AJUSTEAJUSTE

PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA DIFERENCIA ENTRE INTERPOLACIÓN Y AJUSTEMETODOLOGÍA DEL AJUSTEMÉTODO DE MÍNIMOS CUADRADOSMODELO LINEALMODELO EXPONENCIALEJEMPLO

PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMAPLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA

� Cuando los datos tienen errores sustanciales, la interpolación polinomial es inapropiada y puede dar resultados poco satisfactorios cuando se utiliza para predecir valores intermedios. Con frecuencia los datos experimentales son de este tipo.

DIFERENCIA ENTRE INTERPOLACIÓN Y AJUSTE

� INTERPOLACIÓN : se caracteriza por suponer que los datos que intervienen en el problema son exactos; por lo cual en la construcción de la FUNCIÓN DE INTERPOLACIÓN se exige que la misma satisfaga todos y cada uno de los valores que constituyen los datos .

DIFERENCIA ENTRE INTERPOLACIÓN Y AJUSTE� AJUSTE : supone que los datos ingresados

están afectados en cierto grado de errores debido al modelado, por lo que, no resulta indispensable que la CURVA DE AJUSTE correspondiente, pase exactamente por los puntos que representan los datos, sino que, en promedio la aproximación sea óptima de acuerdo a un cierto y determinado criterio, denominado CRITERIO DE AJUSTE.

GRGRÁÁFICO DE DISPERSIFICO DE DISPERSIÓÓNN

Disposición:Eje de abscisas: variable independiente (X) Eje de ordenadas: variable dependiente (Y)Frecuentemente X es una variable controlada (no aleatoria)Un punto por cada observación (par de valores X-Y)Aproximación al tipo de relación existente entre la s variables

Problema generalProblema general

� Se debe encontrar un criterio para establecer una base para el ajuste. Una forma de hacerlo es obtener una curva que minimice la discrepancia entre los puntos y la curva. Una técnica para lograr tal objetivo, es llamada regresión por mínimos cuadrados.

Problema generalProblema general� En el ejemplo, los datos sugieren una recta, más o

menos, y entonces una relación lineal entre y y x. Aquí

son varias rectas que se acercan a los puntos

REGRESIREGRESIÓÓN LINEALN LINEAL

� Una aproximación por mínimos cuadrados es ajustar una línea recta a un conjunto de observaciones definidas por puntos:(x1;y1),(x2;y2),…,(xn,yn). La expresión matemática para la línea recta es:

(1.1)exaay ++= 10

RegresiRegresióón linealn lineal

� Donde a0 y a1 son coeficientes que representan la intersección con el eje y y la pendiente, respectivamente, e es el error, o diferencia, entre el modelo y las observaciones, el cual se representa al reordenar la ecuación 1.1 como:

xaaye 10 −−=

RegresiRegresióón linealn lineal

� Así, el error o residuo es la discrepancia entre el valor verdadero de y y el valor aproximado,

que predijo la ecuación lineal.xaa 10 +

RegresiRegresióón linealn lineal

� La recta de mejor ajuste será:

RegresiRegresióón linealn lineal

� Esta recta se llama la recta de mejor ajuste, recta de regresión, o recta de mínimos cuadrados asociada a los datos.

CRITERIO PARA UN MEJOR AJUSTE

� Una estrategia para ajustar una “mejor”línea a través de los datos será minimizar la suma de los errores residuales de todos los datos disponibles; como sigue:

CRITERIO PARA UN MEJOR AJUSTE

� La estrategia consiste en minimizar la suma de los cuadrados de los residuos entre la y medida y la y calculada con el modelo lineal:

CRITERIO PARA UN MEJOR AJUSTE

� Este criterio tiene varias ventajas, entre ellas el hecho de que se obtiene una línea única para cierto conjunto de datos. Antes de analizar tales propiedades, presentaremos una técnica para determinar los valores de a0 y a1 que minimizan la ecuación

Ajuste de una lAjuste de una líínea recta por nea recta por mmíínimos cuadradosnimos cuadrados� Para determinar los valores de a0 y a1, la

ecuación se deriva con respecto a cada uno de los coeficientes:

Ajuste de una lAjuste de una líínea recta por mnea recta por míínimos nimos cuadradoscuadrados� Observe que hemos simplificado los

símbolos de sumatoria; a menos que se indique otra cosa, todas las sumatorias van desde i=1 hasta n. Al igualar estas derivadas a cero, se dará como resultado un Sr mínimo. Si se hace esto, las ecuaciones se expresan como:

Ajuste de una lAjuste de una líínea recta por mnea recta por míínimos nimos cuadradoscuadrados

∑ ∑ ∑−−= ii xaay 100

∑ ∑ ∑−−= 2100 iiii xaxaxy

Ahora, si observamos que ∑ = 00 naa

expresamos las ecuaciones como un conjunto de dos ecuaciones lineales simultáneas, con dos incógnitas (a0 y a1).

Ajuste de una lAjuste de una líínea recta por mnea recta por míínimos nimos cuadradoscuadrados

(1.2)

(1.3)

� Éstas se llaman ecuaciones normales y se resuelven en forma simultánea

∑∑ =+ ii yaxna 10 )(

∑∑ ∑ =+ iiii yxaxax 12

0 )()(

Ajuste de una lAjuste de una líínea recta por mnea recta por míínimos nimos cuadradoscuadrados� Este resultado se utiliza conjuntamente

con la ecuación para obtener

Este resultado se utiliza conjuntamente con la ecuación (1.2)para obtener

Donde y son las medias de y y x respectivamente.

∑ ∑∑ ∑ ∑

−−

=221 )( ii

iiii

xxn

yxyxna

xaya 10 −=

y x

Ajuste de una lAjuste de una líínea recta por mnea recta por míínimos nimos cuadradoscuadrados� EJEMPLO

Obtenga la ecuación de demanda que se ajusta mejor a los siguientes datos, y úsela para pronosticar ventas anuales de casas preciadas a $140,000.

Precio

(Miles de dólares)

160 180 200 220 240 260 280

Venta de nuevas casas este año

126 103 82 75 82 40 20

CURVA EXPONENCIAL DE MEJOR AJUSTE� Para obtener la curva exponencial de mejor

ajuste de la forma:

� Tomando logaritmo en ambos miembros:

�

� Las propiedades de logaritmo nos dan:

�

xAry =

)log(log xAry =

rxAy

rAy x

logloglog

logloglog

+=+=

CURVA EXPONENCIAL DE MEJOR AJUSTE� Esto expresa log y como una función

lineal, con:� Pendiente = a1= log r� Intersección = a0 = log A� Por lo tanto si calculamos la recta de

mejor ajuste usando log y como una función de x, entonces la pendiente y la intersección en y serían dados como mas arriba, y después podemos obtener los coeficientes r y A por:

CURVA EXPONENCIAL DE MEJOR AJUSTE

0

1

10

10a

a

A

r

=

=

COEFICIENTE DE CORRELACIÓN

� Hay un número que mide la "bondad de ajuste" de la recta de regresión llamado coeficiente de correlación. Este número, que se representa por r, estáentre −1 y 1. Cuanto más se acerca r a−1 o 1, el ajuste es mejor. Si el ajuste es malo, se acerca r a 0. Si el ajuste es exacto, r=−1 para una recta con pendiente negativa, o r=1 para una recta de pendiente positiva

COEFICIENTE DE CORRELACIÓN

Las figuras más abajo muestran varios conjuntos de puntos con sus rectas de regresión, y los valores correspondientes de r.

COEFICIENTE DE CORRELACIÓN

� El coeficiente de correlación se puede calcular con la siguiente formula:

� Coeficiente de correlación r:

∑ ∑∑ ∑

∑ ∑ ∑−−

−=

2222 )()(*)()(

))(()(

yynxxn

yxxynr

COEFICIENTE DE DETERMINACIÓN

� Una pregunta importante que se plantea en el análisis de regresión es la siguiente: ¿Qué parte de la variación total en Y se debe a la variación en X? ¿Cuánto de la variación de Y no explica X?

� El estadístico que mide esta proporción o porcentaje se denomina coeficiente de determinación (r2). Si por ejemplo, al hacer los cálculos respectivos se obtiene un valor de 0.846. Esto significa que el modelo explica el 84.6 % de la variación de la variable dependiente.

COEFICIENTE DE DETERMINACIÓN

� El significado del Coeficiente de Determinación es que nos proporciona el porcentaje de causas comunes que tienen las dos variables relacionadas para explicar su variabilidad o evolución si se expresa en tantos por 100.

� El campo de variación del coeficiente de determinación es 0≤R²≤1.

Bibliografía

� Pace G. “Métodos Numéricos” Edictorialde la UNNE, 1997

� Chapra, S.C. y Canale, R. “Métodos Numéricos para Ingenieros” 5ta Ed., México, McGraw-Hill, 2007