SISTEMA DE ECUACIONES

UNIDAD II

Matrices y Sistemas Lineales

Profesor:

Ing. Edgar Rmulo Pinedo Nez

UNIDAD II

Matrices y Sistemas Lineales

(Parte 2) Sistemas de Ecuaciones

Con dos Variables

LOGRO DE SESIN

El estudiante resuelve

ecuaciones de primer grado con

dos variables, para solucionar

diversas situaciones y problemas

relacionados con su carrera

profesional.

2. Cmo se soluciona el sistema ?

1. Qu es un sistema de ecuaciones con dos

variables?

RESPONDA LAS SIGUIENTES PREGUNTAS:

4. En que tipo de problemas se aplican?

3. Cules son los mtodos de eliminacin?

Es la reunin de dos ecuaciones que deben satisfacer para los mismos valores de las incgnitas.

1. DEFINICIN

2. SOLUCIN DEL SISTEMA Es el conjunto de valores numricos o literales que satisfacen las ecuaciones.

Los sistemas de ecuaciones pueden ser Numricos o Literales, segn la naturaleza de las ecuaciones que los constituyen.

Un sistema numrico es: Un sistema literal es:

Cuando la solucin de un sistema es nica, es decir, existe un slo valor para cada incgnita, el sistema se llama Determinado. Por lo general el nmero de incgnitas es igual al nmero de ecuaciones.

7 + 4 = 135 2 = 19

+ =

= 0

3. RESOLUCIN DE SISTEMAS DE ECUACINES

Para la resolucin de sistemas de ecuaciones de primer grado con dos

variables se aplican mtodos de eliminacin, que consisten esencialmente

en eliminar una de las incgnitas y obtener una sola ecuacin de una

incgnita.

Los mtodos de eliminacin ms usuales son:

A. Mtodo por Igualacin

B. Mtodo por Sustitucin

C. Mtodo por Reduccin (Suma y Resta)

D. Mtodo Grfico

E. Mtodo por Determinantes

Sistemas de

Ecuaciones de 2x2

A. Mtodo por Igualacin

B. Mtodo por Sustitucin

C. Mtodo por Reduccin

(Suma y Resta)

D. Mtodo Grfico

E. Mtodo por Determinantes

Para desarrollar todos los mtodos, utilizaremos este problema, pero solo

en su traduccin algebraica:

Una seora compra 10 kilos de huevo y 4 kilos de tomate y paga

S/.62,00. Otra seora compra 3 kilos de huevos y 5 kilos de tomate y

paga S/. 30,00. Cunto cuesta 1 kilo de huevo y kilo de tomate?

PASOS:

1. Traduzcamos este problema que se encuentra en lenguaje comn a

lenguaje algebraico, quedando de la siguiente manera:

2. Donde:

PROBLEMA:

. . . (1)

. . . (2)

X = Costo x kilo de huevo (S/.)

y = Costo x kilo de tomate (S/.)

+ =

+ =

A. MTODO POR IGUALACIN

REGLA: Para la eliminacin por Igualacin, se siguen los siguientes pasos:

1. Se despeja una de las incgnitas en cada una de las ecuaciones, sta

debe ser la misma en ambas.

2. Se igualan los dos valores de las incgnitas as obtenidas.

3. Se resuelve la ecuacin de primer grado con una incgnita que as se

obtiene.

4. El valor obtenido se sustituye en cualquiera de las ecuaciones originales.

5. Se comprueba la solucin, sustituyendo los valores obtenidos en las

ecuaciones dadas.

PROCEDIMIENTO:

PASO1: Para resolver el sistema de ecuaciones de 2x2, por este mtodo, debemos comenzar por elegir cul incgnita vamos a DESPEJAR en ambas ecuaciones (tiene que ser la misma en las dos ecuaciones). Del ejemplo, elegiremos la incgnita x (la eleccin es personal); quedndonos de la siguiente manera:

De la ecuacin 1:

+ =

Retomando:

+ =

+ = 62

= 62 4y

(62 - 4y) () = 1

1

Como elegimos despejar x, entonces empezaremos a

realizar las operaciones para lograrlo

Necesitamos un nmero contrario para poder eliminar

a otro nmero. En nuestro caso es 4y, necesitamos -4y, para

poder eliminarlo (se debe poner en ambos lados de la

ecuacin para no desequilibrarla).

Quedndonos as:

Ahora, lo que tenemos que hacer es despejar la x, pero tenemos un nmero 10 que esta

multiplicando; para poder despejar, aplicamos su operacin inversa que es la divisin. Para el 10 ser 1/10 (se debe poner en ambos lados de la ecuacin

para que no vari), y as eliminamos el 10.

= 1 (62 4y) 10

Se tiene:

=

YA TENEMOS EL PRIMER

DESPEJE

Ahora, tomamos la ecuacin 2 y hacemos la misma operaciones para lograr despejar la incgnita x:

De la ecuacin 2: + =

+ = 30

= 30 5y

(30 - 5y) ( ) = 1

1 3

= 1 (30 5y) 3

=

AHORA TENEMOS EL

SEGUNDO DESPEJE

Despejamos x,

Realizamos las operaciones para lograr el

despeje, utilizando las leyes de los signos y las

operaciones inversas (recordando que, de la suma, es la resta y de la

multiplicacin, es la divisin)

PASO 2: Una vez despejadas la incgnita elegida de cada ecuacin, entonces IGUALAMOS ambas ecuaciones

=

=

De la ecuacin 2 De la ecuacin 1 Tenemos entonces lo siguiente:

= =

=

PASO 3: Una vez igualadas las ecuaciones, DESPEJAMOS, la incgnita:

=

=

+ () = () + 10(-5)

= - 50

+ = - 186

= 114

= 114 38

= 3

ENCONTRAMOS EL PRIMER VALOR

PASO 4: Una vez encontrada la primera incgnita, entonces, SUSTITUIMOS el valor en alguna de las dos ecuaciones despejadas, en este caso elegiremos la ecuacin 2:

=

= 3

Como el valor de la variable dependiente es:

Sustituyendo el valor tenemos que:

= ()

=

=

=5

Y eso es todo? Cmo saber si estoy

bien en mis resultados?

PASO 5: Solo nos resta COMPROBAR nuestro resultado, tomamos cualquiera de las dos ecuaciones originales y sustituimos el valor de x y el valor de y (el cual, si satisface la igualdad, los valores son correctos). Tomamos la ecuacin 1:

62 =

+ =

() + () =

50 + 12 =

CORRECTO! CUMPLE LA IGUALDAD

Ejemplo: Resolver por igualacin el sistema: 3 2 7

5 3

x y

x y

1

21. Despejando x en ambas ecuaciones

Ecuacin (1) Ecuacin (2) 3 2 7

3 7 2

7 2

3

x y

x y

yx

5 3

5 3

3

5

x y

x y

yx

2. Igualando ambos despejes

7 2 3

3 5

y y

3. Resolviendo la ecuacin obtenida

5 7 2 3 3

35 10 9 3

10 3 9 35

13 26

26

13

2

y y

y y

y y

y

y

y

4. Sustituyendo y en (1)

3 2 7

3 2 2 7

3 4 7

3 7 4

3 3

3

3

1

x y

x

x

x

x

x

x

5. Comprobando los valores

Ecuacin (1) Ecuacin (2)

3 2 7

3 1 2 2 7

3 4 7

7 7

x y

5 3

5 1 2 3

5 2 3

3 3

x y

R/ La solucin del sistema es: 1 2x y

B. MTODO POR SUSTITUCIN

REGLA: Para la eliminacin por sustitucin, se siguen los siguientes pasos:

1. Se despeja una de las incgnitas de una de las ecuaciones del sistema.

2. Se sustituye este valor obtenido en la otra ecuacin.

3. Se resuelve la ecuacin de primer grado con una incgnita.

4. El valor obtenido se sustituye en cualquiera de las ecuaciones originales

para determinar la otra variable.


ecuaciones dadas.

PROCEDIMIENTO:

PASO1: Elegimos alguna de las dos ecuaciones y decidimos cul es la incgnita que vamos a despejar:

10 + 4 = 62 3 + 5 = 30

. . . (1)

. . . (2)

En este caso, elegimos la ecuacin 1 y despejamos la incgnita y

+ =

+ + = 62

= 62

= 62 10x 4

ENCONTRAMOS EL VALOR DE Y

PASO 2: En este paso lo que haremos es SUSTITUIR, el valor y encontrado, en la ecuacin 2:

+

=

3x + () + () = 30 4

De la ecuacin 2: + = Sustituimos el valor de y de la ecuacin 1,

en la ecuacin 2

3x + = 30 4

PASO 3: Resolvemos

Encontramos el PRIMER VALOR

3x + = 30 4

= 30 - 3x 4

= ( 30 - 3x ) 4

= 120 12x

+ 12 = 120 310

= 190

= 190

=5

PASO 4: Una vez encontrada la primera incgnita, entonces, SUSTITUIMOS el valor encontrado en alguna de las dos ecuaciones, en este caso elegiremos la ecuacin 1:

= 3

Y eso es todo? Cmo saber si estoy

bien en mis resultados?

+ =

() + =

+ =

= -

=


62 =

+ =

() + () =

50 + 12 =


Ejemplo: Resolver por sustitucin el sistema: 3 6

5 2 13

m n

m n

1

21. Despejando m de la (1)

3 6

6 3

m n

m n

2. Sustituyendo m en la (2)

5 2 13

5 6 3 2 13

m n

n n

3. Resolviendo la ecuacin obtenida

5 6 3 2 13

30 15 2 13

15 2 13 30

17 17

17

17

1

n n

n n

n n

n

n

n

4. Sustituyendo n en (1)

3 6

3 1 6

3 6

6 3

3

m n

m

m

m

m



3 6

3 3 1 6

3 3 6

6 6

m n

5 2 13

5 3 2 1 13

15 2 13

13 13

m n

R/ La solucin del sistema es: 3 1m n

C. MTODO POR REDUCCIN (SUMA Y RESTA)

REGLA: Para la eliminacin por REDUCCIN, se siguen los siguientes pasos:

1. Determinamos que variable eliminar, luego el coeficiente de dicha

variable en la ecuacin (1) se ha de multiplicar a la ecuacin (2), y el

coeficiente de la variable a eliminar de la ecuacin (2) se ha de

multiplicar a la ecuacin (1). Procurando que los coeficientes de la

variable a eliminar tengan signos contrarios.

2. Reducimos los trminos y resolvemos la ecuacin resultante.

3. El valor obtenido se sustituye en cualquiera de las ecuaciones originales

para determinar la otra variable.


ecuaciones dadas.

PROCEDIMIENTO:

PASO1: Tomamos ambas ecuaciones:

10 + 4 = 62 3 + 5 = 30

. . . (1)

. . . (2)

+ =

Elegimos que incgnita eliminar, ya sea x o y

En este caso elegiremos a x.

En nuestro problema, tenemos que tener un mismo numero, en su aceptacin positiva y negativa.

+ =

3

-10

PASO 2: Realizamos las operaciones:

[ + = ]

[ + = ]

3

-10

+ = 186

=-300

=-114

=-114 -38

= 3

PASO 3: Sustituimos el valor encontrado en algunas de las ecuaciones:

+ =

= 15

= 5

+ () =

+ =


62 =

+ =

() + () =

50 + 12 =


Ejemplo: Resolver por reduccin el sistema: 6 7 17

5 9 11

x y

x y

1

2

Vamos a eliminar la variable x y notemos que los signos de los coeficientes de dicha variable son iguales, por tanto hemos de multiplicar una de las ecuaciones por un coeficiente negativo.

1. Multiplicando ambas ecuaciones

5 6 7 17

6 5 9 11

por x y

por x y

30 35 85

30 54 66

x y

x y

2. Reduciendo trminos

19 19

19

19

1

y

y

y

30x 35 85

30

y

x

54 66y

3. Sustituyendo y en (1)

6 7 17

6 7 1 17

6 7 17

6 17 7

6 24

24

6

4

x y

x

x

x

x

x

x



6 7 17

6 4 7 1 17

24 7 17

17 17

x y

5 9 11

5 4 9 1 11

20 9 11

11 11

x y


D. MTODO GRAFICO

Resolver grficamente un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incgnitas, consiste en hallar el punto de interseccin de las grficas de Las ecuaciones lineales, para ello es necesario graficar las dos ecuaciones en un mismo sistema de coordenadas cartesianas.

1. Se despeja la variable y en cada una de las ecuaciones, y luego se elabora una tabla, asignndole valores a x.

2. Se grafican ambas ecuaciones en un mismo plano cartesiano.

3. Se observa el punto de interseccin de ambas grficas.

4. Se comprueba la solucin, sustituyendo los valores del punto de

interseccin observado en las ecuaciones dadas.

PROCEDIMIENTO:

PASO1: En ambas ecuaciones, despejamos la variable dependiente, y:

+ =

10 + 4 = 62 3 + 5 = 30

. . . (1)

. . . (2)

=

Despejando y en la ecuacin (1):

=

Despejando y en la ecuacin (2):

+ =

=

=

PASO 2: Teniendo despejadas las ecuaciones, TABULAMOS. Le damos valores a x (de -3 a +3).

=

=

x y

-3 23

-2 20,5

-1 18

0 15,5

1 13

2 10,5

3 8

x y

-3 7,8

-2 7,2

-1 6,6

0 6

1 5,4

2 4,8

3 4,2

PASO 3: Ahora graficamos los puntos de cada ecuacin.

=

=

-3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 0

-5

5

10

15

20

25

30

(-3,23)

(-2,20.5)

(-1,18) (0,15.5)

(1,13)

(2,10.5)

(3,8)

P(x,y)=(5,3) (-3,7.8) (-2,7.2) (-1,6.6) (0,6)

(1,5.4) (2,4.8) (3,4.2)

. . . (1)

. . . (2)

PASO 4: Nos resta COMPROBAR nuestro resultado:

Hay que recordar que, un punto en el plano cartesiano est dado por (x,y), del grafico obtenemos:

P(x,y) = (5,3)

Por lo tanto: X = 5 Y = 3

30 =

+ =

() + () = CORRECTO!

CUMPLE LA IGUALDAD

Para comprobar, vamos a tomar la ecuacin 2 y verificamos:

+ =

Ejemplo: Resolver grficamente el sistema: 3

3 2 4

x y

x y

1

2

1. Tabulando ambas ecuaciones

Despejando y en (1)

3

3

3

x y

y x

y x

3 2 4

2 4 3

4 3

2

x y

y x

xy

3y x ,x y

3 0y 0, 3

3 1y 1, 4

3 2y 2, 5

4 3

2

xy

,x y

4 3 02

y

2 0, 2

4 3 12

y

7

2

71,

2

4 3 22

y

5 2, 5

1

2

0

1

2

0

x xy

y

4

5

3

Despejando y en (2)

2. Graficando ambas ecuaciones en un mismo sistema

-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7

7

6

5

4

3

2

1

-1

-2

-3

-4

-5

-6

-7

x

y

,

3. Observando el grfico,

notamos que la interseccin

se da en el punto 2, 1



3

2 1 3

3 3

x y

3 2 4

3 2 2 1 4

6 2 4

4 4

x y


En dicho punto, 2 1x y

E. MTODO POR DETERMINANTES REGLA:

1. El valor de cada incgnita del sistema de dos ecuaciones de

primer grado con dos incgnitas, es una fraccin que tiene por

denominador el determinante formado por los coeficientes de las

incgnitas x e y, llamado Determinante del Sistema, y por

numerador el determinante que se obtiene al sustituir en el

determinante del sistema la columna de los coeficientes de la

incgnita buscada los trminos independientes de las ecuaciones

dadas.

2. Se comprueba la solucin, sustituyendo los valores obtenidos en

las ecuaciones dadas.

FORMA GENERAL:

Tambin se conoce como Regla de Cramer.

Veremos a continuacin este otro mtodo para darle solucin a un sistema de ecuaciones de 2x2.

Primero, resolveremos la forma general, para despus solamente tomarlos y sustituirlos.

+ = + =

Donde: x y y, son incgnitas y a, b, c, d, r y s, son nmeros reales.

Ecuacin General:

Determinante de x: det(x)

+ = + =

Las incgnitas x e y se determinan de la siguiente manera:

bsdrds

br

ds

brx ..det)det(

=()

() =

()

()

Determinante del Sistema: det(s)

Determinante de y: det(y)

rcsasc

ra

sc

ray ..det)det(

bcdadc

ba

dc

bas ..det)det(

Para nuestro problema:

10 + 4 = 62 3 + 5 = 30

. . . (1)

. . . (2)

Identificamos los valores correspondientes a cada letra de la ecuacin general:

a= 10 b= 4 r= 62 c= 3 d= 5 s= 30

+ = + =

190120310)4(30)5(62530

462det)det(

ds

brx

PASO 1: Hallando el determinante de x

114186300)62(3)30(10303

6210det)det(

sc

ray

PASO 2: Hallando el determinante de y

381250)4(3)5(1053

410det)det(

dc

bas

PASO 3: Hallando el determinante del sistema

PASO 4: Hallamos x e y

=()

()=

= =

()

()=

=


62 =

+ =

() + () =

50 + 12 =


Ejemplo: Resolver por determinantes el sistema: 4 9 3

3 7 2

x y

x y

1

2

1. Calculando valores para cada variable

3 9

3 7 2 92 7 21 18 33

4 9 4 7 3 9 28 27 1

3 7

x

4 3

4 2 3 33 2 8 9 11

4 9 4 7 3 9 28 27 1

3 7

y



4 9 3

4 3 9 1 3

12 9 3

3 3

x y

3 7 2

3 3 7 1 2

9 7 2

2 2

x y


EJERCICIOS

5 3 22

2 0

x y

x y

2 12

3 16

x y

x y

5 9

2 4 8

x y

x y

Resolver utilizando el mtodo de Sustitucin los siguientes sistemas

Resolver utilizando el mtodo de Igualacin los siguientes sistemas

5

2 8

x y

x y

3 6

5 2 13

x y

x y

4 3 8

8 9 77

n m

m n

Resolver utilizando el mtodo de Reduccin los siguientes sistemas

2 2 10

2 4

x y

x y

3 4

2 3

x y

x y

0

5 18

x y

x y

Resolver utilizando el mtodo Grfico los siguientes sistemas

1

7

x y

x y

5 3 0

7 16

x y

x y

2 3

1

x y

x y

Resolver utilizando el mtodo por Determinates los siguientes sistemas

3 8 38

7 2 6

x y

x y

4 26

5 31 3

x y

y x

2 3 8

2 2 10

x y

x y

Fin de la Unidad 2 Parte 2

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