Sistema de ecuaciones

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Prof. Fabián A. Espinosa B. Página 1



Sistemas de dos Ecuaciones Simultáneas de primer grado con dos incógnitas.

Definición: Un sistema de ecuaciones es la reunión de dos o más ecuaciones con dos o más

incógnitas. Así

{𝟒𝒙 + 𝟔𝒚 = 𝟐𝟔𝟖𝒙 − 𝟐𝒚 = 𝟏𝟎

Es un sistema de dos ecuaciones de primer grado con dos incógnitas.

La solución de un Sistema de Ecuaciones es un grupo de valores de las incógnitas que

satisface todas las ecuaciones del sistema. Así en el sistema anterior la solución es 𝒙 =

𝟐 , 𝒚 = 𝟑

Métodos de Solución:

Entre los métodos más conocidos para la resolución de un sistema de ecuaciones de dos o más

incógnitas tenemos: Método de Sustitución, Método de Igualación, Método de Reducción,

Método Gráfico y Método de Determinante.

Para resolver un sistema de ecuaciones por el Método de Sustitución se siguen los siguientes

pasos:

- Despejamos una de las variables de la ecuación (1).

- Luego la variable despejada la sustituimos en la ecuación (2).

- Resolvemos la ecuación resultante y encontramos el valor de la variable.



- Luego sustituimos el resultado obtenido en el paso anterior en cualquiera de las

ecuaciones y encontramos el valor de la variable restante.

Ejemplo N°1: Desarrollar correctamente el siguiente sistema de ecuaciones

{𝟐𝒙 + 𝟔𝒚 = 𝟏𝟐

𝟏𝟎𝒙 − 𝟒𝒚 = 𝟐𝟔

Solución: Primeramente despejamos la variable “x” en la ecuación (1):

𝟐𝒙 + 𝟔𝒚 = 𝟏𝟐

𝟐𝒙 = 𝟏𝟐 − 𝟔𝒚

𝒙 =𝟏𝟐 − 𝟔𝒚

𝟐

Luego sustituimos el valor de “x” en la ecuación (2). Así:

𝟏𝟎𝒙 − 𝟒𝒚 = 𝟐𝟔

𝟏𝟎 (𝟏𝟐 − 𝟔𝒚

𝟐) − 𝟒𝒚 = 𝟐𝟔

𝟏𝟐𝟎 − 𝟔𝟎𝒚

𝟐− 𝟒𝒚 = 𝟐𝟔

𝟐 (𝟏𝟐𝟎 − 𝟔𝟎𝒚

𝟐) − 𝟐(𝟒𝒚) = 𝟐(𝟐𝟔)

𝟏𝟐𝟎 − 𝟔𝟎𝒚 − 𝟖𝒚 = 𝟓𝟐

−𝟔𝟎𝒚 − 𝟖𝒚 = 𝟓𝟐 − 𝟏𝟐𝟎

−𝟔𝟖𝒚 = −𝟔𝟖

𝒚 =−𝟔𝟖

−𝟔𝟖

𝒚 = 𝟏

NOTA: Los valores encontrados deben de satisfacer todas

las ecuaciones del sistema planteado.



Ahora sustituimos el valor de “y” en cualquiera de las dos ecuaciones para encontrar el valor

de la variable “x”. Así

𝟐𝒙 + 𝟔𝒚 = 𝟏𝟐 → 𝟐𝒙 + 𝟔(𝟏) = 𝟏𝟐

𝟐𝒙 + 𝟔 = 𝟏𝟐

𝟐𝒙 = 𝟏𝟐 − 𝟔

𝟐𝒙 = 𝟔

𝒙 =𝟔

𝟐= 𝟑

Ejemplo N°2: Desarrollar el Sistema: {𝟐𝒎 + 𝟓𝒏 = −𝟐𝟒𝟖𝒎 − 𝟑𝒏 = 𝟏𝟗

Solución: Despejamos la variable “m” en la ecuación (1):

𝟐𝒎 + 𝟓𝒏 = −𝟐𝟒

𝟐𝒎 = −𝟐𝟒 − 𝟓𝒏

𝒎 =−𝟐𝟒 − 𝟓𝒏

𝟐

Luego éste valor de “m” se sustituye en la ecuación (2). Así:

𝟖𝒎 − 𝟑𝒏 = 𝟏𝟗 → 𝟖 (−𝟐𝟒 − 𝟓𝒏

𝟐) − 𝟑𝒏 = 𝟏𝟗

−𝟏𝟗𝟐 − 𝟒𝟎𝒏

𝟐− 𝟑𝒏 = 𝟏𝟗

𝟐 (−𝟏𝟗𝟐 − 𝟒𝟎𝒏

𝟐) − 𝟐(𝟑𝒏) = 𝟐(𝟏𝟗)

−𝟏𝟗𝟐 − 𝟒𝟎𝒏 − 𝟔𝒏 = 𝟑𝟖

−𝟒𝟎𝒏 − 𝟔𝒏 = 𝟑𝟖 + 𝟏𝟗𝟐

−𝟒𝟔𝒏 = 𝟐𝟑𝟎

𝒏 =𝟐𝟑𝟎

−𝟒𝟔 = −𝟓



Ahora sustituimos 𝒏 = −𝟓 en cualquiera de las ecuaciones dadas. Así:

8𝑚 − 3𝑛 = 19 → 8𝑚 − 3(−5) = 19

8𝑚 + 15 = 19

8𝑚 = 19 − 15

8𝑚 = 4

𝑚 =4

8

𝑚 =1

2

I) Resuelva los siguientes Sistemas de Ecuaciones por el Método de Sustitución.

𝟏) {𝟐𝒙 + 𝒚 = 𝟒

𝟑𝒙 − 𝟐𝒚 = −𝟏 𝟐) {

𝒙 + 𝟑𝒚 = 𝟔𝟓𝒙 − 𝟐𝒚 = 𝟏𝟑

𝟑) {𝟓𝒙 + 𝟕𝒚 = −𝟏

−𝟑𝒙 + 𝟒𝒚 = −𝟐𝟒 𝟒) {

𝟒𝒚 + 𝟑𝒙 = 𝟖𝟖𝒙 − 𝟗𝒚 = −𝟕𝟕

𝟓) {𝒙 − 𝟓𝒚 = 𝟖

−𝟕𝒙 + 𝟖𝒚 = 𝟐𝟓 𝟔) {

𝟏𝟓𝒙 + 𝟏𝟏𝒚 = 𝟑𝟐𝟕𝒚 − 𝟗𝒙 = 𝟖

𝟕) {𝟏𝟎𝒙 + 𝟏𝟖𝒚 = −𝟏𝟏

𝟏𝟔𝒙 − 𝟗𝒚 = −𝟓 𝟖) {

𝟒𝒙 + 𝟓𝒚 = 𝟓−𝟏𝟎𝒚 − 𝟒𝒙 = −𝟕

𝟗) {𝟑𝟐𝒙 − 𝟐𝟓𝒚 = 𝟏𝟑𝟏𝟔𝒙 + 𝟏𝟓𝒚 = 𝟏

𝟏𝟎) {−𝟏𝟑𝒚 + 𝟏𝟏𝒙 = −𝟏𝟔𝟑

−𝟖𝒙 + 𝟕𝒚 = 𝟗𝟒



Para resolver un sistema de ecuaciones por el método de igualación se siguen los siguientes

pasos:

- Se despeja la misma incógnita en ambas ecuaciones.

- Se igualan entre si ambas incógnitas despejadas.

- Resolvemos la ecuación planteada.

- Luego sustituimos en cualquiera de las ecuaciones el valor encontrado.

Ejemplo N°1: Resolver el siguiente sistema utilizando el Método de Igualación

{𝟕𝒙 + 𝟒𝒚 = 𝟏𝟑𝟓𝒙 − 𝟐𝒚 = 𝟏𝟗

Paso N°1: Despejamos la variable “x” en ambas ecuaciones:

7𝑥 + 4𝑦 = 13 5𝑥 − 2𝑦 = 19

7𝑥 = 13 − 4𝑦 5𝑥 = 19 + 2𝑦

𝒙 =𝟏𝟑−𝟒𝒚

𝟕 𝒙 =

𝟏𝟗+𝟐𝒚

𝟓

Paso N°2: Ahora igualamos entre sí los valores de “x” que hemos obtenido:

13 − 4𝑦

7=

19 + 2𝑦

5

Paso N°3: Resolvemos 5(13 − 4𝑦) = 7(19 + 2𝑦)

65 − 20𝑦 = 133 + 14𝑦

−20𝑦 − 14𝑦 = 133 − 65

−34𝑦 = 68

𝑦 =68

−34

𝒍𝒖𝒆𝒈𝒐 𝒚 = −𝟐



Paso N°4: Ahora sustituimos el valor de “y” en cualquiera de las ecuaciones:

7𝑥 + 4𝑦 = 13

7𝑥 + 4(−𝟐) = 13

7𝑥 − 8 = 13

7𝑥 = 13 + 8

7𝑥 = 21 Luego 𝑥 =21

7= 𝟑 𝑺𝒐𝒍𝒖𝒄𝒊ó𝒏: {𝒙 = 𝟑 ; 𝒚 = −𝟐}

Ejemplo N° 2: Encontrar la solución del siguiente sistema de ecuaciones por el método de igualación:

{𝒙 + 𝟔𝒚 = 𝟐𝟕𝟕𝒙 − 𝟑𝒚 = 𝟗

Paso N°1: Despejamos la variable “x” en ambas ecuaciones:

𝑥 + 6𝑦 = 27 7𝑥 − 3𝑦 = 9

𝒙 = 𝟐𝟕 − 𝟔𝒚 7𝑥 = 9 + 3𝑦

𝒙 =𝟗+𝟑𝒚

𝟕

Paso N°2: Ahora igualamos entre sí los valores de “x” que hemos obtenido:

𝟐𝟕 − 𝟔𝒚 =𝟗 + 𝟑𝒚

𝟕

Paso N°3: Resolvemos 7(27 − 6𝑦) = 1(9 + 3𝑦)

189 − 42𝑦 = 9 + 3𝑦

−42𝑦 − 3𝑦 = 9 − 189

−45𝑦 = −180

𝑦 =−180

−45

𝒚 = 𝟒



Paso N° 4: Ahora sustituimos el valor de “y” en cualquiera de las ecuaciones:

𝒙 + 𝟔𝒚 = 𝟐𝟕

𝑥 + 6(𝟒) = 27

𝑥 + 24 = 27

𝑥 = 27 − 24

𝒙 = 𝟑

Resolver los siguientes sistemas de ecuaciones utilizando el método de igualación:

𝟏) {𝟑𝒙 − 𝟐𝒚 = −𝟐

𝟓𝒙 + 𝟖𝒚 = −𝟔𝟎 5) {

𝟑𝒙 + 𝟓𝒚 = 𝟕𝟐𝒙 − 𝒚 = −𝟒

2) {𝟕𝒙 + 𝟗𝒚 = 𝟒𝟐

𝟏𝟐𝒙 + 𝟏𝟎𝒚 = −𝟒 6) {

−𝟓𝒙 + 𝒚 = 𝟐𝟏𝟐𝒙 − 𝟑𝒚 = −𝟐𝟒

𝟑) {𝟐𝒙 − 𝒚 = 𝟑

𝟒𝒙 + 𝟑𝒚 = 𝟏 𝟕) {

𝟓𝒙 − 𝒚 = 𝟕𝟐𝒙 + 𝟑𝒚 = −𝟒

𝟒) {𝟑𝒙 + 𝟐𝒚 = 𝟕

𝟓𝒙 − 𝟒𝒚 = −𝟑 𝟖) {

𝟑𝟓𝒙 − 𝟐𝟎𝒚 = 𝟔𝟑𝒙 + 𝟒𝒚 = 𝟐

𝟗) {𝟑𝒙 − 𝟐𝒚 = 𝟖

𝒙 + 𝒚 = 𝟔 𝟏𝟎) {

𝒙 − 𝒚 = 𝟎𝟑𝒙 − 𝟐𝒚 = 𝟏



Para resolver un sistema de ecuaciones por el Método de Reducción se deben de seguir

los siguientes pasos:

a) Se preparan las dos ecuaciones, multiplicándolas por los números que convenga.

b) Restamos las ecuaciones y desaparece una de las incógnitas.

c) Se resuelve la ecuación resultante.

d) El valor obtenido se sustituye en una de las ecuaciones iniciales y se resuelve.

e) Los dos valores obtenidos constituyen la solución de dicho sistema.

Ejemplo N° 1: Resolver el siguiente sistema de ecuaciones por el Método de Reducción.

{𝟓𝒙 + 𝟔𝒚 = 𝟐𝟎

𝟒𝒙 − 𝟑𝒚 = −𝟐𝟑

Paso N° 1: Preparamos las ecuaciones, multiplicando por “2” la segunda ecuación para luego poder restarlas.

5𝑥 + 6𝑦 = 20

8𝑥 − 6𝑦 = −46 Multiplicamos por “2” la segunda ecuación.

Paso N°2 y 3: Ahora procedemos a restar las ecuaciones del paso anterior y resolver la ecuación resultante.

𝟓𝒙 + 𝟔𝒚 = 𝟐𝟎

8𝑥 − 6𝑦 = −4

13𝑥 = −26

𝑥 =−26

13

𝒙 = −𝟐

Paso N°4: Ahora sustituimos el valor “x” en una de las ecuaciones dadas.

𝟓𝒙 + 𝟔𝒚 = 𝟐𝟎

5(−𝟐) + 6𝑦 = 20

−10 + 6𝑦 = 20

6𝑦 = 20 + 10



6𝑦 = 30

𝑦 =30

6

𝒚 = 𝟓

Solución: { x = -2 ; y = 5 }

Ejemplo N° 2: Resolver el siguiente sistema de ecuaciones utilizando el Método de Reducción.

{𝟓𝒙 + 𝟕𝒚 = −𝟏

−𝟑𝒙 + 𝟒𝒚 = −𝟐𝟒

Paso N° 1: Preparamos las ecuaciones, multiplicando por “3” la primera ecuación y por “5” la segunda ecuación, para luego poder restarlas.

15𝑥 + 21𝑦 = −3 Multiplicando por “3” la primera ecuación.

−15𝑥 + 20𝑦 = −120 Multiplicando por “5” la segunda ecuación.

Paso N°2 y 3: Ahora procedemos a restar las ecuaciones del paso anterior y resolver la ecuación resultante.

15𝑥 + 21𝑦 = −3

−15𝑥 + 20𝑦 = −120

41𝑦 = −123

𝑦 =−123

41

𝒚 = −𝟑

Paso N°4: Ahora sustituimos el valor “y” en una de las ecuaciones dadas.

𝟓𝒙 + 𝟕𝒚 = −𝟏

5𝑥 + 7(−𝟑) = −1

5𝑥 − 21 = −1

5𝑥 = −1 + 21

5𝑥 = 20



𝑥 =20

5

𝒙 = 𝟒

Resolver los siguientes sistemas de ecuaciones utilizando el Método de Reducción:

𝟏) {𝟕𝒙 − 𝟏𝟓𝒚 = 𝟏−𝒙 − 𝟔𝒚 = 𝟖

6) {𝟏𝟎𝒙 − 𝟑𝒚 = 𝟑𝟔𝟐𝒙 + 𝟓𝒚 = −𝟒

2) {𝟔𝒙 − 𝟓𝒚 = −𝟗𝟒𝒙 + 𝟑𝒚 = 𝟏𝟑

7) {𝟒𝒙 + 𝟓𝒚 = 𝟓

−𝟏𝟎𝒚 − 𝟒𝒙 = −𝟕

𝟑) {𝟓𝒙 + 𝟑𝒚 = 𝟏𝟑

𝟐𝒙 − 𝒚 = 𝟑 𝟖) {

𝟑𝒙 + 𝟓𝒚 = 𝟒𝟐𝒙 + 𝟗𝒚 = 𝟕

𝟒) {𝟐𝒙 − 𝒚 = 𝟑

𝟒𝒙 + 𝟑𝒚 = 𝟏 𝟗) {

𝟑𝟓𝒂 − 𝟐𝟎𝒃 = 𝟔𝟑𝒂 + 𝟒𝒃 = 𝟐

𝟓) {𝟒𝒙 + 𝟓𝒚 = 𝟏𝟕𝟔𝒙 + 𝟖𝒚 = 𝟑

𝟏𝟎) {𝟔𝒙 − 𝟒𝒚 = 𝟏𝟔𝟐𝒙 + 𝟐𝒚 = 𝟏𝟐



Para resolver un sistema de ecuaciones por el Método de Determinantes se deben de seguir los siguientes pasos:

a) El valor de “x” es una fracción cuyo denominador es la determinante formada con los

coeficientes de “x” e “y” (determinante del sistema) y cuyo numerador es la determinante

que se obtiene sustituyendo en la determinante del sistema la columna de los

coeficientes de “x” por la columna de los términos independientes de las ecuaciones

dadas.

b) El valor de “y” se obtiene desarrollando el mismo procedimiento del paso anterior.

Ejemplo N° 1: Resolver el siguiente sistema de ecuaciones utilizando el Método de Determinantes.

{𝟓𝒙 + 𝟑𝒚 = 𝟓

𝟒𝒙 + 𝟕𝒚 = 𝟐𝟕

𝒙 =| 5

27 37|

|54

3 7

|=

(5)(7) − (27)(3)

(5)(7) − (4)(3)=

35 − 81

35 − 12=

−46

23= −2

𝒚 =| 5

4 5

27|

|54

3 7

|=

(5)(27) − (4)(5)

(5)(7) − (4)(3)=

135 − 20

35 − 12=

115

23= 5

Solución: { x = -2 ; y = 5 }

Ejemplo N°2: Resolver el siguiente sistema de ecuaciones por el Método de Determinantes.

{𝟓𝒙 − 𝟐𝒚 = 𝟏𝟑

𝒙 + 𝟑𝒚 = 𝟔

𝑥 =|13

6 −2 3

|

|5 1

−2 3

|=

(13)(3) − (6)(−2)

(5)(3) − (1)(−2)=

39 + 12

15 + 2=

51

17= 3

𝑦 =|5

1 13 6

|

|5 1

−2 3

|=

(5)(6) − (1)(13)

(5)(3) − (1)(−2)=

30 − 13

15 + 2=

17

17= 1

Solución: { x = 3 ; y = 1 }



Práctica

Resolver los siguientes sistemas utilizando el Método de Determinantes:

𝟏) {3𝑥 + 5𝑦 = 72𝑥 − 𝑦 = −4

𝟔) {

𝑥

3+ 𝑦 = 12

𝑥 − 2𝑦 = 0

2) {𝑥 + 𝑦 = 7

−3𝑥 + 4𝑦 = −7 𝟕) {

𝑥−3

3=

𝑦−7

7

𝑦 = 40 − 𝑥

3) {−𝑥 − 𝑦 = −3

𝑥 + 2𝑦 = 5 𝟖) {

8𝑥 − 4𝑦 − 12 = 016𝑥 + 12𝑦 = 4

4) {−3𝑥 + 𝑦 = −14

𝑥 − 𝑦 = 6 𝟗) {

10𝑥 − 2𝑦 = 146𝑦 + 4𝑥 = −8

𝟓) {6𝑥 + 4𝑦 = 14

10𝑥 − 8𝑦 = −6 10) {

4𝑥 − 2𝑦 = 68𝑥 + 6𝑦 = 2

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