3. K apitulua - ocw.ehu.eus · PDF fileMatematika Aplikatua Saila UEP Donostia. 52 3....

3. K a p itu lu a
Aldagai e rreale k o fu n tz io e rrealak
49

50 3. K AP IT U L U A AL D AG AI E R R E AL E K O F U N T Z IO E R R E AL AK
UEP D o n o stia M ate m atik a A p lik atu a S aila

3.1. ARAZOAREN AURKEZPENA 51
3.1 A ra z o a re n a u rk e z p e n a
3 .1 Iru d ia : a ra zoa re n a u rk e z p e n a
E re d u ba te n la g u n tz a z a ld a g a i ba t be ste ba te n bid e z a d ie ra z i a h a lk o d u g u , h a u d a fu n tz ioba t e d u k ik o d u g u : x = f(y), y = g(x), x = h(t), t = s(x)f, g, h, s: bi a ld a g a ie n a rte a n z e in e rla z io d a g oe n a d ie ra z te n d u teAu rre k o g a ia n (se g id a k ), ik u si g e n u e n z e in e ra g in z u e n a ld a g a i ba te k , n, be ste a re n g a n , a.Ad ibid e z : an =
n+1
n, n 1
Ad ie ra z p e n h a u be ste m od u h on e ta n e re id a tz d e z a k e g u :a(n) = n+1
n, n = 1, 2, 3, . . . (n a ld a g a i a rru n ta d a )
O ra in , ord e a , y = f(x) m od u k o e rla z ioa k in te re sa tz e n z a iz k ig u , n on x R d e n . P la n te a tz e nz a ig u n a ra zoa se g id e ta n g e n e u k a n a re n be rbe ra d a : tre sn e ria m a te m a tik o e g ok ia g a ra tz e ae d oz e in y = f(x) fu n tz iore n p rop ie ta te a k a z te rtu a h a l iz a te k o.
3.2 Fu n tz io e n p ro p ie ta te a k
S e g id e ta n a z te rtu g e n itu e n p rop ie ta te a k ora in e re in te re sg a rria k iz a n g o d ira (ik u s 3 .2 ta u la nd a u d e n a d ie ra z p e n a k ). G og ora tu :
g ora k orta su n a / be h e ra k orta su n a
born a k e ta
a ld a g a i in d e p e n d e n te a re n jok a e ra -ra n tz d oa n e a n
Matematika Aplikatua Saila UEP Donostia

52 3. KAPITULUA ALDAGAI ERREALEKO FUNTZIO ERREALAK
an segida beherakorra eta y = f(x) funtzio beherakorra
an segida bornatua eta y = f(x) funtzio bornatua
n,-rantz doanean eta x,-rantz doanean
3.1 Taula: funtzioen propietateak
UEP Donostia Matematika Aplikatua Saila

3.2. FUNTZIOEN PROPIETATEAK 53
B aina orain interesatzen zaizkigun propietate berri gehiago ere badago. Adibidez:
Aldagai bakoitza defi nituta dagoen eremua xn segidetarako, n beti izan daiteke edozeinzenbaki arrunt. y = f(x) funtzioetarako, aldiz, posible da x aldagaiak R-ko balioguztiak hartu ahal ez izatea: f(x) = 1
x, h(x) = 1(x1)(x+2) , g(x) =
(x 1)(x + 2)funtzioak hartuta:
f(x) : x R | x 6= 0
h(x) : x R | x 6= 1,2
g(x) : (x 1)(x + 2) 0
{
x 1 0 x + 2 0 (1)x 1 0 x + 2 0 (2)
(1) x 1 eta x 2 [1,)(2) x 1 eta x 2 (,2]B eraz: (,2] [1,)
3 .1 . Defi niz ioa y = f(x) funtzioaren erem ua funtzio baten erem ua x ald agaia d efi -nituta d agoen R-ko gunea d a.
3 .2 . Defi niz ioa y = f(x) funtzioaren h eina y ald agaia d efi nituta d agoen R-ko gunead a.
Adibidez, y = x2 funtziorako:D = (,) R = [0,)D = (1, 3] R = [0, 9 ]
R = [0,)
R = [0, 9 ]
3.2 Taula: eremuak
y aldagaiaren portaera x x0 balio batera hurbiltzen doanean (segidetan aztertu deza-kegun bakarra xn-ren jokaera da n denean)

x x0-rantz eskuinetik hurbiltzen den heinean(x > x0) y aldagaia gero eta handiagoa egitenda.
3.2 Irudia: x x0-rantz eskuinetik hurbiltzean, y aldagaia gero eta handiagoa da
x x0-rantz ezkerretik hurbiltzen doan heinean(x < x0), y d-rantz gerturatzen da, eta, x x0-rantz eskuinetik hurbiltzean, aldiz, y c-ra ger-turatzen da.
3.3 Irudia: x x0-rantz ezkerretik edo eskuinetik hurbiltzean y-k portaera ezberdina du
x aldagaia x0-tik pasatzen denean, y aldagaia-ren portaera aldatzen da, parabolikotik linea-lera
3.4 Irudia: x x0-tik pasatzean y-ren portaera aldatzen da

3.2. FUNTZIOEN PROPIETATEAK 55
y = f(x) funtzio batek definitutako beste parametroakEremu lau baten azalera(a)K urba baten luzera eta grabitate-zentroa(b)Biraketa-gorputz baten bolumena edo gainazalaren azalera(c)y-ren batezbesteko balioa(d)
3.5 Irudia: y = f(x) funtzio batek definitutako beste parametroak

3.3 Funtzioen kontzeptua: ad ierazpen ezb erd inak
3.6 Irudia: y = f(x) funtzio baten adierazpen ezberdinak
3.1. Ariketa
a) Analitikoa: A() = H2 sin c o s
2 =H
2
4 sin 2 , [
0, 2]
, A [
H2
4
]
izanik.
3.7 Irudia: A() funtzioaren adierazpen ezberdinak

3.3. FUNTZIOEN KONTZEPTUA: ADIERAZPEN EZB ERDINAK 57
Taula:
A
0 0/8 0.18H2
/4 0.25H2
3/8 0.18H2
/2 0
R2-ko multzoa:
{(
, H2
4 sin 2)
| [
0, 2]
}
b) Analitikoa: H(L) =
L2 + 4, L [0,) eta H [2,) izanik.Ikus dezakegunez, L hazten doan heinean H L-ra gerturatzen da. Grafikoa begiratuz,logikoa da gertatzen dena, H = L funtzioaren asintota delako.
3.8 Irudia: H(L)-ren grafikoa
Taula:
L H
0 20.3 2.020.7 2.126 6.3215 15.1330 30.07
R2-ko multzoa: {(L,
L2 + 4 | L [0,}
d ) Analitikoa: L(H) =
H2 25, H [5,) eta L [0,) izanik.Ikus dezakegunez, H -rantz doanean L(H) H-ra gerturatzen da, baina kasu honetan
L(H) < H (L = H asintota).
Taula:
H L
5 07.3 5.3212.1 11.0236.8 36.46150 149.9
R2-ko multzoa: {(H,
H2 25) | H 5}

3.9 Irudia: L(H)-ren grafikoa
e) Ezagutzen ditugun datuak:L inealtasuna: F = mc + n
Taula:
c F
0 32100 210
Eta beraz, 32 = n denez: 210 = 100m + 32 m = 1.8
Ondorioz, F = 1.8c + 32, c (273,) eta F (459.4,) izanik.273 0 absolutuaren tenperatura da; gasek 0 bolumena beteko lukete, fisikoki lortuezin dena. 1995-ean bi zientzilari amerikarrek gas bat 0 absolututik 109-ra hoztealortu zuten.R
2-ko multzoa: {(c, 1.8c + 32) | c (273,)}
3.10 Irudia: e ariketako grafikoa

3.3. FUNTZIOEN KONTZEPTUA: ADIERAZPEN EZBERDINAK 59
f) y =max {x, 1 x}Analitikoa: y =
{
x x 1 x bada1 x x < 1 x bada
{
x x 1/2 bada1 x x < 1/2 bada
Taula:
x y
0 max{0, 1} = 10.2 max{0.2, 0.8} = 0.80.4 max{0.4, 0.6} = 0.60.5 max{0.5, 0.5} = 0.50.7 max{0.7, 0.3} = 0.7
R2-ko multzoa: {(x, y) | y = x, x 1/2, y = 1 x, x < 1/2}
3.11 Irudia: y funtzioaren grafikoa
g ) Analitikoa: A() = R2
2 , L() = R non [0, 2], A [0, R2] eta L [0, 2R].
3.12 Irudia: A() eta L()

Taula:
A L
0 0 0/2 R2/4 R/2 R2/2 R2 R2 2R
3.13 Irudia: A() eta L() funtzioen grafikoak R-ren balioen arabera
Eztabaida:
A() > L() R2
2> R R > 2
A() = L() = 0, R = 2, R RA() < L() R < 2
Z ein da A() eta L()-ren arteko distantzia?
D(R) = |A(R) L(R)| =
R2
2 R
= R
R
2 1
=
R(
R
2 1)
R > 20 R = 2
R(
1 R2)
R < 2
(0, 2] eta D(R) (0,) izanik.
3.14 Irudia: A() eta L()-ren arteko distantzia

3.4. ALDERANTZIZKO FUNTZIOA 61
3.4 Alderantzizko funtzioa
y = f(x) funtzioa emanda, batzutan x = h(y) funtzioa lortzea interesgarria izan daiteke.Kasu horretan, x menpeko aldagai bihurtzen da, eta y berriz, aldagai aske.
3.1. AdibideaPelota bat goruntz jaurtitzen da.
h(t) = g t22 + v0t t [
0, 2gv0
]
, h [0, H], H = v2
0
2g
Orain, interesgarria izan daiteke h al-tuera lortzen duen t momentua kal-kulatzea, h bakoitzerako
3.15 Irudia: h(t) funtzioa
t =v0
v20 2ghg
= t1, t2
Kasu honetan, t bakarra da, h altuera maximoa baldin bada, H; orduan t = v0/g. Baina,orokorrean, t-ren bi balio posible existituko dira.
3.16 Irudia: t-ren bi balio posibleak
Egoera honen enuntziatu orokorra ondorengoa da:y = f(x), x D, y R

f(x) funtz ioa d a : x D Iy R | f(x) = yba ina e z d a e x istitz en a ld e ra ntz iz k o funtz ioa (funtz ioa iz a te k o, a ld a g a i ind epend ente a renba lio ba k oitz e ra k o m enpek o a ld a g a ia ren ba lio B AK AR R A d a g ok io):y R | x1, x2 D e ta f(x1) = f(x2) = y
Pa re k ota sun ba t: D e m a g un bid e e zbe rd ina k d a ud e la a uk e ra n. B id e ba k oitz e tik h e lm ug aba te ra iristen d a (m od u ba k a r ba te a n). B a ina bola h e lm ug a ba te a n ba d a g o (a ld a g a i ind e -pend ente a ren ba lioa ) e z in d a ja k in a uk e ra tuta k o bid e a z e in iz a n z en (m enpek o a ld a g a ia renba lioa ).
B ola 1 ,2 ,3 e d o 4 bid e a n e rortz en uzten d a :
3 .1 7 Irud ia : bola e rortz en uzten d a
1 ,2 ,3 ,4 a uk e ra ba k oitz e ra k o A ed o B -ra iristen d a bola , m od u ba k a rre a n. Funtz io ba t d a ,be ra z :- Iz a te e re m ua : 1, 2, 3, 4- H e ina : A , B
B a ina h e ina ren ba lioa e z a g utz en ba d a soilik ,e z in d a be ti z iurta tu a bia puntua z e in iz a n z en:
3 .1 8 Irud ia : z e in bid e tik e torri d a bola ?
Proble m a h a u (bola ren a bia puntua a z te rtz e a A-n d a g oe la ja k inik ) zoria a z te rtz en d uenteoria m a te m a tik oa ren (proba bilita te teoria ) bid e z eba tz i d a ite

3. K apitulua - ocw.ehu.eus · PDF fileMatematika Aplikatua Saila UEP Donostia. 52 3....

Documents

Transcript of 3. K apitulua - ocw.ehu.eus · PDF fileMatematika Aplikatua Saila UEP Donostia. 52 3....