ECUACIONES EXACTAS

TEMAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES

CONTENIDO

VER INTRODUCCIÓN VER 1er EJEMPLO VER 2do EJEMPLO

VER 3er EJEMPLOVER ECUAC. DIFEREC.

EXACTA CON FACT. INTEG.

VER PRIMER CASO

VER 1er EJEMPLOVER SEGUNDO CASO VER 2do EJEMPLO

VER BIBLIOGRAFÍAS

INTRODUCCIÓN

Si𝑀 𝑥, 𝑦 + 𝑁 𝑥, 𝑦 ∗ 𝑦′ = 0, se dice que es exacta si y solo si ∋ 𝜙 𝑥, 𝑦 = 𝐶 tal que:

𝜙𝑥 = 𝑀 𝑥, 𝑦 y 𝜙𝑦 = 𝑁 𝑥, 𝑦

Teorema: Si𝑀,𝑁,𝑀𝑥 𝑦 𝑁𝑦 son continuas entonces la ecuación𝑀 𝑥, 𝑦 + 𝑁 𝑥, 𝑦 ∗ 𝑦′ = 0 es exacta cuando𝑀𝑦 = 𝑁𝑥

Si es una ecuación exacta la solución es:

𝜙 𝑥, 𝑦 = 𝐶

REGRESAR AL CONTENIDO

EJEMPLO DEMOSTRATIVO PARA RESOLVER UNA ECUACIÓN DIFERENCIAL TIPO EXACTAEJEMPLO: Resolver

𝑒𝑥𝑠𝑒𝑛 𝑦 − 2𝑦 𝑠𝑒𝑛 𝑥 + 𝑒𝑥 cos 𝑦 + 2 cos 𝑥 𝑦′ = 0

SOLUCIÓN:

Se identifica quien es la función 𝑀 𝑥, 𝑦 y quien es la función 𝑁 𝑥, 𝑦 :

𝑒𝑥𝑠𝑒𝑛 𝑦 − 2𝑦 𝑠𝑒𝑛 𝑥 + 𝑒𝑥 cos 𝑦 + 2 cos 𝑥 𝑦′ = 0

𝑀 𝑥, 𝑦 + 𝑁 𝑥, 𝑦 ∗ 𝑦′ = 0

𝑀 𝑥, 𝑦 = 𝑒𝑥𝑠𝑒𝑛 𝑦 − 2𝑦 𝑠𝑒𝑛 𝑥

𝑁 𝑥, 𝑦 = 𝑒𝑥 cos 𝑦 + 2 cos 𝑥 REGRESAR AL CONTENIDO

Ahora, derivando parcialmente de la función 𝑀 𝑥, 𝑦 con respecto a 𝑦 y de la función 𝑁 𝑥, 𝑦 con respecto a 𝑥 para saber si realmente esta ecuación diferencial es exacta:

𝑀 𝑥, 𝑦 = 𝑒𝑥𝑠𝑒𝑛 𝑦 − 2𝑦 𝑠𝑒𝑛 𝑥

𝑀𝑦 𝑥, 𝑦 =𝜕𝑀

𝜕y= 𝑒𝑥 cos 𝑦 − 2 𝑠𝑒𝑛 𝑥

𝑁 𝑥, 𝑦 = 𝑒𝑥 cos 𝑦 + 2 cos 𝑥

𝑁𝑥 𝑥, 𝑦 =𝜕𝑁

𝜕x= 𝑒𝑥 cos 𝑦 − 2 𝑠𝑒𝑛 𝑥

Se comprueba que:∴ 𝑀𝑦 𝑥, 𝑦 = 𝑁𝑥 𝑥, 𝑦

REGRESAR AL CONTENIDO

Entonces, la derivada parcial de “x” de una función tal desconocida es la función 𝑀 𝑥, 𝑦 :𝜙𝑥 = 𝑀 𝑥, 𝑦

𝜕𝜙

𝜕𝑥= 𝑒𝑥𝑠𝑒𝑛 𝑦 − 2𝑦 𝑠𝑒𝑛 𝑥

Aplicando el método de separación de variables:𝜕𝜙

𝜕𝑥= 𝑒𝑥𝑠𝑒𝑛 𝑦 − 2𝑦 𝑠𝑒𝑛 𝑥

𝜕𝜙 = 𝑒𝑥𝑠𝑒𝑛 𝑦 − 2𝑦 𝑠𝑒𝑛 𝑥 𝜕𝑥

Se integra con respecto a 𝑥 dejando a un lado las variables diferentes de x:

𝑑𝜙 = 𝑒𝑥𝑠𝑒𝑛 𝑦 − 2𝑦 𝑠𝑒𝑛 𝑥 𝑑𝑥

𝜙 𝑥, 𝑦 = 𝑒𝑥𝑠𝑒𝑛 𝑦 𝑑𝑥 − 2 𝑦 𝑠𝑒𝑛 𝑥 𝑑𝑥

𝜙 𝑥, 𝑦 = 𝑠𝑒𝑛 𝑦 𝑒𝑥𝑑𝑥 − 2𝑦 𝑠𝑒𝑛 𝑥 𝑑𝑥

𝜙 𝑥, 𝑦 = 𝑒𝑥𝑠𝑒𝑛 𝑦 + 2𝑦 cos 𝑥 + ℎ 𝑦

REGRESAR AL CONTENIDO

Para encontrar el valor de ℎ 𝑦 , se deriva la función 𝜙 𝑥, 𝑦 con respecto a 𝑦:

𝜙 𝑥, 𝑦 = 𝑒𝑥𝑠𝑒𝑛 𝑦 + 2𝑦 cos 𝑥 + ℎ 𝑦

𝜕𝜙

𝜕𝑦= 𝑒𝑥𝑐𝑜𝑠 𝑦 + 2 cos 𝑥 +

𝜕ℎ 𝑦

𝜕𝑦

𝜙𝑦 𝑥, 𝑦 = 𝑒𝑥𝑐𝑜𝑠 𝑦 + 2 cos 𝑥 +𝜕ℎ 𝑦

𝜕𝑦

Recordando la equivalencia y sustituyendo:

𝜙𝑦 𝑥, 𝑦 = 𝑁 𝑥, 𝑦

𝑒𝑥 cos 𝑦 + 2 cos 𝑥 +𝜕ℎ 𝑦

𝜕𝑦= 𝑒𝑥 cos 𝑦 + 2 cos 𝑥

𝜕ℎ 𝑦

𝜕𝑦= 𝑒𝑥 cos 𝑦 + 2 cos 𝑥 − 𝑒𝑥 cos 𝑦 − 2 cos 𝑥

REGRESAR AL CONTENIDO

𝜕ℎ 𝑦

𝜕𝑦= 𝑒𝑥 cos 𝑦 + 2 cos 𝑥 − 𝑒𝑥 cos 𝑦 − 2 cos 𝑥

𝜕ℎ 𝑦

𝜕𝑦= 0

Aplicando el método de separación de variables:

𝜕ℎ 𝑦

𝜕𝑦= 0

𝜕ℎ 𝑦 = 0 ∗ 𝜕𝑦

Integrando en ambas partes:

𝜕ℎ 𝑦 = 0 𝜕𝑦

ℎ 𝑦 = 0 ∗ 𝑦 + 𝐶

REGRESAR AL CONTENIDO

Continuando:ℎ 𝑦 = 0 ∗ 𝑦 + 𝐶

ℎ 𝑦 = 𝐶

Regresando y sustituyendo:𝜙 𝑥, 𝑦 = 𝑒𝑥𝑠𝑒𝑛 𝑦 + 2𝑦 cos 𝑥 + ℎ 𝑦

𝜙 𝑥, 𝑦 = 𝑒𝑥𝑠𝑒𝑛 𝑦 + 2𝑦 cos 𝑥 + 0

𝜙 𝑥, 𝑦 = 𝑒𝑥𝑠𝑒𝑛 𝑦 + 2𝑦 cos 𝑥

Haciendo que 𝜙 𝑥, 𝑦 = 𝐶:𝜙 𝑥, 𝑦 = 𝑒𝑥𝑠𝑒𝑛 𝑦 + 2𝑦 cos 𝑥

𝐶 = 𝑒𝑥𝑠𝑒𝑛 𝑦 + 2𝑦 cos 𝑥

∴ 𝐶 = 𝑒𝑥𝑠𝑒𝑛 𝑦 + 2𝑦 cos 𝑥REGRESAR AL CONTENIDO

EJEMPLO DEMOSTRATIVO PARA RESOLVER UNA ECUACIÓN DIFERENCIAL TIPO EXACTAEJEMPLO: Resolver

𝑒2𝑦 − 𝑦 cos 𝑥𝑦 𝑑𝑥 + 2𝑥𝑒2𝑦 − 𝑥 cos 𝑥𝑦 + 2𝑦 𝑑𝑦 = 0

SOLUCIÓN:

Se identifica quien es la función 𝑀 𝑥, 𝑦 y quien es la función 𝑁 𝑥, 𝑦 :

𝑒2𝑦 − 𝑦 cos 𝑥𝑦 𝑑𝑥 + 2𝑥𝑒2𝑦 − 𝑥 cos 𝑥𝑦 + 2𝑦 𝑑𝑦 = 0

𝑀 𝑥, 𝑦 𝑑𝑥 + 𝑁 𝑥, 𝑦 𝑑𝑦 = 0

𝑀 𝑥, 𝑦 = 𝑒2𝑦 − 𝑦 cos 𝑥𝑦

𝑁 𝑥, 𝑦 = 2𝑥𝑒2𝑦 − 𝑥 cos 𝑥𝑦 + 2𝑦

REGRESAR AL CONTENIDO

Ahora, derivando parcialmente de la función 𝑀 𝑥, 𝑦 con respecto a 𝑦 y de la función 𝑁 𝑥, 𝑦 con respecto a 𝑥 para saber si realmente esta ecuación diferencial es exacta:

𝑀 𝑥, 𝑦 = 𝑒2𝑦 − 𝑦 cos 𝑥𝑦

𝑀𝑦 𝑥, 𝑦 = 2𝑒2𝑦 − cos 𝑥𝑦 + 𝑥𝑦 𝑠𝑒𝑛 𝑥𝑦

𝑁 𝑥, 𝑦 = 2𝑥𝑒2𝑦 − 𝑥 cos 𝑥𝑦 + 2𝑦

𝑁𝑥 𝑥, 𝑦 = 2𝑒2𝑦 − cos 𝑥𝑦 + 𝑥𝑦 𝑠𝑒𝑛 𝑥𝑦

Se comprueba que:

∴ 𝑀𝑦 𝑥, 𝑦 = 𝑁𝑥 𝑥, 𝑦

REGRESAR AL CONTENIDO

Entonces, la derivada parcial de “x” de una función tal desconocida es la función 𝑀 𝑥, 𝑦 :𝜙𝑥 = 𝑀 𝑥, 𝑦

𝜕𝜙

𝜕𝑥= 𝑒2𝑦 − 𝑦 cos 𝑥𝑦

Aplicando el método de separación de variables:

𝜕𝜙

𝜕𝑥= 𝑒2𝑦 − 𝑦 cos 𝑥𝑦

𝜕𝜙 = 𝑒2𝑦 − 𝑦 cos 𝑥𝑦 𝜕𝑥

𝑑𝜙 = 𝑒2𝑦 − 𝑦 cos 𝑥𝑦 𝑑𝑥

𝜙 𝑥, 𝑦 = 𝑒2𝑦 𝑑𝑥 − 𝑦 cos 𝑥𝑦 𝑑𝑥

REGRESAR AL CONTENIDO

De la segunda integral, se aplica el método de sustitución:

𝑦 cos 𝑥𝑦 𝑑𝑥

𝑧 = 𝑥𝑦

𝑑𝑧

𝑑𝑥=𝑑

𝑑𝑥𝑥𝑦

𝑑𝑧

𝑑𝑥= 𝑦

𝑑

𝑑𝑥𝑥 = 𝑦 1

𝑑𝑧

𝑑𝑥= 𝑦

𝑑𝑧 = 𝑦 𝑑𝑥REGRESAR AL CONTENIDO

Entonces:

𝑦 cos 𝑥𝑦 𝑑𝑥 = cos 𝑥𝑦 𝑦 𝑑𝑥 = cos 𝑧 𝑑𝑧 = 𝑠𝑒𝑛 𝑧 = 𝑠𝑒𝑛 𝑥𝑦

Regresando:

𝜙 𝑥, 𝑦 = 𝑒2𝑦 𝑑𝑥 − cos 𝑥𝑦 𝑦 𝑑𝑥

𝜙 𝑥, 𝑦 = 𝑥𝑒2𝑦 − 𝑠𝑒𝑛 𝑥𝑦 + ℎ 𝑦

Para encontrar el valor de ℎ 𝑦 , se deriva la función 𝜙 𝑥, 𝑦 con respecto a 𝑦:

𝜙 𝑥, 𝑦 = 𝑥𝑒2𝑦 − 𝑠𝑒𝑛 𝑥𝑦 + ℎ 𝑦

𝜕𝜙

𝜕𝑦= 2𝑥𝑒2𝑦 − 𝑥 cos 𝑥𝑦 +

𝜕ℎ 𝑦

𝜕𝑦

𝜙𝑦 𝑥, 𝑦 = 2𝑥𝑒2𝑦 − 𝑥 cos 𝑥𝑦 +𝜕ℎ 𝑦

𝜕𝑦REGRESAR AL CONTENIDO

Recordando la equivalencia y sustituyendo:

𝜙𝑦 𝑥, 𝑦 = 𝑁 𝑥, 𝑦

2𝑥𝑒2𝑦 − 𝑥 cos 𝑥𝑦 +𝜕ℎ 𝑦

𝜕𝑦= 2𝑥𝑒2𝑦 − 𝑥 cos 𝑥𝑦 + 2𝑦

𝜕ℎ 𝑦

𝜕𝑦= 2𝑥𝑒2𝑦 − 𝑥 cos 𝑥𝑦 + 2𝑦 − 2𝑥𝑒2𝑦 + 𝑥 cos 𝑥𝑦

𝜕ℎ 𝑦

𝜕𝑦= 2𝑦

Luego, aplicando el método de separación de variables:

𝜕ℎ 𝑦 = 2𝑦 𝜕𝑦

𝜕ℎ 𝑦 = 2 𝑦 𝜕𝑦

REGRESAR AL CONTENIDO

Continuando:

𝜕ℎ 𝑦 = 2 𝑦 𝜕𝑦

ℎ 𝑦 = 2𝑦2

2

ℎ 𝑦 = 𝑦2

Regresando y sustituyendo:𝜙 𝑥, 𝑦 = 𝑥𝑒2𝑦 − 𝑠𝑒𝑛 𝑥𝑦 + ℎ 𝑦

𝜙 𝑥, 𝑦 = 𝑥𝑒2𝑦 − 𝑠𝑒𝑛 𝑥𝑦 + 𝑦2

Haciendo que 𝜙 𝑥, 𝑦 = 𝐶:𝜙 𝑥, 𝑦 = 𝑥𝑒2𝑦 − 𝑠𝑒𝑛 𝑥𝑦 + 𝑦2

𝐶 = 𝑥𝑒2𝑦 − 𝑠𝑒𝑛 𝑥𝑦 + 𝑦2

∴ 𝐶 = 𝑥𝑒2𝑦 − 𝑠𝑒𝑛 𝑥𝑦 + 𝑦2

REGRESAR AL CONTENIDO

EJEMPLO DEMOSTRATIVO PARA RESOLVER UNA ECUACIÓN DIFERENCIAL TIPO EXACTAEJEMPLO: Resolver

2𝑥𝑦𝑑𝑥 + 𝑥2 − 1 𝑑𝑦 = 0

SOLUCIÓN:

Se identifica quien es la función 𝑀 𝑥, 𝑦 y quien es la función 𝑁 𝑥, 𝑦 :

2𝑥𝑦 𝑑𝑥 + 𝑥2 − 1 𝑑𝑦 = 0

𝑀 𝑥, 𝑦 𝑑𝑥 + 𝑁 𝑥, 𝑦 𝑑𝑦 = 0

𝑀 𝑥, 𝑦 = 2𝑥𝑦

𝑁 𝑥, 𝑦 = 𝑥2 − 1

REGRESAR AL CONTENIDO

Ahora, derivando parcialmente de la función 𝑀 𝑥, 𝑦 con respecto a 𝑦 y de la función 𝑁 𝑥, 𝑦 con respecto a 𝑥 para saber si realmente esta ecuación diferencial es exacta:

𝑀 𝑥, 𝑦 = 𝑀 = 2𝑥𝑦

𝑀𝑦 𝑥, 𝑦 = 𝑀𝑦 = 2𝑥

𝑁 𝑥, 𝑦 = 𝑁 = 𝑥2 − 1

𝑁𝑥 𝑥, 𝑦 = 𝑁𝑥 = 2𝑥

Se comprueba que:

∴ 𝑀𝑦 𝑥, 𝑦 = 𝑁𝑥 𝑥, 𝑦

REGRESAR AL CONTENIDO

Entonces, la derivada parcial de “y” de una función tal desconocida es la función 𝑁 𝑥, 𝑦 :𝜙𝑦 = 𝑁 𝑥, 𝑦

𝜕𝜙

𝜕𝑦= 𝑥2 − 1

Aplicando el método de separación de variables:𝜕𝜙

𝜕𝑦= 𝑥2 − 1

𝜕𝜙 = 𝑥2 − 1 𝜕𝑦

𝜕𝜙 = 𝑥2 − 1 𝑑𝑦

𝜕𝜙 = 𝑥2 − 1 𝑑𝑦

𝜙 𝑥, 𝑦 = 𝑦 𝑥2 − 1 + ℎ 𝑥

REGRESAR AL CONTENIDO

Para encontrar el valor de ℎ 𝑥 , se deriva la función 𝜙 𝑥, 𝑦 con respecto a 𝑥:𝜙 𝑥, 𝑦 = 𝑦 𝑥2 − 1 + ℎ 𝑥

𝜕𝜙

𝜕𝑥= 𝑦 2𝑥 +

𝜕ℎ 𝑥

𝜕𝑥

𝜙𝑥 𝑥, 𝑦 = 2𝑥𝑦 +𝜕ℎ 𝑥

𝜕𝑥

Recordando la equivalencia y sustituyendo:𝜙𝑥 = 𝑀 𝑥, 𝑦

2𝑥𝑦 +𝜕ℎ 𝑥

𝜕𝑥= 2𝑥𝑦

𝜕ℎ 𝑥

𝜕𝑥= 2𝑥𝑦 − 2𝑥𝑦

𝜕ℎ 𝑥

𝜕𝑥= 0

REGRESAR AL CONTENIDO

Aplicando el método de separación de variables:𝜕ℎ 𝑥

𝜕𝑥= 0

𝜕ℎ 𝑥 = 0 ∗ 𝑑𝑥

𝜕ℎ 𝑥 = 0 𝜕𝑥

ℎ 𝑥 = 𝐶

Regresando y sustituyendo:𝜙 𝑥, 𝑦 = 𝑦 𝑥2 − 1 + ℎ 𝑥

𝜙 𝑥, 𝑦 = 𝑦 𝑥2 − 1 + 𝐶

𝜙 𝑥, 𝑦 = 𝑦 𝑥2 − 1 = 𝐶

∴ 𝐶 = 𝑥2 − 1 𝑦REGRESAR AL CONTENIDO

ECUACION EXACTA CON FACTOR INTEGRANTE

Si 𝑀 𝑥, 𝑦 + 𝑁 𝑥, 𝑦 ∗ 𝑦′ = 0 y no es exacta entonces puede existir. Al multiplicar 𝑢 𝑥, 𝑦 en la representación de ecuación diferencial exacta:

𝑢 𝑥, 𝑦 𝑀 𝑥, 𝑦 + 𝑁 𝑥, 𝑦 ∗ 𝑦′ = 𝑢

Existen dos casos para hacer que la ecuación diferencial se vuelva exacta.

REGRESAR AL CONTENIDO

PRIMER CASO: CUANDO 𝑢 = 𝑢 𝑥

Entonces se tiene:𝑀 𝑥, 𝑦 + 𝑁 𝑥, 𝑦 𝑦′ = 0

Y en término de 𝑢 𝑥, 𝑦 se tiene:𝑢 𝑥, 𝑦 𝑀 𝑥, 𝑦 + 𝑢 𝑥, 𝑦 𝑁 𝑥, 𝑦 𝑦′ = 0

Ahora se debe cumplir: 𝑢𝑦 𝑥, 𝑦 𝑀𝑦 𝑥, 𝑦 = 𝑢𝑥 𝑥, 𝑦 𝑁𝑥 𝑥, 𝑦

Derivando:𝑢𝑦 𝑥, 𝑦 𝑀 𝑥, 𝑦 + 𝑢 𝑥, 𝑦 𝑀 𝑥, 𝑦 = 𝑢𝑥 𝑥, 𝑦 𝑁 𝑥, 𝑦 + 𝑢 𝑥, 𝑦 𝑁𝑥 𝑥, 𝑦

Esto se debe cumplir para que sea exacta la ecuación.

REGRESAR AL CONTENIDO

Después:𝑢𝑦 𝑥, 𝑦 𝑀𝑦 𝑥, 𝑦 = 𝑢𝑥 𝑥, 𝑦 𝑁𝑥 𝑥, 𝑦

𝑢 ∗ 𝑀𝑦 = 𝑁 ∗ 𝑢𝑥 + 𝑢 ∗ 𝑁𝑥

𝑑𝑢

𝑑𝑥∗ 𝑁 = 𝑢 𝑀𝑦 − 𝑁𝑥

𝑑𝑢

𝑢=

𝑀𝑦 − 𝑁𝑥

𝑁𝑑𝑥

ln 𝑢 = 𝑀𝑦 − 𝑁𝑥

𝑁𝑑𝑥 = ln 𝑒

𝑀𝑦−𝑁𝑥𝑁 𝑑𝑥

Por lo tanto, el factor integrante que depende solo de la variable “x” es:

∴ 𝑢 𝑥 = 𝑢 = 𝑒 𝑀𝑦−𝑁𝑥𝑁 𝑑𝑥

REGRESAR AL CONTENIDO

SEGUNDO CASO: CUANDO 𝑢 = 𝑢 𝑦

Ahora:𝑢𝑦𝑀 + 𝑢𝑀𝑦 = 𝑢𝑁𝑥

𝑑𝑢

𝑑𝑦𝑀 = 𝑢𝑁𝑥 − 𝑢𝑀𝑦

Despejando la derivada:𝑑𝑢

𝑑𝑦=𝑢 𝑁𝑥 −𝑀𝑦

𝑀

Aplicando el método de variables separables:

𝑑𝑢

𝑢=𝑁𝑥 −𝑀𝑦

𝑀𝑑𝑦

REGRESAR AL CONTENIDO

𝑑𝑢

𝑢=𝑁𝑥 −𝑀𝑦

𝑀𝑑𝑦

𝑑𝑢

𝑢=

𝑁𝑥 −𝑀𝑦

𝑀𝑑𝑦

Recordando que la primera integral tiene como resultado logarítmico:

𝑑𝑣

𝑣= ln 𝑣 + 𝐶 = ln 𝑣

Continuando, se obtiene lo siguiente:

ln 𝑢 = 𝑁𝑥 −𝑀𝑦

𝑀𝑑𝑦 = ln 𝑒

𝑁𝑥−𝑀𝑦𝑀 𝑑𝑦

Por lo tanto, el factor integrante que solo depende de la variable “y” es:

∴ 𝑢 𝑦 = 𝑢 = 𝑒 𝑁𝑥−𝑀𝑦𝑀 𝑑𝑦

REGRESAR AL CONTENIDO

EJEMPLO DEMOSTRATIVO PARA RESOLVER UNA ECUACIÓN DIFERENCIAL TIPO NO EXACTAEJEMPLO: Resolver

3𝑥𝑦 + 𝑦2 + 𝑥2 + 𝑥𝑦 𝑦′ = 0

SOLUCIÓN:

Se identifica quien es la función 𝑀 𝑥, 𝑦 y quien es la función 𝑁 𝑥, 𝑦 :

3𝑥𝑦 + 𝑦2 + 𝑥2 + 𝑥𝑦 𝑦′ = 0

𝑀 𝑥, 𝑦 + 𝑁 𝑥, 𝑦 𝑦′ = 0

𝑀 𝑥, 𝑦 = 3𝑥𝑦 + 𝑦2

𝑁 𝑥, 𝑦 = 𝑥2 + 𝑥𝑦

REGRESAR AL CONTENIDO

Ahora, derivando parcialmente de la función 𝑀 𝑥, 𝑦 con respecto a 𝑦 y de la función 𝑁 𝑥, 𝑦 con respecto a 𝑥 para saber si realmente esta ecuación diferencial es exacta:

𝑀 𝑥, 𝑦 = 3𝑥𝑦 + 𝑦2

𝑀𝑦 𝑥, 𝑦 = 3𝑥 + 2𝑦

𝑁 𝑥, 𝑦 = 𝑥2 + 𝑥𝑦

𝑁𝑥 𝑥, 𝑦 = 2𝑥 + 𝑦

Se comprueba que la ecuación diferencial no es exacta:

𝑀𝑦 𝑥, 𝑦 ≠ 𝑁𝑥 𝑥, 𝑦

3𝑥 + 2𝑦 ≠ 2𝑥 + 𝑦REGRESAR AL CONTENIDO

Para hacer que la ecuación diferencial sea exacta, se utilizarán las dos fórmulas. Comencemos con la primera:

𝑢 𝑥 = 𝑒 𝑀𝑦−𝑁𝑥𝑁

𝑑𝑥

𝑢 𝑥 = 𝑒 3𝑥+2𝑦 − 2𝑥+𝑦

𝑥2+𝑥𝑦𝑑𝑥

𝑢 𝑥 = 𝑒 3𝑥+2𝑦−2𝑥−𝑦

𝑥2+𝑥𝑦𝑑𝑥

𝑢 𝑥 = 𝑒 𝑥+𝑦𝑥 𝑥+𝑦

𝑑𝑥

𝑢 𝑥 = 𝑒 1𝑥𝑑𝑥

𝑢 𝑥 = 𝑒ln 𝑥

𝑢 𝑥 = 𝑥

REGRESAR AL CONTENIDO

Ahora, utilicemos la segunda fórmula:

𝑢 𝑦 = 𝑒 𝑁𝑥−𝑀𝑦𝑀

𝑑𝑦

𝑢 𝑦 = 𝑒 2𝑥+𝑦 − 3𝑥+2𝑦

3𝑥𝑦+𝑦2𝑑𝑦

𝑢 𝑦 = 𝑒 2𝑥+𝑦−3𝑥−2𝑦3𝑥𝑦+𝑦2

𝑑𝑦

𝑢 𝑦 = 𝑒 −𝑥−𝑦3𝑥𝑦+𝑦2

𝑑𝑦

Y comparando él resultado de la primera fórmula con respecto a la segunda:

𝑢 𝑥 = 𝑥 𝑢 𝑦 = 𝑒 −𝑥−𝑦3𝑥𝑦+𝑦2

𝑑𝑦

Se observa que 𝑢 𝑥 tuvo un resultado inmediato mientras que 𝑢 𝑦 tiene una integral un pococompleja de resolver.

REGRESAR AL CONTENIDO

Entonces, utilizando 𝑢 𝑥 para multiplicar a toda la ecuación diferencial:3𝑥𝑦 + 𝑦2 + 𝑥2 + 𝑥𝑦 𝑦′ = 0

𝑥 3𝑥𝑦 + 𝑦2 + 𝑥2 + 𝑥𝑦 𝑦′ = 0

3𝑥2𝑦 + 𝑥𝑦2 + 𝑥3 + 𝑥2𝑦 𝑦′ = 0

Donde ahora se identificarán las nuevas funciones de 𝑀 𝑥, 𝑦 y 𝑁 𝑥, 𝑦 :

3𝑥2𝑦 + 𝑥𝑦2 + 𝑥3 + 𝑥2𝑦 𝑦′ = 0

𝑀 𝑥, 𝑦 + 𝑁 𝑥, 𝑦 𝑦′ = 0

𝑀 𝑥, 𝑦 = 3𝑥2𝑦 + 𝑥𝑦2

𝑁 𝑥, 𝑦 = 𝑥3 + 𝑥2𝑦REGRESAR AL CONTENIDO

Y repitiendo en que derivando parcialmente de la función 𝑀 𝑥, 𝑦 con respecto a 𝑦 y de la función 𝑁 𝑥, 𝑦 con respecto a 𝑥 para saber si realmente esta ecuación diferencial es exacta:

𝑀 𝑥, 𝑦 = 3𝑥2𝑦 + 𝑥𝑦2

𝑀𝑦 𝑥, 𝑦 = 3𝑥2 + 2𝑥𝑦

𝑁 𝑥, 𝑦 = 𝑥3 + 𝑥2𝑦

𝑁𝑥 𝑥, 𝑦 = 3𝑥2 + 2𝑥𝑦

Se comprueba que la ecuación diferencial ya es exacta:

𝑀𝑦 𝑥, 𝑦 = 𝑁𝑥 𝑥, 𝑦

3𝑥2 + 2𝑥𝑦 = 3𝑥2 + 2𝑥𝑦REGRESAR AL CONTENIDO

Entonces, la derivada parcial de “y” de una función tal desconocida es la función 𝑁 𝑥, 𝑦 :𝜙𝑦 = 𝑁 𝑥, 𝑦

𝜕𝜙

𝜕𝑦= 𝑥3 + 𝑥2𝑦

Aplicando el método de separación de variables:𝜕𝜙

𝜕𝑦= 𝑥3 + 𝑥2𝑦

𝜕𝜙 = 𝑥3 + 𝑥2𝑦 𝜕𝑦

𝑑𝜙 = 𝑥3 + 𝑥2𝑦 𝑑𝑦

𝜙 𝑥, 𝑦 = 𝑥3 𝑑𝑦 − 𝑥2𝑦 𝑑𝑦

REGRESAR AL CONTENIDO

Se integra con respecto a 𝑦 dejando a un lado las variables diferentes de 𝑦:

𝑑𝜙 = 𝑥3 𝑑𝑦 + 𝑥2𝑦 𝑑𝑦

𝜙 𝑥, 𝑦 = 𝑥3 𝑑𝑦 + 𝑥2 𝑦 𝑑𝑦

𝜙 𝑥, 𝑦 = 𝑥3𝑦 +𝑥2𝑦2

2+ ℎ 𝑥

Para encontrar el valor de ℎ 𝑥 se deriva la función 𝜙 𝑥, 𝑦 con respecto a 𝑦:

𝜙 𝑥, 𝑦 = 𝑥3𝑦 +𝑥2𝑦2

2+ ℎ 𝑥

𝜕𝜙

𝜕𝑥= 3𝑥2𝑦 + 𝑥𝑦2 +

𝜕ℎ 𝑥

𝜕𝑥

𝜙𝑥 𝑥, 𝑦 = 3𝑥2𝑦 + 𝑥𝑦2 +𝜕ℎ 𝑥

𝜕𝑥

REGRESAR AL CONTENIDO

Recordando la equivalencia y sustituyendo:𝜙𝑥 = 𝑀 𝑥, 𝑦

3𝑥2𝑦 + 𝑥𝑦2 +𝜕ℎ 𝑥

𝜕𝑥= 3𝑥2𝑦 + 𝑥𝑦2

𝜕ℎ 𝑥

𝜕𝑥= 3𝑥2𝑦 + 𝑥𝑦2 − 3𝑥2𝑦 − 𝑥𝑦2

Resolviéndolo por variables separables:𝜕ℎ 𝑥

𝜕𝑥= 0

𝜕ℎ 𝑥 = 0 ∗ 𝑑𝑥

𝜕ℎ 𝑥 = 0 𝜕𝑥

ℎ 𝑥 = 0𝑥 + 𝐶

ℎ 𝑥 = 𝐶REGRESAR AL CONTENIDO

Regresando y sustituyendo:

𝜙 𝑥, 𝑦 = 𝑥3𝑦 +𝑥2𝑦2

2+ ℎ 𝑥

𝜙 𝑥, 𝑦 = 𝑥3𝑦 +𝑥2𝑦2

2+ 𝐶

Haciendo que 𝜙 𝑥, 𝑦 = 𝐶:

𝜙 𝑥, 𝑦 = 𝑥3𝑦 +𝑥2𝑦2

2+ 𝐶

𝜙 𝑥, 𝑦 = 𝑥3𝑦 +𝑥2𝑦2

2= 𝐶

∴ 𝐶 = 𝑥3𝑦 +𝑥2𝑦2

2

REGRESAR AL CONTENIDO

EJEMPLO DEMOSTRATIVO PARA RESOLVER UNA ECUACIÓN DIFERENCIAL TIPO NO EXACTAEJEMPLO: Resolver

𝑦 𝑑𝑥 + 2𝑥𝑦 − 𝑒−2𝑦 𝑑𝑦 = 0

SOLUCIÓN:

Se identifica quien es la función 𝑀 𝑥, 𝑦 y quien es la función 𝑁 𝑥, 𝑦 :

𝑦 𝑑𝑥 + 2𝑥𝑦 − 𝑒−2𝑦 𝑑𝑦 = 0

𝑀 𝑥, 𝑦 𝑑𝑥 + 𝑁 𝑥, 𝑦 𝑑𝑦 = 0

𝑀 𝑥, 𝑦 = 𝑦

𝑁 𝑥, 𝑦 = 2𝑥𝑦 − 𝑒−2𝑦

REGRESAR AL CONTENIDO

Ahora, derivando parcialmente de la función 𝑀 𝑥, 𝑦 con respecto a 𝑦 y de la función 𝑁 𝑥, 𝑦 con respecto a 𝑥 para saber si realmente esta ecuación diferencial es exacta:

𝑀 𝑥, 𝑦 = 𝑦

𝑀𝑦 𝑥, 𝑦 = 𝑀𝑦 = 1

𝑁 𝑥, 𝑦 = 2𝑥𝑦 − 𝑒−2𝑦

𝑁𝑥 𝑥, 𝑦 = 2𝑦

Se comprueba que la ecuación diferencial no es exacta:

𝑀𝑦 𝑥, 𝑦 ≠ 𝑁𝑥 𝑥, 𝑦

1 ≠ 2𝑦REGRESAR AL CONTENIDO

Para hacer que la ecuación diferencial sea exacta, se utilizarán las dos fórmulas. Comencemos con la primera:

𝑢 𝑥 = 𝑒 𝑀𝑦−𝑁𝑥𝑁

𝑑𝑥

𝑢 𝑥 = 𝑒

1−2𝑦2𝑥𝑦−𝑒−2𝑦

𝑑𝑥

Ahora, utilicemos la segunda fórmula:

𝑢 𝑦 = 𝑒 𝑁𝑥−𝑀𝑦𝑀

𝑑𝑦

𝑢 𝑦 = 𝑒 2𝑦−1𝑦

𝑑𝑦

𝑢 𝑦 = 𝑒 2−

1𝑦𝑑𝑦

𝑢 𝑦 = 𝑒2𝑦−ln 𝑦

𝑢 𝑦 =𝑒2𝑦

𝑦REGRESAR AL CONTENIDO

Y comparando él resultado de la primera fórmula con respecto a la segunda:

𝑢 𝑥 = 𝑒

1−2𝑦2𝑥𝑦−𝑒−2𝑦

𝑑𝑥𝑢 𝑦 =

𝑒2𝑦

𝑦

Se observa que 𝑢 𝑦 tuvo un resultado inmediato mientras que 𝑢 𝑥 tiene una integral un pococompleja de resolver. Entonces, utilizando 𝑢 𝑦 para multiplicar a toda la ecuación diferencial:

𝑦 𝑑𝑥 + 2𝑥𝑦 − 𝑒−2𝑦 𝑑𝑦 = 0

𝑒2𝑦

𝑦𝑦 𝑑𝑥 + 2𝑥𝑦 − 𝑒−2𝑦 𝑑𝑦 = 0

𝑒2𝑦 𝑑𝑥 + 2𝑥𝑒2𝑦 −1

𝑦𝑑𝑦 = 0

REGRESAR AL CONTENIDO

Y repitiendo en que derivando parcialmente de la función 𝑀 𝑥, 𝑦 con respecto a 𝑦 y de la función 𝑁 𝑥, 𝑦 con respecto a 𝑥 para saber si realmente esta ecuación diferencial es exacta:

𝑀 𝑥, 𝑦 = 𝑒2𝑦

𝑀𝑦 𝑥, 𝑦 = 2𝑒2𝑦

𝑁 𝑥, 𝑦 = 2𝑥𝑒2𝑦 −1

𝑦

𝑁𝑥 𝑥, 𝑦 = 2𝑒2𝑦

Se comprueba que la ecuación diferencial ya es exacta:

𝑀𝑦 𝑥, 𝑦 = 𝑁𝑥 𝑥, 𝑦

2𝑒2𝑦 = 2𝑒2𝑦

REGRESAR AL CONTENIDO

Entonces, la derivada parcial de “y” de una función tal desconocida es la función 𝑁 𝑥, 𝑦 :

𝜙𝑦 𝑥, 𝑦 = 𝑁 𝑥, 𝑦

𝜕𝜙

𝜕𝑦= 2𝑥𝑒2𝑦 −

1

𝑦

Aplicando el método de separación de variables:

𝜕𝜙

𝜕𝑦= 2𝑥𝑒2𝑦 −

1

𝑦

𝜕𝜙 = 2𝑥𝑒2𝑦 −1

𝑦𝜕𝑦

𝑑𝜙 = 2𝑥𝑒2𝑦 −1

𝑦𝑑𝑦

𝑑𝜙 = 2𝑥𝑒2𝑦 𝑑𝑦 − 1

𝑦𝑑𝑦

𝜙 𝑥, 𝑦 = 𝑥 𝑒2𝑦 2 𝑑𝑦 − 𝑑𝑦

𝑦

= 𝑥𝑒2𝑦 − ln𝑦 + ℎ 𝑥 REGRESAR AL CONTENIDO

De la segunda integral, se aplica el método de sustitución:

𝑒2𝑦 2 𝑑𝑦

𝑧 = 2𝑦

𝑑𝑧

𝑑𝑦=𝑑

𝑑𝑥2𝑦

𝑑𝑧

𝑑𝑦= 2

𝑑

𝑑𝑦𝑦 = 2 1

𝑑𝑧

𝑑𝑦= 2

𝑑𝑧 = 2 𝑑𝑦

REGRESAR AL CONTENIDO

Entonces:

𝑒2𝑦 2 𝑑𝑦 = 𝑒𝑧 𝑑𝑧 = 𝑒𝑧 = 𝑒2𝑦

Regresando:

𝜙 𝑥, 𝑦 = 𝑥 𝑒2𝑦 2 𝑑𝑦 − 𝑑𝑦

𝑦

𝜙 𝑥, 𝑦 = 𝑥𝑒2𝑦 − ln𝑦 + ℎ 𝑥

Para encontrar el valor de ℎ 𝑥 , se deriva la función 𝜙 𝑥, 𝑦 con respecto a 𝑥:

𝜙 𝑥, 𝑦 = 𝑥𝑒2𝑦 − ln𝑦 + ℎ 𝑥

𝜕𝜙

𝜕𝑥= 2𝑥𝑒2𝑦 −

1

𝑦+𝜕ℎ 𝑥

𝜕𝑥

𝜙𝑥 𝑥, 𝑦 = 2𝑥𝑒2𝑦 −1

𝑦+𝜕ℎ 𝑥

𝜕𝑥

REGRESAR AL CONTENIDO

Recordando la equivalencia y sustituyendo:

𝜙𝑥 = 𝑀 𝑥, 𝑦

2𝑥𝑒2𝑦 −1

𝑦+𝜕ℎ 𝑥

𝜕𝑥= 2𝑥𝑒2𝑦 −

1

𝑦

𝜕ℎ 𝑥

𝜕𝑥= 2𝑥𝑒2𝑦 −

1

𝑦− 2𝑥𝑒2𝑦 +

1

𝑦

𝜕ℎ 𝑥

𝜕𝑥= 0

Resolviéndolo por variables separables:

𝜕ℎ 𝑥

𝜕𝑥= 0

𝜕ℎ 𝑥 = 0 ∗ 𝑑𝑥 REGRESAR AL CONTENIDO

𝜕ℎ 𝑥 = 0 𝜕𝑥

ℎ 𝑥 = 0𝑥 + 𝐶

ℎ 𝑥 = 𝐶

Regresando y sustituyendo:

𝜙 𝑥, 𝑦 = 𝑥𝑒2𝑦 − ln𝑦 + ℎ 𝑥

𝜙 𝑥, 𝑦 = 𝑥𝑒2𝑦 − ln𝑦 + 𝐶

Haciendo que 𝜙 𝑥, 𝑦 = 𝐶:

𝜙 𝑥, 𝑦 = 𝑥𝑒2𝑦 − ln 𝑦 = 𝐶

∴ 𝐶 = 𝑥𝑒2𝑦 − ln𝑦 REGRESAR AL CONTENIDO

BIBLIOGRAFÍASCarmona Jover, I., & Filio López, E. (2011). Ecuaciones diferenciales. México: PEARSON Educación.

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