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136
GEOMETRÍA
6
Unidad 6
CONTENIDOS1. Figuras y cuerpos semejantes
2. Construcción de figuras y cuerpos semejantes
2.1. Homotecia
2.2. Semejanza
3. Longitudes, áreas y volúmenes en figuras y cuerpos semejantes
3.1. Mapas y planos
Competencia matemática
• Utilizar sistemas convencionales de representación espacial (maquetas, planos, mapas…), y elegir el más adecuado para la obtención, la interpretación, la comprensión, la elaboración y la comunicación de informaciones relativas al espacio físico, y para la resolución de problemas diversos de orientación y representación que puedan aplicarse en situaciones reales.
Competencia cultural y artística
• Comprender obras artísticas (mensaje, contextos, elementos característicos...).
Tratamiento de la información y competencia digital
• Utilizar recursos digitales para representar cuerpos y figuras geométricas.
COMPETENCIAS BÁSICAS
Semejanza en el plano y en el espacio
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137Semejanza en el plano y en el espacio
PREPARACIÓN DE LA UNIDAD• El área de un cuerpo geométrico es la medida de la super
ficie que lo delimita.
• El volumen de un cuerpo geométrico es la medida del espacio que ocupa.
CUERPO ÁREA VOLUMEN
Prisma Atotal = Alateral + 2 · Abase V = Abase ⋅ h
Pirámide Atotal = Alateral + Abase VA hbase= ⋅
3
Cilindro Atotal = 2 p r ⋅ (g + r) V = Abase ⋅ h
Cono Atotal = p r ⋅(g + r) VA hbase= ⋅
3
Esfera Aesfera = 4 p r 2 V r= 43
3π
• Una transformación isométrica o movimiento es aquella en que la figura transformada conserva las distancias de la figura original.
• Los movimientos en el plano son tres: la traslación, la simetría (central y axial) y el giro.
La cartografía es la ciencia que se encarga del estudio y de la elaboración de los mapas y cartas náuticas, reproduciendo en una superficie plana la superficie terrestre.
Si la escala de un mapa es 1: 300 000.a) ¿Qué distancia real separa dos ciudades que en el mapa distan
3 cm?b) Si la escala del mapa fuera 1: 500 000, ¿cuál sería la distancia
anterior?
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1. Figuras y cuerpos semejantesObserva las parejas de cuerpos y figuras que se representan a continuación.
Cada pareja está formada por dos figuras o cuerpos que tienen la misma forma pero distinto tamaño. Diremos entonces que los cuerpos o figuras de cada pareja son semejantes.
Si ahora nos fijamos en dos figuras o cuerpos semejantes, es fácil comprobar que la distancia entre dos puntos cualesquiera de una de las figuras y la distancia de sus puntos homólogos en la otra son proporcionales. Esta proporcionalidad se denomina razón de semejanza k.
RECUERDAEl método de Tales o de radiación nos sirve para construir figuras semejantes.
O
CD
A B
B′A′
D′
C′
138
Se denomina razón de semejanza, k, de dos cuerpos o figuras, a la razón de proporcionalidad entre sus distancias homólogas.
′ ′=
′ ′=
′ ′= =
A B
AB
B C
BC
C D
CDk...
1. Dibuja un pentágono semejante al de la figura:
a) Mayor, con razón de semejanza: k = 52
.
b) Menor, con razón de semejanza k = 12
.
— Un pentágono semejante al de la figura con razón k = 1, ¿será menor, mayor o igual que él?
Unidad 6
ACTI
VID
AD
ES
a b c
Dadas las siguientes figuras, calcula su razón de semejanza:
C
B
AA′ C′
B′
D
4 cm
6 cm3 cm
2 cm
12 cm6 cm
9 cm18 cm
D′
Para calcular la razón de semejanza, tenemos que calcular el cociente entre las medidas de los lados homólogos.
kA B
AB
B C
BC
C D
CD
D A
DA= ′ ′ = ′ ′ = ′ ′ = ′ ′
AB = 2 cm ; BC = 4 cm ; CD = 6 cm ; DA = 3 cm
A′B′ = 6 cm ; B′C′ = 12 cm ; C′D′ = 18 cm; D′A′ = 9 cm
k = = = = =6
2
12
4
18
6
9
33
EJEM
PLO
1
6 cm
5 cm
2 cm
3 cm 2 cm
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Observa en la siguiente tabla las propiedades de las figuras y los cuerpos semejantes:
2. Di si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas:
a) Dos rectángulos cualesquiera son semejantes.
b) Los polígonos regulares del mismo número de lados siempre son semejantes.
c) Dos rombos, uno de 6 cm de lado y otro de 4 cm de lado, son semejantes.
d) Los poliedros regulares del mismo número de caras siempre son semejantes.
3. Construye dos cuadrados cuyos lados midan 8 cm y 5 cm. ¿Son semejantes?
— ¿Cuál es su razón de semejanza?
4. El diámetro de la base de un cono mide 8 cm y su altura, 6 cm. Otro cono tiene una base de radio 12 cm y una generatriz que mide 20 cm. ¿Son semejantes ambos conos?
— ¿Qué medidas debería tener el segundo cono para que su razón de semejanza respecto al primero fuera k = 3?
139Semejanza en el plano y en el espacio
ACTIVIDA
DES
RECUERDADos triángulos que tengan un ángulo igual y los lados que lo forman proporcionales son semejantes.FIGURAS DIBUJO PROPIEDADES
Polígonos semejantes
Tienen los lados proporcionales y los ángulos iguales.
Círculos semejantes
Dos círculos son siempre semejantes.
Poliedros semejantes
Tienen las aristas proporcionales, las caras semejantes y los ángulos iguales.
Esferas semejantes
Dos esferas son siempre semejantes.
Conos y cilindros
Tienen los radios de las bases y las alturas proporcionales.
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2. Construcción de figuras y cuerpos semejantes
A continuación, estudiaremos dos métodos para construir figuras y cuerpos semejantes basados en transformaciones isomórficas. Son la homotecia y la semejanza.
2.1. HomoteciaVeamos cómo transformar una figura en otra por una homotecia de centro O y
razón
k =1
2.
• Tomamos un punto arbitrario O al que denominaremos centro de homotecia, y trazamos semirrectas con origen en el punto O y que pasen por cada uno de los vértices de la figura dada.
A
B
C
D
EO
• Sobre una de las semirrectas, por ejemplo la OA, marcamos un punto A′ de modo que se cumpla:
OA
OA
′ =1
2
A
B
C
D
EO A′
• Por el punto A′, trazamos una paralela al lado AB del triángulo hasta cortar la semirrecta OB en el punto B′.
• Por el punto B′, trazamos una paralela al lado BC, hasta cortar la semirrecta OC en el punto C′, y así sucesivamente hasta obtener la nueva figura.
A
B
C
D
EO
B′
A′
D′
C′
E′
140
FÍJATEEn el apartado anterior hemos usado la palabra semejanza para definir una relación métrica entre dos figuras. En este apartado, utilizamos la misma palabra referida a una transformación isomórfica. No debes confundir ambos conceptos.
Unidad 6
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Como puedes ver, los vértices homólogos de ambos polígonos están alineados respecto al centro de homotecia O y se cumple:
OA
OA
OB
OB
OC
OC
′ = ′ = ′
En función del valor de la razón k, tendremos los siguientes casos:
• k > 1
El tamaño de la figura transformada es mayor que el de la original.
O
C
AA′
C′
B′B
• 0 < k < 1
El tamaño de la figura transformada es menor que el de la original.
O
C
AA′
C′
B′B
• -1 < k < 0
El tamaño de la figura transformada es menor que el de la original.
O
C
AA′
C′
B′
B
• k < -1
El tamaño de la figura transformada es mayor que el de la original.
O
C
AA′
C′
B′
B
5. Dibuja en tu cuaderno un triángulo equilátero de 2 cm de lado. A continuación, aplica una homotecia de centro O arbitrario y razón:
a) k = 3 b) k = 0,5 c) k = - 2
141
Una homotecia de centro O y razón k, k p 0, es una transformación geométrica que transforma un punto A en otro A′ alineado con O y A, de modo que:
kOAOA
= ′
Una homotecia de centro O y razón k, k ≠ 0, es una transformación geométrica que transforma un punto A en otro A′ alineado con O y A, de modo que:
kOAOA
= ′
Semejanza en el plano y en el espacio
ACTIVIDA
DES
FÍJATETambién podemos aplicar la homotecia para construir cuerpos o figuras semejantes en el espacio.
O
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Cuando la razón de homotecia k es menor que 0, la figura semejante queda girada respecto a la original.
En una homotecia se cumple:
• El único punto invariante en una homotecia es el centro de homotecia.
• Las rectas que pasan por el centro de homotecia son rectas invariantes.
• Las rectas que contienen segmentos homólogos son paralelas, y la razón de dichos segmentos coincide con la razón de homotecia.
Si aplicamos la definición de homotecia a la figura de la derecha:
kOA
OA
OB
OB= ′ = ′
Los triángulos OAB y O′A′B′ son semejantes, ya que tienen un ángulo en común y tienen los lados proporcionales.
Así pues, se cumplirá que la razón entre los segmentos A′B′ y AB es:
kA B
AB= ′ ′
• Una homotecia conserva el sentido de las figuras.
• Una homotecia de razón k = 1 transforma cada punto en sí mismo. Esta homotecia recibe el nombre de identidad.
• Si la razón de una homotecia es k = -1, se trata de una simetría central.
142
6. Aplica una homotecia de centro O y razón k = 2 al cuadrilátero representado en esta figura:
A
D
B
C
O
7. Dibuja en tu cuaderno un cubo de 1 cm de arista. A continuación, aplica una homotecia de centro O arbitrario y razón k = 4.
8. Halla el centro y la razón de la homotecia que transforma el triángulo ABC en el triángulo A′B′C′.
A
B
C
C′
B′
A′
9. Dibuja en unos ejes de coordenadas el cuadrilátero ABCD de vértices A (-4, 2), B (4, 2), C (2, 4) D (-2, 4), y halla las coordenadas del cuadrilátero que resulta al aplicarle una homo
tecia de centro O (6, 6) y razón
k =− 1
2.
Unidad 6
ACTI
VID
AD
ES
O A
CB
A′
C′B′
Determinación de una homotecia
Una homotecia queda determinada si conocemos los datos de uno de los siguientes casos:
a) El centro y la razón de homotecia (O y k = 2).
O
k = 2
A A′
b) El centro y dos puntos homotéticos (O, A y A′).
O A A′
c) Dos figuras homotéticas (ABC y A′B′C′).
O A
CB
A′
C′
B′
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2.2. SemejanzaOtra transformación que nos permite obtener figuras semejantes es la semejanza.
Observa la siguiente figura:
La transformación que nos permite pasar directamente del triángulo ABC al triángulo A′′B ′′C ′′ es una semejanza.
En general, diremos que dos figuras que se correspondan en una semejanza son semejantes.
En una semejanza se cumple:
• Los segmentos homólogos son proporcionales y su razón coincide con la razón de homotecia.
En efecto, hemos visto que la razón entre dos segmentos homotéticos coincide con la razón de homotecia.
Puesto que los movimientos conservan las longitudes de los segmentos, una semejanza transformará segmentos en segmentos proporcionales y la razón de semejanza coincidirá con la razón de homotecia.
• Los ángulos homólogos son iguales.
Puesto que las homotecias y los movimientos conservan los ángulos, en una semejanza se tendrá que los ángulos homólogos son iguales.
• Si la razón de homotecia es k = 1, esta se reduce a la identidad, y la semejanza considerada es el movimiento que aplicamos.
• Si el movimiento es la identidad, la semejanza considerada se reduce a una homotecia.
• Una semejanza es directa o inversa según el movimiento aplicado. Diremos que una semejanza es directa si conserva el sentido de la figura; en caso contrario, es inversa.
143
Una semejanza es la transformación geométrica que se obtiene como composición de una homotecia con un movimiento.
Semejanza en el plano y en el espacio
A′
AC
B
O
e
B′B″
A″
C″
C′
— El triángulo ABC se transforma en el triángulo A′B′C′ por una homotecia de centro O y razón k = 2.
— El triángulo A′B′C′ se transforma en el triángulo A′′B ′′C ′′ por una simetría axial de eje e.
Puedes comprobar que los triángulos ABC y A′′B ′′C ′′ son semejantes.
FÍJATEUna transformación isométrica, o movimiento, es aquella que conserva las distancias, como indica el término: iso (‘igual’), metron (‘medida’).
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La siguiente tabla recoge los resultados de aplicar a una figura la composición sucesiva de dos transformaciones:
144
FÍJATEObtenemos el mismo resultado si aplicamos primero una homotecia y después un movimiento que si lo hacemos al revés: en primer lugar, el movimiento y, posteriormente, la homotecia.
Si accedes a la página http://concurso.c n i ce. m e c . e s / c n i c e 2 0 0 6 / m a t e rial098/geometria/geoweb/semej1.htm, podrás utilizar un applet para experimentar con figuras semejantes.
@
10. Aplica a la siguiente figura una traslación de vector �v y, a
continuación, una homotecia de centro O y razón
k = 3
2:
CB
A
D v
O
11. Aplica al cuadrilátero ABCD un giro en sentido positivo de
centro el vértice B y ángulo 60° y, a continuación, una homotecia de centro el vértice A y razón k = 2.
12. Explica cómo obtendrás otra vez la figura original a partir de la figura que has obtenido en la actividad anterior.
Unidad 6
ACTI
VID
AD
ES
COMPOSICIÓN DE MOVIMIENTO Y HOMOTECIA
COMPOSICIÓN DE HOMOTECIA Y MOVIMIENTO
traslación homotecia
A A′
A″
O
homotecia traslación
A
A′ A″
O
simetría homotecia
A A′
A″
O
homotecia simetría
A
A′ A″
O
giro homotecia
A
A″
A′
O
homotecia giro
A
A′
O
A″
DA
B
C
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3. Longitudes, áreas y volúmenes en figuras y cuerpos semejantes
Conociendo la razón de semejanza de dos figuras o cuerpos semejantes y una longitud, área o volumen en una de las figuras, podremos calcular la longitud, el área o el volumen homólogos en la otra figura.
LongitudesObserva los polígonos semejantes de la derecha.
Al ser semejantes, cualquier longitud medida en una de las figuras es proporcional a la longitud homóloga en la otra. Esta proporcionalidad vendrá determinada por la razón de semejanza k.
Así pues, se verificará:
ap
ap
r
r
d
dk
′ = ′ = ′ =
13. Dos hexágonos tienen razón de semejanza
k = 1
3. Si el
perímetro del mayor de ellos es de 180 cm, ¿cuánto mide el perímetro del menor? ¿Y los lados de cada hexágono?
14. ¿Cuánto mide el diámetro de una circunferencia semejante a otra cuyo perímetro es 49,98 cm y la razón de semejanza k = 5?
15. Halla el radio, la altura y la generatriz de un cono semejante al de la figura,
con razón de semejanza
k = 3
5.
145
La razón entre dos longitudes homólogas de dos cuerpos o figuras semejantes es igual a su razón de semejanza.
Semejanza en el plano y en el espacio
ACTIVIDA
DES
FÍJATEAl hablar de longitudes medidas en una figura, nos referimos a cualquier longitud que podamos medir en una figura. Una de estas longitudes es el perímetro. Así pues, podemos afirmar que la razón entre los perímetros de dos figuras semejantes es igual a su razón de semejanza.
PP
k′ =
d′
r′
ap′
d
r
ap
Calcula la longitud del lado de la base, la altura y la apote-ma de una pirámide semejante a la de la figura, con razón de semejanza k = 3.
La razón entre las longitudes características de las dos pirámides semejantes será:
′ = ′ = ′ =h
h
b
b
ap
apk
Así pues:
h′ = k · h = 3 · 4 = 12
b′ = k · b = 3 · 6 = 18
ap′ = k · ap = 3 · 5 =15
La pirámide semejante tendrá una base de 18 cm de lado, una altura de 12 cm y una apotema de 15 cm, tal y como muestra la figura de la derecha.
EJEM
PLO
2
b = 6 cm
h = 4 cm
ap = 5 cm
b′ = 18 cm
h′ = 12 cmap′ = 15 cm
d = 2 dm
h =
5 d
m
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Áreas de cuerpos semejantesObserva los dos pentágonos regulares de la izquierda con razón de semejan za k.
Al ser semejantes, el perímetro y la apotema son proporcionales, y su razón de proporcionalidad es k. Así, podemos escribir:
′ = ′ =P
Pk
ap
apk;
Calculamos ahora el área de cada una de las figuras y efectuamos la razón entre ellas.
′ = ′ ⋅ ′ =⋅
′ =
′ ⋅ ′
⋅ =
⋅ ⋅ ⋅
AP ap
AP ap
A
A
P ap
P ap
k P k ap
2 2
2
2
;
22
2
2
P apk⋅ =
Este resultado es aplicable a cualquier par de cuerpos semejantes.
146
La razón entre las áreas de dos cuerpos o figuras semejantes es igual al cuadrado de la razón de semejanza.
16. La razón de las áreas de dos polígonos semejantes es
49144
. ¿Cuál es la razón de semejanza de los polígonos?
17. Contesta a las siguientes preguntas:
a) Si triplicamos los lados de un trapecio, ¿en cuánto aumenta su área?
b) ¿En cuánto tenemos que dividir el radio de una esfera para que su área sea 144 veces menor?
18. Los perímetros de dos polígonos semejantes miden 60 cm y 150 cm. Si el área del menor es de 80 cm2, ¿cuánto medirá el área del mayor?
19. Calcula el área de una pirámide semejante a la de la figura con razón
de semejanza k = 5
2.
Unidad 6
ACTI
VID
AD
ES
Calcula el área de una esfera semejante a otra cuyo radio
mide 6 cm y la razón de semejanza es
k =5
3.
El área de la esfera de radio 6 cm es:
A r= ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ =4 4 6 452 42 2π π ,
La relación entre las áreas de dos esferas semejantes es:
′= ⇒ ′ = ⋅ =
⋅ =A
Ak A k A2 2
25
3452 2 1 256 1, ,
El área de la esfera semejante será de 1 256,1 cm2.
EJEM
PLO
3
ap
ap
8 cm
h =
15
cm
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Volúmenes de cuerpos semejantesObserva los dos prismas de la derecha. Ambos son semejantes y su razón de semejanza es k.
Al ser semejantes, dos longitudes homólogas (lados, altura...) son proporcionales y sus bases son polígonos semejantes.
Calculamos sus volúmenes:
V = Abase · h ; V ′ = A′base · h′
Al ser cuerpos semejantes:
A
Ak
h
hkbase
base
′= ′ =2 ;
Si ahora calculamos la razón entre sus volúmenes:
′ =′ ⋅ ′
⋅=
⋅ ⋅ ⋅⋅
=V
V
A h
A h
k A k h
A hkbase
base
base
base
23
La razón entre los volúmenes es k 3 y coincide con el cubo de la razón de semejanza.
20. Calcula la razón de semejanza de dos prismas de base pentagonal, uno de los cuales tiene un volumen de 2324,7 cm3 y el otro tiene una base cuyos lados miden 6 cm; la apotema, 4,1 cm, y la altura es de 7 cm.
21. El volumen de una esfera es de 904,78 dm3. Calcula el volumen y el radio de una esfera semejante a esta, con razón
de semejanza
k = 7
6.
22. Las medidas de un ortoedro son 3 cm × 5 cm × 8 cm. ¿Qué medidas tendrá un ortoedro semejante a este cuyo volumen sea de 25 920 cm3?
23. Calcula el volumen de la pirámide de la figura y, a continuación, halla el volumen y las medidas de otra pirámide semejante a esta con razón de semejanza k = 3.
147
La razón entre los volúmenes de dos cuerpos semejantes es igual al cubo de la razón de semejanza.
Semejanza en el plano y en el espacio
ACTIVIDA
DES
Halla el volumen de un cilindro semejante a otro de radio
4 cm, altura 6 cm y con razón de semejanza
k =
1
2.
Aplicamos la fórmula para calcular el volumen de un cilindro.
V = Abase · h = p r 2 · h = p · 42 · 6 = 301,6
Para calcular el volumen del nuevo cilindro, aplicamos la definición de volúmenes de cuerpos semejantes.
′ = ⇒ ′ = ⋅ =
⋅ =V
Vk V k V3 3
31
2301 6 37 7, ,
El volumen del cilindro es de 37,7 cm3.
EJEM
PLO
4
h′
h
6 cm
6 cm
h =
12
cm
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3.1. Mapas y planosEl concepto de semejanza se utiliza constantemente para representar sobre un papel objetos demasiado grandes o demasiado pequeños.
Un ejemplo de estas representaciones son los mapas y los planos que son representaciones gráficas de un territorio, una ciudad, una red de carreteras, un edificio...
Las dimensiones de los mapas y de los planos son proporcionales al territorio u objeto que representan. Así pues, los segmentos que unen dos puntos cualesquiera del mapa y sus correspondientes puntos en la realidad son proporcionales. La constante de proporcionalidad viene definida por la escala del mapa.
La escala a la que se ha reproducido el dibujo se indica al pie y se expresa mediante un cociente cuyo dividendo es la unidad.
Así, la escala 1 : 50 significa que 1 unidad de longitud del dibujo representa 50 de estas mismas unidades en la realidad.
A menudo, en mapas y planos, la escala se indica de forma gráfica tal y como se muestra a la derecha.
En este caso, se indica que un segmento del dibujo de longitud igual a la representada mide en la realidad 500 km.
148
Si accedes a la página http://www2.ign.es/signa, encontrarás el Mapa Topográfico Nacional de España y lo podrás visualizar a diferentes escalas.
@
La razón entre una longitud medida en un plano o un mapa y la longitud homóloga medida sobre el objeto real es la escala del mapa o el plano.
24. La escala de un mapa es 1 : 250 000.
a) ¿Cuál es la distancia real de dos localidades que en el mapa están separadas 5 cm?
b) ¿A qué distancia estarán en el mapa dos poblaciones que en la realidad distan 15 km?
— ¿Qué escala tendrá un mapa en el que dos ciudades que en la realidad distan 50 km están separadas por 8 cm?
25. Observa el siguiente plano:
a) ¿Cuál es su escala?
b) ¿Cuántos metros cuadrados tiene el piso en total?
c) ¿Cuántos metros cuadrados tiene la habitación B?
d) Dibuja la escala gráfica del mapa.
Unidad 6
ACTI
VID
AD
ES
0 20 km Escala1 : 200
9 m2
B
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ACTIVIDADES RESUELTASCalcula la escala aproximada del plano de la figura.
Comprensión del enunciadoEl enunciado del problema no contiene ningún dato. Así pues, tendremos que extraer los datos de la figura de una forma aproximada.
Planificación de la resoluciónPara saber la escala, debemos conocer la medida real y la medida en el plano de los objetos representados.
Hemos de centrar, pues, la atención en un objeto del que conozcamos sus medidas reales, por ejemplo la cama porque es un objeto cuya longitud real es aproximadamente de unos 2 m.
Ejecución del plan de resoluciónLongitud de la cama en el plano: 8 mm.
Expresamos los 2 m de la medida real en milímetros y calculamos la escala.
Escalalongitud en el plano
longitud realmm= = 8
2 00001
250mm=
Así pues, la escala es 1 : 250.
Revisión del resultadoComprobamos el resultado midiendo la anchura de una puerta en el plano, y verificando que coincide con la anchura real.
Dado el triángulo ABC, inscribe un cuadrado DEFG con un lado sobre la base AB.
Comprensión del enunciadoLee atentamente el enunciado e imagina la posible solución del problema.
Planificación de la resolución — Existen muchos cuadrados con un lado sobre la base AB. Cons
truimos uno cualquiera D′E′F ′G′ con el vértice G′ sobre el lado AC.
— El vértice F ′ no se encuentra sobre el lado BC. Pero observa que si consideramos una homotecia de centro el vértice A y hallamos el transformado del punto F ′ sobre el lado BC, obtendremos la solución del problema.
Ejecución del plan de resoluciónProcedemos tal y como lo hemos planificado, y determinamos F, el vértice homotético de F ′sobre el lado BC.
Obtenemos el segmento EF, que es el lado del cuadrado DEFG, solución del problema.
Revisión del resultadoComprobamos que, efectivamente, el cuadrado construido cumple las condiciones del enunciado.
A B
C
G′ F′
A D′ E′ B
F
CG
A D E B
F
26. A partir del siguiente plano:
a) Calcula las dimensiones de la habitación A.
b) Averigua la superficie de la cocina.
27. Dadas dos rectas secantes r y s, traza por el punto A una recta que concurra con r y s en el punto de corte, que se encuentra fuera de los límites del papel.
ACTIVIDA
DES
A
A
s
r
C
A B
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150 Unidad 6
SÍNTESIS
una de las aplicaciones
matemáticamente están relacionadas
mediante
Las medidas que se relacionan mediante la razón
de semejanza son
dos métodos para construir
La razón de proporcionalidad entre el mapa y el plano con la
realidad se llama
Figuras y cuerpos semejantes
• Homotecia
• SemejanzaRazón de semejanza
2
• Longitudes
• Áreas
• Volúmenes
4Mapas y planos
5
Escala6
13
1 Dos figuras o cuerpos son semejantes si tienen la misma forma aunque el tamaño sea distinto.
2 Llamamos razón de semejanza k de dos figuras o cuerpos semejantes a la razón de proporcionalidad entre sus distancias homólogas.
3 Dos métodos para construir figuras semejantes son la homotecia y la semejanza.
— Una homotecia de centro O y razón k, k ≠ 0, es una transformación geométrica que transforma un punto A en otro A′ alineado con O y A, de modo que:
kOA
OA= ′
— Una semejanza es la transformación geométrica que se obtiene como composición de una homotecia con un mo vimiento.
4 Relación de longitudes, áreas y volúmenes homólogos en figuras semejantes.
— La razón entre dos longitudes homólogas de dos figuras o cuerpos semejantes es igual a la razón de semejanza.
— La razón entre las áreas de dos figuras o cuerpos semejantes es igual al cuadrado de la razón de semejanza.
— La razón entre los volúmenes de dos cuerpos semejantes es igual al cubo de la razón de semejanza.
5 Los mapas y los planos son representaciones gráficas de un territorio, una ciudad, una red de carreteras, un edificio...
6 La razón entre una longitud medida sobre un mapa o plano y la longitud homóloga medida sobre el objeto real es la escala del mapa o del plano.
La escala puede expresarse mediante un cociente o de forma gráfica.
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ES6
151Semejanza en el plano y en el espacio
Figuras y cuerpos semejantes 28. Halla la medida representada por x en la siguiente estructura
de madera:
1,9
m
4 m
6 m
x
29. Los triángulos ABC y A′B′C′ son semejantes.
C
A A′
C′
B′B 12 cm
x + 1,5
x + 3x
Halla cuánto miden los lados de cada uno de los triángulos si x representa una longitud expresada en centímetros.
30. Considera los dos hexágonos regulares representados a continuación.
E
A
F C
DE′
F′ C′
A′
D′
B′B
a) ¿Cuánto miden los ángulos de los dos polígonos?
b) Calcula la razón de dos lados homólogos. ¿Obtienes el mismo valor si escoges otro par de lados homólogos?
31. Un prisma de base un hexágono regular tiene una altura el doble de los lados de la base. Sabiendo que un prisma seme
jante a este con razón de semejanza
k = 5
3 mide 15 dm de
altura, halla las medidas del prisma inicial.
Construcción de figuras y cuerpos semejantes 32. En una homotecia de centro O (–2, 2), el punto A (1, 2) se
transforma en el punto A′ (4, 2). Halla la razón de homotecia y los transformados de los puntos B (–2, 0) y C (–2, 3).
33. Aplica al triángulo ABC una homotecia de centro O y razón k = 2 y al triángulo obtenido una homotecia de centro O′ y razón k ′ = -1,5. ¿Qué transformación permite pasar del triángulo inicial al triángulo final?
A B
C
O′O
34. ¿Son homotéticos los triángulos rectángulos isósceles ABC y A′B′C′ de esta figura?
A B
C
A′
C′
B′
35. Aplica a la siguiente figura una simetría respecto al eje e y, a continuación, una homotecia de centro O (-1, 0) y razón k = 3. ¿Qué nombre recibe esta composición?
Longitudes, áreas y volúmenes en figuras y cuerpos semejantes 36. Dos triángulos equiláteros son semejantes con razón de se
mejanza k = 2. Si la altura del triángulo menor es
5 32
cm,
¿cuál es el perímetro del triángulo mayor?
37. Las longitudes de las diagonales de un rombo son 4 cm y 8 cm y 8 cm. Calcula cuánto medirán los lados, el perímetro y el área de un rombo semejante al anterior, con razón de semejanza
k = 7
2.
Y
X
e
1 2 3 4
4321
–1–2–3–4
–3–4 –1–2
R
R
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Unidad 6
38. Calcula mentalmente para responder a estas preguntas:
a) El perímetro de un pentágono mide 45 cm. ¿Cuál es el perímetro de un pentágono semejante a este con razón de
semejanza k = 1
5?
b) El área de un rectángulo es de 92 cm2 y el área de otro semejante a este es de 26 cm2. ¿Cuál es la razón de semejanza entre ambos rectángulos?
39. Dos pirámides de base cuadrangular son semejantes y su ra
zón de semejanza es k = 129
.
Calcula sus medidas, sus áreas y sus volúmenes, sabiendo que el área de la base de la pequeña es de 27 cm2 y la apotema de la grande mide 8,54 cm.
40. Resuelve las siguientes cuestiones:
a) La distancia entre dos ciudades es de 750 km. Si la distancia que hay entre ellas en un mapa es de 15 cm, ¿cuál es la escala del mapa?
b) ¿Cuál es la distancia real que separa dos ciudades si en un mapa a escala 1 : 1 000 000 la distancia entre ellas es de 8 cm?
c) En un plano a escala 1 : 100 la superficie de una habitación es de 9 cm2. ¿Cuál es la superficie real de la habitación?
Problemas 41. Construye dos hexágonos regulares cuyos lados midan 1,5 cm
y 5 cm.
a) ¿Cuál es la razón de semejanza?
b) ¿Cuál es la razón entre sus perímetros? ¿Y entre sus áreas?
42. Las medidas de las bases de un trapecio son 8 cm y 4 cm, y su altura es de 3 cm. ¿Cuánto miden los lados, el perímetro y el área de un trapecio semejante a este, con razón de semejanza k = 4?
43. Construye un rectángulo de 5 cm de base y 3 cm de altura. Con siderando como centro de homotecia el centro del rec
tángulo, construye uno homotético de razón
k = 1
2 y otro
de razón k = 3. ¿Son homotéticos, a su vez, los dos rectángulos que has obtenido? ¿Cuál es su razón de homotecia?
44. Construye dos segmentos homotéticos de centro O y razón k = 3. ¿Cómo son dichos segmentos?
— Comprueba gráficamente que cualquier par de segmentos paralelos es homotético.
45. Un jardín tiene dos zonas triangulares con césped y una zona rectangular con grava. Observa la figura y halla el área de cada una de las zonas.
46. Halla el radio y la generatriz del cono de la siguiente figura:
8 cm
5 cm
3 cm
47. La maqueta de una furgoneta a escala 1 : 43 mide 10,5 cm de largo, 5 cm de ancho y 4,5 cm de alto. ¿Qué medidas tendrá la furgoneta a escala real?
— Halla las medidas de una maqueta de la misma furgoneta a escala 1 : 18.
48. A partir de este mapa, averigua la distancia que hay entre las ciudades representadas por los puntos A, B, C, D y E.
A D
C
E
B
0 50 km
49. En grupos de 3 o 4 miembros, dibujad la fachada de vuestro centro escolar escogiendo la escala que consideréis más adecuada: 1 : 200 o 1 : 500.
12 m
16 m
10 mAC
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R
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153Semejanza en el plano y en el espacio
Más a fondo A
50. Un cono tiene una altura de 20 cm. Calcula a qué distancia de la base hay que cortarlo con un plano paralelo a esta para que el cono resultante tenga un volumen ocho veces más pequeño que el volumen del cono inicial.
51. Comprueba gráficamente que los segmentos A′B′ y A′′B′′, homotéticos del segmento AB, obtenidos mediante homote
cias de centros O1 y O2 y razones de homotecia
k1
12
= y
k2
13
= son a su vez homotéticos con una homotecia de cen
tro un punto O3 alineado con O1 y O2.
B
B′
B′′
A′′A′
A
52. Halla el volumen encerrado entre estas dos esferas si su razón de semejanza es
k = 3
4 :
53. Fotocopiamos el plano de una casa cuya escala es 1 : 200.
a) ¿Cuál será la escala del plano fotocopiado si hacemos una ampliación del 125 %?
b) Si ahora reducimos la fotocopia al 40 %, ¿cuál será la nueva escala del plano?
c) ¿Qué área tendrá en el plano original y en los fotocopiados una habitación cuadrada cuya área real es de 9 m2?
54. Los fractales son estructuras formadas a partir de la semejanza y la homotecia. Dos de los más sencillos son la curva de Koch y el triángulo de Sierpinsky. Busca en Internet sus representaciones y las principales características. A partir de esta información, intenta construir un fractal distinto.
55. Justifica si las siguientes afirmaciones son ciertas:
a) Si 1 < a < b, un plano a escala 1 : a ocupa menos que un plano a escala 1 : b.
b) Si a > 1, a : 1 es una escala de ampliación.
56. Aplica al cuadrado una homotecia de centro O (0, 1) y, a continuación, una traslación de 2 unidades siguiendo el sentido positivo del eje de ordenadas. ¿Cómo volverías a obtener la figura original con una única homotecia? Calcula el centro y la razón.
57. Tres círculos son semejantes con razón de semejanza entre
círculos consecutivos
k = 1
3.
� �
Calcula sus radios sabiendo que, al colocarlos como en la figura, la distancia AB mide 78 cm.
58. Estos rectángulos son semejantes:
2x–3324x+
x2 +5 x–2
Calcula cuánto miden los lados de cada uno de ellos si x representa una longitud en centímetros y la razón entre áreas
es
494
.
59. Observa la siguiente figura:
�����
�
La razón de semejanza entre triángulos de tamaños consecutivos es la misma y en cada triángulo el cateto mayor mide el doble que el menor. ¿Cuál es su razón de semejanza?
60. La misma habitación de 2 × 3 m se ha dibujado en dos planos. En uno ocupa un área de 1,5 cm2 y la escala del otro es 1 : 350. ¿Cuál es la razón entre las escalas de los planos?
R = 16 cm
�
�
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COMPETENCIAS BÁSICASA
CTI
VID
AD
ES
154
1. Dada la figura en el plano:
Si se aplica una homotecia de centro O = (0, 3) y razón k = 3, y posteriormente una traslación según el vector:
a) Representa la nueva figura obtenida.
b) Calcula el incremento porcentual del área de la nueva figura obtenida respecto al área de la figura original.
c) Utiliza un programa informático para comprobar los resultados de los apartados anteriores.
2. Tomando como referencia el sofá del plano, que en el papel mide 2 cm y en la realidad 2,5 m, responde a las siguientes preguntas:
a) Determina la escala del plano en metros y, después en centímetros.
b) Determina la superficie de la cocina y la superficie total del piso.
c) ¿Qué escala debería tener el plano para que ocupara el doble en el papel?
3. INVESTIGA Formad grupos para realizar un trabajo sobre la presencia de las figuras geométricas en la escultura y la pintura.
En los siguientes enlaces encontraréis referencias de pintores y escultores que han utilizado las formas geométricas en sus obras:
http://md21011.socialgo.com/magazine/read/lageometraenlapinturaylaescultura_77.html
http://www.eduardochillida.com/index.php?id=153&tx_ttnews[cat]=29
http://wassilykandinsky.narod.ru/
http://www.spainselecta.com/index.htm?http://www.spainselecta.com/joan_miro.htm
http://www.epdlp.com/pintor.php?id=203
Seguid estos pasos:
•BúsquedadeinformaciónenInternet:imágenesycaracterísticasdeunmínimodediezobras en las que destacan las figuras geométricas.
•Elaboracióndeunafichatécnicaparacadaobraenlaqueconstenlossiguientesdatos:autor y título de la obra, características y ubicación.
•Creadunapresentaciónconlasimágenesobtenidasylasfichaselaboradas.
@
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155Semejanza en el plano y en el espacio
Crónica matemáticaLos sistemas de representación que permiten tomar medidas sobre el dibujo y así obtener las dimensiones del objeto son el sistema diédrico y el sistema acotado. Ambos utilizan la proyección cilíndrica ortogonal en uno o más planos. Otros sistemas de representación, tales como la perspectiva cónica y la axonométrica, represen-tan los objetos tal como los vería un observador desde una posición particular, pero no permiten tomar medidas sobre el dibujo.
Descripción objetiva de las formasLas proyecciones y los sistemas de representación son técnicas para describir las formas de los objetos.Hay dos tipos de proyección: la cilíndrica y la central o cónica. En la cilíndrica, los rayos de proyección son paralelos entre sí. Pueden ser ortogonales al plano de proyección (cilíndrica ortogonal) o formar con él un ángulo no recto (cilíndrica oblicua). En la central o cónica, los rayos de proyección tienen origen en un punto V y forman distintos ángulos con el plano de proyección.
1 Los lados de un triángulo miden 12 cm, 18 cm y 22 cm. ¿Cuánto miden los lados de un triángulo semejante cuyo perímetro es 364 cm?
2 La razón entre las apotemas de dos pentágonos es
k = 35
. Si el área del mayor es 70,4 cm2, ¿cuál es el área
del menor?
3 A un triángulo cuyo perímetro mide 12 cm se le ha aplicado una simetría central de centro O y, a continuación, una homotecia de centro el centro de simetría y razón de homote
cia k = 43
. ¿Cuánto mide el perímetro del triángulo homo
tético?
4 El volumen de un cubo es de 216 m3. Calcula las longitu des de las aristas, las superficies y el volumen de un cubo
semejante, con razón de semejanza k = 13
.
5 Los triángulos que forman la figura son semejantes con razón de se
mejanza k = 53
. Halla el área de
la zona sombreada sabiendo que el área del triángulo mayor es 10,8 cm2.
6 Una sala rectangular mide 20 cm × 25 cm en un plano a escala 1 : 20. Calcula su área real utilizando dos procedimientos distintos.
7 Una figura es semejante a otra con razón de semejanza k = 2 y, a su vez, esta es semejante a una tercera con razón
de semejanza k = 13
. ¿Serán semejantes la prime
ra y la tercera figura? ¿Cuál será su razón de semejanza?
EVALU
ACIÓ
N
A C
B
A′ C′
B′
A C
B
A′ C′
B′
A C
B
A′ C′
V
B′plano de proyección
rayo proyectante
plano de proyección
rayo proyectante
plano de proyección
rayo proyectante
En el diédrico, se representan las proyecciones sobre tres planos ortogonales: el alzado, la planta y el perfil.
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