SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES...Los sistemas de ecuaciones y de desigualdades lineales de primer...

INSTITUCIÓN EDUCATIVA NUESTRA SEÑORA DEL PALMAR

SEDE LICEO FEMENINO

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Versión: 002 Emisión 02/09/2008 Actualización 02/12/2010

GUIA No. 2 GRADO NOVENO

“No comparto lo que dices, pero defenderé hasta la muerte tu derecho a decirlo” Voltaire

SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

¿CÓMO SURGIO?

El matemático francés René Descartes (1956-1650), a través de sus estudios, logró mostrar cómo

pueden interpretarse geométricamente las operaciones algebraicas. Una de sus obras, La

Geometría, la dedica a la aplicación del álgebra a la geometría y de la geometría al algebra.

Descartes se dio cuenta de que todas las propiedades de una curva en el plano pueden

determinarse conociendo su ecuación con dos incógnitas.

Un contemporáneo de Descartes, el también francés Pierre de Fermat (1601-1665), interesado en

la representación gráfica de las soluciones de ecuaciones, trabajó en su libro Introducción a los

lugares geométricos planos y sólidos lo relacionado con el tema. Concentró su atención en la

representación de la ecuación lineal y eligió un sistema de coordenadas arbitrario para graficarla.

En primer lugar trabajó la ecuación de la forma Dx = By, cuya gráfica es una recta que pasa por el

origen de coordenadas, como una semirrecta con origen en el origen de coordenadas, ya que

Fermat, al igual que Descartes, no utilizaba abscisas negativas. La ecuación general de la recta la

representaba mediante un segmento rectilíneo (o una semirrecta) en el primer cuadrante, con

origen en los ejes coordenados.

El matemático francés Etienne Bézout (1730-1783) presentó, en 1764, a la Academia de París, un

tratado titulado Teoría general de ecuaciones algebraicas, donde enuncia un conjunto de reglas

para resolver sistemas de n ecuaciones lineales con n incógnitas, o un sistema de ecuaciones con

una o más incógnitas, en el que se busca una condición sobre los coeficientes, para que el sistema

tenga al menos una solución.

¿EN QUÉ SE APLICA?

Es posible expresar la relación entre datos conocidos y desconocidos a través de una ecuación

lineal de primer grado y encontrar su solución. Sin embargo, existen problemas que no pueden

expresarse mediante una sola ecuación lineal de primer grado, sino a través de dos o más

ecuaciones lineales de primer grado, con dos o más incógnitas.

INSTITUCIÓN EDUCATIVA EDUARDO SUAREZ ORCASITA ASIGNATURA: Algebra GRADO: Noveno PROFESOR: Láides Baleta Guia__NOMBRE_________________________________________ FECHA:____________


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En las relaciones funcionales, la incógnita dependiente aparece en forma explícita, teniéndose una

ecuación con dos incógnitas como en el caso: en donde se expresa como función

de x y se establece la dependencia de respecto a por medio de una igualdad. Cualquier par de

números, uno para y otro para que haga verdadera la ecuación, es solución de ella. Se pueden

obtener tantas soluciones como se desee, asignando diferentes valores a y calculando el

correspondiente valor de , en cada caso.

Los sistemas de ecuaciones y de desigualdades lineales de primer grado, se usan en el comercio

para relacionar ventas, compras, pérdidas, ganancias y porcentajes; en la industria, para indicar

situaciones de mezclas de materiales y su solución corresponde a las condiciones óptimas; en la

descripción del movimiento rectilíneo, para indicar las velocidades que alcanza un móvil que se

desplaza a favor de la corriente o en contra de ella; y en geometría, para indicar regiones limitadas

por líneas rectas.

ME PREPARO

1) En cada ecuación despeja la incógnita indicada

a)

, r

b) ( )

2) Escribo tres pares de números que sean solución de la ecuación

3) Grafico en un solo plano las siguientes rectas

4) El perímetro de la siguiente figura es 180 cm. Hallo valores naturales de a y b que sean

solución.


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SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

Procedimiento gráfico: 1.

2.

Las gráficas correspondientes a las ecuaciones 1 y 2. Son líneas rectas; al trazar estas dos líneas

rectas pueden presentarse 3 casos:

a. Que se corten; en este caso la solución del sistema de las ecuaciones está dada por las

coordenadas del punto de corte.

b. Que sean paralelas y no coincidan; en este caso no hay punto de corte y se dice que el

sistema no tiene solución. Las dos ecuaciones son incompatibles.

c. Que coincidan; en ese caso el sistema tiene infinitas soluciones y decimos que las

ecuaciones son equivalentes (es la misma recta).

Ejemplos:

1. Encontrar el punto de intersección correspondiente al siguiente sistema:

(1)

(2)

(1)

(2)

La solución del sistema es:

Al hacer el dibujo, el punto de corte es (2,3). ¿Cuál es la pendiente de cada una de las rectas?

X Y

0 6

1 4.5

X Y

0 1/3

1 5/3


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2. Encontrar el punto de intersección correspondiente del sistema

(1)

(1)

(2)

+

El sistema no tiene solución

Sus gráficas son rectas paralelas y diferentes, entonces no hay solución

3. Encontrar el punto de intersección correspondiente al siguiente sistema

(1)

(2)

(1)

(2)

X Y

0 1/2

1 -1

X Y

0 -3/4

1 -9/4

X Y

0 1/5

1 3/5

X Y

0 1/5

1 3/5


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Al hacer las gráficas resultan dos rectas paralelas que coinciden, entonces los puntos de

dicha recta son solución del sistema:

¿Cuál es la razón (cociente) entre los coeficientes de las x?

¿Cuál es la razón (cociente) entre los coeficientes de las y?

¿Cuál es la relación (cociente) entre los términos independientes?

ACTIVIDAD No. 1

1. Encontrar el conjunto de intersección correspondiente a cada uno de los siguientes

sistemas.

a. b.

c.

d.

2. Halla la pendiente de cada una de las rectas de los ejercicios (a), (b), (c), (d).

3. Si dos rectas son paralelas, ¿Cómo son sus pendientes?.

4. Halla la relación entre los coeficientes de las x en los ejercicios (a), (b), (c), (d).

5. Halla la relación entre los coeficientes de las y en los ejercicios (a), (b), (c), (d).


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PROCEDIMIENTOS ALGEBRAICOS

Ejemplo: Resolver el sistema

REDUCCIÓN SUSTITUCIÓN IGUALACIÓN

a. Igualamos los coeficientes de la incógnita que vamos a eliminar: multiplicamos la ecuación (1) por el coeficiente de la incógnita en (2), y multiplicamos la ecuación (2) por el coeficiente de la incógnita en (1); luego, sumamos o restamos las ecuaciones para eliminar.

En nuestro ejemplo: eliminemos x: Multiplicamos (1) por 6 Multiplicamos (2) por 3

Como los coeficientes de la incógnita que queremos eliminar tienen el mismo signo, de la primera restamos la segunda:

b. El valor hallado lo sustituimos en cualquier ecuación para buscar el valor de la incógnita que falta.

a. Despejamos una de las incógnitas en cualquier ecuación. En nuestro ejemplo: Despejamos x en la ecuación (1):

b. Sustituimos en la

otra ecuación el valor despejado. En la ecuación (2) sustituimos por x por

(

)

c. Resolvemos la ecuación:

d. El valor hallado lo

sustituimos en la otra ecuación para hallar

a. Despejamos la misma incógnita en ambas ecuaciones. En nuestro ejemplo: despejamos x en (1), y en (2):

( )

( )

b. Igualamos los segundos

miembros en ambas ecuaciones. En nuestro caso:

c. Resolvemos esta nueva

ecuación para despejar la otra incógnita. Despejamos y:

( )

(-5y+1)


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En nuestro ejemplo:

Sustituimos

en (1)

(

)

el valor de la incógnita.

Sustituyendo

( )

(

)

d. El valor hallado lo

sustituimos en cualquier ecuación para despejar el valor de la incógnita que falta. En nuestro ejemplo: Sustituimos:

( )

(

)

SOLUCION GRÁFICA

1.

2.

X Y

0

1

X Y

0

1


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SISTEMA DE TRES ECUACIONES SIMULTÁNEAS CON TRES INCÓGNITAS

Resolvamos el siguiente sistema:

Método de reducción:

a. Eliminamos la x multiplicando la (1) por 3

Y la (2) por 2

(4)

b. Eliminamos la x en (2) y (3) multiplicando

La (2) por 5 y la (3) por 3

(5)

c. Eliminamos y en (4) y (5) multiplicando la (4)

Por 1 y la (5) por 13 y restamos los dos

Resultados

(6)

d. Sustituimos el valor encontrado de

( ) ( )

(7)

e. Sustituimos los valores encontrados de y y z

En la ecuación inicial (1) ( ) ( )

Luego la terna (2, 1, -1) es la solución del sistema propuesto.


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ACTIVIDAD No. 2

Resuelve cada uno de los siguientes sistemas de ecuaciones simultáneas con tres

incógnitas:

a. b.

c. – d.

e.

f.

PROBLEMAS CUYA SOLUCIÓN PLANTEA UN SISTEMA DE ECUACIONES SIMULTANEAS

1. La suma de dos números es 47 y su diferencia es 18. ¿Cuáles son los números?.

Paso 1: Identificamos las incógnitas

Paso 2: Expresamos la literatura del problema en símbolos matemáticos:

La suma de dos números es 47 y la diferencia es 18:

Paso 3: Resolvemos el sistema por uno de los tres métodos explicados:

Método de reducción: sumando las dos ecuaciones, obtenemos:

X = Un número Y = El otro número

X + Y = 47 X – Y = 18


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Paso 4: El valor hallado lo sustituimos en una de las ecuaciones iniciales:

2. La relación (cociente) entre dos números es ¾ y el doble del número mayor disminuido en el número menor equivale a 30. ¿Cuáles son los números?.



La relación entre dos números es

El doble del número mayor disminuido en el número menor equivale a 30

Paso 3: Resolvemos el sistema por uno de los tres métodos explicados:

Método de igualación: Despejamos y en ambas ecuaciones:

Paso 4: El valor hallado lo sustituimos en una de las ecuaciones iniciales:

( ) 3. Un número tiene 3 cifras. La suma de las cifras del número equivale a 13; la

diferencia entre las unidades y la suma de las decenas con las centenas es 3; y la diferencia entre el número invertido y el número inicial es 594. ¿cuál es el número?

X = Número mayor Y = Número menor


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Paso 1: Identificamos las incógnitas:

Paso 2: Expresamos la literatura del problema con símbolos matemáticos: la suma de las cifras equivale a. a 13.

La diferencia entre las unidades y la suma de las b. ( ) decenas con las centenas es 3.

Número inicial Número invertido La diferencia entre el número invertido y el número inicial es 594

c. ( )

Paso 3: Resolvemos el sistema por uno de los 3 métodos explicados:

(1) (2) (3)

Paso 4: El valor hallado lo sustituimos en (3) El valor de X y el valor de Z lo sustituimos en (1).

4. Un comerciante mezcla café de $30 con café de $26.50 y obtiene una mezcla de 150 kg que vende a $29.20 el kg. ¿Cuántos kg de cada clase de café utilizó?

Paso 1: Identificamos las incógnitas:

X= Unidades Y = Decenas Z= Centena

𝑥 𝑦 𝑧 𝑥 𝑦 𝑧 𝑥 𝑧

𝑥 𝑥

REDUCCIÓN Sumando (1) y (2)

Número: 238

X= Kg de $ 30 Y= Kg de $26.50


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La mezcla obtenida es de 150 Kg (1) Precio total de la mezcla ( ) ( ) Valor de la primera mezcla (2) Valor de la segunda mezcla

(1) (2)

Paso 3: Resolvemos el sistema por uno de los 3 métodos explicados: Eliminamos la X multiplicando la (1) por 30 y restando los dos resultados.

Paso 4: El valor hallado lo sustituimos en una de las ecuaciones sustituyendo en (1):

5. Dos aeropuertos A y B se encuentran a una distancia de 1200 km. Un avión con el

viento a su favor, voló desde A hasta B en 3/2 horas; de B hasta A, con el viento en contra, hizo el recorrido en 2 horas. Suponiendo que la velocidad del avión y del viento son constantes, ¿Cuál es la velocidad del avión y cual la velocidad del viento?.


MÉTODO: REDUCCIÓN

X= Velocidad del avión Y= Velocidad del viento


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Paso 2: Expresamos la literatura del problema con símbolos matemáticos Velocidad del avión con el viento a favor → Velocidad del avión con el viento en contra → Distancia es igual a velocidad por tiempo

( )

→ ( )

( ) ( )

Paso 3: Resolvemos el sistema por uno de los 3 métodos estudiados:

Paso 4: El valor hallado lo sustituimos en (1):

( )

6. La diferencia de dos capitales es $16000 y la diferencia de los intereses entre el capital mayor colocado al 3% y el capital menor colocado al 5% es de $80, ¿Cuáles son los capitales?


Paso 2: Expresamos la literatura del problema con símbolos matemáticos: La diferencia de 2 capitales: ( )

Interés del capital mayor

Interés del capital menor

Diferencia entre los intereses

( )

Paso 3: resolvemos el sistema por uno de los tres métodos explicados:

REDUCCIÓN: Eliminamos y multiplicamos (1) por 2 y multiplicando (2) por 3:

X= Capital mayor Y= Capital menor


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Sustituyendo en (1)

Paso 4: El valor hallado lo sustituimos en (1):

ACTIVIDAD No. 3

PROBLEMAS SOBRE ECUACIONES SIMULTÁNEAS

1. La suma de dos números es 140 y su diferencia es 28. ¿Cuáles son los números?.

Resp: 84 y 56.

2. Dos ángulos son complementarios y su diferencia es 14°20’. ¿Cuánto mide cada

ángulo?.

Resp: 52°10’ y 37°50’.

3. La diferencia de dos números es 86 y la suma de los dos números equivale a los

del número menor. ¿Cuáles son los números?.

Resp: 32,25 y -53,75.

4. Dos ángulos son suplementarios; el cociente entre ellos es

. ¿Cuántos grados mide

cada ángulo?.

Resp: 100° y 80°.

MÉTODO DE SUSTITUCIÓN: Despejamos x en (2) y lo sustituimos en (1):


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5. Dos ángulos son suplementarios y el triple de la diferencia de los dos equivale a

doce veces el ángulo menor. ¿Cuánto mide cada ángulo?.

Resp: 150° y 30°.

6. La suma de dos números es 50 y si dividimos el número mayor entre el número

menor obtenemos dos de cociente y cinco de residuo. ¿Cuáles son los números?.

Resp: 35 y 15.

7. La diferencia de dos números es dieciocho y el cociente de dividir el número mayor

entre el número menor es cuatro y el residuo es tres: ¿Cuáles son los números?.

Resp: 23 y 5.

8. La diferencia entre las cifras de un número es 7 y la suma de las cifras es 11. ¿Cuál

es el número?.

Resp: 92.

ACTIVIDAD No. 4

I) Resuelve los siguientes problemas:

1. El viernes en el almacén “Trapos” se vendieron pantalones a $25000 cada uno y

camisas a $18000 cada una. Las ventas totales de esas prendas fueron de $441000.

El sábado el almacén vendió cada pantalón y cada camisa a $20000 y las ventas

ascendieron a $420000.

¿Cuántos pantalones y camisas se vendieron cada uno de esos días?.

Resp: 9 pantalones y 12 camisas.

2. Con el viento a su favor, un helicóptero recorrió 480 km en 1 hora y 40 minutos. En

el viaje de regreso y con el viento en su contra, el helicóptero tardó 20 minutos

más. Encuentra la velocidad del viento y la del helicóptero.

Resp:

3. Una llamada internacional tiene un cargo fijo por el primer minuto y una tarifa

diferente por cada minuto adicional. Si una llamada de 7 minutos cuesta US $10 y

una de 4 minutos cuesta US $6,40. Encuentra el costo del primer minuto y del

minuto adicional.


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Resp: Costo primer minuto: 2.8 y con minuto adicional 1.20.

4. Una empresa de servicios se especializa en preparar y atender fiestas. Esa empresa

cobra una tarifa fija más un costo adicional por cada invitado. Si los costos por

atender a 25 invitados son de $ 3.000.000 y los costos por atender a cuarenta

invitados son de $ 4.200.000, ¿Cuál es la tarifa fija y cuál es el costo por invitado?.

Resp: Cargo fijo $1.000.000 y cada invitado $80.000.

5. Un plomero cobra $28.000 por hora de trabajo, mientras que un aprendiz de

plomero cobra $15.000 la hora. En una cierta obra el plomero trabajó 3 horas más

que el aprendiz. Si entre los dos cobraron $213.000, ¿Cuánto ganó cada uno?.

(Ayuda: primero escribe una expresión para el número de horas que trabajó cada

uno).

Resp: Plomero 168.000

Aprendiz 45.000

6. En una competencia de biatlón, Marlon cubrió una distancia total de 9 kilómetros,

nadando en un tiempo de 45 minutos y corriendo por 20 minutos. Al siguiente día

Marlon nadó por 30 minutos y corrió por 40 minutos, cubriendo una distancia total

de 14 kilómetros. Encuentra su velocidad nadando y corriendo (en km/h).

Resp:

7. El alquiler de un automóvil tiene un costo fijo semanal y un recargo adicional que

se cobra por cada kilómetro recorrido. Un viaje de una semana de 520 kilómetros

cuesta $250.000 y uno de dos semanas de 800 kilómetros cuesta $440.000.

Encuentra la tarifa semanal y la tarifa por cada kilómetro recorrido.

8. En una siderúrgica el costo C en miles de dólares de producir X toneladas de acero

está dado por la expresión .

La utilidad U en miles de dólares de la venta de X toneladas está dada por U

a. Grafica cada ecuación en el mismo plano cartesiano. Representa en el eje Y el

costo o la utilidad en miles de dólares.

b. Encuentra el punto en el que C = U (ese se llama el punto de equilibrio).


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DETERMINANTES DE ORDEN 2

Es un arreglo de números reales formado por 2 filas y 2 columnas. Se representa así:

Diagonal mayor

|

| a, b, c, d ϵ R

Diagonal menor

Ejemplos:

|

| ( ) ( ) ( ) ( ) |

| ( ) ( ) ( ) ( )

|

| (

) ( ) ( ) (

)

Una de las aplicaciones de los determinantes es la solución de ecuaciones, el procedimiento

utilizado se conoce con el nombre de REGLA DE CRAMMER.

REGLA DE CRAMER:

a, b, c, d, e, f ϵ R

El valor de “x” es igual a una fracción que tiene como denominador el determinante del sistema, el

cual se forma con los coeficientes de las variables y como numerador el mismo determinante del

sistema, pero cambiando los coeficientes de “x” por los términos independientes.

1) Organizamos el sistema

|

|

|

|

| |

|

|


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El valor de “y” es igual a una fracción que tiene como denominador el determinante del sistema y

como numerador el mismo determinante del sistema pero cambiando los coeficientes de “y” por

los términos independientes.

ACTIVIDAD No. 5

Resuelva el siguiente sistema por determinantes y por igualación:

( ) Resp:

( )

TALLER DE NIVELACIÓN

I) Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones por el método indicado:

a. Sustitución ; Resp: ( )

b. Igualación ; Resp:

c. Gráfico ; Resp: ( )

Sustitución ; Resp: ( )

II) Resuelve por todos los métodos:

III) En los siguientes problemas, interpreta los datos para plantear el sistema de

ecuaciones lineales de 2 ó 3 variables respectivo y resuélvelo por uno de los

métodos estudiados en la unidad.


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a. Hace 4 años Olga tenía

de la edad de Humberto y dentro de 6 años será

los

de la edad de él. ¿Qué edad tiene cada uno?.

b. Los

litros de la cantidad de una sustancia A, mezclados con los

litros de

la cantidad de una sustancia B, suman 21 litros. Y los

litros de la sustancia

A, disminuidos en

de la sustancia B, equivalen a 8 litros. ¿Cuántos litros

hay de cada sustancia?.

c. La edad de Sebastián multiplicada por 4 y aumentada en los

de la edad de

su padre equivale a 44 años y si la mitad de la edad de Sebastián se

aumenta en la mitad de la edad de su padre se obtienen 23 años. ¿Cuál es

la edad de cada uno?.

Resp: Sebastián 4 años, El padre 42 años.

IV) Resolver por sustitución o reducción:

a. b. c.

V) a. Un hacendado quiere comprar: vacas, caballos y cerdos. Si compra tres

vacas, dos caballos y cinco cerdos debe pagar por todos $75.000. Si compra 5

de cada especie debe pagar $140.000 y si compra 20 cerdos debe pagar por

éstos, lo mismo que pagaría por 3 vacas y 2 caballos. ¿Cuál es el precio de cada

animal?.

Resp: $10.000 ; $15.000; $3.000.

b. Tres niños juegan canicas y entre todos reúnen 55. El triple de las del

primero iguala el doble de las del segundo y sumando 10 al doble de las del

tercero resultan iguales a cinco veces las del primero. ¿Cuántas tiene cada

uno?.

Resp: 12, 18, 25.


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TALLER DE PROFUNDIZACIÓN

1. Dadas las siguientes ecuaciones despejar la variable que se indique:

a.

b.

c.

d.

e.

f.

g.

h.

i.

j. √

2. Dada la función líneal: ( ) ( ) es:

a) -3 b) 7 c) -7 d) 4 e) -1

3. Si ( ) la grafica es:

a) Pasa por el origen b) corta al eje

c) Corta al eje d) No corta al eje

e) Corta al eje

4. Si ( )

, la pendiente m de la recta correspondiente es:

a)

b)

c) d) e)

5. Si la ecuación de una recta es: , la pendiente m de esta recta es:

a) b) c) d) No esta definida e)

6. Si ( ) la pendiente y el intercepto, respectivamente son:

a) -3 y 4 b) -4 y 3 c) 4 y -3 d) -4 y -3 e) 3 y -4

Responde las preguntas 7 a 9 de acuerdo con la siguiente información:

En el colegio Santo Tomás quieren contratar un servicio de fotocopiadora y tienen dos ofertas:

Fotocopias COPIMAX, que cobra un cargo fijo de $5.000 pesos a la semana y además $40

pesos por cada fotocopia.

Fotocopias PUNTOCOM, no cobra cargo fijo y cada fotocopia cuesta $50 pesos.

7. ¿Cuál es la expresión que relaciona el costo de las fotocopias (C), con el número de

fotocopias a la semana (N), en la fotocopiadora COPIMAX?.

a) b)

c) ( ) d) ( )

21

21

8. De acuerdo con las ofertas presentadas, ¿Cuál de las siguientes gráficas relaciona el

número de fotocopias semanales con el costo, en cada uno de los servicios de

fotocopiadora?.

9. Si el colegio pagó por una semana de servicios $60.000 pesos a “Fotocopias PUNTOCOM”,

¿Cuántas fotocopias más pudo haber sacado si hubiera utilizado el otro servicio?.

a) 70 b) 175 c) 210 d) 300

10. Despeja en términos de “ y grafica el conjunto de puntos que forman las solución de

cada ecuación:

a) b) – c)

11. Verifica en cada caso, cuáles de los puntos dados son solución de la ecuación:

a) ( ) (

) (

)

b) ( ) ( ) (

)

22

22

12. La empresa de energía cobra mensualmente el consumo de la siguiente manera: Un costo

fijo de $7.500 y $50 Kwh.

a) Encuentra una ecuación que relaciones el consumo por Kwh

b) Representa esta relación

c) Si el consumo es de 152 Kwh, ¿Cuánto se debe pagar?.

d) Si no hubo consumo, ¿Cuánto se debe pagar?

13. Encuentra la ecuación de la recta que es perpendicular a la recta dada, que pasa por el

punto dado:

a) ( ) b) ( )

14. De acuerdo con las figuras responde:

a) ¿Cómo son las pendientes de las rectas ?

b) ¿Cómo son las pendientes de las rectas ?

c) ¿En qué punto se intersecan las rectas ?

d) Calcula las pendientes de cada recta de las figuras anteriores. (Utilizando variaciones

verticales y horizontales).

PLAN DE LECTURA – 2o PERIODO

Objetivo General: Incentivar en las estudiantes la cultura de la lectura desde el área de matemáticas.

¡Si quieres triunfar en la vida,

recuerda: Insistir, persistir y nunca

desistir!

23

23

Metodología: Con la participación directa de las estudiantes en la semana ocho (8), en una hora de

matemáticas, se socializará la lectura dejada con anterioridad, en grupos de cuatro (4) estudiantes, en forma

creativa ya sea mediante un resumen, mapa conceptual, sopa de letras, crucigrama, cuestionario tipo icfes,

sociodrama, juegos, etc.

UN SABADO EN LA TARDE

Ese sábado al mediodía, Andrés regresaba como siempre de su clase de guitarra. Apenas se bajó de la buseta,

llamó a su gran amigo Juan David.

- Entonces qué, ¿qué estás haciendo?

- Aquí en una fila berraca, haciéndole una diligencia a una tía.

- Usted si se gana unos chicharrones…

- Pero si me voy a ganar unos pesos, que importa.

- Bueno, ¿qué vas hacer más tarde? ¿Cuadramos algo con el parche?

- Listo, nos vemos a las 3:00. Yo paso por tu casa y miramos…

- Hecho, te espero a esa hora.

Andrés se encargó de llamar al resto del parche porque su celular es postpago y su papá se hace cargo de la

cuenta. Según lo acordado, se reunieron hacia las 3:00, bueno a las 3:30 para ser exactos, porque Melissa nunca

llega temprano. Juan David propuso dar una vuelta por el centro comercial del sector. Como no había nada

mejor que hacer, a todos les pareció bien. Juan David era reconocido por su capacidad de liderazgo, por ser un

buen amigo y por ser muy responsable.

Aunque el centro comercial quedaba unas 10 cuadras; decidieron caminar porque si se iban en bus, les quedaría

menos plata para comer algo. Había que establecer prioridades.

Todos se sentaron. Luego de unos minutos, Ariadna sugirió hacer una “vaca” para comprar algo de comer. Ella

empezó, recibió el dinero de todos. Luis Fernando se excusó por aportar muy poco. Les contó a sus amigos que

su padrastro ni siquiera había pagado el arriendo. Ellos bromearon un poco y le dijeron que el crédito seguía

corriendo con intereses.

Después se dieron cuenta de que la plata sólo alcanzaba para 6 empanadas y una gaseosa litrón. Mientras

calentaban la comida, Melissa habló sobre Calle 13, prendió su celular y buscó una canción nueva que todos

escucharon entusiasmados. Ella era una chica muy madura, siempre decía lo que pensaba y era muy solidaria

con las causas sociales, le indignaba la injusticia.

- Entre tanto, Ariadna preguntó: - ¿Se acuerdan del paseo que hicimos hace unos meses? -.

- Estuvo muy bueno, lástima que sólo fue de un día-. Andrés reparó al instante.

- Pero, ¿Qué, quería una semana? ¡Con qué plata! Luis Fernando protestó.

- La pasamos muy bien, fue muy divertido. Los papás de Laura no hicieron más que llamarla todo el día. Recordó

Juan David.

- ¡Uy si hermana! Qué intenso sus cuchos. Debería decirles que le bajen al voltaje, ni que estuviéramos en la

China. Comentó Melissa.

24

24

Entonces todos rieron.

Luego recordaron otros planes. Por ejemplo, cuando se organizaron en el salón para que Juan David fuera

elegido como representante del grado o cuando promovieron una colecta de papel periódico para ayudar a una

compañera de otro curso que tenía a la mamá muy enferma.

En ese momento, Laura, la pila del grupo, les comentó su nuevo proyecto de ciencias sobre el uso de la energía y

la manera como se ve afectado el planeta. Entonces, todos la ignoraron y cambiaron de tema. Pero ella insistió

preguntándoles:

- Definitivamente a ustedes no les importa el futuro de nuestro planeta. ¿Se han puesto a pensar qué pasará el

día en que no tengamos agua suficiente? Insistió Laura.

- Pues para esa época les aseguro que ninguno de nosotros está vivo. Comentó Luis Fernando.

- Luisfe, no puedo creer que a ti sólo te importe lo tuyo y nada más. Manifestó Laura con cierto reparo.

- Entonces, Juan David se dio cuenta que era hora de intervenir:

- Ya Lauris, deja la intensidad. Sí, es un problema importante, pero hoy estamos hablando de bobadas, de cosas

sin trascendencia-.

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Ahora reflexiona con tus compañeros de curso sobre algunos problemas que plantea el relato anterior. Para ello

responde las siguientes preguntas:

Cuando se hace una colecta de dinero, ¿Es justo que todos los miembros del parche participen por igual de sus

beneficios aunque no todos hayan aportado la misma cantidad de dinero? Explica tus argumentos a favor y en

contra.

Frente a la situación del padrastro de Luis Fernando:

¿Qué consecuencias debe asumir una persona que no paga a tiempo sus compromisos económicos, por

ejemplo el arriendo de su vivienda?

¿Cuál es el plazo máximo que se le puede dar para que los pague?

En el caso del arriendo, ¿Qué análisis harías si fueras el dueño de la vivienda?

Si la deuda fuera la pensión del colegio, ¿Estaría bien que Luis Fernando no ingresará clase hasta que su

familia no se pusiera al día con el pago?

Respecto a la problemática planteada por Laura:

¿Qué tan importante es el tema?

Dialoga con tus compañeros sobre las consecuencias ambientales y económicas que traería la escasez de

agua en tu ciudad.

Averigua cuánto vale una botella de agua. Imagina, que debido a la escasez, esa misma botella cuesta cinco

o diez veces más. Responde:

¿Cuáles son las consecuencias de este hecho en lo económico?

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¿Qué le pasaría a la empresa que procesa y embotella el agua, y a la que la transporta?

¿Cómo repercutiría esta situación en el tendero, y en ti como usuario final del producto?

¿Cuánto pagan en tu casa por el servicio de agua?

¿Cuántos metros cúbicos de agua consume tu familia al mes? (esa información la encuentras en los recibos

del agua).

Nuevamente, imagina que el precio del metro cúbico de agua se triplica debido a la escasez del producto:

¿Qué consecuencias traería este hecho a tu familia y a la sociedad?

Tus metas y sueños A continuación encontrarás algunas preguntas para que plantees tus metas y sueños, de manera que te proyectes al futuro. ¿Cómo te imaginas el futuro? ¿Cuál es tu sueño? ¿Quién quieres ser? ¿De qué manera puedes hacer realidad tu sueño? ¿Qué recursos necesitas para hacer realidad tu proyecto? ¿Quiénes pueden ayudarte a hacer realidad tu sueño? Para la siguiente actividad es importante que de manera individual, retomes los sueños que has planteado anteriormente. En función de ellos, identifica una meta personal, una social y una económica. Antes de hacerlo revisa los siguientes conceptos:

Al hacerlo, cada uno manifestó sus preferencias, sus gustos y sus valores.

Meta: Se refiere al objetivo de cualquier acción. Es lo que como ser humano, te propones desde el ser, el hacer y el tener. En un proyecto, es uno de los pasos requeridos para alcanzar un fin determinado.

Para establecer algunas metas te puedes preguntar: ¿qué vas a hacer?, ¿por qué?, ¿Dónde?, ¿cómo?, ¿cuándo?, ¿Quiénes?, ¿con qué?, ¿cuál es el resultado esperado?

Propósito: intención deliberada y expresa de hacer algo que resuelva una situación determinada.

Proyecto: Conjunto de actividades interrelacionadas y coordinadas para el logro de un fin. Se desarrolla a partir de la definición y consecución de metas y submetas que lleven al logro de un propósito, el cual, generalmente, surge alrededor de la satisfacción de necesidades o la resolución de problemas específicos.

Proyecto de vida: Camino o derrotero que una persona se traza con el fin de conseguir unas metas para su futuro personal, social, profesional o laboral. Está orientado por un conjunto de valores.

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Ahora es importante que definas cuáles son los valores que te identifican. Escribe por lo menos, cinco:

VALORES _______________________________________ _______________________________________ _______________________________________ _______________________________________ _______________________________________ _______________________________________ _______________________________________

De acuerdo con tus valores y tu sueño, elabora tu frase insignia y escríbela en el siguiente banner.

Recuerda que debe ser corta, original e impactante:

SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES...Los sistemas de ecuaciones y de desigualdades lineales de primer...

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