DESIGUALDADES LINEALES Y SISTEMAS DE DESIGUALDADES · PDF fileSistemas de desigualdades...

DESIGUALDADES LINEALES Y

SISTEMAS DE DESIGUALDADES

LINEALES

¿Qué es una desigualdad lineal?

• Una desigualdad lineal con dos variables “x” y “y” puede

escribirse en la forma:

ax+by+c < 0 (puede ser también >, ≥, ≤ )

o de la forma

y < mx + b (puede ser también >, ≥, ≤ )

•donde a y b son constantes, con a y b no ambas

igual a cero.

¿Qué es la solución de una desigualdad

lineal?

• La solución de una desigualdad lineal (en x,y) consiste de

todos los pares ordenados, (x, y), que satisfacen dicha

desigualdad.

• Geométricamente, este conjunto solución corresponde a

una región del plano cartesiano xy.

Ejemplos

a) Determine si (5,1) es una solución de y > 2x + 3

Reemplazamos y con 1 y x con 5 para obtener

1 > 2(5)+3

1 > 13

(5, 1) NO es solución de la desigualdad original.

b) Determinar si (-3,0) es una solución de 3x – y < -2

Es una aseveración falsa

Graficar el conjunto solución de una

desigualdad

Ejemplo 1: Grafique el conjunto solución de y ≥ x

6

4

2

2

1 4 3 6 5

1

3

5

y = x Gráfiquemos la recta frontera

La gráfica de la desigualdad es la

región del plano en la que se

encuentran todos los pares

ordenados que

hacen cumplir la desigualdad.

(0,0) (4,4) Dos puntos:

Región 1

Región 2

Graficar el conjunto de soluciones

Ejemplo 1: (cont.) y ≥ x

6

4

2

2

1 4 3 6 5

1

3

5

1. Elige dos puntos, uno de

cada lado de la recta.

(4,1)

(1,3)

Para graficar la desigualdad:


Ejemplo 1 (cont.) y ≥ x

6

4

2

2

1 4 3 6 5

1

3

5

(4,1)

(1,3)

2. Verificar que los puntos satisfacen la desigualdad.

(1,3) y ≥ x sustituir en

3 ≥ 1 ☺

☺

(4,1) y ≥ x sustituir en

1 ≥ 4


6

4

2

2

1 4 3 6 5

1

3

5

(4,1)

(1,3)

3. Sombrear el lado donde se encuentra el par ordenado que

satisface la desigualdad.

☺

Ejemplo 1 (cont.) y ≥ x

Si la desigualdad es ≥, ≤

entonces los puntos sobre la

recta también pertenecen al

conjunto solución.

Graficar el conjunto solución de la desigualdad

x - 2y ≤ 4

3

1

2 -1 1 4 3 6 5

-2

2

x - 2y = 4

y = x - 2 1 2

Despejar la ecuación de la recta para y

Grafique la recta


Solución: Usar la ecuación como punto de comienzo.

(0,-2) (4,0) Dos puntos:

Considere la desigualdad

x - 2y ≤ 4

3

1

2 -1 1 4 3 6 5

-2

2

x - 2y = 4

(0,1)

(6,0)

y = x - 2 1 2


Elija un punto en cada región.

Considere la desigualdad x - 2y ≤ 4 (cont.)

3

1

2 -1 1 4 3 6 5

-2

2

(0,1)

(6,0)

(0,1) sustituir en

x - 2y ≤ 4

0 - 2(1) ≤ 4

-2 ≤ 4 ☺ ☺


Pruebe los puntos en la desigualdad original.

Elegir un punto en cada región.

(6,0) sustituir en

x - 2y ≤ 4

6 - 2(0) ≤ 4

6 ≤ 4

x - 2y ≤ 4

(6,0) sustituir en

x - 2y ≤ 4

6 - 2(0) ≤ 4

6 ≤ 4

3

1

2 -1 1 4 3 6 5

-2

2

(0,1)

(6,0)

☺



x - 2y ≤ 4, (cont.)

¡¡ Sombrear el lado donde se encuentra el par ordenado

que satisface la desigualdad!!

3

1

2 -1 1 4 3 6 5

-2

2

(0,1) ☺



x - 2y ≤ 4

Se puede trabajar directamente con la desigualdad.

Primeramente, se despeja la desigualdad para y:

3

1

2 -1 1 4 3 6 5

-2

2

Método alterno

x - 2y ≤ 4

- 2y ≤ 4 - x

−2𝑦

−2≤4 − 𝑥

−2

Recuerda que al dividir o

multiplicar una

desigualdad por un

número negativo, debes

cambiar la desigualdad. 𝑦 ≥ 1

2𝑋−2

El símbolo ≥ implica que las

soluciones se encuentran en la

región que está en y sobre la recta

Considere nuevamente desigualdad

x - 3y > -3


Sistemas de desigualdades lineales Un sistema de inecuaciones lineales en una variable es el conjunto

formado por dos o más inecuaciones lineales de la forma

o con cualquier otro signo de desigualdad, donde

𝑎1, 𝑎2, … , 𝑎𝑛 y 𝑏1, 𝑏2, … , 𝑏𝑛 son coeficientes lineales y 𝑐1, 𝑐2, … , 𝑐𝑛 son

constantes.

El conjunto solución de un sistema es el conjunto de pares ordenados

que satisface simultáneamente todas las desigualdades del sistema.

La región del plano que contiene el conjunto solución del sistema se

conoce como la región factible del sistema.

𝑎1𝑥 + 𝑏1𝑦 < 𝑐1𝑎2𝑥 + 𝑏2𝑦 < 𝑐2𝑎3𝑥 + 𝑏3𝑦 < 𝑐3

Resolviendo un sistema de

desigualdades

x + y ≥ -1

-2x + y < 2 3

1

2

-1

1 3

2

-2 -3 -1

Ejemplo 1: Determine el conjunto solución de:


desigualdades

x + y ≥ -1

-2x + y < 2

El conjunto solución

del sistema se encuentra

donde las dos regiones

sombreadas

se intersecan, incluyendo

las fronteras, si es necesario.

Ejemplo 1: (continuación)

región factible


desigualdades

-2x + 3y < -6

5x + 4y < 12

Ejemplo 2: Muestre el conjunto de soluciones en el plano de:


desigualdades

-2x + 3y < -6

5x + 4y < 12


El conjunto de soluciones

del sistema se encuentra

donde las dos regiones

sombreadas

se intersecan, NO se

incluyen

las fronteras.


desigualdades

x - 4y ≤ 12

4y + x ≤ 12

Ejemplo 3: Determine el conjunto de soluciones de:


desigualdades

x - 4y ≤ 12

4y + x ≤ 12


El conjunto de soluciones del

sistema se encuentra donde las

dos regiones sombreadas se

intersecan. (Se incluyen

fronteras.)

Aplicaciones EJEMPLO (Inversiones) Un accionista planea invertir $30,000 en

dos inversiones; A y B. La acción A está valuada actualmente en

$165 y la acción B en $90 por acción. La acción A actualmente

paga un dividendo de $6 por acción y la inversión B paga $5 por

acción. Si el accionista requiere que la inversión le pague más de

$1400 en dividendos, bosqueje la gráfica de la región permitida.

SOLUCION:

Existen dos inversiones:

x: acciones de A que se compran

y: acciones de B que se compran

Ecuaciones:

• El valor total de las acciones que se compran no puede pasar de

$30,000.

165x + 90y ≤ 30,000

• El inversionista quiere ganar más de $1400

6x + 5y > 1400

Aplicaciones (cont.)

SOLUCION:

Existen dos inversiones:

x: acciones de A que se compran

y: acciones de B que se compran

El sistema que debemos resolver es: 165x + 90y ≤ 30000

6x + 5y > 1400

y ≥ 0

x ≥ 0

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