Solucionario - Guía de Ciencias Geometría
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-
- 1 -
EXAMEN N 1 Para principiante s
01.
Del dato: 3BD AB = 20-
( ) ( )3 x + a 3a x = 20- -
fi 4x 20=
\ x 5=
CLAVE : C
02. ( ) ( )x xSC CC 140+ =
90 x x 140+ + =
2x 50=
\ x 25=
CLAVE : A
03.
x + 40 + x = 90
2x = 50
\ x = 25
CLAVE : B
04.
Por notable: =x 4 3
CLAVE : D
05.
El polgono mostrado tiene 10 lados.
fi ( )
d10 7
N 352
= =
CLAVE : B
06.
En BEC: 50 2 90+ q =
q =2 40
\ 20q =
CLAVE : D
07.
Por Pitgoras: 2 2 2x 12 5= +
\ x 13=
CLAVE : E
08.
Como O es circuncentro, entonces:
m AOC 8= q
En DAOC: q =10 180
\ 18q =
CLAVE : C
09.
-
- 2 -
Teorema de la bisectriz interior: =a 94 a
fi a 6=
\ Permetro = 25
CLAVE : A
10.
DBOC @ DAOD
Luego: -
=2k 15 x3k x
\ x 9=
CLAVE : A
11.
Por relaciones mtricas: ( ) ( )26a 4 9a=
fi a 1=
Se pide: QC 5a=
\ QC 5=
CLAVE : B
12.
Por tringulos notables: =a 2 3
Luego: Permetro = 6a
\ Permetro = 12 3
CLAVE : D
13.
Por relaciones mtricas en la circunferencia:
( ) ( )2x 5 2x x 16 x+ = +
fi 3x 6=
\ x 2=
CLAVE : B
14.
Dato: Permetro 32=
=16a 32 fi a 2=
Luego: ( )6a 4a
A2
=
\ 2A 48 cm=
CLAVE : E
15.
Del dato:
p
= p 2
26 60 R360
\ R 6=
CLAVE : A
-
- 3 -
16.
En CTM de 45: MT = 2 2
En NMT: ( )22 2x 1 2 2= +
\ x 3=
CLAVE : D
17.
En CNB (notable): CN = 6
Tambin: NE = 6
En DACE por base media: =CE2
OP
\ OP 6=
CLAVE : B
18. Por frmula: ( ) ( )8 3 6 4
A2+
=
\ A 24=
CLAVE : E
19.
Del dato: LA 96=
2a 8 96 =
fi a 6=
Luego: ( )2
BaseA a=
\ ( )BaseA 36=
CLAVE : A
20.
Del dato: = pLA 60
6 g 60p = p
fi g 10=
Luego: h 8=
CLAVE : D
-
- 4 -
EXAMEN N 2
01. ( ) ( )40S 180 40 - a = - - a
( )40S 140 - a = + a
CLAVE : B
02.
Del dato: BD 4AB 20- =
( )x 4a 4 a x 20+ - - =
5x 20=
\ x 4=
CLAVE : C
03.
Del dato: m AOB m BOC 30- =
+ q - q =2x 30
2x 30=
\ x 15=
CLAVE : D
04.
Del dato: AD 2CD 9= +
+ = +2x 2a 2a 9
2x 9=
\ x 4,5=
CLAVE : B
05.
Del dato: AB BD AC CD =
( ) ( )8 a x 8 a x + = +
8a ax=
\ x 8=
CLAVE : D
06. Segn el ngulo: x
( )2
x 90 x 523
- - =
Reduciendo: =5x 336
\ x 67,2=
CLAVE : E
07.
Del grfico: a b x 2a+ = +
\ x b a= -
CLAVE : C
08.
Dato: AC BD CE DF 91+ + + =
De donde: AE BE EF 91+ + =
AF BE 91+ =
5
AF AF 918
+ =
13
AF 918
=
\ AF 56=
CLAVE : A
09.
a y q tienen el mismo vrtice y tienen un lado en comn, adems son adyacentes.
b y q tambin tienen el mismo vrtice y un lado comn pero no son adyacentes.
CLAVE : E
-
- 5 -
10.
Por propiedad: 6 180 13 180 11a = - a + - a
30 360a =
\ 12a =
CLAVE : C
11.
Del grfico: x 67= q +
Del dato: 50 90< q <
50 x 67 90< - <
117 x 157< <
\ mxx 156=
CLAVE : C
12. I. (F) Son aquellos que suman 90.
II. (V) Tambin llamados ngulos adyacentes suplementarios.
III. (V) Por teora.
IV. (F) Ambos pueden ser rectos.
CLAVE : E
13.
Del grfico: x = a + q
Adems: 2 2 90a + q =
fi 45a + q =
\ x 45=
CLAVE : B
14.
Del grfico: 2x y x y x y 180- + + + - =
fi 4x y 180- = . . . (1)
Tambin: 0 x y< -
y x<
4x 180 x- <
fi x 60<
Luego: x = 59 (mximo)
En (1): y = 56
CLAVE : D
15.
Por propiedad: ( )6 180 6 1a = -
6 180 5a =
\ 150a =
CLAVE : E
16.
Del dato: AB BC 12- =
4x 2a 2a 12+ - =
4x 12=
\ x 3=
CLAVE : A
-
- 6 -
17.
Condicin:
AB CD kBC AD = y 21 k k 1
AD AB AC-
+ =
fi ( ) ( )AB AD AC k AC AB AD - = -
Reduciendo: 1 k k 1
AD AB AC+
+ =
Luego, igualando: 2k 1 k 1- = +
\ k 2=
CLAVE : C
18. De la condicin:
( ) ( )3 5SC mCSa a=
( )90 3 m 5 90+ a = a - . . . (1)
Analizando: 0 5 90< a -
fi 19a = (Mnimo)
Reemplazando en (1):
( ) ( )( )90 3 19 m 5 19 90+ = -
147 m 5=
\ m 29,4=
CLAVE : A
19.
Dato: ( )GR CM 2b 1 GM RC - =
( )( ) ( )GR GM GC 2b 1 GM GC GR - - = -
Reduciendo: 2b 1 2b 1GC GR GM
-= + . . . (1)
Del dato: a 3 3b 11 c 4GC GR GM+ - +
= + . . . (2)
Comparando (1) y (2):
3b 11 1- = fi b 4=
a 3 2b+ = fi a 5=
c 4 2b 1+ = - fi c 3=
\ a 2b 3c 22+ + =
CLAVE : C
20.
Del dato:
m XOC m XOD 4m BOZ 80+ - =
( )2 2 4 80b - q + b + q - b - a =
4 80a =
fi 20a =
Se pide: m AOB 2= a
\ m AOB 40=
CLAVE : C
-
- 7 -
EXAMEN N 3
01.
x x r x r 180+ - + + =
3x 180=
\ x 60=
CLAVE : A
02.
k 3k 5k 180+ + =
9k 180=
fi k 20=
Luego como 5k 100= , entonces el
tringulo es obtusngulo.
CLAVE : C
03.
En DABC, por propiedad: m D 90= - q
Luego en DDEF: 4 90 180q + q + - q =
4 90q =
\ 2230q =
CLAVE : A
04.
Por propiedad: x
3x 902
= +
Reemplazando: x 36=
CLAVE : D
05.
Propiedad de la mediatriz: PA PC=
Luego en ABP (issceles): x 12=
CLAVE : D
06.
DBOC @ DAOD
DABC @ DABD
DBCD @ DACD
Hay 3 pares de tringulos congruentes.
CLAVE : B
07.
Por propiedad: 60 x
202-
=
\ x 20=
CLAVE : B
-
- 8 -
08.
Como AB = BC, entonces: m C 16 x= +
En CHA: 16 x 16 90+ + =
\ x 58=
CLAVE : A
09. I. (V) Por teora.
II. (V) Por teora.
III. (F) No es suficiente.
CLAVE : A
10.
Del dato: 90 m ABC<
90 3 3< b + q
fi 30 < b + q . . . (1)
En DABC: 6 5 180q + b = . . . (2)
Por otro lado: x 4 5= b + q . . . (3)
De (2) y (3): 180 xb + q = -
En (1): 30 180 x< -
fi x 150<
\ x 149= (Mximo)
CLAVE : D
11.
Por propiedad de la mediatriz:
TB TA TC= =
En DABC: 3xa + q =
En A: 5x 180+ a + q =
fi 8x 180=
\ 45
x2
=
CLAVE : E
12. I c
II b
III a
IV e
CLAVE : C
13.
Se traza CT , tal que: m TCB = q
fi AC CT TB 2a= = =
CHT es notable, entonces: 2 60q =
\ 30q =
CLAVE : C
14.
Dato: a b x 30+ + =
Del grfico: a x
b x
< +
<
a b 2x+ <
30 x 2x- <
fi 10 x< . . . (1)
Luego por existencia: x a b< +
x 30 x< -
fi x 15< . . . (2)
De (1) y (2): { }x 11; 12; 13; 14
\ Puede tomar 4 valores enteros.
CLAVE : C
-
- 9 -
15.
Permetro a r a a r= - + + +
x 3a=
Por existencia: a r a r a+ < - +
2r a<
fi 6r x<
\ x 6r 1= + (Mnimo)
CLAVE : D
16.
Se traza TP , tal que: AT TP=
fi m PTQ 60=
De modo que el DTPQ es equiltero.
fi PT TQ PQ= =
Y como m PQC 48= , entonces: PQ PC=
En DTPC (issceles):
m PTC m PCT 18= =
\ x 30=
CLAVE : B
17.
Del grfico: 180 3 3 - q < q
30 < q
fi 31q = (Mnimo)
Adems: x 6 180= q -
( )x 6 31 180= -
\ x 6=
CLAVE : B
18.
Al prolongar BP hasta T, se deduce que:
m BTC 90=
Y como AP PC= , entonces: AB BC=
Finalmente: x 90 2x= -
\ x 30=
CLAVE : B
19.
Construimos el DBPC, equiltero, entonces:
BD DP= y m DPC x=
Luego trazamos: DN y DM
Como AD es bisectriz, entonces: DM DN=
BMD @ DNP fi m MBD 40 x= +
Finalmente en DABC: 40 2x 80+ =
\ x 20=
CLAVE : D
20.
-
- 10 -
En DABE por correspondencia como:
AE AB<
fi x 46< . . . (1)
En DADC (issceles):
134 x 90- <
44 x< . . . (2)
De (1) y (2): x 45= (Entero)
CLAVE : D
EXAMEN N 4
01.
En AHB: x 70 90+ =
\ x 20=
CLAVE : A
02. n n 20+ =
\ n 10=
CLAVE : A
03.
Del grfico: m A m D=
x 30 75+ =
\ x 45=
CLAVE : C
04. ( )n n 3
n 72-
- =
Reduciendo: 2n 5n 14 0- - =
\ n 7=
CLAVE : A
05. I. (V) Por definicin.
II. (V) Por definicin.
III. (V) Para n = 6
# Diagonales de un vrtice = 6 3
# Diagonales de un vrtice = 3
CLAVE : E
06. Por teora todo polgono equingulo debe ser convexo.
\ Slo I.
CLAVE : A
-
- 11 -
07. ( )9
180 n 2 3602
- =
Resolviendo: n 11=
Se pide: ( )
d11 8
N2
=
\ dN 44=
CLAVE : D
08.
Por propiedad: 24 x
x2-
=
fi 3x 24=
\ x 8=
CLAVE : C
09.
En ABCD: 2 2 170 360a + q + =
95a + q =
En DECD: x 180a + q + =
\ x 85=
CLAVE : B
10. I. (V) Porque tambin es escaleno.
II. (V) Por teorema.
III. (F) Por teora.
IV. (F) Son diferentes.
\ VVFF
CLAVE : A
11.
Dato: 330a + q =
En el hexgono se cumple que:
330
40 150 720+ + a + q + b + w =
fi 300b + w =
Luego en DAFQ: x 360w + b + =
\ x 60=
CLAVE : A
12.
En : x x 90+ q + - q =
2x 90=
\ x 45=
CLAVE : B
13.
Como el trapecio issceles tiene diagonales iguales y perpendiculares entonces el cuadriltero que se obtiene es un cuadrado.
CLAVE : A
-
- 12 -
14. ( ) ( )( )n n 3 n 1 n 4
72 2- - -
- =
Reduciendo: 2n 18=
fi n 9=
Se pide: ( )180 7
m int9
=
\ m int 140=
CLAVE : D
15.
DBDC es equiltero, entonces:
m BAC 60=
En DACD: m ACD 75=
fi AD AC=
Luego en BAD: m BDA 45=
fi x 45 75+ =
\ x 30=
CLAVE : B
16.
En DAQD, como:
( )AD 2 QH= y m QAD 75=
Entonces se cumple por propiedad que:
m ADQ 30=
Luego: x 45 30= +
\ x 75=
CLAVE : D
17.
DACD es issceles, entonces: AD AC 2a= =
En DABC, issceles: AH HC a= =
En AQD (notable): QD a=
En EQD @ BHC, entonces:
m QED 54=
De donde: m EDA 24=
Finalmente: 24 x 72+ =
\ x 48=
CLAVE : E
18.
DABC @ DCDE fi AC CE=
Adems: 90q < . . . (1)
Luego en el polgono regular: 360
nq =
En (1): 360
90n
<
fi 4 n<
\ n 5= (Mnimo)
CLAVE : C
19.
-
- 13 -
En DABC (issceles): m BCA 50=
\ x 130=
CLAVE : D
20.
Del dato: ( )11AB 5 AD BC= -
11AB 5MD=
Se traza CQ tal que: m QCD = q
fi MC MQ 5a= = y CQ QD 6a= =
En MTQ: 2 53q =
\ 26,5q =
CLAVE : C
EXAMEN N 5
01.
1 + x = 4
\ x = 3
CLAVE : D
02.
Por propiedad: 80
x 902
= +
\ x 130=
CLAVE : E
03. Por teora en un tringulo equiltero, el ortocentro (H) y el circuncentro (O) coinciden, de modo que:
HO = 0 (Cero)
CLAVE : C
04.
Como AP QS (dato)
fi mAQ mPS 2= = a Luego: 6 180a =
\ 30a =
CLAVE : D
-
- 14 -
05. I. (V) Por teora.
II. (V) Por teora.
III. (F) Es lo contrario, el dimetro es el doble del radio.
\ VVF
CLAVE : A
06.
Dato: 48a - q =
Por propiedad: m OBC m ABH 90= = - a
En BTC: x 90 90+ - a + q =
x = q - a
\ x 48=
CLAVE : A
07.
Permetro a b 10= + + . . . (1)
Por Poncelet: ( )a b 10 2 2+ = +
fi a b 14+ =
En (1): Permetro 24=
CLAVE : E
08.
P es baricentro del DABC.
fi AP 2 2=
En AHP: AH PH 2= =
Adems: BP 2PH=
fi BP 4=
\ BH 6=
CLAVE : A
09.
Dato: ( )1mAQ 90 303
= =
Por ngulo interior: 90 30
x2+
=
\ x 60=
CLAVE : D
10. I. (F) Slo si es inscriptible.
II. (F) Es el radio de la circunferencia ex-inscrita.
III. (V) Porque cumple con la condicin de inscriptible.
\ Slo III
CLAVE : D
11.
2x 180=
\ x 90=
CLAVE : D
12.
-
- 15 -
O es circuncentro
fi OA OB 12= = y m AOB 60=
En AHO (Notable): x 6 3=
CLAVE : D
13. I b
II a
III e
IV c
CLAVE : E
14.
Por propiedad de cuadriltero inscrito en el APQC:
m ACQ 50= y x 70 180+ =
\ x 110=
CLAVE : B
15. En el tringulo acutngulo el ortocentro es el incentro de su tringulo pedal.
CLAVE : B
16.
El ngulo QPR es el mayor ngulo del
DQPR.
En APBR, inscriptible: m BPR 60=
Tambin: m QPB 60=
\ m QPR 120=
CLAVE : C
17.
B es incentro del CDA, entonces:
m BDA 45=
DBDA @ DMBA fi AD 3=
De donde: 2x 37=
\ x 18,5=
CLAVE : B
18.
mNQ 2x= En OMNL: OS SN SM SL a= = = =
Adems: ON LQ
fi QH SL a= =
Pero: OQ ON 2a= =
En QHO: m HOQ 30=
fi 2x 30=
\ x 15=
CLAVE : C
19.
-
- 16 -
DABQ @ DAPC
fi m BAQ m PCA= = q
De donde: m ANC 120=
El ANOC es inscriptible, entonces:
m ONC 30=
Luego: x 30 60+ =
\ x 30=
CLAVE : C
20.
Construimos el romboide BTCP.
fi m BAT = q y m BTA x=
El ABTC es inscriptible.
\ x 36=
CLAVE : E
EXAMEN N 6
01.
Como BC PQ AD , entonces, por el
teorema de Thales:
x 2
42 2=
\ x 1=
CLAVE : C
02. Por semejanza: x
39
= o 9
3x
=
\ { }x 27; 3
CLAVE : C
03.
Por dato: G AC
Luego por propiedad: 7 9
x2+
=
\ x 8=
CLAVE : D
04.
Por propiedad: 2x 9 4=
\ x 6=
CLAVE : B
-
- 17 -
05.
Como: AB CM
fi DABP @ DPCM
Luego: 2a 8a x
=
\ x 4=
CLAVE : A
06.
Se observa que el DAD, es issceles.
fi AD A x= =
Luego en DABC: 2k 3kx 6
=
\ x 4=
CLAVE : C
07.
Como: PQ AC
fi DPBQ @ DABC
Luego: 4 x x
4 6-
=
\ x 2,4=
CLAVE : E
08.
AEB @ BDC
Luego: x a ab x x
-=
-
\ x ab=
CLAVE : D
09.
Dato: G AC
Por propiedad: a c
b2+
= . . . (1)
Por Pitgoras: 2 2 2c a b= + . . . (2)
De (1) y (2): a 3k= , b 4k= y c 5k=
CLAVE : A
10.
Luego de completar ngulos se observa que los tringulos BDE, ADF, FEC Y ABC son semejantes, de modo que se puedan formar 6 parejas.
CLAVE : A
-
- 18 -
11.
Por teorema de la bisectriz interior:
5 4a x
= . . . (1)
4 x 3
a 2+
= . . . (2)
De (1) y (2): 32
x7
=
\ x 4,57=
CLAVE : B
12.
En DABM aplicamos el teorema de Menelao:
10 2n a x n 5a =
\ x 4=
CLAVE : D
13.
FBDQ es inscriptible, entonces:
m BDF 45=
En FBD: BD BF 3= =
Luego: FBE @ AOF
fi 3 3 x2 5
+=
\ x 4,5=
CLAVE : D
14.
Por teorema de la bisectriz interior:
AP 2k= y PC k=
En ABC (Teorema de Ceva)
( )2k 5a QB k 2a 14a QB = -
fi 7a
QB3
=
En QCB (Notable): 37
m QCB2
=
En ABC (Notable): 127
m ACB2
=
Luego: 127 37
x2 2
= -
\ x 45=
CLAVE : C
15.
Dato: 1 1 1a c 2
- =
Trazo TC BE , entonces:
BC TB a= = y TC a 2=
Luego: DABE @ DATC
fi x c
c aa 2=
-
1 1 2a c x
- =
Igualando al dato: 2 1x 2
=
\ x 2=
CLAVE : B
-
- 19 -
16.
Por propiedad: m CTN m NTL= = q
fi m ATB m BTC= = a
De donde se deduce que A, B, C y N forman una cuaterna armnica, entonces:
7 10 x3 x
+=
\ x 7,5=
CLAVE : E
17.
Como G AC y el tringulo es rectngulo.
fi AB 3a= , BC 5a= y AC 4a=
Adems por propiedad: 5a 3a
k6-
=
fi a 3k=
Finalmente: Permetro 12a=
\ Permetro 36k=
CLAVE : E
18.
En ABCD: 180a + b + q =
fi m AOB = a y m COD = b
Luego: DABO @ DOCD
fi
x8 2x 102
=
\ x 8 5=
CLAVE : D
19.
Por semejanza se deduce que:
AB 2a= y BC a=
Por teorema de la bisectriz exterior (DABC):
2a aAD CD
= fi AD 2CD=
Luego trazamos DH , entonces por base media:
DH 8=
\ x 53=
CLAVE : C
20.
En ROS: RO OS 3 2= =
Luego: DQRO @ DOST
fi 9 3 2
x3 2=
\ x 2=
CLAVE : C
-
- 20 -
EXAMEN N 7
01.
15 20 25 h =
\ h 12=
CLAVE : C
02.
Teorema de las secantes: ( )9 4 x 9 x = +
\ x 3=
CLAVE : E
03.
Por teorema de Euclides:
2 2 27 5 6 2 6 x= + -
\ x 1=
CLAVE : C
04.
Primero: 4 62 DC
=
fi DC 3=
Luego por frmula: 2x 4 6 2 3= -
\ x 3 2=
CLAVE : A
05.
Por el teorema de Ptolomeo:
x a 2 6 a 4 a = +
\ x 5 2=
CLAVE : B
06. I. (V) Por teora.
II. (F) Puede tambin ser un punto.
III. (F) Es un segmento.
\ VFF
CLAVE : D
07. El tringulo de lados a , b y a b+ cumple con el teorema de Pitgoras ya que:
( ) ( ) ( )2 2 2a b a b+ = + En consecuencia el tringulo es rectngulo.
CLAVE : D
08.
Permetro 3x=
Por Pitgoras: ( ) ( )2 2 2x 1 x 1 x+ = - +
fi x 4=
\ Permetro 12=
CLAVE : C
-
- 21 -
09.
Teorema de la tangente: ( )2x 8 DF DE+ =
Teorema de las secantes: ( )x 20 x DF DE+ =
Igualando: ( ) ( )2x 8 x 20 x+ = +
\ x 16=
CLAVE : D
10.
Dato: 2 2m n k+ =
Teorema de la mediana:
2 2
2 2 n ma b 22 2
+ = +
fi 2 2
2 2 m na b2+
+ =
\ 2 2k
a b2
+ =
CLAVE : C
11.
En ACD: 2x 7
20 x2+ =
\ x 25=
CLAVE : B
12.
Teorema de la mediana:
( )2
22 2c
ca b 2 m
2+ = + . . . (1)
( )2
22 2a
ab c 2 m
2+ = + . . . (2)
( )2
22 2b
ba c 2 m
2+ = + . . . (3)
Sumamos (1), (2) y (3):
( )2 2 2 2 2 2a b cm n
3a b c m m m
4+ + = + +
\ m 4n 3
=
CLAVE : B
13.
Por teorema de la tangente: ( )2TB 2R R=
fi TB R 2=
Por teorema de Thales:
RPT 2
3RR 22
=
fi R 2
PT3
=
Por teorema de la tangente: 2
R 2R x
3
=
\ 2R
x9
=
CLAVE : C
-
- 22 -
14.
Por teorema de la tangente:
( ) ( )22x EB x x= +
fi EB 3x=
En EBA: ( ) ( )2 2 22R 3x x= +
\ R 10
x5
=
CLAVE : C
15.
Por Poncelet: 6 8 10 2r+ = +
fi r 2=
Por Pitgoras: 2 2 2x 2 1= +
\ x 5=
CLAVE : D
16.
Prolongamos DB hasta T, tal que:
BT BD x= =
Adems: m ABT m BDC= = b
Luego: DABT @ DBDC (LAL)
fi AT BC 9= =
En DATD (Teorema de la mediana):
( )( )222 2 2x9 13 2 10
2+ = +
\ x 5=
CLAVE : B
17.
En ABC: AC 2 6=
fi 2 6
AD3
= y 4 6
DC3
=
Adems: 4 3
BD3
=
En ADB (Poncelet):
2 6 4 3
2 2 2x3 3
+ = +
\ x 0,55=
CLAVE : C
18.
Por propiedad: AQ = AL fi m ALQ = x + q
Tambin: BQ = BP fi m QPB = x + a
De Q: x + q + a = 90 . . . (1)
En PQL: 3x + q + a = 180 . . . (2)
De (1) y (2): x = 45
CLAVE : C
-
- 23 -
19.
Por propiedad: AT AN=
Pero: ( ) ( )( )2AT AB AH=
( )2AT 16 12=
AT 8 3=
fi AT AN=
En DANB (Teorema de la mediana):
( ) ( )22 22 168 3 6 2 x
2+ = +
\ x 5 2=
CLAVE : C
20.
Teorema de la tangente:
( ) ( )2a b a 2b 2r a+ = + +
\ 2b
r2a
=
CLAVE : D
EXAMEN N 8
01.
x 3 3=
\\\ \ x 3=
CLAVE : A
02.
OH se llama apotema
CLAVE : C
03.
\ x 1=
CLAVE : A
04.
Del dato: A A=
fi
2x4 9
2=
\ x 6 2=
CLAVE : E
05.
-
- 24 -
En AHG: GH 3=
Como G es baricentro, entonces: BG 6=
Luego: 8 9
A2
=
\ A 36=
CLAVE : E
06.
Como P divide a AB en media y extrema razn, entonces:
2AP AB PB= o 2PB AB AP=
De donde:
( )ABAP 5 12
= - o ( )ABPB 5 12
= -
Luego analizando:
A) No necesariamente
B) No necesariamente
C) V
D) F
E) No necesariamente
CLAVE : C
07. Las reas de dos tringulos semejantes son entre s como los cuadrados de sus elementos homlogos .
CLAVE : C
08.
Se reconoce que: 4AB L= y 3AC L=
fi mAB 90= y mAC 120=
Con lo cual: mBC 150=
Luego: 150
x2
=
\ x 75=
CLAVE : B
09.
Por la relacin de reas: AD 8 18DC S 2 4 S
= =- +
\ 2S 6,8 m=
CLAVE : A
10.
Como los tringulos ABC y DOC tienen igual rea, entonces por la propiedad del trapecio
se deduce que: AD OB
De donde: m AOB 45=
\ mAB 45=
CLAVE : C
11.
Del grfico: 3 4 5 R = fi R 2,4=
Adems: ( ) ( )som ABC MBNA A A= -
( )( )
som3 4 2,4 2,4
A2 2
= -
\ somA 3,12=
CLAVE : B
12.
-
- 25 -
Dato: ( )ABCA 18=
fi ( )BOAA 6=
Y como AB 5= , entonces se deduce que:
BO 4= y AO 3=
Luego en BOM: 73
BM2
=
fi BC 73=
En AON: AN 13=
\ AC 2 13=
CLAVE : B
13.
Aplicando la frmula del decgono regular
se deduce que AB es el lado del decgono regular, entonces:
m AOB 36=
Por teorema de la tangente:
( )22 2 BP BP= +
fi BP 5 1= -
De modo que: AP 5 1= +
fi AO AP= (D issceles)
Luego: 36 x 54+ =
\ x 18=
CLAVE : B
14.
Del dato: ( )2AB 5 12
= -
fi AB 5 1= -
En el PBCE, inscrito:
m PEC m PBA= = q Y como las circunferencias son congruentes,
entonces:
mPBC m AB =
De donde: PC AB=
\ PC 5 1= -
CLAVE : C
15.
Del grfico, en el trapecio DECQ:
2A A S S =
fi S A 2=
Luego: A 4A 2S= +
\ ( )A 2A 2 2= + CLAVE : D
16.
( )ABCa b
A2
= . . . (1)
DABM @ DBDC: a 73 b
= fi ab 21=
En (1): ( )ABCA 10,5=
CLAVE : D
17.
-
- 26 -
Como: R
PE PD 10 2 52
= = -
y R
ED 10 2 52
= -
Entonces el DEPD es equiltero.
Tambin: TD CD= (Issceles)
En DPTD: 2x 12 180+ =
\ x 84=
CLAVE : D
18.
En el tringulo sombreado: x a 2 2= +
Luego: x 2a 2 2 2+ = + +
( )a 2 2 2 2 2 2+ + = + + fi a 1=
\ x 2 2= +
CLAVE : D
19. Sabemos que: a b ca h b h c h 2A = = =
Reemplazando en el dato:
b c aah bh ch 6A+ + =
fi a b c
3b c a
+ + =
Luego: a b c= =
\ El tringulo es equiltero.
CLAVE : A
20.
ATN es notable, entonces:
m TAN 37=
Con lo cual: 532
q =
Entonces en BHC: BH 6=
Luego: ( )BHC6 3
A2
=
\ ( )2
BHCA 9 m=
CLAVE : B
-
- 27 -
EXAMEN N 9
01. I. (V) Porque determinan un plano.
II. (F) Deben de ser tres puntos no colineales.
III. (V) Por teora.
\ VFV
CLAVE : D
02.
Dato: A 27= p
fi 2R 27p = p
\ R 3 3=
CLAVE : B
03.
I. (V) No tiene ningn punto en comn con el plano.
II. (F) No a todas.
III. (F) Slo pasa un plano paralelo al plano dado.
CLAVE : A
04.
Dato: A 10= p
fi 2R 36
10360
p = p
\ R 10=
CLAVE : A
05.
Dato:
( )23r 60
24360
p = fi 2r 16p =
\ 2A 16 u=
CLAVE : C
06. I. (V) Por teora.
II. (V) Necesariamente.
III. (F) No son coplanares, es decir no determinan un plano.
\ VVF
CLAVE : A
07. I. (F) No necesariamente, pueden ser secantes o alabeadas tambin.
II. (V) Por teora.
III. (F) No necesariamente, slo sern coplanares 2 a 2.
\ FVF
CLAVE : A
08. 83
8 7 6C 56
6
= =
72
7 6C 21
2
= =
6
26 5
C 152
= =
Tambin: 8 7 56 = y 8 6 48 =
Piden: N planos 56 21 15 56 48= + + + +
\ N planos 196=
CLAVE : A
09.
2
som6 120 6 3 3
A360 2
p = -
\ somA 12 9 3= p -
CLAVE : D
-
- 28 -
10.
Dato: x y 28+ =
Del grfico: y x 8- =
\ x 10= , y 18=
CLAVE : A
11.
Por Pitgoras: 2 2 2x 9 15+ =
\ x 12=
CLAVE : D
12.
som
10 105 1 12 2A8 2 2
p = - -
\ som5 7
A8 4p
= -
CLAVE : A
13.
Por teorema de la tangente: ( )2TC 4r 2r=
fi TC 2r 2=
En CTO: ( ) ( ) ( )2 223r 2r 2 17+ =
fi r 1=
Luego: ( )2 2coronaA 3 1= p -
\ coronaA 8= p
CLAVE : C
14.
Por Pitgoras: ( )22 2x 5 3= +
\ x 2 7=
CLAVE : E
15.
En NTB: BT a 3=
En ATB: Notable
\ x 45=
CLAVE : B
16.
-
- 29 -
En PTA: PT AT a 2= =
En 1TCC : 1TC a 34=
En 1PTC : 1PC 6a=
Luego: a 2
sen x6a
=
\ 2
x arc sen6
=
CLAVE : C
17.
Sea: SB AC 2 3= =
En DBDN (Ley de cosenos):
( ) ( )2 2 27 6 2 2 6 2 cos x= + -
fi 6
cos x8
=
\ 6
x arc cos8
=
CLAVE : A
18.
El rea mnima del DBMH se dar cuando la altura MQ sea mnima, es decir cuando sea
igual a la distancia mnima entre CG y BH .
Dicha distancia mnima es GO , entonces:
a 2
MQ GO2
= =
Luego: ( )BMHBH MQ
A2
=
( )BMH
a 2a 3
2A2
=
\ ( )2
BMHa 6
A4
=
CLAVE : E
19.
En ATB: ( ) ( )22 2x 2 2 5 x- + =
\ x 6=
CLAVE : D
-
- 30 -
EXAMEN N 10
01.
Por tringulos notables: x 2 3=
CLAVE : C
02. I. (F) Deben ser dos vrtices ubicados en diferentes caras.
II. (V) Por teora.
III. (V) Por teora.
\ FVV
CLAVE : C
03. Por teora es el dodecaedro.
CLAVE : C
04. El rea de la proyeccin de una figura sobre un plano es igual al rea de la figura multiplicada por el coseno del diedro que forman. (Propiedad)
CLAVE : A
05. I. (V) Por teora.
II. (V) Por teora.
III. (F) Debe ser menor que 90.
\ VVF
CLAVE : C
06. Por frmula: ( ) ( )4 3 3 4
A2+
=
\ A 12=
CLAVE : A
07. Recordemos que las caras de un triedro y los diedros de su triedro polar son suplementarios respectivamente.
Entonces los diedros de su triedro polar medirn 120, 80 y 100.
CLAVE : C
08.
Por Pitgoras: 2 2
2 a ax 32 2
+ =
\ a
x 22
=
CLAVE : D
09.
Sabemos que: d a 2=
fi d
a2
=
Luego: 3V a=
\ 3d 2
V4
=
CLAVE : D
10. Sean las medidas de las caras:
x 2r ; x r ; x ; x + r y x + 2r
Por propiedad:
x 2r + x r + x + x + r + x + 2r < 360
5x < 360
fi x < 72
\ x = 71 (Mximo)
CLAVE : C
11. Por teora el de menor volumen ser el tetraedro regular.
CLAVE : D
-
- 31 -
12.
En ADO: a 2
cos xa 6
=
\ 1
x arc cos3
=
CLAVE : C
13.
En DBCE (Ley de cosenos):
2 2 21
CE 3 2 2 3 12 -2
= + -
fi CE 189=
En CEF: CF 205=
En DACF (Teorema de la mediana):
2 2 2205
5 12 2x2
+ = +
\ 133
x2
=
CLAVE : D
14.
En DABD: 2 2a 2a
a PD3 3
= +
fi a 7
PD3
=
Anlogamente: a 7
PC3
=
En PQC: a 19
PQ6
=
Luego: ( )DPC
a 19a
6A2
=
\ ( )2
DPCa 19
A12
=
CLAVE : D
15.
En OCK: KC 6=
En OCK: K C 14=
\ x 6 14= -
CLAVE : C
16.
El polgono regular que se obtiene es un hexgono regular.
\ Se obtiene un polgono de 6 lados.
CLAVE : C
-
- 32 -
17.
En ABC: BH 4,8=
Anlogamente: B H 4,8=
En DBHB: BB 4,8= (Equiltero)
Luego por semejanza: 4,8 3kx k
=
\ x 1,6=
CLAVE : B
18.
DOMQ y DOMP son equilteros, entonces:
MA MQ 2a= =
En AOQ (Issceles):
QH HP OH a 2= = =
En MHP: MH a 2=
Finalmente en el DOMH se deduce que:
x 90=
CLAVE : D
19.
Ley de cosenos:
( ) ( ) ( )2 226 2 2 2 2 2 cos x= + -
fi 1
cos x -2
=
\ x 120=
CLAVE : D
20.
Por propiedad:
( ) somHEFPQA A cos= q . . . (1)
Del grfico: ( )HEFPQ7
A8
=
En AEN:
3 234cos
34 174
q = =
En (1): som7 3
A8 17
=
\ som7 17
A24
=
CLAVE : D
-
- 33 -
EXAMEN N 11
01. Dato:
2
V 40
x 10 40
x 2m
= p
p = p
\ =
CLAVE : C
02. Por teora es un cuadrado
CLAVE : B
03. I. (F) Slo si la base es un polgono regular
II. (V) Por teora
III. (V) Por definicin
CLAVE : D
04. Por teora se llama seccin recta
CLAVE : D
05. Si su nmero de vrtices es 10, entonces la base ser un pentgono, de modo que el nmero de caras ser: 7
CLAVE : A
06.
Del dato: ( )2 2 3D d a a x+ =
Como: D a 3 y d a 2= =
3 3 5a a x x 5fi = \ =
CLAVE : B
07. La superficie que se genera es un huso esfrico
2
(huso) 3 90
A90
pfi =
(huso) A 9\ = p
CLAVE : E
08.
Por frmula: x R
120 360 xR 3
= \ =
CLAVE : B
09.
OP es perpendicular al crculo menor y
tambin es perpendicular al dimetro AB .
Por lo tanto I y II son correctas
CLAVE : D
10.
-
- 34 -
En ATB: AT = 2
Luego: (ABC)A MA
V3
=
2 2 2 242 V V
3 3fi = \ =
CLAVE : D
11. Por semejanza de conos:
3V x
2V 10 =
3 x 5 4 cm\ =
CLAVE : C
12.
Dato: L A 28=
(SR)2p a 28 ...(1)=
Adems: (SR) (SR)A P 3= fi (SR)V A a=
(SR)14
V 3p a=
\ 3V 42m=
CLAVE : B
13.
T (BASE)A 4A AD= +
fi 2
2T
10 3A 4 10
4
= +
( )T A 100 1 3\ = +
CLAVE : B
14.
Del grfico: x a 3 ...(1)=
Dato: L A 128=
4a 2a = 128
fi a = 4 x 4 3\ =
CLAVE : C
15. A. (V) Por teora
B. (V) Por teora
C. (F) Todos los conos as formados tienen igual volumen.
D. (V) Puede ser tambin una parbola o una hiprbola
E. (V) Por semejanza de conos
CLAVE : C
16.
Como la base es un tringulo equiltero y el crculo est inscrito en dicho tringulo.
L 2r 3=
-
- 35 -
L(Pr isma)A 3L h=
L(Cilindro) A 2 r hfi = p
L(Pr isma)
L(Cilindro)
A 3 L
A 2 rfi =
p
L(Pr isma)
L(Cilindro)
A 3 3
A\ =
p
CLAVE : C
17.
Por propiedad: 2(5 x) 3 x
2,85
- +=
x 4\ =
CLAVE : C
18.
Del dato: 180a + q + b =
Desarrollamos la superficie de la pirmide respecto al plano de la base; de modo que se deduce que los vrtices de la base sern puntos medios.
Luego:
( )T BaseA 4A=
Por Hern:
( )BaseA 84=
T A 336\ =
CLAVE : D
19.
El poliedro por los centros A, B, C y D de las esferas es un tetraedro regular, luego como AB es paralela a la generatriz del cono, entonces el ngulo en la seccin axial ser el doble de q.
2
2 2cos2 2cos 1 cos2 2 13
q = q - fi q = -
1 1cos2 2 Arccos
3 3 q = \ q =
CLAVE : C
20.
Como la esfera es tangente a las caras que concurren en A, entonces:
AO x 3=
Por semejanza: a 2 a 3
x a 3 x 3=
-
( ) x a 2 2\ = -
CLAVE : B
-
- 36 -
EXAMEN N 12 Para experto s
01.
Dato: AB ADBC CD
=
Transformando:
( ) ( )AB BD BC AD BD CD- = -
Agrupando:
a b
AB BD AB BC AD BD AD CD - = -
( )BD
b a BD AD AB- = -
2b a BD- =
\ BD b a= -
CLAVE : C
02.
Del dato: x x 180q + + + a = . . . (1)
Tambin: x 150q + + a
-
- 37 -
m PAB m BCQ= = w
fi DAPB @ DBQC
De donde:
m BQC = q y m QBC m APB= = a
Con lo cual: m PBQ 90=
Y como: PB BQ=
fi m PQB 45=
\ x 45= + q
CLAVE : C
07.
En DPTQ: x 30 50+ q = q - +
\ x 20=
CLAVE : A
08.
Como: m B 60=
fi m AHC m AOC 120= =
De donde el AHOC es inscriptible.
\ x 30= (Rebote)
CLAVE : D
09.
En DABM (Teorema de Menelao):
x
8 a b 4 2a 2b2
= -
\ x 12=
CLAVE : D
10.
En AQP: 23 9 PH=
fi PH 1=
En QBP: BP 2 2=
Teorema de la tangente: ( ) ( )22 2 1 x 1= +
\ x 7=
CLAVE : A
11.
Por propiedad: 4a 2a 2 12 =
fi a 3=
-
- 38 -
En OTB: ( )22 2x 3 6+ =
\ x 33=
CLAVE : E
12.
Se observa que el ACDB es inscriptible.
Por teorema de la tangente:
( )12 10 8 x 8 = +
\ x 7=
CLAVE : C
13.
DCEP es equiltero, entonces:
m PCD 24=
En DACP, issceles: 36 x 42+ =
\ x 6=
CLAVE : E
14.
Como las reas de los tringulos ABO y OCD estn en la razn de 3 a 2; y las bases son iguales, entonces las alturas estn en la razn de 3 a 2.
Luego por semejanza: 3k a b2k b
+=
\ a 1b 2
=
CLAVE : D
15.
Dato: ( ) ( )2 22b 2a 8- =
fi 2 2b a 2- =
Por Pitgoras: 2 2 2h a r+ =
2 2 2h b R+ =
fi 2 2 2 2R r b a- = -
Luego: ( )2 2coronaA R r= p -
\ coronaA 2= p
CLAVE : B
16.
En DATK:
Luego: tan x 7=
\ x Arc tan 7=
CLAVE : A
-
- 39 -
17.
En DAQC, por Hern: 3 11
h5
=
En DATB (Ley de cosenos):
99 99 99
4 2 cos x25 25 25
= + -
fi 49
cos x99
=
\ 49
x arc cos99
=
CLAVE : E
18. Desarrollamos la superficie del tetraedro regular de modo que las caras ABC y ADC estn en un mismo plano.
En PAM: 2 2 2x 20 21= +
\ x 29=
CLAVE : E
19.
Dato: ( ) ( )L Pirmide L Pr isma2
A A3
=
2
8 a 16 x3
=
fi 4
a x3
=
Por Pitgoras: 2
2 2 4x 2 x3
+ =
\ 6 7
x7
=
CLAVE : D
20.
Dato: ( )CilindroV 48=
2R h 48p = . . . (1)
Se pide: ( )OctaedroA h
V3
=
Pero: 2A 2R=
fi ( )2
Octaedro2
V R h3
=
\ ( )Octaedro32
V =p
CLAVE : D
