Tema 10

FIGURAS Y CUERPOS GEOMTRICOSC.E.I.P.S. Adolfo Surez Luis Alonso Curso 2010/2011

Tema 101.- POLIEDROS 2.- PRISMAS Y PIRMIDES 3.- CUERPOS DE REVOLUCIN 4.- REAS Y VOLMENES DE POLIEDROS, CILINDROS, CONOS Y ESFERAS 5.- REAS Y VOLMENES DE CUERPOS COMPUESTOS 6.- LA TIERRA

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1.- POLIEDROSUn cuerpo geomtrico es una figura de tres dimensiones. Hay dos grandes tipos de cuerpos geomtricos:

Poliedros: Limitadas por caras planas poligonales. Cuerpos de revolucin: resultan al girar una figura plana alrededor de un eje.

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1.- POLIEDROSEn un cuerpo geomtrico podemos distinguir:

Vrtices: puntos. Aristas: rectas. Caras: planos.

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Posiciones relativas

En el espacio podemos distinguir las siguientes posiciones relativas entre planos y rectas:

Posiciones de dos planos:

Paralelos

Secantes

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Posiciones relativas

En el espacio podemos distinguir las siguientes posiciones relativas entre planos y rectas:

Posiciones de dos rectas:

Paralelas

Secantes

Se cruzan

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Posiciones relativas

En el espacio podemos distinguir las siguientes posiciones relativas entre planos y rectas:

Posiciones de una recta y un plano:

Secantes

Paralelos Recta contenida en el plano

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Perpendicularidad

Adems, si se cortan la recta y el plano pueden ser perpendicularmente. Es decir, la recta es perpendicular al plano. Y esto ocurre cuando la recta es perpendicular a cualquier recta contenida en el plano.

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1.- POLIEDROSUn poliedro es un cuerpo geomtrico limitado por polgonos. Llamamos:

Caras del poliedro a los polgonos que lo forman. Aristas del poliedro a los lados de las caras: Cada arista se junta con dos caras. Vrtices del poliedro a los vrtices de las caras. En cada vrtice concurren tres o ms caras.

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1.- POLIEDROS

Existen dos tipos de poliedros:

Convexo: Son los que hemos visto siempre. Cncavo: Tiene como agujeros o hendiduras

Ejemplo: las figuras de la pgina 169.

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1.- POLIEDROS

En cualquier poliedro se verifica la frmula de Euler:

C+V=A+2

C: Caras V: Vrtices A: Aristas

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POLIEDROS REGULARESUn poliedro es regular cuando todas sus caras son polgonos regulares idnticos y en cada vrtice del poliedro concurren el mismo nmero de aristas o de caras.

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POLIEDROS REGULARESLos nicos 5 poliedros regulares son:

Tetraedro: 4 caras que son tringulos Cubo: 6 caras que son cuadrados Octaedro: 8 caras que son tringulos Dodecaedro: 12 caras que son pentgonos Icosaedro: 20 caras que son tringulos

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POLIEDROS REGULARES

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POLIEDROS

Otros poliedros importantes son:

Paraleleppedo recto (ortoedro) y oblicuo Prisma recto y oblicuo Pirmide y tronco de pirmide

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2.- PRISMAS Y PIRMIDESUn prisma es un poliedro limitado por dos polgonos iguales, llamados base, y varios paralelogramos, llamados caras laterales. La distancia entre las bases se llama altura del prisma.

Si todas las caras laterales son rectngulos, el prisma es recto. Si alguna cara lateral no es rectngulo, el prisma es oblicuo. Se nombra tambin con el polgono de la base: prisma pentagonal.

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PARALELEPPEDO

Un prisma con todas las caras paralelogramos se llama paraleleppedo.

Un paralelogramo es un polgono de 4 lados paralelos e iguales dos a dos: cuadrado, rombo, rectngulo,... Ortoedro: caras rectngulos. Cubo: caras cuadrados. Romboedro: caras rombos. Romboidedro: caras romboides.Luis Alonso 18

Podemos destacar:

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2.- PRISMAS Y PIRMIDESUna pirmide es un poliedro que tiene por base un polgono cualquiera y por caras laterales tringulos con un vrtice comn llamado vrtice de la pirmide. La altura de la pirmide es la distancia del vrtice al plano de la base. Las alturas de los tringulos de las caras laterales se llaman apotemas de la pirmide. Las pirmides se llaman triangulares, cuadrangulares,... segn el polgono de la baseCurso 2010/2011 Luis Alonso 19

TRONCO DE PIRMIDE

Si cortamos una pirmide de forma paralela a la base tenemos un tronco de pirmide y la pirmide deficiente.

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PROPIEDADES MTRICAS

Como los poliedros tienen en sus caras polgonos (tringulos, rectngulos,...) podemos usar las mismas propiedades mtricas que en el plano. Por ejemplo, en un ortoedro podemos calcular ciertas distancias ayudados por el Teorema de Pitgoras, ya que todas sus caras son perpendiculares entre s.

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PROPIEDADES MTRICAS

Por ejemplo, podemos calcular si en una caja (ortoedro) entra un determinado listn. Ejemplo pgina 171.

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PROPIEDADES MTRICAS

Realmente, podemos usar el Teorema de Pitgoras en el espacio:

El cuadrado de la diagonal es igual a la suma de los cuadrados de los valores de sus tres dimensiones.

D= x y z2 2

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3.- CUERPOS DE REVOLUCINGirando un rectngulo alrededor de un lado se genera un cilindro recto. Las bases del cilindro son crculos y su distancia es la altura.

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3.- CUERPOS DE REVOLUCINHaciendo girar un tringulo rectngulo alrededor de un cateto, se obtiene un cono recto. La altura es la distancia del vrtice a la base. La altura del tringulo (g) es la generatriz. Tambin tenemos troncos de cono.

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3.- CUERPOS DE REVOLUCINLa esfera se genera haciendo girar un semicrculo alrededor de su dimetro. Queda determinada por su radio (r).

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3.- CUERPOS DE REVOLUCIN

Podemos encontrarnos tambin con problemas mtricos en los cuerpos de revolucin. Lo importante es darnos cuenta de cules son los datos y qu queremos hacer con dichos datos.

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SIMETRAS

Hay dos tipos de simetras en cuerpos geomtricos:

Eje de simetra: Si giramos el cuerpo alrededor de ella con un determinado ngulo volvemos a tener el mismo cuerpo. Plano de simetra: Es un plano que contiene el eje de simetra y divide al cuerpo en dos mitades iguales pero simtricas.

Podemos encontrar muchos planos de simetras en poliedros y en cuerpos de revolucin.Luis Alonso 29

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4.- REAS Y VOLMENES DE POLIEDROS, CILINDROS, CONOS Y ESFERAS

El rea de un cuerpo geomtrico es la superficie que ocupa el cuerpo. En los cuerpos geomtricos estudiados conviene desarrollarlos sobre el plano y as calcular su rea. Lo que haremos entonces es calcular reas de rectngulos, trapecios, tringulos, hexgonos,... y sumar todas las reas de las distintas caras.

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4.- REAS Y VOLMENES DE POLIEDROS, CILINDROS, CONOS Y ESFERAS

El volumen es el espacio que ocupa un cuerpo. El volumen de un prima o un cilindro es rea de la base por la altura.

V = Abase h

El volumen de una pirmide o un cono es la tercera parte del rea de la base por la altura.

1 V = A base h 3Curso 2010/2011 Luis Alonso 32

4.- REAS Y VOLMENES DE POLIEDROS, CILINDROS, CONOS Y ESFERAS

El rea de la superficie esfrica es:

A=4 r

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El volumen de una esfera es:

4 3 V = r 3

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5.- REAS Y VOLMENES DE CUERPOS COMPUESTOS

Para calcular el rea o el volumen de un cuerpo compuesto debemos primero descomponerlo en cuerpos elementales como los que ya hemos estudiado. Una vez descompuesto, calculamos las distintas reas o volmenes y luego sumamos todas para encontrar el rea o el volumen del cuerpo compuesto.

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6.- LA TIERRA

La Tierra es prcticamente una esfera con radio medio de 6371Km. La Tierra gira alrededor del eje terrestre que pasa por dos Polos: Norte y Sur.

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6.- LA TIERRA

Los meridianos son semicircunferencias cuyos extremos son los polos. Un huso es la superficie limitada entre dos meridianos. La Tierra se divide en 24 husos llamados husos horarios, que determinan lugares con la misma hora.

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6.- LA TIERRA

Los paralelos son circunferencias sobre la superficie terrestre que son perpendiculares al eje (y por tanto tambin a los meridianos). El ecuador es el mximo paralelo; es decir, la circunferencia ms grande. La superficie contenida entre dos paralelos se llama zona.

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6.- LA TIERRA

Podemos establecer las coordenadas que tiene un punto en la esfera terrestre usando el sistema terrestre que tiene por ejes el ecuador y el meridiano de Greenwich. La unidad de medida es el grado.

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6.- LA TIERRA

Cualquier punto de la Tierra est determinado por unas coordenadas: latitud y longitud. La longitud de un lugar P es la medida en grados del arco que forma, en el ecuador, el meridiano del lugar y el meridiano de Greenwich. La latitud de un lugar P es la medida en grados del arco que forma, en el meridiano del lugar, el ecuador y el paralelo del lugar.

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6.- LA TIERRA

La longitud vara de 0 a 180 en direccin este (E) y de 0 a 180 en direccin oeste (W). La latitud vara de 0 a 90 en direccin norte (N) en el hemisferio norte y de 0 a 90 en direccin sur (S) en el hemisferio sur. Todos los puntos de un mismo meridiano tienen la misma longitud. Todos los puntos de un mismo paralelo tienen la misma latitud.Luis Alonso 42

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6.- LA TIERRA

Entonces las coordenadas de una ciudad se escriben: A(15E, 45N)

Ciudad A Situada a 15 al este del meridiana de Greenwich Situada a 45 al norte del ecuador.

Para que nos hagamos una idea, las coordenadas de Madrid son: (3.41O,40.24N)

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