con la diferencia que la matriz aumentada selleva a una matriz identidad obteniendo en forma directa los valores de las

incgnitas

R3 31

-R3+R2

-2R2+R3

-2R1+R2R1+R3

-3R3+R112R3+R2

-R2+R1


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MATRIZ INVERSA

Consiste en escribir la matriz de coeficientes con la matriz aumentada de tal formaque atreves de operaciones elementales quede de lado izquierdo la matriz identidad y

del otro lado la matriz aumentada. Se multiplica trmino por trmino independienteobteniendo los valores de la incgnita

100

010

001

411

152

311

101

012

001

720

530

311

101

113

001

720

1210

311

327

113

001

3100

1210

311

09677.006451.02258.0

113

001

100

1210

311

09677.006451.02258.0

1613.02258.02903.0

2903.1935.03226.0

100

010

011

09677.006451.02258.0

1613.02258.02903.0

4516.003230.06129.0

100

010

001

6

2

3

09677.006451.02258.0

1613.02258.02903.0

4516.003230.06129.0

321 7097.206450.08387.1 XXX +

321 9677.04516.08710.0 XXX +

321 5806.01290.06774.0 XXX ++

8065.01 =X 3548.02 =X 3871.13=X

-2R1+R2R1+R3

-R3+R2

R3/31

-3R3+R112R3+R2

-R

-2R2+R3


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MTODO DE ECUACIONES DIAGONALMENTE DOMINANTE

Es el estudio de mtodos interactivos en general se tiene que no siempre convergea la solucin causando el tiempo de la computadora sea excesivo lo que general

altos costos, pero si se trata de sistemas de ecuaciones diagonalmente dominantesentonces los mtodos siempre convergen a la solucin.

Sea el sistema de ecuaciones lineales BAX= donde A es una matrizdiagonalmente dominante entonces los mtodos de Jacobi y de Gauss Seidelconvergen a las races de la ecuacin.

Matriz diagonalmente dominante

Sea A una matriz cuadrtica a la cual conocemos como matriz diagonalmentedominante si cumple con lo siguientes

=

>n

ij

iijij aa

1

Por otro lado el sistema que cumple con lo anterior se le conoce como sistemadiagonalmente dominante

EJEMPLO

815 321 =+

xxx 10203 321 =++ xxx

4310 321 =+ xxx

4310 321 =+ xxx

815 321 =+ xxx

10203 321 =++ xxx

SISTEMADIAGONALMENTENODOMINANTE

SISTEMADIAGONALMENTEDOMINANTE


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MTODO DE JACOBI

Es un mtodo de aproximaciones sucesivas que nos permite aproximar los valores dela solucin de las incgnitas.

Consiste en despejar de la primera ecuacin la primera incgnita, de la segundaecuacin se despeja la segunda incgnita, de la tercera ecuacin se despeja lasegunda incgnita, y as sucesivamente hasta terminar con el sistema de ecuaciones.

Para la Primera Iteracin

Para la ecuacin 1 se le da solucin Trivial a cada una de las dems incgnitas.En otras palabras para la primera incgnitas solo ser el termino independienteentre el coeficiente de la incgnita despejada.Y se calcula el Error Relativo Aproximado ( Era )

Para la ecuacin 2 se le da solucin Trivial a cada una de las dems incgnitas.En otras palabras para la segunda incgnitas solo ser el termino independienteentre el coeficiente de la incgnita despejada.Y se calcula el Error Relativo Aproximado ( Era )


Y as sucesivamente hasta terminar con el sistema de ecuaciones.

Para la Segunda Iteracin

Para cada una de las ecuaciones se sustituyen los valores de la primera iteracin.Y se calcula el Error Relativo Aproximado ( Era ), para cada una de las ecuaciones

Para la Tercera Iteracin

Para cada una de las ecuaciones se sustituyen los valores de la tercera iteracin.Y se calcula el Error Relativo Aproximado ( Era ), para cada una de las ecuaciones


El proceso termina cuando el Error Relativo Aproximado de todas las incgnitascumple con el criterio ya visto en clase.

Tambin se le conoce como MTODO DE DESPLAZAMIENTO SIMULTANEO

10a+3b-c= 4a-15b+2c= -8-a-3b+20c= 10


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MTODO DE GAUSS SEIDEL

Tambin se le conoce con el mtodo de INTERACCIONES PARCIALES ODESPLAZAMIENTO SUCESIVO

El mtodo es una mejora del mtodo de Jacobi

Consiste en despejar de la primera ecuacin la primera incgnita, de la segundaecuacin se despeja la segunda incgnita, de la tercera ecuacin se despeja lasegunda incgnita, y as sucesivamente hasta terminar con el sistema de ecuaciones.

Para la Primera Iteracin


Para la ecuacin 2 se sustituye el valor de la primera incgnita, y le da solucinTrivial a las dems incgnitas.Y se calcula el Error Relativo Aproximado ( Era )

Para la ecuacin 3 se sustituye el valor de la primera y segunda incgnita, y le dasolucin Trivial a las dems incgnitas.Y se calcula el Error Relativo Aproximado ( Era )


Para la Segunda Iteracin Para la ecuacin 1 se sustituye los valores de la cada incgnita, de la primera

iteracin.

Y se calcula el Error Relativo Aproximado ( Era ) Para la ecuacin 2 se sustituye el valor de la primera incgnita de la segunda

iteracin, y se sustituye los valores de las dems incgnitas de la primeraiteracin.

Y se calcula el Error Relativo Aproximado ( Era ) Para la ecuacin 3 se sustituye el valor de la primera y segunda incgnita de la

segunda iteracin, y se sustituye los valores de las dems incgnitas de laprimera iteracin.Y se calcula el Error Relativo Aproximado ( Era )


Para la Tercera Iteracin

Para cada una de las ecuaciones se sustituyen los valores de la tercera iteracin.Y se calcula el Error Relativo Aproximado ( Era ), para cada una de las ecuaciones


El proceso termina cuando el Error Relativo Aproximado de todas las incgnitascumple con el criterio ya visto en clase.


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Ejemplo:Resuelva el siguiente sistema de ecuaciones por el Mtodo de Gauss

Seidel

4.71102.03.0

3.193.071.0

85.72.01.03

321

321

321

=+

=+=

xxx

xxx

xxx

Solucin: Despejando la primera variable (x1) de la primera ecuacin; la segundavariable (x2)dela segunda ecuacin y as sucesivamente tenemos:

10

2.03.04.71

7

3.01.03.19

3

2.01.085.7

213

312

321

xxx

xxx

xxx

+=

+

=

++=

Asignamos la solucin trivial (0) a las dems incgnitas y vamos sustituyendo en lasecuaciones restantes, obtenemos:

Iteracin 1

005609.710

)7945.2(2.0)6167.2(3.04.71

7945.27

)0(3.0)6167.2(1.03.19

6167.23

)0(2.0)0(1.085.7

3

2

1

=+

=

=+

=

=

+

=

x

x

x

Era = -------- No lo podemos calcular debido a que no tenemos unaiteracin previa

Iteracin 2

0002908.710

)4996.2(2.0)9906.2(3.04.71

4996.27

)005609.7(3.0)9906.2(1.03.19

9906.23

)005609.7(2.0)7945.2(1.085.7

3

2

1

=+

=

=+

=

=+

=

x

x

x


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Los errores relativos aproximados ahora se pueden calcular de la forma:

%076.0%1000002908.7

005609.70002908.7

%8.11%1004996.2)7945.2(4996.2

%5.12%1009996.2

6167.29996.2

3

2

1

=

=

= =

=

=

Erax

Erax

Erax

Y as sucesivamente hasta que los clculos se detengan en base al criterio del Errorde Tolerancia obteniendo as los valores para las incgnitas x1, x2 , x3es decir:

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