1er_Repaso Geometría 2013-2

CICLO REPASO ADMISIÓN 2013 – 2 Repaso Examen Final

CEPRE-UNI GEOMETRÍA - 1 -

GEOMETRÍA

01. Indique el valor de verdad de las siguientes proposiciones: I. El interior de todo polígono

equilátero es un conjunto convexo. II. La intersección de dos conjuntos

no convexos es siempre un conjunto no convexo.

III. Alguna diferencia de dos conjuntos no convexos es un conjunto convexo.

A) FVF B) FFV C) VFF D) FFF E) FVV

02. En un triángulo ABC, trace la ceviana

BF , la bisectriz BI del ABC y la

mediana BM de dicho triángulo (A-F-I y F-I-M). Si m A 58 , m ABF 6 y

FB MB MC , entonces m IBM es A) 10 B) 11 C) 12 D) 13 E) 15

03. En un triángulo equilátero ABC, se ubica el punto D exterior al triángulo

relativo al lado AC . Si m ADC 90 , AD 7 cm y DC 9 cm , entonces el

menor perímetro entero del triángulo ABC (en cm) es A) 32 B) 33 C) 34 D) 35 E) 36

04. Se tienen los triángulos escalenos ABC, CDE y EFG congruentes entre sí tales que los triángulos BCD y DEF

son isósceles de bases BD y DF y los puntos A, C, E y G son colineales.

Si B-D-F y BF AG ,entonces la

medida del ángulo ACB es A) 30 B) 45 C) 60 D) 90 E) 120

05. En un triángulo ABC, se traza la

ceviana BD tal que AB = DC. Si

m DBC m ABDm BCA

7 6

,

entonces m BDC es

A) 78 B) 80 C) 84

D) 86 E) 88

06. En un triángulo ABC, se traza la

ceviana CQ tal que AB=CQ, BQ=BC y m BAC 30 . Entonces m ACQ

es

A) 10 B) 15 C) 16

D) 18 E) 20

07. En el interior de un triángulo ABC se ubica el punto T. Luego se ubican los puntos D, E y F en los lados

AB , BC y AC respectivamente, tal que DT TE TF y m BDT m TEC m TFA . Si

m ABC 50 , entonces m ATC es

A) 110 B) 115 C) 118

D) 120 E) 130

08. En un triángulo ABC, se ubican

los puntos M en AB y N en BC tal que m MCB m ABC 20 , m BAN 10 y m NAC 70 .

Entonces, m ANM es

A) 10 B) 15 C) 20

D) 25 E) 40

09. Sea P un punto interior a un triángulo ABC tal que si AP = BC; m BAP 12 , m PAC 33 , m PCA 45 .

Entonces, la medida del ángulo PBC es

A) 12 B) 18 C) 33

D) 36 E) 45



10. ABCDE … es un polígono regular de centro O, F es un punto en la

prolongación de BC tal que m DCF m ODE 18 . Entonces el

número de diagonales medias de dicho polígono es A) 6 B) 10 C) 15 D) 28 E) 45

11. En un romboide ABCD, P es un punto del interior del romboide, la

prolongación de CP interseca a AD en el punto T, Q es un punto del exterior del romboide ABCD (Q, A, D en el mismo semiplano respecto de

BC ), tal que m BCQ m ABP 90 y m ADQ 110 . Si BP CD y

BC CQ , entonces m CTD es

A) 10 B) 20 C) 15 D) 25 E) 30

12. En un romboide ABCD, AB 12 y BC 18 . La bisectriz del ángulo B

interseca en F a la prolongación de

CD . Entonces la distancia entre los

puntos medios de BF y AD es A) 3,0 B) 4,0 C) 2,0 D) 5,0 E) 4,5

13. En un cuadrado ABCD, desde A y D

se trazan las perpendiculares AM y

DN a una recta exterior que contiene a C. Si CN 3 cm , entonces BM (en

cm) es

A) 5 B) 4 3 C) 2 3

D) 2 2 E) 3 2

14. En un trapecio ABCD BC // AD

ubique el punto medio M de CD . Si MB MA , entonces es cierto que: I. El ángulo BAD es recto. II. BC es menor que AD. III. AB es menor que CD.

A) VVV B) FFF C) VVF D) VFV E) FFV

15. En un cuadrilátero ABCD, AC es bisectriz del ángulo A, m ACD 90 ,

F es un punto de AD tal que: AD 4AF . Si AD 2AB 40u ,

entonces la distancia (en u) de F al

punto medio de BC es

A) 10 B) 20 C) 30

D) 40 E) 60

16. Dado un cuadrado ABCD, en las

prolongaciones de AB y DA se ubican los puntos P y Q respectivamente tal que m PCQ 45 . Si QD a y BP b ,

entonces la longitud de PQ es

A) a – b B) a b

2

C) a – 2b D) 2a – b

E) 2 2a b

17. El radio de la circunferencia inscrita en un triángulo ABC mide 2 cm y m B 60 . Si m C 53 , entonces la

longitud (en cm) del radio de la circunferencia exinscrita relativa al lado BC es

A) 4 B) 4 3 C) 5

D) 6 E) 3 3

18. En un triángulo rectángulo ABC de

hipotenusa AC la circunferencia inscrita es de centro O y determina los

puntos de tangencia E en AB y F en

AC . Entonces la medida del ángulo

agudo que determinan EF y OC es

A) 30 B) 36 C) 37

D) 45 E) 60



19. Se tienen dos circunferencia concéntricas C 1 y C 2 tal que el radio

de C 2 mide r, desde un punto P

exterior a las circunferencias se

trazan los segmentos tangentes PA ,

PB y PC (A; 1CC , 2BC y

2BC Q C . Si m BPC 3m APB ,

entonces la longitud de QC es

A) r 2 B) r C) 2 r

D) r 3 E) 3 r

20. ABCD es un trapecio isósceles; BC

es la base menor y BH altura. Si el cuadrilátero BCDH se puede inscribir una circunferencia de radio R y el inradio del triángulo AHB es r, entonces BC es A) R + r B) R + 2r C) 4R – 3r D) 3R – 2r E) 2R – r

21. En un cuadrilátero ABCD circunscrito a una circunferencia,

m ABC m ACD 90 . Se traza BH

perpendicular a AC (H en AC ). Si

1AC k y 2HC k , entonces la suma

de las longitudes de los inradios de los triángulos ACD y ABC es

A) 1 2k k B) 2 21 2k k

C) 1 2k k

2

D) 1 2k k

E) 1 2k k

5

22. En un triángulo acutángulo ABC las

medidas de los ángulos A y C se diferencian en 24. Los puntos H y O representan al ortocentro y circuncentro del triángulo ABC en ese orden. Si O' es el circuncentro del

triángulo AHC, entonces la medida del ángulo HO'O es

A) 12 B) 18 C) 24 D) 30 E) 48

23. En un cuadrilátero ABCD, AB BC , m ABC 90 y m ADC 135 . Se

traza BH perpendicular a AD , tal que AH 6 cm . Entonces la longitud (en

cm) de HD es

A) 4 B) 6 C) 5 2

D) 5 3 E) 3 3

24. En la figura se muestra a una

circunferencia tal que AM MB y

BN NC . Si BH MN ; EM AB y

NF BC , entonces el valor de x es

A) 156 B) 102 C) 129 D) 78 E) 131

25. En un triángulo rectángulo ABC (recto en B), se ubican los puntos D y E en

BC y AC respectivamente tal que AD m , AE n y m BAD 10 . Si

m ADE 20 y m DEC 30 , entonces AB + BD es

A) n

2m n4

B) m

2m n2

C) m

2m n3

D) 2 2m n

E) m n

4

A

M

B

N

C

156°

E F

x

H



26. En un triángulo ABC, BD es bisectriz interior. En los triángulos ADB y BDC,

DE y DF son también, respectiva-mente, bisectrices interiores. Si AE 5u , EB 15u y BF 12u ,

entonces FC (en u) es A) 3 B) 4 C) 5 D) 2 E) 3,6

27. AB es diámetro de una circunferencia, perpendicular a la cuerda DF y C un punto del arco AD. Las

prolongaciones de AC y FD se intersecan en el punto E. Si CD 10u , CF 22u y DF 18u

entonces ED (en u) es A) 15 B) 12 C) 9 D) 18 E) 6

28. Desde un punto P exterior a una

semicircunferencia de diámetro AB

se traza el segmento tangente PT

T AB y el segmento PH

perpendicular a AB H AB , luego

en AH se ubica el punto Q tal que

PQ es bisectriz del ángulo HPT. Si PH a y PT b entonces (AQ)(BH)

es A) ab B) a(a – b) C) b(a – b) D) b(a + b)

E) 2 2a b

29. En un triángulo ABC, la prolongación

de la bisectriz interior BD , interseca a la circunferencia circunscrita, en el punto E. Si BD 16u y DE 9u ,

entonces AE (en u) es A) 12,5 B) 7,0 C) 10,0 D) 12,0 E) 15,0

30. Dado un triángulo isósceles ABC, en

la base AC y en la prolongación de

CA se ubican los puntos Q y P respectivamente tal que los ángulos

PBQ y PAB son suplementarios. Si PC a y AQ b , entonces la longitud

de AB es

A) a – b B) a b

2

C) ab

D) ab

a b E) 2 2a b

31. En un triángulo ABC,

m B 90 m C . Si se traza la altura

AF tal que BF = a, BC = b, entonces AF es

A) ab

a b B)

2 2a b

2

C) ab D) a a b

E) 2 2a b

2

32. En una circunferencia C, se traza la

cuerda AB y se ubica P en el arco mayor AB. Si P dista 5 u y 7,2 u de las tangentes trazadas por A y B,

entonces P dista (en u) de AB en A) 4,5 B) 5,0 C) 5,5 D) 6 E) 6,5

33. En la figura, L es ortocentro del triángulo ABC. La relación entre las longitudes de los radios de las circunferencias indicadas, es

C B H

A

Q

F L

c z

b

y

a

x



A) a + b + c = x + y + z

B) a . b . c = x . y . z

C) a b c x y z

D) 2 2 2 2 2 2a b c x y z

E) 3 3 3 3 3 3a b c x y z

34. En un rombo ABCD, la

semicircunferencia de diámetro AD

intersecta a BD en M, el punto N es la

proyección de M sobre AD y T es la proyección del ortocentro del triángulo

BDC sobre BC . Si TC 3 m y

ND 2 m , entonces el perímetro

(en m) del rombo ABCD es

A) 24 B) 25 C) 28

D) 32 E) 34

35. En un triángulo ABC, su circuncentro O es la intersección de las cevianas

AE y BF . Si m AFB 3 , m AEB 3 y m ACB ,

entonces

es

A) 1

3 B)

1

2 C) 1

D) 2 E) 3

36. En un triángulo rectángulo ABC (recto en B), la circunferencia exinscrita al

triángulo relativa a AB es tangente a

CA en Q. Si m BQC 45 , entonces m BCA es

A) 18 B) 36 C) 30

D) 45 E) 37

37. Las medianas de un triángulo miden 9 u y 12 u y 15 u. Entonces las longitud (en u) del lado mayor es

A) 10,00 B) 14,06 C) 15,08

D) 16,20 E) 17,08

38. Sean las circunferencias ortogonales C1 y C2 secantes en P y Q y de centros

O1 y O2 respectivamente. La circunferencia C pasa por O1P.O2Q, el

diámetro 1 2O O de C e interseca a C 1

y C 2 en N y M respectivamente. Las

prolongaciones de PM y PN intersecan a C en A y B

respectivamente. Si O1P = a y O2P=b, entonces AB es

A) a b

2

B) 2 2a b

C) 2 2a b

2

D) ab

E) 2 21a b

2

39. En un triángulo rectángulo ABC (recto

en B), se traza la altura BH y sobre

BC se ubica el punto P tal que AP PC HC 1cm . Entonces la

longitud (en cm) del cateto BC es

A) 1

2 B) 3 3 C) 3 2

D) 1,25 E) 1,5

40. AB y CD son dos cuerdas de longitudes 12 cm y 10 cm, respectivamente, paralelas entre sí, distantes 1 cm, ubicadas en un mismo semiplano con respecto a un diámetro de la circunferencia. Entonces la longitud del radio, en cm es

A) 61 B) 62 C) 63

D) 8 E) 69

41. En una semicircunferencia de

diámetro AB y centro O, se ubica un

punto P en OB y se traza la cuerda

CD paralela a AB , tal que PA 12u y

PC 129 u . Si PD 8u , entonces

PB (en u) es



A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 E) 8

42. En dos circunferencias concéntricas cuyos radios miden 7 m y 9 m, se traza una recta secante, tal que la cuerda determinada por la circunferencia mayor resulta dividida en tres segmentos congruentes por la otra circunferencia, entonces la longitud de dicha cuerda en metros es

A) 3 2 B) 6 2 C) 15

D) 12 E) 9

43. En un trapecio ABCD, la base mayor

AD mide a u y BC = b. Si BD > AC y

CD > AB, entonces 2 2

2 2

BD AC

CD AB

es

A) a

b B)

2 2

ab

a b

C) a b

a b

D) 1

E) 2


diámetro AB su centro es O y OA = 9 m. Una circunferencia C es

tangente a AB y AO en Q y T respectivamente. Si P es un punto de C tal que OP 2m y m AOP 90 ,

entonces la longitud (en m) del radio de la circunferencia C es

A) 86

29 B)

85

29 C)

86

31

D) 85

22 E)

85

21

45. En un cuadrado ABCD, M es punto

medio de BC y N es punto medio de

AD . Luego, se ubican los puntos P y

Q en CD y AB respectivamente, tal

que PQ es perpendicular a MN en el

punto F. Desde el punto D se traza la

tangente DE E PQ a la

circunferencia cuyo diámetro es FN . Si MF 6 cm y FN 8 cm , entonces

la longitud (en cm) del radio de la circunferencia inscrita en el triángulo EPD es

A) 12

5 B)

12

7 C)

5

6

D) 4

5 E)

6

7

46. En un triángulo rectángulo ABC (recto

en B), se traza la altura BH , P es un

punto de AH , la prolongación de la

altura BH interseca a la

semicircunferencia de diámetro PC en T y la tangente a la semicircunferencia en T pasa por A.

Si AT a y la prolongación de TP

interseca a AB en Q y QC b , entonces AC es

A) ab B) 2 2a b

C) a b

2

D) 2 ab

E) 2 2a b

2

47. En un triángulo ABC, la recta

mediatriz del lado AC intercepta al

lado BC en P e intercepta a la

prolongación del lado AB en Q. Si O es el circuncentro del triángulo, OP a y PQ b , entonces OB es

A) a b b B) 2 ab

C) ab

a b D) a a b

E) 2ab

a b



48. Desde un punto P exterior a una circunferencia C se trazan los

segmentos tangentes PA y PC

(A; C )C y el segmento secante PB

BC tal que la cuerda AC biseca

al segmento PB . Si AB a y BC b

entonces la longitud de AC es

A) ab B) 2 2a b

C) 2 ab D) ab

a b

E) 2 2a b

2

49. Se tienen dos circunferencias C1 y C2

secantes en los puntos A y B, donde cada circunferencia contiene al centro de la otra, en C2 se ubica el punto P tal

que 1PB Q C . Si AP a y

PB b entonces la longitud del

segmento tangente PT 1TC es

A) ab B) 2 2a b C) 3ab

D) ab

a b E) a b a


diámetro AC, H es un punto del radio OA y B un punto del arco AC. La recta perpendicular a lado AC, trazada por

H, interseca a la prolongación de AB

en el punto E, al arco BC en F y a BC en G. Si EF = 3u y FG = 2u, calcule GH (en u). A) 4 B) 5 C) 4,5

D) 4,8 E) 6

51. La hipotenusa AC de un triángulo

rectángulo ABC mide 2 5 1 u y

m BAC 52 . Si F es un punto

interior al triángulo tal que BF 2u y

m BCF 18 , entonces m FBC es

A) 28 B) 30 C) 32

D) 34 E) 36

52. En un hexágono regular ABCDEF de centro O, la suma de las distancias de

O hacia CA y CD es de 2 3 1 u .

Entonces el perímetro (en u) del hexágono es

A) 22 B) 23 C) 24

D) 30 E) 33

53. Un pentágono regular ABCDE está inscrita en una circunferencia. Si en el

arco AE se ubica el punto P,

entonces PA PC PE

PB PD

es

A) 1

4 B)

1

2 C) 1

D) 3

2 E) 2

54. En una semicircunferencia de centro

O y diámetro AB , se ubica el punto

medio M del arco AB y con centro en M se traza un arco tangente a la

semicircunferencia de diámetro AO que interseca a la semicircunferencia mayor en los puntos P y Q. Entonces

la medida del arco PMQ es

A) 60 B) 72 C) 90

D) 108 E) 120

55. En un sector circular AOB, se inscribe el cuadrado MNPQ cuyo lado mide

2 2 cm . Si m AOB 45 ,

entonces la longitud (en cm) de OA es

A) 2 B) 3 C) 1

D) 1,5 E) 5



56. En un cuadrado ABCD, M es un punto

de AB y N de AD , E es un punto de

AN , BN y MD se intersecan en un

punto de AC y ME // BN . Si

AM 4 m y AE 1m , entonces AB

(en m) es. A) 20 B) 12 C) 16 D) 18 E) 24

57. La longitud del lado del cuadrado ABCD, es 6 cm, con centros en los vértices A y D, se trazan los arcos BD y AC, secantes entre sí en el punto M. Con diámetro BC, se traza una semicircunferencia que interseca a los arcos anteriores en los puntos E y F, respectivamente. Entonces la suma de longitudes de los arcos EF y FM (en cm) es A) B) 3 C) 2

D) 5

3 E)

7

3


diámetro AB, se ubica el punto medio M del arco AB y un punto F en la

prolongación del diámetro AB ; la

secante FM intersecta a la semicircunferencia en Q. Si MQ a y QF b , entonces el área de AQB es

A) ab

4 B)

ab

2 C) ab

D) 2ab E) 2 2

2 2

a b

a b

59. En un triángulo ABC, se trazan la

altura BH y la mediana BM

(M en HC . Si

m ABH m HBM m MBC y

AB 8 cm , entonces el área (en cm2)

de la región triangular ABC es

A) 30 3 B) 32 3 C) 35 3

D) 40 2 E) 45 2

60. En un triángulo CPE, una circunferencia de centro O es tangente en el punto B a la

prolongación de EC y a PC en el

punto A. Se ubica el punto D en EC tal que OP OD y PC CE . Entonces la razón entre las áreas de las regiones BPC y DPE es

A) 2

2 B)

3

4 C)

2

3

D) 1

2 E) 1

61. Dado un triángulo rectángulo ABC,

recto en B, se trazan las bisectrices

interiores AD y CE tales que se intersectan en el punto I. Si las áreas de las regiones triangulares AIE y CID son 2 u2 y 3 u2 entonces el área (en u2) de la región triangular EID es

A) 0,5 B) 1 C) 2

D) 1,5 E) 2

2

62. En el gráfico se muestra al

paralelogramo ABCD cuya área de su región es 40 u2. Si AE CD , m EAB 2m C y AD 10 u ,

entonces la longitud (en u) de EB es

A) 4 B) 4,5 C) 6 D) 8 E) 9

A

E

B C

D



63. En un triángulo ABC, sobre AB y BC se ubican los puntos E y F,

respectivamente, de modo que EF

sea paralelo a AC . Luego, en AC se ubica un punto cualquiera P y se

trazan PE y PF . Si las áreas de las regiones EBF y ABC son 4 cm y 25 cm2, entonces el área (en cm2) de la región triangular EPF es A) 10 B) 9 C) 8 D) 7 E) 6

64. En una circunferencia se trazan las

cuerdas paralelas AB y LC ,

A en LB , AE es un diámetro

paralelo a BC , AE CL D y en la

prolongación de LE se ubica el punto P, tal que m PAL m AEL . La

prolongación de BC interseca a la prolongación de la base media del

triángulo LDE paralela a LE en el punto Q. Si AL 18 m , AP 21m y

CQ 6 m , entonces el área de la

región paralelográmica ABCD (en m2) es

A) 12 6 B) 18 13

C) 6 10 D) 18 15

E) 12 15

65. El gráfico muestra al cuarto de círculo

de centro O y al semicírculo de

diámetro BC . Si AE FC , AE // FC y OB BC , entonces la razón

aproximada de áreas de los sectores circulares sombreados es

A) 117

202 B)

119

207 C)

127

212

D) 127

222 E)

137

212

66. En un triángulo ABC, se trazan las

bisectrices interiores AD y CE , la

recta ED interseca a la circunferencia C circunscrita al triángulo ABC en M y

N (M en AB ). Si AM NC , BN 8 m

y m BNM 45 , entonces el área (en

m2) del círculo determinado por C (en

m2) es A) 32 B) 18 C) 64

D) 24 E) 40

67. Dado un triángulo ABC, con diámetros

AB , BC y AC se trazan semicircunferencias tal que la suma de las áreas de las regiones triangulares curvilíneas exteriores determinadas es igual a 20 u2. Si el área de la región triangular curvilínea interior determinada es 2 u2 entonces el área (en u2) de la región triangular ABC es A) 6 B) 8 C) 9 D) 12 E) 18

68. Indique el valor de verdad de las siguientes proposiciones: I. Si las proyecciones de dos rectas

sobre un plano son paralelas, necesariamente dichas rectas son paralelas entre sí.

II. Si tres rectas son perpendiculares entre sí, entonces al menos dos de ellas son secantes.

III. La intersección de dos planos puede ser el vacío.

A) VVF B) VVV C) FVV D) FFV E) FFF O

A

E F

B C



69. Indique el valor de verdad de las siguientes proposiciones:

I. Dos rectas L1 y L2 son paralelas a un plano P; entonces L1 y L2 son rectas paralelas.

II. Dos rectas perpendiculares a un mismo plano, son rectas paralelas.

III. Si una recta es paralela a un plano entonces es paralela a cualquier recta del plano.

A) FFV B) FVF C) VFV

D) FFF E) FVV

70. Se tienen dos rectas cruzadas L1 y L2, se ubican los puntos A y C en L1, y los

puntos B y D en L2 tal que AC BD y

AB es la perpendicular común a L1 y L2. Si el punto D pertenece a la

mediatriz de AC entonces la medida del ángulo entre L1 y L2 es

A) 30 B) 45 C) 60

D) 90 E) 120

71. En un hexaedro regular ABCD-EFGH,

se ubica el punto T en FH tal que 3FT 5TH . Si AB , entonces la

distancia entre EB y CT es

A) 4

B) 2

C) 2

3

D) 3

3 E)

5

3

72. Dos circunferencias cuyos radios miden 3 u y 5 u están contenidos en dos planos que determinan un ángulo diedro que mide 60. Si las circunferencias son tangentes a la arista del ángulo diedro en un mismo punto entonces la distancia (en u) entre los centros es

A) 4 B) 7 C) 8

D) 12 E) 14

73. Calcule la suma de las caras de un ángulo poliedro de un icosaedro regular. A) 120 B) 180 C) 200 D) 240 E) 300

74. En una pirámide O-ABC; OA OB OC , el triedro O-ABC es

trirectángulo. Entonces la medida del diedro O-AB-C es

A) 1

arc cos3

B) 2

arc cos4

C) 45 D) 3

arc cos3

E) 60

75. En un ángulo triedro O-ABC, dos ángulos diedros miden 120 y 144. Entonces, la menor medida entera del tercer ángulo diedro del ángulo triedro es A) 84 B) 85 C) 86 D) 87 E) 91

76. En un tetraedro regular el circunradio de una de las caras mide 3 u. Entonces, la distancia (en u) del centro de una cara hacia cualquiera de las otras caras es

A) 2 B) 3 C) 2

D) 5 E) 2,5

77. ABCD-EFGH es un hexaedro regular

cuya arista mide . Un plano que

contiene a FD intercepta a las aristas

AE y GC en L y J, respectivamente. Entonces, el área mínima de la región cuadrangular LFJD es

A) 2

4 B)

2

3 C)

22

3

D) 2 6

2 E)

23

2



78. En la figura, el radio de la superficie esférica que inscribe al icosaedro regular mide 5 m. Entonces la

distancia (en m) entre AB y PQ es

A) 5

2 B) 2 3 C) 3

D) 2 5 E) 6

2

79. En un tetraedro O-ABC, el vértice O

es un ángulo triedro tri-rectángulo. Si OA a , OB b y OC c , entonces

la longitud del radio de la superficie esférica inscrita al tetraedro es

A) abc

ab ab bc

B)

1/22 2 2 2 2 2

abc

a b a c b c

C)

1/22 2 2 2 2 2

abc

ab ac bc a b a c b c

D) 2 2 2

abc

ab ac bc

E) ab

a b c

80. En un prisma oblicuo la altura mide h

y la arista lateral mide x. Entonces, la medida del ángulo diedro que forman el plano de la base con el plano de la sección recta es

A) 2h

arc cosx

B) h

arc cosx

C) 3h

arc cos2x

D) h

arc cos2x

E) 2h

arc cos3x

81. Sean A, V y C y A ' , V ' y C' , los

números de aristas, vértices y caras de una prisma y una pirámide, respectivamente, cuyas bases tienen igual número de lados. Entonces, indique el valor de verdad de las siguientes proposiciones: I. C + V = A + 2; para todo prisma II. V 2 V' C'

III. A A' V ' IV. A C A' C' 2

A) FVFV B) VVFF C) VVVF D) VFFV E) VVVV

82. En una pirámide D-ABC, m ABC 90 , AB 6 u y BC 8 u .

Las caras laterales forman con el plano de la base ángulos diedros congruentes de medida 60. Si el pie de la altura trazada desde D es un punto interior al triángulo ABC, entonces el volumen (en u3) del sólido limitado por la pirámide es A) 8 B) 9 C) 12

D) 10 3 E) 16 3

83. En una pirámide P-ABC, las caras

APB y ABC están contenidos en planos perpendiculares, tal que AP PB y AB BC AC 8 m . M es

punto medio de AP y N es un punto

de BC . Si MN es la distancia entre

AP y BC , entonces el volumen (en m3) del sólido limitado por la pirámide P-ABC es

A) 5 30 B) 16 21

C) 16 14 D) 18 21

E) 16 23

A B

Q

P



84. En una pirámide regular O-ABCD, los puntos M y N son puntos medios de

las aristas OD y OC . Si el volumen del sólido limitado por la pirámide O-ABCD es Vo, entonces el volumen del sólido limitado por la pirámide M-BCN es

A) Vo

2 B)

Vo

4 C)

Vo

8

D) 2Vo

5 E)

3Vo

7

85. En una pirámide regular O-ABCD, un

plano pasa por los puntos medios de

las aristas AB , BC y OD . Entonces, ¿en qué relación están los volúmenes de los sólidos parciales en que queda dividido el sólido limitado por la pirámide?

A) 1

2 B)

1

1 C)

2

3

D) 3

4 E)

4

5

86. En un tetraedro regular cuya arista

mide , se inscribe un cilindro circular recto. Una de las bases del cilindro está contenida en una cara del tetraedro y la otra base es tangente a las demás caras. Si el radio de la base del cilindro es r, entonces el área lateral del cilindro circular recto es

A) 3

4 2 r r6

B) 23r r

6

C) 3

4 2 r r3

D) 3

r r3

E) 3

4 2 2r6

87. La figura muestra el desarrollo de la superficie lateral de un cilindro circular recto y los círculos representan las bases de dicho cilindro. Entonces el volumen del sólido determinado por el cilindro en términos de R es

A)

3

3

2 2 R

1

B)

3

3

2 R

1

C)

3

3

2 R

1

D)

3

3

2 2 R

1

E)

3

3

2 2 R

1

88. En la circunferencia de la base de un

cono circular recto de vértice V, se ubican los puntos A y B de modo que

m AVB 60 y mAB 90 . Si la

longitud del radio de la base es 3 3r ,

entonces el volumen del sólido determinado por el cono es A) r B) 2 r C) 3 r

D) 4 r E) 4,5 r

89. La base de un cono es un círculo y

una de las generatrices es perpendicular a dicha base. Si la generatriz mayor mide g entonces el máximo volumen del sólido que determina el cono es

R



A) 3g 2

27

B)

32 g 3

27

C) 3g 3

54

D)

3g 6

27

E) 3g 6

54

90. En un hexaedro regular cuya arista

mide , se dibuja una superficie esférica tangente a una cara y tangente a las cuatro aristas de la cara opuesta. Entonces, el área de la parte de la superficie esférica exterior al hexaedro es

A) 215

16

B)

213

16

C) 211

12

D)

27

9

E) 217

18

91. En una superficie esférica cuyo radio

mide la suma de las distancias de su centro a dos planos secantes a la superficie esférica y es igual a R. Entonces el área de la parte de la superficie esférica comprendida entre los planos es

A) 2R

2

B) 2R

C) 2R 2 D) 22 R

E) 23 R

92. Una esfera está inscrita en un tronco

de cono de revolución y la diferencia entre el área lateral del tronco y el área de la superficie esférica, es

29 cm . Entonces la diferencia de

longitudes (en cm) de los radios de las bases del tronco es A) 2 B) 3 C) 4 D) 6 E) 9

93. Calcule el volumen máximo del sólido determinado por el cilindro de revolución inscrito en una superficie esférica cuyo radio mide R.

A) 35 R

2

B)

33 R

2

C) 33 R

3

D)

34 3 R

9

E) 36 3 R

11

94. Una superficie esférica de centro O contiene a la circunferencia C de la

base de un cilindro circular recto y es tangente a la otra base. El área lateral del cilindro es el triple del área lateral del cono de vértice O y cuya base está determinada por C. Si el radio de

la superficie esférica mide 2 3 m ,

entonces el volumen (en m3) de sólido determinado por el cilindro es

A) 18 3 B) 27 3

C) 32 3 D) 36 3

E) 42 3

95. La arista de un hexaedro regular

ABCD-EFGH mide 2 2 u . Si una

esfera es tangente a la cara EFGH y a las aristas concurrentes en el vértice A, entonces el área (en u2) de la esfera es

A) 8 B) 9 C) 12

D) 15 E) 16

96. En la prolongación del diámetro AB de una circunferencia de radio R se

ubica un punto F y se traza FJ tangente a la semicircunferencia. Si el área de la superficie determinada por

la rotación completa de FJ alrededor



de AB es 3

2 del área de la superficie

que genera el arco JB al girar una vuelta, alrededor de la misma recta, entonces BF es

A) R

2 B)

2R

3

C) R 2

2 D)

R 3

2

E) R

97. Dado un segmento esférico cuyas bases son perpendiculares a un diámetro correspondiente a su esfera, de longitud de radio R, si los segmentos determinados en el diámetro son proporcionales a los números 1, 3 y 2, entonces el volumen de dicho segmento esférico es

A) 34 R

9

B)

35 R

9

C) 37 R

9

D)

38 R

9

E) 310 R

9

98. En un segmento esférico cuya altura

mide h, se traza un plano equidistante de las bases determinando una sección cuyo radio mide r. Entonces el volumen del segmento esférico es

A) 2 2h12r h

12

B) 2 2h4r h

12

C) 2 2h6r h

6

D) 2 2h3r h

3

E) 2 2h2r h

2

99. En la figura mostrada, el sector circular AOB gira 360 alrededor del eje L. Si el volumen del sólido generado es máximo, entonces, el valor de es

A) 30 B) 60 C) 45 D) 75 E) 15

100. En la figura mostrada, ABCD es una región rectangular que gira 360 alrededor del eje mostrado. Si AB a y BC 3a , entonces el volumen del

sólido generado es

A) 33 a

6 22

B) 33 a

2 6 22

C) 33 a

6 2 22

D) 3a

6 22

E) 33 a

6 2 22

Eje

A

B C

D

15

Eje L 60

R

R

A

B

O

1er_Repaso Geometría 2013-2

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