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INECUACIONES
Es una desigualdad en la que hay una o mas cantidades desconocidas (incógnitas) y que solo se verifica para determinados valores de las incógnitas, o tal vez nunca se verifica.
Inecuaciónysenyy
x2x
dDesigualdae
3
Conjunto Solución (C.S.) Ejemplos: 1) 2x + 1 > 7
x > 3 C.S. = 3 ; +
2) x2 + (x + 1)
2 + (x + 2)
2 + … + (x + 100)
2 + 3 > 0 C.S. = R
1
PROPIEDADES DE LAS DESIGUALDADES
1.Si a los dos miembros de una desigualdad se les suma o resta una
misma cantidad el sentido de la desigualdad no varía.
Si a>b=> a c > b c
2.Si a los dos miembros de una desigualdad se les multiplica o divide
por una misma cantidad positiva, el sentido de la desigualdad no
varía.
Si a > b y c > 0
3. Si a los dos miembros de una desigualdad se les multiplica o divide
por una misma cantidad negativa, el sentido de la desigualdad se
invierte.
4. Si a > b y c < 0cbca
bcac
//
2
5. Si de tres cantidades, la primera es mayor que la segunda y la
segunda mayor que la tercera, entonces la primera es mayor que la
tercera.
Si a > b y b > c a > b > c a > c
6. Si se suman miembro a miembro dos o varias desigualdades del
mismo sentido, como resultado se obtiene una desigualdad del mismo
sentido.
Si a > b y c < d a – c > b + d
7 .Si se restan miembro a miembro dos desigualdades de sentido
contrario, como resultado se obtiene una desigualdad del mismo
sentido que la desigualdad minuendo.
Si a>b y c < d a-c > b-d
8. Si se multiplica miembro a miembro dos o varias desigualdades del
mismo sentido cuyos miembros son positivos, como resultado se
obtiene una desigualdad, del mismo sentido.
Si a > b siendo b > 0 y c > d siendo d > 0 ac > bd
En consecuencia: Si a > b siendo b > O => an > bn3
9. Si se dividen miembro a miembro dos desigualdades de sentido
contrario, cuyos miembros son positivos, como resultados se obtiene
una desigualdad del mismo sentido que la desigualdad dividiendo.
Si a > b siendo b > 0 y c < d siendo c > 0
10.Si los dos miembros de una desigualdad se eleva a una misma
potencia de grado impar, el sentido de la desigualdad no varía.
Si a > b ^ a2n+1>b2n+l
11.Si se eleva a una misma potencia par los dos miembros de una
desigualdad en la cual sus dos miembros son negativos, se obtiene
una desigualdad de sentido contrario.
Si a > b siendo
12.Si se eleva a una misma potencia par los miembros de una
desigualdad en la cual uno de sus miembros es positivo y uno
negativo, no se puede predecir el sentido de la desigualdad.
Si a > b siendo
13.Si a los dos miembros de una desigualdad se le extrae una misma
raíz de grado impar, el sentido de la desigualdad no varía.
Si a > b1212 nn ba
d
b
c
a
4
Punto Crítico
En la inecuación:
0Pó0Pó0Pó0P )x()x()x()x(
P(x) : Polinomios Los puntos críticos son las raíces de P(x), es decir:
0Pcríticopuntoes"" )x(
Ejemplo: P(x) = (x + 3)(x + 4)(x – 2) < 0 Puntos Críticos: -3 ; -4 ; 2 5
MÉTODO DE LOS PUNTOS CRÍTICOS
En la inecuación polinomial a(x – x1)(x – x2) …… (x – xn) > 0 1) Garantizar que coeficiente principal = a > 0; en caso contrario, multiplicar por -1. 2) Hallamos los puntos críticos y los ubicamos ordenados en la recta.
+ +
x n x 3 x 2 x 1......
)(POSITIVA
ZONA.S.C
0P
ó
0P:Si
)x(
)x(
)(NEGATIVA
ZONA.S.C
0P
ó
0P:Si
)x(
)x(
6
Ejemplos: Resolver las Sgtes. inecuaciones 1) x
2 – 5x + 6 0
(x – 2)(x – 3) 0 Puntos críticos: 2 ; 3
+ +
3 2 C.S. = 2; 3
2) (2 – x)(x + 5) < 0 Multiplicamos por (-1): (x – 2)(x + 5) > 0
+ +
2 -5
C.S. = - ; -5 2 ; +
7
INECUACIONES POLINOMIALES 1) INECUACION LINEAL
0a;0bax
RESOLUCIÓN
bax
)b(0)b(bax
0bax
b0
a
bx0aSi*
a
bx0aSi*
8
Ejemplo: a
2x + b < b
2x +a
Si: 0< a < b a – b < 0 Solución:
ba
1x
1x)ba(
)ba(x)ba)(ba(
)()(
INECUACIÓN CUADRATICA
0a;0cbxaxP 2)x(
Resolución:
1) PERFECTOCUADRADOTRINOMIO0
Donde: : discriminante = b
2 – 4ac
9
Ejemplos: 1. –4x
2 – 4x + 1 < 0
= 0 (2x – 1)
2 < 0 C.S. =
2. (2x – 3)2 > 0 C.S. = R
2
3
3. (-2x + 4)
2 0 C.S. = R
4. (-5x + 20)
2 0 C.S. = {4}
10
+ +
4 9
2) CRITICOSPUNTOSLOSDEMETODO0
Ejemplos: 1) x
2 – 13x + 36 < 0 (x – 4)(x – 9) < 0 C.S. = 4 ; 9
x -9 x -4
2) x2 – 2x – 2 0
= 12 > 0. Hallamos los puntos críticos: x2 – 2x – 2 = 0
31
2
122x
C.S. = - ; 1 3 1 + 3 ; +
+ +
3131
11
Resolución:
1)
Admisiblesv aloresdeConjunto
A.V.C : Q(x) 0
2) 2)x(
)x(
)x(Q
Q
P 0.Q
2(X)
0QP )x()x(
INECUACION FRACCIONARIA
0Q
P
)x(
)x(
12
Ejemplos: Resolver las siguientes inecuaciones:
1) 03x
2x
. C.V.A. : x -3
. 22 )3x(0)3x(3x
2x
(x – 2)(x + 3) 0 C.S.* = -3 ; 2 . C.S. = C.V.A C.S.* C.S. = -3 ; 2
2) 0)3x(
)2x)(1x(
. x -3
+ +
-3 -1 2C.S. = -3 ; -1 2 , +
13
3. Encontrar el intervalo al que pertenece “x”
14
4. Encontrar el intervalo al que pertenece
“x”
15
5. Encontrar el intervalo al que pertenece “x”
16
INECUACION IRRACIONAL
Forma General: 0I )x(
Expresión algebraica irracional Ejemplo:
1x53x2;1x1x
RESOLUCIÓN: 1) Hallamos su C.V.A.
Ejm:
2xRx
Nn;22x1x n21n2
C.V.A. = 2 ; - >
17
6. Resolver: 1x5x4x2
Solución:
5/1x
01x5
0)4x(x
0x4x2
x - ; 4 0 ;
C.V.A = ;5
1
Operamos: 22
2 )1x5(x4x
24x2 – 14x + 1 > 0
(12x – 1) (2x – 1) > 0
;2
1
12
1;x ……….. ( )
C.S. = C.V.A. ( ) = ;2
1
18
7. Se desea contar cierto lote de vacunas, al hacerlo se conto de 4 en 4,
no pudiendo completar 23 grupos, cuando se hizo de9 en 9 se
completaron 10 grupos y quedo un sobrante ¿Cuántas vacunas tiene
el lote?
SOLUCIÓN
X = N de vacunas
En el intervalo X solo puede tomar un
valor en el conjunto de los números
enteros 19
8. Rubí dispone de S/.32.00 nuevos soles para asistir al cine con sus
primas, si compra entradas de S/.5.00 le falta dinero y si compra
entradas de S/.4.00 le sobra dinero. ¿Cuál es número de primas que
invito Rubí?
SOLUCIÓN:
Supongamos que el N de personas que asisten al cine son “x”
Si compra entradas de S/.5.00 le falta dinero
Si compra entradas de S/.4.00 le sobra dinero
De lo anterior se observa que “x” pertenece al intervalo
El único número entero en el intervalo es:
Por tanto se afirma que:
RESPUESTA: Rubí invito 6 primas
20
Tercer Año
PROBLEMAS PARA LA CLASE 01) Sean:
A = {x R / x -2 v x 3}
B = {x R / -2 x 3} Hallar A U B
02) Del problema anterior, hallar A B
03) Si a + 3 0. calcular el mínimo valor de (a + 5) 04) Resolver le inecuación: x +8 < 3x + 4
05) Hallar el mayor valor de “x” verifica: 4x – 56 16 – 2x
21