2. Ecuaciones básicas y descomposición de la circulación
15
Física del Sistema Climático – Notas: Prof. Marcelo Barreiro 2. Ecuaciones básicas y descomposición de la circulación Las ecuaciones que describen el movimiento de un fluido como la atmósfera y el océano son las de conservación de masa, momento y energía. Estas, junto a la ecuación de estado, son las ecuaciones de física clásica que describen el flujo de un fluído rotante y estratificado sobre una esfera y forman un sistema de 6 ecuaciones para las variables u, T, ρ, p. 2.1 Ecuación de continuidad La conservación de la masa de un fluido en su movimiento está dado por la ecuación de continuidad. El flujo de masa que entra y que sale de un elemento de volumen puede escribirse como muestra la figura 2.1. Figura 2.1- Balance de masa de un elemento de volumen. La definición de flujo de masa es M = ∫∫ ρ u . ndA donde u=(u,v,w) es la velocidad y n es un versor que indica la dirección normal a la superficie. Entonces, si el flujo en la dirección x es perpendicular al lado del cubo y puede considerarse constante en δ y δ z podemos escribir Flujo de masa que entra ρ u δ z δ y Flujo de masa que sale ( ρ+ ∂ ρ ∂ x δ x )( u + ∂ u ∂ x δ x ) δ z δ y donde se asumió que la densidad y la velocidad varían continuamente a traves del cubo por lo que se puede realizar un desarrollo de Taylor y aproximarlo al primer orden. 1
Transcript of 2. Ecuaciones básicas y descomposición de la circulación
Física del Sistema Climático – Notas: Prof. Marcelo Barreiro
2. Ecuaciones básicas y descomposición de la circulación
Las ecuaciones que describen el movimiento de un fluido como la atmósfera y el océano sonlas de conservación de masa, momento y energía. Estas, junto a la ecuación de estado, son lasecuaciones de física clásica que describen el flujo de un fluído rotante y estratificado sobreuna esfera y forman un sistema de 6 ecuaciones para las variables u, T, ρ, p.
2.1 Ecuación de continuidad
La conservación de la masa de un fluido en su movimiento está dado por la ecuación decontinuidad. El flujo de masa que entra y que sale de un elemento de volumen puedeescribirse como muestra la figura 2.1.
Figura 2.1- Balance de masa de un elemento de volumen.
La definición de flujo de masa es
M=∫∫ρ u . n dA
donde u=(u,v,w) es la velocidad y n es un versor que indica la dirección normal a lasuperficie. Entonces, si el flujo en la dirección x es perpendicular al lado del cubo y puedeconsiderarse constante en δ y δ z podemos escribir
Flujo de masa que entra ρuδ z δ y
Flujo de masa que sale (ρ+∂ρ
∂ xδ x )(u+
∂u∂ x
δ x)δ zδ y
donde se asumió que la densidad y la velocidad varían continuamente a traves del cubo por loque se puede realizar un desarrollo de Taylor y aproximarlo al primer orden.
1
Física del Sistema Climático – Notas: Prof. Marcelo Barreiro
El flujo de masa neto (sale-entra) es entonces
(ρ∂u∂ x
+∂ρ
∂ x∂ u∂ x
δ x+u∂ρ
∂ x)δ x δ z δ y
Cuando δx -> 0, el segundo término es despreciable comparado con los otros dos y obtenemos
(ρ∂u∂ x
+u∂ρ
∂ x)δ xδ z δ y=
∂ρu∂ x
δ x δ yδ z .
En tres dimensiones
(∂ρu∂ x
+∂ρ v∂ y
+∂ρw∂ z
)δ xδ y δ z
El flujo de masa debe estar balanceado por el cambio de masa en el elemento de volumen
∂ρ
∂ tδ x δ y δ z
y por lo tanto la ecuación de conservación de masa queda
∂
∂ t
∂u∂ x
∂v∂ y
∂w∂ z
=0 .
Esta ecuación fue derivada por primera vez por L. Euler (1707-1783) y se puede escribircomo
∂ρ
∂ t+∇ .(ρ u)=0
En la atmósfera se usa generalmente la presión como coordenada vertical debido a que seencuentra mayormente en equilibrio hidrostático:
y en el sistema (x,y,p) la ecuación de continuidad es
∇ .V+ ∂ω∂ p
=0
donde V=(u,v) es la velocidad horizontal y
ω=dp/dt
En coordenadas esféricas
2
Física del Sistema Climático – Notas: Prof. Marcelo Barreiro
siendo R el radio terrestre, Φla latitud y λ la longitud (ver figura 2.2).
Figura 2.2 – Sistema de coordenadas (R=r).
2.2 Ecuación de conservación de momento
La ecuación de conservación de momento para la atmósfera se escribe
d udt
=−2Ω∧ u−1ρ ∇ p+ g+ F
donde el término de la izquierda denota el cambio en la velocidad siguiendo a la parcela deaire y los términos a la derecha de la ecuación representan la acelaración de Coriolis, laaceleración debido a la fuerza gradiente de presión, la aceleración gravitatoria y la fricción.
En coordenadas esféricas se puede escribir
3
Física del Sistema Climático – Notas: Prof. Marcelo Barreiro
donde
y f=2Ωsin Φ f '=2ΩcosΦ .
Los primeros dos términos a la derecha de las ecuaciones son términos de curvatura.
Para valores típicos de circulación de la atmósfera de gran escala se tiene las siguientesescalas de tiempo y espacio
Como
el parámetro de Coriolis f≃10−4 s−1 en latitudes medias. Entonces
4
Física del Sistema Climático – Notas: Prof. Marcelo Barreiro
En la vertical los términos de primer orden verifican el equilibrio hidrostático, es decir entrela fuerza gradiente de presión en la dirección vertical y la gravedad.
En la dirección horizontal si mantenemos los términos de mayor orden (en 10-3) encontramosel balance entre la fuerza gradiente de presión horizontal y la fuerza de Coriolis: balancegeostrófico.
Si consideramos términos hasta del orden 10-4 se obtiene las siguientes ecuaciones
La fricción se aproxima generalmente de la forma
Fλ=A H∇H2 u+AV
∂u2
∂ z2∼AV
∂ u2
∂ z2
ya que cerca de la superficie, donde los términos de fricción son importantes, los cortantesverticales de velocidad son mucho mayores en la dirección vertical. AH y AV son coeficientesde viscosidad turbulento para las direcciones horizontal y vertical, respectivamente.
En el caso de los océanos, para la circulación de gran escala lejos de las fronteras se tiene
5
Física del Sistema Climático – Notas: Prof. Marcelo Barreiro
y se obtienen las mismas ecuaciones que para la atmósfera, es decir valen los balanceshidrostático en la dirección vertical y geostrófico en la dirección horizontal.
2.3 Ecuación de conservación de energia
Asumiendo que el aire se comporta como un gas ideal (p=ρRdT, con Rd la constante para aireseco) la 1a ley de la termodinámica se puede escribir como
El término de calor Q incluye varios procesos diabáticos, como radiación de onda corta ylarga, calor latente, calentamiento por fricción y calentamiento turbulento cerca de lasuperficie de la tierra.
Sustituyendo dp/dt=ω podemos escribir
donde κ=Rd /cp y expandiendo la derivada total de T (dTdt
=∂T∂ t
+ u .∇ T ) se obtiene
De acuerdo a esa ecuación la temperatura cambia en un punto debido a la advección de T, alcalentamiento/enfriamiento Q y a un término que depende de la velocidad vertical. El términoentre paréntesis que multiplica a la velocidad vertical es la estabilidad estática de la columnade aire. O sea vale
ω(κTp−
∂T∂ p
)∝(γd−γ)
donde γ es la razón de cambio de la temperatura del entorno con la altura, y γd el equivalentede una parcela (seca) que se mueve adiabáticamente. Cuando la columna es estable el términoentre paréntesis es positivo y cuando el aire asciende se enfría mientras que cuando desciendese calienta.
6
Física del Sistema Climático – Notas: Prof. Marcelo Barreiro
2.4 Descomposición de la circulación
A los efectos de estudiar el rol de los diferentes componentes de la circulación atmosférica(circulación meridional media, corrientes en chorro zonales, transientes y ondas estacionarias)el flujo total se descompone en medias y desviaciones respecto a estas medias que pueden serzonales o temporales.
Definimos la media temporal de una variable A sobre un período de tiempo τ como
por lo que el valor instantáneo de A se puede escribir como
siendo A' la desviación y su promedio temporal es cero.
El promedio del producto de dos variables cumple
siendo el segundo término la covarianza entre las desviaciones temporales de A y B y sepuede escribir como
donde r es la correlación lineal y σ la desviación estandard.
El flujo en la atmósfera es predominantemente zonal, por lo que es útil considerar tambiénpromedios zonales y desviaciones con respecto a este promedio. Entonces, definimos
y
donde A* son desviaciones con respecto a la media zonal que promediadas en un círculo delatitud dan cero. Tambien se cumple
Combinando las expansiones en el espacio y el tiempo se tiene
7
Física del Sistema Climático – Notas: Prof. Marcelo Barreiro
El primer término representa la componente zonalmente simétrica del estado estacionariomedio, por ej. los vientos del este en la región tropical y los del oeste en la región de latitudesmedias. El segundo término
es la componente no-zonal de la circulación media, como por ej. los monzones. El tercertérmino
es la componente instantánea del promedio zonal, tales como fluctuaciones en la intensidad delas corrientes en chorro. El último término representa la componente instantánea y no-zonalde la circulación tal como los centros de alta y baja presión que se desarrollan día a día.
En el caso de la circulación horizontal se obtiene
donde v representa el flujo estacionario y v' el flujo transiente. Las dos componentes de[ v ]=([ u] , [ v ]) son la circulación zonal y meridional media El segundo término de la
derecha es el flujo estacionario no-zonal, el tercero la circulación zonal transiente y el cuartola circulación transiente asimétrica.
La descomposición se ejemplifica con la velocidad zonal (u) en la figura 2.3.
8
Física del Sistema Climático – Notas: Prof. Marcelo Barreiro
Figura 2.3 – Viento zonal en altura.
9
U U*=U-[U]
bar(U) U’=U-bar(U)
bar(U)*=bar(U)-[bar(U)]
Física del Sistema Climático – Notas: Prof. Marcelo Barreiro
En muchos casos (por ejemplo para calcular el transporte de energía) es necesario considerartérminos de la forma
que como los operadores son permutables vale
Entonces usando la descomposición espacial
y considerando el promedio temporal
Como ejemplo para interpretar este resultado, consideremos el transporte hacia el norte delflujo de calor sensible A=v, B=cpT, obteniendose
por lo que el transporte de calor es realizado por la circulación media meridional, lacirculación media meridional transiente y los eddies (remolinos) espaciales.
Si ahora realizamos primero el promedio temporal y luego el zonal se obtiene
10
Física del Sistema Climático – Notas: Prof. Marcelo Barreiro
y para el caso ejemplo vale
y el transporte de calor es realizado por la circulación media meridional, los eddiesestacionarios y los eddies transientes. Esta es la forma más común de diagnosticar el rol de lasdiferentes componentes de la circulación.
La descomposición de la circulación en la dirección vertical es la siguiente. Definimos unpromedio vertical, que debido a la variacion vertical de la densidad debe ser de la forma
o, en coordenadas de presión (usando ecuación hidrostática)
La desviación con respecto al promedio vertical es A”
Para el viento tenemos
donde el primer término se denomina componente barotrópica ya que toda la columna semueve en fase y el segundo es la componente baroclínica que toma en cuenta que las capas endistintos niveles se mueven en forma diferente.
En forma análoga a como se hizo en la dirección horizontal, es posible encontrar la siguienteigualdad para la descomposición de la circulación en la dirección vertical
El primer término representa la contribución de la componente media barotrópica y elsegundo la de la componente media baroclínica. Los últimos dos términos se deben a lostransientes barotrópicos y baroclínicos, respectivamente.
Para el océano se definen las mismas cantidades, pero debido a la presencia de continentes,los promedios zonales se realizan sobre cada cuenca y luego se suman
11
Física del Sistema Climático – Notas: Prof. Marcelo Barreiro
donde Li es la longitud zonal de cada cuenca en la latitud Φ.
2.5 Análisis espectral
El análisis espectral ha sido usado en forma extensiva para el estudio de la circulaciónatmosférica. La transformada de Fourier en el tiempo da lugar a componentes en el dominiode frecuencias ωj,
f (t)=A0+∑ j=1
j=∞
(A jsin(ω j t)+B j cos (ω jt))
Usando este método es posible determinar cuales son las frecuencias (o períodos) dominantesen la serie temporal de una ubicación dada. Por ejemplo, la figura 2.4 muestra un espectropara la intensidad del viento en superficie en una localidad, donde se observa claramente queentre 10 minutos y 2 horas la variabilidad del viento es muy pequeña. Ese “gap” separa lasvariaciones debido a la turbulencia en la capa límite de aquellas asociadas a la escalasinóptica.
Figura 2.4 – Espectro de energía de intensida del viento en superficie (Nfaoui 2012).
La configuración de los campos meteorológicos más importantes en coordenadas isobáricasson casi-simétricos con respecto al eje de rotación, es decir, son casi zonales (ver por ejemplofigura 2.5). Por eso, en la sección anterior se descompuso la circulación en términos demedias zonales y desviaciones con respecto a este promedio. No obstante, esa formulación (deReynolds) no da mucha información sobre la naturaleza y comportamiento de los eddiesindividuales en la atmósfera, los cuales son el resultados de la superposición deperturbaciones en muchas escalas espaciales y temporales. Por lo tanto, para entender estosfenómenos es necesario separar las diferentes escalas e identificarlas con un proceso físico.
12
Física del Sistema Climático – Notas: Prof. Marcelo Barreiro
Figura 2.5 – Climatología de geopotencial en 500 hPa (ERA40 Atlas).
La naturaleza ondulatoria de la distribución de variables meteorológicas y el caracter del flujosugiere la descomposición en un espectro de escalas espaciales o modos a través de unanálisis de Fourier 1-dim a lo largo de círculos de latitud. Esto permite la separación de loseddies en ondas de 1-dim. Por ejemplo, una descomposición en la dirección zonal da lugar auna suma de ondas con números de onda kj
f (x)=A0+∑ j=1
j=∞
A j sin(k j x+ϕ j)
O sea que las perturbaciones se representan como ondas sinusoidales cuyo número de ondazonal (kj) determina su escala, la amplitud (Aj) da su intensidad y el ángulo de fase Φj definesu ubicación en longitud. El espectro de varianza resultante de la transformada de Fourier espropocional a los Aj y permite inferir la importancia de cada número de onda en la energíatotal. En meteorología se considera que el número de onda k indica el número de ondas a lolargo de un círculo de latitud, o sea
k=2π R cos ϕ
λ
donde λ es la longitud de onda. El valor promedio zonal corresponde a la componente de ondanúmero 0. Como el número de onda representa el número de veces que la onda ocupa elcírculo de latitud, se sigue que la escala espacial de un eddy es inversamente proporcional alnúmero de onda. Es comun agrupar en tres categorías: ondas largas son aquellas con númerode onda entre 1 y 3, ondas sinópticas para k entre 4 y 11, y ondas cortas para k>12. La figura2.6 muestra la altura de geopotencial en 500 hPa donde se observa una onda con número de
13
Física del Sistema Climático – Notas: Prof. Marcelo Barreiro
onda entre 5 y 6. Comparar con la figura 2.5 que muestra el campo climatológico degeopotencial en 500 hPa para esta época del año.
Figura 2.6 – Altura de geopotencial en 500 hPa pronosticada para el 28/8 a las 12:00 UTC.
En algunos casos las perturbaciones atmosféricas no viajan a lo largo de los círculos de latitudy pierden su identidad al propagarse. En estos casos el análisis espectral a lo largo de círculosde latitud no es adecuado y otros métodos basados en correlaciones espaciales son necesarios.Un análisis típico es en Funciones Empíricas Ortogonales, que ha permitido establecerpatrones de teleconexión atmosféricos, por ejemplo asociados a El Niño.
2.6 Reanálisis
Para poder describir el funcionamiento del sistema climático es necesario tener datos, quepueden provenir de observaciones (registros instrumentales) y de simulaciones numéricas.Ambas fuentes de información son complementarias y tienen sus puntos a favor y en contra.En las últimas décadas se ha transitado hacia el desarrollo de reanálisis, que consisten enintroducir/asimilar a través de métodos objetivos datos observados en un modelo numéricocon el fin de generar una base de datos lo más completa y consistente posible sobre elfuncionamiento de la atmósfera y el océano. Un reanálisis se extiende típicamente por variasdécadas y representa la visión mas pormenorizada del comportamiento de la atmósfera o elocéano que se puede obtener hoy día.
La página siguiente describe los productos de reanálisis existentes generados por losdiferentes centros de investigación mundiales y describe sus características:
14
Física del Sistema Climático – Notas: Prof. Marcelo Barreiro
https://reanalyses.org/
En este curso utilizaremos las salidas de los reanálisis para estudiar y diagnosticar elcomportamiento del sistema climático, en particular para el caso de la atmósfera y el océano.
Es bueno notar que la asimilación de datos también se utiliza diariamente para obtener lamejor estimación de las condiciones iniciales de la atmósfera necesaria para realizarpredicciones numéricas del tiempo.
Bibliografía Principal
- Physics of Climate, Peixoto & Oort (1992).
15
