ERRORES

En Topografía es necesario eindispensable conocer y operar loserrores propios de las mediciones

Tercera Unidad

V.03.2 ERRORESGeneralidades.- Origen de errores. – Clases de errores.-Comparación entre los errores sistemáticos y losaccidentales.- Discrepancia.- Teoría de lasprobabilidades.- Observaciones de igual precisión.- Valorprobable.- a) Valor más probable de una sola cantidad; b)Varias cantidades homogéneas.- Errores probable: a)Error probable de una sola cantidad; b) Varias cantidadeshomogéneas.- Observaciones de diferente precisión.-Peso.- Corrección de observaciones de peso dado: a) Unasola cantidad; b) Varias cantidades homogéneas.- Erroresen las operaciones aritméticas.- Casos especiales.-Resolución de problemas aplicativos.

GeneralidadesToda magnitud observada o medida contiene errores decuantía desconocida debido a múltiples causas, por lo cual unamedida nunca es realmente verdadera.Una de las misiones más importantes en topografía consiste enmantener las mediciones dentro de ciertos límites deprecisión, impuesto por la clase y la finalidad dellevantamiento.Para ello es necesario conocer el origen de los errores,apreciando el efecto de varios errores combinados sobre lamedición de que se trate y familiarizándose con elprocedimiento que debe seguirse para mantener la precisiónrequerida.Pudieran citarse muchos casos en que Ingenieros con muchaexperiencia han puesto de manifiesto una ignorancia en elasunto tan ridícula como lamentable.

Al hablar de mediciones u observaciones en general hay quedistinguir entre exactitud y precisión.Según la Sociedad Americana de Ingenieros Civiles, exactitudes << aproximación a la verdad >> , mientras que precisiónes << el grado de afinación en la lectura de unaobservación o el número de cifras con que se efectúa uncálculo>>;según el Servicio Geodésico y de costas de Estados Unidos,exactitud es << el grado de conformidad con un patrón omodelo>> , y precisión, << el grado de perfección con que serealiza una operación o se establece un resultado>>. De estasdefiniciones, tan acordes entre sí, se desprende que unamedición puede ser exacta sin ser precisa, y al contrario. Así, p.ej. , puede medirse una distancia con granescrupulosidad, hasta el milímetro con una cinta , ycometerse un error de centímetros si la cinta estáafectada por algún error en su longitud ; la mediciónen estos casos es precisa , pero no exacta.

La exactitud y la precisión son dos conceptos de laTeoría de Errores que atañen a los aparatos demedida y que a menudo se confunden uno con otro.Imaginemos que hacemos una serie de disparos conun arma de fuego sobre una diana. Si se trata de unarma precisa (un rifle de precisión), los disparosestarán agrupados entre sí. Si además la mira estábien calibrada, se podrá hacer puntería y colocar elmáximo número posible de disparos en la diana.Para entendernos, un cronómetro que sea capaz demedir centésimas de segundo pero que retrase cincominutos en cada hora es más preciso que nuestroreloj de pulsera, pero menos exacto.

no hay ni precisión,ni exactitud

hay exactitud,pero no precisión

hay precisión, pero no exactitud hay ambas cosas

En las cuatro dianas de la figura podemos observar las diferentes situaciones:

Precisión Adecuada.- La precisión de las medicionesdebe ir de acuerdo con la finalidad del levantamiento.Sucede con frecuencia que los principiantes no conciben quecada clase de trabajo requiere una precisión diferente, niconsiguen mantener durante todo el levantamiento el mismo

grado de precisión con que comenzaron.No pueden darse reglas fijas para la precisión relativa de las distintasclases de trabajo, porque las finalidades, aplicaciones y demáscircunstancias son tan numerosas como complicadas, pero siempreconviene recurrir al sentido común.Cada levantamiento constituye un problema, y el topógrafodebe marcar los limites tolerables de error por propiainiciativa y estudio del caso, aconsejado por la experienciade los demás.No es mejor topógrafo el que opera con extrema precisión, sinoel que hace un levantamiento con la precisión suficiente para elfin propuesto, sin dispendio del tiempo y de dinero.

Causas De Los Errores .- Los errores proceden de tres causasprincipales:1.- Imperfección o ajuste defectuoso de los instrumentos odispositivos con que se hacen las medidas. Así , p. ej , una cintapuede ser demasiado larga o un nivel estar mal corregido. A estosse les llama errores instrumentales.2.- Limitación de los sentidos de la vista y del tacto; p. ej., puedecometerse un error al leer el círculo graduado de un teodolito o alapreciar la tensión de una cinta métrica. Estos son errorespersonales.3.- Variación de ciertos fenómenos naturales, con la temperatura,la humedad, el viento, la gravedad, la refracción y la declinaciónmagnética; p. ej. , la longitud de una cinta metálica puedeaumentar o disminuir según suba o baje la temperatura y laslecturas de una brújula pueden estar afectadas por cambios de ladeclinación magnética. Estos se llaman errores naturales.

Una equivocación o error material es una faltacometida por negligencia, debido al poco criterioo a una confusión del observador, y es totalmentediferente de los errores físicos o matemáticospropiamente tales.Por tanto haremos siempre la distinción entreerrores y equivocaciones; claro está que estasúltimas no entran para nada en el estudio ydiscusión de la teoría de errores, y sedescubren y eliminan comprobando todo eltrabajo.

Clases De Errores .- Introducción

El error real es una cantidad dada, es la diferenciaentre su medida y su valor verdadero. Si el resultado dela medición es mayor que el valor verdadero, se dice queel error es por exceso, o positivo, y si es menor, se diceque el error es por defecto, o negativo. El error real es elresultado de la acumulación de errores diferentes debidoa diversas causas, algunos que quizá tienda a producirvalores excesivos, y otros, a resultados menores que losverdaderos. Para una sola cantidad medida porobservación no puede determinarse exactamente ni elerror real ni ninguno de sus componentes, pero puedenfijarse dentro de ciertos límites probables.

Clases de Errores

Se denomina error sistemático aquel que, en igualdad decondiciones, se repite siempre en la misma magnitud y con elmismo signo ( que puede ser positivo o negativo ) . Si no cambianlas condiciones durante una serie de medidas, se dice que

el error sistemático es constante; p., ej. al medirse unadistancia con una cinta errónea por defecto. Si cambianlas condiciones, produciendo variaciones correspondientes, a la

magnitud del error, si dice que este es un error sistemáticovariable; p.ej. al medir una distancia con una cinta metálica duranteun tiempo en que varia la temperatura. Todo errorsistemático obedece siempre a alguna ley matemática o física ,por lo cual puede determinarse y aplicarse la oportunacorrección.El error puede ser instrumental, personal o natural.

Errores Sistemáticos Errores Accidentales

Error accidental o fortuito es el debido a una combinación de causasajenas a la pericia del observador, y al que no puede aplicarsecorrección alguna; en cada observación, la magnitud y el signo delerror accidental son cosas casuales, por cuya razón no pueden ser basede cálculos como lo son la cuantía y el signo de los erroressistemáticos.No obstante, los errores accidentales suelen, en conjunto, obedecer alas leyes de la probabilidad. Puesto que un error accidental puede serlo mismo positivo que negativo, se produce siempre una ciertacompensación, por lo cual a estos errores accidentales se les llama aveces errores compensables; también se designan con el nombre deerrores irregulares y errores ambulantes.Un ejemplo de error accidental se tiene en la imposibilidad, al mediruna distancia con cinta, de colocar la aguja en la división debida. Loserrores accidentales continúan actuando aun después de habereliminado las equivocaciones por comprobación y los erroressistemáticos por corrección.

El error sistemático total en un cierto número de observacioneses la suma algebraica de los errores de cada observación.Es decir, que s i se mide una distancia con una cinta, el errorsistemático debido al defecto de la cinta cera directamenteproporcional a la longitud de la distancia medida.

Ejemplo: La longitud de una alineación, medida con una cintade 20 m., a 10º C, es de 200 m ; al comparar después la cintacon un patrón o modelo se ve que tiene realmente 20,005 m . Elerror en la distancia medida será 0,005 x 10 = 0,05 m y lalongitud real de la alineación será de 200,05 m.Este ejemplo pone de manifiesto cómo un error sistemáticoconstante aumenta con el número de observaciones.

Comparación entre los erroressistemáticos y los accidentales (1)

En el ejemplo veremos el efecto de un error sistemáticovariableEjemplo: Con una cinta de acero de 20 m se mide unadistancia obteniéndose como resultado 120,00 m . De lastemperaturas observadas durante la medición se deduceque en la primera cintada la longitud probable de la cintaera de 19,998 m ; en la segunda de 20,001 m ; en latercera de 20,008 m , y en la cuarta, de 20,004 m . El errorsistemático total debido a la variación de temperatura es lasuma de los errores parciales, o sea:+ 0,002 - 0,001 - 0,008 - 0,004 = - 0,011 m = -11mm;luego la distancia medida será realmente :120,00 m + 0,01 m = 120,01 m.

Comparación entre los errores sistemáticos y los accidentales (2)

En muchas observaciones se sigue un orden tal,que quedan eliminados los errores sistemáticoso reducidos al menos a un valor despreciable;p.ej., el error debido a los cambios detemperatura durante una medición con cinta sepuede eliminar casi del todo tomando latemperatura y haciendo la correccióncorrespondiente; los errores de nivelacióndebidos a un nivel mal corregido se puedeneliminar igualando las distancias en las visualesde frente y de espalda.

Comparación entre los errores sistemáticos y los accidentales (3)

Los errores accidentales, como su nombreindica, tienen carácter puramente ocasional y nohay modo de determinarlos ni de eliminarloscomo se hace con los errores sistemáticos.Es decir, que mientras puede eliminarse muyaproximadamente el error producido por loscambios de temperatura (mediante cálculosbasados en mediciones físicas), no hay modoanálogo de eliminar el error accidental debido a lamarcación, en el terreno, de los extremos de lacinta (con las agujas de acero) o a la lectura de lamira en una nivelación.

Comparación entre los errores sistemáticos y los accidentales (4)

Según el cálculo de probabilidades, los erroresaccidentales tienden a aumentarproporcionalmente a la raíz cuadrada delnúmero de errores probables.Esto significa que si el error accidentalcometido en una cintada fuera de ± 0, 006 m , elerror accidental total que se tendría en 100cintadas no pasaría de:

Un error sistemático de igual magnitud daríalugar a un error total de:

0,006 x 100 = 0,6 m

m0,061000,006

Comparación entre los errores sistemáticos y los accidentales (5)

Vemos así que en una serie de observaciones de cantidadesindependientes, pero homogéneas, los errores accidentalestienen menor importancia que los errores sistemáticos de igualmagnitud. Aun cuando los errores accidentales no se puedaneliminar, pueden reducirse a un valor muy pequeño empleandoinstrumentos y métodos adecuados. Repitiendo varias veces y delmismo modo la medición de una misma cantidad, se puede teneruna idea del error accidental, como veremos más adelante, perosu verdadero valor no es posible determinarlo de manera alguna.La importancia de los errores sistemáticos, en comparación conlos accidentales, depende de la clase de observación de que setrate, del cuidado puesto por el observador, y de losinstrumentos y métodos empleados en la operación.En general, cuanto menos afinados sean lo métodos seguidos,mayores serán los errores sistemáticos en relación con losaccidentales.

Vemos así que en una serie de observaciones de cantidadesindependientes, pero homogéneas, los errores accidentalestienen menor importancia que los errores sistemáticos de igualmagnitud. Aun cuando los errores accidentales no se puedaneliminar, pueden reducirse a un valor muy pequeño empleandoinstrumentos y métodos adecuados. Repitiendo varias veces y delmismo modo la medición de una misma cantidad, se puede teneruna idea del error accidental, como veremos más adelante, perosu verdadero valor no es posible determinarlo de manera alguna.La importancia de los errores sistemáticos, en comparación conlos accidentales, depende de la clase de observación de que setrate, del cuidado puesto por el observador, y de losinstrumentos y métodos empleados en la operación.En general, cuanto menos afinados sean lo métodos seguidos,mayores serán los errores sistemáticos en relación con losaccidentales.

Comparación entre los errores sistemáticos y los accidentales (6)

Discrepancia.- Cuando se mide dos veces una mismamagnitud, la diferencia entre los resultados se llamadiscrepancia entre las medidas.Es muy frecuente el “comprobar” las operacionestopográficas haciendo una segunda medición.Si la discrepancia entre las dos medidas es pequeña, esseñal de que no se han cometido equivocaciones y de quelos errores accidentales son también pequeños; pero nosignifica que los errores sistemáticos no pueden sergrandes. Así, p.ej. dos mediciones con cinta de unaalineación de 1 km de largo puede acusar una discrepanciade 10 cm , pero los errores sistemáticos debidos a latemperatura, al pandeo de la cinta y a su inclinación,pueden llegar a sumar 1 m .

Teoría de probabilidades (1)

Hemos dicho que, empleando métodos apropiados, puedeneliminarse casi totalmente los errores sistemáticos.Aunque esto es auténtico, no es menos verdad que en ciertoslevantamientos, especialmente en los de baja precisión, no esnecesario y resulta impracticable, ni siquieraaproximadamente, la eliminación de tales errores.En los levantamientos de alta precisión se hace todo lo posiblepara eliminar los errores sistemáticos, y la precisión de unamedición depende del error accidental de que esté afectada.Para tener idea del valor probable, o de la precisión probablede una medición, en la cual se hayan eliminado los erroressistemáticos, hay que recurrir a la teoría de probabilidades,que trata de los errores accidentales de una serie demediciones iguales o semejantes.

Teoría de probabilidades (2)

En esta teoría se supone que:1º Los errores pequeños son más frecuentes que los grandes.2º No se cometen errores muy grandes.3º Los errores pueden ser lo mismo positivos que negativos.

4º El verdadero valor de una cantidad es la media de unnúmero infinito de observaciones análogas.

En la práctica resulta tan imposible eliminar completamente loserrores sistemáticos como hacer un número infinito deobservaciones, por lo cual nunca puede conocerse realmente elvalor exacto de una cantidad.En las consideraciones y discusión que haremos a continuaciónse supone que los errores sistemáticos se han eliminados hastaun límite que los hace prácticamente despreciables.

El estudio completo de la teoría de probabilidadesrequiere el conocimiento del método de losmínimos cuadrados, pero las reglas y normas quevamos a exponer bastan para los casos más sencillosde verificación de observaciones y determinación deerrores y valores probables.La teoría de probabilidades sirve para conocer laprecisión de los resultados solo en cuanto estosestán afectados por errores accidentales, pero enmodo alguno pone de manifiesto la magnitud de loserrores sistemáticos de que puedan adolecer lasobservaciones.

Teoría de probabilidades (3)

OBSERVACIONESDE

IGUAL PRECISIÓN

El valor más probable de unacantidad es una expresión matemática quedesigna el valor calculado, que, según lateoría de mínimos cuadrados, tiene másprobabilidades que ningún otro derepresentar el verdadero valor de la cantidadde que se trate.La aplicación principal que el topógrafo hacede la teoría de probabilidades es ladeterminación del valor más probablededucido de una serie de observaciones.

VALOR PROBABLE

Para una serie de mediciones de una mismacantidad, hechas en idénticas condiciones, el valormás probable es la media de todaslas mediciones.Ejemplo: Después de eliminados todos los erroressistemáticos, las mediciones sucesivas de una mismalongitud han dado los siguientes resultados: 612,36 m ;612,35 m ; 612,38 m ; 612,32 m ; 612,33 m ; y 612,30m .El valor más probable es la media delos anteriores: 612,34 m .

Valor Probable de una sola cantidad

La expresión de la media aritmética es:

n

mmmM n

....21

VALOR MASPROBABLE

Tratándose de magnitudes de igual clase, medidasen igualdad de condiciones y cuya suma exacta seconoce, los valores más probables son losobservadores, con una corrección igual al errortotal dividido por el número de observaciones.(Este caso únicamente ocurre en la medición deángulos alrededor de un punto o de ángulosinteriores de una línea poligonal cerrada).Su corrección se hace proporcionalmente alnúmero de observaciones y no a la magnitud decada medición.

Valor probable deVarias cantidades homogéneas (1)

Ejemplo: Los ángulos leídos desde un mismo punto sean:160º 45’ 10”; 112º 27’ 20” y 86º 47’ 45”. La suma es, porconsiguiente, 360º 00’ 15”, luego el error es 15”. Como haytres ángulos, el error correspondiente a cada uno se suponeque es de 05”. Luego los valores más probables serán:

160º 45´ 10” - 05” = 160º 45´ 05”112º 27` 20” - 05” = 112º 27´ 15”86º 47´ 45” - 05” = 86º 47´ 40”

360º 00´ 15” - 15” = 360º 00´ 00”

Valor probable deVarias cantidades homogéneas (2)

Ejemplo: Las medidas de tres ángulos observados desde un mismo punto Oson AOB =15º 31’ 50”; BOC =34º 29’ 20”, y COD = 47º 36’ 30”; la medidadel ángulo total AOD es 97º 37’ 00”. La discrepancia entre la suma de lostres ángulos observados y el ángulo total medido es de 40”. Por serindependiente la cuantía del error del tamaño del ángulo, se divide lasdiscrepancias en cuatro partes iguales; 40/4=10”. Se resta esta correcciónde cada uno de los ángulos AOB, BOC y COD y se suma al ángulo totalAOD. Los valores más probables serán:

AOB = 15º 31’ 50” - 10” = 15º 31’ 40”BOC = 34º 29’ 20” - 10” = 34º 29’ 10”COD = 47º 36’ 30” - 10” = 47º 36’ 20”Suma 97º 37’ 40” - 30” = 97º 37’ 10”AOD = 97º 37’ 00” + 10” = 97º 37’ 10”

Comprobación

Valor probable de Varias cantidades homogéneas (3)

Cuando se hace una serie de observación igual o análogas de unamisma cantidad se obtiene un número correspondiente de valores.Las diferencias entre estos valores proporcionan el medio paradeterminar el error probable, expresión matemática que mide, encierto modo, la precisión, pero que no es el error verdadero ni elerror más probable. Esta precisión se refiere únicamente a loserrores accidentales o fortuitos, o sea después de haber reducido auna cantidad despreciable los errores sistemáticos.

Error probable (1)

El error probable es una cantidad positiva o negativa dentro de cuyoslímites puede caer o no el verdadero error accidental con tantasposibilidades en pro como en contra. Dicho de otro modo, si el errorprobable de una medición se suma y se resta del valor observador, laprobabilidad de que el verdadero valor de la cantidad medida caigadentro de los límites así obtenidos es igual a la probabilidad de que caigafuera.

Error probable (2)

Así, p.ej., si 6,23 es la madia de varias mediciones y 0,11 es elerror probable del valor medido, existe la misma probabilidadpara que el verdadero valor se halle entre 6,23 - 0,11 = 6,12 y6,23 + 0,11= 6,34 como para que esté fuera. En este caso, elresultado de la medición se escribe así: 6,23 ± 0,11. El errorprobable relativo o grado probable de precisión de estamedida es 0,11: 6,23=1/56,63En la corrección de observaciones, el error probable del valormás probable de cada cantidad puede deducirse de una serie demediciones de esta última, y los errores probables pueden asíutilizarse en el cálculo de pesos o factores de corrección quedeben aplicarse a cantidades análogas. También se emplea elerror probable en la elección de los métodos de levantamientoadecuados a la precisión que se quiera obtener.

Error probable de Una sola cantidad

La media de una serie de observaciones de una mismacantidad es su valor más probable. En la determinación del errorprobable, este valor medio se considera también, desde el puntode vista matemático, como el valor más exacto (deducido de estaserie de operaciones), y se hallan después las diferencias entrecada una de las observaciones y dicho valor medio. Estasdiferencias se llaman errores residuales o desviaciones.En la teoría de mínimos cuadrados se demuestra que el errorprobable es una función de la raíz cuadrada de la suma de loscuadrados de los errores residuales.

El error probable de una sola observación se calculapor la fórmula:

1n

2v0,6745E

esdesviacionlasdecuadradoslosdesumalaes2ν

nesobservaciodenúmeroeln

El error probable de la media de un cierto

número de observaciones de la misma cantidad secalcula con la fórmula

1)n(n

2v0,6745mE

0032,0v

El error probable de una sola observación nointerviene en el cálculo del valor más probable deuna serie de mediciones análogas, pero indica elgrado de precisión que cabe esperar en una solaobservación, hecha en las mismas condicionesque las demás.

Lectura de mira, en m v, en m v2

2,6672,6602,6692,6652,6712,6612,6632,6662,6602,668

0,0020,0050,0040,0000,0060,0040,0020,0010,0050,003

0,0000040,0000250,0000160,0000000,0000360,0000160,0000040,0000010,0000250,000009

Media = 2,665 ∑ v = 0,032 ∑ v2 = 0,000136

Ejemplo: Se consigna una serie de 10 lecturas de mira, hechas conun nivel, en idénticas condiciones unas que otras. El cielo estabanuboso y el aire en calma. Se puso el instrumento en estación y lamira se colocó en un punto a 200 m de distancia. Antes de cadalectura, se movía la mira y se nivelaba el instrumento.

0,0032v

90,000136

El error probable de una sola observación será:

E = ± 0,6745 = ± 0,00262 m

El error probable de la media será.

1n

2v0,6745E

1)n(n

2v0,6745mE

m0,0008310

0,00262mE

VMP = 2,665 m ± 0,00262 m

VMP = 2,665 m ± 0,00083 m

PROPAGACIÓN DE LOS ERRORESACCIDENTALES

LO QUE NO SEDEBE OLVIDAR

NotaEn cuanto se calculan las desviaciones (v), deben compararse con ladesviación media ( ). Los valores correspondientes a errores residualesexcesivamente elevados (p.ej., tres o cuatro veces la desviación media)se desechan y se continúa el cálculo con los demás valores

v

En la practica de la topografía se hacen mediciones

directas e indirectas

Mediciones directa es aquella enla que se determina el valor deuna cantidad midiendo lacantidad misma

Medición indirecta es aquella querequiere el cálculo de la magnitud apartir de las mediciones de otrasmagnitudes

Se indicara a continuación los principios fundamentalespara evaluar el error de una cantidad calculada a partir demediciones indirectas

ERROR DE UNA SUMA. El error probable de lasuma de mediciones independientes cuyos errores probablesson

E1 , E2 , E3 , …. , En , respectivamente, es:

Si E1 = E2 = E3 = E

Error probable de Varias cantidades HomogéneasEl error probable de la suma de observaciones, cuando tiene elmismo error probable, es igual al error probable de una solaobservación multiplicada por la raíz cuadrada del mismo número deobservaciones, o sea

nEsE

Ejemplo: El error de medición en cada cintada, empleando cinta de20 m , es de ± 0,005 m , el probable que se comete en la mediciónde una distancia de 500 m será de

m025,0005,0 25sE

Si una distancia se mide nueve veces y el error estimadoen cada medición es de 10,02 ft, ¿cuál es el error totalestimado en las nueve mediciones?Solución

Se desea medir con cinta una distancia de 2000 m con un error total nomayor de 10,10 m. ¿Con qué precisión debe tomarse cada medición de100 m para no exceder el límite deseado?Solución:

Del análisis anterior se puede deducir que, mientras más veces se mideun valor, menor será el error estimado en el valor medio. Se puedeobservar que el error de la media varía inversamente a la raízcuadrada del número de mediciones. Por lo tanto, para duplicar laprecisión de una determinada cantidad medida deben hacerse cuatromediciones; para triplicar la precisión deben hacerse nuevemediciones.

Serie de mediciones no repetidasCuando se realiza una serie de mediciones independientes con erroresprobables El, E2, E3, ..., respectivamente, el error probable total puedecalcularse utilizando la siguiente expresión:

EjemploSe miden los cuatro lados aproximadamente iguales de una parcela de terreno. Estasmediciones incluyen los errores probables siguientes: 10,09 m, 10,013 m, 10,18 m y10,40 m. Determine el error probable de la longitud total o perímetro de la parcela.Solución:

ERROR DE UN PRODUCTO, Si U = XY

ECUACIÓN GENERAL. La ecuación que

expresa la relación entre el error accidental de las mediciones yel error accidental del resultado final es:

donde u es función de las cantidades medidas X, Y, y Z.

OBSERVACIONES DE DIFERENTE PRECISION

Peso (W).- En las anteriores consideraciones se ha supuesto quetodas las observaciones han sido tomadas en identidad decondiciones y, por tanto, son de igual precisión. Pero esfrecuente, en los levantamientos topográficos, tener que combinarresultados de mediciones hechas en diversas condiciones y que,por consiguiente, tienen diferente precisión. En este caso hay querecurrir al grado de precisión o peso, que debe aplicarse a cadauna de las observaciones. Así p. ej., supongamos que se hamedido un ángulo en varias ocasiones y por distintos operadores.Pero probablemente con igual cuidado, y que los resultados hansido:

47º 37’ 40” (una sola observación)47º 37’ 22” (cuatro observación)47º 37’ 30” (nueve observación)

Admitiendo, como se ha dicho, que todas las lecturas sehan hecho con igual esmero, es lógico admitir también queel segundo valor (47º 37’ 22”) tiene cuatro veces laprecisión del primero (47º 37’ 40”), y que el tercer valor(47º 37’ 30”) tiene una precisión igual a nueve veces la delprimero.En general, los pesos son proporcionales al número deobservaciones. Se conviene en asignar el valor 1 al pesode la observación menos precisa (en este caso el primervalor); en este supuesto, los valores segundo y tercerotendrán de peso 4 y 9, respectivamente. Los pesos sonmagnitudes relativas, no absolutas; es decir, que losnúmeros 2, 8 y 18 representan los mismos pesos que losnúmeros 1, 4 y 9.

Con muchas frecuencia se asigna lospesos a las observaciones, no según elnúmero de observaciones, sinoarbitrariamente, a juicio del operador

Así, p.ej., este puede pensar que una cotaobservada en un día templado, sin viento, esdos o tres veces más precisa que la obtenida enel mismo itinerario, pero en un día frío y conmucho viento.

Composición y transmisión de errores.Media ponderada:

Tendrá más importancia una medida enel valor final de la media cuanto mayorsea el Wn.

Será más importante.

Pesará más en el resultado final.

n

nnP

WWW

WMWMWMM

....

....

21

2211

Ángulo Valor (X) W Xn Wn

Xmp = 47° 37’ 28,43”AOB 47° 37’ 40” 1 47° 37’ 40”

AOB 47° 37’ 22 4 190° 29’ 28”

AOB 47° 37’ 30” 9 428° 37’ 30”

Ʃ 14 666° 44’ 38”

Una sola Cantidad.- El valor más probable de una cantidad medidavarias veces con diferente precisión es la media ponderada, llamandoasí al resultado de dividir por la suma de los pesos la suma de losproductos de cada valor por su propio peso.

Ejemplo:Se quiere hallar el valor más probable del ángulo AOB = 47° 37’40”; 47° 37’ 22; 47° 37’ 30”, cuyos pesos son 1, 4 y 9,respectivamente.

Error probable de la media ponderada.

Según la teoría de los mínimos cuadrados, el error probablede la media ponderada:

Distribución de los errores accidentales:Curva normal de Gauss.

Supongamos que hemos medido unamagnitud más de 500 veces...

...que hemos eliminado los erroressistemáticos de cada medición y…

…calculamos el error de cada medida.

Distribución de los errores accidentales:Curva normal de Gauss.

Vamos a intentar representar ésos erroresgráficamente:

Para ello utilizamos un sistema coordenado.Y (número de errores de cada intervalo)

+X-X(magnitud del error)

Distribución de los errores accidentales:Curva normal de Gauss.

Vamos a ver los distintos errores sobre la curva

Y

+X-X(magnitud del error)

Puesto que esaintótica en el eje X habrá que fijar un límite.

Es el error máximo (em).

Encierra el 99.73 % de la superficie total entre la curva y el eje X.

em em

Vamos a ver los distintos errores sobre la curva

Distribución de los errores accidentales:Curva normal de Gauss.

Y

+X-X

El error probable era aquel que tenía tantos valores mayores queél como menores.

Dividiendo la figura limitada por la campana y el eje X en cuatropartes entre el origen y el em, resulta que el área comprendidaentre -1 y +1 es muy aproximadamente el 50% del total.

em em

0-1-2-3-4 1 2 3 4

ep ep

pm ee 4 ap ee 845.0

cp ee 674.0

pacm eeee 435.2

ec

Composición y transmisión de errores.Varias causas de error:

Con el mismo razonamiento que en lasuma, el error total será:

Por ejemplo, cuandomedimos un ángulocon un teodolito.

...23

22

21 eee

Composición y transmisión de errores.Varias causas de error:

Con el mismo razonamiento que en lasuma, el error total será:

Por ejemplo, cuandomedimos un ángulocon un teodolito.

Varias cantidades homogéneas.-Las correcciones que hay que aplicar son inversamenteproporcionales a los pesos, es decir:

Las correcciones son directamente proporcionales a loscuadrados de los errores probables correspondientes, es decir:

→ C1W1 = C2W2 = C3W3

Composición y transmisión de errores.Media ponderada:

Si no se conoce ninguna clase de error de cadamedida con distinta precisión, se asignarán a estimaen función de la confianza que ofrezca cada medida,expresada al cuadrado.

Mitad de preciso que

Peso 1

Peso 4

Bibliografia:DAVIS, Raymond E. / KELLY, Joe W.: Topografía Elemental.Edit. Cecsa 1971.BRINKER, Russell y WOLF, Paúl (1982) TopografíaModerna. e. Harla. México.

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