2014 iii 11 inecuaciones

1

Centro Preuniversitario de la UNS S- 11 Ingreso Directo

UNIVERSIDAD NACIONAL DEL SANTA

CEPUNS Ciclo 2014-III

ÁLGEBRA “INECUACIONES”

INECUACIONES

1.- NÚMEROS REALES

Sea R el conjunto de números reales,

provisto de dos operaciones: la adición (+),

la multiplicación (.) y una relación de orden

(< : menor que) constituye el SISTEMA DE

LOS NUMEROS REALES

Axiomas de la adición y multiplicación:

CLAUSURA O CERRADURA

ba , es un número real.

ba. ; es un número real.

CONMUTATIVO

abba

abba ..

ASOCIATIVO

cbacba

cbacba ....

ELEMENTO NEUTRO

aoa

aa 1

ELEMENTO OPUESTO O INVERSO

oaa

11 aa

DISTRIBUTIVA

cabacba ...

cbcacba ...

Relación de Orden: Es la comparación de

números mediante el uso de los signos:

"";

"";

mayorque

menorqueestrictasSimples

"";

"";

igualquemayor

igualquemenorsnoestrictaDobles

Axiomas de Orden:

Ley de la tricotomía: Ra se cumple

una y solamente una de las siguientes

relaciones:

Ley Aditiva:

Ley Multiplicativa:

Ley Transitiva:

Semana Nº 11

Tablilla

Babilónica

0 abba

0a ó 0a ó 0 a

RccbcabaSi ;:

RccbcabaSi ;..:

bacbbaSi :

Lic. José Azañero –Lic. Walter Torres-Lic. Saul Barron-Lic. Alex Ríos.- Lic.Rodolfo Carrillo- Lic Juan Miranda Álgebra.

2


DEFINICION DE INTERVALO. i ) Intervalo abierto :

x

a b Si x a b a x b ,

En dicho intervalo no están incluido los extremos a y b. ii) Intervalo cerrado:

x

a b Si x a b a x b [ , ]

En dicho intervalo si se incluyen los extremos a y b

iii) Intervalo Semiabierto por la izquierda

: x

a b Si x a b a x b , ]

En dicho intervalo sólo se incluye el extremo b

iv) Intervalo Semiabierto por la derecha :

x

a b Si x a b a x b [ ,

En dicho intervalo sólo se incluye el extremo a.

v) Intervalos Infinitos :

a) a x, a a

b) [ ,a x a a

c) ,a x a a

d) , ]a x a a

e) , x R o

INECUACIÓN DE 1º. Se llama inecuación de 1º a toda inecuación

que admite alguna de las siguientes formas: ax + b < 0; ax + b > 0 ;

ax + b 0; ax + b 0

Donde: x es la incógnita a, b R / a 0 RESOLUCIÓN DE UNA ECUACIÓN: Consideramos a la inecuación:

ax + b < 0; ax < - b

a). Si: a > 0 x < - a

b, es decir, su conjunto

solución es:

x <-, -a

b>

b). Si: a < 0 x > - a

b, es decir, su conjunto

solución es:

x < -a

b,>

INECUACIONES DE 2º. Es aquella que admite ser reducida a

cualquiera de las siguientes formas:

ax2 + bx < 0; ax2 + bx + c 0 ;

ax2 + bx < 0; ax2 + bx + c 0 ;

Donde: x = incógnita {a, b, c} R a 0 PROPIEDADES:

* x R, ax2 + bx + c > 0

a > 0 b2 – 4ac > 0 El trinomio es siempre positivo para

cualquier valor de su incógnita.

* x R, ax2 + bx + c < 0

a < 0 b2 – 4ac < 0 El trinomio es siempre negativo para

cualquier valor de su incógnita. INECUACIONES CON VALOR ABSOLUTO. Viene a ser desigualdades relativas, las cuales

frecuentemente se presentan en las siguientes formas.

i). x < a a > 0 -a < x < a

ii). x > a x > a x < -a

iii). x > y (x+y) (x-y) > 0

iv). x < y (x+y) (x-y) < 0


3


INECUACIONES CON RADICALES. Viene a ser desigualdades relativas en las que

se presentan radicales y dentro de ellos las variables. Entre ellas se pueden reconocer a las siguientes formas:

i). nn yxyxyx 22 00

iii). yxn2

Caso A: x 0 y 0 x > y2n

Caso B: x 0 y < 0 iii). Para inecuaciones con radicales con

índices impares con cualquier signo de relación no existe ninguna restricción.

INECUACIONES EXPONENCIALES. Son aquellas desigualdades relativas, en las

que las incógnitas se presenta de exponente. Propiedades.

i). Siendo: a > 1: ax < ay x < y

ax > ay x > y ii), Siendo: 0 < a < 1:

ax < ay x > y

ax > ay x < y

PROBLEMAS PROPUESTOS

NIVEL I 1. El conjunto solución de la inecuación

2 5 3 11x es:

A. 1;2 B. 2;2 C. 2;1]

D. 1;1 E. 1; 2

2. El conjunto solución de la inecuación

2 20 100 0x x es:

A. R B. { 10} C. 10;

D. : 10 E. { 10} ¡


2 3 9

04 64

x x Es:

A. R B. C.3

;8

D. 3

:8

E. 3

8

4. En la inecuación

5 4 3 23 5 15 4 12 0x x x x x el

intervalo que no está incluido en el conjunto solución es:

A. 3; 2 B. 1; 1 C. 2;

D. 2; 1 E. 1; 0

5. Si B;C

A es conjunto solución del

sistema

13 5 3 8 2 71

2 5 3

3 1 11

5 2 7

x x x

x x x

El valor de 23A

B C

es:

A. 1 B. 1/2 C. 2 D. -1 E. -1/2

6. La solución del sistema

( 1)( 2) ( 4)( 2)x x x x

( 3)( 1) ( 4)( 3)x x x x Es:

A. 5; 6 B. 5; 6 C. 3; 6

D. 3; 6 E. 3; 6


2( 3) ( 2)( 4) 0x x x Es:

A. 4; 2 3;U

B. ; 4 2; 3U

C. ; 4 2; {3}U

D. 4; 2 3;U

E. ; 2 2; 3U


4



3(2 1)(3 2) (2 5) 0x x x Es:

A. 1 2 5

; ;2 3 2

U

B. 1 2 1

; ; 22 3 2

U

C. 1 5

;2 2

D. 1 1

; 2 ;2 2

U

E. 2 2

; ;3 3

U

9. Si M es el conjunto solución de la inecuación

2 2 2 2( 7)( 25)( 16)( 1) 0x x x x

Entonces el intervalo que no está incluido en M es:

A. 4; 3 B. 3; 4 C. 4; 7

D. 9

;2

E. 7; 4

10. Resolver:

2 9 3 2 5 4

2 7 3

( 3) ( 6) ( 4 5) ( 3)

( 1) ( 3) ( 3)

x x x x x

x x x

0

Indicar su intervalo solución:

a) x <- ; -6] U <-3; 1> U <1, 3>

b) x <- ; -3] U <1, 3>

c) x <- ; -2] U <-1; 1> U <2, +>

d) x e) x R

11. Un número de plumas contenidas en

una caja es tal, que su duplo

disminuido en 86, es mayor que 200.

De la caja se sacan 17 plumas y

quedan menos que la diferencia

entre 200 y la mitad de las plumas

que había al inicio. ¿Cuántas eran

éstas?

a) 144 b) 132 c) 17 d) 180 e) 135

12. Hallar el menor “M”, Rx ;

Mxx 413 2

a) -8 b) 9 c) -9 d) 8 e) -6

13. Hallar un número entero y positivo,

sabiendo que su mitad, disminuida en

su tercera parte, es mayor que 7/6,

y que su cuarta parte, disminuida en

la quinta parte de dicho número, es

menor que 9/20.

a) 8 b) 6 c) 10 d) 5 e) 7

14. Un comerciante disponía de una

cantidad de dinero para comprar un

cierto número de objetivos iguales

entre sí. Pensaba comprarlos al

precio de s/50 cada uno y le faltaban

más de s/ 48 y después pensó

comprarlos de s/ 40 y le sobraban

más de s/ 152; y por último los

compró al precio de s/ 30 cada uno y

le sobraron menos de s/ 372. ¿Cuál

fue el número de objetos

comprados?

a) 12 b) 21 c) 10 d) 15 e) 17

15. Hallar un número entero y positivo

que sumado con 11, resulte mayor que

el triple de él disminuido en 7; y que

sumado con 5 resulte menor que el

doble de él disminuido en 2.

a) 5 b) 6 c) 7 d) 8 e) 9


5


NIVEL II 3º SUMATIVO 2010-II

1. Al resolver : ,4

362

2

36

xx

x se

obtiene como conjunto solución:

a) R b) c) [-7, >

d) [7, > e) 7;7 3º SUMATIVO 2010-III

2. Si 2/1;1x entonces 1x

x pertenece al

intervalo.

a) 1;2/1 b) 2/3;2/1 c) 2/1;1

d) 0;1 e) 1;0

3º SUMATIVO 2011-II

3. Al resolver la inecuación: 1528 2 xx a. <-, -5/4> <3/2, >

b. <-5/4,3/2 >

c. <-, -4/5> <2/3, >

d. <-4/5,2/3 >

e. <-, -3/2> <5/4, >

3º SUMATIVO 2012-I

4. El conjunto solución de la inecuación:

:,0282322

esxx

a) 9;4 b) 9;5 c) 6;3

d) 6;5 e) 3;2

3º SUMATIVO 2012-III

5. ¿Cuántos números enteros positivos

satisfacen la inecuación:

74

185

2

135

273

xx

?

a) 5 b) 7 c) 3 d) infinitos

e) no existen soluciones enteras.

3º SUMATIVO 2012-III

6. El conjunto solución de:

esx

x

x

x,

16

365

16 4

2

4

4

?

a. <-, -3> <-2,2> <3, >

b. 3,22;3

c. <-3, -2> <2,3>

d. <-3, 3>

e. <2, 3>

7. Si 3/1; mmA y

2

2;

2

1 mmB determine todos

los posibles valores de Zm tal que

BA .

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 y 5 e) 6 y 8

8. ¿Cuál es el mayor valor entero que

satisface la inecuación?

6

312

2

1

3

1

xx

x

a) 2 b) 1 c) -1 d) 0 e) 3

9. Hallar el menor número natural que

no satisface a la siguiente

inecuación:

2

72

422

5

2 32 xxxxx

a) 12 b) 7 c) 6 d) 10 e) 8

10. ¿Cuántos números impares

satisfacen a la siguiente inecuación?:

34920 2 xx

a) 2 b) 1 c) 0 d) 4 e) 3

11. Al resolver el sistema:

3x2 – 12x – 15 0

-x2 + 4x – 3 0


6


el conjunto solución es : [a, b]

[c, d]. Calcular el valor de: E = 2a +

b – 3c + d

a) –5 b) –3 c) 0 d) 1 e) 8

12. Resolver la inecuación:

x(x - 8) + 8 > 4(1 - x)

a) R b) <0, > c) <-, 0>

d) R – {2} e) R – {4}

13. Resolver la inecuación:

x2 – 3x 2x a) <-, 0] [5, > d) <-, 2] [5, >

b) <-, 0> [5, > e) <-, 0] <2, >

c) <-, 0] <5, >

14. Al resolver el sistema :

x2 + 8x + 15 < 0

x2 – 2x – 24 < 0

el conjunto solución es <a, b>.

Hallar el valor de “2b - a”.

a) –4 b) –2 c) 5 d) 7 e) 8

15. Después de resolver la inecuación:

5,23

13

4

1

2

12

xxx

indicar la suma de los valores

enteros que admite x.

a) -2 b) -1 c) 0 d) 2 e) 3

16. Resolver:

22

22

22

)3(

2

)1(a

xbb

xa

siendo: 0 < a < b.

a) <-,5] b) <-,5> c) [5, >

d) <5, > e) <,-5>

17. Determine el conjunto solución de:

2

1;

4

1

2

31

a

a

xx

a

x

a) <-,1/5] b) <-,1/2> c) <-,1/3>

d) <-;2> e) <-,-2/3>

18. Si M es el conjunto solución de la

inecuación: 73352 xxx ,

entonces el conjunto solución M es:

a) <0,5> b) <8,14> c) <-,1>

d) <5,8> e) <14,52>

19. En R definimos la operación a * b =

2

ba , según esto hallar C.S. de:

(x - 1) * 2 (4 * x) * 1/2 (1+ 2x) * 5

a) [11/5,2] b) [11/5,3] c) [11/4,2]

d) [-11/5,2] e) N.A.

20. Resuelva la inecuación polinomial

011235 xxx , dar como

solución la suma de los valores

enteros positivos.

a) 1 b) 4 c) 10 d) 2 e) 3

21. Resuelva la inecuación polinomial:

0312154 xxx , dar

como respuesta el número de valores

enteros de su conjunto solución.

a) 1 b) 4 c) 10 d) 2 e) 3

22. Resuelva la inecuación polinomial:

0111723 xxx

a) 2;1 b) 2;0 c) 1;1

d) 1;1 e) 2;5


7


23. Resuelva la siguiente inecuación

polinomial:

034233242 xxx

a) 2/3; b) 2/3

c) 3/2; d) ;1 e)

24. Dada la inecuación polinomial

062532532233

xxxxx

Se obtuvo cbaCS ; . Determine

el valor de “a+b+c”

a) 11 b) 5 c) 6 d) 1 e) 16

25. Resolver: x3 + x2 9x + 9

a) [-3,-1] [3,> b) <,3> <4, >

c) <-,3> d) R e) [1,3] <5,>

26. Dad la inecuación polinomial:

0910...34231210432 xxxx

indique la longitud de su conjunto

solución:

a) 52/103 b) 1/2 c) 2 d) 52/105 e) 16

27. Dada la inecuación

065322524232 xxxxxx

se obtuvo como cbaCS , .

Determine el valor de “a+b-c”.

a) -2 b) -1 c) 0 d) 1 e) 3

28. Dada la expresión: xx

xxM

5

31,

determine su valor sabiendo que:

2;4 x

a) 3/5 b) 5/2 c) 2/5 d) 1 e) 2

29. Resuelva la siguiente ecuación:

12223 xxx Dé como

respuesta la suma de valores

absolutos de sus soluciones

a) -2 b) -1 c) 0 d) 1 e) 3

30. Resuelva en R la inecuación:

01212 22 xxxx

a) b) -1 c) 0 d) 1 e) 3

31. Halle la suma de las raíces reales de

la ecuación 04232 xx

a) -3 b) 3 c) -1 d) 1 e) 0

32. Dada la ecuación:

62

17

2

12

2

xx , halle la suma

de soluciones:

a) -2 b) -3/4 c) -1 d) 3/4 e) 3

33. Hallar el valor de “a” para el cual el

sistema:

axxxx

xx642034

2

2

Se verifica para un único valor

entero de “x”

a) -2 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4

34. Resolver el sistema con x, y ,z

enteros:

2122

4326234

yzy

zyxzyx


8


Señale:

zxy

a) -2/3 b) 1 c) 2 d) 3/2 e) 4

35. Si la solución de la inecuación:

x5 + 8x4 + 12x3 – x2 – 8x – 12 > 0

es <a,b> <c,> el valor de a+b+c

a) -7 b) 7 c) -5 d) -8 e) 8

36. Si la solución de la inecuación:

x

x

x

x

2

3

1 es: <a,b] <c,> .

Hallar a + c:

a) 2 b) 3 c) 1 d) 3/2 e) 4

37. ¿Cuántos enteros positivos no

verifican la inecuación:

33

23

252

522

2

2

2

xx

xx

xx

xx ?

a) Ninguno b) 1 c) 2

d) 3 e) más de 3

38. Al resolver la inecuación:

621 xx , se obtiene como

conjunto solución al intervalo ba; .

Entonces ba. es:

a) -2 b) -1 c) 0 d) 1 e) 2

39. Al resolver la inecuación:

26533 23 xxxx se obtiene

por conjunto solución ;; ba ,

entonces ba. es:

a) 2/3 b) 3/2 c) 2 d) 3 e) 5

40. La desigualdad:

1;1

1

184 2

x

x

xx ; tiene

por solución el siguiente conjunto:

a) 2/3; b) 2/3

c) ;2/3 d) ;1 e)

41. Los valores de “x” superiores a 1/3,

que satisfacen la inecuación:

13

2

1

1

xx están dados por:

a) 63/1/ xRx

b) 83/1/ xRx

c) 33/1/ xRx

d) 3/1/ xRx

e) 3/1/ xRx

42. La intersección del conjunto solución

de: ;07

40222

23

xx

xxx con el

intervalo 2;5 es:

a) 2;5 b) 2;0 c) 2;0

d) ;0 e) 2;5

43. El producto de los valores enteros

de x que satisfacen la desigualdad:

5

742

5

23

x

x

x

x; es:

a) 120 b) 100 c) 80 d) 24 e) 12

2014 iii 11 inecuaciones

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