7. K apitulua - OCW · 7.6 Irudia: Geroz eta azpitarte txikiagoak, orduan eta hurbilketa hobeak 4)...

7. K a p itu lu a

Inte g ra l a niz k o itz a k

61

62 7. K A P IT U L U A IN T E G R A L A N IZ K O IT Z A K

UEP D o n o stia M ate m atik a A p lik atu a S aila

7.1. ARAZOAREN AURKEZPENA 63

7.1 A ra z o a re n a u rk e z p e n a

5 . g a ia n a ld a g a i ba ka rreko y(x) fu n tz io ba te n ba te zbe steko ba lioa ka lku la tz e n ika si g e n u e n[a , b] ta rte ba te a n . G og ora d itz a g u n ba te zbe steko ba lio h ori e ra bilg a rria d e n e g oe ra p ra ktikoba tz u k.

7 .1 Iru d ia : G ra fi koa k

7 .1(a ) iru d ia n , h e rri ba teko te rmometro ba tek e g u n ba te a n ja sota ko T (t) te n p e ra tu ra -re n fu n tz ioa re n g ra fi koa a g e rtz e n d a . G ra fi ko h on e ta tik a bia tu z , te n p e ra tu ra re n a ld a ke ta kn ola koa k iz a n d ire n ja kin d e z a ke g u . Ad ibid e z , ja sota ko te n p e ra tu ra min imoa e ta ma x imoaz e in iz a n d ire n ja kin d e z a ke g u , te n p e ra tu ra ig o e d o je itsi d e n e g u n a re n ta rte a k e z a g u tu d i-tz a ke g u , te n p e ra tu ra g e h ie n a ld a tu d e n ta rte a ka lku la d e z a ke g u , e tb. E ta n oski, e g u n e a nz e h a r ja sota ko te n p e ra tu ra re n ba te zbe stekoa lor d e z a ke g u :

T =1

2 4

∫24

0

T (t) dt (7 .1)

7 .1(b) iru d ia k, ibilg a ilu ba tek 3 se g u n d ota n h a rtu ta ko v(t) a bia d u ra (m / s -ta n n e u rtu a )a d ie ra z te n d u . K a su h on e ta n e re in te re sg a rria k d ira a bia d u ra ma x imoa / min imoa , h a zku n tz ata rte a k, e tb. e ta v ba te zbe stekoa :

v =1

3

∫3

0

v(t) dt (7 .2)

Azke n ik, 7 .1(c ) iru d ia n , 3 metroko lu z e ra ko ba rra ba te ta n ma te ria n ola ba n a tz e n d e na g e rtz e n d a , d(x) d e n tsita te fu n tz ioa re n bid e z (gr/ m -ta n n e u rtu a ), x ∈ [0 , 3] ba koitz e ra ko.Iku s d e z a ke z u n e z , ma te ria re n ba n a ke ta e z d a u n iformea ; be ra z , ora in e re be ste p a ra metroba tz u k e z a g u tz e a in te re sg a rria iz a n g o z a ig u : ma x imo eta min imo a bsolu tu a k, mu g a loka la k,h a zku n tz a ta rte a k, e tb. e ta d e n tsita te a re n ba te zbe stekoa :

d =1

3

∫3

0

d(x) dx (7 .3)

Matematika Aplikatua Saila UEP Donostia

64 7. KAPITULUA INTEGRAL ANIZKOITZAK

O rokorrean, y(x) funtzio jarraitu baten batezbestekoa [a, b] tartean hurrengo moduankalkulatu daiteke:

y =1

b − a

∫b

a

y(x) dx (7.4)

6. gaian (aldagai anitzeko funtzio errealetan) ikusi genuen bezala, Z ientziako eta Inge-niaritzako problema errealetan arruntena funtzioek bi, hiru edo aldagai gehiago edukitzeada. B aina nola kalkulatu z = F (x, y) funtzioaren batezbestekoa D ⊂ R

2 eremu batean? Etaw = F (x, y, z) funtzioarena V ⊂ R

3 eremuan? Ikus ditzagun aurrekoen oso antzekoak direnadibide batzuk.

7.1. Ad ib id ea Tenperatura atmosferikoa.

N ormalean, herri bateko tenperaturaren azterketa egun batean, lurraldean banatutakotermometro batzuk erabiliz egiten da. H orrela, eguneko momentu jakin baterako, R eskualdegeografikoaren (x, y) puntu bakoitzean definitutako T (x, y) tenperatura funtzioan pentsadezakegu. L ogikoa da T (x, y) funtzioa jarraitua dela pentsatzea, nahiz eta termometroakdauden (x, y) puntuetako T tenperaturak bakarrik ezagutu.

7.2 irudiak, sei zatitan banatutako R eremu geografikoa adierazten du; zati bakoitzeanestazio meteorologiko bat kokatu dugu. Irudian, termometro bakoitzak eguerdiko 12tanjasotako tenperaturak ere ageri dira. Ezin dugu espero, noski, eremu bakoitzeko puntuguztietan tenperatura bera izango denik, baina hurbilketa horrekin lan egin beharko dugu.D atuetatik abiatuz, zein izango da R eremuaren batezbesteko M tenperatura?

UEP Donostia Matematika Aplikatua Saila


7.2 Irudia: R eremuko tenperaturak

Hasiera batean kalkulua egiteko sei tenperaturen batezbesteko aritmetikoa lortzea pentsadezakegu:

M =36 + 37 + 36 + 42 + 44 + 39

6= 39 ◦C

P rozedura honetan, hala ere, ez dugu kontutan hartu sei tenperatura horietako bakoitzakazalera ezberdineko eremu geografikoak adierazten dituztela. 4 eta 5 eremuak, adibidez,besteak baino azalera handiagoa dute, eta beraz, R-ko tenperatura osoaren batezbestekoa-ren kalkulurako, bertako tenperaturek besteek baino pisu handiagoa izan beharko dutelapentsatzera bultzatzen gaitu. Arrazoi horregatik eremu bakoitzaren azalera (Km2-tan) kal-kulatu dugu:



Eremua Azalera (Km2) Tenperatura (◦C )

1 640 36

2 350 37

3 655 36

4 9 50 42

5 10 40 44

6 370 39

Total 40 0 5

Orain, tenperaturaren sei balioen batezbesteko haztatua kalkulatuko dugu:

M =36 · 640 + 37 · 35 0 + 36 · 65 5 + 42 · 95 0 + 44 · 1040 + 39 · 370

4005= 39. 8 7 ◦C

Ikus dezakezunez, bi batezbestekoen arteko diferentzia 0. 8 7◦C-ekoa da. Hala ere, M ≈

39. 8 7◦C balioa R eremuko batezbesteko tenperatura adierazgarriagoa da.

7.2. Adibidea M ateriaren banaketa.Demagun orain L xafl a bat dugula eta bere gainazalera materia kantitate jakin bat bota-tzen dela. Horrela, (x, y) ∈ L puntu bakoitzean F (x, y) magnitudea definitzen da. Adibidez,F (x, y) funtzioak xafl ari aplikatutako inprimazioaren lodiera (mm-tan) adieraz dezake; edogainean botatako oxido kantitatea (mg/cm2-tan). Nola kalkulatuko genuke gutxi gora behe-ra F (x, y)-ren batezbesteko balioa L-en? Ideia da L xafl a azalera bereko eremu txikietanbanatzea, eremu bakoitzeko edozein puntu aukeratzea eta azkenik, batezbestekoa kalkula-tzea aurreko adibidean egin dugun modu berean. Aztertu 7.3 irudia. a) irudian L xafl alaukizuzen bat dago, b)-n L-ren banaketa bat 12 eremutan eta c)-n aipatutako puntuenaukeraketa posible bat: P1, P2, . . . , P12.



7.3 Irudia: L xaflaren deskonposaketa

A 12 eremuetako bakoitzaren azalera baldin bada (beraz azalera osoa 12A izango da)eta F (Pi) F (x, y) funtzioaren balioa bada Pi puntuan, 1 ariketako kalkulu berak eginez,F (x, y)-ren gutxi gora beherako batezbestekoa (L-en) kalkulatu ahal izango dugu:

F ≈

12∑i= 1

A · F (Pi)

12A=

12∑i= 1

F (Pi)

12

Ohartu, L, azalera berdineko eremuetan deskonposatuz, nahikoa dela F (P1),. . . , F (P12) 12 balioen batezbesteko aritmetikoa kalkulatzearekin. Hala ere, problema ba-tzuk plantea ditzakegu:

1) Ikasitako adibideetan, F (x, y)-ren batezbestekoaren balio hurbidua kalkulatu dugu,Pi ∈ D, i = 1, . . . , n puntuetan F (x, y)-ren lagin batetik abiatuz. Baina, nola kalkula deza-kegu F (x, y)-ren batezbestekoaren balio zehatza?

2) z = F (x, y) gainazal batek ((x, y) ∈ L izanik) goitik mugatzen duen bolumena kalku-latzea ere interesgarria da (ikus 7.4 irudia). Adibidez, F (x, y) funtzioa L eremuan eroritakoelur kaparen lodiera bada, bolumen horrek L gaineko elur kantitate osoa adierazten du.

3) Pieza bat hainbat gainazalen bidez definituta egon daiteke, 7.5 irudian agertzen denabezala. Bere bolumenak, pieza fabrikatzeko behar den material kantitatea ezagutzeko balio



7.4 Irudia: z = F (x, y) funtzioak mugatutako bolumena

digu. Baina nola kalkulatu bolumen hori? Eta gainazalaren azalera?

7.5 Irudia: Pieza


7.2. EREM U LAUKIZUZEN B ATEN INTEGRAL B IKOITZA 69

4) F (x, y) funtzioak (x, y) ∈ D puntu bakoitzeko materiaren kontzentrazioa adieraztenbadu, F (x, y) funtzioari lotutako beste parametro batzuk daude; parametro horiek kalku-latzea interesgarria izango da: zein da bere grabitate zentroa? Eta bere inertzi momentuapuntu edo ardatz batekiko? Eta D-n dagoen materia kantitatea?

5) w = F (x, y, z), V ⊂ R3 eremuan definitutako funtzioa bada, F -ren batezbestekoa

V -n kalkulatzea ere interesgarria izango da. Adibidez, demagun w = T (x, y, z) funtzioakespazioko V barruti baten (pieza bat edo labe bat, adibidez) tenperatura adierazten duela.Kasu honetan, zein izango da T -ren batezbestekoa? Eta w = F (x, y, z) funtzioak S solidobaten (x, y, z) puntu bakoitzeko materia kontzentrazioa adieratzen badu, zein izango da S-ko materia kantitatea? Eta bere grabitate zentroaren koordenatuak? Nola kalkulatu V -reninertzi momentua ardatz batekiko?

Ikus dezakezunez, galdera asko sortzen zaizkigu; gai honetan, guzti horiei erantzunakemango dizkiegu.

7.2 E rem u laukizuzen b aten integ ral b ikoitza

[a, b]-n definitutako y(x) funtzio jarraituaren batezbestekoaren kontzeptua definitu genuenideia berberak erabiliko ditugu oraingo batezbestekoa definitzeko ere. Gogora dezagun era-bilitako prozedura:

1) [a, b] tartea h = (b − a)/n luzerako n azpitartetan deskonposatu:

a = x0 < x1 < x2 < . . . < xn = b, xi = a + ih, i = 0, ..., n

[a, x1], [x1, x2], . . . , [xn−1, b]

2) Azpitarte bakoitzetik puntu bana aukeratu (edozein):

zi ∈ [xi, xi+ 1] i = 0, ..., n − 1

3) Kalkulatu

yn =1

b − a

n−1∑i=0

h · y(zi) (7.5)

An =n−1∑i=0

h · y(zi) (7.6)



7.5 balioa y(x)-en batezbestekoaren hurbilketa da [a, b] tartean. Gainera, y(x) ≥ 0 bada[a, b]-n, 7.6 balioa, goitik y(x) funtzioaren grafikoak eta behetik OX ardatzak mugatzenduten azaleraren hurbilketa da.

7.6(a) irudia, [a, b] tartearen lau azpitartetako deskonposaketa da; azpitarte bakoitzeanerdiko puntuak aukeratu dira: z0, z1, z2, z3. Lau laukizuzenen azaleren batura, (goitik) y(x)-ek eta (behetik) OX ardatzak mugatutako azaleraren hurbilketa da. 7.6(b), 7.6(c) eta 7.6(d)irudiek eragiketa bera adierazten dute, baina geroz eta azpitarte kopuru handiagoa hartuta;modu horretan, hurbilketa hobeak lortzen dira.

7.6 Irudia: Geroz eta azpitarte txikiagoak, orduan eta hurbilketa hobeak

4) y(x)-en y batezbestekoaren balio zehatza kalkulatzeko [a, b] tartean eta y(x)-ek etaOX ardatzak mugatutako A azalera kalkulatzeko limitera pasako dugu n → ∞ denean:

yn = limn→∞

1

b − a

n−1∑i=0

h · y(zi)

An = limn→∞

n−1∑i=0

h · y(zi)


7.2. EREMU LAUKIZUZEN BATEN INTEGRAL BIKOITZA 71

Orain, z = F (x, y) funtzio erraz bat aukeratuko dugu, eta prozedura bera jarraitukodugu, baina bi dimentsiotan. Izan bedi z = F (x, y) = xy + 1 D = [0, 2] × [0, 1] eremuandefinituta dagoen funtzioa. Aztertu 7.7(a) irudia. z = xy + 1 gainazalaren adierazpengrafikoa dago, D = [0, 2] × [0, 1] eremuan definituta. Gero, D eremu hori 9 laukizuzenetanzatitu dugu eta bakoitzetik puntu bat hartu dugu. Kasu honetan, laukizuzen bakoitzarengoi-ezkerraldeko erpina aukeratu dugu. Irudi berean, 9 puntu horien irudiak ere kokatuditugu.

7.7 Irudia: xy + 1 gainazala

Laukizuzenei R1, . . . , R9 deituko diegu eta aukeratutako puntuei P1, . . . , P9. 7.7(b) iru-dian z = F (x, y) gainazala dago eta Ri laukizuzen bakoitza F (Pi) altuerara igota dago.7.7(c) irudian, igotako laukizuzen horiek bakarrik agertzen dira. Laukizuzen guztien azaleraberbera denez (2/9) eta D eremuaren azalera osoa 2 denez, F (x, y) = xy + 1 funtzioarenbatezbestekoaren hurbilketa D = [0, 2] × [0, 1] eremuan, modu honetan kalkulatuko dugu:

F ≈1

2

2

9(F (P1) + . . . + F (P9)) =

1

2

2

9

(

F

(

0,1

3

)

+ F

(

0,2

3

)

+

+F (0, 1) + F

(

2

3,1

3

)

+ F

(

2

3,2

3

)

+ F

(

2

3, 1

)

+ F

(

4

3,1

3

)

+

+F

(

4

3,2

3

)

+ F

(

4

3, 1

))

= 1.44

Orain, kalkulo horiek, gainazalak (goitik) eta D eremuak (behetik) mugatzen duten bolu-menaren hurbilketa kalkulatzeko balio digute. Ikusi 7.8 irudia, bolumen horren balioa eta



9 prismen bolumenen baturarena oso antzekoak dira. Horrela, bolumenaren hurbilketarenbalioa ondorengoa izango da:

V = 2F ≈ 2. 88

7.8 Irudia: Bolumenaren hurbilketa prismen bolumenen baturaren bidez

Orain eragiketa bera egingo dugu, baina [0, 2] eta [0, 1] tarteak n zatitan banatuz. F n ba-tezbesteko hurbildua kalkulatuko dugu eta baita Vn bolumen hurbildua ere. Beraz, badirudiV -ren balio zehatza eta F batezbesteko zehatza ondorengoak izango direla:

V = limn→∞

Vn

F = limn→∞

Fn

Egin dezagun bada. Lehendabizi, [0, 2] eta [0, 1] tarteak n zatitan zatituko ditugu:

F (x, y) = xy + 1 x ∈ [0, 2] y ∈ [0, 1]

xi =2

ni i = 0, 1, . . . , n h =

2

n

yj =1

nj j = 0, 1, . . . , n k =

1

n



Modu horretan n errenkadako eta n zutabeko laukizuzenak edukiko ditugu. Ikusi 7.9 irudia.Rij deituko diogu i. errenkadako eta j. zutabeko laukizuzenari. Rij laukizuzen bakoitzeangoi-ezkerraldeko erpina aukeratzen dugu, hau da:

Pij = (xi, yj+1) i = 0, .., n − 1, j = 0, ..., n − 1

7.9 Irudia: Rij laukizuzena



Orduan:

F (Pij) = F (xi, yj+1) = xi · yj+1 + 1 =2

ni

1

n(j + 1) + 1 =

2

n2i(j + 1) + 1

Eta beraz, F -ren batezbestekoaren balio hurbildua:

Fn =1

2

n−1∑

j=0

(

n−1∑

i=0

2

n2

(

2

n2i(j + 1) + 1

)

)

=1

2

n−1∑

j=0

(

n−1∑

i=0

(

4

n4i(j + 1) +

2

n2

)

)

=

=1

2

n−1∑

j=0

(

4

n4

n−1∑

i=0

i(j + 1) +2

n

)

=1

2

4

n4

n−1∑

j=0

(

n−1∑

i=0

i(j + 1)

)

+ 2

=

=2

n4

n−1∑

j=0

(

n−1∑

i=0

i(j + 1)

)

+ 1 =2

n4

n−1∑

j=0

(

(j + 1)n−1∑

i=0

i

)

+ 1 =

=2

n4

n−1∑

j=0

(

(j + 1)n−1∑

i=0

i

)

+ 1 =2

n4

n−1∑

j=0

(j + 1)n(n − 1)

2+ 1 =

=n − 1

n3

n−1∑

j=0

(j + 1) + 1 =n − 1

n3

n(n + 1)

2+ 1 =

n2 − 1

2n2+ 1

Orain F balio zehatza lortzen dugu:

F = limn→∞

n2 − 1

2n2+ 1 =

3

2

Eta z = xy + 1 gainazalak eta D = [0, 2] × [0, 1] eremuak mugatutako bolumena:

V = 2F = 3

7.1. Espero d a F (x, y)-ren batezbestekoa ez d ela au keratu tako Pij ∈ Rij pu n tu en araberakoa.H ori frogatzeko, Pij pu n tu a Rij-ren goi-ezker erpin a au keratu beh arrean , h artu beste pu n tuezberd in bat, ad ibid ez lau kizu zen aren zen troa. Frogatu lortu tako F balio berria au rrekoarenberbera d ela, eta n oski, baita V -ren balioa ere.

7.2. Au rreko F (x, y) = xy + 1 ad ibid e berd in erako, saiatu ko gara D = [0, 2] × [0, 1] erem u am od u ezberd in ean d eskon posatzen (lau kizu zen ak m an ten d u z). [0, 2] tartea, leh en bezala, 2/nlu zerako n azpitartetan zatitu ko d u gu , bain a orain goan altu era kon stan tea izan go d u , 1; m od uh orretan , Ri n lau kizu zen d efi n itu d itu gu , i = 0, . . . , n − 1. O h artu n → ∞ d en ean , Ri-ren



azalera 0-ra doala. Orain, hartu laukizuzen bakoitzean goi ezkerraldeko erpina eta saiatumodu berean kalkulatzen F -ren batezbesteko balioa. Z er gertatzen da? Ondoren, aukeratulaukizuzen bakoitzean behe ezkerraldeko erpina eta gauza bera egin. Z er gertatzen da? Z errekhutsegiten du?

Orain, ideia guzti hauek D = [a, b] × [c, d] eremuan definitutako F (x, y) funtzio jarraituorokor bati aplikatuko dizkiogu. [a, b] tartea h = (b−a)/n luzerako n zatitan banatuko dugueta [c, d] tartea k = (d − c)/n luzerako n zatitan. Gero, laukizuzen bakoitzeko Pij puntubana aukeratuko dugu eta adibideko ideia berdinak aplikatuko dizkiogu (ikus 7.10 irudia).

7.10 Irudia: Rij kasu orokorrean

F (x, y)-ren batezbesteko hurbildua kalkulatzeko:

Fn =1

(b − a)(d − c)

n−1∑

i=0

n−1∑

j=0

h k F (xi, yj)

=1

(b − a)(d − c)

n−1∑

i=0

h

n−1∑

j=0

k F (xi, yj)

Limiteak hartuz:

F =1

(b − a)(d − c)lim

n→∞

n−1∑

i=0

h

limn→∞

n−1∑

j=0

k F (xi, yj)

(7.7)



Baina kontuz, gogoratu h(x), [a, b] tartean definitutako funtzio jarraitua bada eta h =(b − a)/n bada, ondorengo daukagula:

∫ b

a

h(x) dx = limn→∞

n−1∑

i=0

hh(xi)

Orduan, 7.7 ekuazioaren limitean, h(y) = F (xi, y) funtzioaren integrala y aldagaiarekiko([c, d] tartean) dagoela konturatzen gara. Hau da:

limn→∞

n−1∑

i=0

k F (xi, yj) =

∫ d

c

F (xi, y) dy = A(xi) (7.8)

7.8 ekuazioan, x1, . . . , xn balioak konstanteak dira. xi balio konstante bakoitzerako,[c, d]-n jarraitua den h(y) = F (xi, y) funtzioa eraikitzen da. 7.11(a) irudian, D = [a, b] ×[c, d]-n definitutako z = F (x, y) gainazalaren grafikoaren adierazpena dago. 7.11(b) iru-dian, xi ∈ [a, b] balio bat aukeratu eta h(y) = F (xi, y) funtzioaren grafikoa marraztu dugu,y ∈ [c, d] izanik. Orain h(y) = F (xi, y) funtzioa [c, d]-n integratzen badugu, A(xi) funtzioakh(y) = F (xi, y) kurbak [c, d] tartean mugatutako azalera emango digu, 7.11(c) irudian ager-tzen den bezala.



7.11 Irudia: z = F (x, y) gainazala eta h(y) integratuz lortzen den A(xi) azalera

Orduan, 7.7 ekuazioa honela geratuko da:

F =1

(b − a)(d − c)lim

n→∞

n−1∑

i=0

hA(xi)

Baina orain, A(x) funtzioaren arrazonamendu berbera aplikatuko diogu:

limn→∞

n−1∑

i=0

hA(xi) =

∫ b

a

A(x) dx

Beraz:

F =1

(b − a)(d − c)

∫ b

a

(∫ d

c

F (x, y) dy

)

dx



Eta z = F (x, y) gainazalak eta D = [a, b] × [c, d] eremuak mugatutako V bolumenari dago-kionez, F (x, y) ≥ 0 baldin bada, ikusi 7.12 irudia:

V =

∫ b

a

(∫ d

c

F (x, y) dy

)

dx

7.12 Irudia: Bolumena

Aplika ditzagun idei berri hauek atal honetan erabili dugun F (x, y) = xy + 1 funtzioarinon D = [0, 2]× [0, 1] den. Betiko metodoak erabilita ikusi dugu F = 3/2 eta V = 3 direla.Konproba dezagun emaitza hau, garatu dugun metodo berria erabiliz.

V =

∫

2

0

(∫

1

0

F (x, y) dy

)

dx (7.9)

A(x) lortzeko non x ∈ [0, 2] den, aurreko integrala kalkulatuko dugu:

∫

1

0

(xy + 1)dy =1

2xy2 + y

]y=1

y=0

=1

2x + 1 = A(x)

7.13 irudian, D = [0, 2] × [0, 1] eremuan definitutako z = xy + 1 gainazala etah(y) = F (x, y) funtzioa agertzen dira. F (x, y), x balio finko bakoitzarako x maila duen

UEP Donostia M ate m atik a A p lik atu a S aila

7.2. E R E M U L A U K IZ U Z E N B A T E N IN T E G R A L B IK O IT Z A 79

7.1 3 Iru d ia : K a lku lu a xy + 1 ka su ra ko

z u z e n a d a . A(x) ( 1 3 iru d ia n g rise z ma rra z tu ta ko a z a le ra ), x ba koitz a ra ko, g a in e tik h(y)-re n g ra fi koa k mu g a tz e n d u e n a z a le ra d a . h(y) y ∈ [0, 1] e remu a n d e fi n itu a d a g o.

K a lku la d e z a g u n ora in (7.8 ) eku a z ioa n a g e rtz e n d e n ka n p oko in te g ra la :

∫

2

0

A(x)dx =

∫

2

0

(

1

2x + 1

)

dx =1

4x2 + x

]x= 2

x= 0

= 3

K a su h on e ta n e re F = 3/2 lortz e n d a . E ma itz a be rd in a lortu d u g u ba in a e ra bilita ko e raa skoz e rra z a g oa iz a n d a . Iz a n be d i F (x, y), D = [a, b] × [c, d] e remu a n d e fi n itu ta ko fu n tz ioja rra ia . O rd u a n F on d ore n g o e ra n ka ku la tz e n d a :

F =1

(b − a)(d − c)

∫

b

a

(∫

d

c

F (x, y) dy

)

dx

F (x, y) ≥ 0 ba d a D e remu a n , F (x, y) g a in e tik e ta D e remu a a z p itik mu g a tz e n d u te n Vbolu men a on d ore n g o e ra n ka lku la d a iteke :

V = (b − a)(d − c)F

(e c 3 2 )

E ra h on e ta n , in te g ra l bikoitz a re n kon tz e p tu a lortu d u g u e ta be re on d orioa d e n ba te z -be steko ba lioa re n kon tz e p tu a e re .

Matematika Aplikatua Saila U E P Donostia

80 7. KAP ITULUA INTEGRAL ANIZKOITZAK

7.1. Defi niz ioa D=[a, b]x[c, d] erem u an d efi n itu tako F (x, y) fu n tzio jarraiaren in tegral bi-

ko itza o n d o ren go balioa d a:

∫∫

D

F (x, y) dx dy =

∫

b

a

(∫

d

c

F (x, y) dy

)

dx

7.2 . Defi niz ioa D=[a, b]x[c, d] erem u an d efi n itu tako F (x, y) fu n tzio jarraiaren batezbesteko

balioa o n d o ren goa d a:

F =1

(b − a)(d − c)

∫∫

D

F (x, y) dx dy

7.3 . Ariketa Z er gertatzen da F (x, y) funtzioaren integral bikoitzan integrazio ordena al-datzen badugu? . H au da: zer gertatzen da, hasteko, barruko integralan x-rekiko integratzenbadugu eta gero kanpoko integralan, y-rekiko integratzen badugu? . 7.11 irudiaren antzera,integrazio ordenaren aldaketa grafikoki aztertu. F (x, y) = xy + 1 non D = [0, 2]× [0, 1] denadibidean, integrazio ordena aldatu. Frogatu orokorrean ondorengoa betetzen dela:

∫∫

D

F (x, y) dx dy =

∫

b

a

(∫

d

c

F (x, y) dy

)

dx =

∫

d

c

(∫

b

a

F (x, y) dx

)

dy

7.4 . Ariketa Aldagai bakarreko integralaren propietatetan oinarrituz, ahal dituzun integralbikoitzaren propietateak, enuntziatu eta frogatu. Adibidez, ondorengo berdintzak egiazkoakal dira? .

∫∫

D

K F (x, y) dx dy = K

∫∫

D

F (x, y) dx dy

∫∫

D

(F (x, y) + G(x, y)) dx dy =

∫∫

D

F (x, y) dx dy +

∫∫

D

G(x, y) dx dy

7.5 . Ariketa Izan bitez F (x, y) eta G(x, y), D = [a, b] × [c, d] eremuan definitutako gaina-zalak. D emagun D eremuan F (x, y) ≥ G(x, y) betetzen dela. Ondorengo balioaren esanahiaaztertu:

∫∫

D

(F (x, y) − G(x, y)) dx dy

7.6 . Ariketa F (x, y) = 1 funtzio kontantearen integral bikoitza D = [a, b] × [c, d] eremuankalkulatu. J akinik emaitza gorputz baten bolumena dela lortutako emaitza interpretatu.


7.3. INTEGRAL BIKOITZA H AUTAZKO EREMUAN. 81

7.7. Ariketa Izan bedi F (x, y) D = [a, b]× [c, d] eremuan konstante den funtzioa. Zein dabere batezbesteko balioa?. Emaitza egiaztatu kalkuluak eginez.

7.8 . Ariketa . G ogora ezazu batezbesteko balioaren teorema aldagai bakarreko kasurako.y(x), [a, b] tartean definitutako funtzio jarraia bada orduan y(x) funtzioak batezbestekobalioa onartzen du [a, b] tartean. Hau da, badago w ∈ [a, b] non ondorengoa betetzen den.

y =1

b − a

∫

b

a

y(x) dx = y(w)

Ariketa honetan, emaitza hau enuntziatu eta frogatu behar da D = [a, b] × [c, d] eremuandefinitutako funtzio jarraientzat. Izan bedi F (x, y) = xy+1 [0, 2]×[0, 1] tartean definitutakofuntzioa non bere batezbesteko balioa F = 3/2 den. L ortu eta marraztu (x, y) ∈ [0, 2]× [0, 1]puntu multzoa non F (x, y) = 3/2 den. Ohar zaitez puntu multzo hau F (x, y)-ren mailakurba bat dela.

7.9 . Ariketa 7.14 (a,b) irudietan F (x, y) = 1 + 0. 15 x2 sin (πy/6 ) gainazalaren bi irudidituzue non D = [0, 6 ]×[0, 6 ] den. G ainetik F gainazalak eta azpitik D eremuak mugatutakoV gorputzaren bolumena kalkulatu. F (x, y)-ren F batezbesteko balioa kalkukatu. G ogoraezazu aldagai bakarreko kasuan batezbesteko balioaren gainetik eta azpitik dauden grafikoenbidez mugatutako azalerak berdinak direla. (ikus 7.14 (c) irudia). 7.14 (d) irudian z = Fplanoak ebakitako F (x, y) gainazalaren zatia agertzen da. 7.14 (e,f) irudietan bi irudi ikustendira non F (x, y) = F maila kurba ipini den. Antzeko propietatea asma dezakezu bi aldagaierrealeko funtzioentzat?.

7.10 . Ariketa 7.15 irudian mendi baten mapa tipografikoa agertzen da. M endian ikatz-hobiak daudelaren susmoa dago. Altuera kotak itsas-mailatik metrotan adierazten dira.M endi osoa ustiatu nahi denez, bere bolumeraren balio hurbildua kalkulatu.

7.3 In te g ra l b ik oitz a h a u ta z k o e re m u a n .

Orain arte D = [a, b] × [c, d] itx urako eremuetan definitutako F (x, y) funtzio jarraiak az-tertu ditugu. Aplikazio errealetan berriz, funtzioek beste motako eremuetan definiturikegon daitezke. Adibidez, interesgarria izan daiteke T (x, y) tenperatura x afl a metaliko baten(x, y) puntu bakoitzean aztertzea; x afl a hori zirkularra izan daiteke. N ola kalkulatuko dugubatezbesteko balioa?.

Ikus 7.16 irudia. Demagun F (x, y) funtzioaren D eremua f(x) eta g(x) funtzioek defini-tzen dutela non f(x) ≤ g(x) betetzen den, eta f(x) eta g(x) funtzioak [a, b] tartean jarraiak



7.14 Irudia: asmatutako batezbesteko balioa

diren. Aplika ditzagun aurreko atalan erabilitako ideak; hau da, F (x, y) funtzioaren integralbikoitza D eremuan definitzeko erabili ditugunak.

7.17 irudian z = F (x, y), (x, y) ∈ D gainazal baten bi irudi agertzen dira. Ikus daitekex ∈ [a, b] balio finko bakoitzarako y-ren balioa [f(x), g(x)] tartean dagoela.

Gogora ezazu oso erraza izan zela eremu errekangularrak, D laukizuzen tixikietan des-konposatzea . Orduan, gure D eremua estaltzen duen sareta bat marraztuko dugu eta auke-ratuko ditugu bakarrik D eremuaren barnean dauden laukizuzenak. Ikus 7.18 irudia. Gero


7.3. INTEGRAL BIKOITZA HAUTAZKO EREMUAN. 83

7.15 Irudia: Mendia

7.16 Irudia: Hautazko eremua.

eta sareta finagoa hartu dugu eta D-rekiko barneko laukizuzenak grisez marraztu ditugu.B eharrezkoa da R1, R2, . . . , Rn laukizuzenak D-ren barnean egotea ondorengo pausoa

hau izango delako: hautazko Pi = (xi, yi) ∈ Ri puntua hartu eta F (Pi) = F (xi, yi) kalkulatu.Izan bitez Ai, Ri-ren azalera eta R, D-ren azalera. Kalkula ditzagun ondorengoak:

Fn =1

R

n∑

i=1

F (xi, yi) A1 (7.10)

Vn =n

∑

i=1

F (xi, yi) A1 (7.11)

(7.10) ekuazioan dagoen Fn, F (x, y) funtzioaren F batezbesteko balioaren hurbilketa bat da.F (x, y) ≥ 0 bada D eremuan, (7.11) ekuazioan agertzen den Vn, V bolumenaren hurbilketa



7.17 Irudia: Gainazal baten hautazko eremua.

bat da. V bolumnena, gainetik z = F (x, y) gainazalak eta azpitik D eremuak mugatzendute. F eta V lortzeko n → ∞ egingo dugu:

F = limn→∞

1

R

n∑

i=1

F (xi, yi) A1 V = limn→∞

n∑

i=1

F (xi, yi) A1 (7.12)

Eremu errektangularren kasuan bezala, zaila da praktikan (7.12) ekuazioak aplikatzea.Baina, (7.12) integral bikoitzaren bidez kalkulatu ahal izango da. Ikus dezagun nola egindaiteke:

1. Har dezagun x ∈ [a, b] hautazko puntu bat. (x, y), D eremuan egon dadin beharrez-koa da y ∈ [f(x), g(x)] tartean egotea. 7.19(a) irudian zuzenki hau agertzen da non(x, f(x)) eta (x, g(x)) tarteko balioak hartu diren x ∈ [a, b] izanik.

2. x ∈ [a, b] balio finko bakoitzarako, h(y) = F (x, y) funtzioa y aldagaiko funtzioa da non[f(x), g(x)] tartean definitutako funtzio jarraia den. 7.19(a) irudian itxura honetakofuntzio baten marrazkia agertzen da.

3. x ∈ [a, b] balio finkorako, [f(x), g(x)] tartean h(y) = F (x, y) integratzen dugu. Hauda:

A(x) =

∫ g(x)

f(x)F (x, y) dy (7.13)

(7.13) ekuazioan F (x, y) funtzioa y aldagaiarekiko integratzen da [f(x), g(x)] tartean.Ohar zaitez (7.13)-ren integrakizunan, x konstante dela. Integral honen emaitza x-ren



7.18 Irudia: Eremu baten partiketa.

menpeko funtzio bat da; A(x) izendatuko dugu. F (x, y) ≥ 0 bada, x finko bakoitzarakoA(x) gainetik h(y) = F (x, y) kurbak mugatutako azalera da non y ∈ [f(x), g(x)] den.7.19(b) irudian x-ren balio konkretu baterako lortu den azalera grisez marraztutaagertzen da.

4. Integra dezagun orainA(x) [a, b] tartean. Horrela F eta V -ren balio zehatzak lortukoditugu:

F =1

R

∫ b

a

(

∫ g(x)

f(x)F (x, y) dy

)

dx

V =

∫ b

a

(

∫ g(x)

f(x)F (x, y) dy

)

dx



7.19 Irudia: A(x)-ren kasu orokorra.

Ikus 7.20(a) irudia. 7.18(a) irudiaren sareta hartu dugu eta, V bolumenaren hurbilketabat ondorengo eran kalkulatu da: lau prisma errektangularren bolumenen batura egin da.S areta finagoa eginez, ikus ( 7.18(b,c,d)) irudiak, hurbilketak V bolumenaren balio zeha-tzarantz jotzen du. Balio hau, z = F (x, y), (x, y) ∈ D gainazalak gainetik mugatutakogorputzaren bolumena da. Gorputz hau 7.20(b) irudian azaltzen da.

7.20 Irudia: Bolumenaren hurbilketa.

Lortu ditugu beraz, integral bikoitza eta batezbesteko balioaren definizioak. Izan bediD, f(x) eta g(x) funtzioek mugatutako eremua non (f(x) ≤ g(x)) [a, b] tartean den. F (x, y)funtzioa D eremuan jarraia bada, eta R, D-ren azalera bada orduan:



7.3. Definizioa F (x, y)-ren integral bikoitza D eremuan ondorengo balioa da:

∫∫

D

F (x, y) dx dy =

∫ b

a

(

∫ g(x)

f(x)F (x, y) dy

)

dx (7.14)

7.4. Definizioa F (x, y) funtzioaren batezbesteko balioa D eremuan ondorengo balioa da:

F =1

R

∫ b

a

(

∫ g(x)

f(x)F (x, y) dy

)

dx (7.15)

(7.15) aplikatzeko beharrezkoa da aurretik R kalkulatzea. Nola egin dezakegu hau?.Auke-ra bat da aldagai bakarreko funtzio baten integrala erabiltzea. Hau da:

R =

∫ b

a

(g(x) − f(x)) dx

Ondorengo ariketan (7.6 ariketaren antzekoa) ikusten da nola erabil daitekeen integralbikoitza R kalkulatzeko.

7.11. Ariketa F (x, y) = 1 funtzio konstantearen integral bikoitza D eremuan kalkulatu.Jakinik balioa gorputz baten bolumena dela nola interpretatzen duzu lortutako emaitza?

7.12. Ariketa Izan bedi F (x, y) = x + y, f(x) = x2, g(x) = x3 + 1, x ∈ [0, 1] baldintzekmugatutako D eremuan definitutako funtzioa. F (x, y)-ren F batezbesteko balioa D eremuanlortu. Gainetik z = F (x, y), (x, y) ∈ D gainazalak mugatutako gorputzaren V bolumenalortu. F (x, y) funtzioak batezbesteko balioa hartzen duen (x, y) ∈ D puntuak grafikokiadierazi.

7.13. Ariketa Integral bikoitzan, eremu errektangularren kasuan bezala, integrazio ordenaaldatu daiteke. Ikus 7.21 irudia. F (x, y)-ren D eremua x = f(y), x = g(y), f(y) ≤ g(y),y ∈ [c, d] funtzio jarraiek mugatzen badute antzeko prozedura erabiliz, ondorengoa frogatzenda:

∫∫

D

F (x, y) dx dy =

∫ d

c

(

∫ g(y)

f(y)F (x, y) dx

)

dy

Formula hau aplikatuz, F (x, y) = ex2

-ren integrala kalkulatu non D, f(x) = 0, g(x) = x,x ∈ [0, 1] baldintzek mugatutako eremua den ( integrazio ordena egokia aukeratu).



7.21 Irudia: Integrazio ordena aldaketa: Hautazko eremua.

7.14. Ariketa [7.4 ariketaren antzekoa] Aldagi bakarreko integralaren propietateak era-biliz, ahal dituzun integral bikoitzaren propietateak enuntziatu eta frogatu.

7.15. Ariketa [7.5 ariketaren antzekoa] Izan bitez F (x, y) eta G(x, y) D eremuan defini-tutako funtzio jarraiak. Demagun F (x, y) ≥ G(x, y) betetzen dela D eremuan. Ondorengobalioa interpretatu:

∫∫

D

(F (x.y) − G(x, y)) dx dy

7.4 Integrazio ald agaien ald aketa

Ikusi dugu funtzio jarraitu baten D ⊂ R2 eremuan integral bikoitza integral berrituen bidez

lortzen dela. Integral bakuna aztertzerakoan y(x) funtzio jarraitua [a, b] tartean integra-tzerakoan aldagai aldaketa nola erabili ikusi genuen. Era berdinean bi aldagai errealekofuntzioak integratzerakoan aldagai aldaketaren bidez lana erraz dezakegu. Adibidez, D ere-mua zentroa (0, 0) puntuan eta erradio bateko zirkulua baldin bada (ikus (7.22(a)) irudia)goi eta behe mugak adierazten dituzten funtzioak hauek dira,

f(x) = −√

1 − x2

x ∈ [−1, 1]

g(x) =√

1 − x2

eta erroak dituztenez integrala lortzea zaila izan daiteke.


7.4. INTEGRAZIO ALD AGAIEN ALD AKETA 89

7.22 Irudia: Integrazio eremuak

Baina eremu horrek, oso adierazpen erraza du koordenatu polarrak erabiltzen ditugu-nean. x = ρ c o s θ, y = ρ sin θ aldagai aldaketa eginda D′ eremuaren adierazpena θ ∈ [0, 2π],ρ ∈ [0, 1] eta grafikoki zirkulutik laukizuzenera (ikus (7.22(b)) irudia) pasatzen gara.

Gogora dezagun aldagai aldaketa integral bakunean. Demagun y(x) funtzio jarraituadela D = [a, b] tartean. Integrazio aldagaiaren aldaketa egiterakoan, x aldagaia x = h(t)funtzioaz ordezkatzen dugu, h(t) funtzioa D′ = [α, β] tartean definitua, deribagarria etah(α) = a, h(β) = b betetzen duenean. Orduan

∫ b

a

y(x)dx =

∫ β

α

y(h(t))h′(t)dt (7.16)

berdinketa lortzen dugu.

7.23 Irudia: Aldagai aldaketa integral bakunean

(7.23) irudia aztertuz t ∈ D′ bakoitzari x ∈ D bat elkartzen zaiola ikusten dugu.



(7.24) irudiak bi dimentsiotako aldagai aldaketa adierazten du. (x, y) aldagaiak (u, v)aldagaiekin ordeztuko dira. Aldagai aldaketa, D′ eremuan definitutako x = h(u, v), y =g(u, v) bi funtzioen bidez definitzen da. Funtzioak deribatu partzial jarraituak izan behardituzte eta (x, y) ∈ D puntu bakoitzari (u, v) ∈ D′ puntu bakar bat elkartzen diote etaalderantziz.

7.24 Irudia: Aldagai aldaketa integral bikoitzean

Aurreko baldintzak betetzen badira (7.17) ekuazioak adierazten du nola lortuko denintegral bikoitza aldagai berriak, (u, v), eta D′ eremua erabiliz.

∫∫

D

F (x, y)dxdy =

∫∫

D′

F (h(u, v), g(u, v))|J |dudv (7.17)

Adierazpen horretan azaltzen den J-ren balioa era honetan definitzen da,

J =

∣

∣

∣

∣

hu(u, v) hv(u, v)gu(u, v) gv(u, v)

∣

∣

∣

∣

(7.18)

(7.18) adierazpenean ikusten denez, J determinante baten bidez definitzen da, osagaiakh(u, v) eta g(u, v)-ren deribatu partzialak dira eta determinante jacobiarra deitzen da. In-tegrakizunean jacobiarraren balio absolutua ipinten da.

J , u eta v aldagaien funtzioa da eta (7.16) adierazpenean azaltzen den h′(t) biderkagaia-ren antzerakoa da.


7.4. INTEGRAZIO ALDAGAIEN ALDAKETA 91

7.16. Demagun D eremua f(x) eta g(x), f(x) ≤ g(x), x ∈ [a, b] izanik, funtzio jarrai-tuak mugatzen dutela. x(u, v), y(u, v) aldagai aldaketa erabiliz D′ = [0, 1] × [0, 1] (ikus(7.25)irudia) eremu berria karratua izan daitekeela ikusi.

7.25 Irudia: Eremu berria karratua

P ropietate hau oso interesgarria da Winplot erako programak erabiltzen direnean, inte-gral bikoitzan zenbakizko metodoekin lortzerakoan eremuak laukizuzenak izan behar dire-lako.

Aldagai aldaketa honekin eremu berria D′ = [0, 1] × [0, 1] karratua izatea lortuko dugu:

x(u, v) = a + (b − a)u

y(u, v) = v(f(x(u, v)) − g(x(u, v))) + g(x(u, v))

u ∈ [0, 1], v ∈ [0, 1] izanik.

1. Egiaztatu aldagai aldaketa onargarria dela, hau da, (u, v) bakoitzari (x, y) bakarraelkartzen diola eta (x, y) bakoitzari (u, v) bakarra, eta x(u, v), y(u, v) funtzio jarraituakdirela eta deribatu partzial jarraituak dituztela.

2. Aldagai aldaketaren J jacobiarra lortu eta J ≥ 0 dela egiaztatu.

3. Aldagai aldaketa erabiliz, F (x, y) = x+y funtzioaren integral bikoitza lortu, D eremuaf(x) = (x − 2)(x − 4), g(x) = 0.5x, x ∈ [2, 4] funtzioak mugatzen dutenean. (Ikus(7.26) irudia).



4. Emaitza egiaztatu, F (x, y) = x + y funtzioaren integral bikoitza D eremuan, aldagaialdaketa egin gabe, kalkulatuz.

7.26 Irudia: Eremu aldaketa

7.5 Koordenatu polarrak eta polar orokortuak

Ikusi dugunez, integrazio eremuak zirkularrak direnean errazago lan egiten dugu koorde-natu polarrak erabiltzen ditugunean. Hurrengo ariketan aldagai aldaketa nola egiten denaztertzen da.

7.17. F (x, y) funtzio jarraitua de D eremuan. x = ρ cos θ, y = ρ sin θ, aldagai aldaketaaplikatu D′ eremu berria lortuz.

1. Aldagai aldaketa onargarria dela egiaztatu.

2. Jakobiarra lortu eta J = ρ lortzen dela egiaztatu.

3. F (x, y) funtzioaren integral bikoitza D eremuan kalkulatzeko adierazpena lortu aldagiaaldaketa erabiliz

4. F (x, y) = x2 + y2, funtzioaren integral bikoitza lortu integrazio eremua (7.27) irudianadierazitako eremuak harturik eta (7.22) irudian bezala eremu berrien adierazpen gra-fikoa egin.


7.6. AZPIEREMUTAN J ARRAITUAK DIREN F UNTZIOEN INTEGRAL BIKOITZA 93

7.27 Irudia: Proposatutako eremuak

7.18. D eremua zirkularra izan beharrean eliptikoa denean koordenatu polarrak ez diraegokiak eta koordenatu polar orokortua erabiliko ditugu.. Demagun D eremua x2/a2 +y2/ b2 = 1 elipsea d ela. K asu h on etan , koord en atu polar orokortuak d eitzen d iren , ald ag aiald aketa h au erabili d aiteke x = a ρ c o s θ, y = bρ sin θ. J acobiarra lortu eta F (x, y) = 2xyfun tz ioaren in teg ral bikoitza lortzeko erabili, (7 .2 8 ) irud ian ad ieraz itako erem uak h arturiketa D′ erem u berriak ad ieraz i.

7.6 A z p ie re m u ta n ja rra itu a k d ire n fu n tz io e n in te g ra l b ik o itz a

O rain arte D erem uan jarraitua d en F (x, y) fun tz ioaren in teg ral bikoitza az tertu d ug u.B atzutan F (x, y) fun tz ioa era h on etako erem uan d efi n itutuka d ug u D = D1 ∪ D2, D1 etaD2 ren ebakid uraren azalera 0 d a, eta fun tz ioa jarraitua d a azpierem u bakoitzean bain a ezerem u osoan . Ad ibid ez (7 .2 9 ) irud ian ad ieraz itako fun tz ioa.

F (x, y) fun tz ioak x afl a baten ten peratura ban aketa ad ieraz ten bad u, zaila d a jarrai-tua ez izatea bain a fun tz io h orrek pun tuko d en tsitatea ad ieraz ten bad u m aterial d esber-d in ez eg in d ako pieza d ug un ean d en tsitate d esberd in ak aurki d itzakeg u. (7 .3 0) irud ianeuro tx an pon aren d en tsitate ban aketa ad ieraz ita d ag o eta era h on etako ad ierazpen a d u:(x, y) ∈ D1, F (x, y) = 8.4, eta (x, y) ∈ D2, F (x, y) = 8.9.

Matematika A p likatu a S aila U E P D o n o stia

94 7. K A P IT U L U A IN T E G R A L A N IZ K O IT Z A K

7.28 Irudia: E remu eliptikoak

7.29 Irudia: Azpieremuez osatutako eremua

Kasu hauetan integral bikoitza era honetan defini dezakegu:

∫∫D

F (x, y)d xd y =

∫∫D1

F (x, y)d xd y +

∫∫D2

F (x, y)d xd y

eta D eremuan definitutako integral bikoitza bi integral bikoitzen batua bezala lor deza-kegu. D efinizio hau, F (x, y) funtzioaren batezbesteko balioa lortzerakoan edo mugatutakobolumena edo ikusiko ditugun beste aplikazioetan erabili daiteke.


7.6. AZPIEREM UTAN J ARRAITUAK D IREN F UNTZIOEN INTEGRAL B IKOITZA 95

7.30 Irudia: Euro txanponaren eremuak materialen arabera



7.7 Integral bikoitzaren aplikazio geh iago

Ikusi dugu F (x, y) funtzio jarraituaren integral bikoitza D eremuan, funtzioaren batezbeste-koa edo z = F (x, y) gainazalak goitik eta XY planoaren (x, y) ∈ D zatiak azpitik mugatzenduten gorputzaren bolumena lortzeko erabil daitekeela. Beste erabilpen batzuk ikusiko di-tugu.

Azter dezagun honako hauek:

1 . D eremu lauaren F (x, y) funtzioa definituta dago.

2. D-n dauden n laukizuzenek osatzen duten sareta. R1, R2, . . . , Rn, n handitzen deneanRi-en oina eta altuerak 0-runtz jotzen dute eta lauki zuzen horiekin D eremua estaltzendugu.

3. L auki zuzenen azalerak Ai lortzen ditugu

4. (xi, yi) ∈ Ri puntuak aukeratzen ditugu

G uzti hauek kontutan hartuz honako hau dugu:

∫∫D

F (x, y)dxdy = limn→∞

n∑i= 1

F (xi, yi)Ai

7.7.1 G a in a z a le n a z a le ra re n ka lku lu a

Aztertu genuen bezala, (??) irudiko D eremu lauaren azalera, A, integral bikoitzaren bidezera honetan kaluka dezakegu

A =

∫∫D

dxdy

Biraketa gainazal baten azalera integral bakunaren bidez lor dezakegula ikusi genuen. Ikusdezagun F (x, y) funtzio jarraituak (x, y) ∈ D eremuan definitzen duen (ikus 7.31 irudia)gainazaleraren azalera nola lor daitekeen.

Azalera hori lortzeko z = F (x, y) gainazaleraren n plano ukitzaileen zatiekin hurbildukodugu, zati horien azalerak batuz azaleraren hurbilketa lortuko dugu, eta n handitzen joangogara hurbilketa hobetuz. (ikus (7.32) irudia.

P lano ukitzaileen zati horien azalerak lortuko ditugu. (a, b) ∈ D puntutik pasatzen denplano ukitzailearen ekuazioa hau da:

z = F (a, b) + (x − a)Fx(a, b) + (y − b)Fy(a, b) (7.1 9)


7.7. INTEGRAL BIKOITZAREN APLIKAZIO GEH IAGO 97

7.31 Irudia: F (x, y), (x, y) ∈ D-k definitzen duen gainazala

(7.33) irudian R lauki zuzenari dagokion plano ukitzailearen T zatia dugu. Laukizu-zenaren dimentsioak h eta k dira. (7.19) ekuazioa erabiliz, R laukizuzenaren P (a + h, b),Q(a, b + k) eta M(a + h, b + k) erpinei dagozkien z koordenatuak plano ukitzailean hauekdira:

P (a + h, b) : z = F (a, b) + hFx(a, b)

Q(a, b + k) : z = F (a, b) + kFy(a, b)

M(a + h, b + k) : z = F (a, b) + hFx(a, b) + kFy(a, b)

T paralelogramoa denez, egiazta ezazu ariketa bezala n eta u bektoreak eta v eta w bek-toreak elkar paraleloak direla, bere azalera u eta v bektoreen bektore-biderketaren modulua,AT = ‖u × v‖, da.

Kalkula dezagun AT = ‖u × v‖:

u = (h, 0, hFx(a, b))

v = (0, k, kFy(a, b))

u × v =

∣

∣

∣

∣

∣

∣

ı̄ ̄ k̄h 0 Fx(a, b)0 k Fy(a, b)

∣

∣

∣

∣

∣

∣

= −hk(Fx(a, b), Fy(a, b),−1) = −hk g ra d F (a, b)



7.32 Irudia: Azaleraren hurbilketak

AT = ‖u × v‖ = hk√

(Fx(a, b))2 + (Fy(a, b))2 + 1. h, k > 0

AR = hk biderkadura R lauki zuzenaren azalera da.Beraz,

AT = AR

√

(Fx(a, b))2 + (Fy(a, b))2 + 1

z = F (x, y) gainazalaren plano ukitzailearen bektore karakteristikoa (a, b) puntuan(Fx(a, b), Fy(a, b),−1) izan daiteke, beraz, u × v eta (Fx(a, b), Fy(a, b),−1) bektoreak para-leloak dira. Labur bildurik T paralelogramoaren AT lortzeko, R lauki zuzenaren AR azalera,plano ukitzailearkin elkarzut dagoen (Fx(a, b), Fy(a, b),−1) bektorearen moduluaz biderka-tuz lortzen dugu.

Beraz, D eremua estaltzen duen saretako Ri laukizuzena aukeratzen badugu R bezala,(a, b) goi eta ezkerreko erpina (xi, yi) bezala hartzen badugu, Ri bakoitzaren AR azalera Ai

bezala adierazten badugu, gainazaleraren azalera honako honen bidez lortzen dugu:

D = limn→∞

n∑

i=1

Ai

√

(Fx(a, b))2 + (Fy(a, b))2 + 1 (7.20)

Baina adierazpen hori H(x, y) =√

(Fx(x, y))2 + (Fy(x, y))2 + 1 funtzioaren integral bi-koitza da D eremuan.

H au da, z = F (x, y), (x, y) ∈ D funtzioak definitzen duen gainazaleraren azalera erahonetan kalkulatuko dugu:

S =

∫∫

D

√

(Fx(x, y))2 + (Fy(x, y))2 + 1 dxdy (7.21)


7.7. INTEGRAL BIKOITZAREN APLIKAZIO GEHIAGO 99

7.33 Irudia: Laukizuzenen bidez hurbilketa

7.19. F (x, y) funtzioak, zer nolako baldintzak bete behar ditu (7.21) berdintza aplikagarriaizan dadin?

7.2 0 . Demagun F (x, y) = Ax + By + D funtzio lineala definitzen dugula D eremuan. (ikus(7.34) irudia) Egiaztatu gainazaleraren S azalera D-ren azalerarekin proportzionala dela.

7.34 Irudia: Azalera



7.7.2 E rem u lauen m asa

Integral bikoitzaren bidez D eremu lauaren masa lor dezakegu. Demagun D eremua F (x, y)funtzio jarraituaz definitutako dentsitatea duen materialaz osatuta dagoela. Funtzioarenadierazpena egiterakoan z = F (x, y) altuerek (x, y) koordenatuko puntuaren dentsitateaadierazten dute. (ikus (7.35) irudia). D eremua Ri lauki zuzenez osatutako sareta batezestaltzen dugu, eta (xi, yi) ∈ Ri aukeratzen ditugu. Ri laukizuzenetan dentsitatea konstanteeta F (xi, yi) balio duela suposatzen dugu. Laukizuzenen masen batura eremuaren masaizango da:

M = limn→∞

n∑

i=1

F (xi, yi)Ai (7.22)

Baina (7.22) formulan dugun limitea integral bikoitzaren definizioa da, beraz

M =

∫∫

D

F (x, y)dxdy

7.35 Irudia: eremu lauaren masa



7.7.3 Grab itate zentro aren kalkulua

Eremu baten grabitate zentroa ezagutzea interesgarria da eremu horren masa guztia gra-bitate zentroan kokatuta balitz bezala lan egin dezakegulako. Adibidez xafla zurrun batekoreka mantentzen du bere grabitate zentroa punta zorrotz baten gainean jartzen dugunean.(ikus (7.36) irudia) ).

7.36 Irudia: X aflaren oreka grabitate-zentroan

(7.37) irudiak lau masa puntualez osatutako sistema adierazten du. Z ein da sistemarengrabitate zentroa?

7.37 Irudia: Puntu-masen grabitate-zentroa

S istemaren masa M = m1 + m2 + m3 + m4 da.



Grabitate zentroaren xG koordenatua, x1, x2, x3 eta x4 puntuen koordenatuen batez-besteko haztatua da. Haztapena, masen bidez egingo dugu.

xG =x1m1 + x2m2 + x3m3 + x4m4

M

mi masa handitzen den heinean xG koordenatua xi-ri gerturatzen da.Antzerakoa dugu yG koordenatuarentzat:

yG =y1m1 + y2m2 + y3m3 + y4m4

M

Orokorrean n masa puntual mi, i = 1, . . . , n ditugunean (xi, yi)i = 1, . . . n puntuetan,sistemaren GZ(xG, yG) grabitate zentroaren koordenatuak era honetan lortzen ditugu:

xG =

∑ni=1 ximi

M, yG =

∑ni=1 yimi

M(7.23)

Demagun D eremuan F (x, y) funtzioak definitzen duen dentsitateko masa dugula Deremuan n laukizuzen definitzen ditugu, R1, . . . , Rn. Ri laukizuzenean dentsitate konstanteadela eta F (xi, yi), (xi, yi) ∈ Ri balioa duela suposatzen dugu. Ai Ri laukizuzenaren azalerabaldin bada, Ri-ren masa mi = F (xi, yi)Ai denez, D-ren grabitate zentroaren koordenatuakGZ(xG, yG) (7.24) adierazpenen bidez lortzen ditugu.

xG =

∑ni=1 xiF (xi, yi)Ai

∑ni=1 F (xi, yi)Ai

, yG =

∑ni=1 yiF (xi, yi)Ai


(7.24)

Laukizuzenen kopurua handituz, n → ∞ jotzen duenean xG eta yG-ren balio zehatzaklortzen ditugu (7.25) adierazpenen bidez.

xG = limn→∞

∑ni=1 xiF (xi, yi)Ai


, yG = limn→∞

∑ni=1 yiF (xi, yi)Ai


(7.25)

Baina (7.25) adierazpenean azaltzen diren limiteak F (x, y), xF (x, y) eta yF (x, y) fun-tzioen integral bikoitzak dira.

xG =

∫∫

DxF (x,y)dxdy

∫∫

DF (x,y)dxdy

, yG =

∫∫

DyF (x,y)dxdy

∫∫

DF (x,y)dxdy

(7.26)



7.21. D eremuaren grabitate zentroa, beti eremuaren barnean al dago?

7.22. Eskalatzaileek ondo dakite gorputzaren grabitate zentroa gutxi gora behera zilborrandugula, eta eskalatzen ari direnean grabitate zentroa inguru horretan mantentzen saiatzendira. (7.38 (a)) irudian pertsona baten siluetaren hurbilketa dugu. Lortu irudiaren grabitatezentroa dentsitatea konstantea dela suposatuz. Pertsonak besoa luzatzen duenean, (7.38(b))irudian bezala, non dago grabitate zentroa?

7.38 Irudia: Pertsonaren eskema

7.23 . (7.39(a)) irudian dungun xafla F (x, y) dentsitatea duen materialaz eginda dago.F (x, y) = ky baldin bada, adierazpen grafikoa egin eta sestra kurbak adierari. Xaflarengrabitate zentroaren koordenatuak lortu. Bigarren kasuan xaflari zati karratu bat kenduzaio (7.39(b)) irudian adierazten den bezala, Zein da kasu honetan grabitate zentroa?

7.24 . Ibilgaluien oreka aztertzerakoan garrantzi handia du grabitate zentroaren kokalekua.Grabitate zentroa goikaldean duten ibilgailuak, furgonetak adibidez, iraultzeko aukera han-diagoa dute. (7.40(a)) irudian ibilgailu baten silueta dugu. Dentsitatea konstantea delasuposatuz lortu grabitate zentroaren koordenatuak. Ibilgailuaren parrilla gainean fardelastun bat jartzen denean, (7.40(b)) irudian ikusten den bezala, fardelaren dentsitatea kaldiz ibilgailuarena baldin bada non dago grabitate zentroa?. N ola aldatzen da grabitatezentroaren kokalekua k handitzen denean?

7.25 . Hegazkinek erregai asko daramate eta erretzen den heinean grabitate zentroaren koka-lekua aldatzen doa. (7.41(a)) irudian hegazkinen hegoan ipinten den erregai ontziaren adie-razpena dugu. (7.41(b)) irudian ontziaren x = k sekzioa dugu, z(y) = ±0.07 (y + 1)(y − 8),



7.39 Irudia: Parabola itxurako xafla

7.40 Irudia: Kotxea karga gabe eta kargatua

y ∈ [0, 8]. parabolak mugatzen duten eremua kasu honetan. (7.41(c)) irudian sekzioa dugueta erregaia h altuerara irizten da. h txikitzen doan arabera nola aldatzen da grabitatezentroaren kokalekua? (7.41(a)) irudian zein da grabitate zentroaren xG koordenatua?

7.7.4 Eremu lau baten inertzi-momentuen kalkulua

Integral bikoitza erabil daiteke ere D xafla batek ardatz batekiko biratzeko duen erraztasunaneurtzeko. Erlazionaturik dagoen kontzeptu fisikoa inertzi-momentua deitzen da. Zenbat etahandiagoa den D eremuaren ardatz batekiko inertzi-momentua, handiagoa izan behar du Dardatz horrekiko biratzeko aplikatu behar den indarra. Ohikoa da biratzeko ardatzak ardatzkoordenatuak izatea. Horrela, masa baten inertzi-momentuak OY eta OX ardatzekiko Iy

eta Ix izendatuko ditugu hurrenez hurren.

Suposa ditzagun, adibidez, dimentsio eta masa berdineko patinatzaile bat eta barraasimetrikoetako gimnasta bat. Patinatzailearen inertzi- momentua bere gorputzaren ardatz



7.41 Irudia: Hegazkinaren erregai-ontzia

bertikalarekiko, gimnastarena barra horizontalarekiko baino askoz txikiagoa da (Ikusi (7.42)irudia). Beraz, biraketa lortzeko behar den esfortzua askoz txikiagoa da patinatzailearenkasuan bestean baino.

7.42 Irudia: Patinatzailea eta gimnasta

Nola neur dezakegu, parametro bat erabiliz, masa batek ardatz batekiko biratzerakoansufritutako erresistentzia? Suposa dezagun m masa puntu batetan konzentratuta dagoela.Biraketarekiko erresistentzia m-ren balioa eta biraketa ardatzarako d distantziarekin erla-zionaturik dago. Zenbat eta handiagoa den m eta zenbat eta handiagoa den d, handiagoa dabiraketarekiko erresistentzia. Horregatik, masa puntualaren inertzi-momentua honela defi-nitzen da: I = md2. Galdera bat: zure ustez, zergatik erabiltzen da d-ren karratua I = mdhartu ordez?

Suposa dezagun orain D eremu lau bat dela eta bere masaren dentsitatea F (x, y) dela(x, y)∈D puntu bakoitzean. Suposa dezagun biratzeko ardatza OY ardatza dela. (Ikusi(7.43) irudia). Hartuko dugu, beti bezala, D-n sartuta dauden Ri laukizuzenak, Ri-ren



azalera Ai izanik, eta Ri bakoitzean (xi, yi) puntu bat aukeratzen dugu. Suposatuko duguRi-ren azalera (xi, yi) puntuan kontzentratuta dagoela.

7.43 Irudia: D eremua

D eremuaren OY ardatzarekiko inertzi-momentua, Iy, gutxi gora behera honako hauizango da:

Iy 'n

∑

i=1

x2i F (xi, yi)Ai

Limitea kalkulatzen Iy inertzi-momentuaren balio zehatza lortuko dugu:

Iy = limn→∞

n∑

i=1

x2i F (xi, yi)Ai (7.27)

Baina (7.27) ekuazioan agertzen dena x2F (x, y) funtzioaren integral bikoitza D eremuanda:

Iy =

∫∫

D

x2F (x, y)dxdy

Era berean, D eremuaren inertzi-momentua OX ardatzarekiko lortzen da:

Ix =

∫∫

D

y2F (x, y)dxdy

7.26. Ariketa D eremuaren x = a eta y = b ardatzekiko inertzi-momentuak kalkulatzekometodoa azaldu. Nola kalkula daiteke inertzi-momentua y = ax + b ardatzarekiko?



7.27. Ariketa Izan bedi D (7.44) irudian agertzen den y(x) = −0.5 (x−3)(x+3) parabolakmugatutako eremua, eta suposa dezagun bere dentsitatea konstantea dela.

(a) Ix eta Iy inertzi-momentuen balioak konparatu.

(b) Frogatu OY ardatza dela ardatz horrekiko inertzi-momentua minimoa ematen digunardatz bertikala.OHAR R A: x = a ardatza kontsideratu (ikusi (7.44) irudia), ardatz horrekiko inertzi-momentua ematen digun I(a) funtzioa kalkulatu eta, bukatzeko, I(a)-ren minimoakalkulatu. Azter dezakezu ere I(a)-ren aldakuntza a→±∞ denean.

7.44 Irudia: (7.27) ariketako eremuaren irudia

7.28 . Ariketa D xaflaren P (a, b) puntuarekiko inertzi-momentuak, IP , P -rekiko biratze-rakoan D-ren masak egindako erresistentzia neurtzen du.

(a) IP -ren definizioa azaldu.

(b) D jatorrian zentroa duen R erradioko zirkulua bada, IP -ren balioak konparatu Pjatorria bada edo mugako puntu bat bada (masa dentsitatea konstantea dela suposatu).

7.29. Ariketa 1960 urtean tenis-erraketak a = 4 eta b = 2 erdiardatzeko elipse formakoakziren. 1990an berriz, erdiardatzak a = 6 eta b = 3 ziren. Erraketa biratzeko tenistareneskumuturreko esfortzu minimoa nahi dugula kontutan hartuz, zein erraketa da onena?(Gogaratu elipsearen ekuazioa hau dela, x2/a2 + y2/b2 = 1. Gogoratu ere koordenatu polarorokorretarako aldagai-aldaketa.)



7.8 Integral hirukoitza

7.8.1 Integ ral bikoitzaren bid ez ebazkarriak ez d iren p roblemak

Orain arte integral bikoitza D eremuan definitutako F (x, y) funtzioaren propietate batzukaztertzeko erabili dugu. Horrela, ikusi dugu nola kalkulatu:

(1) D eremuan F (x, y) funtzioaren batezbesteko balioa.

(2) z = F (x, y), (x, y)∈D, gainazalak goitik mugatutako solidoaren bolumena.

(3) z = F (x, y), (x, y)∈D, gainazalaren azalera.

(4) D eremuaren azalera.

Eta F (x, y) funtzioak (x, y)∈D puntuan dagoen masa dentsitatea adierazten badu, badakigukalkulatzen:

(5) D-ren materiaren kantitatea.

(6) D-ren grabitate zentroaren koordenatuak.

(7) D-ren ardatz batekiko inertzi-momentua.

7.30. Ariketa Aurreko zazpi parametroak kalkulatzeko adierazpenak idatzi.

Baina, integral bikoitzaren bidez ezin dugu magnitude baten propietateak neurtu, magni-tude hori espazioko V eremuan definiturik dagoenean. V izan daiteke, adibidez, labe bat non(x, y, z) puntu bakoitzean neurtutako tenperatura T (x, y, z) den. Zein izango da T (x, y, z)-ren T batezbesteko balioa? T kalkulatzen badugu, tenperatura hori duten (x, y, z)∈V pun-tuek osatutako F (x, y, z) = T maila-gainazala adieraz dezakegu grafikoki.

F (x, y, z) funtzioarekin adieraz daiteke ere R solido baten masa dentsitatea. Zein izangolitzateke G Z (xG, yG, zG), R-ren grabitate zentroa? R solidoa ardatz batekiko biratzen bada,zein izango litzateke ardatz horrekiko R-ren inertzi-momentua?

Orain, prozedura hau erabiliko dugu F (x, y, z) funtzioaren integrala R solidoan kalkula-tzeko. Hasteko, funtzioaren batezbesteko balioa kalkulatuko dugu.

7.8.2 F (x , y, z) funtzioaren batezbesteko balioa

Suposa dezagun F (x, y, z) espazioko R eremuan definiturik dagoen funtzio jarraitu bat dela.(7.45(a)) irudian eremu posible bat azaltzen da. Orain aurpegiak plano koordenatuekikoparaleloak dituzten kutxek osatutako sareta bat aukeratuko dugu. (7.45(b)) irudian R


7.8. INTEGRAL HIRUKOITZA 109

7.45 Irudia: R eremua eta bi hurbilketak

barruan duen sareta bat azaltzen da, nondik bakarrik R barruan dauden Ri elementuakhartuko ditugu, (7.45(c)) irudian azaltzen den bezala.

Hurrengo pausoa (xi, yi, zi) ∈ Ri hautazko puntu bat hartzea eta F (xi, yi, zi)-ren balioakalkulatzea da. F (x, , y, z) funtzioaren balioa hurbiltzeko Ri bakoitzean kostantea dela su-posatuko dugu, konstante hori F (xi, yi, zi) izanik. Ri-ren bolumena Vi eta R-rena V badira,F (x, y, z)-ren batezbesteko balioa R eremuan hurbildu dugu modu honetan:

F '1

V

n∑

i=1

F (xi, yi, zi)Vi

Bukatzeko, Ri kutxaren luzera, zabalera eta altuera 0-rantz hurbiltzen badira n infini-turantz doanean, F -ren balio zehatza lortuko dugu:

F =1

Vlim

n→∞

n∑

i=1

F (xi, yi, zi)Vi

Izendatuko dugu:

limn→∞

n∑

i=1

F (xi, yi, zi)Vi =

∫∫∫

R

F (x, y, z)dxdydz (7.28)

eta (7.28) ekuazioaren eskubiko gaiari F (x, y, z) funtzio jarraituaren R-n integral hiru-koitza deitzen dioagu. Froga dezakegu integral hirukoitza existitzen dela F (x, y, z) jarraituabada.



Eta ikusi dugunez:

F =1

V

∫∫∫

R

F (x, y, z)dxdydz

7.8.3 Integral h irukoitzaren kalkulua

(7.28) ekuazioan emandako integral hirukoitzaren definizioaren aplikapena praktikan osozaila da. Zorionez, integral bikoitzarekin gertatzen zenez, integral hirukoitzaren kalkuluaaldagai bakar baten funtzioen integralen bidez egingo da. Kasu honetan kalkulatu behardiren integralen kopurua hiru da. Ikus dezagun nola egiten den.

Ikusi (7.46(a)) irudia. u(x.y) eta v(x, y) bi funtzioen adierazpen grafikoa azaltzen da.Bi funtzioen D eremua g(x) eta h(x) fu n tz ioez mu g atu ta d ag o, x∈[a , b] d en ean g(x)≤h(x)izan ik. (7 .4 6 (b )) iru d ian ald eko z ilin d roaren zatia g eh itu d u g u b i g ain azalek mu g atu tako R

solid oa azaltzeko. F (x, y, z) fu n tz ioa R-ren p u n tu etan d efi n itu rik b ad ag o, iku s d ezag u n n olakalku la d ezakeg u n F (x, y, z)-ren in teg ral h iru koitza R-n .

x∈[a , b] p u n tu b at au keratzen d u g u . (7 .4 7 ) iru d ian azaltzen d ira b i g ain azaletan x b aliokon stan te h ori h artzerakoan lortzen d iren maila-ku rb ak. E ta iru d ian ag ertzen d en ez , x∈[a , b]b alio fi n ko b akoitzaren tzat, (x, y, z) p u n tu a R-n d ag o y∈[g(x), h(x)] eta z∈[u(x, y), v(x, y)]b ad ira.

In teg ral h iru koitza h orrela kalku latzen d a:

∫∫∫

R

F (x, y, z)d xd yd z =

∫ b

a

(

∫ h(x)

g(x)

(

∫ v(x,y )

u(x,y )F (x, y, z)d z

)

d y

)

d x (7 .2 9 )

Iku s d itzag u n (7 .2 9 ) erlaz ioan d au d en erag iketak:

• Hasteko [u(x, y), v(x, y)] tartean F (x, y, z) fu n tz ioaren in teg rala z ald ag aiarekiko

kalku latzen d a, F (x, y, z) fu n tz ioan x eta y kon stan teak kon tsid eratu z . E maitza x etay-ren fu n tz io b at d a. Fu n tz io h orri d eitu ko d iog u , ad ib id ez , S(x, y).

• O n d oren S(x, y) fu n tz ioaren in teg rala y ald ag aiarekiko kalku latzen d a [g(x), h(x)]tartean , x kon stan tea kon tsid eratu z . E maitza x-ren fu n tz io b at d a. Fu n tz io h orrid eitu ko d iog u , ad ib id ez , I(x).

• B u kaeran I(x) fu n tz ioaren in teg rala x ald ag aiarekiko kalku latzen d a [a , b] tartean .E maitza F (x, y, z) fu n tz ioaren ion teg ral h iru koitza R eremu an d eitzen d a.

U E P D on ostia M atem atika A p likatu a S aila

7.8. IN T E G R A L H IR U K O IT Z A 111

7.46 Irudia: B i gainazalek mugatutako bolumena

7.31. Ariketa Izan bedi F (x, y, z) = x2 + y2 + z2 R eremuan definiturik dagoen funtzioa,non R x = 0, y = 0, z = 0 eta 2x + y + 3z = 6 planoek mugatutako eremua den.

(a) R solidoa grafikoki adierazi.

(b) S(x, y) eta I(x) funtzioak kalkulatu.

(c) F (x, y, z) funtzioaren integral hirukoitza R-n kalkulatu integratzeko ordena posibleguztiak erabiliz.

(d) F , F (x, y, z)-ren batezbesteko balioa R-n kalkulatu.

(e) F (x, y, z) = F maila-gainazalaren adierazpen grafikoa marraztu.

7.32 . Ariketa F (x, y, z) = 1 funtzioaren integral hirukoitza kalkulatu edozein R solidoan.Z ein da ateratzen duzun ondorioa?


112 7. KAP ITULUA INTEGRAL ANIZKOITZAK

7.47 Irudia: x konstantea denean kurba bat lortzen da

7.8.4 Koord e n a tu z ilin d rik o e ta e sfe rik oa k

F (x, y, z) funtzioaren integral hirukoitza R eremuan kalkulatzerakoan integral bikoitzare-kin aurkitu genuen arazo berbera ikusten dugu, nola kalkula dezakegun integrala aldagai-aldaketa bat aplikatzen badugu? Aldagai-aldaketa egokia bada, integralaren kalkulua sin-plifikatu daiteke. Adibidez, integrazio-eremua R zilindro zirkular bat ((7.48 )(a) irudia) edoesfera ((7.48 )(b) irudia) bat bada integrazio-mugetan agertzen diren funtzioetan erro karra-tuak azaltzen dira, eta integrazioa zaila izaten da.

7.33. Ariketa K alkulatu integrazio-mugak (7.48 ) irudian agertzen diren eremuetan.



7.48 Irudia: (7.33) ariketako eremuak

Baina, bi eremu mota hauen erabilpena errazagoa izango da, koordenatu angeluzuze-nen ordez, lehenengo kasuan koordenatu zilindrikoak eta bigarrenean koordenatu esferikoakerabiltzen baditugu. Ikus dezagun zer diren bi koordenatu sistema hauek.

Koordenatu z ilindrikoak

Koordenatu sistema bat puntu bakoitza forma bakarrean azaltzeko metodo bat da. Adi-bidez, planoan P puntu bakoitza koka dezakegu (x, y) koordenatu angeluzuzenak eta (ρ,θ)koordenatu polarrak erabiliz. Eta sistema bateko koordenatuak ezagutzen baditugu, bestesistemakoak kalkula ditzakegu:

x = ρ c o s θ ρ =√

x2 + y2

y = ρ sin θ θ = a rc ta ny

x

ρ ≥ 0 θ ∈ [0, 2π]

x, y ∈ R(7.30 )

Koordenatu polarrak erabiliz (ikusi 7.30 ) espazioko P (x, y, z) edozein puntu adieraz-teko modu bat lor daiteke: x eta y koordenatu polarretan idazten ditugu eta z berdinamantentzen dugu. H orrela, P (x, y, z) puntua koordenatu zilindrikoetan honela adieraztenda, P (%,θ,z), non sistema batetik bestera pasatzeko erlazioak (7.30 ) ekuazioan agertzen di-ra. (7.49) irudian P puntu baten koordenatu angeluzuzenen eta zilindrikoen adierazpenakazaltzen dira.



7.49 Irudia: Koordenatu zilindrikoak

Koordenatu aldaketa honekin integrazio eremua sinplifika daiteke. Adibidez (ikusi (7.5 0)(a)irudia), R eremua honako baldintza hauek definitutako zilindro zirkularra bada, x2+y2 = a2,0≤z≤H, koordenatu zilindrikoetara pasatuz lortzen dugun eremu berria R′ sinpleagoa da(7.5 0)(b) irudia), eta erlazio hauek definituta dago: 0≤θ≤2π, ρ= a, 0≤z≤H.

7.5 0 Irudia: Koordenatu zilindrikoetarako aldagai-aldaketa

7.34. Ariketa Koordenatu zilindrikoen sistema baliagarria da ere zilindrikoak ez direngainazalak erabiltzeko. Honako atal bakoitzean R eremu bat definiturik dago koordenatuangeluzuzenetan. R eremua eta koordentu zilindrikoetara pasatzerakoan lortutako R′ eremuberria grafikoki adierazi ((7.5 0) irudian bezala).



(a) x2 + y2 = z2, z = 1

(b) x2 − y2 = z − 2, x2 + y2 = 1

(c) x2 + y2 = z, x2 + y2 = 1

7.35. Ariketa (Koordenatu zilindriko orokorrak). Koordenatu polar orokorren sistemarendefinizioa gogoratuz, koordenatu zilindriko orokorren sistema definitu. Honako atal bakoi-tzean R eremu bat definiturik dago koordenatu angeluzuzenetan. R eremua eta koordentuzilindriko orokorretara pasatzerakoan lortutako R′ eremu berria grafikoki adierazi ((7.50)irudian bezala).

(a) 2x2 + 3y2 = z2, z=0, z=1.

(b) x2 + 5y2 = z, z = 0, z = 2.

Koordenatu esferikoak

Begiratu (7.51) irudia. P (x, y, z) puntua koordenatu esferikoetan P (θ, ϕ, r) eran idazten da,non:

x = r sin ϕ cos θ r ≥ 0, 0 ≤ ϕ ≤ π, 0 ≤ θ ≤ 2π

y = r sin ϕ sin θ

z = r cos ϕ

(7.31)

G aldera bat. Zure ustez, zergatik aldatzen da ϕ parametroa [0, π] tartean, [0, 2π] tanteanaldatu ordez?

7.36 . Ariketa (7.31) erlazioa kontutan hartuz, idatzi θ, ϕ eta r-ren balioak x, y eta z-renmenpe.

Horrela, (ikusi (7.52)(a) irudia), R esfera x2 + y2 + z2 = a2 ekuazioak definiturik bada-go, koordenatu esferikoak erabiliz r = a ekuazioak definitutako R′ solido errezago bateanintegratuko dugu (ikusi (7.52)(b) irudia).

7.37. Ariketa Koordenatu esferikoen sistema baliagarria da ere esferikoak ez diren gaina-zalak erabiltzeko. Honako atal bakoitzean R eremu bat definiturik dago koordenatu angelu-zuzenetan. R eremua eta koordentu esferikoetara pasatzerakoan lortutako R′ eremu berriagrafikoki adierazi ((7.52) irudian bezala).

(a) x2 + y2 = z2, z = 1

(b) x2 − y2 = z − 2, x2 + y2 = 1



7.51 Irudia: Koordenatu esferikoak

7.52 Irudia: Koordenatu esferikoetarako aldagai-aldaketa

7.8.5 Integ razio aldag aien aldaketa

D efinitu ditugun bi aldagai-aldaketak erabiliz integrazio-eremu batzuk (zilindroak, esferak,konoak,...) modu errezago batetan adierazten dira. Galdera da, nola aplika daiteke aldagai-aldaketa bat integral hirukoitza kalkulatzerakoan? Ba, integral bikoitzako antzerako mo-duan. (7.53) irudian hiru dimentsioetako aldagai-aldaketa bat adierazten da, non (x, y, z)aldagaiak (u, v, w) aldabai berriez ordezkatzen dira. Aldagai-aldaketa R′ eremuan definiturikdauden hiru funtzioek finkatuta dago: x = h(u, v, w), y = g(u, v, w), z = s(u, v, w), beraien



deribatu partzialak jarraituak izanik eta non (x, y, z) ∈ R puntu bakoitzari (u, v, w) ∈ R′

puntu bakarra dagokion, eta alderantziz.

7.53 Irudia: Aldagai-aldaketa hiru dimentsioetan

Ba, aurreko baldintza guztiak betetzen badira, (7.32) adierazpenak integral bikoitzakalkulatzeko modua ematen digu, (u, v, w) aldagai berriak eta R′ integrazio-eremu berriaerabiliz:

∫∫∫

R

F (x, y, z)dxdydz =

∫∫∫

R′

F (h(u, v, w), g(u, v, w), s(u, v, w)) |J | dudvdw (7.32)

non

J =

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

hu hv hw

gu gv gw

su sv sw

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

(7.33)

N abaritu, integral bikoitzarekin bezala, aldagai-aldaketako (7.32) adierazpenan, J J aco-biarraren balio absolutua agertzen dela, baina orain hiru dimentsioetan. (7.33) ekuazioanagertzen denez, J J akobiarra h(u, v, w), g(u, v, w) eta s(u, v, w) funtzioen deribatu partzialezosatuta dago.

7.38. Ariketa Frogatu koordenatu zilindrikoetarako aldagai-aldaketan J = ρ dela, etaJ = r2 sin ϕ koordenatu esferikoetarako aldaketan. (7.32) ekuazioa erabiliz, idatzi aldagai-aldaketako adierazpenak bi kasu partikular hauetan.



7.8.6 Integral h irukoitzaren beste ap likazioak

O rain arte ikusi dugu nola erabil dezakegun F (x, y, z) funtzio jarraitu baten integral hiru-koitza R eremuan funtzioaren batezbesteko balioa eta R-ren bolumena kalkulatzeko. O rain,F (x, y, z) funtzioaren bidez (x, y, z)∈R puntuan dagoen masa dentsitatea adierazten ba-da, integral bikoitzean aplikatu genuen arrazoibide bera aplikatuz, integral hirukoitza erabildezakegu R-ren masa, G Z(xG, yG, zG) grabitate zentroa eta R−re n ardatz batekiko inertzi-momentua kalkulatzeko:

Masa:

M =

∫∫∫

R

F (x, y, z)dxdydz

G rab itate zentroa:

xG =

∫∫∫

RxF (x, y, z)dxdydz

M

yG =

∫∫∫

RyF (x, y, z)dxdydz

M

zG =

∫∫∫

RzF (x, y, z)dxdydz

M

R-ren inertzi-momentuak OX, OY eta OZ ardatzekiko:

Ix =

∫∫∫

R

(y2 + z2)F (x, y, z)dxdydz

Iy =

∫∫∫

R

(x2 + z2)F (x, y, z)dxdydz

Iz =

∫∫∫

R

(x2 + y2)F (x, y, z)dxdydz

7.8.7 A zp ierem uka jarraituak diren funtzioen integral h irukoitza

Hurrengo garapena integral bikoitzarekin egin genuena bezalakoa da. O rain arte R ere-muan jarraitua den funtzio baten integral hirukoitza kontsideratu dugu. Baina, batzuetan,



F (x, y, z) funtzioa R = R1∪R2 motako eremu batean definituta dago, non R1 eta R2 eremuenarteko ebakigunearen bolumena 0 den, eta F (x, y, z) jarratua da azpieremu bakoitzean, bai-na ez da jarraitua R osoan. Kasu hauetan, F (x, y, z) funtzioaren integral hirukoitza honeladefini daiteke:

∫∫∫

R

F (x, y, z)dxdydz =

∫∫∫

R1

F (x, y, z)dxdydz +

∫∫∫

R2

F (x, y, z)dxdydz

Adibidez, F (x, y, z) R solido bateko puntuetan tenperaturaren banaketa adierazten ba-du, fisikoki oso zaila izaten da F (x, y, z) funtzio eten bat izatea. Baina, desjarraitutasunaohikoa da, adibidez, F (x, y, z) funtzioak (x, y, z)∈R puntuan dagoen masa dentsitatea adie-razten duenean. R eremua masa dentsitate desberdineko material desberdinez (altzairu,kautx u, plastiko,...) osatutako pieza bat izan daiteke, eta orduan R-n kalkulatutako integralhirukoitza beste hiru integral hirukoitzen arteko batura izango da. Definizio hau erabili dai-teke F (x, y, z) funtzioaren batezbesteko balioa kalkulatzeko, R-ren bolumena kalkulatzekoeta aztertu ditugun integralaren beste aplikazioetan.

7.39. Ariketa Izan bedi R (7.54) irudian dagoen prisma triangeluar batek eta prisma lau-kizuzen batek mugatutako solidoa. S uposa dezagun bi prismaetan masa-dentsitatea kons-tantea dela, baina prisma triangeluarena angeluzuzenaren dentsitatearen bikoitza dela.

(a) S olidoaren masa kalkulatu.

(b) Grabitate zentroa kalkulatu.

(c) Zein ardatz koordenatuekiko biratuko da errezago?

7.54 Irudia: (7.39) ariketako eremua


7. K apitulua - OCW · 7.6 Irudia: Geroz eta azpitarte txikiagoak, orduan eta hurbilketa hobeak 4)...

Documents

Transcript of 7. K apitulua - OCW · 7.6 Irudia: Geroz eta azpitarte txikiagoak, orduan eta hurbilketa hobeak 4)...