Dimension Es

92PASCUAL SACO OLIVEROS

SISTEMA HELICOIDAL93

CAPTULO0 1

OBJETIVOS

Conocer la relacin entre las magnitudes derivadas, con las magnitudes fundamentales.

Conocer las frmulas dimensionales de algunas magnitudes derivadas.

DIMENSIONES

El estudio de las distintas formas que adoptan lasmagnitudes derivadas nos obliga a desarrollar un conjunto de leyes, reglas y propiedades en un campo propiamente matemtico. Tal estudio se hace bsicamente para descubrir valores numricos de lo que en adelante llamaremos dimensiones, los mismos que aparecen como exponentes de los smbolos de las magnitudes fundamentales.

L ,Por ser este texto de un nivel bsico en Fsica, diremos como ejemplo que la dimensin del rea es 2aunque esto solo sea convencional, para minimizar la complejidad del anlisis.

Un anlisis correcto de las unidades y/o dimensiones de las magnitudes fsicas nos permitir:1ro. Relacionar una magnitud fsica con otras elegidas como fundamentales. se establece que [x ] es la frmula dimensional de x, talque:

[x ] = La Mb Tc qd Ie J f N g

Aqu debes reflexionar en torno a esto: "Las frmulas dimensionales se obtienen a partir de frmulas matemticas o fsicas".

[Longitud ] = L[Ma sa ] = M[Tie mpo ] = T

Si bien es cierto no son las nicas frmulas dimensionales principales, s son las que ms vamos a usar.

a) rea (A):

2do. Establecer el grado de verdad de una frmula.3ro. Elaborar frmulas empricas para fenmenos de simple desarrollo. A = b . h [ A] = [b]. [h ] = L . L [A] = L2 F rmula Ma te m tica

Frm ula Dime nsiona lUnidad de (A) = m2

FRMULAS DIMENSIONALES

Designamos con este nombre a aquellas relaciones de igualdad mediante las cuales una magnitud derivada queda expresada en base a las magnitudes fundamentales b) Volumen (V):

V = A . h [V] = [A][h ] = L2 . L [V] = L3

3

Frmula Ma te m tica

Frmula Dim ensiona l

Compendio de Ciencias I-DFsicade un modo general. As, si x es una magnitud derivada, Unidad de (V) = m

Compendio de Ciencias I-DFsica


c)Velocidad Lineal (v): d)Aceleracin Lineal (a):

v = d D istan cia Formula Fsica a = Dv Velocidad Formula Fsicat T iempo t Tiempo

[v] = [d] = L

[Dv]L T1[t]T [a ] = =[t] T

[v] = L T1Unidad de (v) = m . s1 Formula Dimensional [a ] = L T 2Unidad: m . s2 Formula Dimensional

Problema Desarrollado

1. Si: F = maW = F . d

Donde: F = Fuerza W = trabajo m = masa d = distancia a = aceleracion

Determine:a) La formula dimensional de F. b) La formula dimensional de W. c) La formula dimensional de:E = F 2 W Reemplazando:

[W] = MLT -2 L[W] = ML2 T-2

c) Debemos determinar:WE = F2

[E ] = F 2 W

[E ] = F 2 [W]

[ ] [ ]2 [ ]E = FWResolucin:a) F = maDebemos determinar la formula dimensional de F. [F ] = [m a ][F ] = [m ] [a ] [E ] = (MLT-2 )2 (ML2 T -2 )[E ] = M2 L2 T-4 M L2 T-2[E ] = M3 L4 T-6

Problema por desarrollarSabemos que: [m ] = M[a ] = LT-2

1. Si sabemos que: R = v . dS = a . m

Reemplazamos:

[F ] = MLT-2

b) Debem os aho ra determ inar la fo rm ula dimensional de W. [W ] = [F d ][W] = [F ] [d ]Se conoce que:

[F ] = MLT-2[d ] = L Donde: v = Velocidad a = aceleracion d = distancia m = masa

Determine:S .a) La formula dimensional de R. b) La formula dimensional de 2 c) La formula dimensional de:

X = R S2

Resolucin:

Compendio de Ciencias I-D Fsica

1. Determine la formula dimensional de R; si:R = Fuerza Velocidad 9. Determine la formula dimensional de Y; si:

Y = Impulso Volumen

Rpta.: ...........................................................

2. Determine la formula dimensional de S; si:

FuerzaS = Rpta.: ...........................................................

10. Determine la formula dimensional de Z; si:Densid ad Z = (rea )2 (Tra b a jo)3

Rpta.: ...........................................................

3. Determine la formula dimensional de N; si: N = Trabajo rea

Rpta.: ...........................................................

4. Determine la formula dimensional de Y; si: Y = Velocidad Volumen

Rpta.: ........................................................... Rpta.: ...........................................................

11. Determinar la formula dimensional de:

R = PotenciaDensid ad

Rpta.: ...........................................................


S = Energa Longitud

5. Determine la formula dimensional de W; si:

(Ace lera cin)2 Fue rzaW =(rea )3 Fuerza

Rpta.: ...........................................................

13. Determinar la formula dimensional de:Rpta.: ...........................................................

6. Determine la formula dimensional de R, si: H = Altura SuperficieAceleracin

(Tra ba jo)3 (Vo lume n)2R =(re a )2

Rpta.: ...........................................................

7. Determine la formula dimensional de Z; si: Rpta.: ...........................................................


Q = (rea) (Densidad) (Aceleracion)a))Z = (Energ 4 (rea 2 Rpta.: ...........................................................

Rpta.: ...........................................................

8. Determine la formula dimensional de M; si: 15. Determinar la formula dimensional de:

Z = 4 p (rea)))M = (Velocidad Sec60 (Trabajo Tg45 (Velo cidad)

Rpta.: ........................................................... Rpta.: ...........................................................





16. Determinar la formula dimensional de Y, si:

Y = (rea ) (Velocidad ) 19. Determinar la formula dimensional de:

(Ma sa ) (Ve lo cida d )2 (Longitud ) E =

Rpta.: ...........................................................


W = (Lo ngitud ) (Tie m po) (Tra b a jo)

Rpta.: ...........................................................

18. Determinar la formula dimensional de "I", si: re a

Rpta.: ...........................................................


F = (Pr esi n) (Volumen) Frecuencia

TRpta.: ...........................................................

3 I = (Tie mpo) (Fue rza )(Ve lo cida d) (Fre cuencia )

Rpta.: ...........................................................

T

T1. Determine la formula dimensional de Z; si:Z = rea Aceleracion A) M3 L6 4TTC) M L3 2 B) M3D) M2 L6 8T L8 6TA) L2 2C) L3 2TTE) L 3 B) L3 1D) L 1T E) M3 L8 6

4. Determine la formula dimensional de Q; si:

2. Determine la formula dimensional de U; si: (Energa )3 ( Volumen )2Q =PotenciaU = Trabajo VelocidadCaudal Densid ad A) M2 TTT L10 3 TTB) M L5 2TTA) L3 2 B) L2 3 C) M L5 4 D) M L3 2TTC) L3 2TE) L 1 D) L2 3 E) M L6 6

3. Si:

[X] = M L4 T 2 y 5. Determine [P]; si:

TTP = Impulso Densida dP r esin Fuerza

[Z] = M L T3 A) L2 33 B) L 31 3

Determine:

[X] [Z]2 C) L2 TTE) L 4 D) L T

CAPTULO0 2

OBJETIVOS

Aplicar el principio de homogeneidad.

Para reconocer si una frmula fsica es dimensionalmente homognea.

DIMENSIONES II

I. ECUACIONES DIMENSIONALESSon aquellas relaciones de igualdad en donde algunas magnitudes fsicas son conocidas y otras, o no lo son, o tienen dimensiones desconocidas. Veamos los siguientes ejemplos:a) L3M[X] L3[Y] = L3MT1Incognitas: [X], [Y] (Magnitudes)b) L4 . T3 . q2 = LS . Tr . q2ruIncognitas: r, s, u (Nmeros)

1. Reglas Importantes1a) Las magnitudes fsicas as como sus unidades no cumplen con las leyes de adicion o sustraccion, pero s con las dems operaciones aritmticas.L2+L2+L2 = L2 ; LT2LT2=LT2

2a) Todos los nmeros en sus diferentes formas con cantidades adimensionales, y su formula dimensional es la unidad.

3 = 1 ; [2p rad ] = 1 ; Entre ellas tenemos: los nmeros reales,las f unciones numricas co m o las funciones trigonomtricas, logartmicas, exponenciales,... etc. Asimismo los ngulos planos y los ngulos solidos expresados en radianes y estereoradianes respectivamente, estn en la lista de cantidades adimensionales.

II. PR I N C IP IOD EH O M O G E N E ID AD DIMENSIONAL (FORIER)Toda ecuacion ser dimensionalmente correcta si los trminos que componen una adiccion o sustraccion son de iguales dimensiones, y si en ambos miembros de la igualdad aparecen las mismas magnitudes afectadas de los mismos exponentes.[ A] + [B] = [ C] [D] [A] = [B] = [C] = [D] Este principio resulta ms prctico de aplicarhaciendo de cada operacion de adicio n osustraccion indicadas se conviertan en una[S en 45] = 1 ; [lo g 19 ] = 1 igualdad, de este modo se mostrar como evidente que los trminos de cada una de estas operaciones

Compendio de Ciencias I-DFsicaCantidad adimensional:Es aquella que carece de dimensiones, es decir el exponente de las magnitudes fundamentales en la formula dimensional es cero (0). De este modo se tiene que la formula dimensional de una cantidad adimensional es:[Cantidad adimensional] = 1 tienen las mismas dimensiones.

Cuando existan expresiones con magnitudes fsicas en los exponentes, deber procederse con sumo cuidado, recordando que el exponente es siempre un nmero, po r co ns iguiente la ex pres io n exponencial deber ser adimensional en su totalidad.






1. La ecuacion mostrada es dimensionalmente b) [Fv ] = [my][F ][v ] = [m ][y]correcta: [F ][v] [ ][ ] M LT-2 _LT-1x = Fv + my = y y =[m ]M

Donde:

F = Fuerzav = Velocidad m = masa [y] = L2 T-3

c) [x _y] = [x][y]= ML2 T-3 _L2 T-3Determine:a) La formula dimensional de x. b) La formula dimensional de y.c) La formula dimensional de x . y

Resolucin: [x _y] = ML2 T-6

Problema por desarrollar

1. La ecuacion:

a) x = Fv + my[x ] = [Fv + my]

Sabemos que:[A + B] = [A] = [B]

Donde: R = Wv + 1 . S . a2

W = Trabajov = Velocidada = aceleracion

[x] = [Fv] = [my][x ] = [Fv ] [x] = [F ][v]

[x] = MLT -2L _T -1[x] = ML2 T-3 Determine:a) La formula dimensional de R. b) La formula dimensional de S. c) La formula dimensional de:R SResolucin:

1. Si la ecuacion:

5 Q t = 4 mD + 21 P W 2. Si la ecuacion:

I = W F Zes dimensionalmente correcta; determine [D] y [P];si:

Q: Caudal;t: tiempom: MasayW: Energa

Rpta.: ........................................................... es dimensionalmente correcta; determine [Z]; si: I: ImpulsoF: Fuerza

Rpta.: ...........................................................3. Si la ecuacion:P V = E d + QWes dimensionalmente correcta; determine [E] y [W];si:P: Presion ; V: Volumen d: Aceleracion yQ: Caudal es dimensionalmente correcta; determine [X] e [y]si:Q: Caudal ; V: VolumenF: Fuerza y a: Aceleracion

Rpta.: ...........................................................

Rpta.: ...........................................................

4. Si la ecuacion:I = K + mZ 9. Si la ecuacion:

W = 3F 2Kt tes dimensionalmente correcta; determine [Z]; si: I: Impulsom: Masa

Rpta.: ...........................................................

5. Si la ecuacion:P v = K F Z Ees dimensionalmente correcta; determine [K] y [Z];si:

P:Potencia

v:Velocidad

F:FuerzayE:Energa

Rpta.: ...........................................................

6. Si la ecuacion:

E = 1 K x 22es dimensionalmente correcta; determine [K]; si: E: Energax: Longitud

Rpta.: ...........................................................

7. Si la ecuacion:E v = Kt + PAes dimensionalmente correcta; determine [K] y [A]siendo:E: Energa ; v: Velocidad t: Tiempo y P: Presion

Rpta.: ...........................................................

8. Si la ecuacion:

Q V = F + ayX es dimensionalmente correcta; determine [K]; si:F: Fuerzat: Tiempo

Rpta.: ...........................................................

10. Si la ecuacion:v = AW sen53es dimensionalmente correcta, determine [W]; si:v: VelocidadA: Longitud

Rpta.: ...........................................................

11. Si la expresion dada es dimensionalmente correcta.Determine: [x] e [y] m = masa t = tiempomy + x = mt2

Rpta.: ...........................................................

12. Determine el valor de "b" para que la formula dada sea dimensionalmente correcta.Ma T 2 b -a = M6 T4

Rpta.: ...........................................................

13. Si la siguiente formula:

P = kv des dimensionalmente correcta, determine: [k]; si: P = Presionv = Velocidad d = Distancia

Rpta.: ...........................................................14. Determine el valor de "x" para que la siguiente ecuacion sea dimensionalmente correcta. 17. Si la expresion:

P = Qz Ry Sx

T 2 x - y J y + 3 = J 5

Rpta.: ........................................................... es dimensionalmente correcta, determine los valores de x, y, z.

Rpta.: ...........................................................

15. Si la siguiente formula:

f = kh a g b

es dimensionalmente correcta, determine los valores 18. Si la formula: t = m xdde "a" y "b". Si:f = frecuenciah = alturag = aceleracionk = constante adimensional

Rpta.: ...........................................................

16. En la siguiente formula fsica, determine [x].W = xvdDonde:W = (Fuerza) (Longitud)v = Velocidad d = Distancia

Rpta.: ........................................................... es dimensionalmente correcta, determine [x], si:m = masad = distancia t = tiempo

Rpta.: ...........................................................

19. Determine la formula que permite calcular la velocidad (v) de propagacion de una onda transversal en la cuerda, si sta depende de la fuerza de tension (F) que soporta la cuerda, su masa (m) y su longitud (l).

Rpta.: ...........................................................

20. La energa cintica de un cuerpo depende de la masa del cuerpo (m) y de la velocidad (v). Determine la formula emprica de la energa cintica.

Rpta.: ...........................................................

1. Si la ecuacion:

P = Q + RD 2. Si la siguiente formula:

E = mvx

Tes dimensionalmente correcta; determine [R]; si: P: PresionD: Densidad

v:Velocidad

A)1

B) 2C)3

D) 4E)1/2

es dimensionalmente correcta; determine x; si: E: Energam: Masa

TA) L2 22 B) L2 22C) L TTE) L 1 D) L T3. Si la siguiente formula:

d a = cosf vn

es dimensionalmente correcta; determine "n";siendo:

d: Longitud

a: Aceleracion v: VelocidadA) 2 B) 2

C) 1 D) 1

E) 3

4. Dada la siguiente formula:

E2 A = Senq Bx+y C DZ

dimensionalmente correcta; determine: x+y+z;siendo: 5. Si la siguiente formula:

m F = a R6 Dx

es dimensionalmente correcta; determine "x"; si:

m: Masa ; F: Fuerza

R: Longitud ; D: Densidad a: AceleracionA) 1 B) 2

C) 3 D) 4

E) 5

A: C:E:Fuerza

Longitud

Tiempo;

;B : Masa

D: DensidadA)2

B)2C)1

D)3E)4



CAPTULO0 3

OBJETIVOS

Conocer las caractersticas de los vectores y su representacin cartesiana.

VECTORES

Es verdaderamente importante que reconozcas que en la naturaleza algunos fenomenos fsicos requieren algo ms que nmeros y unidades fsicas para quedar plenamente explicados. Te preguntars: Qu se puede usar, adems de los nmeros y unidades, para detallar los fenomenos?. La respuesta es el vector, y las magnitudes fsicas que lo necesitan se llaman magnitudes vectoriales, las mismas que tienen en esencia dos caractersticas especiales:

a) Tienen Mdulo y DireccinEjemplo: Cuando decimos que un alumno experimenta un desplazamiento de 5m, debemos agregar desde donde y hacia donde. Sin estos datos no podramos imaginar el movimiento.

b) No cumplen con las leyes de la adicin de nmeros realesEjemplo: Si decimos que dos personas empujan un mismo cuerpo con fuerzas iguales de 15 newtons, sin indicar la direccion de cada uno, el resultado puede ser variable. As por ejemplo: Si se aplican los dos hacia un mismo lado, el resultado ser equivalente a aplicar una fuerza de 30 newtons. Sin embargo, si estas fuerzas se aplican en una misma recta pero en direcciones opuestas, el resultado sera como no aplicar fuerzas, es decir la resultante es 0 newtons. As pues, la resultante de las fuerzas depende de la orientacion de stas.

15N

15N R= 30N


15N 15N

1. V E CT O RDesignamos con este nombre a aquel elemento matemtico, indicado por un segmento de recta orientado, que nos permite representar grficamente a una magnitud vectorial. Dado que este texto atiende el aspecto bsico del curso, diremos que los elementos de un vector son:a) DireccinCaracterstica que nos indica de donde hacia a donde se orienta un vector, lo que viene dada por la lnea recta que pasa por dichos puntos. Esta recta queda definida por el ngulo q medido en sentido antihorario.



b) MduloLlamado tambin intensidad, viene a ser el valor o medida de la magnitud vectorial representada. Cuando conocemos la escala (e) del dibujo y la longitud (l) del vector, el modulo viene dado por: 2. EXPRESIN CARTESIANA DE UN VECTOR

VVSi x e y son las componentes rectangulares de un vector ur , entonces su expresion cartesiana se denotar como: ur = (x;y), llamado par ordenado. Asimismo puede establecerce la siguiente identidad.$ $urV = (x; y) = x i + y jV = l e

A B = VNotacion vectorial: Vector: uuuur uruuuurModulo: A B = V = V Ejemplo: De la figura podemos afirmar que:$ $urA = 3 i + 4 j = (3 ; 4 )

$ $urB = 5 i + 3 j = (5 ; 3)

$ $urC = 6 i 3 j = (6 ; 3)

Notacion General:YururV = V q ........ (q = ngulo Direccional) (5;3) 4 (3;4)3

Mdulo

V V

Lnea deAccin B5 O AX3C+ 6i3j

Direccinq Lnea deReferencia

Cuando dibujamos vectores, elegimospreviamente una escala (e). Por ejemplo si di buja mos ve ctores fue rza en el cuaderno podemos elegir la siguiente escala:10cm 5N e = 5N/cm

F

4cmF | ur | = (4 c m )(5 N/c m )ur\ | F | = 2 0 N


1. Dados los vectores:urA = (-3 ; 2)$ $urB = 2i - 3 j$ $urC = 5 i + 2 j

a) Grafique los vectores.S A Bb) Determine: ur = 2ur + 3 urc) Determine el modulo de la resultante de los vectores.

Resolucin:a) ur ur ur urc)R = A + B + C$ $ $ $ $ $urR = -3i + 2 j + 2i - 3 j + 5i + 2 j$ $urR = 4 i + j

Problema por desarrollar

1. Dados los vectores:urA = (2 ; 8)$ $urB = -3i + 8 j$ $urC = -4 i - 3 jy a) Grafique los vectores.b) Determine el modulo de la resultante de losA C vectores.c) Determine el modulo de:x ur ur ur urS = 3 A - B + 2C

B Resolucin:

SABb) ur = 2ur + 3 ur$ $ $ $urS = 2(-3i + 2 j) + 3(2i - 3 j)ur $ $ $ $S = -6i + 4 j + 6i - 9 j$urS = -5 j

1. Determine el modulo y la direccion de los vectoresindicados; si cada lado de la cuadricula es de 4u. 2. Determine el modulo y la direccion de los vectoresindicados; si cada lado de la cuadrcula es de 1u.

CB A A

B D C

Rpta.: ........................................................... Rpta.: ...........................................................3. Si cada lado de la cuadrcula mostrada es de 1u;

complete el siguiente cuadro: 5. Exprese los siguientes vectores en forma cartesiana.

1u

1u A B

A

C

CD

B

D Rpta.: ...........................................................

6. Si los orgenes de los vectores coinciden con el origen de coordenadas; grafique:

ururA = 2i + 3j;B = 3i + 4j

ururC = 3i 5j ;D = 6i 8jA

B Rpta.: ...........................................................

urC 7. Dados:A = 3i + 4jyurD B = 5i + 2j

urDetermine el vector resultante R y su modulo.

Rpta.: ...........................................................

4. Exprese los siguientes vectores en forma cartesiana.

Rpta.: ...........................................................

8. Se dan:

urA = 5i + 2jy

urB = 7i + 3j

urA Determine el vector resultante R y su modulo.

B Rpta.: ...........................................................

9. Se dan:DurC A = 5i 4jyur1u B = 8i + 8j1u urDetermine el vector resultante R y su modulo.

Rpta.: ........................................................... Rpta.: ...........................................................10. Si:

urA = mi + njy

urB = 4i + 5j 15. Si la resultante de ur y ururDetermine A .BSi: ur = 8$i - 4 $j A Bes igual a 14 $i - 8 $j .Determine: m y n siendo 8i + 12j , su resultante.

Rpta.: ...........................................................

11. Si:$$urA = 7 i + 3 jyur$$B = -8 i + 9 j

Rpta.: ...........................................................

16. Determinar el modulo y la direccion de los vectores indicados, si cada lado de la cuadrcula es de 1u.Determine:

ur ur urACS = 2 A - B B

Rpta.: ...........................................................

12. Se tiene: $$urA = 12i - 3 j$$urB = 7i + 2 jDetermine el modulo de la resultante.

Rpta.: ...........................................................

13. Del grfico, determine:ur ur ur

Rpta.: ...........................................................

17. Grafique:$$$$ururA = 5i + 6 jD = 7 i - 2 jC = 6 A - 4 B ur$$ ur$$B = -3i - 6 jE = 10 i + 2 j

Si sus orgenes coinciden con el origen deB coordenadas.

Rpta.: ...........................................................A

ur urSi cada cuadrcula es de 1u. 18. Si la resultante de A y B es 16$i - 4 $j , y

Rpta.: ...........................................................

14. Del grfico, determine:ur ur urS = 5 B + 2 A

A

1u B1u

Rpta.: ........................................................... ur$$A = a i + b j$$urB = 7 i - 6 j

Determine: a + b.

Rpta.: ...........................................................

19. Si:$$urA = -17i + p j$$urB = q i - 8 jur urDetermine p+q si la resultante de A y B es i 6 j .

Rpta.: ...........................................................20. Determine el modulo de la resultante si cada lado de la cuadrcula mide b de lado.

C

A B bb

Rpta.: ...........................................................

1. Del grfico; indique la veracidad (V) o falsedad (F)de las siguientes proposiciones:

A 3. Siendo:

urA = 5i + 3jy

urB = 3i + j

Determine el modulo de su resultante.

A)6

B)5 6C)4 5D)65E)8 10

urC B 4. Siendo:A = mi + 8jy1uurB = 4i nj1u( )ur A = 3 i + 3 jur( ) Determine m y n; si su resultante es: 6i + 2j . B = 5 uur ur ( ) B + C = 6i + 2j ururur5. Del grfico determine: C = 5 A 3B .A) V V FB) V V V C) F F VD) F V FE) F V V

2. Del grfico en el problema anterior, indique la veracidad (V) o falsedad (F) en:ur ur ( ) A) 2;6B) 2;6C) 2;6D) 2;6E) 3;5

1uA 1u A + B = 5i + 2jBur qA = 135 ( )( )ur ur A + C = i + 5 j A) 2i 24jB)

C) 2i 24jD) 2i + 24j

2i + 24jA) F V FB) V V FC) F F VD) F V V E) V F V E) 2i + 12j

Dimension Es

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