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Dimensin y conjuntos de

Julia

Mnica Moreno Rocha1

1 Introduccin: el concepto de dimensin

La mayora de nosotros tenemos una idea intuitiva de lo que significa la

dimensin de un objeto. En general, un

objeto que tiene ancho, altura y grosor

lo consideramos tridimensional; aquel

que slo tienen longitud y altura le

llamamos bidimensional, y el que slo

tienen longitud lo consideramos

unidimensional. Otra forma de entender

dimensin es al considerar los grados de

libertad de movimiento independiente:

si un objeto tiene un nico grado de

libertad (por ejemplo, piense en una

1 Investigador Asociado "C", SNI: Nivel I, Grupo de Sistemas Dinmicos. Obtuvo su doctorado en el 2002 en la Universidad de Boston, EUA. Sus reas de inters son: sistemas dinmicos Holomorfos y teora del contnuo.

hormiga caminando sobre un lnea recta

horizontal, donde su movimiento est

restringido a las direcciones izquierda y

derecha) le consideramos

unidimensional. Si hay dos grados de

libertad de movimiento independiente

(movimiento generado por la

combinacin izquierda-derecha y

arriba-abajo), le llamamos

bidimensional. Tres grados de libertad o

ninguna corresponden pues a objetos

tridimensionales o a los de dimensin

cero, respectivamente.

Notemos que sta

caracterizacin tiene sus problemas:

cul es la dimensin de una curva en el

espacio tridimensional? Considere la

misma hormiga subiendo ahora por una

curva helicoidal: ahora su movimiento

es de abajo hacia arriba y de izquierda a

derecha, s pues la helicoidal

bidimensional? No, la curva sigue

siendo unidimensional, pues la clave

est en el trmino movimiento

independiente.

Nuestro objetivo es

proporcionarle al lector una definicin

formal del concepto de dimensin desde

el punto de vista matemtico. A partir

de all abordaremos una generalizacin

de dimensin la cual permite estudiar

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objetos fractales. Concluiremos con una

descripcin de la investigacin actual

realizada en el CIMAT y financiada por

CONCYTEG sobre dimensin de

Hausdorff aplicada a un tipo especfico

de conjuntos fractales: los conjuntos de

Julia.

2Dimensin topolgica

El concepto de dimensin topolgica

requiere de ciertas definiciones y

conceptos de la Topologa, la rama de

las matemticas que estudia la

estructura global de un objeto. A forma

de ejemplo, considere una esfera y un

cubo, estos son el mismo objeto para la

topologa ya que uno se puede deformar

en el otro (sin cortar o romper)

independientemente de sus

dimensiones, color, textura, etc. Por

otro lado, una esfera no pude

deformarse en una tasa sin tener que

hacer un orificio en la esfera para

formar el asa.

Comencemos con un espacio

mtrico X y una funcin de distancia

dada por

Una bola abierta centrada en x y de

radio r se define como el conjunto de

puntos que estn a distancia

estrictamente menor que r, y se denota

por

Un subconjunto A de X se dice

abierto si es la unin arbitraria de bolas

abiertas. Decimos que A es cerrado si su

complemento X\A, es abierto.

En la lnea real, los intervalos

]0,1[ y [0,1] son ejemplos de un

conjunto abierto y uno cerrado,

respectivamente.

Como hemos mencionado, la

Topologa no requiere de conceptos de

distancia, por lo que podemos

prescindir de la funcin d(x,y) y trabajar

en un espacio topolgico: diremos que

X es un espacio topolgico si podemos

elegir una coleccin C de subconjuntos

en X que definimos como los abiertos

de X. Esta coleccin debe satisfacer los

siguientes axiomas:

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1. X y el conjunto vaco son abiertos (por lo tanto estn

contenidos en C).

2. La unin de dos conjuntos

abiertos es un abierto.

3. La interseccin de un nmero

finito de abiertos es un abierto.

Dado un subconjunto A de X,

decimos que A tiene una cubierta

abierta si existe una coleccin E de

abiertos en X tal que

esto es, A est contenido en la unin de

todos los conjuntos en E.

Un refinamiento de la cubierta E

es otra cubierta E tal que cada conjunto

V en E est contenido en algn U de E

(ver Figura 1).

Figura 1: Los discos de borde rojo representan el refinamiento E de la cubierta E compuesta por discos de borde azul.

Pasemos ahora a la definicin

central de esta seccin: un espacio

topolgico X tiene dimensin d si cada

cubierta E tiene un refinamiento E para

la cual, cada punto x X est contenido en, a lo ms, d+1

subconjuntos de E. Adems, d es el

entero ms pequeo con esta propiedad.

Pongamos a prueba esta

definicin: una coleccin finita de

puntos tiene dimensin cero, ya que

cada punto se cubre con una bola

abierta centrada en l y cualquier

refinamiento de sta cubierta implica

reducir el radio de la bola (ver Figura

2).

Figura 2: Cada punto puede cubrirse con d+1=1 abiertos y subsecuentes refinamientos siguen cumpliendo esta propiedad, por lo que d=0.

En cambio, la curva helicoidal

puede cubrirse con bolas abiertas

tridimensionales: cada refinamiento

puede elegirse de tal forma que cada

punto x sobre la curva est contenido en

no ms de d+1=2 bolas abiertas de

menor tamao. Esto se logra al cubrir la

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curva siguiendo su trayectoria suave,

si sta fuese muy irregular, podramos

necesitar de ms abiertos (ver Figura 3).

Figura 3: A la izquierda se tiene la curva helicoidal y cubiertas con intersecciones a pares. A la derecha se muestra una curva irregular con un refinamiento en rojo que presenta intersecciones de tres o ms abiertos.

Notemos que la curva irregular

de la Figura 3 tiene dimensin

topolgica d=1, ya que se puede refinar

la cubierta hasta lograr que el dimetro

de cada abierto sea menor a la longitud

de los segmentos que conforman la

curva. A partir de all, cada punto ser

cubierto por a lo ms dos abiertos.

Este ejemplo nos lleva a

considerar la siguiente pregunta: es

posible construir una curva tan irregular

que sea imposible calcular su dimensin

topolgica?

3 Dos Ejemplos

En 1904, Helge von Koch public un

artculo donde reportaba la existencia de

una curva tal que, para cada punto en

ella, no exista una lnea tangente a la

curva que pasara por dicho punto (en

otras palabras, la curva no era

diferenciable). La ahora llamada curva

de Koch (ver Figura 4) es el ejemplo de

una curva totalmente irregular y que no

contiene segmentos de lnea.

Figura 4: La curva de Koch.

La curva de Koch tambin tiene la

propiedad de autosimilitud, esto es, la

curva contiene copias a escala de s

misma. De la Figura 4 es posible

apreciar cuatro copias a menor escala de

la curva original, y cada copia con

cuatro copias ms pequeas y stas a la

vez con cuatro copias apenas

perceptibles.

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La construccin de sta curva se

logra por medio del siguiente proceso

iterativo (ver Figura 5):

1. Considere una lnea recta

horizontal de longitud 1.

2. Dividir la recta en tres partes

iguales, removiendo el tercio

medio.

3. Aadir en el tercio medio un

tringulo equiltero sin su base.

Repetir el paso 2 y 3 a los

segmentos resultantes. En el lmite de

este proceso iterativo se obtiene la

curva de Koch.

Figura 5: El proceso iterativo de la construccin.

Este proceso tambin nos brinda

una idea de cmo construir cubiertas

abiertas: podemos elegir bolas abiertas

B(xi,ri) centradas en el punto medio xi

de cada segmento de la construccin y

de radio ri mayor que la longitud del

segmento dividido por 2. En cada paso

de iteracin, las cubiertas se refinan por

un factor de magnificacin M=2 y a lo

ms dos bolas contendrn el mismo

punto. A partir de estas cubiertas es

posible verificar que la dimensin

topolgica de la curva de Koch es d=1.

En 1915 el matemtico polaco

Waclaw Sierpinski dio a conocer una

curva donde cada punto en ella es un

punto de ramificacin, esto significa

que cada punto tiene tres o ms

segmentos que emanan de l (por

ejemplo, las letras E, Y y T contienen

un nico punto de ramificacin,

mientras que la L, M y N no contienen

ninguno). Su ejemplo, ahora conocido

como el Triangulo de Sierpinski, puede

tambin describirse de una forma

recursiva (ver Figura 6):

1. Considere un tringulo

equiltero slido, denotado por

T0 con base de longitud 1.

2. Remueva el interior del

tringulo equiltero central

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construido al conectar los puntos

medios de cada lado de T0 .

Denote el objeto resultante por

T1 (note que los tringulos en T1

tienen la mitad del tamao de T0

por lo que su factor de magnitud

es 2).

3. Repita el paso 2 a cada uno de

los tringulos equilteros que

conforman T1 para obtener T2 .

Recursivamente elimine el

tringulo equiltero central de cada uno

de los 3k tringulos que conforman Tk

para obtener 3k+1 tringulos (con factor

de magnitud 2k) que conforman a Tk+1.

En el lmite de este proceso, se obtiene

el tringulo de Sierpinski que

denotaremos por T.

Figura 6: La construccin del tringulo de Sierpinski.

En base a la construccin, es

fcil ver que T es autosimilar: para cada

entero k>0 existen 3k+1 copias de T y

cada copia tiene un factor de magnitud

2k. No intentaremos probar que T en

realidad es una curva en el plano donde

cada punto es un punto de ramificacin

y dejaremos al lector verificar que su

dimensin topolgica es d=1.

4 Dimensin de Hausdorff

En 1918 el matemtico Felix Hausdorff

public una generalizacin del concepto

de dimensin donde d puede ser un

nmero real no negativo, lo que permite

hablar de dimensiones con parte

fraccionaria. Los objetos con dimensin

fraccionaria son llamados conjuntos

fractales (formalizaremos esta

definicin ms adelante). Aunque se ha

conocido la existencia de conjuntos

fractales desde principios del siglo XX,

su estudio formal tom auge a partir de

los trabajos de Benoit Mandelbrot en las

pasadas dcadas de los 70s y 80s.

Actualmente, la teora de fractales y la

dimension fraccionaria tienen una gama

amplia de aplicaciones a la ciencia,

como lo son en el estudio de

turbulencias, el crecimiento de plantas o

el movimiento Browniano de partculas,

la distribucin de galaxias en el

universo, etctera.

Para simplificar la exposicin,

supongamos lo siguiente:

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Sea B = {U j} una cubierta abierta (contable) del conjunto S y definamos el

tamao de S por

el supremo tomado sobre todos los

elementos de la cubierta B. Definimos

la medida m-dimensional de Hausdorff

H m (S) por

donde el nfimo se toma sobre todas las

cubiertas contables B = {U j} de S cuyo tamao es menor o igual que . A medida que decrece, el nfimo no puede decrecer y por lo tanto el lmite

existe, con lo que 0 H m (S) . A partir de la medida m-

dimensional de Hausdorff podemos

ahora definir la dimensin de Hausdorff

de un conjunto S no vaco, como el

nmero real dH (S) que satisface

Esto es, dH (S) es el nico valor

real para el cual, si m < dH (S) , entonces

la medida H m (S) = (de cierta forma, la escala con la que medimos S es muy

fina) mientras que si m > dH (S) entonces H m (S) = 0 (la escala es demasiado grande). Notemos que si

d = dH (S), entonces H d (S) puede tomar cualquier valor no negativo,

incluyendo . Podemos ahora definir un

conjunto fractal como aquel cuya

dimensin de Hausdorff es mayor que

su dimensin topolgica. Cabe notar

que en general la dimensin de

Hausdorff es difcil de calcular

directamente, aunque para los ejemplos

dados en la seccin anterior esto es

posible gracias a la condicin de

autosimilitud. Si un conjunto A es

autosimilar tal que para cada entero n>0

existen Pn piezas autosimilares y cada

pieza tiene un factor de contraccin

0 < Mn 0

existen 4n subconjuntos tales que

pueden magnificarse por un factor de

3n . Al resolver la ecuacin, tenemos

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Similarmente, para el tringulo

de Sierpinski, se tiene

5 Dimensin de conjuntos de Julia

La Dinmica Holomorfa es una rama de

las matemticas que estudia el

comportamiento asinttico de puntos en

el plano complejo bajo interacin de

funciones holomorfas (por ejemplo,

polinomios, funciones racionales,

ciertas funciones trigonomtricas, entre

otras). Los orgenes de la dinmica

holomorfa se remontan a 1920 con los

trabajos de Pierre Fatou y Gaston Julia,

dando los fundamentos de la teora de

iteraciones. En 1982 Benoit Mandelbrot

produjo las primeras imgenes de

computadora del conjunto ahora

conocido como conjunto de Mandelbrot

(ver Figura 7), el cual est asociado a la

iteracin de polinomios cuadrticos de

la forma

donde el polinomio, z y c toman valores

complejos.

De forma sucinta, podemos

definir el conjunto de Mandelbrot por

Esto es, M es la coleccin de

todos los valores del parmetro c tal que

la rbita del origen no converge a

infinito. El conjunto de Julia (o

conjunto catico del polinomio) se

define por

esto es, la frontera del conjunto de

puntos que escapan a infinito bajo

iteracin. El conjunto de Fatou Fc se

define como el complemento de Jc .

Los conjuntos de Julia para

polinomios (y para muchas otras

funciones holomorfas) son ejemplos de

conjuntos fractales: presentan una cierta

forma de autosimilitud y su dimensin

de Hausdorff es, en la gran mayora de

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los casos, mayor que su dimensin

topolgica (ver Figura 8).

Figura 7: El conjunto de Mandelbrot asociado a la familia de polinomios cuadrticos Pc .

En raras ocasiones se ha logrado

calcular explcitamente la dimensin de

Hausdorff para ciertos conjuntos de

Julia, aunque con ayuda de los

ordenadores es posible implementar

algoritmos que estimen con gran

precisin la dimensin de Jc utilizando

cubiertas abiertas. Sin embargo, estos

clculos no son suficientes desde el

punto de vista matemtico: es necesario

formalizar dichas estimaciones

encontrando (y probando la existencia

de) cotas para dH (Jc ). Observemos que

para cada podemos encontrar una cubierta B = {U j} de Jc con diam(U j ) < y

Por lo que, para cada ,

H m (Jc ) 1 y por lo tanto dH (Jc ) 2, lo que nos d una cota superior para la

dimensin de Hausdorff. La idea es

pues encontrar una cotas inferiores.

Como muestra del avance

logrado para el caso de polinomios

cuadrticos, se cuenta con los resultados

de David Ruelle y Curt McMullen: si el

valor absoluto del parmetro c es

pequeo, entonces

esto es, la dimensin converge a uno,

mientras que

si el valor absoluto de c es muy grande.

Figura 8: El conjunto de Julia para c 0.2539+ 0.00048i y dimensin de Hausdorff dH 1.405 (figura y cmputos realizados por T. M. Jonassen).

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Parte de mi investigacin

realizada en el CIMAT y auspiciada por

CONCyTEG a partir de Abril del

presente ao, es realizar un estudio

similar del comportamiento asinttico

de la dimensin de Hausdorff para

ciertas familias uniparamticas de

funciones racionales dadas por

donde el prametro toma valores complejos, m>1 y n>0 son enteros

positivos dados. Los conjuntos de Julia

asociados a estas funciones presentan

una autosimilitud y simetras que

generalizan las propiedades del

tringulo de Sierpinski: de hecho, si

0.5926 y m=2, n=1, entonces el conjunto de Julia asociado es

homeomorfo al tringulo de Sierpinski

(ver Figura 9). Para otros valores del

parmetro y de las potencias, los

conjuntos de Julia presentan otras

caractersticas topolgicas: estos pueden

ser homeomorfos a la Carpeta de

Sierpienski o al conjunto de Cantor

ambos ejemplos de conjuntos fractales

en el plano cuya dimensin de

Hausdorff es conocida.

Figura 9: El conjunto de Julia para R con 0.5926 y m=2, n=1.

Figura 10: Conjunto de Julia para 0.08713+ 0.378i y m=3, n=2.

Las metas principales de este

proyecto sern ajustar la teora de

dimensin conocida para polinomios a

funciones racionales de tipo hiperblico

y subhiperblico, implementar ciertos

algoritmos computacionales para la

familia R y finalmente probar la

existencia de cotas inferiores para dH .

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Bibliografa

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