2. Geometría analítica sólida

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2. Geometra analtica slida 2.1. Introduccin En este captulo, aplicaremos el Ælgebra vectorial al estudio de la geometra euclidiana tridimensional y, entonces, en la œltima seccin generalizaremos al- gunos de los resultados obtenidos en este espacio a los espacios n-dimensionales. Las propiedades de los vectores bajo las operaciones de adicin, multiplicacin por un escalar y producto escalar se utilizarÆn en este captulo. Se introducirÆ en V 3 una nueva operacin sobre vectores denominada producto vectorial. Este producto vectorial se aplica a dos vectores en V 3 y da como resultado un vector en V 3 . La importancia del producto vectorial reside en el hecho de que tanto su longitud como su direccin tienen un uso relevante en geometra y fsica. 2.2. Espacio euclidiano tridimensional Con el n de apreciar la terminologa que describiremos en esta seccin y tambiØn para ayudar a comprender la manera en que el Ælgebra vectorial se aplica en geometra, explicaremos primero cuÆles son las imÆgenes geomØtricas que se encuentran tras el lenguaje que vamos a utilizar. Cuando denotamos un vector con una letra mayœscula digamos P =(x; y; z) indicamos que P ha de considerarse como un radio vector o vector de posicin ( es decir, el punto inicial de la echa que representa P es el origen), o como el punto terminal del radio vector P =(x; y; z), y en este caso, los nœmeros x; y; z se llaman coordenadas del punto P. As, (x; y; z) puede llamarse vector, radio vector o punto, y los nœmeros x; y; z pueden llamarse componentes o coordenadas. El lenguaje que se utilice depende de cual sea la aplicacin que el usuario tiene en mente. Si denotamos un vector con una letra minœscula negrita a =(x; y; z), debemos entender que el vector se estÆ usando para representar una direccin y una magnitud. En cualquier caso, los nombres que usemos no afectarÆn el Ælgebra de los vectores aunque la terminologa pueda resultar necesaria para comprender alguna aplicacin particular del Ælgebra vectorial. Ahora ya estamos en condiciones de dar una descripcin de nuestro mod- elo analtico del espacio euclidiano. Llamamos a este modelo espacio analtico euclidiano tridimensional o, simplemente, espacio euclidiano tridimensional. El espacio euclidiano tridimensional se denota por R 3 (lØase R tres). En la deni- cin de R 3 debemos especicar que es lo que debemos entender por puntos, rectas y planos. Los puntos de R 3 son las ternas ordenadas (x; y; z) de V 3 . Los nœmeros x; y; z han de visualizarse como las coordenadas rectangulares del punto P =(x; y; z) (ver la gura 1). Nuestra denicin de una recta en R 3 nace de la idea intuitiva de que una recta estÆ determinada por un punto P 0 y una direccin a (a es un vector no nulo) (ver gura 2). Los puntos P sobre la recta L que pasa por P 0 en la direccin de a son, todos puntos de la forma P = P 0 + t a, donde t es un nœmero real. Denotamos este conjunto por fP 0 + t a j t 2 Rg, lo que leemos: el conjunto de todos los puntos P 0 + t a con t 2 R. Son todos los puntos que pueden alcanzarse 1

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2.1. Introducción
En este capítulo, aplicaremos el álgebra vectorial al estudio de la geometría euclidiana tridimensional y, entonces, en la última sección generalizaremos al- gunos de los resultados obtenidos en este espacio a los espacios n-dimensionales. Las propiedades de los vectores bajo las operaciones de adición, multiplicación por un escalar y producto escalar se utilizarán en este capítulo. Se introducirá en V3 una nueva operación sobre vectores denominada producto vectorial. Este producto vectorial se aplica a dos vectores en V3 y da como resultado un vector en V3. La importancia del producto vectorial reside en el hecho de que tanto su longitud como su dirección tienen un uso relevante en geometría y física.
2.2. Espacio euclidiano tridimensional
Con el n de apreciar la terminología que describiremos en esta sección y también para ayudar a comprender la manera en que el álgebra vectorial se aplica en geometría, explicaremos primero cuáles son las imágenes geométricas que se encuentran tras el lenguaje que vamos a utilizar. Cuando denotamos un vector con una letra mayúscula digamos P = (x; y; z) indicamos que P ha de considerarse como un radio vector o vector de posición ( es decir, el punto inicial de la echa que representa P es el origen), o como el punto terminal del radio vector P = (x; y; z), y en este caso, los números x; y; z se llaman coordenadas del punto P. Así, (x; y; z) puede llamarse vector, radio vector o punto, y los números x; y; z pueden llamarse componentes o coordenadas. El lenguaje que se utilice depende de cual sea la aplicación que el usuario tiene en mente. Si denotamos un vector con una letra minúscula negrita a = (x; y; z), debemos entender que el vector se está usando para representar una dirección y una magnitud. En cualquier caso, los nombres que usemos no afectarán el álgebra de los vectores aunque la terminología pueda resultar necesaria para comprender alguna aplicación particular del álgebra vectorial. Ahora ya estamos en condiciones de dar una descripción de nuestro mod-
elo analítico del espacio euclidiano. Llamamos a este modelo espacio analítico euclidiano tridimensional o, simplemente, espacio euclidiano tridimensional. El espacio euclidiano tridimensional se denota por R3 (léase R tres). En la deni- ción de R3 debemos especicar que es lo que debemos entender por puntos, rectas y planos. Los puntos de R3 son las ternas ordenadas (x; y; z) de V3. Los números x; y; z han de visualizarse como las coordenadas rectangulares del punto P = (x; y; z) (ver la gura 1). Nuestra denición de una recta en R3 nace de la idea intuitiva de que una
recta está determinada por un punto P0 y una dirección a (a es un vector no nulo) (ver gura 2). Los puntosP sobre la recta L que pasa porP0 en la dirección de a son, todos puntos de la forma P = P0 + ta, donde t es un número real. Denotamos este conjunto por fP0 + ta j t 2 Rg, lo que leemos: el conjunto de todos los puntos P0+ ta con t 2 R. Son todos los puntos que pueden alcanzarse
1
Figura 1: P = (x; y; z):
desde P0, partiendo desde P0, siguiendo una dirección paralela a a. La denición de un plano en R3 surge de la idea de que un plano está determi-
nado por dos rectas no paralelas L1 y L2 de direcciones a y b, respectivamente, que se cortan en un punto P0 (ver gura 3). Los puntos P sobre el plano P determinado por L1 y L2 son todos los puntos de la forma P = P0 + ua+ v b, donde u y v son números reales. La distancia en el espacio euclidiano tridimensional R3 del punto P1 al punto
P2 se dene como la longitud del vector P2 P1. Nuestro espacio euclidiano tridimensional R3 es, por tanto, V3 con las nociones de punto, recta, plano y distancia denidas como acaba de explicarse.
Denición 1 El espacio (analítico) euclidiano tridimensional, denotado por R3, es el espacio vectorial tridimensional V3 donde:
1. Los elementos (x; y; z) de V3 son los puntos de R3.
2. Un conjunto L de puntos de R3 es una recta si hay un punto P0 2 R3 y un vector no nulo a 2 V3 tal que
L = fP0 + taj t 2 Rg ;
3. Un conjunto P de puntos de R3 es un plano si hay un punto P0 2 R3 y dos vectores no nulos a;b 2 V3 tales que
P = fP0 + ua+ v bju; v 2 Rg ;
4. La distancia, denotada por d(P1;P2), del punto P1 = (x1; y1; z1) al punto P2 = (x2; y2; z2) es la longitud del vector P2 P1, es decir
d(P1;P2) = jP2 P1j = p (x2 x1)2 + (y2 y1)2 + (z2 z1)2:
2
Figura 3: P = P0 + ua+ v b:
3
y P = P0 + ua+ v b
se llaman ecuaciones vectoriales de la recta y el plano, respectivamente. Las ecuaciones correspondientes entre los componentes
x = x0 + t a1; y = y0 + t a2; z = z0 + t a3
y x = x0 + u a1 + v b1; y = y0 + u a2 + v b2; z = z0 + u a3 + v b3
se llaman ecuaciones paramétricas de la recta y el plano, respectivamente.
Ejemplo 2 Determine una recta que pase por los puntos P0 = (1; 1; 2) y P1 = (1; 2; 0):
Solución. (Ver la gura 4.) Sea a = P1 P0 = (0; 1;2). Entonces,
L = fP0 + t (P1 P0)j t 2 Rg
es claramente una recta que contiene a P0 y a P1, ya que P0 resulta de hacer t = 0 y P1 de hacer t = 1. Luego
L = f(1; 1; 2) + t(0; 1;2)g = f(1; 1 + t; 2 2t)g
es una recta que pasa por (1; 1; 2) y (1; 2; 0).
Ejemplo 3 Determine un plano que pase por los puntos P0 = (1; 0; 0), P1 = (0; 1; 0) y P2 = (0; 0; 1).
Solución. (Ver la gura 5.) Denamos a = P1 P0, b = P2 P0 y
P = fP0 + ua+ v bju; v 2 Rg = fP0 + u (P1 P0) + v (P2 P0)g :
Como a = (1; 1; 0) y b = (1; 0; 1) no son paralelos, P es un plano que contiene a P0, P1 y P2; P0 resulta de hacer u = 0, v = 0; P1 resulta de hacer u = 1, v = 0; y P2 resulta de hacer u = 0, v = 1. De donde resulta que
P = f(1; 0; 0) + u(1; 1; 0) + v(1; 0; 1)g = f(1 u v; u; v)g
es un plano que pasa por los puntos (1; 0; 0), (0; 1; 0) y (0; 0; 1).
Ejemplo 4 Determine la intersección de la recta L del ejemplo 2 con el plano P del ejemplo 3.
4
Figura 4: Recta que pasa por los puntos P0 y P1:
Figura 5: Plano que pasa por los puntos P0, P1 y P2:
5
Solución. Supongamos que P es un punto de la intersección de L y P. La intersección de dos conjuntos L y P, denotada por L \ P, es el conjunto de todos los puntos que pertenecen tanto a L como a P. Si P 2 L \ P, P 2 L de modo que
P = (1; 1 + t; 2 2t) para algún t 2 R
y P 2 P de modo que
P = (1 u v; u; v) para ciertos u; v 2 R:
Por tanto, P pertenece a la intersección si y sólo si
(1; 1 + t; 2 2t) = (1 u v; u; v) para ciertos t; u; v 2 R;
es decir, si y sólo si
1 = 1 u v 1 + t = u
2 2t = v:
Por tanto,
P = (1; 1 + t; 2 2t) = (1; 4;4) = (1 u v; u; v):
Luego (1; 4;4) es el punto de intersección.
2.2.1. Ejercicios
1. Encuentre la distancia entre los siguientes pares de puntos de R3.
a) (1; 5; 3) y (0; 0; 0)
b) (2; 1;5) y (1; 0; 4) c) (x1; y1; 0) y (x2; y2; 0)
d) P0 y P0 + ta
2. Determine una recta que pasa por el punto P0 paralela a a cuando:
a) P0 = (0; 0; 0) y a = (1; 1; 1)
b) P0 = (7; 12;11) y a = (0; 0; 1) c) P0 = (3; 2;1) y a = (1; 5;4)
3. Determine en cada caso una recta que pase por los pares de puntos dados y proporciónese su ecuación paramétrica:
6
a) (0; 0; 0) y (1; 1; 1)
b) (8;3; 2) y (5; 0; 0) c) (3; 2;1) y (2; 7;5)
4. Determine un plano que pase por los puntos dados y proporcione su ecuación paramétrica:
a) (2; 3; 1), (1; 1;4) y (3; 4; 2) b) (1; 1; 1), (0; 0; 0) y (2; 0; 0)
c) (1; 1; 1), (3;2; 0) y (4; 3;1)
5. ¿Son colineales los conjuntos de puntos siguientes?
a) (0; 0; 0), (1; 1; 1) y (1;1;1) b) (2; 3;5), (0; 0; 0) y (3;2; 0) c) (1; 2; 0), (5;7; 8) y (4; 3;1)
6. Encuentre la intersección de la recta L y el plano P en cada uno de los casos siguientes:
a) L = f(1; 1; 1) + t(2; 3; 4)g, P = f(2; 3; 4) + u(1; 1; 1) + v(1; 0;2)g b) L pasa por (0; 0; 0) y (1; 1; 1) y P pasa por (2; 3; 1), (1; 1;4) y (3; 4; 2)
c) L pasa por (1; 1; 1) y (3; 2;1) y P pasa por (2; 3; 1), (1; 1;4) y (3; 4; 2)
2.3. Rectas
En esta sección demostraremos que dos puntos distintos determinan in- equívocamente una recta, es decir, que hay una recta y sólo una recta que pasa por cada par de puntos distintos de R3. Antes de probar este resultado daremos un breve repaso de las operaciones entre conjuntos y su notación. Un conjunto A se dice que es un subconjunto de un conjunto B, lo que se
escribe A B, si todo elemento de A es también un elemento de B. Decimos que dos conjuntos son iguales si y sólo si son idénticos. Así, A = B si y sólo si A B y B A. La intersección de los conjuntos A y B, escrita A \ B, es el conjunto de todos los elementos que se encuentran tanto en A como en B, es decir, en los dos a la vez. Para que la intersección de dos conjuntos sea siempre un conjunto, es necesario introducir el conjunto nulo o conjunto vacío. El conjunto vacío es el conjunto que no tiene elementos y se denota por ?. El conjunto vacío es un subconjunto de todo conjunto. La unión de los conjuntos A y B, escrita A[ B, es el conjunto de todos los elementos que están en A o en B.
Teorema 5 Para cada par de puntos distintos de R3 hay una y sólo una recta que pasa por ellos.
7
Prueba. Sean P1 y P2 un par de puntos distintos de R3. Entonces
L = fP1 + t (P2 P1)j t 2 Rg
es una recta que pasa por P1 y P2. Supongamos que
L0 = fP0 + saj s 2 Rg
es una recta que pasa por P1 y P2. Deseamos demostrar que L0 = L. Como P1 y P2 son puntos en L0 existen números reales distintos s1 y s2 tales que P1 = P0 + s1 a y P2 = P0 + s2 a. Si P 2 L, entonces, para algún t 2 R
P = P1 + t (P2 P1) = P0 + s1 a+t(s2 s1)a = P0 + [s1 + t(s2 s1)]a:
Así, P 2 L0 y L L0. Recíprocamente, si P 2 L0, entonces para algún s 2 R
P = P0 + sa = P1 s1 a+sa = P1 + s s1 s2 s1
(P2 P1):
Luego, P 2 L y L0 L. Como L0 L y L L0, tenemos L0 = L.
Denición 6 Dos rectas
L1 = fP1 + saj s 2 Rg y L2 = fP2 + tbj t 2 Rg
se dicen paralelas si los vectores a y b son paralelos.
Corolario 7 Para todo punto P1 2 R3 y toda recta L = fP0 + saj s 2 Rg, hay una y solamente una recta que pasa por P1 paralela a L.
Prueba. L1 = fP1 + taj t 2 Rg es una recta que pasa por P1 y es paralela a L. Sea L2 = fP2 + ubju 2 Rg otra recta que pasa por P1 y es paralela a L. Como P1 2 L2, existe un número real u1 tal que
P1 = P2 + u1 b:
Además, L2 paralela a L implica que a = rb para algún r 2 R. De donde
P1 + a = P2 + u1 b+ a
= P2 + u1 b+r b
= P2 + (u1 + r)b
y P1 + a 2L1 \ L2. Como P1 y P1 + a son puntos distintos de L1 \ L2, de acuerdo con el teorema 5, L1 = L2.
Corolario 8 Si L1 = fP1 + saj s 2 Rg y L2 = fP2 + tbj t 2 Rg son rectas paralelas, entonces L1 = L2 o L1 \ L2 = ?.
8
Prueba. Supongamos que L1\L2 6= ? y sea P0 un punto de L1\L2. Entonces existen números reales s0 y t0 tales que
P0 = P1 + s0 a = P2 + t0 b:
Además, como L1 y L2 son paralelas, a = rb para algún r 2 R. De donde
P0 + a = P1 + s0 a+ a = P2 + t0 b+ a
, P0 + a = P1 + (s0+1)a = P2 + t0 b+rb
, P0 + a = P1 + (s0+1)a = P2 + (t0 + r)b
y P0 + a 2L1 \ L2. Como P0 y P0 + a son puntos distintos en L1 y en L2, según el teorema 5, L1 = L2.
Corolario 9 Si las rectas L1 y L2 no son paralelas, entonces L1 \ L2 = ? o consiste en un solo punto.
Prueba. Si L1 \ L2 contiene más de un punto, entonces de acuerdo con el teorema 5, tendríamos que L1 = L2. Sin embargo L1 y L2 no son paralelas y no pueden por tanto coincidir. De esta manera, L1 \L2 no puede contener más de un punto.
Ejemplo 10 Determine si las siguientes rectas son paralelas o no y diga cual es su intersección.
L1 = f(1; 3;2) + t(3;6; 9)g ; L2 = f(2; 1; 7) + s(2; 4;6)g
Solución. Las rectas son paralelas si hay un número real r tal que
(3;6; 9) = r(2; 4;6):
Es decir, si 3 = 2r, 6 = 4r y 9 = 6r. Estas ecuaciones se satifacen por r = 3
2 , por lo que las rectas son paralelas. Como las rectas son paralelas, según el corolario 8 L1 = L2 o L1 \ L2 = ?. El punto P1 = (1; 3;2) 2 L1. Si P1 2 L2, entonces L1 = L2 y si P1 =2 L2, entonces L1 \ L2 = ?. Si P1 2 L2, entonces para algún s 2 R,
(1; 3;2) = (2; 1; 7) + s(2; 4;6)
o (1; 3;2) (2; 1; 7) = s(2; 4;6)
o (1; 2;9) = (2s; 4s;6s):
Esta última ecuación es equivalente a las tres ecuaciones:
1 = 2s; 2 = 4s; 9 = 6s:
Como no hay un número s que satisfaga simultáneamente estas tres ecuaciones, P1 =2 L2. Así que L1 \ L2 = ?.
9
Ejemplo 11 Determine si las rectas siguientes son o no paralelas y determine su intersección.
L1 = f(1; 3;2) + t(3;6; 9)g ; L2 = f(2; 1; 7) + s(1;3; 4)g :
Solución. Las rectas son paralelas si hay un número real r tal que
(3;6; 9) = r(1;3; 4):
Como no hay un número r que satisfaga esta ecuación, L1 y L2 no son paralelas. Luego, por el corolario 9 L1 \ L2 = ? o L1 \ L2 contiene un solo punto. Si L1 \ L2 6= ? hay un punto P0 2 L1 \ L2. Es decir, hay números t; s 2 R tales que
P0 = (1; 3;2) + t(3;6; 9) = (2; 1; 7) + s(1;3; 4) o
t(3;6; 9) s(1;3; 4) = (2; 1; 7) (1; 3;2) o
(3t;6t; 9t) (s;3s; 4s) = (1;2; 9) o
(3t s;6t+ 3s; 9t 4s) = (1;2; 9): Esta ecuación es equivalente a las tres ecuaciones :
3t s = 1
6t+ 3s = 2 9t 4s = 9:
Resolviendo las dos primeras ecuaciones para s y t, encontramos que s = 0 y t = 1
3 . Como estos valores no satisfacen la tercera ecuación, no hay ninguna solución para el sistema y L1 \ L2 = ?.
Denición 12 es un ángulo entre las rectas L1 y L2 si para ciertos vectores no nulos a y b, L1 = fP1 + sag, L2 = fP2 + tbg, y es el ángulo entre a y b.
Hablaremos de ángulo entre dos rectas aun en el caso de que no se intersecten.
Ejemplo 13 Encuentre un ángulo entre las dos rectas del ejemplo 11.
Solución. Sean a = (3;6; 9) y b = (1;3; 4). Si es el ángulo entre a y b, entonces
cos = a b jaj jbj =
3 + 18 + 36
= 57
6 p 91 = 0;99587
y tiene como medida en grados 5 12 0 o 354 48 0: A veces es conveniente expresar los vectores de V3 en términos de los vectores
unitarios (ver la gura 6).
i = (1; 0; 0); j = (0; 0; 1); k = (0; 0; 1): (1)
10
Figura 6: u = (cos; cos; cos ):
Estos vectores apuntan en las direcciones positivas de los ejes X, Y y Z, respectivamente. Para cualquier vector a 2 V3, tenemos
a = (a1; a2; a3) = (a1; 0; 0) + (0; a2; 0) + (0; 0; a3)
= a1(1; 0; 0) + a2(0; 1; 0) + a3(0; 0; 1)
o bien, a = a1i+a2j+a3k: (2)
Sea a = (l;m; n) un vector no nulo paralelo a una recta L. Los números l, m, n se llaman números directores de la recta L. Sea el ángulo entre i y a; el ángulo entre j y a; y el ángulo entre k y a (ver la gura 6). Los ángulos , y se llaman ángulos directores de L y a los cosenos cos, cos, y cos se les denomina cosenos directores de L. Si u es el vector unitario en la dirección de a, entonces
u = a
;
cos = i u; cos = j u; cos = k u; (3)
u = (cos; cos; cos ) (4)
cos2 + cos2 + cos2 = 1: (5)
Sean 1, 1 y 1 los ángulos directores de la recta L1 y sean 2, 2 y 2 los ángulos directores de la recta L2. Si los ángulos de dirección de L1 y L2 están
11
determinados por los vectores a1 y a2, respectivamente, y es el ángulo entre a1 y a2, entonces
cos = cos1 cos2 + cos1 cos2 + cos 1 cos 2: (6)
2.3.1. Ejercicios
1. Sean
L1 = f(2; 1; 4) + r(1; 1; 1)g L2 = f(1;1; 4) + s(2;1; 3)g L3 = f(1;2; 5) + t(1;3; 4)g L4 = f(3;2; 7) + u(6;3; 9)g L5 = f(3; 2; 3) + v(2;2;2)g :
Determine si son o no paralelas las rectas siguientes y determine su inter- sección:
a) L1 y L2 b) L1 y L3 c) L1 y L4 d) L1 y L5 e) L2 y L3 f ) L2 y L4
2. Identique el conjunto de todos los puntos P = (x; y; z) que satisfacen
x 3 2
3. Determine:
a) Los ángulos entre una recta paralela al vector (1; 1; 1) y los ejes de coordenadas.
b) Los ángulos entre la recta que pasa por los puntos (1; 0; 1) y (0; 1; 0) y los ejes de coordenadas.
c) El ángulo entre las rectas del inciso (a) y (b).
4. Determine:
a) Las rectas que pasan por el origen con ángulos directores = 45 , = 60 :
b) Las rectas que pasan por el punto (2; 7; 13) con ángulos directores = = 45 :
12
c) Las rectas que pasan por el origen con ángulos directores = = :
5. Demuestre que los vectores unitarios i, j, y k satisfacen las relaciones:
a) i i = j j = k k = 1 b) i j = j k = k i = 0
2.4. El producto vectorial
El plano P = fP0 + ua+ vbju; v 2 Rg puede describirse como el conjunto de todos los puntos P tales que PP0 es ortogonal a un vector n donde n es ortogonal tanto a a como a b. En esta sección mostraremos la manera en que un vector n puede determinarse dados los vectores a y b. Para este n introducimos una operación entre vectores de V3 a la que llamamos producto vectorial. Cuando se aplica a vectores a y b se produce un vector que es ortogonal tanto a a como a b. Aparte de este uso geométrico para la descripción de un plano, el producto vectorial tiene otras aplicaciones importantes en geometría y en física.
Denición 14 El producto vectorial de dos vectores a = (a1; a2; a3) y b = (b1; b2; b3) de V3, denotado por a b, lo que se lee "a cruz b", es el vector denido por
a b = (a2b3 a3b2; a3b1 a1b3; a1b2 a2b1):
El producto vectorial a b es un vector y como
a (a b) = a1(a2b3 a3b2) + a2(a3b1 a1b3) + a3(a1b2 a2b1) = a1a2b3 a1a3b2 + a2a3b1 a2a1b3 + a3a1b2 a3a2b1 = 0
y
b (a b) = b1(a2b3 a3b2) + b2(a3b1 a1b3) + b3(a1b2 a2b1) = 0;
a b es ortogonal tanto a a como a b. Las propiedades fundamentales del producto vectorial son: Para cualesquiera a, b, c 2 V3 y todo r 2 R,
a b = b a (7)
(ra) b = r(a b) (8)
a (b+ c) = a b+ a c: (9)
La ecuación 7 nos dice que el producto vectorial no es conmutativo; la ecuación 8 muestra la relación entre la multiplicación por un número real y el producto vectorial; y la ecuación 9 nos dice que el producto vectorial es distributivo re- specto a la adición. Es fácil construir ejemplos que nos muestran que, en general, a (b c) 6= (a b) c, es decir, que la ley asociativa no se verica.
13
Los vectores unitarios i = (1; 0; 0), j = (0; 1; 0), y k = (0; 0; 1) satisfacen las relaciones
i i = j j = k k = 0 i j = k = j i j k = i = k j (10)
k i = j = i k:
Las ecuaciones 10 son fáciles de recordar. Los productos i j = k, j k = i, y k i = j se corresponden con las permutaciones cíclicas de fi; j;kg, a saber, fi; j;kg, fj;k; ig y fk; i; jg. Usando las propiedades 8 y 9 y los resultados de 10, podemos obtener el producto vectorial de dos vectores cualesquiera de V3 como sigue:
a b = (a1i+ a2j+ a3k) (b1i+ b2j+ b3k) = a1b1(i i) + a1b2(i j) + a1b3(i k) + a2b1(j i) + a2b2(j j)
+a2b3(j k) + a3b1(k i) + a3b2(k j) + a3b3(k k) = (a2b3 a3b2)i+ (a3b1 a1b3)j+(a1b2 a2b1)k:
Una representación más conveniente del producto vectorial es mediante el uso de determinantes. Escribimos:
a b =
= i a2 a3 b2 b3
+ j a3 a1 b3 b1
+ k a1 a2 b1 b2
= i (a2b3 a3b2) + j(a3b1 a1b3) + k(a1b2 a2b1): (11)
Se ha señalado anteriormente que el producto vectorial ab es ortogonal tanto a a como a b. La longitud del vector ab tiene un signicado geométrico. Cal- culando el cuadrado de la longitud de ab obtenemos, por el álgebra elemental,
ja bj2 = (a2b3 a3b2)2 + (a3b1 a1b3)2 + (a1b2 a2b1)2
= (a21 + a 2 2 + a
2 3)(b
es decir, ja bj2 = jaj2 jbj2 (a b)2 : (12)
Sabemos que a b = jaj jbj cos ;
donde es un ángulo entre a y b. Así, si tomamos como el ángulo 0 entre a y b (ver gura 7), tenemos
ja bj2 = jaj2 jbj2 (1 cos2 ) = jaj2 jbj2 sen2
y ja bj = jaj jbj sen ; (13)
14
Figura 7: Una interpretación geométrica de ja bj.
donde sen 0 ya que 0 . Como jbj sen es la altura del paralelogramo de lados a y b (ver la gura 7), hemos demostrado que la longitud de a b es el área del paralelogramo de lados a y b: La ecuación 13 sugiere el siguiente teorema.
Teorema 15 Dos vectores a;b 2 Vn son paralelos si y sólo si a b = 0:
Prueba. a b = 0 si y sólo si ja bj2 = 0. De acuerdo con la ecuación 12 vemos que esto es equivalente a (a b)2 = jaj2 jbj2 o ja bj = jaj jbj. Esta última igualdad es la igualdad de la desigualdad de Schwarz y ya hemos probado que en la desigualdad de Schwarz sólo se verica la igualdad si a y b son paralelos.
2.4.1. Ejercicios
1. Sean a = (5;2; 4), b = (2; 11;1) y c = (7; 6; 9). Calcúlese:
a) a b b) b a c) a c d) a (b+ c) e) (2a) (3b) f ) ja bj g) a (b c) h) (a b) (a c)
15
i) a (a b) j ) a (a b) k) a (b c) l) (a+ b) (a c)
2. Demuestre la identidad:
a (b c) = (a c)b (a b)c:
3. Utilizando la identidad del inciso 2 y el teorema 15, pruebe que: a ortogonal tanto a b como a c implica a paralelo a b c.
4. Determine los vectores no nulos ortogonales a:
a) (1; 0; 0) y (0; 1; 0)
b) (2;3; 4) y (1; 5; 7) c) (2; 6;4) y (3; 9;6)
5. Pruebe 7, 8 y 9.
6. Usando la ecuación 10 encuentre i (i j) e (i i) j para demostrar con ello que la ley asociativa no se verica para el producto vectorial.
7. Demuestre que: a = (a1; a2) y b = (b1; b2) son paralelos si y sólo si a1 a2 b1 b2
= a1b2 a2b1 = 0: 8. Calcule el área del paralelogramo de lados:
a) (5; 3; 0) y (3; 7; 0)
b) i j+ 5k y 2i+ 4j 8k c) (4; 13;11) y (8;10; 21) d) 2i+ 3j+ 5k y i 2k
9. Calcule el área de los triángulos con vértices:
a) (0; 0; 0), (1; 0; 0), (3; 8; 0)
b) 5i 4j, 12k 5j, 8i+ 7j c) (0; 0; 0), (1; 0; 1), (0; 1; 1)
16
2.5. El triple producto escalar
Dados tres vectores cualesquiera a, b, y c en V3, entonces como b c es un vector, podemos formar el producto escalar de a con b c. A este producto le llamamos "triple producto escalar".
Denición 16 Dados tres vectores a, b, y c en V3, el triple producto escalar de a, b, y c, denotado por [abc], se dene por
[abc] = a (b c):
Observe que expresiones tales como (a b) c) no tienen signicado alguno, ya que a b es un número real y el producto vectorial es una operación entre pares de vectores en V3. El triple producto escalar [abc] puede expresarse simplemente en términos
de un determinante 3 3:
[abc] = a (b c) = (a1; a2; a3) (b2c3 b3c2; b3c1 b1c3; b1c2 b2c1)
= a1
=
: Mediante cálculo directo puede demostrarse que
[abc] = a (b c) = b (c a) = c (a b): (14)
Como el producto escalar es conmutativo, la ecuación 14 puede reformularse como
[abc] = (b c) a =(c a) b =(a b) c: (15)
Esta última expresión muestra que el triple producto escalar no cambia por permutaciones cíclicas de los vectores:
[abc] = [bca] = [cab]
y de la ecuación 15 se deduce que para expresar [abc] podemos colocar el punto y la cruz en cualquiera de las dos posiciones: [abc] = a (b c) =(a b) c. El triple producto escalar puede usarse para describir la orientación de R3.
Si a, b, y c son tres vectores mutuamente ortogonales y [abc] > 0, entonces decimos que a, b, y c es una terna positivamente orientada. Por ejemplo, los tres vectores unitarios i, j, y k forman una terna positivamente orientada, ya que
[ijk] = i (j k) = i i = 1 > 0: Ya hemos admitido que i, j, y k forman un sistema levógiro. Así, esto implica que la orientación levógira tiene una orientación positiva. Luego, si a, b, y c forman una terna positivamente orientada de vectores mutuamente ortogonales,
17
Figura 8: Terna positivamente orientada.
entonces la rotación de b a c de un ángulo igual a =2 es contraria al giro de las manecillas del reloj cuando se ve desde a. La noción de una terna orientada puede extenderse a cualesquiera tres vec-
tores a, b, y c no necesariamente ortogonales: a, b, y c constituyen una terna positivamente orientada si [abc] > 0. Consideremos ahora la terna b c, b, c donde b y c no son paralelos. Entonces
[(b c)bc] = (b c) (b c) = jb cj2 > 0:
Como hemos supuesto que la orientación levógira es la orientación positiva, tenemos que el giro de un ángulo de b a c donde 0 < < es contrario al giro de las manecillas del reloj cuando se ve desde b c (ver gura 8). Para obtener una interpretación geométrica de una terna arbitraria positi-
vamente orientada a, b, y c construimos a, b, y c con el mismo punto inicial P0 (ver gura 8) y denominamos P al plano que pasa por P0 determinado por b, y c. Como
[abc] = a (b c) = jb cjComp(bc) a;
vemos que la orientación positiva implica que Comp(bc) a > 0, y por tanto, que Proy(bc) a y b c apuntan en la misma dirección. Es decir, si a, b, y c forman una terna positivamente orientada, a y b c se encuentran en el mismo lado del plano P. Si la terna de vectores a, b y c está positivamente orientada, entonces [abc]
es el volumen del paralelepípedo de lados a, b y c (ver gura 9). El volumen de un paralelepípedo es el área de la base por la altura. La base es un paralelogramo de lados b y c y, por tanto, su área es jb cj. Ahora, la altura es Comp(bc) a, luego
Volumen = jb cjComp(bc) a = a (b c) = [abc] :
18
Figura 9: Volumen de un paralelepípedo.
Si [abc] < 0, entonces [abc] es el volumen del paralelepípedo de lados a, b y c.
Ejemplo 17 Encuentre el volumen del paralelepípedo de lados a = (2; 3;1), b = (3;7; 5), y c = (1;5; 2).
Solución. Como
= 27; el volumen del paralelepípedo es 27.
Ejemplo 18 Encuentre el volumen del tetraedro de lados a = (2; 3;1), b = (3;7; 5), y c = (1;5; 2).
Solución. El volumen de un tetraedro es un tercio del área de la base por la altura. La base es un triángulo con lados b y c y su área es exactamente la mitad del área del paralelogramo de lados b y c. De donde el área de la base es 1 2 jb cj y el volumen del tetraedro es
V = 1 3 (área de la base)(altura)
= 1 3
9 2 .
1. Demuestre que:
a) a a = 0 b) a (b c) = b (c a) = c (a b) c) a (b c) = b (a c) d) a (a b) = 0
2. Determine los volúmenes de los paralelepípedos de aristas:
a) 3i, 4j, 8k
b) (2;3; 4), (1; 1; 1), (1;4; 7) c) (2; 6;4), (3; 2; 7), (2; 4; 3) d) 3i+ 4k, i+ k, 2j+ 4k
3. Determine los volúmenes de los tetraedros de aristas:
a) (2; 2; 4), (1; 5; 2), (1; 0; 1)
b) (5; 0; 16), (1;1; 1), (8; 2; 3) c) (2; 6;4), (1; 1; 1), (1;4; 3)
2.6. Independencia lineal de vectores
Denición 19 Un conjunto fa1; : : : ;akg de k vectores en Vn se dice que es linealmente independiente si
r1a1 + + rkak = 0 (ri 2 R)
implica r1 = = rk = 0. Si fa1; : : : ;akg no es linealmente independiente se dice que es linealmente dependiente.
Un conjunto k de vectores fa1; : : : ;akg es linealmente dependiente si y sólo si hay k números reales r1, : : :,rk no todos iguales a cero, tales que
r1a1 + + rkak = 0:
La expresión r1a1+ +rkak donde r1, : : :,rk 2 R se denomina una combinación lineal de los vectores a1; : : : ;ak. Con frecuencia nos permitimos ciertas libertades de lenguaje y en lugar de
decir que el conjunto de vectores fa1; : : : ;akg es linealmente independiente (o dependiente), decimos que los vectores a1; : : : ;ak son linealmente independientes (o linealmente dependientes). Si dos vectores a y b son linealmente dependientes, entonces hay dos números
s, t, que no son ambos iguales a cero, tales que
sa+ tb = 0:
20
Si s 6= 0, entonces a = t sb mientras que si t 6= 0, entonces b = s
ta. En cualquier caso, vemos que la dependencia lineal de dos vectores a y b implica que a y b son vectores paralelos. Recíprocamente, si a y b son vectores paralelos (a = rb), entonces son linealmente dependientes (1a rb = 0). Luego, la dependencia lineal de dos vectores es equivalente a que los dos vectores sean paralelos. Si tres vectores a, b y c de V3 son linealmente dependientes, entonces hay
tres números r, s, t no todos iguales a cero, tales que
ra+ sb+ tc = 0:
Si r 6= 0, entonces a = s rb
t rc y a es una combinación lineal de b y c.
Si b y c no son paralelos (son linealmente independientes), entonces b y c determinan un plano P que pasa por un punto dado P0 2 R3 y a es también paralelo a P. (Decimos que un vector a es paralelo a un plano P si para cualquier punto P0 2 P la recta fP0 + tag P.) Si b y c son paralelos (son linealmente dependientes), entonces a es también paralelo a b y c, por lo que hay muchos planos por cualquier punto P0 2 R3 a los que a, b y c son paralelos. Análogamente, si s 6= 0, entonces b es una combinación lineal de a y c, y
si t 6= 0, entonces c es una combinación lineal de a y b. En cualquiera de los casos, hay al menos un plano P por cualquiera de los puntos P0 2 R3 tal que a, b y c son paralelos a P. Recíprocamente, si tres vectores son paralelos a un mismo plano, puede demostrarse que son linealmente dependientes. De donde la dependencia lineal de tres vectores es equivalente a que los tres vectores sean paralelos a un mismo plano. Posteriormente, en la sección 2.10 demostraremos que cualquier conjunto de
más de tres vectores en V3 es linealmente dependiente. Si algún subconjunto de un conjunto de k vectores es linealmente dependi-
ente, entonces el conjunto total de k vectores es linealmente dependiente. Supongamos que
r1a1 + + rjaj = 0 (j k) (16)
con no todos los ri iguales a cero y consideremos la ecuación
r1a1 + + rjaj + rj+1aj+1 + + rkak = 0: (17)
Deseamos demostrar que es posible escoger coecientes r1; : : : ; rk no todos cero, tales que la ecuación 17 se verique. Podemos escoger r1; : : : ; rj , no todos cero, tales que la ecuación 16 se verique, y escoger rj+1 = = rk = 0. Entonces, tenemos que los coecientes r1; : : : ; rk de la ecuación 17 no todos son cero, y por tanto, el conjunto fa1; : : : ;aj ;aj+1; : : : ;akg es linealmente dependiente. Cualquier conjunto de vectores que contiene el vector cero es linealmente
dependiente, pues podemos escoger coecientes no todos cero tales que la corre- spondiente combinación lineal sea igual al vector cero. En particular, podemos tomar todos los coecientes de los vectores que no son el vector cero iguales a cero y tomar el número uno como el coeciente del vector cero.
21
Ahora comprobaremos que el triple producto escalar proporciona un medio conveniente para comprobar la dependencia o independencia lineal de tres vec- tores en V3. Como hemos señalado antes, el valor absoluto de [abc] es el volumen de un paralelepípedo con aristas a, b y c y es claro, geométricamente, que este volumen es cero si y solo si a, b y c son paralelos a algún plano. Por otra parte, que tres vectores sean paralelos a un plano es equivalente a la dependencia lineal de los tres vectores.
Teorema 20 Tres vectores a, b y c 2 V3 son linealmente dependientes si y sólo si [abc] = a (b c) = 0.
Prueba. Probamos primero que a, b y c linealmente dependientes implica [abc] = 0. Si b y c son linealmente dependientes, entonces a, b y c son linealmente dependientes. Entonces, por el teorema 15 b c = 0 y [abc] = a (b c) = a 0 = 0. Si b y c son linealmente independientes mientras que a, b y c son linealmente dependientes, entonces
a = sb+ tc para algunos s; t 2 R:
De donde, como tanto b como c son ambos ortogonales a b c,
[abc] = a (b c) = (sb+ tc) (b c) = s(b(b c)) + t(c (b c)) = 0:
Recíprocamente, supongamos que [abc] = 0. Entonces el vector b c es ortogonal a a, puesto que a (b c) = 0. Además, b c es ortogonal a b. Por tanto, de acuerdo al ejercicio 3 de la página 16, b c es paralelo a a b. Consideramos dos casos: Caso 1. Si a b = 0, entonces a y b son linealmente dependientes y, por
tanto, a, b y c son linealmente dependientes. Caso 2. Si a b 6= 0, entonces para algún r 2 R
b c = r(a b):
De donde, reordenando, tenemos
o bien, b (c+ ra) = 0:
Por tanto, b y c+ ra son paralelos. Pero b 6= 0 y, por tanto, para algún s 2 R
c+ ra = sb:
Lo que demuestra que a, b y c son linealmente dependientes.
Ejemplo 21 ¿Son los vectores a = (1; 2;2), b = (0; 3; 1) y c = (1; 1; 3) linealmente dependientes?
22
= 1
= 1(9 1) + 2(1 0) 2(0 + 3) = 0;
los vectores son linealmente dependientes. Realmente, a = b c.
2.6.1. Ejercicios
1. Determine la dependencia o independencia lineal de los siguientes vectores:
a) (2; 5;1), (3;7; 0), (0; 29;3) b) (12; 52;9), (2; 6;1), (1;5; 2) c) (3;7; 5), (6;5; 2), (1;1;1)
2. Demuestre que si a, b y c son linealmente dependientes mientras que b y c son linealmente independientes, entonces hay números reales s; t tales que a = sb+ tc.
3. Demuestre que el sistema homogéneo
a1x+ b1y + c1z = 0
a2x+ b2y + c2z = 0
a3x+ b3y + c3z = 0
tiene soluciones no triviales [es decir, (x; y; x) 6= (0; 0; 0)] si y sólo si a1 b1 c1 a2 b2 c2 a3 b3 c3
= 0: Sugerencia: El sistema de ecuaciones es equivalente a la ecuación vectorial xa+ yb+ zc = 0. Utilice el teorema 20 y que
a1 b1 c1 a2 b2 c2 a3 b3 c3
= a1 a2 a3 b1 b2 b3 c1 c2 c3
: 4. Demuestre que si a1; : : : ;ak son linealmente independientes, entonces
r1a1 + + rkak = s1a1 + + skak
23
Figura 10: Ecuación del plano.
5. Demuestre que k vectores son linealmente dependientes si y sólo si uno de los vectores es una combinación lineal de los otros.
6. Establezca las siguientes identidades:
a) (a+ b) [(a c) (a+ b)] = 0 b) a [a (a b)] = (a a)(b a) c) (a b) (c d) = [(a b) d] c [(a b) c]d d) (a b) (c d) = (a c)(b d) (a d)(b c)
2.7. La ecuación del plano
Consideremos el plano (ver gura 10)
P = fP0 + ua+ vbju; v 2 Rg : (18)
P es el plano que pasa por P0 determinado por el par de vectores no paralelos a y b. Cualquier vector no nulo ortogonal a a y b se llama vector normal a P (o simplemente, una normal a P). Así, a b es un vector normal a P y cualquier otro vector normal es paralelo a a b.
Lema 22 Si n es un vector normal al plano P = fP0 + ua+ vbju; v 2 Rg y P1;P2 2 P entonces n, es ortogonal a P2 P1.
Prueba. P1;P2 2 P implica
P1 = P0 + u1a+ v1b y P2 = P0 + u2a+ v2b
para algunos u1; v1; u2; v2 2 R. Por tanto,
P2 P1 = (u2 u1)a+ (v2 v1)b:
24
Como n es ortogonal tanto a a como a b, es claro que
n (P2 P1) = 0:
Esto completa la prueba.
Lema 23 Si n es un vector normal al plano P = fP0 + ua+ vbju; v 2 Rg y PP0 es ortogonal a n, entonces P 2P.
Prueba. Como n = r(a b) y r 6= 0, PP0 ortogonal a n implica
(PP0) (a b) = 0:
De acuerdo con el teorema 20 (página 22), esto implica que PP0, a y b son lin- ealmente dependientes. Como a y b son linealmente independientes, concluimos que existen u; v 2 R tales que
PP0 = ua+ vb:
Por tanto, P = P0 + ua+ vb y P 2P. De los lemas 22 y 23 se deduce el siguiente teorema.
Teorema 24 Si n es un vector normal al plano
P = fP0 + ua+ vbju; v 2 Rg
entonces P = fPjn (PP0) = 0g
y P es el único plano que pasa por P0 con vector normal n.
Prueba. Sea S = fPjn (PP0) = 0g. Deseamos demostrar que S = P. Según el lema 22, si P 2 P, entonces PP0 es ortogonal a n y n (PP0) = 0: De donde P 2 P implica P 2 S de modo que P S. Recíprocamente, si P 2 S entonces PP0 es ortogonal a n y según el lema 23 P 2 P. Por tanto, S P. Luego S = P. Para demostrar que P es el único plano que pasa por P0 con vector normal
n, supongamos que P 0 = fP00 + sc+ tdj s; t 2 Rg
es otro plano que pasa por P0 y tiene también a n como vector normal . Entonces
P 0 = fPjn (PP00) = 0g :
Como P0 2 P 0, n (P0 P00) = 0 o, lo que es lo mismo, n P0 = n P00. De donde n (PP0) = n (PP00) para todo P 2 R3 y en particular
P 0 = fPjn (PP00) = 0g = fPjn (PP0) = 0g = P:
Esto completa la prueba.
La ecuación n (PP0) = 0 (19)
se llama ecuación vectorial del plano P. Hemos demostrado que si P es un plano que pasa por P0 y tiene a n como
vector normal, entonces n (PP0) = 0 es una ecuación vectorial de P. Recíp- rocamente, ahora demostraremos que toda ecuación vectorial n (PP0) = 0 (n 6= 0) es la ecuación vectorial de un plano que pasa por P0.
Teorema 25 Para todo vector n distinto de cero y todo punto P0, n(PP0) = 0 es una ecuación vectorial de un plano que pasa por P0 y tiene a n como vector normal.
Prueba. Deseamos demostrar que
S = fPjn (PP0) = 0g
es un plano que pasa por P0 y tiene a n como vector normal. Necesitamos demostrar tan solo que existen vectores linealmente independientes a y b ambos ortogonales a n. Entonces, n es un vector normal al plano
P = fP0 + ua+ vbju; v 2 Rg
y, por el teorema 24, S = P. Sea n = (n1; n2; n3). Como n 6= 0, al menos uno de sus componentes es
distinto de cero. Supongamos que n1 6= 0. Entonces
a = (n2; n1; 0)
es un vector distinto de cero ortogonal a n. Como a y n son vectores ortogonales distintos de cero, son linealmente independientes. Entonces, b = n a es un vector distinto de cero ortogonal a n y a a. Luego, a y b son vectores linealmente independientes cada uno de los cuales es ortogonal a n. Esto completa la prueba.
Corolario 26 Toda ecuación vectorial n P = d (n 6= 0) es una ecuación de un plano que tiene a n como vector normal.
Prueba. Si la ecuación n P = d tiene una solución P0, entonces n P0 = d. De donde n P = d = n P0 es equivalente a n (PP0) = 0, y sabemos que esta es una ecuación de un plano. Queda por probar que la ecuación n P = d tiene una solución. Sea n = (a; b; c). Como n 6= 0, al menos uno de sus componentes es distinto de cero. Deseamos encontrar un punto P = (x; y; z) que satisfaga a
ax+ by + cz = d:
Claramente, como al menos uno de los números a; b; c es distinto de cero, la ecuación tiene soluciones; por ejemplo, (d=a; 0; 0) si a 6= 0, (0; d=b; 0) si b 6= 0, o (0; 0; d=c) si c 6= 0. Esto completa la prueba.
26
Como en la prueba anterior, sea n = (a; b; c) 6= 0 y P = (x; y; z). Entonces
n P = ax+ by + cz;
y escrita en términos de componentes la ecuación vectorial n P = d toma la forma
ax+ by + cz = d: (20)
Así, el conjunto P = f (x; y; z)j ax+ by + cz = dg de todas las soluciones a 20 es un plano con normal n = (a; b; c); la ecuación 20 se denomina ecuación lineal del plano P. Luego, toda ecuación lineal en x; y; z es la ecuación de un plano.
Ejemplo 27 Identique cada uno de los siguientes planos:
1. 3(x 5) 2(y + 4) + 4(z 2) = 0
2. 2x+ 3y = 2
3. x 2y + z = 0:
Solución. Un plano queda inequívocamente determinado por una normal n y un punto P0 del plano, así que n y P0 identican un plano.
1. n = (3;2; 4), P0 = (5;4; 2):
2. n = (2; 3; 0), P0 = (1; 0; 0):
3. n = i 2j+ k, y el plano pasa por el origen.
Ejemplo 28 Determine la recta que pasa por el punto (1;5; 6) paralela a la normal al plano que contiene a los puntos (0; 1; 2), (3; 2; 6) y (2; 0; 5):
Solución. Sea a = (3; 2; 6) (0; 1; 2) = (3; 1; 4) y b = (2; 0; 5) (0; 1; 2) = (2;1; 3), n = a b es una normal al plano P. Luego
n =
i j k 3 1 4 2 1 3
= 7i 17j k = (7;17;1): De donde L = f(1;5; 6) + t(7;17;1)g = f(1 + 7t;5 17t; 6 t)g es la recta.
Teorema 29 Tres puntos no colineales determinan un plano único.
Prueba. Sean P0, P1 y P2 tres puntos no colineales. Entonces P1 P0 y P2 P0 son linealmente independientes. Luego,
P = fP0 + u(P1 P0) + v(P2 P0)g
es un plano que pasa por los puntos P0, P1 y P2 (lema 22 y ejercicio 3, página 16). Luego, de acuerdo con el teorema 24, P es el único plano que pasa por los puntos no colineales P0, P1 y P2.
27
2.7.1. Ejercicios
1. Determine una normal a cada uno de los siguientes planos.
a) El plano cuyas ecuaciones paramétricas son
x = 2 3t+ s y = 8t+ 7s
z = 4 + 3s:
b) El plano P = f (6; t; s t)j t 2 Rg :
c) El plano
P = f (6 u+ 3v; 8 + 2u+ 3v;1 + v)ju; v 2 Rg :
d) El plano que pasa por los puntos (1; 0; 0), (0; 1; 0) y (0; 0; 1):
e) El plano que pasa por los puntos (2;1; 3), (11;13; 6) y (5; 5; 5):
2. Determine una ecuación para cada uno de los siguientes planos:
a) El plano que pasa por el origen con normal (1; 1; 1):
b) El plano que pasa por el punto (0; 0; a) con normal paralela al eje Z.
c) El plano que pasa por el punto (1;4; 3) con normal paralela a la recta que pasa por (2;1; 3) y (4; 8; 0).
d) El plano que contiene la recta L = f(1; 2 + 3t; 2 + t)g y el punto (2;3; 8):
3. Proporcione una ecuación para cada uno de los planos del problema 1.
4. Identique el plano cuya ecuación es:
a) 3x 5y + z = 0 b) 3(x 2) + 5(y + 3) 8z = 0 c) z = 6
d) 2x+ 3y 8z = 13 e) 5x 7y + 12z = 8:
28
2.8. Intersección de planos
Discutiremos el problema de la determinación de la intersección de dos planos. El carácter de esta intersección depende de que los planos sean o no paralelos.
Denición 30 Se dice que dos planos son paralelos si sus normales son parale- las.
Si dos planos paralelos P1 y P2 tienen normales n1 y n2, respectivamente, entonces n1 y n2 son vectores paralelos no nulos. Ahora bien, como cualquier vector no nulo paralelo a n1 es normal a P1, n2 es también un vector normal a P1. Análogamente, n1 es un vector normal a P2. Es decir, toda normal a uno de los planos de un par de planos paralelos es una normal común a los dos planos. Ahora probaremos que planos paralelos o coinciden o no tienen puntos en
común y que planos no paralelos se intersectan en una recta.
Teorema 31 Si P1 y P2 son planos paralelos, entonces P1 = P2 o bien P1 \ P2 = ?. Si P1 y P2 no son paralelos, entonces P1 \ P2 es una recta.
Prueba. Sean P1 = fP1 + ua+ vbju; v 2 Rg y P2 = fPj (PP2) n = 0g : Un punto P = P1 + ua+ vb en P1 se encuentra también en P2 si y sólo si
(P1 + ua+ vbP2) n = 0
o (a n)u+ (b n)v = (P2 P1) n: (21)
Si los planos P1 y P2 son paralelos, entonces a n = 0 y b n = 0. En este caso o bien ningún par de números u; v 2 R satisface la ecuación 21, o bien cualquier par de números u; v 2 R la satisfacen, según que (P2 P1) n sea distinto de cero o sea igual a cero. Si (P2 P1) n 6= 0, entonces no hay números u; v que satisfagan la ecuación 21 y P1 \ P2 = ?. Si (P2 P1) n = 0, entonces cualesquiera par de números u; v satisfacen la ecuación 21 y P1 P2. De lo que se sigue que P1 = P2 ya que tres puntos no colineales determinan un plano único (teorema 29). Si P1 y P2 no son paralelos, entonces a n 6= 0 o b n 6= 0. Supongamos que
a n 6= 0. Entonces la ecuación 21 puede resolverse para u en términos de v y para cada v 2 R tenemos
u = (P2 P1) n(b n)v
a n : (22)
Así, un punto P = P1+ua+ vb está en P1 \P2 si y sólo si u está determinada por 22. Es decir,
P1 \ P2 = P1 +
b b n
a na v
v 2 R y este conjunto es una recta, ya que a y b no paralelos implica b b n
a na 6= 0.
Ejemplo 32 Encuentre la intersección del plano
P1 = f (1; 1; 1) + u(2;1; 3) + v(1; 0; 2)ju; v 2 Rg
y el plano P2 cuya ecuación es
2x+ 3y z = 7:
Solución. Un punto
P = (1; 1; 1) + u(2;1; 3) + v(1; 0; 2) = (1 + 2u v; 1 u; 1 + 3u+ 2v)
en P1 se encuentra también en P2 si y sólo si
P n = (1 + 2u v; 1 u; 1 + 3u+ 2v) (2; 3;1) = 7
o bien 4 2u 4v = 7:
Luego u = 2v 3
2
y
P = (1; 1; 1) 3 2 (2;1; 3) 2v(2;1; 3) + v(1; 0; 2)
= (2; 52 ; 7 2 ) + v(5; 2;4):
La intersección de P1 y P2 es la recta
P1 \ P2 = (2; 52 ;
7 2 ) + v(5; 2;4)
v 2 R : Si dos planos están dados en forma de ecuación, entonces podemos encontrar
la intersección expresando dos de las incógnitas en términos de una tercera. La tercera incógnita pasa entonces a desempeñar el papel de parámetro en la recta de intersección.
Ejemplo 33 Encuentre los puntos de intersección de los planos 4x+3y+z = 0 y x+ y z = 15.
Solución. 4x+ 3y + z = 0 x+ y z = 15
,
x = y + z + 15 4y + 4z + 60 + 3y + z = 0
, x = y + z + 15 y = 5z + 60
, x = 5z 60 + z + 15
y = 5z + 60
30
Por tanto, los dos planos se intersectan a lo largo de la recta cuyas ecuaciones paramétricas son:
x = 4t 45 y = 5t+ 60
z = t:
(4t 45) + (5t+ 60) t = 15:
Denición 34 Un ángulo entre dos planos es un ángulo entre sus normales.
Ejemplo 35 Encuentre un ángulo entre los dos planos del ejemplo 33.
Solución. Los planos 4x + 3y + z = 0 y x + y z = 15 tienen normales n1 = (4; 3; 1) y n2 = (1; 1;1), respectivamente. Por tanto, si es un ángulo entre los dos planos, entonces
cos = n1 n2 jn1j jn2j
= 4(1) + 3(1) + 1(1)p 16 + 9 + 1
p 1 + 1 + 1
y = 47 12 0 o 312 48 0.
2.8.1. Ejercicios
a) 7x+ 2y 8z = 0
y + z = 0
b) 12x 5y + 7z = 13 9x+ y 3z = 5
c) x+ y + z = 1 x y + z = 0 x+ y z = 1
2. Determine los ángulo entre los planos 1a y 1b.
3. Determine el ángulo entre el plano que pasa por los puntos (1; 0; 0), (0; 1; 0), (0; 0; 1) y el plano cuya ecuación es 3x 5y + z = 8:
31
Introducimos el concepto de recta paralela a un plano.
Denición 36 Una recta L es paralela a un plano P si L es ortogonal a una normal a P.
Teorema 37 Si la recta L es paralela al plano P, entonces L P o L \ P = ?. Si la recta L no es paralela al plano P, entonces L \ P contiene un punto.
Prueba. Sean L = fP1 + taj t 2 Rg y P = fPjP n = dg. Un punto P = P1+ ta en L también se encuentra en P si y sólo si
(P1 + ta) n = d
o (a n)t = dP1 n: (23)
Si L es paralela a P, entonces a y n son ortogonales y a n = 0. En este caso y según que d P1 n sea distinto de cero o cero, respectivamente, o ningún número t satisface la ecuación 23 o cualquier número t satisface la ecuación 23. Si dP1 n 6= 0, entonces ningún t 2 R satisface la ecuación 23 y L \ P = ?. Si dP1 n = 0, entonces toda t 2 R satisface la ecuación 23 y L P. Si L no es paralela a P, entonces a y n no son ortogonales y a n 6= 0. En
este caso la ecuación 23 tiene la solución única
t = dP1 n a n
y el punto de intersección es
P1 + dP1 n a n a:
Ejemplo 38 Encuentre la intersección de la recta
L = f (1; 1; 1) + t(2;1; 3)j t 2 Rg
y el plano cuya ecuación es
2x+ 3y z = 7:
Solución. Un punto P = (1; 1; 1) + t(2;1; 3) en L también se encuentra en P si y sólo si
P n = (1 + 2t; 1 t; 1 + 3t) (2; 3;1) = 7 o bien
4 2t = 7: Así pues, t = 3
2 y el punto de intersección es
(1; 1; 1) 3 2 (2;1; 3) = (2;
5 2 ;
7 2 ):
32
Denición 39 La distancia de un punto Q a un plano P es la distancia de Q al punto de intersección con P de la recta que pasa por Q y es normal a P.
Ejemplo 40 Encuentre la distancia de un punto Q a un plano P.
Solución. Sea n P = d una ecuación de P. La recta L que pasa por Q normal a P tiene la ecuación
P = Q+ tn:
De acuerdo con el teorema 37, el punto de intersección de P y L es
P1 = Q+ t1 n = Q+ d n Q n n n
y la distancia es
= jd n Qj jnj : (24)
Si P0 2 P, entonces d = n P0 y podemos expresar la distancia en la forma
d(Q;P) = jn (QP0)j jnj = jProyn(QP0)j : (25)
Ejemplo 41 Encuentre la distancia del punto Q = (1;2; 4) al plano P con ecuación 2x y + 3z = 10:
Solución. Como n = (2;1; 3) es una normal al plano P, usando la ecuación 24, tenemos
d(Q;P) = jd n Qj
j(2;1; 3)j
= 6p 14 :
También podemos utilizar la ecuación 25, con n = (2;1; 3). Sea P0 un punto del plano y sea a = QP0. Entonces
d(Q;P) = jProyn aj = a njnj
= Q nP0 n jnj
= j(1;2; 4) (2;1; 3) 10jp
14 =
2.9.1. Ejercicios
1. Determine en cada caso la intersección de L y P y diga si L es o no paralela a P.
a) L = f(2; 1; 4) + t(1; 1; 1)g, P = f(2; 0; 4) + u(1; 7; 3) + v(3; 8; 0)g b) L = f(1;1; 4) + t(2;1; 3)g, P = f(6; u; v u)g c) L = f(3; 8;1) + t(1; 7; 1)g, P = f(6 u+ 3v; 8 + 2u+ 3v;1 + v)g d) L = f(3;2; 7) + t(2;1; 3)g, P es el plano que pasa por los puntos
(2;1; 3), (5;5; 4), (5; 5; 8) e) L = f(3; 2; 3) + t(2;2;2)g, P es el plano que pasa por el origen con normal (1; 1; 1)
2. Encuentre en cada caso la recta L que pasa por el punto Q y es ortogonal al plano P.
a) Q = (1; 2; 3), P = f(2; 1;1) + u(1; 1; 1) + v(1; 1; 0)g b) Q = (0; 2;2), P pasa por (2; 1;1), (3; 1; 0), (4;6; 2) c) Q = (1;1; 4), P es el plano cuya ecuación es: 2x+ y + z = 5:
3. Encuentre la distancia del punto Q al plano P en cada uno de los incisos del problema 2.
4. Encuentre la intersección de la recta
L = f(3; 1; 3) + t(1; 1;1)g
con cada uno de los planos de coordenadas.
5. Determine el punto donde la recta L que pasa por el punto (1; 3; 1) y es ortogonal al plano P: 3x 2y + 5z = 15 intersecta a P.
6. Demuestre que los planos
P1= f(2; 0; 4) + u(1; 7; 3) + v(3; 8; 0)g
y P2= f(3; 2; 3) + s(4;1; 3) + t(9; 5; 9)g
son paralelos. Encuentre la distancia entre P1 y P2 si denimos la distancia entre planos paralelos como la distancia de un punto cualquiera de un plano al otro plano.
7. Sea L la intersección de los planos con ecuaciones: 3x + y 4z = 5 y 2x+ 3y z = 4. Si P es el plano con ecuación x 2y + 3z = 1 encuentre L \ P.
34
2.10. Bases
Hemos visto que cualquier vector a 2 V3 puede expresarse en una forma única como una combinación lineal de los vectores unitarios
i = (1; 0; 0), j = (0; 1; 0), k = (0; 0; 1):
En realidad, a = (a1; a2; a3) = a1i+ a2j+ a3k:
Así, los vectores i, j, k tienen la propiedad de que todo vector de V3 puede expresarse como una combinación lineal de estos vectores unitarios. El conjunto de vectores i, j, k no es el único conjunto de vectores que tiene esta propiedad. Demostraremos que cualesquiera tres vectores linealmente independientes tienen esta propiedad.
Teorema 42 Si a, b, c 2 V3 son linealmente independientes, entonces para cada punto P 2 R3 existen números reales únicos u; v; t tales que
P = ua+ vb+ tc:
Prueba. De acuerdo con el ejercicio 4, página 23, como a, b, c son linealmente independientes, si existen números u; v; t que satisfacen
P = ua+ vb+ tc;
tales números son únicos. Que tales números existan es una consecuencia del teorema 37. Sea P = fua+ vbg y L = fP+ tcg. Como como a, b, c son linealmente independientes, L no es paralela a P. Luego, si P1 es el punto de intersección de P y L hay números u; v; t1 2 R tales que
P1 = ua+ vb = P+ t1c:
Por tanto, P = ua+ vb+ tc
donde t = t1. Como consecuencia del teorema 42, vemos que cualquier conjunto de cuatro
o más vectores en V3 es linealmente dependiente.
Denición 43 Se dice que un conjunto fa1; : : : ;akg de vectores de Vn es una base de Vn si
1. fa1; : : : ;akg es linealmente independiente y
2. todo vector de Vn puede expresarse como una combinación lineal de a1; : : : ;ak:
Si todo vector de Vn puede expresarse como una combinación lineal de a1; : : : ;ak, entonces se dice que el conjunto fa1; : : : ;akg genera Vn.
35
Corolario 44 Todo conjunto de tres vectores linealmente independientes de V3 es una base de V3.
Prueba. Sean a, b, c tres vectores linealmente independientes de V3. Solo nece- sitamos demostrar que a, b, c generan V3. Sea d un vector arbitrario de V3. Sea P 2 R3 tal que P = PO = d. Entonces de acuerdo con el teorema 42, existen números únicos u; v; t tales que
d = P = ua+ vb+ tc:
Corolario 45 Si a1 b1 c1 a2 b2 c2 a3 b3 c3
6= 0 entonces el sistema de ecuaciones lineales
a1x+ b1y + c1z = d1
a2x+ b2y + c2z = d2
a3x+ b3y + c3z = d3
tiene solución única.
Prueba. El sistema de tres ecuaciones lineales es equivalente a la ecuación vectorial
ax+ by + cz = d (26)
donde a = (a1; a2; a3), b = (b1; b2; b3), c = (c1; c2; c3) y d = (d1; d2; d3). Como
[abc] = a (b c) =
a1 a2 a3 b1 b2 b3 c1 c2 c3
= a1 b1 c1 a2 b2 c2 a3 b3 c3
6= 0; a, b, c son linealmente independientes (teorema 20, página 22). De donde se sigue, de acuerdo con el corolario 44, que la ecuación 26 tiene una solución. La independencia lineal de a, b, c implica la unicidad de la solución (problema 4, página 23). Hallando los productos escalares de la ecuación 26 por b c, c a, y ab,
sucesivamente, obtenemos
o bien
x = [dbc]
;
;
:
Corolario 46 Tres planos cuyas normales son linealmente independientes se intersectan en un y sólo un punto,
Prueba. Esta es la interpretación geométrica del anterior corolario cuando las ecuaciones que se consideran son las ecuaciones de tres planos. Un punto de intersección de los planos corresponde a una solución del sistema de ecuaciones.
Ejemplo 47 Encuentre todos los puntos de intersección de los planos
2x+ y 3z = 4
5x+ 4y + 7z = 2
x y + 2z = 5:
Solución. Escribiendo primero la última ecuación, resolviéndola para x, y susti- tuyendo en las otras dos ecuaciones, tenemos:8<: x = y 2z 5
3y 7z = 14 9y 3z = 27
,
3z + 14 3
z = 5 6
49 18 ;
5 6 ).
Ejemplo 48 Si tres vectores no nulos a, b, c en V3 son mutuamente ortogo- nales, pruebe que forman una base de V3. Exprese un vector d 2 V3 como una combinación lineal de a, b, c.
37
Solución. Para que a, b, c constituyan una base de V3 han de ser linealmente independientes. Es decir, debemos demostrar que la única solución de la ecuación
0 = ua+ vb+ tc (27)
es u = v = t = 0. Tomando el producto escalar de ambos miembros de la ecuación 27 por a, tenemos
a 0 = ua a+ vb a+ tc a:
Como a es ortogonal tanto a b como a c, obtenemos u = 0. Análogamente, tomando el producto escalar con b y c, obtenemos v = 0 y t = 0. De donde a, b, c son linealmente independientes, luego, según el corolario 44, forman una base de V3. Como a, b, c forman una base de V3, todo vector d 2 V3 puede expresarse
como una combinación lineal de a, b, c:
d = ua+ vb+ tc:
Tomando el producto escalar con a, b, c sucesivamente y como a, b, c son mutuamente ortogonales, obtenemos
a d =ua a, b d =v b b, c d =t c c
o bien
b d jbj2 ; t =
2.10.1. Ejercicios
1. Demuestre que los vectores a, b, c son mutuamente ortogonales y exprese d como una combinación lineal de a, b, c.
a) a = (1; 0; 0); b = (0; 1; 1); c = (0;1; 1); d = (3; 4;2) b) a = (1; 1; 0); b = (0; 0; 3); c = (1;1; 0); d = (2; 5; 1) c) a = (1; 2; 1); b = (1; 2; 3); c = (4; 1; 2); d = (1; 3; 5)g
2. Exprese el vector d como una combinación lineal de a, b, c.
a) a = (1; 2; 1); b = (2;3; 2); c = (2;1; 1); d = (3; 4;2) b) a = (1; 1; 1); b = (2; 3; 1); c = (1; 2;1); d = (5;7; 2)
3. Encuentre todos los puntos de intersección de los planos
a) 3x+ y + z = 5 3x+ y + 5z = 7 x y + 3z = 3
b) 5x+ y z = 6
2x+ y 4z = 10 x 3y + z = 8:
38
2.11. Espacios euclidianos n-dimensionales
En esta sección denimos el espacio euclidiano n-dimensional. Tomamos co- mo modelo el espacio euclidiano tridimensional. Hemos visto que en el espacio tridimensional tres vectores linealmente independientes generan el espacio total (corolario 44, página 36). Dos vectores linealmente independientes a;b 2 V3 determinan un plano fua+ vbju; v 2 Rg que pasa por el origen. Un plano así se llama subespacio bidimensional de R3 y cada punto del subespacio es- tá unívocamente determinado por los dos parámetros u; v. Todo plano en R3
es una traslación fP0 + ua+ vbju; v 2 Rg de tal subespacio. Un vector lin- ealmente independiente, es decir, un vector distinto de cero, determina una recta f taj t 2 Rg que pasa por el origen. Tal recta se denomina subespacio unidimensional de R3 y cada punto de este subespacio está determinado in- equívocamente por el parámetro único t. Toda recta en R3 es una traslación fP0 + taj t 2 Rg de tal subespacio. En un espacio n-dimensional, podemos ten- er k vectores linealmente independientes a1; : : : ;ak donde k = 1; : : : ; n. Tam- bién en este caso, cuando k = n, los vectores a1; : : : ;an generan el espacio total y cuando k < n generan un subespacio k-dimensional. Tales subespa- cios f t1a1 + + tkakj t1; : : : ; tk 2 Rg y sus traslaciones, conjuntos de la forma fP0 + t1a1 + + tkakj t1; : : : ; tk 2 Rg, se llaman planos k-dimensionales en el espacio n-dimensional. El plano unidimensional se llama usualmente recta.
Denición 49 El espacio analítico euclidiano n-dimensional, denotado por Rn, es el espacio vectorial n-dimensional Vn donde:
1. los elementos x = (x1; : : : ; xn) de Vn son los puntos de Rn,
2. un conjunto P de puntos de Rn se llama plano k-dimensional o hiperplano en Rn (k = 1; : : : ; n1) si hay un punto P0 2 Rn y k vectores linealmente independientes a1; : : : ;ak 2 Vn tales que
P = fP0 + t1a1 + + tkakj t1; : : : ; tk 2 Rg ;
3. la distancia, escrita d(P;Q), desde el punto P = (x1; : : : ; xn) al punto Q = (y1; : : : ; yn) en Rn es la longitud del vector QP, es decir,
d(P;Q) = jQPj = p (y1 x1)2 + + (yn xn)2:
Un plano unidimensional
se llama recta. La ecuación
P = P0 + t1a1 + + tkak se llama ecuación vectorial de un plano y las ecuaciones de las componentes se llaman ecuaciones parámetricas del plano.
39
P = fP0 + t1a1 + + tkakj t1; : : : ; tk 2 Rg
si b = r1a1 + + rkak para algunos r1; : : : ; rk 2 R.
Ejemplo 50 Determine una recta (plano unidimensional) que pase por los pun- tos P0 = (1; 4;2; 3) y P1 = (2; 0; 1; 0) de R4.
Solución. Sea a = P1 P0. Entonces,
L = fP0 + t(P1 P0)j t 2 Rg
es una recta que contiene a P0 y a P1. P0 corresponde a t = 0 y P1 a t = 1. Luego,
L = f(1; 4;2; 3) + t(1;4; 3;3)g es una recta que pasa por P0 y P1.
Ejemplo 51 Determine un plano que pase por los puntos P0 = (2; 3;2; 3), P1 = (3; 2; 1; 0), P2 = (2; 1; 0; 0) y P3 = (2; 0; 2; 0).
Solución. Sean
a1 = P1 P0 = (1;1; 3;3); a2 = P2 P0 = (0;2; 2;3); a3 = P3 P0 = (0;3; 4;3):
Con el n de determinar la dimensión del plano necesitamos conocer cuántos de los tres vectores anteriores son linealmente independientes. Los tres vectores son linealmente dependientes si existen números r1; r2; r3, no todos cero, tales que
r1a1 + r2a2 + r3a3 = 0:
Esta ecuación vectorial es equivalente a las cuatro ecuaciones componentes:
r1 = 0
r1 2r2 3r3 = 0
3r1 + 2r2 + 4r3 = 0
3r1 3r2 3r3 = 0:
Se encuentra que la única solución a estas ecuaciones es r1 = r2 = r3 = 0. Luego, los tres vectores a1, a2, a3 son linealmente independientes. Por tanto,
P = fP0 + t1a1 + t2a2 + t3a3g = f(2; 3;2; 3) + t1(1;1; 3;3) + t2(0;2; 2;3) + t3(0;3; 4;3)g
es un plano tridimensional en R4 que pasa por los puntos P0, P1, P2 y P3: P0 corresponde a t1 = t2 = t3 = 0; P1 corresponde a t1 = 1, t2 = t3 = 0; P2 corresponde a t2 = 1, t1 = t3 = 0; y P3 corresponde a t3 = 1, t1 = t2 = 0.
40
Ejemplo 52 Determine la intersección de la recta L del ejemplo 50 y el plano P del ejemplo 51.
Solución. Supongamos que P 2 L \ P. Entonces P 2 L implica
P = (1; 4;2; 3) + t(1;4; 3;3)
para algún t 2 R y P 2 P implica
P = (2; 3;2; 3) + t1(1;1; 3;3) + t2(0;2; 2;3) + t3(0;3; 4;3)
para algunos t1; t2; t3 2 R. Por tanto, P 2 L \ P si y sólo si estas dos expresiones son iguales; es decir, si y sólo si
1 + t = 2 + t1
4 4t = 3 t1 2t2 3t3 2 + 3t = 2 + 3t1 + 2t2 + 4t3 3 3t = 3 3t1 3t2 3t3:
Resolviendo estas ecuaciones, encontramos t = 5 6 , t1 = 1
6 , t2 = 1 2 y t3 =
1 2 .
Por tanto P = (1; 4;2; 3) + 5
6 (1;4; 3;3) = 1 6 (11; 4; 3; 3)
es el punto de intersección de L y P.
Denición 53 Dos planos en Rn,
P1 = fP1 + s1a1 + + sjaj j s1; : : : ; sj 2 Rg
y P2 = fP2 + t1b1 + + tkbkj t1; : : : ; tk 2 Rg
donde j k < n, son paralelos si cada uno de los conjuntos de k + 1 vectores fai;b1; : : : ;bkg (i = 1; : : : ; j) es linealmente dependiente; es decir, si cada uno de los vectores ai (i = 1; : : : ; j) es paralelo al plano P2.
El teorema siguiente postula que si dos planos son paralelos, entonces o un plano es un subconjunto del otro o su intersección es vacía. Este teorema es una generalización del corolario 8 y las partes de los teoremas 31 y 37 concernientes a las rectas y planos paralelos como casos particulares.
Teorema 54 Si dos planos en Rn
P1 = fP1 + s1a1 + + sjaj j s1; : : : ; sj 2 Rg
y P2 = fP2 + t1b1 + + tkbkj t1; : : : ; tk 2 Rg
donde j k < n, son paralelos, entonces P1 P2 o P1 \ P2 = ?:
41
Ejemplo 55 ¿Son paralelos los planos
P1 = f(1; 4;2; 3) + s1(1; 0; 3;1) + s2(2; 5;4; 6)g
y
P2 = f(2; 3;2; 3) + t1(1;1; 3;3) + t2(0;2; 2; 3) + t3(0;3; 4;3)g ?
¿Es vacía su intersección?
Solución. Sean a1 = (1; 0; 3;1), a2 = (2; 5;4; 6), b1 = (1;1; 3;3), b2 = (0;2; 2; 3) y b3 = (0;3; 4;3). Los conjuntos fa1;a2g y fb1;b2;b3g son lin- ealmente independientes. Los planos son paralelos si fa1;b1;b2;b3g y fa2;b1;b2;b3g son linealmente dependientes, es decir si a1 y a2 son cada uno combinaciones lineales de b1;b2;b3. Supongamos que a1 = 11b1 + 12b2 + 13b3, entonces
1 = 11
0 = 11 212 313 3 = 311 + 212 + 413
12 = 311 + 312 313:
Resolviendo estas ecuaciones encontramos 11 = 1, 12 = 2, 13 = 1. Análogamente, si a2 = 21b1 + 22b2 + 23b3, entonces
2 = 21
5 = 21 222 323 4 = 321 + 222 + 423
6 = 321 + 322 323:
Resolviendo estas ecuaciones encontramos 21 = 2, 22 = 1, 23 = 3. Como a1 y a2 son combinaciones lineales de b1;b2;b3, los planos son parale-
los. De acuerdo con el teorema 54, o P1 \ P2 = P1 o P1 \ P2 = ?, es suciente
determinar si un punto cualquiera de P1 pertenece a P2. Sea P1 = (1; 4;2; 3) 2 P1. Si P1 2 P2, entonces hay números t1; t2; t3 2 R tales que
(1; 4;2; 3) = (2; 3;2; 3) + t1(1;1; 3;3) + t2(0;2; 2; 3) + t3(0;3; 4;3):
Esta ecuación vectorial es equivalente al sistema de ecuaciones componentes:
1 = t1
0 = 3t1 + 3t2 3t3:
Resolviendo las primeras tres ecuaciones encontramos que si el sistema tiene una solución ha de ser t1 = 1, t2 = 9
2 , t3 = 3. Sin embargo, estos valores no satisfacen la cuarta ecuación. Luego, el sistema no tiene solución alguna. Por tanto, P1 =2 P2 y, según el teorema 54, P1 \ P2 = ?.
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2.11.1. Ejercicios
1. Determine la dimensión del plano que pasa por el conjunto de puntos dados y determine el plano
a) P0 = (1; 1; 1; 1), P1 = (1; 2; 3; 4)
b) P0 = (1; 1; 1; 1),P1 = (0;2; 2;3);P2 = (0; 3; 2; 1),P3 = (1; 2; 3; 4) c) P0 = (1; 0; 2; 0), P1 = (0; 2; 3; 1); P2 = (0; 0; 1;1), P3 = (1; 2; 4; 2)
2. Encuentre la distancia entre los siguientes pares de puntos
a) P0 = (1; 2; 3; 4), P1 = (1; 3;2; 1) b) P0 = (1; 1; 1; 1), P1 = (0;2; 2;3) c) P0 = (1; 0; 2; 0), P1 = (0; 2; 3; 1)
3. Demuestre que los siguientes planos son paralelos y encuentre su intersec- ción
P1 = f(1; 2; 3;2) + t(0; 1; 1; 1)g
P2 = f(1; 0; 2; 0) + t1(1;2;1;1) + t2(1; 0; 1; 1)g :
4. Demuestre que los siguientes planos tiene exactamente un punto común
P1 = f(0; 0; 0; 0) + t1(1; 0; 0; 0) + t2(0; 1; 0; 0)g
P2 = f(0; 0; 0; 0) + t3(0; 0; 1; 0) + t4(0; 0; 0; 1)g :
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