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2.3 Ecuaciones, funciones e inecuaciones lineales

2.3.1. Ecuaciones lineales

Para resolver muchos problemas expresamos las relaciones que se establecen entre cantidades conocidas y desconocidas (incógnitas) a través de ecuaciones, cuya resolución nos permite determinar precisamente el valor de las cantidades desconocidas.

Una ecuación es una igualdad que contiene al menos una variable. El dominio de definición de las variables se asumirá que es el dominio de los números reales, salvo que se indique lo contrario. El dominio de definición de la ecuación son los valores admisibles del dominio de definición de las variables.

Los valores del dominio de definición de la ecuación que la satisfacen son aquellos que al sustituirlos en esta la convierten en una igualdad y se llaman soluciones o raíces de la ecuación. El subconjunto del dominio de definición de la ecuación que contiene los valores que satisfacen la ecuación se denomina conjunto solución. Una ecuación puede tener una, varias, infinitas o ninguna solución.

Una ecuación lineal en una variable es una ecuación que se puede reducir a la

forma: ax + b = 0 (a R, b R, x R, a 0).

Son ecuaciones lineales las siguientes:

a) ___ 5p – 9 = –3p +7

b) ___ 2

1

43

1 xx

c) ___ 150 a (a Z)

Ellas se pueden llevar a la forma ax + b = 0 mediante transformaciones equivalentes. Observa que puede usarse cualquier letra para denotar la incógnita y que los coeficientes no tienen que ser valores enteros como en el caso de la ecuación b). La igualdad se cumple en ambos sentidos, luego da lo mismo ax + b = 0 que 0 = ax+b.

Las ecuaciones equivalentes son aquellas que tienen el mismo dominio de definición y el mismo conjunto solución .

Las transformaciones equivalentes conducen de una ecuación a otra equivalente. Son transformaciones equivalentes las siguientes:

1. La adición y sustracción de un término a ambos miembros de la ecuación que no se indefine para ninguno de los valores del dominio de definición de la ecuación.

2. La multiplicación y división por un término de ambos miembros de la ecuación que no se anula ni indefine para ninguno de los valores del dominio de definición de la ecuación.

4

Por tanto, si en la ecuación ax+b=0 (a R, b R, x R, a 0) realizamos las siguientes transformaciones equivalentes:

1. Adicionamos a ambos miembros –b: ax = –b

2. Dividimos ambos miembors por a (a 0): a

bx

Entonces el conjunto solución de la ecuación es:

a

bS , si

a

b pertenece al dominio de definición de la ecuación,

como es el caso para las ecuaciones a) y b) .

S , si a

b no pertenece al dominio de definición de la ecuación,

como es el caso para la ecuación c) .

Verifica que las ecuaciones a) y d) son equivalentes.

Ejemplo 1

Resuelve las siguientes ecuaciones:

a) 0,7x - 0,3 = 0,05x + 1 b) 10x + 2 - 3(5x + 0,5) = 4x + 0,6 – (x + 0,9)

Resolución:

a). 0,7x - 0,3 = 0,05x + 1

Hay que transponer los términos que tienen variables a un miembro y los términos independientes al otro. O sea, hay que adicionar a ambos miembros de la ecuación 0,3 y restar a ambos también 0, 05x, por tanto se obtiene:

0,7x - 0,05x = 1 + 0,3

0,65x = 1,3

x = 1,3:0,65

x = 2

b) 10x + 2 - 3(5x + 0,5) = 4x + 0,6 – (x + 0,9)

Hay que realizar las operaciones indicadas en cada miembro, de lo que resulta:

10x + 2 – 15x – 1,5 = 4x + 0,6 – x – 0,9

Como hay términos semejantes en ambos miembros, se reducen obteniendo:

–5x + 0,5 = 3x – 0,3

Adicionando en ambos miembros 5x y 0,3:

0,5 + 0,3 = 3x + 5x

0,8 = 8x

0,1 = x ♦

5

Ejemplo 2

Halla el conjunto solución de las siguientes ecuaciones:

a) 3– 10

73 x+

x 1

2 4 –

5

37 x b) 3u 7 4 27

Resolución:

a)¿De qué tipo de ecuación se trata? Evidentemente es una ecuación lineal, cuyos coeficientes son números racionales.

.¿De qué forma proceder para transformarla? Recuerda que en este tipo de ecuación es aconsejable, multiplicar por el mcm para eliminar los denominadores.

mcm(2,5,10)=10

3 – 10

73 x+

x 1

2 4 –

5

37 x l .10

30 – (3 - 7x) +5( x + 1 ) = 40 –2 ( 7 – 3x )

30 – 3 + 7x + 5x + 5 = 40 –14 + 6x

32 + 12x = 26 + 6x

6x = –6

x = –1

S = { – 1}

b) 3u 7 4 27

Esta ecuación se denomina ecuación modular. No constituye una ecuación lineal, pero conduce a este tipo de ecuaciones, como veremos a continuación.

A través de transformaciones se obtiene: 3u 7 23 . Si 3u–7>0, entonces

3u–7=23. Si 3u–7<0, entonces –(3u–7)=23. Luego resultan los dos casos siguientes:

1. 3u – 7=23 2.–(3u – 7)=23 ó 3u – 7= –23

Primer caso: Segundo caso:

3u – 7=23 3u – 7= –23

3u=30 3u=–23 + 7

u=10 16

u3

Por consiguiente, el conjunto solución es 16

s ,103

.♦

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Elabora un procedimiento general para la resolución de ecuaciones lineales.

Ejemplo 3

En un recipiente hay 10 dL de disolución de alcohol y agua. Se añade cierta cantidad de agua de forma que la cantidad de alcohol representa el 30 % del total. Se añade otra cantidad igual de agua y entonces el alcohol representa el 20 % del total. ¿Cuánta agua se añadió en total y qué cantidad de alcohol hay?

Resolución:

Una de las vías para resolver problemas, como el anterior, es introducir variables para representar las cantidades desconocidas y entonces expresar las relaciones que se establecen entre dichas cantidades y las cantidades conocidas a través de igualdades.

En este caso se aprecia la conveniencia de introducir una variable x para resolver el problema, específicamente para denotar la cantidad de agua que se añade en cada ocasión, lo cual junto a la cantidad de alcohol son los datos desconocidos. La cantidad de alcohol permaneció inalterable en la disolución durante todo el tiempo que duró la manipulación de la disolución. Esta situación se puede reflejar mediante la tabla siguiente:

Entonces la estructura matemática de la situación planteada se puede expresar mediante la ecuación:

0,30 (10 + x) = 0,2 (10 + 2x).

Si se multiplica por 10 ambos miembros de la ecuación se obtiene

3 (10 + x) = 2 (10 + 2x)

Efectuando las transformaciones equivalentes necesarias, se obtiene x.=.10. Para determinar la cantidad de alcohol se puede entonces calcular el 30 % de 20 dL o el 20 % de 30 dL, la cantidad de alcohol es de 6 dL.

Para comprobar este ejercicio se puede calcular la cantidad de alcohol por ambas vías o se puede determinar la cantidad total de disolución, en cada caso, suponiendo que la cantidad de alcohol es de 6 dL.

Respuesta:

Se añadió 20 dL de agua y la cantidad de alcohol que había en la disolución era de 6 dL. ♦

Cantidad total de disolución (en dL)

Tanto por ciento de alcohol en la disolución

Inicio 10 ?

Primera vez 10 + x 0,3 (10 + x)

Segunda vez 10 + 2x 0,2 (10 + 2x)

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Al realizar este ejercicio es útil valorar la utilidad de la introducción de variables, denotándolas correctamente, de hacer una tabla, que ayude a establecer relaciones, de tener activos los conocimientos precedentes como los relativos al tanto por ciento para poderlos poner en acción ante situaciones como la planteada, así como los de otra asignatura como en este caso Química. Este problema puede servir de punto de partida para interrogantes como la siguiente: ¿Qué cantidad de disolución habría que verter de la disolución inicial y qué cantidad de agua habría que añadir para obtener 1 L de una disolución al 45 %?

Para resolver un problema que conduce a una ecuación es necesario:

1. Comprender el texto del problema a través de su lectura analítica y su reformulación en caso necesario, de modo de poder introducir variables y hacer la traducción del lenguaje común al algebraico.

2. Encontrar una vía de solución adecuada, a partir de establecer relaciones entre lo que se conoce y lo que se desconoce.

3. Resolver haciendo uso de algunas de las vías de solución y encontrar los valores de las variables.

4. Realizar el control valorativo del proceso de resolución y de sus resultados teniendo en cuenta el texto del problema, así como valorar para qué sirve esta experiencia en próximas ocasiones.

5. Dar la respuesta literal a la pregunta.

Los procedimientos para la resolución de ecuaciones encuentran especial aplicación en el trabajo con fórmulas.

Una fórmula es una ecuación que expresa algún principio, regla o resultado general de índole matemático, físico, químico, biológico o relativo a cualquier otra ciencia.

Saberlas utilizar tiene gran ventaja, pues requieren, o bien sustituir directamente las variables por los valores conocidos, o bien efectuar un despeje y sustituir después para hallar el valor de la variable que se desconoce.

Cuando se despeja una variable en una fórmula hay que observar el orden operacional, pero en orden inverso.

Por ejemplo, si en t queremos despejar t, hay que trasponer para el

miembro izquierdo primero a y después a .

2.3.2 Funciones lineales

La interpretación correcta de expresiones tan simples y cotidianas como: crecimiento o decrecimiento lineal, salto exponencial de la economía, procesos continuos o discontinuos; optimizar el área de siembra, entre otras, lleva consigo el dominio por parte del hombre común actual de la teoría de funciones y sus aplicaciones.

¿Puedes poner ejemplos de funciones?

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Con frecuencia interpretamos situaciones diversas que se expresan mediante gráficos o tablas.

Ejemplo 1

Los alumnos de una escuela quisieron determinar el volumen de agua que se consumía en la escuela durante un día, en el que se realizaron las mismas labores que durante los restantes del curso. Con ayuda de un contador situado a la salida del tanque central de la escuela midieron cada una hora el consumo de agua, trazaron los puntos correspondientes en un sistema de coordenadas cartesiano y los unieron mediante una línea poligonal, tal y como se muestra en la figura:

a) ¿Durante qué horas el consumo de agua fue aproximadamente nulo

b) Después de las 12 horas, ¿cuándo fue creciente el consumo de agua

c) ¿A qué hora se alcanzó el valor máximo de consumo de agua? ¿Cuál fue aproximadamente el consumo mínimo entre las 12 y las 16 horas?

Resolución:

a) Durante las primeras cuatro horas del día y la última, el consumo de agua fue aproximadamente nulo.

b) El consumo fue creciente entre las 16 y 18 horas.

c) El valor máximo de consumo de agua se alcanzó a las 18 horas, y el consumo

mínimo entre las 12 y 16 horas fue de 8 m3 de agua.

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¿Será esta correspondencia entre el consumo de agua y el tiempo una función

Recordemos que:

Dados dos conjuntos X y Y cualesquiera, una función f de X en Y (en símbolos

f : X Y ) es una correspondencia que a cada elemento x (x X) le hace

corresponder un único elemento y (y Y) que se denota como y = f(x).

Al conjunto X se le llama de partida o dominio de la función y se denota con

Dom f. Al conjunto de todos los y Y, tales que existe un x con y = f(x) se le denomina imagen o rango de la función y se denota con Im f. A x se le denomina preimagen, argumento o variable independiente y a y=f(x), imagen de x por la función f o variable dependiente. Observemos que el conjunto Y, conjunto de llegada o codominio de la función f, al cual pertenecen las imágenes de la función, no tiene que coincidir necesariamente con el conjunto imagen de la

función, puede ocurrir que Im f Y.

Una función está determinada cuando resulta claro cuál es su dominio, su codominio y la correspondencia por la cual se define.

La correspondencia del ejemplo 1 sí representa una función, porque a cada valor de tiempo corresponde un valor único de consumo. Además, podemos determinar a partir del gráfico que es una función, porque al trazar rectas perpendiculares al eje de abscisas, estas cortan al gráfico en un solo punto.

El concepto función se puede definir de forma análoga de la manera siguiente:

Sean X y Y dos conjuntos cualesquiera. Una función f de X en Y (en símbolos

f : X Y )es un conjunto de pares ordenados (x; y) tal que x X, y Y, y cada x aparece como la primera coordenada de un solo par ordenado.

El conjunto que agrupa todas las primeras componentes de los pares ordenados de la función f es entonces el dominio de definición de la función y el que agrupa a todas las segundas componentes de los pares ordenados, es la imagen o rango de la función.

Las funciones cuyo dominio e imagen son subconjuntos de números reales se denominan funciones reales. Se representan de la forma siguiente:

X:f .

Las funciones cuyo dominio es el conjunto de los números naturales o un subconjunto de este, es decir, las funciones BNX:f , se denominan

sucesiones de elementos de B, como puede ser la sucesión de los múltiplos de un número determinado.

Ejemplo 2

Determina cuáles de las siguientes correspondencias son funciones y cuáles no. Fundamenta tu respuesta.

a) {(x;y):x : y = 3x – 2 }.

b) A cada x N se le hacen corresponder sus múltiplos.

10

c)

d) e)

f)

g) A={a; b; c; d}, B= {5; 7; 9; 11} y g= {(a; 5), (b; 7) (c; 9)} una correspondencia de A en B.

Resolución:

a) x 3x – 2

Sí es función, ya que el resultado de multiplicar y sustraer dos números reales es único.

b) No es función , ya que a cada número natural le corresponden infinitos múltiplos.

c) Sí es función, ya que a cada número entero se le hace corresponder su módulo y este es único.

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d) Sí es función, ya que a cada x A se le asocia una y solo una y B

e) No es función, ya que a un elemento del conjunto A se le asocian dos elementos del conjunto B.

f) Sí es función, ya que a cada x A le corresponde una única y B.

g) No es una función, dado que existe un elemento de A (d) para el cual no existe

un elemento correspondiente de B

En este ejemplo las correspondencias estan dadas de diferentes formas, a saber, en forma constructiva (inciso a) ), en forma descriptiva (inciso b)), a través de una tabla (inciso c)), por medio de un diagrama de Venn (incisos d), e) y f)) o de un conjunto de pares ordenados (inciso g)). También existen otras formas de representar funciones, digamos, a través de una ecuación o de una representación gráfica en un sistema de coordenadas rectangulares.

En este epígrafe reactivarás tus conocimientos sobre las funciones lineales, lo que te servirá de base para iniciar el estudio de otras clases de funciones.

La funciones lineales

Las funciones reales que se definen a través de una ecuación de la forma f(x) = mx + n, donde m y n son números reales, se denominan funciones lineales. O sea:

La correspondencia f que a cada x le hace corresponder el número real f(x) = mx+n, donde m y n son números reales dados, se denomina función lineal.

La representación gráfica de esta función lineal es una recta donde:

m: pendiente de la recta

12

12

xx

xfxfm

n: valor de la ordenada del punto donde la gráfica de la función corta al eje y de las ordenadas.

¿Qué significado geométrico tiene el valor de la pendiente?

Recordemos que:

f es monótona creciente (estricta) si para todo x1 < x2 entonces f(x1) ≤ f(x2) (f(x1) < f(x2)).

f es monótona decreciente (estricta) si para todo x1 < x2 entonces f(x1) f(x2) (f(x1) > f(x2)).

Si f es monótona creciente estricta f(x2) – f(x1) y x2 – x1 tendrán el mismo signo y la pendiente m será positiva.

Si f es monótona decreciente estricta f(x2) – f(x1) y x2 – x1 tendrán signos diferentes y la pendiente m será negativa.

12

Analicemos las gráficas de las funciones:

f(x) = 0,5x – 0,5 ;

g(x) = 2x – 2 ;

h(x) =– 3x+ 3

Las pendientes de las rectas que representan las funciones f, g y h, son m = 0,5, m = 2, y m = - 3 respectivamente.

Las dos primeras pendientes son positivas, la función crece y por ende los ángulos que se forman con el semieje positivo de las abscisas son agudos, mientras que la tercera pendiente es negativa y el ángulo que se forma con este semieje es obtuso.

Cuando m varía, cambia la inclinación de la recta.

Analicemos las propiedades que poseen las dos funciones del ejemplo siguiente:

Ejemplo 3

Sean las funciones reales definidas por las ecuaciones:

f(x) = 3x – 2 y g(x) = – 2x + 1

a) Represéntalas gráficamente

b) Completa y fundamenta:

El dominio de definición de f es --------El dominio de definición de g es--------------------

La Imagen de f es --------------------- La imagen de g es --------------------

El cero de f es ------------------------- El cero de g es ---------------------------

f es monótona ----------------- porque m o

g es monótona decreciente porque --------

f es positiva para ----- y negativa para -------

Resolución:

13

a) Como la representación gráfica de una función lineal es una recta, basta encontrar dos puntos para poder trazarla.

¿Qué puntos nos resultarán más cómodos?

Los puntos donde la gráfica corta a los ejes.

El intercepto de las gráficas correspondientes con el eje y de las ordenadas es un punto, cuya primera coordenada es cero. Este se puede determinar fácilmente para ambas funciones.

La función y = 3x – 2 interseca al eje y en el punto (0; - 2) como se puede comprobar haciendo x = 0 en la ecuación correspondiente a la función. De manera análoga podemos verificar que la función y = – 2x + 1 interseca al eje y en el punto (0; 1) .

¿Cómo determinar las coordenadas del intercepto de las gráficas correspondientes con el eje x de las abscisas?

Calculando sus ceros, es decir, sustituyendo en las respectivas ecuaciones el valor de la función por cero y resolviendo la ecuación lineal resultante respecto a x.

En la función y = 3x – 2 , haciendo y = 0, resulta 3x – 2 = 0, luego x = 3

2

En la función y= – 2x + 1, haciendo y = 0, resulta – 2x + 1 = 0, luego x =2

1

b) Al proyectar ambos gráficos sobre el eje ´x´,se observa que esta proyección cubre a todo el eje x, luego ¿cuáles serán sus respectivos dominios de definición ?

El dominio de definición de f es El dominio de definición de g es

Al proyectar ambos gráficos sobre el eje ´y´se observa también que esta proyección cubre a todo este eje, luego ¿cuáles serán sus respectivas imágenes ?

14

La imagen de f es La imagen de g es

Haciendo y = 0 y resolviendo la ecuación resultante respecto a x obtuvimos que:

El cero de f es xo = 3

2 El cero de g es x0 =

2

1

f es monótona creciente porque m 0

g es monótona decreciente porque m < 0

Analicemos la monotonía de la función g aplicando la definición de monotonía.

La función g es decreciente en sentido estricto porque para cualquier valor del dominio se cumple que para todo x1 < x2 , entonces g(x1) >g(x2). En efecto, de x1 < x2 resulta:

: –2x1 > –2 x2 multiplicando ambos miembros por –2

–2x1+1 > –2 x2 +1 adicionando 1 a ambos miembros y con ello

g(x1) >g(x2)

De forma análoga, se puede demostrar que f es monótona creciente en sentido estricto.

f es positiva para las x 3

2 y negativa para las x <

3

2-.

Propiedades de las funciones lineales

Sea f una función lineal de la forma f(x) = mx+n (m≠0) ,donde m , n son números

reales dados y x R. Entonces:

Dom f : . Im f :

x0 = – m

n es el único cero de la función y para calcularlo se resuelve la ecuación

lineal mx + n = 0 respecto a x.

Es monótona creciente cuando m 0 y monótona decreciente cuando m 0.

Si es monótona creciente, es positiva para x – m

n y negativa, para x –

m

n.

Si es monótona decreciente, es positiva para x – m

n y negativa, para x -

m

n.

Si el dominio de definición de la función lineal es un subconjunto del conjunto de los números reales, cambiarán consecuentemente sus propiedades. Si la función g del ejemplo anterior , estuviera definida en el el intervalo [ –`1;1] ,

entonces su imagen seria {y R:–1 ≤ y ≤ 3 }= [–1; 3]. Como g es monótona decreciente estricta, el extremo inferior de este intervalo es g(1) y el superior, g(–1).

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Casos particulares:

► Si n = 0 f = { (x; y): x , y = mx }

Para m 0: La recta va del III Cuadrante al I Cuadrante a medida que la variable independiente toma valores mayores, pasando por el origen de coordenadas.

Si m = 1, la representación gráfica de la función y = x es la bisectriz del primer y el tercer cuadrante.

Para m < 0: La recta va del IV Cuadrante al II Cuadrante a medida que la variable independiente toma valores mayores, pasando por el origen de coordenadas.

Si m = – 1, la representación gráfica de la función y = – x es la bisectriz del segundo y el cuarto cuadrante.

► Si m = 0 f = { (x; y): y = n } Función constante.

Es una recta paralela al eje x por el punto (0; n)

En este gráfico n 0, ¿cómo quedaría la gráfica para n < 0? y para n = 0 .Represéntalas.

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Si la recta es paralela al eje y. ¿Será una función?

No es función ya que existen infinitos pares con x = k .

Ejemplo 4

Sea f una función cuyo dominio es , tal que f(x) = x – 1.

a) Calcula f(–4)

b) Determina f(a + b) – f(a – b).

Resolución:

a). Si f(x) = x–1 entonces

f(–4 ) = –4 –1= –5

b). Determinar f(a + b) – f(a – b) significa hallar el valor de la función para estas expresiones. Al sustituir x por a+b y a–b resulta:

f(a + b) = (a + b –1) y f(a – b) = (a – b – 1), entonces

f(a + b) – f(a – b) = (a + b – 1) – (a – b – 1)

= a + b –1 – a + b + 1

= 2b

Ejemplo 5

Sea h una función lineal, tal que h(–2) = 5 y h(6) = 3. Esboza la gráfica y determina la ecuación que define a h(x) para x є .

Resolución:

h(x) = mx + n,

Como los puntos dados (-2; 5) y (6; 3) pertenecen a la función, podemos trazar en un sistema de coordenadas cartesiano una recta que pase por dichos puntos, la cual será el gráfico correspondiente a la función h.

Para hallar la ecuación de la función h debemos hallar el valor de la pendiente m y de la ordenada del punto en que la gráfica de h

17

intersecta al eje y.

Tenemos que preguntarnos ¿qué datos tenemos?

Si nos dan dos puntos y ninguno de ellos es el intercepto de la gráfica con el eje y, determinamos la pendiente:

m =12

12

xx

yy=

4

1

8

2

26

53

El orden de las variables no altera el resultado. Podemos también calcular:

m = 4

1

4

2

62

35

21

21

xx

yy

Observe que la función es monótona decreciente porque el valor de la pendiente es negativa, lo que se aprecia también a partir de la inclinación de la recta que la representa gráficamente.

Luego, f(x) = 4

1x + n

Para hallar n se debe sustituir uno de los puntos en la función f(x)=4

1 x +n:

Si ( 6; 3) f, entonces

3 = 4

1(6) + n (sustituyendo x = 6)

3 = –2

3 + n

n = 3 + 2

3 =

9

2 ( despejando n )

Luego f(x) = 4

1x +

9

2

Las funciones lineales son de gran aplicación en situaciones de la vida cotidiana, la ciencia y la técnica, veamos algunos ejemplos.

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Ejemplo 6

En el gráfico se representa el incremento de la temperatura de una sustancia S a la que se suministra calor durante un intervalo de tiempo, lo cual ocurre según la ecuación T(t) = 2,5 t + 20, donde T denota la temperatura (en o) y t, el tiempo (en min).

a) Cuál era la temperatura inicial de la sustancia S?

b) ¿Qué temperatura alcanzó a los 6 minutos?

c) Si una sustancia R se enfría, y su temperatura T en función del tiempo t se comporta según la ecuación

T(t) = – 1,5 t + 40

¿En qué instante se igualan las temperaturas de ambas sustancias?

Resolución:

a) Del gráfico se deduce que la temperatura inicial de la sustancia S es de 200 . Si hacemos el análisis por la ecuación, al inicio t = 0, luego resulta :

T(0) = 2,5 (0) + 20= 20.

b) Si t = 6 min, entonces sustituyendo en la ecuación tendremos

T(6) = 2,5 (6) +20 , luego T(6) = 15 + 20 = 35, es decir, a los 6 minutos.alcanzó 350 .

c) Como la temperatura está dada por la variable dependiente T, igualándolas resulta:

2,5 t + 20 = - 1,5 t + 40

4 t = 20

t = 5

Las sustancias tienen igual temperatura

a los 5 minutos.

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Ejemplo 7

Lal gráfica describe la distancia a que se encuentra un automóvil respecto al punto de partida en el transcurso de 40 minutos.

a) ¿Cuántos kilómetros había recorrido ya a los 10 minutos?

b) ¿Qué tiempo estuvo detenido? Escribe la ecuación correspondiente a ese tramo de la gráfica.

c) ¿Qué distancia había recorrido a

los 1

52

min?

Resolución:

a) La gráfica nos muestra con exactitud la distancia recorrida, indica 30 km.

No obstante, determinemos esa distancia por vía analítica, encontrando la

ecuación correspondiente al segmento de recta AB en el intervalo 0 t 10. Conocemos los extremos de ese segmento: (0; 0) y (10; 30), por lo que podemos entonces hallar la pendiente:

m = 2 1

2 1

s s

t t=

303

10 La ecuación es s = 3t (n = 0) para 0 t 10

Para t = 10, s=3(10)=30, luego se obtiene por vía analítica también que la distancia del punto de partida es de 30 km a los 10 minutos de empezado el recorrido.

b) Estuvo detenido 40 min – 10 min= 30 min.

La ecuación en ese tramo es s(t) = 30 para 10< t 40 (función constante)

c) Como 5,5 pertenece al intervalo 0 t 10, sustituímos en la ecuación s = 3t

luego será s = 3(5,5) = 16,5. A los 1

52

min había recorrido 16,5 km.

Como puedes observar, la función no está definida para todos los números

reales, solo para 0 t 40, luego se dice que tiene dominio acotado. Además, no existe una única ecuación que describa la función, porque está determinada por tramos o intervalos:

3t, para 0 t 10

s(t)30, para 10 t 40

Por eso su representación gráfica en este caso específico está formada por segmentos de recta que se unen por sus extremos.

20

Funciones definidas por tramos o con dominio acotado encuentran aplicación en múltiples ramas del saber y la ciencia.

2.3.3 Inecuaciones lineales.

En el lenguaje común es frecuente escuchar expresiones tales como “el equipo de boxeo obtuvo más del 50% del total de medallas” o “ese alumno obtuvo menos del 40% de los puntos” o “habremos recorrido de 50 a 60 kilómetros en media hora, por lo que hemos avanzado a una velocidad entre 100 y 120 kilómetros por hora”. Otras situaciones un poco más complejas, como el cálculo de la velocidad que como mínimo debe tener un móvil para sobrepasar a otro, requieren del uso de inecuaciones.

Debemos recordar que una inecuación, es una desigualdad que contiene variables. El dominio de definición de las variables se asumirá que es el dominio de los números reales, salvo que se indique lo contrario. El dominio de definición de la inecuación son los valores admisibles del dominio de definición de las variables.

Resolver una inecuación significa determinar todos los valores reales que la satisfacen. Estos valores constituyen el conjunto solución de la inecuación.

Propiedades de la relación “menor que “(Monotonía)

1. Si a < b y b < c, entonces a < c.

2. Si a < b, entonces a + c < b + c y a – c < b – c.

3. Si a < b y c > 0, entonces ac < bc y c

a <

c

b.

4. Si a < b y c < 0, entonces ac > bc y a b

c c.

Expresada con palabras, la propiedad 4 expresa que cuando se multiplica o divide ambos miembros de una desigualdad por una cantidad negativa, se invierte el sentido de la desigualdad.

Una inecuación lineal en una variable es una inecuación que se puede reducir a

una de las formas siguientes : ax + b > 0, ax + b < 0, ax + b 0, ax + b 0 (a

R, b R, x R, a 0).

Cuando dos inecuaciones tienen las mismas soluciones y el mismo dominio de definición, se llaman equivalentes. Para resolver una inecuación lineal se procede de la misma manera que para resolver una ecuación lineal, se realizan transformaciones para pasar de una ecuación a otra equivalente más sencilla.

Ejemplo 1

Resuelve la inecuación 2x – 4 > 10

Resolución:

2x – 4 > 10

21

Se transponen los términos, de forma similar a las ecuaciones, entonces.

2x > 14

x > 7

Gráficamente:

¿Qué significa la solución obtenida?

Significa que satisfacen la inecuación los valores reales mayores que 7, o sea,

el conjunto solución de la inecuación es: S x R: x 7 =(7;+ ). Ambas

formas de representación del conjunto solución son posibles.

Ejemplo 2

Halla los valores reales que satisfacen la inecuación 5 – x > –6.

Resolución:

5 – x > – 6

–x > –11

Observa que la variable está precedida de un signo menos, luego hay que multiplicar toda la expresión por –1 y en tal caso debemos aplicar la propiedad 4, quedando x < 11.

S =S x R: x 11 =(- ; 11)

Ejemplo 3.

¿Para qué valores de x se cumple que 24

32

xx?

Resolución:

24

32

xx para resolver la inecuación debemos transponer los términos que

contienen la variable para un miembro y los otros términos para el otro miembro,

quedando 42

xx 3 – 2 entonces

4

2 xx 1

x 4.

111

7

22

Por lo tanto el conjunto solución es S={x : x 4} = [4; + )

El intervalo es cerrado por su extremo inferior, por eso se coloca el corchete

en 4.

Ejemplo 4

Resuelve la siguiente inecuación – 6 < 2x – 4 < 2.

¿Qué significa está desigualdad?

Significa que se deben resolver las inecuaciones:

2x – 4 > – 6 y 2x – 4 < 2

2x – 4 > –6 2x < 6

2x > –2 x < 3

x > –1

1S 1;

2S ;3

El conjunto solución S estará dado por la intersección de ambos

conjuntos: 1 2S S S . Luego S = {x ; –1 < x < 3}= (–1;3)

Esta inecuación podemos resolverla también de la manera siguiente:

–6<2x–4<2

(1)–6+4<2x<2+4

(2)–2<2x<6

(3) –1< x <3

Justifica cada uno de los pasos (1), (2) y (3).

Ejemplo 5

Resuelve la siguiente inecuación (no lineal) x 1 2 5

Resolución:

Se trata de una inecuación modular. A través de transformaciones se obtiene:

x 1 7 . Si x+1 0, entonces x+1<7. Si x+1<0, entonces –(x+1)>7 , luego

resultan los dos casos siguientes:

1. x+1<7 2. 7> –x–1 ó –7<x+1

3 –1

4

23

Luego, de x 1 2 5 resulta x 1 7 y con ello –7<x+1<7. Restando 1 a cada

uno de los miembros de la doble inecuación se obtiene que el conjunto solución es

S={x R:–8<x<6}= (–8;6).

Gráficamente:

Ejemplo 6 (Contaminación Ambiental)

Tres de los contaminantes de la atmósfera son: el dióxido de carbono, el dióxido de azufre y el freón (sustancia que daña la capa de ozono). Para que la atmósfera se considere limpia, el promedio de estos tres contaminantes debe ser menor que 3,2 por millón. Si los primeros dos contaminantes están en una relación de 2,7 y 3,42 partes por millón respectivamente, ¿en qué rango de valores debe estar el tercer contaminante para lograr una atmósfera limpia?

Resolución:

En el ejercicio se expresa la relación en que deben encontrarse los contaminantes

en la atmósfera, para que esta sea limpia. Si denotamos con x (x 0) las partes por millón de freón que a lo sumo pueden existir en la atmósfera para que esta se considere limpia, esto conduce a la inecuación:

3

42,37,2 x < 3,2

2,7 + 3,42 + x < 9,6

x < 3,48

Respuesta: El tercer contaminante debe tener cualquier valor menor que 3,48 partes por millón o menos. (A la hora de aproximar conviene aquí aproximar por

abajo y decir 3,4 partes por millón o menos).

Ejercicios (epígrafe 2.3)

1. ¿Cuál de las siguientes ecuaciones tiene como solución el número 20?

. x + 19 = 1

x

4

10

3

1327

1 xx

3(x - 4) = 2x + 5.

2. ¿Cuál de las siguientes ecuaciones es equivalente a -4(x - 2) = 50 - 10x?

–4(x - 1) = 46-10x

x = -7

– 8 6

24

x - 2 =4

1046 x

–4x + 8 – 50 + 10 = x

Fundamenta tu respuesta

3. En la ecuación 2

1

10

3z

5

4 multiplica ambos miembros por

12

5 .

Comprueba que obtienes una ecuación equivalente.

4. Resuelve las ecuaciones:

a) x + 3(x –1)= 6 – 4 ( 2x + 3 )

b) 15x = 6x – ( x + 2 ) + (– x + 3 )

c) 10 ( x –9)–9 (5 – 6x ) = 2 ( 4x –3 ) + 5 ( 1 + 2x )

d)( x + 1 )( x –2) – (4x – 1)( 3x + 5) – 6 = 8x –11 (x– 3)( x + 7 )

e) 75

238

5

1

7

1

4

4 xx

xx

f) (x + 5)2 – (x + 1)2 – 16x = (x - 1)2 – (x - 5)2

5. El perímetro de un cuadrado es de 28 cm, entonces su área es de:

16 cm2 . 49 cm2 . 28 cm2 64 cm2

6. Se tiene un par de rectas paralelas cortadas por una secante. Las amplitudes de un par de ángulos alternos A y B son 4x + 150 y 6x – 90 respectivamente. Entonces la amplitud del ángulo A es:

630 84,60 720 95,40

7. Si x = 5 es solución de la ecuación lineal 2m (x–1) = 3, entonces el valor del parámetro m es:

____1

m2

____ 5

m4

____ m = – 5 ____ 3

m8

8. Al despejar t en la ecuación 00 stvs se obtiene:

0

0

sv

st 00 vsst

0

0

v

sst

00 sv

st

25

9. Existe una formula llamada Regla de FRIEND que permite modificar la dosis

de los adultos cuando se trata de niños, según la edad : ta25

2y , donde

a denota la dosis para adultos en miligramos, t, indica la edad de niños en años y y, la dosis para niños. Despeja t.

10. La temperatura T de ebullición de un líquido (en o) a presión normal satisface la ecuación:

6

T+

8

T=

4

40T+

6

30T,

Determina dicha temperatura.

11. Representa gráficamente las rectas siguientes:

xyh3yd

xyg0yc

0xf7yb

9xe5ya

12. Comprueba que 2x + 3y – 5 = 3 describe el lugar geométrico de una recta.

Represéntala gráficamente.

13. Sea 34

128 yx la ecuación de una recta r.

a) Halla la pendiente de dicha recta.

b) Determina cuáles de los siguientes puntos pertenecen a la recta:

(1; 3), (1,5; 0), (2-1; - 6), (0; - 7)

c) Escribe las coordenadas de dos puntos de dicha recta.

d) Represéntala gráficamente.

14. Escribe la ecuación de la recta que pasa por los puntos A (-1; 2) y B (3; 5).

a) Represéntala gráficamente. b) Determina si alguno de los puntos P1 (1 ; 7/3) ó P2 (-1 ; -5) pertenece a la recta AB.

c) ¿Cuál debe ser el valor de a para que el punto 23

2a 1;3

pertenezca a

dicha recta? 15. Traza la recta que pasa por el origen de coordenadas y por el punto M

(2;4).

a) Escribe la ecuación de dicha recta. b) ¿Está situado el punto N (-1 , -2) sobre la recta dada?

26

c) Si (a; 4) pertenece a la recta, hallar el valor de a. 16. La recta x + n = y pasa por el punto de intersección de las rectas x = – 2 ;

y y = 1,5.

a) ¿Cuál es el valor de n? b) Represénta estas rectas gráficamente. 17. Completa las siguientes proposiciones:

a). Si una función lineal definida por f (x) = mx + n es decreciente, entonces la pendiente es __________ . b). Si una función lineal tiene por ecuación f(x) = 10 – 0,5 x entonces se anula para x igual a __________. 18. Escribe la ecuación que define a la función lineal cuya gráfica pasa por el

punto P y tiene pendiente m si :

a) P(- 4 ; 7) y m = - 0,5 b) P(0; 4) y m = - 5

c) P( )5

3;

3

1 y m =

4

1 d) P(1; 3) y m= 0

19. Escribe la ecuación que define a la función lineal cuya gráfica pasa por los puntos P1 y P2 si:

a) P1( - 1; 3) y P2(4; 7) b) P1(3; 1) y P2(7; 5) c) P1(- 2 ; - 1) y P2( - 4 ; - 3 ) d) P1( - 3 ; 5) y P2(7; 5) e) P1(–a; a) y P2 (3a; –a) f) P1(a – b;– b) y P2(a+b; –3b) 20. Las siguientes funciones lineales se deben representar en un sistema de

coordenadas cartesiano en los intervalos que se indica:

a)y 0,7x 1,5; 2,3 x 3,9

7b)y x 3,2; 3,9 x 2,3

10

c)y 3,1x 4; 0 x 2,3

d)y 3,1x 4; 2,3 x 0

21. La relación entre la masa m (en g) y el volumen V (en cm3) de un corcho viene dado por la ecuación m = 0,6V.

Completa:

a) ¿Qué masa tiene un corcho de 5 cm3 de volumen ___________________

b) Si el volumen del corcho crece ¿qué le ocurre a la masa _______________ c) ¿Qué volumen tiene un corcho de 8 g de masa?_______________________

22. Sea f la función lineal dada por 1

f(x) x 63

.

27

a) Halla los interceptos de f con los ejes coordenados y represéntala gráficamente. b) Halla los valores de x para los cuales se cumple que f(x) = g(x), si g(x) = x. 23. Sean f y g las funciones reales dadas por f(x) = –4x + 7 y g(x) = 5x – 11.

a) Determina los valores del dominio para los cuales se cumple que f(x) sea negativa. b) Calcula los ceros de g. c) Determina las coordenadas del punto de intersección de los gráficos de dichas funciones.

24. Sea f : x y la función lineal dada por la ecuación y = ax – 9 . Si x = 3,

entonces y = – 3. Cuando x = 0,5, ¿qué valor toma y?

25. . Halla el valor del parámetro k de forma que:

a) El punto (1; –3) pertenezca a la función f si: 7

32)(

kkxxf

b) k

xxg

15)( tenga pendiente

2

1.

c) El gráfico de la función h (x) = kx + 8x – 6 corte al eje de abscisas en el punto (– 2;0).

26. En el gráfico:

rOP : y = x rPN : y = 5x – 20 a). Calcular las coordenadas de los puntos P y N.

b). Calcular el área de ONP

27. En la figura se tiene que Q (5; 6) y el área de OTQ es 33 cm2

a). Calcular las coordenadas de T. b). Escribir las ecuaciones de las rectas OQ y QT. c). Si se traza la recta y = 3 se forma un trapecio de base mayor OT . ¿Cuáles son las coordenadas de los puntos extremos de la base menor? ¿Cuánto mide la base menor?

28. Dada la función h(x) = (x + 1) x2 + k2x + 2. Determina para qué valores de k se cumple h(–1) = – 3.

29. Las rectas r1 y r2 están representadas B 3 r1 C 3 O A

Y P O N X

Y Q O T X

28

en la figura: a). Escribe una ecuación de la recta AB. b). Calcula el área del trapezoide simétrico OABC. ESTA FIGURA DEBE MEJORARSE

30. Sean las funciones reales h(x) = 5x + 14 y p(x) = x.

Prueba que B = 53

27h

p es múltiplo de 21.

31. Dada las funciones: f(x) = 4x + 12 y g(x) = 3. Prueba que:

A = 5445

2g

f es divisible por 3.

32. Traduce del lenguaje común al algebraico y escribe la inecuación correspondiente según el texto, además determina el dominio según el caso.

a). En los meses de verano la temperatura de nuestro país oscila, entre los 27 y 33 grados centígrados. b). La atención primaria, es uno de los Programas priorizados de la Revolución en la esfera de la salud, en Cuba todos los niños sin excepción desde que nacen hasta unos días antes de cumplir los tres años reciben la dosis de la vacuna contra la poliomielitis. c). Como parte de la verdadera democracia de nuestro país, todos los ciudadanos al arribar a los 16 años de edad tiene derecho a ejercer el voto en los procesos eleccionarios.

33. Selecciona la respuesta correcta:

A. La inecuación 3( x -5) < 5 -2 ( -x + 1) se satisface para: __ x < 9 ___ x > 9 ___ x < -9 ___ ninguna de las anteriores.

B. El conjunto 7a:Ra es el conjunto solución de la inecuación:

____ 3 a -19 < 2 a – 12 ____ 3 a -19 < -2 a – 12 ___ - 3 a -19 > 2 a – 12 ____ ninguna de estas. C.La inecuación 2 + 5x < 5 ( x + 1 ) _____Tiene una única solución. _____ No tiene solución. _____ Tiene infinitas soluciones.

29

_____Tiene como solución los valores reales de x tales que x < 2

D. Si x 3, la inecuación equivalente es :

___ 3

11

x ____

3

11

x ____ 3

1

x ____ 3

1

x

34. El no considerar la equivalencia de las transfomaciones que se realizan conduce a errores. ¿Qué errores se cometieron en la transformación de (I) en (II)? Fundamenta su respuesta.

a)5x<10(I); x<10(II) b)2x+3>4(I); x+3>2(II)

c)x 5

12

(I); x+5>1(II)

d)–x<8(I); x<-8(II) e)7x–14>7(I); x–2>0(II)

35. Indica cuáles de las inecuaciones siguientes son equivalentes entre sí. Fundamenta tu respuesta.

a) x+1<5–7x 7x–4>9x–5

x<1

2

b) 4x+5<2x – 4 x<7 8–7x>9+2x

36. Resuelve las inecuaciones dadas a continuación:

a).4x – 5 < 2x – 3 b).5 – 3x 9 – 2x

c).5x + 16 2x – 4 d).7x + 3 10x +14

e).7

54x> x + 3 f).

3

525

4

83 xx

37. Determina el conjunto solución de las siguientes inecuaciones y representa graficamente la solución.

a) 5x – 12 > 3x – 4 b) 3x – 4 + 0,25 < 2,5x + 2

c) 7 – 0,5x > 63

5x d) 2x-

3

5>

3

x + 10

e) 32

x > 12

4

x f) 2 ( x +3 ) -2 < 6x – 12

g) ( 4x +3 )2 – 12x > ( 4x +3) ( 4x – 3 ) + 18x h) 5

)2)(2( xx>

2

5362 xx

30

38. Resuelve las siguientes inecuaciones en el dominio de los números reales:

a) u 4 7 b) b 1 4 c) a 3 12 d) x 3x

e) x 4 0 f) v 7 7 g)3 y 5 h) u 4 3

39. ¿ Cuáles de las siguientes proposiciones son falsas?Justifica tu respuesta.

a) Existen inecuaciones de primer grado con una variable que sólo tienen una solución ___ b) Hay inecuaciones de primer grado que no tiene solución _____

c) La inecuación 9 - 2

32)3(

3

2 xx tiene por solución a las x 6 ____

d) Si al resolver una inecuación lineal con una incógnita se obtiene la expresión 0 > 5, entonces esto significa que no tiene solución._____

40. La representación gráfica del conjunto solución de una inecuación lineal es:

Selecciona a cuál ( les ) de las inecuaciones siguientes puede corresponder: a) ____2 ( 2x +3 ) < 6 ( x -2 ) + 10 b) _____3 –m > 4 ( m-3 )

c) ___ 32

x< 2x d) ___

4)7(

3

2 xx >

6)3(

2

1 xx

41. El metronidazol es un antiparasitario que se aplica de 20 a 40 mg por kg de peso, cada 24 horas, en dosis diaria de hasta 10 días en Amebiasis. Determina la dosis diaria necesaria para una persona que pesa aproximadamente 145 libras.

42. Demuestra que en un triángulo cualquiera la mitad del perímetro es mayor que la longitud del mayor de los lados.

43. Hasta abril del 2002, la diferencia entre los técnicos deportivos cubanos y los técnicos de la salud que laboraban en la República Bolivariana de Venezuela era de 379. Si el número de técnicos deportivos excede en 151 al doble de los técnicos de la salud. Determina el número de técnicos de ambas especialidades. “La variable d representa el número de técnicos deportivos”.

d + 151 = 2(d – 379) d – 151 = 2(d – 379)

d –151 = 2(379 – d) d + 2(d – 379) = 151

44. El número de asistentes a una base de campismo durante el mes de agosto triplica la cantidad de asistentes durante el mes de enero. Si entre

2

31

ambos meses asistieron 15 200 personas. ¿Qué cantidad de personas asistieron en cada mes?

45. A una escuela se envían 12 libretas para cada alumno, pero al aumentar la matrícula en 60 alumnos, a cada uno le correspondió 2 libretas menos. ¿Cuál es la matrícula actual de la escuela?

46. Con un medidor radial de alturas se determina la altura h de un avión con respecto al nivel del mar. Se procede midiendo el tiempo transcurrido desde la emisión hasta la reflexión de la señal reflejada. Si la velocidad de propagación de las ondas de radio es de c = 300 000 km s-1, calcule cuánto se demora la señal cuando el avión está a 1500m.

47. Un individuo extrae de su cuenta de ahorros las 5

4 partes de su dinero, le

presta a su hermana 8

3 de lo que extrajo y gastó el resto del siguiente

modo: la mitad en un radio, la quinta parte en ropa y $120 en libros. ¿Qué cantidad le quedó en su cuenta?

48. Una excavación para hacer una cisterna tiene 4,0 m de profundidad y su largo excede en 4,0 m al ancho. Si la obra cuesta $528.00, y excavar el metro cúbico de tierra cuesta $0,80, ¿Cuáles son las dimensiones de la excavación?

49. El tiempo máximo en minutos que debe tardarse un alumno en resolver un problema se descompone del modo siguiente: 1/15 del total en leerlo; 2 minutos en plantearlo, el 75% del tiempo restante en resolverlo, en la comprobación 2 minutos más que el empleado en la lectura. ¿Qué tiempo tiene disponible para la comprobación?

50. Un tanque tiene una cantidad de agua equivalente a la cuarta parte de su

capacidad, y le faltan 210 litros para llegar a las 6

5 partes de su

capacidad. ¿Cuántos litros de agua hay en el tanque?

51. En un edificio de apartamentos se hacen unos arreglos, y el costo promedio es de $200.00 por apto. Los vecinos de 8 aptos no pueden colaborar por lo que el costo promedio entre los restantes aptos es ahora de $250.00. ¿Cuánto cuesta la obra? ¿Cuántos aptos tiene el edificio?

52. Dos trabajadores cargaron de leña varios camiones. Ambos comenzaron a trabajar juntos y a la hora del receso el segundo había llenado 8 camiones. Después del receso continuaron trabajando durante dos horas y en ese tiempo el segundo cargó dos camiones más que los que el primero cargó en una hora. Además, el primero cargó doce camiones

32

menos que los que cargaron los dos juntos después del receso. ¿Cuántos camiones cargaron los dos trabajadores durante la jornada de trabajo?

53. En una prueba realizada con dos motores A y B de combustión interna de igual potencia, se comprobó que el motor A gastó 600 g de bencina y el B, que estuvo encendido 2 h menos que el A , gasto 384 g . Si el motor A hubiera gastado por cada hora de trabajo la misma cantidad que el B y este la misma cantidad que el A, entonces ambos motores hubieran gastado la misma cantidad de bencina durante el tiempo que permanecieron encendido.¿Qué cantidad de bencina consumen en una hora cada uno de los motores ?

54. Dos albañiles, de los cuales el segundo comienza a trabajar 1½ días después que el primero, terminan de construir una pared trabajando juntos, siete días después que el primero inició el trabajo. Para hacer este trabajo cada uno solo, el primer albañil tarda tres días más que el segundo. ¿Qué tiempo demorará cada albañil en construir la pared?

55. Para una reunión de Rendición de Cuentas el Delegado solicita el préstamo de un número determinado de bancos de madera de 3 plazas. Si los participantes se sientan de 3 en 3 sobrarían 3 bancos, y si se sientan de 2 en 2 quedarían de pie 18 participantes. ¿Cuántas personas asistieron a la reunión?

56. Dos disoluciones que contienen 0,8 kg y 0,6 kg de H2SO4 deshidratado, respectivamente, se mezclaron y se obtuvo 10 kg de solución de H2SO4. Calcular la masa de cada disolución, si en la primera se tomó un 10% más de H2SO4 deshidratado que en la segunda.

57. Se tienen 2 bloques de acero de distinta calidad, uno contiene el 5% de níquel y el otro el 40%.¿Qué cantidad de kg se necesita tomar de cada pedazo de acero para obtener 140 kg de acero que contenga el 30% de níquel?

58. Una persona compró cierto número de naranjas. Si por el mismo dinero que pagó le hubiesen dado 56 naranjas más, cada naranja le habría costado un centavo menos, pero si le hubiesen dado 24 naranjas menos, cada una le habría costado un centavo más. ¿Cuántas naranjas compró y qué precio pagó por cada una?

59. Las vitaminas vitales para el organismo se obtienen cuando se consume una dieta balanceada, es decir, cuando se consumen productos de diferentes grupos, como por ejemplo entre arroz, verdura y huevo debe consumirse cuatrocientos cincuenta gramos, donde el número de gramos de arroz excede en cien a los gramos de huevo y el de las verduras debe ser dos veces la de arroz menos la cantidad de gramos a consumir de huevo. Determina cuántos gramos de cada alimento deben ser consumidos en la selección hecha.

33

60. Alberto viajó con su moto a un lugar situado a 45 km de distancia. Para

llegar puntualmente después de 3

4h, tendría él que haber elevado su

velocidad en 10 km/h. Como no lo hizo, llegó tarde. ¿Con qué velocidad viajó Alberto?

61. Un autobús aventajaba en 3 km a una motocicleta, cuando esta partió tratando de alcanzarlo. ¿A qué distancia del lugar de arrancada alcanzará la motocicleta al autobús, si sus velocidades se comportaban en la razón 8 : 5?

62. Una granja de cítricos está ubicada en un terreno cuadrado, y se quieren sembrar las posturas formando cuadrados. Una cuadrilla de trabajadores agrícolas salen a plantar las posturas y al completar un cuadrado le sobran 132, intentan sembrar una fila más de largo y una más de ancho, pero faltan 29 posturas para formar el cuadrado ¿Cuántas posturas tenían?

63. Plantea preguntas a partir de las siguientes situaciones, que te permitan extraer conclusiones sobre la base del uso de tus conocimeintos matemáticos, buscando de ser preciso informaciones en otras fuentes..

a)África subsahariana alberga a más del 60% de todas las personas enfermas del VIH, es decir, 25,4 millones de enfermos.

b)La situación de la mujer ha cambiado radicalmente en nuestro país a paritr del triunfo de la Revolución. La mujer representa:

45% del total de trabajadores del país.

66,2 % entre técnicos y trabajadores

55% en el sistema de Ciencia e innovación

35,4 % de los dirigentes

35,4 % de los diputados en el Parlamento Nacional

c) En la intervención del compañero Felipe Pérez Roque, Ministro de Relaciones Exteriores, ante el 59 período ordinario de sesiones de la Asamblea General de Naciones Unidas en Nueva york, el 24 de septiembre de 2004, este se refirió a que los modestos objetivos de la Declaración del Milenio no serán cumplidos:

“Quisimos disminuir a la mitad para el 2015 los 842 millones de hambrientos registrados en el mundo. Se requería disminuir 28 millones por año. Sin embargo, apenas se ha estado reduciendo 2,1 millones de hambrientos por año. A este ritmo la meta se lograría en el año 2215, doscientos años después de lo previsto y eso solo si nuestra especie sobrevive a la destrucción de su medio ambiente.”

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