2do_Seminario Geometría PRE 2014-1

CICLO PREUNIVERSITARIO ADMISIÓN 2014 – 1 2do Material de Estudio

CEPRE-UNI GEOMETRÍA - 1 -

GEOMETRÍA

01. Indique el valor de las siguientes proposiciones: I. En toda circunferencia, los arcos

comprendidos entre cuerdas paralelas son congruentes.

II. Si un trapecio se encuentra inscrito en una circunferencia, a los lados no paralelos le corresponden arcos congruentes.

III. Si un cuadrilátero se encuentra inscrito en una circunferencia y a dos lados opuestos les corresponden arcos congruentes, entonces el cuadrilátero tiene dos lados paralelos.

A) FVV B) VFV C) VVV D) FFV E) VFF

02. En un triángulo ABC, la longitud del

radio de la circunferencia inscrita al triángulo es ru, y la longitud del radio de la circunferencia exinscrita relativa

al lado BC es rau. Entonces, la longitud (en u) de la flecha o sagita de

la cuerda BC es

A) ar r B) a

a

r r

r r C) a

a

2 r r

r r

D) ar r

2

E) ar r

2

03. En una circunferencia C se trazan las

cuerdas AD y BE perpendiculares en

H, en el arco BD se ubica C tal que

AB DC F . Si HE BH u, entonces la longitud de la cuerda

BC (en u) es

A) B) 2 C) 3

D) 2

3 E)

4

04. Los radios de dos circunferencias

miden 9 cm y 12 cm. Si la distancia entre los centros es 15 cm, entonces las circunferencias son A) Tangentes interiores B) Tangentes exteriores C) Exteriores D) Interiores E) Ortogonales

05. En el triángulo ABC, la circunferencia

exinscrita relativa al lado BC , tiene

longitud de radio 18 cm y m A 74 . Entonces aproximadamente, el perímetro (en cm) del triángulo ABC es A) 36 B) 72 C) 64 D) 48 E) 96

06. En la figura O1 y O2 son centros de las circunferencias y los puntos A y C son puntos de tangencia tal que

mAP 2mPM y mCQ 2mQN . Si

AB BC entonces la longitud de

PQ es

A) 2

B) C) 3

D) 2 E) 2

3

O1 O2 M N

P Q

A B C



07. En la figura, AB = a u, CM + ND = b u; A, B, C, D, P, Q y F son puntos de tangencia. Entonces el radio (en u) de la circunferencia menor.

A) a b

2

B)

a b

3

C)

a b

2

D) a b

4

E) a – b

08. En un triángulo rectángulo ABC (recto

en B) se inscribe una circunferencia C

tangente al lado BC en E. Se ubican

los puntos M en BC y N en AC de

manera que MN es tangente a C y

perpendicular a AC . Luego se inscribe una circunferencia en el

triángulo MNC tal que tangente a MC en el punto F, si EF = a, entonces MN es

A) a

3 B)

a

2 C)

3a

4

D) a E) 3a

2

09. En un hexágono convexo ABCDEF se

cumple: m ABC m ACD m ADE m AEF 90 y AB BC CD DE EF 26u AF .

Entonces la suma de las longitudes (en u) de los inradios de los triángulos ABC, ACD, ADE y AEF es

A) 6 B) 7 C) 9 D) 11 E) 13

10. En la figura, las circunferencias son tangentes exteriores dos a dos. Si AP PB BC CD DQ QE au ,

AB BD DE bu , entonces la suma

(en u) de los inradios de los triángulos APB, BCD y DQE es

A) a b

2

B)

a b

2

C)

a b

3

D) a b

3

E) a – b

11. En un cuadrilátero ABCD circunscrito

a una circunferencia, sus diagonales se intersecan perpendicularmente en el punto O. Si los inradios de los triángulos AOB, BOC y COD miden r1, r2 y r3 respectivamente, entonces el inradio del triángulo AOD es

A) 1 2 3r r r B) 1 3 2r r r

C) 1 2 3r r r D) 2 3 1r r r

E) 1 2 3r r r

2

12. C es la circunferencia inscrita en un

triángulo ABC tal que AB 10 u y

BC 6u . Se traza el segmento DE

tangente a C (D AB y E AC ) de

manera que AE EC . Si m DAC 48 y m DEA 66

entonces la longitud (en u) del

segmento DE mide

A

F

E Q

P

B

D C

C M N D

F P

Q

A

B



A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5

13. Se tienen dos circunferencias

exteriores C1 y C2; se trazan MN y PQ

tangentes a C 1 y C2 (M y P en

C 1; N y Q en C2). Luego en MN se

ubican los puntos A y D; y en PQ los

puntos B y C tal que AB y CD son

tangentes a C1 y C2 respectivamente y

el cuadrilátero ABCD es circunscrito a una circunferencia. Si PB CQ ,

entonces la longitud de AD es

A) 2

B) C) 2

D) 3

2 E) 4

14. En un cuadrilátero ABCD circunscrito

a una circunferencia AB 7k y BC k . Si m ADC 90 y

m ACD 60 , entonces la longitud del radio de la circunferencia inscrita en el triángulo ADC es A) k B) 3k C) 4k

D) 2 k E) 3 k

15. En un cuadrilátero ABCD,

m BAD 90 , BC es perpendicular a

CD y BC CD . Se ubica F en AD de manera que FBCD es un cuadrilátero circunscrito a una

circunferencia y se traza CQ

perpendicular a FD , de manera que FQ a y CQ QD b . Entonces la

longitud del radio de la circunferencia inscrita en el triángulo BAF es

A) b – a B) 2b – a C) a b

2

D) ab E) ab

a b

16. En la figura ABCD es un cuadrilátero y las circunferencias están inscritos en los polígonos ABCP y DPC. Si se cumple: BC AP AB CD 1 , entonces x aproximadamente es

A) 14 B) 53 C) 37 D) 45 E) 16

17. Indique el valor de verdad de las siguientes proposiciones: I. Todo paralelogramo es exinscrito

a una circunferencia. II. Todo trapezoide simétrico es

exinscriptible. III. Todo cuadrilátero de diagonales

perpendiculares es exinscriptible. IV. En todo cuadrilátero exinscrito a

una circunferencia, la diferencia de las longitudes de dos lados opuestos es igual a la diferencia de las longitudes de los otros dos lados.

A) VFFV B) VVVV C) FVFV D) FVVF E) FVVV

18. Un cuadrilátero ABCD es exinscrito a una circunferencia C tal que

BC AD M , AB DC N . Si el perímetro del triángulo ABM es 27 cm, entonces el perímetro (en cm) del triángulo ADN es A) 13,5 B) 20,0 C) 27,0 D) 36,0 E) 54,0

A D

C

B

P

x

1



19. En un triángulo ABC se traza la

ceviana BD tal que AD BC . Si m BCA 20 y m BAC 30 ,

entonces m DBC es

A) 10 B) 15 C) 18 D) 20 E) 25

20. En la figura mostrada O es el centro

de la circunferencia NQ QP . Si m ONM 70 , entonces el valor de x

es

A) 30 B) 35 C) 40 D) 45 E) 60

21. En un triángulo ABC, m ABC 96 y m BCA 30 . Si se traza la ceviana

AQ tal que AB QC , entonces la medida del ángulo QAC es A) 6 B) 12 C) 18 D) 24 E) 30

22. En una circunferencia inscribe el triángulo equilátero ABC. Se ubica el

punto M en el arco BC . Demuestre

que AM BM MC

23. En un triángulo ABC, la recta

mediatriz del lado AC intercepta en la circunferencia circunscrita al triángulo en el punto M. La prolongación de la

cuerda MB intercepta a la

prolongación del lado AC en el punto

E. Demuestre que BE es la bisectriz exterior del triángulo ABC.

24. Dos circunferencias C1 y C2 de centros

O1 y O2 respectivamente se intersectan en los puntos M y N. Por M se traza una secante que intersecta a C1 en A y C2 en B, además C1 y C2

intersectan a 1 2O O en P y Q si

mAM mMB ; entonces la medida

del ángulo PNQ es

A) 904

B) 45

4

C) 90

4

D) 454

E) 135

2

25. Dos circunferencias C1 y C2 se

interceptan en P y Q, se traza la

cuerda AQ de C1; cuya prolongación

intercepta a C2 en el punto B. Sí

la mAQ mQB 100 ,entonces la

ángulo que determinan las rectas tangentes trazadas aC1 y C2 por el

punto P mide: A) 40 B) 50 C) 60 D) 80 E) 100

26. Dos circunferencias C1 y C2 se

interceptan en A y B, por el punto A se traza la recta secante C – A – D y

las rectas tangentes AT y AQ a las

circunferencias C2 y C1

respectivamente, si la m TAQ , entonces lam CBD es

A) 45 B) 90 C) 90

D) 180 E) 180 2

27. De la figura: A, B y T son puntos de

tangencias, sí la m EF 110 y la

m ATB 70 ,entonces lamCTDes

x M P

O

N Q

F

E D

C

T

B

A



A) 20 B) 25 C) 30 D) 35 E) 40

28. Se tienen dos circunferencias concéntricas, se trazan las cuerdas

AB , PQ y PT en la circunferencia

mayor tangentes a la circunferencia

menor, sí m QT 100 , entonces la

medida del ángulo que determinan

AT y QB es

A) 40 B) 45 C) 55 D) 60 E) 65

29. En un triángulo ABC, O, I y H son el circuncentro, el incentro y ortocentro respectivamente, si m BAC 32 y

m ACB 88 , entonces m OIH es

A) 148 B) 150 C) 152 D) 154 E) 156

30. ABCD es un cuadrilátero inscrito en una circunferencia. Se trazan

AQ BD , CR BD , BE AC y

DP AC , estando Q, P, R y E sobre las diagonales. Si

2 m EQR 3 m EPR 200

entonces m BC es

A) 70 B) 80 C) 50 D) 40 E) 100

31. En un triángulo ABC se traza la altura

BF ; luego se trazan FM y FN

perpendicular a los lados AB y BC , respectivamente si m NAM ,

entonces m MCN es

A) 2 B) C) 2

D) 2

3

E)

3

5

32. En un triángulo ABC se traza la altura

BH y en BH se ubica el punto M. Si

m BAM 2m MAC y m HBC 30 m MAC ; entonces la

medida del ángulo MCB es A) 15 B) 30 C) 36 D) 45 E) 48

33. En un triángulo ABC; se trazan las

cevianas AD y CE tales que se intersectan en el punto P y en el interior del triángulo APC se ubica el

punto I tal que AD y AI trisecan al

ángulo BAC; del mismo modo CE y

CI al ángulo ACB. Si m ABC 45 , entonces la medida del ángulo EID es A) 30 B) 45 C) 60 D) 75 E) 90

34. En un cuadrilátero convexo ABCD, m ADB 2m ACB 60 . Si

m ABD 2m ACD 34 , entonces las diagonales determinan un ángulo que mide A) 72 B) 74 C) 75 D) 76 E) 77

35. Los puntos A, B, C y D constituyen una cuaterna armónica, si A – B – C,

B – C – D y AB AD

BC CD , entonces

demuestre que 2 1 1

AC AB AD

36. Sobre una recta se ubican los puntos

consecutivos A; B; C y D tal que BC es media proporcional entre los

segmentos AB y CD . Si la razón de

los segmentos AB y CD es k entonces la razón de los segmentos

AC y BD es

A) k B) k

2 C) k

D) 1

k E)

1

k



37. En un triángulo ABC, se dibuja el

rombo BDEF (D en BC , E en AC y F

en AB ). Si AB c y BC a , entonces la longitud del lado del rombo es

A) a c

ac

B)

a c

2

C)

ac

a c

D) 2ac

a c E)

a c

2ac

38. En un triángulo ABC se trazan las

cevianas AD y BE que se intersecan en el punto O, por D se traza una

paralela a BE que intercepta a AC en F. Si AF FC , BD 6u , CD 9u y

OD 8u , entonces AO (en u) es

A) 2 B) 4 C) 6 D) 8 E) 9

39. C1 y C2 son dos circunferencias tangentes exteriores en el punto B; A

y P son puntos tales que 1A C y

2AB C Q , 1P C y

2PB C D . Si AB 15 cm ,

BQ 9 cm y PB 12 cm , entonces

BD (en cm) es A) 7,2 B) 8,4 C) 6 D) 9,6 E) 6,4

40. Dos circunferencias C1 y C2 son

tangentes interiores en el punto A; en

C1 se traza la cuerda CQ tangente a

C2 en el punto P tal que

AP CQ T y 2AC B C ;

luego se traza la recta DT tangente a

C1 en el punto T D AC . Si AC a

y CD b , entonces la longitud de BC es

A) ab B) a b

2

C)

ab

a b

D) 2ab

a b E) 2 2a b

41. En un triángulo ABC, se traza

MN // AC (M en AB y N en BC )

luego MQ // AN (Q en BN ). Si QN 5 cm y NC 8 cm , entonces la

longitud (en cm) de BQ es

A) 7 B) 8 C) 25

3

D) 27

4 E)

29

3

42. En un triángulo ABC, se trazan las

cevianas AD, BF y CE de manera que BD 2CD , AE 2BE y CF 2AF . Si

CE BF P , AD BF Q y

usando solamente el teorema de Thales, entonces la relación entre BP, PQ y QF es

A) BP PQ QF

2 1 3

B) 15

BP PQ QF7

C) BP PQ QF

1 3 2

D) BP PQ QF

5 4 3

E) BP = PQ = 3QF

43. En una circunferencia de centro O se trazan los diámetros perpendiculares

AB y CD . La cuerda AP intercepta al

radio OC en M tal que MC 3MO . Si

la cuerda PD intercepta a OB en F y OB 10 cm , entonces la longitud

(en cm) de OF es A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 8

44. En un triángulo MNP, se traza la

bisectriz interior NQ Q MP , luego

se traza QS // MN S NH . Si

QS 2 u , QM 5 u y MP 8u ,

entonces la suma de las longitudes

(en u) de los lados MN y NP es



A) 6,5 B) 7,0 C) 8,0 D) 8,53 E) 9,0

45. En un trapecio ABCD isósceles

AB // CD se inscribe una

circunferencia. En la prolongación del

lado AD se ubica el punto M. Por M se traza una recta tangente a la circunferencia, dicha recta intercepta

a CD en P, a BC en Q y a la

prolongación de AB en N, respectivamente. Si MP a y PQ b

(a > b) entonces la longitud de QN es

A) b a b

a b

B)

b a b

a b

C) a a b

a b

D)

a a b

a b

E) 2ab

a b

46. ABC es un triángulo acutángulo se

trazan las bisectrices BD y AE interceptándose en I. Si BI 5 u ,

ID 3 u y AC 9 u , entonces el

perímetro (en u) del triángulo ABC es A) 20 B) 22 C) 24 D) 26 E) 30

47. En un triángulo ABC, sus lados AB ,

BC y AC están en progresión aritmética, en dicho triángulo se

trazan las bisectrices AM , BN y CF

( M BC , N AC y F AB ), que

concurren en I; Q AI , D CI ;

NQ // CI , ND // AI , luego BQ y BD

intersectan a IF e IM en P y E. Indique cual de las proposiciones son verdaderas:

I. PE // QD II. BP = (2PQ) III. BP = 3(PQ) A) Solo III B) I y II C) I y III D) I, II y III E) Solo II

48. En un triángulo ABC se traza la

bisectriz interior BD y la ceviana AE

que biseca a BD . Si EC 3 u y

BE 1u , entonces AB (en u) es

A) 2 B) 4 C) 6 D) 8 E) 10


medianas CN y BM las que se intersecan en G; luego se ubica D en

BG tal que BD 2DG y

AD CN E ,si CG a , entonces EG es

A) 3a

4 B)

2a

3 C)

a

2

D) a

3 E)

a

4

50. En un triángulo ABC, BC a , AC b

y AB c se trazan las bisectrices

interiores CD y AE tal que la

prolongación de DE intersecta a la

prolongación de AC en F. Entonces CF es

A) ac

a b c B)

ab

c b

C) abc

a b D)

ab

c a

E) bc

a b c

51. Enuncie y demuestre el teorema de

Ceva.


cevianas AD ; BE y CF concurrentes en el punto P, tales que

AP EF Q ; CP ED T y

BQ AE M .Si AM 3 u y

ME 2 u ,entonces la longitud (en u)

del segmento CE es A) 4 B) 6 C) 8 D) 10 E) 12



53. Indique el valor de verdad de las siguientes proposiciones: I. Dado el triángulo ABC acutángulo

se trazan las alturas AD y CF, entonces los triángulos ABC y DBF son semejantes.

II. Dado el cuadrilátero ABCD,

BC // AD , AB es la altura y AC

es perpendicular a BD , entonces los triángulos CBA y BAD son semejantes.

III. Dado el cuadrilátero ABPQ inscrito en una circunferencia de manera

que AB BPQ , BP AQ C ,

entonces los triángulos ABP y CBA son semejantes.

A) VVV B) VFV C) FFF D) VFF E) FFV

54. En la figura se muestra el triángulo QMN. Si MQ n y NQ m , entonces

el perímetro del cuadrado que limita la región sombreada es

A) 4m

m n B)

2mn

m n C)

4mn

m n

D) 4n

m n E)

mn

m n

55. En la figura mostrada el triángulo ABC

es isósceles, AB BC , AM , MN y

AC son tangentes a la semicircunferencia. Si AM a y

NC b , entonces AC es

A) a b B) 2 a b

C) 3 a b D) 4 a b

E) 5 a b

56. En un triángulo ABC, G es el

baricentro y L es la recta secante a

lado AC trazada desde B, si A y C distan de la recta L en 2 m y 8 m, entonces la distancia (en m) de G a L es

A) 1

2 B) 1 C)

3

2

D) 2 E) 5

2

57. En un triángulo ABC, AB = BC = 6 cm

y AC = 8 cm. P y Q son puntos tales

que P AB y Q BC . Si PQ // AC y

PQ es tangente a la circunferencia inscrita, entonces PQ (en cm) es A) 2,4 B) 1,5 C) 1,6 D) 1,8 E) 2,5

58. En la figura, AB es diámetro, P y Q son excentros de los triángulos AHC y CHB. Si PM a y QN b , entonces

CH es

A C

M

N

B

Q N

M



A) ab B) 2 ab C) 2ab

D) ab

2 E)

ab

a b

59. En un triángulo MNP, MN NP ;

1MN , 2NP . Se traza la bisectriz

exterior NQ Q MP . Si R es un

punto tal que R MN y QR // NP entonces QR es

A) 1 2

1 2 B) 1 2

1 2

C) 1 2

1 22 D)

1 1 2

2

E) 2 1 2

1 2

60. En una semicircunferencia de

diámetro AB y centro O, una recta

secante intersecta al arco AB en los puntos E y D. Luego se trazan

EF AB y DG AB . Si BG 1cm y

FG 8 cm , entonces la distancia

(en cm) de B a la recta ED es

A) 2 3 B) 3 C) 3,5

D) 4 E) 5 2

61. Indique el valor de verdad de las

siguientes proposiciones: I. Todos los triángulos equiláteros

son semejantes.

II. Todos los rectángulos son semejantes.

III. Todas las circunferencias son semejantes.

A) VVV B) VVF C) VFF D) VFV E) FVF

62. En un triángulo ABC; m BAC 90 y

m ACB 30 . Se traza la ceviana BQ

tal que AB QC ; entonces la medida del ángulo ABQ es A) 24 B) 30 C) 36 D) 37 E) 48

63. En un triángulo acutángulo MNP, se

traza la altura NQ . Si la prolongación

de NQ intercepta a la circunferencia circunscrita al triángulo MNP en el punto S. Si H es el ortocentro y C es el circuncentro entonces:

m MNQ HQ

m CNP QS

es

A) 0 B) 1 C) 2

D) 1

2 E)

3

2

64. En el triángulo ABC, AB 2 u y

BC 3 u . Si m ABC 60 , entonces

la distancia (en u) del circuncentro al baricentro es

A) 2

3 B)

3

2 C)

1

2

D) 1

3 E)

1

4

65. En un triángulo ABC, m ABC 60 ,

se traza la recta de Euler que

intersecta a AB y BC en los puntos M y N. Demuestre que el triángulo MBN es equilátero.

66. En un triángulo acutángulo ABC, H es

el ortocentro, si HB AC y HB entonces la longitud del radio de la circunferencia de Euler mide

A B

C

M N

H

P

Q



A) 2

B) 3

C) 22

D) 24

E) 23

67. En un triángulo ABC, obtuso en B, su

ortocentro es H y su circuncentro es O. Si BH OC , entonces la medida del ángulo que determina la recta de

Euler con el lado BC es A) 30 B) 45 C) 60 D) 72 E) 75

68. En un triángulo acutángulo ABC de ortocentro H y circuncentro O,

trazamos la altura AM , si m BHM 37 , la distancia del centro de la circunferencia de los nueve

puntos a AC es 5 u y a BH es 4 u, entonces AC (en u) es A) 22 B) 20 C) 19 D) 18 E) 16

69. En un triángulo rectángulo la hipotenusa y la altura relativa a ella miden 25 u y 12 u respectivamente. Entonces la suma de las distancias (en u) del pie de la altura mencionada a los catetos es A) 15,6 B) 15,8 C) 16,2 D) 16,4 E) 16,8

70. En un trapecio ABCD BC // AD , se

trazan las bisectrices de los vértices C y D que se intersectan en el punto E. Si EC 3 u y ED 4 u , entonces la

altura (en u) del trapecio es

A) 20

5 B)

22

5 C)

24

5

D) 26

5 E)

28

5

71. En un triángulo ABC recto en B, se

traza la altura BH . Por el punto H se

trazan las perpendiculares HM y HN

a los catetos AB y BC , respectivamente. Si AM m y CN n ,

entonces la longitud de AC es

A) 2/3 2/3 2/3AC m n

B) AC mn

C) AC 2 mn

D) mn

ACm n

E) 1/3

2/3 2/3AC m n

72. En un triángulo rectángulo ABC se

trazan la altura BH y las bisectrices

interiores AM y CN que intersectan a

la altura BH en E y F. Si

2AM ME 2 m y 2CN FN 2n ;

entonces la longitud de EF es A) 2m – n B) m – 2n C) m – n

D) m n

2

E)

m n

2

73. En un triángulo rectángulo ABC, recto

en B, se traza la altura BH. Si el producto de la hipotenusa por la distancia del punto H a los catetos del triángulo ABC es 27 000 u3, entonces BH (en u) es A) 10 B) 15 C) 20 D) 25 E) 30

74. En un cuadrado ABCD se traza

MN AD (M en BC , N en AD ), MN intersecta a la semicircunferencia de

diámetro AD en el punto E si AE a

y la distancia de B al segmento AM es b, entonces AM es

A) 2a

b B)

a b

2

C) ab

D) 2b

a E)

2a

b



75. En la figura mostrada, las circunferencias son tangentes exteriores. A, B, C y D son puntos de tangencia. Si los radios de las circunferencias miden a y b, entonces AO es

A) 2ab

2 2ab a b

B) 2ab

2 2ab a b

C) 2ab

a b ab

D) a b 2 ab

E) 2ab

a b

76. En un triángulo ABC recto en B, se

traza la altura BH y la bisectriz AF que se interceptan en Q. Si

2AF QF 24 u , entonces BQ (en u)

es

A) 2 B) 2 3 C) 6

D) 3 E) 4

77. En la figura mostrada, O es el centro de la semicircunferencia y T es punto

de tangencia. Si 2AB BC 16 u ,

entonces BD (en u) es

A) 3 B) 4 C) 2 2

D) 4 2 E) 3 2

78. En un cuadrante AOB AO OB ,

considerando como centro B se traza una circunferencia que intercepta a

OB en F. Desde A y O se trazan las

tangentes AQ y OP a dicha circunferencia (P y Q son puntos de tangencia). Si AQ a y OP b ,

entonces BF es

A) 2 2a b B) 2 2a 2b

C) 2 2a 2b D) 2 22a b

E) 2 22a b

79. En un triángulo rectángulo ABC se

traza la altura BH . Si los inradios de los triángulos AHB, BHC y ABC,

miden respectivamente 1r , 2r y 3r ,

demuestre que 2 2 23 1 2r r r .

80. Según el gráfico, demuestre que

2 2 2a b c

O D C

B

A

T

10 30

40 30 20

a b

c

A

D

B

C O



81. En el interior del cuarto de círculo OAB, de centro O, se trazan dos

semicircunferencias de diámetros OA

y OB . Si OA OB 2a , entonces el

radio de la circunferencia tangente al arco AB y a las citadas semicircunferencias, mide

A) 2a 6 3 2

17

B)

2a 6 3 2

14

C) 2a 4 5

17

D)

2a 5 2 2

17

E) 2a 6 3 2

14

82. En un triángulo acutángulo ABC se

trazan las alturas AH y CN . Si

1AB.AN y 2CB.CH , entonces

AC es

A) 1 2 B) 2 21 2

C) 1 2

2 21 2

D) 2 21 2

E) 1 2

83. Se tiene una hilera A, B y C con

diámetros AB y AC se trazan a un mismo lado de la hilera dos semicircunferencias, AB = 2a, BC = b, con centro en C y radio CB se traza el

arco BP, P AC . Entonces la longitud de radio de la circunferencia inscrita en el triángulo curvilíneo ABP es

A)

2 2

ab a b

2a b 2ab

B)

2ab

a b

C) 1

ab2

D) 2

a b

E) a b

2

84. En un cuadrado ABCD se inscribe

una circunferencia y con centro en D

se traza el arco AC que la intercepta

en P y Q. Si 4AB 8 5 2 u

7 .

Calcule la longitud (en u) de la flecha

comprendida entre PQ y AC es

A) 1

2 B)

3

2 C) 1

D) 1

4 E)

5

4

85. En un cuadrilátero convexo

ABCD, AB CD , AD 8k ,

BD k 34 y BC 6k . Si

m BDA m BAD m BDC , entonces AB es

A) 3k

2 B) 4k C)

9k

2

D) 5k E) 11k

2

86. Se tiene una hilera A, B y C; a un

mismo lado de la hilera se trazan las semicircunferencias de diámetros de AB y AC de manera que AB = BC = R, se traza una circunferencia de centro Q tangente al segmento BC y a los arcos AB y AC. Entonces la longitud del radio de la circunferencia tangente a la circunferencia de centro Q y de los arcos AB y AC es

A) 4

R9

B) 1

R3

C) 4

R17

D) 5

R17

E) 5

R9

87. En un triángulo ABC, AB 9 u ,

BC 13 u y la mediana BM es

congruente con el lado AC . Entonces la distancia (en u) del baricentro al

lado AC es

A) 3 B) 2 C) 3

D) 3 7

2 E)

414

5



88. En un cuadrilátero convexo, ABCD, M

es punto medio de AC y N punto

medio de BD . Demuestre que 2 2 2 2 2 2 2AB BC CD AD AC BD 4MN

89. En un heptágono regular ABCDEFG,

se cumple 1 1 1

uBF CE 2

. Entonces

la longitud (en u) del segmento que tiene por extremos los puntos medios

de CF y BD es

A) 2 B) 2 C) 1,5

D) 1 E) 0,5

90. En un cuadrilátero ABCD, los ángulos B y D son rectos; AC 17 u y

BD 15 u . Entonces la longitud (en u)

del segmento que une los puntos medios de las diagonales es

A) 2 B) 3 C) 3

D) 4 E) 5

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