1. Figuras congruentes

Contenidos

1.1 Definición

1.2 Triángulos Congruentes

3.1 Definición

3.2 Triángulos Semejantes

2. Figuras Equivalentes

3. Figuras semejantes

3.3 Elementos homólogos

3.4 Razón entre áreas y perímetros

4.1 División Interior

4.2 División Exterior

4.3 División Armónica

4. División de un segmento

4.4 Sección áurea o Divina

1. Figuras congruentes ( )1.1 Definición

(Son congruentes cuando son exactamente iguales)

Dos figuras son congruentes cuando tienen la misma forma, el mismo tamaño y la misma área, es decir, si al colocarlas una sobre la otra son coincidentes en toda su extensión.

Ejemplos:

A

C

B D

F

E

1.2 Triángulos congruentesPara determinar si dos triángulos son congruentes, existen algunos criterios. Los más utilizados son:

1° Lado, lado, lado (L.L.L.)

Dos triángulos son congruentes si sus lados correspondientes son congruentes.

Ejemplo:

88

1010

66

Los triángulos ABC y DEF son congruentes y se denota: Δ ABC Δ DEF

2° Lado, ángulo, lado (L.A.L.)

Dos triángulos son congruentes si tienen dos lados respectivamente congruentes y el ángulo comprendido entre ellos congruente.

A B

C

E

F

D

αα5

3

5

3

Ejemplo:

Los triángulos ABC y DEF son congruentes y se denota:Δ ABC Δ DEF

3° Ángulo, lado, ángulo (A.L.A)

Dos triángulos son congruentes si tienen dos ángulos respectivamente congruentes y el lado comprendido entre ellos congruente.

A B

C

E

F

D

αα

1212

Ejemplo:

β β

Los triángulos ABC y DEF son congruentes y se denota:Δ ABC Δ DEF

2. Figuras EquivalentesSon aquellas que tienen la misma área.

Ejemplo:

El cuadrado de lado 2√π , es “equivalente” al círculo de radio 2 de la figura:

Área = 4π Área = 4π

3. Figuras semejantes (~)

Para que dos polígonos sean semejantes es necesario que se cumplan dos condiciones:

3.1 Definición

Se llaman “lados homólogos” a los lados que unen dos vértices con ángulos congruentes.

G

F

J

I

Hα

β

γδ

ε

A

E

D

C

Bα

β

γδ

ε

1° que tengan sus ángulos respectivamente congruentes, y

2° que sus lados homólogos sean proporcionales.

Tienen igual forma, pero no necesariamente igual tamaño y área.

A

E

D

C

Bα

β

γδ

ε

G

F

J

I

Hα

β

γδ

ε

6

5

4

3

12

10

8

6

42

Además, están en razón 1:2.

Por ejemplo, los lados AB y GH son homólogos, como también lo son, BC y HI, CD y IJ, DE y JF, EA y FG.

Dos triángulos son semejantes si sus ángulos correspondientes son congruentes, y sus lados homólogos proporcionales.

3.2 Triángulos Semejantes

Ejemplo:

A B

C

α

β

γE

F

D

α

β

γ

Los Lados homólogos están en razón: 1:3 = k

5

3

15

94

12

Recuerda que al establecer una semejanza, el orden no se debe alterar.

AB es homólogo a DE

BC es homólogo a EF

AC es homólogo a DF ABDE

BCEF

ACDF

13

= = = = k

Ejemplo:

Determinar la medida del segmento QR de la figura:

A B

C

α

β

γ4 10

Q

R

P

α

γ

β6

Solución:Los triángulos ABC y PRQ son semejantes y se tiene que

ABPR

10QR

46

= = 10QR

46

= 60 = 4∙QR 15 = QR

Es decir:

⇒ ⇒ ⇒

Δ ABC ~ Δ PRQ , entonces:

ABPR

CBQR

ACPQ

= = = k Con k razón de semejanza

P

Q

R

A B

C

3.3 Elementos HomólogosLos lados homólogos en los triángulos semejantes, corresponden a los lados proporcionales.

Ejemplo:

34

5

6

8

10

ABPQ

= BCQR

= CARP

= k 5 10

= 36

= 48

= 12

⇒

Además, los elementos que cumplen la misma función en cada triángulo como: alturas, transversales,bisectrices y simetrales, también son homólogos y proporcionales.

= k

PR

6

8

10

Q

A B

C

34

5

hC

hR

Además, =hC

hR

2,4

4,8=

1

2= k

• La razón entre los perímetros de dos triángulos semejantes, es igual a la razón entre sus elementos homólogos.

3.4 Razón entre Áreas y Perímetros

Ejemplo:Q

6

10

hR

PR 8

A B

34

5

C

hC

PABC

PPQR

=12

24

=1

2

= k

• La razón entre las áreas de dos triángulos semejantes, es igual al cuadrado de la razón entre sus elementos homólogos.

Ejemplo:

Q

6

10

hR

PR 8

A B

34

5

C

hC

AB

PQ= = k 5

10= 1

2

AABC

APQR

= 6

24

=1

4

= k2

4. División de un segmento4.1 División interior

CA B

Si el punto C divide “interiormente” al segmento AB en razón m:n, entonces:

Ejemplo:

QA B

ACCB = m

n

Si Q divide “interiormente” al segmento AB en la razón 3:5, y QB= 45, entonces, ¿cuánto mide AB?

QA B

45

AQQB

= 35

Solución:

AQ45

= 35

AQ =3∙45

5

AQ = 27⇒ ⇒ ⇒

27

Por lo tanto, AB mide 72

4.2 División exteriorSi el punto D divide “exteriormente” al segmento AB en razón m:n, entonces:

BA D

Ejemplo:

BA D

20

ADBD = m

n

Si D divide “exteriormente” al segmento AB en la razón 5:2, y AD = 20, entonces, ¿cuánto mide BD?

ADBD

= 52

20BD

= 52 BD =

20∙2

5

BD = 8⇒ ⇒⇒

BA D812

20Solución:

4.3 División armónicaDividir el segmento AB “armónicamente” en razón m:n, implica dividirlo interior y exteriormente en la misma razón.

Ejemplo:

m

ACCB = = n

ADBD

Al dividir “armónicamente” el segmento AB en la razón 3:2, ¿cuánto mide BD y CB, si AB = 12?

A C B D

A C B D

12

12+y y

Solución:

12 - x y

ACCB

= 32

= 32

2x = 3(12-x)⇒ ⇒ x 12-x

2x = 36 -3x⇒5x = 36⇒

⇒

ADBD

= 32

= 32⇒ 24 + 2y = 3y⇒

⇒

365

x = 365

24 = y

245

24A C B D

x

12

4.4 Sección Áurea o DivinaEl punto X divide el trazo AB en “sección áurea”, si el trazo mayor es media proporcional geométrica entre el trazo completo y el menor.

Si AX > BX, entonces:

Ejemplo:

XA B

PA B

ABAX = AX

BXó (AX)2 = AB∙BX

En la figura, P divide al segmento AB en “sección áurea”, con AP > PB. ¿Cuál es la ecuación que permite calcular la medida de AP, si PB = 5b?

5b

Solución:

(AP)2 = (AP + 5b)∙5b⇒(AP)2 = 5b∙AP + 25b2⇒(AP)2 - 5b∙AP - 25b2 = 0⇒

5b

PA B

(AP)2 = AB∙PB