1.5 Análisis Estadístico
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Unidad temática1. Introducción
ProfesorMatías Peredo Parada
Matias peredo@usach [email protected] de Ingeniería Civil en Obras Civiles
Oficina 18Oficina 18
Av. Ecuador 3659 Estación Central · Santiago · Chile · 7182810
Contenido Unidad Temática1 Introducción1. Introducción
1.1 Generalidades de la Hidrología
1.2 El clima
1.3 Características geomorfológicas de la cuencacuenca
1 4 Balance hídrico1.4 Balance hídrico
1 5 Análisis probabilístico de variables1.5 Análisis probabilístico de variables hidrológicas
2
1 5 Análisis probabilístico1.5 Análisis probabilístico de variables hidrológicasde variables hidrológicas
ÍndiceÍndice
Revisión de conceptos básicos
F ó l t i V i bl t dí tiFenómenos aleatorios. Variables estadísticas y aleatorias
Modelos probabilísticos de mayor uso en hidrología✓ Recursos
✓ Crecidas
Técnicas de estimación de parámetros y selección deTécnicas de estimación de parámetros y selección de modelos
P í d d t iPeríodo de retorno y riesgo
Análisis de frecuencia
41.5 Análisis probabilístico de variables hidrológicas
Conceptos básicos (i)Conceptos básicos (i)
Proceso hidrológico
Determinística Aleatoria
Proceso estocástico
I id bIncertidumbre
Hipótesis: Estacionaridadp
Estudios de crecidas Análisis de frecuencia
Estudios de recursos hídricos Régimen hidrológico
Año hidrológico vs. Año natural5
1.5 Análisis probabilístico de variables hidrológicas
g
Variables aleatorias. Función de di t ib ió (i )distribución (iv)
Función de distribución de probabilidad acumulada (cdf) de una variable aleatoria:( )
x][X P = (x)F X ≤ ada
95
99
99.9
a
Percentil o cuantil:
][( )X
. acu
mul
a
50
80
95
Percentil o cuantil:
(a)F=X -1 % p
rob
1
5
20
F ió d d id d d b bilid d ( df)
(a)F= X Xa100 1000 10000
0.1
Xa
Función de densidad de probabilidad (pdf):(x)Fd=(x)f X
X
61.5 Análisis probabilístico de variables hidrológicas
dx(x)f X
Variables aleatorias. Momentos y t dí ti ( ii)estadísticos (vii)
Momentos EstadísticosMomentos Estadísticos
Población Muestra
∫∞
∞−
== dxxxfXE )()(μPrimero momentoMedia ∑
=
=n
i
i
nXX
1
[ ] ∫∞
∞−
−=−= dxxfxXE )()()( 222 μμσSegundo momentoVarianza
( )∑=
−−
=n
ii XX
nS
1
22
11
Desviación estándaro desviación típica
2σσ = 2SS =p
Coeficiente de variaciónμσ
=CVXSCV =
[ ] ∫∞
−=−= dxxfxXE )()(1)( 33
3 μσ
μγTercer momentoCoeficiente de asimetría ( )( )
( )∑ −=
ni
s SXX
nnnC 3
3
21
μ X
71.5 Análisis probabilístico de variables hidrológicas
∞−σCoeficiente de asimetría ( )( )∑=−− i Snn 121
ÍndiceÍndice
Revisión de conceptos básicos
Modelos probabilísticos de mayor uso en hidrologíaModelos probabilísticos de mayor uso en hidrología✓ Recursos
✓ Crecidas
Técnicas de estimación de parámetros y selección de p ymodelos
Período de retorno y riesgoPeríodo de retorno y riesgo
Análisis de frecuencia
81.5 Análisis probabilístico de variables hidrológicas
Modelos probabilísticos de mayor uso hid l í R (i)en hidrología. Recursos (i)
Normal ∞≤≤∞−⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡− xe
1=(x)f 2
2
2)-(x μ
Normal✓Aplicación del teorema
∞≤≤∞⎥⎦⎢⎣ xe2
(x)f 2X σσπ
del límite central
✓Valores negativos✓Valores negativos
✓Asimetría nula
91.5 Análisis probabilístico de variables hidrológicas
Modelos probabilísticos de mayor uso hid l í R (ii)en hidrología. Recursos (ii)
ln1 2)x( μL l 0ln
>x e 2x1 = (x)f 2
Y
Y
2)-x(
-
YX σ
μ
σπ1
Lognormal
e = 2YY 2
1 + σμμ✓ Media
e - e = 2YY
2YY + 22 + 22 σμσμσ✓ Varianza
✓ P i d d2ln
22lnlnln ln XYXY bba σσμμ =+=
✓ PropiedadesY=aXb
W=XY 2ln
2ln
2lnlnlnln YXWYXW σσσμμμ +=+=
101.5 Análisis probabilístico de variables hidrológicas
2ln
2ln
2lnlnlnln YXRYXR σσσμμμ +=−=R=X/Y
Modelos probabilísticos de mayor uso hid l í R (iii)en hidrología. Recursos (iii)
Normal99.9
ada 80
9599
LogNormal
prob.
acum
ula
52050
g
da
99
99.9
% pr
0 1 2 3 40.1
15
acum
ulad
50
80
95
Aportaciones anuales (Hm3)0 1 2 3 4
(X 1000)Caudal medio anual
% p
rob.
1
5
20
Aportaciones anuales (Hm3)100 1000 10000
0.1
Caudal medio anual
111.5 Análisis probabilístico de variables hidrológicas
Aportaciones anuales (Hm3)Caudal medio anual
Modelos probabilísticos de mayor uso hid l í R (i )en hidrología. Recursos (iv)
Gamma xX ex = (x)f λβ
β
βλ −−
Γ1
)(
✓Variables hidrológicas
βΓ )(
22
λβσ
λβμ ==
✓Variables hidrológicas asimétricas
λλ
✓ Límite inferior cero
✓Usada con✓Usada con precipitación
121.5 Análisis probabilístico de variables hidrológicas
Modelos probabilísticos de mayor uso hid l í R ( )en hidrología. Recursos (v)
Weilbull⎥⎥⎤
⎢⎢⎡
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−−=
β1
exp1)( xxFX
✓Distribución teórica de mínimos
⎥⎦
⎢⎣
⎟⎠
⎜⎝α
p)(X
( )βαμ β +Γ 1( )( ) ( )[ ]ββασ
βαμβ
β
+Γ−+Γ=
+Γ=
1211
222
131.5 Análisis probabilístico de variables hidrológicas
Modelos probabilísticos de mayor uso hid l í C id ( i)en hidrología. Crecidas (vi)
Gumbel ( )θ
λμ 0,5772 + = ln
( )e- = (x)F x -X
θλexpθ
θπσ 2
22
6 =
✓ Extremos de una población normal
1,1396 = γ
✓ Valores negativos✓ Ajuste pésimo en clima
torrencial
141.5 Análisis probabilístico de variables hidrológicas
Modelos probabilísticos de mayor uso hid l í C id ( ii)en hidrología. Crecidas (vii)
LogPearson tipo III
( ) ( )
( ) 0
10 log
0
yxx
eyy = (x)fyy
X ≥Γ
− −−−
βλ λββ
( )ββ
λs
y
YCS
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡==
22
✓ Usada USA por US Water
( )xΓ ββYSYy −=0
✓ Usada US po US ateResources Council
✓ Extremos de una población normal
✓ Valores negativos
✓ Ajuste pésimo en clima torrencial
151.5 Análisis probabilístico de variables hidrológicas
Modelos probabilísticos de mayor uso hid l í C id ( iii)en hidrología. Crecidas (viii)
General Extreme Value (GEV)⎤⎡
⎞⎛1
⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
αβ
βx-x-1- = (x)F 0X exp
⎦⎣
[ ])1+(-1 + x = 0 ββαμ Γ [ ])1+(-)1+2(= 2
22 ββα
σ ΓΓ⎟⎟⎞
⎜⎜⎛[ ])( β
βμ [ ])1()12( ββ
βσ ΓΓ⎟⎟⎠
⎜⎜⎝
) +1 ( 2 + ) +1 ( ) 2+1 ( 3 - ) 3+1 ( =3 ββββγ ΓΓΓΓ
± [ ] ) +1 ( - ) 2+1 ( =
2 3/2 ββγ
ΓΓ±
✓ Usada por el UK Natural Environment Research Council
✓ Gumbel es un caso particular de GEV16
1.5 Análisis probabilístico de variables hidrológicas
✓ Gumbel es un caso particular de GEV
Modelos probabilísticos de mayor uso hid l í C id (i )en hidrología. Crecidas (ix)
Two Component Extreme Value (TCEV)
[ ]xxX ee = (x)F 21
21exp θθ λλ −− −−
✓Surge en Italia 80’sC id di iCrecidas ordinarias
Crecidas extraordinarias
✓Máximo de dos poblaciones Gumbel independientesp p
✓Excesivo número de parámetros
171.5 Análisis probabilístico de variables hidrológicas
Modelos probabilísticos de mayor uso hid l í C id ( )en hidrología. Crecidas (x)
SQRT-ET-maxSQRT ET max
( ) ( )[ ]x-x+1k=F(x) αα expexp − ( ) ( )[ ]x-x+1k=F(x) αα expexp −
✓Origen japonés
✓ Justificación física para precipitaciones diarias✓ Justificación física para precipitaciones diarias máximas anuales
✓Sól d á t✓Sólo dos parámetros
181.5 Análisis probabilístico de variables hidrológicas
ÍndiceÍndice
Revisión de conceptos básicos
Modelos probabilísticos de mayor uso en hidrologíaModelos probabilísticos de mayor uso en hidrología✓ Recursos
✓ Crecidas
Técnicas de estimación de parámetros y selección de p ymodelos
Período de retorno y riesgoPeríodo de retorno y riesgo
Análisis de frecuencia
191.5 Análisis probabilístico de variables hidrológicas
Técnicas de estimación de parámetros y l ió d d l (i)selección de modelos (i)
Métodos de estimación
✓Método de los momentos✓Método de los momentosMomentos poblacionales = Parámetros
✓Método de Máxima Verosimilitud✓Método de Máxima VerosimilitudMás adecuado
( ) ( )θθ ;1
i
n
ixfL
=∏=
201.5 Análisis probabilístico de variables hidrológicas
Técnicas de estimación de parámetros y l ió d d l (ii)selección de modelos (ii)
Selección de modelos✓Experiencia personal
✓Test de ajuste estadísticos✓Test de ajuste estadísticosPrueba Chi-Cuadrado
P b K l S iPrueba Kolmogorov-Smirnov
Prueba W
Prueba Student
✓Comparación con la distribución empíricas o plotting p p p gpositions
211.5 Análisis probabilístico de variables hidrológicas
Técnicas de estimación de parámetros y l ió d d l (ii)selección de modelos (ii)
Test Chi-Cuadrado ( ) ( )[ ]( )∑ −
=m
i i
iisc xp
xpxfn1
22χ
✓ H0 = Distribución de probabilidad propuesta se ajusta
( )=i ixp1
Tomado de Chow 1994
✓ H0 Distribución de probabilidad propuesta se ajusta adecuadamente a la muestra
22RECHAZA =
21,
2ανχχ −>c
22ACEPTA =
✓ Grados de libertad m p 1
21,
2ανχχ −<c
✓ Grados de libertad ν = m-p-1
✓ Nivel de confianza 1-α = 95% generalmente. nivel de significancia
221.5 Análisis probabilístico de variables hidrológicas
α = nivel de significancia
Técnicas de estimación de parámetros y l ió d d l (iii)selección de modelos (iii)
Método gráficos✓ Papel probabilístico✓ Papel probabilístico
Normal
LognormalLognormal
Gumbel
✓ Plotting position
Weibull 1+=
nmp donde,
m = ordenú d b i
Gringortenan
amp21−+
−=
n = número de observacionesa= 0.375 Normal
0.44 Gumbel 0 4 Otras
231.5 Análisis probabilístico de variables hidrológicas
0.4 Otras
ÍndiceÍndice
Revisión de conceptos básicosModelos probabilísticos de mayor uso en hidrologíaModelos probabilísticos de mayor uso en hidrología✓ Recursos✓ Crecidas✓ Crecidas
Técnicas de estimación de parámetros y selección de modelosmodelosPeríodo de retorno y riesgo Análisis de frecuencia
241.5 Análisis probabilístico de variables hidrológicas
Período de retorno y riesgo (i)Período de retorno y riesgo (i)
Año de Intervalo de recurrenciaCaudales máximos anuales Año de excedencia
Intervalo de recurrencia (años)
19314
1935
Caudales máximos anuales
6000
7000
11936
11937
4000
5000
3 s-
1
19377
19449
19532000
3000m3
m1 mi mnxT 1953
31956
61962
0
1000
1930 1935 1940 1945 1950 1955 1960 1965 1970
T
19623
19652
1930 1935 1940 1945 1950 1955 1960 1965 1970Año
19675
1972Promedio
0.4=m25
1.5 Análisis probabilístico de variables hidrológicas
4.00
Período de retorno y riesgo (ii)Período de retorno y riesgo (ii)
Para cada observación✓Éxito
✓Fallo
pxX T prob.≥
( )pxX T −< 1prob.( ) pp m 11 −−
✓Fallo ( )pT p ob.
( ) ( )∑∞
−11 mE( ) ( )∑=
−=1
1m
ppmmE
( ) TpE 1( )( )[ ] T
pppmE ==−−
=11 2
261.5 Análisis probabilístico de variables hidrológicas
Período de retorno y riesgo (iii)Período de retorno y riesgo (iii)
Si la v.a. es máximo anual [ ] ( ) 1
Probabilidad de excedencia[ ] ( ) ][añomediafrecuencia 1−=≤ xFxXP X
Probabilidad de excedencia[ ] ( )xFxXP X−=> 1
✓Período de retorno T período medio entre excedencias en años
( )xFT
X−=
11
No confundir con período exacto de ocurrencia
( )xFX1
271.5 Análisis probabilístico de variables hidrológicas
Período de retorno y riesgo (iv)Período de retorno y riesgo (iv)
V.a. X es el Qmáx anual registrado en el aforo de un ríoT = 100 años para X = 150 m3/s indica que:T = 100 años para X = 150 m /s indica que:
✓ Probabilidad de no excedencia del valor 150 m3/s un año cualquiera esP [X≤150] = FX(150) = 1-(1/T) = 1-(1/100) = 1-0,01 = 0,99
✓ Probabilidad de excedencia del valor 150 m3/s un año cualquiera es✓ Probabilidad de excedencia del valor 150 m /s un año cualquiera esP [X>150] = 1-FX(150) = 1/T = 1/100 = 0,01
✓ En los próximos 1000 años ¿cuántas veces Qmáx anual superará 150 m3/s?:
en el entorno de 10 veces
✓ En los próximos 1000 años ¿cuál es la probabilidad de que el valor 150 3/ d l 1 ? RIESGO
281.5 Análisis probabilístico de variables hidrológicas
150 m3/s se vea superado al menos 1 vez? → RIESGO
Período de retorno y riesgo (v)Período de retorno y riesgo (v)
“Fallo” de una infraestructura hidráulica = situación en la que su capacidad se ve superada (excedencia)q p p ( )
Si caudal de diseño es XT => probabilidad de fallo un año cualquiera es p = 1/Taño cualquiera es p 1/T
Si Z = # fallos durante N años => Z ~ binomial (N,p)
( ) zNz ppN
=z] [ZP −−⎟⎟⎞
⎜⎜⎛
= 1
Riesgo durante un período N:
( )ppz
][ ⎟⎟⎠
⎜⎜⎝
Riesgo durante un período N:
( )Np=]P[ZR −−=−= 110129
1.5 Análisis probabilístico de variables hidrológicas
( )p] P[ZR 1101
Período de retorno y riesgo (vi)Período de retorno y riesgo (vi)
V.a. X es el Qmáx anual registrado en el aforo de un ríoT = 100 años para X = 150 m3/s indica que:p q
✓ El riesgo en los próximos 1000 años esp = P [X>150] = 1/T = 1/100 = 0 01p = P [X>150] = 1/T = 1/100 = 0,01N = 1000
✓ El i l ó i 20 ñR = 1-(1-p)N = 0,9996
✓ El riesgo en los próximos 20 años esp = 0,01N = 20N = 20
✓ La probabilidad de que se supere 150 m3/s una vez en los próximos 20 años es
R = 1-(1-p)N = 0,1821
años esp = 0,01N = 20, z = 1 P [Z 1] 0 011 (1 0 01)20 1 0 1652
20
301.5 Análisis probabilístico de variables hidrológicas
N 20, z 1 P [Z=1] = · 0,011 · (1-0,01)20-1 = 0,16521
ÍndiceÍndice
Revisión de conceptos básicosFenómenos aleatorios Variables estadísticas yFenómenos aleatorios. Variables estadísticas y aleatoriasModelos probabilísticos de mayor uso en hidrologíaModelos probabilísticos de mayor uso en hidrología✓ Recursos✓ Crecidas✓ Crecidas
Técnicas de estimación de parámetros y selección de modelosmodelosPeríodo de retorno y riesgo Análisis de frecuencia
311.5 Análisis probabilístico de variables hidrológicas
Análisis de frecuencia (i)Análisis de frecuencia (i)
Objetivo: Relacionar magnitud evento con f i d i di t lsu frecuencia de ocurrencia mediante el
uso de funciones de distribución de probabilidad
Resultados: Obtener caudales de diseño, entre otrosentre otros
321.5 Análisis probabilístico de variables hidrológicas
Análisis de frecuencia (ii)Análisis de frecuencia (ii)
Análisis de frecuencia utilizando el Factor de Frecuencia Kde Frecuencia KT
✓Funciones que no son fácilmente invertibles✓Funciones que no son fácilmente invertiblesNormal
Log-Pearson tipo III
EV (Caso particular GEV)EV (Caso particular GEV)
✓La magnitud xT xTT SKxx +=
✓ yTT SKyyxy +=→= )log(
331.5 Análisis probabilístico de variables hidrológicas
Análisis de frecuencia (iii)Análisis de frecuencia (iii)
Pasos:
1. Calcular los parámetros estadísticos de la distrib ciónla distribución
2 Para T determinar K = f(C ;T)2. Para T, determinar KT = f(Cs;T)1 Expresión matemática1. Expresión matemática
2. Valores tabulados
341.5 Análisis probabilístico de variables hidrológicas
Análisis de frecuencia (iv)Análisis de frecuencia (iv)
Distribución Normal
zxK tT =
−=
σμ
σ
201032808028530515517232
2
001308.0189269.0432788.11010328.0802853.0515517.2
wwwwwwz
+++++−
=
21
2
1ln ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
pw
⎦⎣⎟⎠
⎜⎝ p
351.5 Análisis probabilístico de variables hidrológicas
Análisis de frecuencia (v)Análisis de frecuencia (v)
Distribución EV Tipo I (Gumbel)
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛+−=
1lnln5772.06
TTKT π ⎭⎩
⎥⎦
⎢⎣ ⎠⎝ −1Tπ
ñTxT 332⎬
⎫= μ✓ añosT
KT
T 33.20
=⎭⎬⎫
=μ
361.5 Análisis probabilístico de variables hidrológicas
Análisis de frecuencia (vi)Análisis de frecuencia (vi)
Distribución Log-Pearson tipo III
( ) ( ) ( ) 5432232
3116
311 kzkkzkzzkzzKT ++−−−+−+=
33
sCk =6
k =
✓z se calcula igual que para la distribución Normalo a
371.5 Análisis probabilístico de variables hidrológicas
Período de retorno y riesgo (vii)Período de retorno y riesgo (vii)
I t l d fiIntervalos de confianza
UTyT KSyU αα ,, +=
LKSyL += TyT KSyL αα ,, +=
bKK ± 2
aabKK
K TTLUT
−±=
2,
,α
( )121
2
−−=
nza α
nzKb T
22 α−=
381.5 Análisis probabilístico de variables hidrológicas
Conclusión
Conceptos básicosConceptos básicos
Objetivo: Conocer características estadísticas de la muestra de datos hidrológicos1. Selección de la variable aleatoria y su muestra2 Asumir una expresión funcional de distribución de2. Asumir una expresión funcional de distribución de
probabilidad (Estadística Paramétrica)3 Estimar sus parámetros a partir de la muestra3. Estimar sus parámetros a partir de la muestra4. Seleccionar el mejor modelo estadístico
1. Modelo = función de distribución + método de estimación2. Prueba de bondad de ajuste
5. Cálculo de los estadísticos y cuantiles y su incertidumbre
401.5 Análisis probabilístico de variables hidrológicas
Utilidad del Análisis EstadísticoUtilidad del Análisis Estadístico
Análisis estadístico sólo si existen datos
De caudales: cuencas con estación de aforosDe caudales: cuencas con estación de aforos(poco habitual)✓Análisis de la Frecuencia de las Crecidas
Cuantiles
✓En Recursos: Régimen Hidrológico => estadísticos de diversas v ade diversas v.a.
411.5 Análisis probabilístico de variables hidrológicas
Utilidad del Análisis EstadísticoUtilidad del Análisis Estadístico
De precipitación: cuencas no aforadas(siempre hay datos diarios)(siempre hay datos diarios)✓En Crecidas, paso previo del Análisis
Hidrometeorológico clásico:Hidrometeorológico clásico:Análisis de la Frecuencia de Precipitaciones Diarias Máximas AnualesCálculo de la Tormenta (o Hietograma) de Proyecto de período TAplicación de un modelo de transformación lluvia-escorrentía => QT
Ambos, aunque la cuenca sea aforada
421.5 Análisis probabilístico de variables hidrológicas