Desigualdades Lineales y Desigualdades Valor Absoluto

TheoremSean A y B expresiones algebraicas y c un numero real, entonceslas siguientes ecuaciones son equivalentes a A < B:

I A + c < B + c

I A− c < B − c

I cA < cB si c > 0.

I cA > cB si c < 0.

c, para c > 0.

c, para c < 0

I A + c < B + c

I A− c < B − c

I cA < cB si c > 0.

I cA > cB si c < 0.

c, para c > 0.

c, para c < 0

I A + c < B + c

I A− c < B − c

I cA < cB si c > 0.

I cA > cB si c < 0.

c, para c > 0.

c, para c < 0

I A + c < B + c

I A− c < B − c

I cA < cB si c > 0.

I cA > cB si c < 0.

c, para c > 0.

c, para c < 0

I A + c < B + c

I A− c < B − c

I cA < cB si c > 0.

I cA > cB si c < 0.

c, para c > 0.

c, para c < 0

I A + c < B + c

I A− c < B − c

I cA < cB si c > 0.

I cA > cB si c < 0.

c, para c > 0.

c, para c < 0

Ejemplos

Encuentre el conjunto solucion para cada una de las desigualdades.Trace la grafica de cada conjunto solucion.

1. 3x + 2 < 7

2. −3(x + 2) > 7

3. 2− 3x < 3x + 1

4. 2x + 1 ≥ −3

5. 1 < 3 + 2x < 5

6. −1 < 3− 2x < 1

7. t < 3− 2t < 2t − 1

8. 3− 2x < x + 1 < 2x

Ejemplos

1. 3x + 2 < 7

2. −3(x + 2) > 7

3. 2− 3x < 3x + 1

4. 2x + 1 ≥ −3

5. 1 < 3 + 2x < 5

6. −1 < 3− 2x < 1

7. t < 3− 2t < 2t − 1

8. 3− 2x < x + 1 < 2x

Ejemplos

1. 3x + 2 < 7

2. −3(x + 2) > 7

3. 2− 3x < 3x + 1

4. 2x + 1 ≥ −3

5. 1 < 3 + 2x < 5

6. −1 < 3− 2x < 1

7. t < 3− 2t < 2t − 1

8. 3− 2x < x + 1 < 2x

Ejemplos

1. 3x + 2 < 7

2. −3(x + 2) > 7

3. 2− 3x < 3x + 1

4. 2x + 1 ≥ −3

5. 1 < 3 + 2x < 5

6. −1 < 3− 2x < 1

7. t < 3− 2t < 2t − 1

8. 3− 2x < x + 1 < 2x

Ejemplos

1. 3x + 2 < 7

2. −3(x + 2) > 7

3. 2− 3x < 3x + 1

4. 2x + 1 ≥ −3

5. 1 < 3 + 2x < 5

6. −1 < 3− 2x < 1

7. t < 3− 2t < 2t − 1

8. 3− 2x < x + 1 < 2x

Ejemplos

1. 3x + 2 < 7

2. −3(x + 2) > 7

3. 2− 3x < 3x + 1

4. 2x + 1 ≥ −3

5. 1 < 3 + 2x < 5

6. −1 < 3− 2x < 1

7. t < 3− 2t < 2t − 1

8. 3− 2x < x + 1 < 2x

Ejemplos

1. 3x + 2 < 7

2. −3(x + 2) > 7

3. 2− 3x < 3x + 1

4. 2x + 1 ≥ −3

5. 1 < 3 + 2x < 5

6. −1 < 3− 2x < 1

7. t < 3− 2t < 2t − 1

8. 3− 2x < x + 1 < 2x

Sea x un numero real y k > 0.Valor absoluto enuniado equivalente

|x | > k x < −k o x > k

|x | < k −k < x < k

|x | ≥ k x ≤ −k o x ≥ k

|x | ≤ k −k ≤ x ≤ k

Hablar que sucede cuando k = 0.

Ejemplos

1. |3x + 2| < 7

2. 3|x + 2| < 7

3. 3|x − 2| < 0

4. 3|x − 2| ≤ 0

5. |3x + 2| − 7 < 3

6. |3x +2

3| > 2

7. |1− 3x | > 3

8. |4− 3x | ≥ 0

9. |3x | > 0

10. 0 < |3x + 2| < 1

11. 1 < |2− 3x | < 4

Ejemplos

1. |3x + 2| < 7

2. 3|x + 2| < 7

3. 3|x − 2| < 0

4. 3|x − 2| ≤ 0

5. |3x + 2| − 7 < 3

6. |3x +2

3| > 2

7. |1− 3x | > 3

8. |4− 3x | ≥ 0

9. |3x | > 0

10. 0 < |3x + 2| < 1

11. 1 < |2− 3x | < 4

Ejemplos

1. |3x + 2| < 7

2. 3|x + 2| < 7

3. 3|x − 2| < 0

4. 3|x − 2| ≤ 0

5. |3x + 2| − 7 < 3

6. |3x +2

3| > 2

7. |1− 3x | > 3

8. |4− 3x | ≥ 0

9. |3x | > 0

10. 0 < |3x + 2| < 1

11. 1 < |2− 3x | < 4

Ejemplos

1. |3x + 2| < 7

2. 3|x + 2| < 7

3. 3|x − 2| < 0

4. 3|x − 2| ≤ 0

5. |3x + 2| − 7 < 3

6. |3x +2

3| > 2

7. |1− 3x | > 3

8. |4− 3x | ≥ 0

9. |3x | > 0

10. 0 < |3x + 2| < 1

11. 1 < |2− 3x | < 4

Ejemplos

1. |3x + 2| < 7

2. 3|x + 2| < 7

3. 3|x − 2| < 0

4. 3|x − 2| ≤ 0

5. |3x + 2| − 7 < 3

6. |3x +2

3| > 2

7. |1− 3x | > 3

8. |4− 3x | ≥ 0

9. |3x | > 0

10. 0 < |3x + 2| < 1

11. 1 < |2− 3x | < 4

Ejemplos

1. |3x + 2| < 7

2. 3|x + 2| < 7

3. 3|x − 2| < 0

4. 3|x − 2| ≤ 0

5. |3x + 2| − 7 < 3

6. |3x +2

3| > 2

7. |1− 3x | > 3

8. |4− 3x | ≥ 0

9. |3x | > 0

10. 0 < |3x + 2| < 1

11. 1 < |2− 3x | < 4

Ejemplos

1. |3x + 2| < 7

2. 3|x + 2| < 7

3. 3|x − 2| < 0

4. 3|x − 2| ≤ 0

5. |3x + 2| − 7 < 3

6. |3x +2

3| > 2

7. |1− 3x | > 3

8. |4− 3x | ≥ 0

9. |3x | > 0

10. 0 < |3x + 2| < 1

11. 1 < |2− 3x | < 4

Ejemplos

1. |3x + 2| < 7

2. 3|x + 2| < 7

3. 3|x − 2| < 0

4. 3|x − 2| ≤ 0

5. |3x + 2| − 7 < 3

6. |3x +2

3| > 2

7. |1− 3x | > 3

8. |4− 3x | ≥ 0

9. |3x | > 0

10. 0 < |3x + 2| < 1

11. 1 < |2− 3x | < 4

Ejemplos

1. |3x + 2| < 7

2. 3|x + 2| < 7

3. 3|x − 2| < 0

4. 3|x − 2| ≤ 0

5. |3x + 2| − 7 < 3

6. |3x +2

3| > 2

7. |1− 3x | > 3

8. |4− 3x | ≥ 0

9. |3x | > 0

10. 0 < |3x + 2| < 1

11. 1 < |2− 3x | < 4

Ejemplos

1. |3x + 2| < 7

2. 3|x + 2| < 7

3. 3|x − 2| < 0

4. 3|x − 2| ≤ 0

5. |3x + 2| − 7 < 3

6. |3x +2

3| > 2

7. |1− 3x | > 3

8. |4− 3x | ≥ 0

9. |3x | > 0

10. 0 < |3x + 2| < 1

11. 1 < |2− 3x | < 4

Ejemplos

1. |3x + 2| < 7

2. 3|x + 2| < 7

3. 3|x − 2| < 0

4. 3|x − 2| ≤ 0

5. |3x + 2| − 7 < 3

6. |3x +2

3| > 2

7. |1− 3x | > 3

8. |4− 3x | ≥ 0

9. |3x | > 0

10. 0 < |3x + 2| < 1

11. 1 < |2− 3x | < 4

Cuando se estudia el error cometido en una medicion se hacereferencia a este como el error absoluto o error relatico, Porejemplo si L es la longitud real del objeto y x es la longituddeterminada por una medicion, entonces el error absoluto esta

dado por |x − L| y el error relativo es|x − L|

Ejemplo

I Un tecnico prueba una balanza con un bloque de 50 libras deacero. La balanza pasa la prueba si el error relativo al pesar elbloque es menor que 0.1%. Si x es la lectura de la balanza,¿para que valores de x la balanza aprueba la prueba?

I|x − 50|

100= .001

Ejemplo

I Un tecnico prueba una balanza con un bloque de 50 libras deacero. La balanza pasa la prueba si el error relativo al pesar elbloque es menor que 0.1%. Si x es la lectura de la balanza,¿para que valores de x la balanza aprueba la prueba?

I|x − 50|

100= .001

Ejemplo

I Esteban obtuvo 78 y 66 puntos en sus dos primeros examenesde Matematicas. ¿Cuanto debe obtener en el tercer examenpara lograr que su promedio este entre 80 y 85 en los tresexamenes? Todos los examenes tienen un valor de 100 puntos.

80 <78 + 66 + E3

Ejemplo

I Esteban obtuvo 78 y 66 puntos en sus dos primeros examenesde Matematicas. ¿Cuanto debe obtener en el tercer examenpara lograr que su promedio este entre 80 y 85 en los tresexamenes? Todos los examenes tienen un valor de 100 puntos.

80 <78 + 66 + E3

Ejemplo

Valeria trata de mantener en 35◦C la temperatura del agua en suexperimento de quimica . Para que el experimento funcione elerror relativo de la temperatura real dede ser menor que 1%.Escribe la desigualdad con valor absoluto para la temperatura real.Calcular el intervalo en el que debe estar la temperatura real.

|x − 35|35

< 1% =1

100= .01

Funciones

DefinitionUna funcion es una regla que asigna a cada elemento de unconjunto un unico elemento de un segundo conjunto.

Examples

I Formula del area de un cırculo: A = πr2

I Formula de la circunferencia de un cırculo: C = 2πr

I A = {x | x es un ser humano} y B = {y | y cadenas de DNA}La funcion que asigna a cada ser humano su DNA.

Definicion

Una funcion es un conjunto de pares ordenados en los cuales nohay dos que tengan la misma primera coordenada con la segundadiferente.

Ejemplos

¿Cuales de los siguientes conjuntos definen una funcion.

I F = {(1, 2), (3, 6)}

I G = {(1, 1), (2, 2), . . .}I H = {(1, 2), (3, 6), (1, 4), (4, 7)}I V = {(1, 2), (3, 6), (1, 2), (6, 7)}I M = {(x , y) | y = 2}I N = {(x , y) | |x | = |y |}I K = {(x , y) | y = 2x + 1}

Ejemplos

I F = {(1, 2), (3, 6)}I G = {(1, 1), (2, 2), . . .}

I H = {(1, 2), (3, 6), (1, 4), (4, 7)}I V = {(1, 2), (3, 6), (1, 2), (6, 7)}I M = {(x , y) | y = 2}I N = {(x , y) | |x | = |y |}I K = {(x , y) | y = 2x + 1}

Ejemplos

I F = {(1, 2), (3, 6)}I G = {(1, 1), (2, 2), . . .}I H = {(1, 2), (3, 6), (1, 4), (4, 7)}

I V = {(1, 2), (3, 6), (1, 2), (6, 7)}I M = {(x , y) | y = 2}I N = {(x , y) | |x | = |y |}I K = {(x , y) | y = 2x + 1}

Ejemplos

I F = {(1, 2), (3, 6)}I G = {(1, 1), (2, 2), . . .}I H = {(1, 2), (3, 6), (1, 4), (4, 7)}I V = {(1, 2), (3, 6), (1, 2), (6, 7)}

I M = {(x , y) | y = 2}I N = {(x , y) | |x | = |y |}I K = {(x , y) | y = 2x + 1}

Ejemplos

I F = {(1, 2), (3, 6)}I G = {(1, 1), (2, 2), . . .}I H = {(1, 2), (3, 6), (1, 4), (4, 7)}I V = {(1, 2), (3, 6), (1, 2), (6, 7)}I M = {(x , y) | y = 2}

I N = {(x , y) | |x | = |y |}I K = {(x , y) | y = 2x + 1}

Ejemplos

I F = {(1, 2), (3, 6)}I G = {(1, 1), (2, 2), . . .}I H = {(1, 2), (3, 6), (1, 4), (4, 7)}I V = {(1, 2), (3, 6), (1, 2), (6, 7)}I M = {(x , y) | y = 2}I N = {(x , y) | |x | = |y |}

I K = {(x , y) | y = 2x + 1}

Ejemplos

I F = {(1, 2), (3, 6)}I G = {(1, 1), (2, 2), . . .}I H = {(1, 2), (3, 6), (1, 4), (4, 7)}I V = {(1, 2), (3, 6), (1, 2), (6, 7)}I M = {(x , y) | y = 2}I N = {(x , y) | |x | = |y |}I K = {(x , y) | y = 2x + 1}

Theorem (Prueba de Lınea Vertical)

Una grafica corresponde a una funcion si y solo si no existe unalınea vertical que corte la grafica en mas de un punto

Definiciones

I El dominio de una funcion es el conjunto de todas lasprimeras coordenadas de los pares ordenados.

I El rango de una funcion es el conjunto de todas las segundascoordenadas de los pares ordenados.

I Hablar de la notacion f (x), g(x)

I por ejemplo y = 23x − 2 se escribe como f (x) = 23x − 2.

Definiciones

Ejemplo

Si F = {(0, 3), (1, 2), (√

2, 0), (3, 6)} y f (x) =√x − 1. Encuentre

1. F(0)

2. s si F(s) = 0

3. f (101)

4. x si f (x) = 11

Ejemplo

Si F = {(0, 3), (1, 2), (√

2, 0), (3, 6)} y f (x) =√x − 1. Encuentre

1. F(0)

2. s si F(s) = 0

3. f (101)

4. x si f (x) = 11

Ejemplo

Si F = {(0, 3), (1, 2), (√

2, 0), (3, 6)} y f (x) =√x − 1. Encuentre

1. F(0)

2. s si F(s) = 0

3. f (101)

4. x si f (x) = 11

Ejemplo

Si F = {(0, 3), (1, 2), (√

2, 0), (3, 6)} y f (x) =√x − 1. Encuentre

1. F(0)

2. s si F(s) = 0

3. f (101)

4. x si f (x) = 11

Ejemplo

Dadas f (x) = x2 − 2x y g(x) = 2x − 1, encuentre y simplificacada una de las expresiones siguientes.

1. f (3)

2. g(12)

3. f (a)

4. f (a− 1)

5. f (1 + h)− f (1)

6. f (x + h)− f (x)

7. g(x − 2)

8. g(1 + h)− g(1)

9. g(x + h)− g(x)

Ejemplo

1. f (3)

2. g(12)

3. f (a)

4. f (a− 1)

5. f (1 + h)− f (1)

6. f (x + h)− f (x)

7. g(x − 2)

8. g(1 + h)− g(1)

9. g(x + h)− g(x)

Ejemplo

1. f (3)

2. g(12)

3. f (a)

4. f (a− 1)

5. f (1 + h)− f (1)

6. f (x + h)− f (x)

7. g(x − 2)

8. g(1 + h)− g(1)

9. g(x + h)− g(x)

Ejemplo

1. f (3)

2. g(12)

3. f (a)

4. f (a− 1)

5. f (1 + h)− f (1)

6. f (x + h)− f (x)

7. g(x − 2)

8. g(1 + h)− g(1)

9. g(x + h)− g(x)

Ejemplo

1. f (3)

2. g(12)

3. f (a)

4. f (a− 1)

5. f (1 + h)− f (1)

6. f (x + h)− f (x)

7. g(x − 2)

8. g(1 + h)− g(1)

9. g(x + h)− g(x)

Ejemplo

1. f (3)

2. g(12)

3. f (a)

4. f (a− 1)

5. f (1 + h)− f (1)

6. f (x + h)− f (x)

7. g(x − 2)

8. g(1 + h)− g(1)

9. g(x + h)− g(x)

Ejemplo

1. f (3)

2. g(12)

3. f (a)

4. f (a− 1)

5. f (1 + h)− f (1)

6. f (x + h)− f (x)

7. g(x − 2)

8. g(1 + h)− g(1)

9. g(x + h)− g(x)

Ejemplo

1. f (3)

2. g(12)

3. f (a)

4. f (a− 1)

5. f (1 + h)− f (1)

6. f (x + h)− f (x)

7. g(x − 2)

8. g(1 + h)− g(1)

9. g(x + h)− g(x)

Ejemplo

1. f (3)

2. g(12)

3. f (a)

4. f (a− 1)

5. f (1 + h)− f (1)

6. f (x + h)− f (x)

7. g(x − 2)

8. g(1 + h)− g(1)

9. g(x + h)− g(x)

Si f (x) = x2 − 2x + 1, encuentre

f (1 + h)− f (1)

Cociente Diferencia

I Sea f una funcion. El cociente de la diferencia es laexpresion

f (x + h)− f (x)

I Notar que h es cambio en el valor de la variables x .I Encuentra y simplifica el cociente de la diferencia de cada una

de las funciones siguientes.

1. j(x) = 2x − 1

2. g(x) = x2 − x3. f (x) = 2x2

4. y =1

Cociente Diferencia

f (x + h)− f (x)

I Notar que h es cambio en el valor de la variables x .

I Encuentra y simplifica el cociente de la diferencia de cada unade las funciones siguientes.

1. j(x) = 2x − 12. g(x) = x2 − x

3. f (x) = 2x2

4. y =1

Cociente Diferencia

f (x + h)− f (x)

1. j(x) = 2x − 12. g(x) = x2 − x3. f (x) = 2x2

4. y =1

Cociente Diferencia

f (x + h)− f (x)

1. j(x) = 2x − 12. g(x) = x2 − x3. f (x) = 2x2

4. y =1

Ejemplos

I Dado el cuadrado que tiene una diagonal de longitud d ylados de longitud s, escribe el area A como funcion de lalongitud de la diagonal

I Un limpiador de ventanas cobra $50 por visita, mas $7 porhora, expresa el salario del limpaidor como funcion del numerode horas trabajadas n.

I Prueba de ubicacion.

Ejemplos

Graficas

1. Trazar la grafica de y = x2

2. Trazar la grafica de y = 12x

3. Trazar la grafica de y = 2x2

Graficas

1. Trazar la grafica de y =√x

2. Trazar la grafica de y =√x + 1

Graficas

2. Trazar la grafica de y = 3√x

Graficas

2. Trazar la grafica de y = 3√x

Graficas

I Trazar la grafica de y = −√

1− x2

I Trazar la grafica de y =√

4− x2

Graficas

I Trazar la grafica de y = −√

1− x2

I Trazar la grafica de y =√

4− x2

Graficas

I Trazar la grafica de y = |x |, esto es,

|x | =

{x si x ≥ 0−x si x < 0

I Trazar la grafica de

f (x) =

{1 si x ≥ 1−1 si x < 1

f (x) =

{x + 1 si x > 22x − 1 si x ≤ 2

f (x) =

{x si x ≥ 1−2x si x < 0

Graficas

|x | =

{x si x ≥ 0−x si x < 0

f (x) =

{1 si x ≥ 1−1 si x < 1

f (x) =

{x + 1 si x > 22x − 1 si x ≤ 2

f (x) =

{x si x ≥ 1−2x si x < 0

Graficas

|x | =

{x si x ≥ 0−x si x < 0

f (x) =

{1 si x ≥ 1−1 si x < 1

f (x) =

{x + 1 si x > 22x − 1 si x ≤ 2

f (x) =

{x si x ≥ 1−2x si x < 0

Graficas

|x | =

{x si x ≥ 0−x si x < 0

f (x) =

{1 si x ≥ 1−1 si x < 1

f (x) =

{x + 1 si x > 22x − 1 si x ≤ 2

f (x) =

{x si x ≥ 1−2x si x < 0

Familias de Funciones, Transformaciones y simetrıa

DefinitionSi h > 0, entonces la grafica de de y = f (x − h) es una traslacionde h unidades hacia la derecha de la grafica de y = f (x). Si h < 0,entonces la grafica de y = f (x − h) es una traslacion de |h|unidades hacia la izquierda de la grafica de y = f (x).

Examples

1. Graficar g(x) =√x − 3 usando la grafica de f (x) =

√x .

2. Graficar g(x) =√x + 1 usando la grafica de f (x) =

√x .

Familias de Funciones, Transformaciones y simetrıa

DefinitionSi h > 0, entonces la grafica de de y = f (x − h) es una traslacionde h unidades hacia la derecha de la grafica de y = f (x). Si h < 0,entonces la grafica de y = f (x − h) es una traslacion de |h|unidades hacia la izquierda de la grafica de y = f (x).

Examples

1. Graficar g(x) =√x − 3 usando la grafica de f (x) =

√x .

2. Graficar g(x) =√x + 1 usando la grafica de f (x) =

√x .

1. Graficar g(x) = (x + 1)2 usando la grafica de f (x) = x2.

2. Graficar g(x) = |x − 1| usando la grafica de f (x) = |x |.

1. Graficar g(x) = (x + 1)2 usando la grafica de f (x) = x2.

2. Graficar g(x) = |x − 1| usando la grafica de f (x) = |x |.

DefinitionLa grafica de y = −f (x) es una reflexion en el eje de las x de lagrafica de y = f (x).

Examples

1. Graficar g(x) = −x2 usando la grafica de f (x) = x2.

3. Graficar g(x) = −|x | usando la grafica de f (x) = |x |.

Examples

DefinitionLa grafica de y = af (x) se obtiene a partir de y = f (x) por medio

1. estirar la grafica de y = f (x) en un factor de a cuando a > 0o bien

2. coprimir la grafica de y = f (x) en un factor de a cuando0 < a < 1.

DefinitionLa grafica de y = af (x) se obtiene a partir de y = f (x) por medio

1. estirar la grafica de y = f (x) en un factor de a cuando a > 0o bien

2. coprimir la grafica de y = f (x) en un factor de a cuando0 < a < 1.

Examples

1. Graficar g(x) = 2√x usando la grafica de f (x) =

√x .

2. Graficar g(x) = 2x3 usando la grafica de f (x) = x3.

Examples

1. Graficar g(x) = 2√x usando la grafica de f (x) =

√x .

2. Graficar g(x) = 2x3 usando la grafica de f (x) = x3.

Traslacion Vertical

I Si k > 0, entonces la grafica de y = f (x) + k es una traslacionde k unidades hacia arriba de la grafica de y = f (x). Sik < 0, entonces la grafica de y = f (x) + k es una traslacionde |k | unidades hacia abajo de la grafica de y = f (x).

I Graficar g(x) = x2 + 1 usando f (x) = x2.

I Graficar g(x) = −2√x + 1− 1 usando f (x) =

√x .

Traslacion Vertical

√x .

Traslacion Vertical

√x .

Ahora combinamos las tecnicas anteriores en los siguientesejemplos.

Examples

1. Graficar g(x) = 2√x + 1 usando la grafica de f (x) =

√x .

2. Graficar g(x) = −2(x − 1)2 + 1 usando la grafica def (x) = x2.

3. Graficar g(x) = −|x | − 3 usando la grafica de f (x) = |x |.

Examples

√x .

Examples

√x .

1. DefinitionSi f (−x) = f (x) para todo x en el dominio de la funcion F ,entonces f se llama funcion par y su grafica es simetrica conrespecto al eje de y .

2. DefinitionSi f (−x) = −f (x) para todo x en el dominio de la funcion F ,entonces f se llama funcion impar y su grafica es simetrica conrespecto al origen.

1. DefinitionSi f (−x) = f (x) para todo x en el dominio de la funcion F ,entonces f se llama funcion par y su grafica es simetrica conrespecto al eje de y .

2. DefinitionSi f (−x) = −f (x) para todo x en el dominio de la funcion F ,entonces f se llama funcion impar y su grafica es simetrica conrespecto al origen.

Examples

Determine la simetria de las siguientes funciones.

1. f (x) = x3 + x

2. f (x) = x4 + x2.

3. G (x) = x3 + x2.

Examples

1. f (x) = x3 + x

2. f (x) = x4 + x2.

3. G (x) = x3 + x2.

Examples

1. f (x) = x3 + x

2. f (x) = x4 + x2.

3. G (x) = x3 + x2.

Example

Si f es una funcion par y f (2) = −9, encuentre f (−2) =

Operaciones con Funciones

DefinitionSean f y g funciones con dominio Df y Dg respectivamente.

1. La suma de f y g , f + g

(f + g)(x) = f (x) + g(x) para todo x ∈ Df ∩ Dg

2. La diferencia de f y g , f − g

(f − g)(x) = f (x)− g(x) para todo x ∈ Df ∩ Dg

1. La suma de f y g , f + g

(f + g)(x) = f (x) + g(x) para todo x ∈ Df ∩ Dg

2. La diferencia de f y g , f − g

(f − g)(x) = f (x)− g(x) para todo x ∈ Df ∩ Dg

1. El producto de f y g , f · g

(f · g)(x) = f (x) · g(x) para todo x ∈ Df ∩ Dg

2. El cociente de f y g ,f

g)(x) =

g(x)para todo x ∈ Df ∩ Dg y g(x) 6= 0

1. El producto de f y g , f · g

(f · g)(x) = f (x) · g(x) para todo x ∈ Df ∩ Dg

2. El cociente de f y g ,f

g)(x) =

g(x)para todo x ∈ Df ∩ Dg y g(x) 6= 0

Ejemplos

Sea f (x) = −2 3√x + 1 y g(x) = x2 − x . Encuentre y simplifique

cada expresion.

1. (f + g)(7)

2. (f − g)(7).

3. (f · g)(7).

Ejemplos

cada expresion.

1. (f + g)(7)

2. (f − g)(7).

3. (f · g)(7).

Ejemplos

cada expresion.

1. (f + g)(7)

2. (f − g)(7).

3. (f · g)(7).

Ejemplos

cada expresion.

1. (f + g)(7)

2. (f − g)(7).

3. (f · g)(7).

Ejemplos

Seanf = {(1, 1), (2, 2), (3,−1), (4, 1), (5, 0)}

g = {(1, 2), (2, 0), (3, 0), (6, 2)}

Encuentre.

1. (f + g)(5)

2. (f − g)(1)

3. (f · g)(5)

Ejemplos

Seanf = {(1, 1), (2, 2), (3,−1), (4, 1), (5, 0)}

g = {(1, 2), (2, 0), (3, 0), (6, 2)}

Encuentre.

1. (f + g)(5)

2. (f − g)(1)

3. (f · g)(5)

Ejemplos

Seanf = {(1, 1), (2, 2), (3,−1), (4, 1), (5, 0)}

g = {(1, 2), (2, 0), (3, 0), (6, 2)}

Encuentre.

1. (f + g)(5)

2. (f − g)(1)

3. (f · g)(5)

Ejemplos

Seanf = {(1, 1), (2, 2), (3,−1), (4, 1), (5, 0)}

g = {(1, 2), (2, 0), (3, 0), (6, 2)}

Encuentre.

1. (f + g)(5)

2. (f − g)(1)

3. (f · g)(5)

DefinitionSea f y g funciones con dominio Df ,Dg . La composicion de f y g ,que denotamos por g ◦ f , esta definida por la ecuacion

(g ◦ f )(x) = g(f (x)),

siempre que f (x) ∈ Dg . Ası que el dominio de g ◦ f es

Dg◦f = {x ∈ Df | f (x) ∈ Dg}.

Ejemplos

Sean g(x) =√x + 1 y f (x) = x2. Encuentre las siguientes

composiciones con sus dominios.

1. f ◦ g

2. g ◦ f

Ejemplos

Sean g(x) =√x + 1 y f (x) = x2. Encuentre las siguientes

composiciones con sus dominios.

1. f ◦ g2. g ◦ f

Ejemplos

Sean g(x) =√x + 1 y f (x) = 3x − 1. Halla cada operacion y

determina su dominio.

1. g ◦ f

2. f ◦ g3. f ◦ f

Ejemplos

1. g ◦ f2. f ◦ g

3. f ◦ f

Ejemplos

1. g ◦ f2. f ◦ g3. f ◦ f

Ejemplos

Sean g(x) =x + 1

x − 1y f (x) = 2x . Halla cada operacion y determina

su dominio.

1. g ◦ f

2. f ◦ g

Ejemplos

Sean g(x) =x + 1

x − 1y f (x) = 2x . Halla cada operacion y determina

su dominio.

1. g ◦ f2. f ◦ g

Ejemplos

La longitud de un lado de un rectangulo es tres veces la longituddel otro.

I Expresar la formula del perımetro de este rectangulo enterminos de la longitud de uno de sus lados.

I Expresar la formula del area de este rectangulo en terminos dela longitud de uno de sus lados.

Ejemplos

La longitud de un lado de un rectangulo es tres veces la longituddel otro.

I Expresar la formula del perımetro de este rectangulo enterminos de la longitud de uno de sus lados.

I Expresar la formula del area de este rectangulo en terminos dela longitud de uno de sus lados.

Funcion Inversa

DefinitionSean f una funcion con dominio Df . Decimos que f es unafuncion uno a uno si para todo x1, x2 ∈ Df si x1 6= x2 se cumplef (x1) 6= f (x2). Si asociamos los pares ordenados a f , tenemos quef es una funcion uno a uno si diferentes la segunda entrada no serepite. Otra definicion equivalente es si para todo x1, x2 ∈ Df sif (x1) = f (x2) se cumple x1 = x2.

Ejemplos

Determine cuales de las siguientes funciones es una funcion uno auno.

1. {(1, 2), (2, 3), (4, 5)}

2. {(1, 0), (2, 3), (4, 2), (3, 0)}3. f (x) = 3x + 1

4. g(x) = x2 − x

5. F (x) =2x + 1

x + 1.

Ejemplos

1. {(1, 2), (2, 3), (4, 5)}2. {(1, 0), (2, 3), (4, 2), (3, 0)}

3. f (x) = 3x + 1

4. g(x) = x2 − x

5. F (x) =2x + 1

x + 1.

Ejemplos

1. {(1, 2), (2, 3), (4, 5)}2. {(1, 0), (2, 3), (4, 2), (3, 0)}3. f (x) = 3x + 1

4. g(x) = x2 − x

5. F (x) =2x + 1

x + 1.

Ejemplos

1. {(1, 2), (2, 3), (4, 5)}2. {(1, 0), (2, 3), (4, 2), (3, 0)}3. f (x) = 3x + 1

4. g(x) = x2 − x

5. F (x) =2x + 1

x + 1.

TheoremSea f una funcion. Si cada linea horizontal corta la grafica de f ena lo sumo un punto, entonces f es una funcion uno a uno.

DefinitionSea f una funcion uno a uno. La funcion f −1, llamada la funcioninversa de f , se obtiene intercambiando los coordenadas x y y delpar ordenado (x , y = f (x)). Esto es (x , y) es punto de f si y solosi (y , x) es un punto de f −1. Es implica que si df es dominio de fy Rf es rango de f , entonces el dominio de f −1 es Rf y el rango def −1 es Df .

Ejemplos

Encuentre la funcion inversa para cada una de estas funciones unoa uno.

1. F = {(1, 2), (2, 3), (4, 5)}

2. G = {(1, 0), (2, 3), (4, 2), (3, 0)}3. f (x) = 3x + 1

4. F (x) =2x + 1

x + 1.

Ejemplos

1. F = {(1, 2), (2, 3), (4, 5)}2. G = {(1, 0), (2, 3), (4, 2), (3, 0)}

3. f (x) = 3x + 1

4. F (x) =2x + 1

x + 1.

Ejemplos

1. F = {(1, 2), (2, 3), (4, 5)}2. G = {(1, 0), (2, 3), (4, 2), (3, 0)}3. f (x) = 3x + 1

4. F (x) =2x + 1

x + 1.

Ejemplos

1. F = {(1, 2), (2, 3), (4, 5)}2. G = {(1, 0), (2, 3), (4, 2), (3, 0)}3. f (x) = 3x + 1

4. F (x) =2x + 1

x + 1.

I Sea f una funcion uno a uno. La grafica de f −1 es unareflexion de la grafica de f con respecto a la lınea y = x .

I TheoremSea f y g un funciones uno a uno con dominios Df y Dg ,respectivamente. f y g son inversas una de la otra si y solo si

I f (g(x)) = x para todo x ∈ Dg .I g(f (x)) = x para todo x ∈ Df .

I Sea f una funcion uno a uno. La grafica de f −1 es unareflexion de la grafica de f con respecto a la lınea y = x .

I TheoremSea f y g un funciones uno a uno con dominios Df y Dg ,respectivamente. f y g son inversas una de la otra si y solo si

I f (g(x)) = x para todo x ∈ Dg .I g(f (x)) = x para todo x ∈ Df .

Funcion Cuadratica

Toda ecuacion cuadratica ax2 + bx + c(a 6= 0) puede escribirse enla forma f (x) = a(x − h)2 + k .

Example

Escribir en la forma f (x) = a(x − h)2 + k las siguientes funcionescuadraticas.

I f (x) = x2 + 3x + 1

I g(x) = 2x2 + x + 1

Funcion Cuadratica

Toda ecuacion cuadratica ax2 + bx + c(a 6= 0) puede escribirse enla forma f (x) = a(x − h)2 + k .

Example

Escribir en la forma f (x) = a(x − h)2 + k las siguientes funcionescuadraticas.

I f (x) = x2 + 3x + 1

I g(x) = 2x2 + x + 1

Para f (x) = a(x − h)2 + k se cumple lo siguiente

1. El vertice de (h, k) y eje de simetria x = h.

2. Si a > 0, la grafica de f (x) abre hacia arriba. Ası que lafuncion tiene una mınimo y = k que ocurre cuando x = h.

3. Si a < 0, la grafica de f (x) abre hacia abajo. Ası que lafuncion tiene una maximo y = k que ocurre cuando x = h.

Ejemplos

Considerar f (x) = x2 + x + 3.

I Encuentre el vertice y eje de simetria de f (x).

I Encuentre los cortes en los ejes.

I Trace la grafic a de f (x).

I Encuentre el rango de f (x).

I El vertice de f (x) = ax2 + bx + c esta dado por

(− b

2a, f (− b

I Eje de simetria: x = − b2a

I Si a > 0, el rango: [f (− b2a),∞)

I Si a < 0, el rango: (∞, f (− b2a)]

(− b

2a, f (− b

I Si a < 0, el rango: (∞, f (− b2a)]

(− b

2a, f (− b

I Si a < 0, el rango: (∞, f (− b2a)]

(− b

2a, f (− b

I Si a < 0, el rango: (∞, f (− b2a)]

Ejemplos

Considerar g(x) = 2x2 + 4x + 3.

Ejemplos

Considerar g(x) = −2x2 + 4x .

Funciones cuadaticas pueden usarse para modelar el movimientoproyectil. La formula h(t) = −16t2 + v0t + h0 se utiliza paraencontrar la altura, en pies, que alcanza en el momento t, ensegundos, un proyectil que se lanza en direccion vertical con unavelocidad inicial de v0, expresada en pies por segundo, desde unaaltura inicial de h0, en pies. Como la altura es una funcioncuadratica del tiempo, la altura maxima ocurre en el vertice de laparabola.

Ejemplos

Se lanza una pelota hacia arriba, con velocidad inicial de 80 piespor segundo, desde un techo que se halla a 12 pies sobre el niveldel suelo. la altura de la pelota, en pies, en el momento t, ensegundos, esta dada por h(t) = −16t2 + 80t + 12. Encuentre laaltura maxima que alcanza la pelota por arriba del nivel del suelo.

Ejemplos

Si se van usar 100 m de cerca para cercar un terreno rectangular,pero uno de los lados da para un rıo(ası que no hay que cercarlo).¿Que dimensiones dan el area cercada maxima?

Ejemplos

Un agricultor tiene 10,000 libras de chinas que sabe que puedevender a 20 centavos la libra. Sin embargo, por cada semana queespera para venderlas, el precio subira 2 centavos por libra.Desafortunadamente, cada semana pierde 200 libra de chinas pordescomposicion.

1. Encuentre la ecuacion del precio por semana de una libra dechinas.

2. Encuentre la ecuacion de la cantidad de libras de chinas cadasemana.

3. Encuentre la ecuacion del precio del total de chinas que sepueden vender despues de t semanas.

4. ¿Cuando debera vender las chinas para maximizar la cantidadtotal de dolares a recibir por su cosecha?

Ceros de Funciones

Decimos α es un cero o raız del polinomio P(x) = 0 si P(α) = 0.Notar que los ceros de un polinomio corresponden los interceptosen el eje de x . Dado dos polinomios P(x) y D(x) con D(x) 6= 0existen polinomios unicos Q(x) y R(x) tal queP(x) = Q(x)D(x) + R(x), donde R(x) = 0 o0 ≤ deg(R(x)) < deg(D(x)). Llamamos P(x): dividendo, D(x):divisor, Q(x): cociente y R(x) residuo.

TheoremSea R el residuo cuando se divide un polinomio P(x) entre x − c ,entonces R = P(c).

Ejemplos

I Encuentre el residuo de la division de P(x) = x100 − 2x + 1entre x + 1.

I Encuentre el residuo de la division de P(x) = x100 − 2x + 1entre x − i .

I Encuentre k tal que x + 1 es un factor deP(x) = x100 − kx + 1.

I Division Sintetica:

I Usar division sintetica para encontrar el cociente y el residuo aldividir x4 − 3x3 + 2x − 1 entre x + 2.

I Usar division sintetica para encontrar el cociente y el residuo aldividir x3 + x2 + x + 1 entre x − i .

Ejemplos

I Division Sintetica:I Usar division sintetica para encontrar el cociente y el residuo al

dividir x4 − 3x3 + 2x − 1 entre x + 2.

Ejemplos

I Division Sintetica:I Usar division sintetica para encontrar el cociente y el residuo al

dividir x4 − 3x3 + 2x − 1 entre x + 2.I Usar division sintetica para encontrar el cociente y el residuo al

dividir x3 + x2 + x + 1 entre x − i .

I Decimos que D(x) es un factor de P(x) si existe un polinomioQ(x) tal que P(x) = D(x)Q(x).

I Theorem (Teorema del Factor)

El numero c es un cero del polinomio P(x) = 0 si y solo si x − c esun factor de P(x).

I Determine si x + 4 es un factor del polinomioP(x) = x3 − 13x + 12. Si es un factor, entonces encuentretodos sus ceros.

I Theorem (Teorema Fundamental del Algebra)

Si P(x) es un polinomio de grado positivo, entonces P(x) tiene almenos un cero en el conjunto de numeros complejos.

I Decimos que α es una raiz del polinomio P(x) demultiplicidad m si P(x) = (x − α)mQ(x), donde Q(α) 6= 0 ym es un entero no-negativo.

I TheoremSi P(x) es un polinomio de grado positivo n, entonces P(x) tienen ceros en el conjunto de numeros complejos contando sumultiplicidad.

Theorem (Teorema de los Ceros Racionales)

Si P(x) = anxn + an−1x

n−1 + · · ·+ a1x + a0 es un polinomio degrado n con coeficientes enteros(an 6= 0 y a0 6= 0) y p

q (en formareducida) es un cero de P(x) = 0, entonces p divide a a0 y qdivide a an.

Ejemplos

Encuentre todos los posibles raices racionales de:

I P(x) = 2x4 − 2x + 1

I T (x) = 4x5 + 3x4 + 2x + 6

I Encuentre todos los ceros de f (x) = 2x3 − 3x2 − 11x + 6

I Encuentre todos los ceros de g(x) = 3x3 − 8x2 − 8x + 8

I Encuentre todos los ceros dex6 + 23 x4 − 8 x5 − 32 x3 + 31 x2 − 24 x + 9

Ejemplos

I P(x) = 2x4 − 2x + 1

I T (x) = 4x5 + 3x4 + 2x + 6

Ejemplos

I P(x) = 2x4 − 2x + 1

I T (x) = 4x5 + 3x4 + 2x + 6

Ejemplos

I P(x) = 2x4 − 2x + 1

I T (x) = 4x5 + 3x4 + 2x + 6

Ejemplos

I P(x) = 2x4 − 2x + 1

I T (x) = 4x5 + 3x4 + 2x + 6

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