Inecuaciones lineales y cuadraticas COMIL - enrique0975

INECUACIONES LINEALES Y CUADRÁTICAS

Conjunto solución, gráfica y Comprobación.

enrique0975

INECUACIONES LINEALES

-8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 ](- +

Esto quiere decir que son todos los valores incluidos el -2 hacia el infinito negativo

COMPROBACIÓN

- x + 15 3 – 7x - (- 2) + 15 3 – 7(-2) 2 + 15 3 +1417 17

x (- , -2]Conjunto solución

- x + 15 3 – 7x - (- 5) + 15 3 – 7(-5) 5 + 15 3 + 3520 38

- x + 15 3 – 7x - (- 8) + 15 3 – 7(-8) 8 + 15 3 + 5623 59

EJERCICIO 1


-8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 [ )- +

Esto quiere decir que son todos los valores incluidos el -8/5 hacia el infinito positivo

COMPROBACIÓN

x [- 8/5, +)Conjunto solución

-8 5 = -1,6Solo se hace la división para saber donde va

representado en la recta

-8/5

x + 11 3 – 4x-1 + 11 3 – 4(-1)10 3 + 510 8

x + 11 3 – 4x2 + 11 3 – 4(2)13 3 – 6 13 - 3

EJERCICIO 2


-8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 [ )- +

Esto quiere decir que son todos los valores incluido el 2 hacia el infinito positivo

COMPROBACIÓN

x [- 2, +)Conjunto solución

- x – 13 3 + 7x- x – 7x 3 + 13- 8x 16- 8x (-1) 16(-1)8x -16x -16/8x -2

- x – 13 3 + 7x - (-2) – 13 3 + 7(-2)2 – 13 3 – 14-11 -11

- x – 13 3 + 7x - (-1) – 13 3 + 7(-1)1 – 13 3 – 7 -12 - 4

- x – 13 3 + 7x - (3) – 13 3 + 7(3)-3 – 13 3 + 21-16 24

EJERCICIO 3


-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 ](- +

Esto quiere decir que son todos los valores incluido el 5/3 hacia el infinito negativo

COMPROBACIÓN

x (-, 5/3]Conjunto solución

2x + 11 6 + 5x2x – 5x 6 – 11 – 3x – 5 – 3x(-1) – 5(-1) 3x 5x 5/3

5 3 = 1,6666….Solo se hace la división para saber donde va


5/3

2x + 11 6 + 5x2(1) + 11 6 + 5(1)2 + 11 6 + 513 11

2x + 11 6 + 5x2(-2) + 11 6 + 5(-2)-4 + 11 6 – 10 7 – 4

EJERCICIO 4


-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 [ )- +

Esto quiere decir que son todos los valores incluido el -37/49 hacia el infinito positivo

COMPROBACIÓN

x [-37/49, +)Conjunto solución

-37 49 = - 0.7551Solo se hace la división para saber donde va


-37/49

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EJERCICIO 5

COMPROBACIÓN ejercicio anterior


-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 ](- +

Esto quiere decir que son todos los valores incluido el 63/22 hacia el infinito negativo

COMPROBACIÓN

x (-, 63/22]Conjunto solución

63 22 = 2.8636…..Solo se hace la división para saber donde va


63/22

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EJERCICIO 6

COMPROBACIÓN ejercicio anterior


-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 )(- +

Esto quiere decir que son todos los valores SIN incluirel 1 hacia el infinito positivo

COMPROBACIÓN

x (1, +)Conjunto solución

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EJERCICIO 7

INECUACIONES CUADRÁTICAS


NOTA: Siempre en esta parte debe existir un x2 para que sea inecuación cuadrática, se lo puede resolver de dos maneras: por factorización (en caso que se pueda factorizar) o con la fórmula cuadrática.

El trinomio 3x2 + 2x + 10 no se puede factorizar como trinomio de la forma ax2+bx+c entonces aplicamos la fórmula cuadrática:

NOTA: NO existe la raíz de un número negativo, este se lo conoce como imaginario. Cuando suceda esto debemos dar un valor cualquiera sea positivo, negativo o cero y reemplazar la “x” por el valor que escojamos en la inecuación 3x2 + 2x + 10 0, vemos que el signo de esta inecuación es mayor que (>) entonces nuestro resultado debe ser positivo.

SIGUE EN LA SIGUIENTE PAGINA

a=3b=2c=10

EJERCICIO 8

3x2 + 2x + 10 > 03(2)2 + 2(2) + 10 > 03(4) + 4+ 10 > 012+ 4+ 10 > 026 > 0

Reemplazamos la “x” por un valor cualquiera, para esta demostración vamos a tomar un número positivo, uno negativo y el cero. Para ver que sucede. Pero no es necesario que hagan con tres números, suficiente con un número.

Reemplazando un número positivo

3x2 + 2x + 10 > 03(-3)2 + 2(-3) + 10 > 03(9) – 6 + 10 > 027 – 6 + 10 > 031 > 0

Reemplazando un número negativo

3x2 + 2x + 10 > 03(0)2 + 2(0) + 10 > 00 – 0 + 10 > 0 10 > 0

Reemplazando por el cero (0)

Como vemos en la demostración para los 3 casos satisface la inecuación entonces la respuesta es todos los números reales (R). En caso que la respuesta hubiera sido negativa o contraria al signo > o < (Ejemplo: – 8 > 0 o 5 < 0) el conjunto no tiene solución.

x (R) o (-, +)Conjunto solución

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 )(- +

Esto quiere decir que “x” pertenece al conjunto de los números reales (R)


a=2b=7c=3

NOTA: Como mencione anteriormente se los puede realizar por los 2 métodos, factorizar o fórmula general, todos los ejercicios los vamos a hacer por fórmula general.


EJERCICIO 9

2x2 + 7x + 3 < 02(-4)2 + 7(-4) + 3 > 02(16) – 28 + 3 > 032 – 28 + 3 > 07 < 0

Ahora colocamos nuestras raíces en la gráfica

Reemplazando un número entre - y -3

Reemplazando un número entre -3 y -

1/2

Reemplazando un número entre -1/2 y+

x (-3, -1/2)Conjunto solución

-8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5)(- +-1/2

2x2 + 7x + 3 < 02(-2)2 + 7(-2) + 3 > 02(4) – 14 + 3 > 08 – 14 + 3 > 0-3 < 0

2x2 + 7x + 3 < 02(0)2 + 7(0) + 3 > 00 – 0 + 3 > 03 > 0

NO satisface la inecuación

NO satisface la inecuaciónSI satisface la

inecuación

-8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

- +-1/2( )

Esto quiere decir que “x” pertenece a los números entre -3 y -1/2 SIN incluir al -3 y al -1/2


a= -6b= 9c= -70

-6x2 + 9x – 70 0-6(0)2 + 9(0) – 70 00 + -10 0- 10 0

Reemplazamos en valor de “x” por un número cualquiera


x () o NO tiene soluciónConjunto solución

EJERCICIO 10


a= 2b= 26c= 27


EJERCICIO 11

2x2 + 26x + 27 02(-12)2 + 26(-12) + 27 02(144) – 312 + 27 0288 – 312 + 27 03 0


Reemplazando un número entre - y -11.8619

Reemplazando un número entre -11.8619 y 1.1381

Reemplazando un número entre 1.1381 y +

x (-, -11.8619] U [1.1381, +)Conjunto solución

-18 -16 -14 -12 -10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8)(- +1.1381


SI satisface la inecuación

-11.8619

2x2 + 26x + 27 02(-2)2 + 26(-2) + 27 02(4) – 52 + 27 08 – 52 + 27 0-17 0

2x2 + 26x + 27 02(2)2 + 26(2) + 27 02(4) + 52 + 27 08 + 52 + 27 087 0


-18 -16 -14 -12 -10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8)(- +1.1381-11.8619

[]

INECUACIONES CUADRÁTICASa= -4, b= -33, c= -7


EJERCICIO 12

-4x2 – 33x – 7 0-4(-9)2 – 33(-9) – 7 0-4(81)+ 297 – 7 0-324 + 297 – 7 0-34 0



Reemplazando un número entre -0.2821 y 8.0321


x [-8.0321, -0.2821]Conjunto solución

-18 -16 -14 -12 -10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8)(- +-8.0321



-0.2821

-4x2 – 33x – 7 0-4(-2)2 – 33(-2) – 7 0-4(4) + 66 – 7 0-16 + 66 – 7 043 0

-4x2 – 33x – 7 0-4(2)2 – 33(2) – 7 0-4(4) – 66 – 7 0-16 – 33 – 7 0-56 0


-18 -16 -14 -12 -10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8][- +-8.0321 -0.2821



EJERCICIO 13

x2 – x – 6 < 0(-3)2 – (-3) – 6 < 09 + 3 – 6 < 012 < 0



Reemplazando un número entre -2 y 3

Reemplazando un número entre 3 y +

x (-2, 3)Conjunto solución

-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7)(- +




x2 – x – 6 < 0(0)2 – (0) – 6 < 00 + 0 – 6 < 0-6 < 0

x2 – x – 6 < 0(4)2 – (4) – 6 < 016 – 4 – 6 < 06 < 0

-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7)(- +



EJERCICIO 14

-x2 – 2x + 8< 0-(-5)2 – 2(-5) + 8< 0-25 + 10 + 8< 0-7 < 0



Reemplazando un número entre -4 y 2

Reemplazando un número entre 2 y +

x (-, -4) U (2, +)Conjunto solución

-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 )(- +



-x2 – 2x + 8< 0-(0)2 – 2(0) + 8< 0-0 + 0 + 8< 08 < 0

-x2 – 2x + 8< 0-(3)2 – 2(3) + 8< 0-9 – 6 + 8< 0- 7 < 0


-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 )(- +) (

INECUACIONES CUADRÁTICASEJERCICIO 15

2x2 + 5x + 6 < 02(0)2 + 5(0) + 6 < 00 + 0 + 6 < 06 < 0


x () o NO tiene soluciónConjunto solución


-x2 + 3x – 4 < 0-(0)2 + 3(0) – 4 < 0-0 + 0 – 4 < 0– 4 < 0


x (R) o (-, +)Conjunto solución

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 )(- +

Esto quiere decir que “x” pertenece al conjunto de los números reales (R)

2x2 + 5x – 3 < 02(2)2 + 5(2) – 3 < 02(4) + 10 – 3 < 08 + 10 – 3 < 015 < 0

2x2 + 5x – 3 < 02(-4)2 + 5(-4) – 3 < 02(16) – 20 – 3 < 032 – 20 -3 < 09 < 0



Reemplazando un número entre -3 y 1.5


x (-3, 1/2) U (1.5, +)Conjunto solución

-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 )(- +




-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 )(- +

2x2 + 5x – 3 < 02(-1)2 + 5(-1) – 3 < 02(1) – 5 – 3 < 02 – 5 – 3 < 0– 6 < 0

1/2

6x2 + 31x + 18 06(-6)2 + 31(-6) + 18 06(36) – 186 + 18 0216 – 186 + 18 048 0



Reemplazando un número entre -4.5 y -0.6666

Reemplazando un número entre -0.6666 y +

x (-9/2, -2/3)Conjunto solución

-10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 )(- +




6x2 + 31x + 18 06(-2)2 + 31(-2) + 18 06(4) – 62 + 18 024 – 62 + 18 0– 20 0

6x2 + 31x + 18 06(1)2 + 31(1) + 18 06(1) + 31 + 18 06 + 31 + 18 055 0

-10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 )(- +[ ]

-4.5 -0.666

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