GEOMETRÍA 2 CIENCIAS TRIÁNGULOS

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TRIÁNGULOS

1. DEFINICIÓN Llamamos triángulo a la figura geométrica formada por la reunión de tres segmentos determinados al unir tres puntos no colineales. En símbolos: Sean A, B y C tres puntos cualesquiera no colineales, definimos: ∆ ABC =AB BC CA∪ ∪ Notación: ∆ ABC: se lee triángulo ABC.

1.1. Elementos: Vértices: A, B, C Lados: AB,AC,BC

Ángulos interiores : x, y, z Ángulos exteriores: α, β, θ Perímetro : 2p = a + b + c

Semiperímetro : a b cp2

+ +=

Observación: Las medidas de los lados del triángulo se designan

por la letra minúscula del vértice opuesto a dicho lado así: BC = a , AC = b , AB = c.

Todo triángulo divide al plano en tres subconjuntos

de puntos: - Puntos interiores al triángulo - Puntos exteriores al triángulo y - Puntos del triángulo

Región Triangular es una figura formada por los

puntos del triángulo y los puntos interiores al triángulo.

Cuando se dice área del triángulo, se refiere al área

de la región triangular.

2. CLASIFICACIÓN DE TRIÁNGULOS

Se clasifican por sus lados y por sus ángulos.

2.1. Por sus lados. Se clasifican en:

a. Triángulo equilátero. Tiene sus tres lados de igual longitud. Cada ángulo interior mide 60°.

b. Triángulo isósceles: Tiene dos lados de igual longitud. El tercer lado se llama base, los ángulos en la base son congruentes.

c. Triángulo escaleno: Tiene sus tres lados de diferente longitud.

2.2. Por sus ángulos. Se clasifican en:

a. Triángulo acutángulo. Tiene un ángulo recto. El

lado opuesto al ángulo recto se llama hipotenusa y los otros lados, catetos.

b. Triángulo rectángulo. Tiene sus tres ángulos internos agudos.

c. Triángulo obtusángulo. Tiene un ángulo interno obtuso.

Equilátero

3 lados ≡

Isósceles

2 lados ≡

Escaleno

3 lado ≠

Acutángulo

Rectángulo Obtusángulo

GEOMETRÍA

2 CIENCIAS

Regiónexterior

relativa aAB

Regiónexterior

relativa aBC

Regiónexterior

relativa a AC

A

B

C

Región Interior

Yº

a

B

c

Xº Zº A b C

α

β

γ

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Geometría Teoría y ejercicios – Semana 2


Observación: Los triángulos acutángulos y obtusángulos se les

llama oblicuángulos.

Teorema de pitágoras En todo triángulo rectángulo se cumple que: la suma de los cuadrados de las medidas de los catetos es igual al cuadrado de la medida de la hipotenusa. 3. TEOREMAS FUNDAMENTALES

Teorema 1.- En todo triángulo la suma de las medidas de sus ángulos interiores es 180º. Teorema 2.- En todo triángulo la medida de un ángulo exterior es igual a la suma de las medidas de dos ángulos interiores no adyacentes a él. Teorema 3.- En todo triángulo la suma de las medidas de sus ángulos exteriores es 360º. Teorema 4.- En todo triángulo a mayor lado se le opone mayor ángulo y viceversa. (propiedad de correspondencia)

Teorema 5.- (Teorema de la existencia del triángulo) La longitud de un lado es menor que la suma de las longitudes de los otros dos lados pero mayor que su diferencia.

4. LÍNEAS NOTABLES Y PUNTOS NOTABLES Las líneas notables son aquellas que cumplen funciones específicas en el triángulo, dichas líneas son: Altura, Mediana, Mediatriz, Bisectriz interior, Bisectriz exterior. Los Puntos Notables son: Ortocentro, Baricentro, Circuncentro, Incentro y Excentro. 4.1. Altura. Segmento perpendicular trazado desde

un vértice del triángulo al lado opuesto. En las figuras, el segmento BH es una altura del triángulo ABC (su posición depende del tipo de triángulo).

Ortocentro. Es el punto de concurrencia de las alturas. El ortocentro puede estar en el interior del triángulo, fuera de él o en el vértice del ángulo recto, según los triángulos sean acutángulos, obtusángulos y rectángulos respectivamente. Este punto tiene la propiedad de dividir a cada altura en dos segmentos cuyo producto es una constante. H: ortocentro. 4.2. Mediana: Es un segmento que une un vértice y

el punto medio del lado opuesto.

x + y + z = 180º

α = y + z β = x + z γ = x + y

α + β + γ = 360°

Si: a > b > c ⇔ α > β > φ

Si: a ≥ b ≥ c ⇒ b – c < a < b + c a – c < b < a + c a – b < c < a + b

ZºXº

Yº ZºXº

Xº Zº

Yº

β

α γ

Xº Zº

Yº

β

α γ

CA

BBB

A H C H A CH

a² + b² = c²

C

B

H

A

H

ACUTANGULO H OBTUSANGULO H RECTANGULO




Baricentro (G): Llamado también centro de gravedad o gravicentro o centroide, es el punto de concurrencia de las tres medianas de un triángulo. El Baricentro, siempre es un punto interior al triángulo, divide a cada mediana en dos segmentos que están en la relación de 2 a 1.

BG = 2 (GM) AG = 2 (GN) CG = 2 (GP)

4.3. Mediatriz: Es una recta perpendicular a un lado

del triángulo en su punto medio, dicha recta se encuentra en el mismo plano que contiene al triángulo

Circuncentro (O): Es el punto de concurrencia de las tres mediatrices de un triángulo. El circuncentro es un punto que puede estar en el interior del triángulo, fuera de él o en el punto medio de la hipotenusa, según los triángulos sean acutángulos, obtusángulos y rectángulos respectivamente. Este punto tiene la propiedad de ser el centro de la circunferencia circunscrita al triángulo (Circunferencia circunscrita, es la que pasa por los vértices del triángulo) y equidistan de sus vértices. Acutangulo obtusangulo rectangulo 4.4. Bisectriz interior. Es el segmento que

partiendo de un vértice biseca al ángulo interior.

Incentro (I): Es el punto de concurrencia de las tres bisectrices interiores. El Incentro siempre es un punto interior al triángulo. Este punto tiene la propiedad de ser el centro de la circunferencia inscrita al triángulo (circunferencia inscrita es la que toca a los lados del triángulo, interiormente en tres puntos) y equidistan de los 3 lados. 4.5. Bisectriz exterior: Es el segmento que

partiendo de un vértice biseca al ángulo exterior.

Excentro (e): Es el punto de concurrencia de dos bisectrices exteriores y la bisectriz interior del tercer ángulo. E: Excentro relativo al lado BC. El Excentro es siempre, un punto exterior al triángulo. Este punto tiene la propiedad de ser el centro de la circunferencia exinscrita al triángulo (circunferencia exinscrita es la que toca a un lado y a las prolongaciones de los otros dos lados en tres puntos respectivamente) y equidistan de un lado y de las prolongaciones de los otros dos. Todo triángulo tiene 3 excentros, cada uno de ellos relativo a uno de los lados del triángulo. 4.6. Ceviana: Es el segmento que une un vértice con

un punto cualquiera del lado opuesto o de su prolongación. Desde un vértice se puede trazar infinitas cevianas. Por lo tanto las ceviana no es

: Bisectriz interior del ángulo ABC

L: Mediatriz de AC

OO

O

α γ

β β

B

γ

C A α α γ

β β

B

γ

C A α

I

B

A C F

θ

θ BF: Segmento de Bisectriz

Exterior

θ θ

B E

A C

β β α

α

M C

NG

B

P

A




línea notable. El nombre de ceviana se debe en honor al matemático italiano CEVA en 1678.

BP, BQ, BR: Cevianas

5. PROPIEDADES

P

A

B

C

α + β = θ + ω

α + β = θ + ω

Se cumple: p < PA + PB + PC < 2p

a + b = x + y

B

A P Q C R




EJERCICIOS DE CLASE 1. En un triángulo ABC se traza la ceviana exterior

BF, F en la prolongación de CA . Si BF = 8 m, AC = 6 m y el suplemento del ∠BFC es el doble del ángulo C, calcule la longitud de AF . A) 0,5 m. B) 4 m. C) 2 m. D) 3 m. E) 2,5 m.

2. En un triángulo ABC, se traza la bisectriz exterior

BE . Si m∠C ‒ m∠A = 42°, entonces la m∠CEB es: A) 42° B) 21° C) 12° D) 10,5° E) 30°

3. En un triángulo isósceles ABC, AB = BC, se traza la ceviana interior CR , luego se traza la bisectriz del ángulo ARC que intercepta a AC en el punto Q. Si la m∠RCB = 24°, calcule la m∠AQR. A) 72º B) 56º C) 76º D) 78º E) 82º

4. En un triángulo ABC, se trazan las bisectrices interiores AE y BF . Si m∠C = 80°, entonces la medida del menor ángulo formado por las bisectrices de los ángulos AEC y BFC es: A) 20° B) 24° C) 30° D) 40° E) 25°

5. En un cuadrilátero convexo ABCD, m∠A = 60°, m∠B = 130°, AB = BC. Si AD = AB + CD, calcule la medida del ángulo D. A) 20° B) 50° C) 40° D) 60° E) 55°

6. En un triángulo ABC, recto en B, se ubica el punto

F en AC y el punto Q en la prolongación de CB tal que FQ intercepta a AB en R. Si m∠QRB = m∠A,

QR = 6 m y AC = 22 m, calcule la longitud de RF . A) 10 B) 9 C) 6 D) 8 E) 7

7. En el interior de un triángulo ABC, se toma el punto

E, tal que AE = BE, AB = EC y m ECA m EAC m EBC

1 2 5∠ ∠ ∠

= = .

Si m∠ABE = m∠ECA = x. Halle el valor de x. A) 5° B) 10° C) 12° D) 15° E) 18°

8. En un triángulo ABC, recto en B, se traza la altura BH, la cual es cortada en los puntos Q y M por las bisectrices interiores AD y CE respectivamente. Si BE = 7 m y BD = 10 m. Halle MQ. A) 3 B) 1,5 C) 2 D) 6 E) 4

9. Los lados de un triángulo están en progresión aritmética de razón 5 cm. Halle el mínimo valor entero que puede asumir el perímetro. A) 29 cm B) 30 cm C) 31cm D) 32 cm E) 33 cm

10. En un triángulo ABC, la m∠A = 2m∠C, Si AB = 2 m,

halle BC, sabiendo que es un número entero. A) 3 m B) 4 m C) 5 m D) 6 m E) 2 m

11. En un triángulo ABC, se traza la bisectriz interior BD. Si la m∠A = 2m∠C y AB = 4 m, halle AD, sabiendo que BC toma su máximo valor entero. A) 2 m B) 4 m C) 3 m D) 2.5 m E) 3.5 m




12. Se tiene un triángulo ABC, tal que la m∠A = 2m∠C. Si AB = a (a entero), entonces la diferencia entre el máximo y mínimo valor entero de BC es: A) a B) 2a C) a ‒ 2 D) 2a ‒ 1 E) a + 1

EJERCICIOS DE EVALUACIÓN

1. En un triángulo ABC, por el vértice B, se traza una

paralela a AC cortando a las bisectrices exteriores de los ángulos A y C en los puntos P y Q, respectivamente. Si AB = 12 m, y BC = 18 m, calcule la longitud de PQ . A) 6 m B) 24 m C) 27 m D) 30 m E) 20 m

2. En un triángulo rectángulo ABC, recto en B, AB =

5 cm, AC = 13 cm, se traza la altura BH. Si la bisectriz del ángulo HBC corta al lado AC en D. Determine DC.

A) 6 B) 9 C) 7 D) 8 E) 10

3. En un triángulo isósceles ABC (AB = BC), se traza la ceviana interior BE , luego en el triángulo BEC se traza la ceviana EQ tal que BE = BQ. Si la m∠ABE = 48°, entonces la medida del m∠QEC. A) 48° B) 36° C) 24° D) 12° E) 28°

4. Se tiene un triángulo obtusángulo ABC, obtuso en B, tal que BC = 2 m y AC = 5 m. Halle el valor o los valores enteros que puede tomar AB. A) 5 B) 6 C) 4 D) 4; 5 y 6 E) 4 y 5

5. Las medidas de los lados de un triángulo forman una progresión aritmética de razón “r” (número entero). Calcule el mínimo valor entero que puede asumir el perímetro del triángulo. A) 6r – 1 B) 6r C) 3(r – 1) D) 6r + 1 E) 7r – 1

6. En un triángulo rectángulo isósceles ABC, recto en B, se ubica el punto E exterior y relativo a BC tal que AB = BE. Calcule la m∠AEC. A) 30º B) 22,5º C) 60º D) 45º E) 37º

7. En el interior de un triángulo isósceles ABC (AB = BC) se toma un punto O, de modo que m∠OAC = m∠OCB. Si la m∠ABC = 40°, entonces la m∠AOC es: A) 100º B) 120º C) 110º D) 112º E) 115º

8. El ángulo exterior en C de un triángulo acutángulo ABC mide 120°, se trazan las alturas AD y BE . Si m∠BAD = 2m∠ABE calcule la medida del ángulo ABE. A) 20º B) 30º C) 40º D) 25º E) 50º

9. En un triángulo ABC, se traza la bisectriz la exterior BF . Si m∠C ‒ m∠A = 14°. Halle la m∠AFB. A) 18º B) 28º C) 5º D) 6º E) 7º

10. En un triángulo ABC se trazan las cevianas

interiores AD y CE tal que m∠BAD = 10° y AE = AC. Si m∠A = 60° y m∠C = 80°. Halle la m∠ADE.

A) 20º B) 30º C) 12º D) 22º30’ E) 18º

11. En un triángulo ABC, BC = a, AC = b y AB = c. Si

a + b = 18 m, b + c = 14 m y a + c = 20 m, entonces la diferencia del mayor y menor lado es: A) 4 m B) 6 m C) 8 m D) 9 m E) 10 m

12. En un triángulo ABC, se traza la bisectriz interior BD y sobre el lado AB se toma un punto E de modo

que m∠ADE = m B2∠ . Si m∠A ‒ m∠C = 60°,

entonces la m∠BED es:

A) 125° B) 45° C) 150° D) 120° E) 135°




13. En un triángulo isósceles ABC (AB = BC), se ubican los puntos P sobre AB , Q y R sobre BC y S sobre AC , tal que PQRS es un cuadrado. Calcule la m∠QAC. A) 30º B) 60º C) 53º D) 37º E) 45º

14. Exterior y relativo aL lado AB de un triángulo ABC

se toma un punto F, tal que FB = 10 m y FA = 15 m. Si BC + AC = 14 m, calcule el máximo valor entero de FC. A) 12 B) 15 C) 19 D) 20 E) 17


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