Figuras semejantes

Al hacer una ampliación o una reducción de una fotografía, se obtienen figuras se-mejantes, es decir, con la misma forma, pero distinto tamaño.

Dos figuras son semejantes cuando tienen la misma forma aunque sus dimen-siones sean diferentes.

La distancia entre dos puntos cualesquiera de una de ellas dividida entre la distancia entre los dos puntos correspondientes de la otra es constante y se denomina razón de semejanza.

Dos polígonos son semejantes cuando sus ángulos correspondientes son igua-les, y sus lados, proporcionales.

Ejemplo Calcula la razón de semejanza entre las siguientes figuras semejantes.Para calcular la razón de semejanza dividimos las longitudes de dos lados homólogos:

k = 25=0,4

Ejemplo Comprueba que los triángulos ABC y A'B'C' son semejantes con razón de se-mejanza k = 2.

• Sus ángulos son iguales:

A= A'= 90°; B = B'= 45°; C = C '= 45°

• Sus lados son proporcionales:

A'B'AB

= 42= 2   B'C '

BC= 42 +42

22 + 22= 5,662,83

= 2  C 'A'CA

= 42= 2

C A ′ C ′

B′

A

B

ACTIVIDADES

2. Dibuja dos rectángulos de modo que su base sea exac-tamente el doble que su altura. ¿Son semejantes lasfiguras que has dibujado? ¿Cuál es la razón de seme-janza?

3. Se ha ampliado una fotografía que medía 10 cm × 15 cma 16 cm × 24 cm. ¿Cuál es la razón de semejanza apli-cada en la ampliación?

4. Las medidas de un rectángulo son 5 y 10 cm. Calculalas medidas de otro rectángulo semejante al anteriorsi su lado mayor mide 8 cm.

1. Los lados de un triángulo miden 2, 3 y 4 cm. Halla lamedida de los lados de un triángulo semejante al an-terior y cuyo lado menor mida 14 cm.Calculamos la razón de semejanza:

k = 142= 7

Los otros dos lados del segundo triángulo medirán: 3 ⋅ 7 = 21 cm y 4 ⋅ 7 = 28 cm

ACT IV IDAD RESUELTA

Los puntos, lados o ángulos correspondientes también se llaman homólogos.

Los puntos A y A' son correspondientes u homólogos.

Ten en cuenta

A

A'

El teorema de Tales se puede utilizar para calcular la medida de segmentos descono-cidos.

Teorema de Tales2Teorema de Tales: Si varias rectas paralelas cortan a dos rectas secantes r y s, los segmentos correspondien-tes determinados por las rectas paralelas sobre r y s son proporcionales.

ABA'B'

= BCB'C '

= ACA'C '

Ejemplo Comprueba que se cumple el teorema de Tales.

Las rectas a, b y c son paralelas que cortan a las rectas secantes r y s.

Aplicando el teorema de Tales, las longitudes de los segmentos formados deben ser proporcionales:

ABA'B'

= BCB'C '

= ACA'C '

⇒ 1,251

= 3,753

= 54= 1,25

C ′

r s

B ′

A ′A

B

C

Ejemplo Calcula la medida del segmento A'B'.

Aplicando el teorema de Tales:

ABA'B'

= BCB'C '

⇒ 1,8x

= 43,9

⇒ x = 1,8⋅3,94

= 1,755A

C

A ′x

C ′B ′

B �

�,�

�,�

ACTIVIDADES

7. Calcula la longitud del segmento AC de la figura.

 Pista Se tiene que cumplir el teorema de Tales.

24

5

15

C ′

B ′

A ′A

B

C

Compara tu respuesta con un compañero, ¿habéis segui-do los mismos pasos?

5. Las rectas a y b del dibujo son paralelas. Comprueba uti-lizando el teorema de Tales si también lo es la recta c.

 Pista Se tiene que cumplir el teorema de Tales.

a b c

�,� �,�

�,� �

6. Calcula la longitud de los segmentos desconocidos.

 Pista Las medidas tienen que cumplir el teorema de Ta-les, el cociente debe ser el mismo divididas dos a dos.

a) b)

�

�,�

�y

A ED

C

B �,�

�,�

�,���,�

x

y

A

F

BC D

HG

E

C ′

rs

B ′A ′

A

a b

B

C c

�,��

�,��

� �

Triángulos en posición de Tales. Criterios de semejanza

Triángulos en posición de Tales

Semejanza de triángulosPara demostrar que dos triángulos son semejantes, es suficiente con comprobar que se cumple alguno de los siguientes criterios.

Dos triángulos están en posición de Tales cuando tienen un vértice común y los lados opuestos a ese vértice son paralelos.

Los triángulos en posición de Tales son semejantes.

1.er criterio: Dos triángulos son semejantes si tienen dos ángulos correspon-dientes iguales.

2.° criterio: Dos triángulos son semejantes si tienen un ángulo correspon-diente igual, y los lados que lo forman, proporcionales.

3.er criterio: Dos triángulos son semejantes si tienen los tres lados de uno pro-porcionales a los del otro.

B ′C ′

A

C B

Ejemplo Comprueba que los triángulos ABC y AB'C' están en posición de Tales.

� ��,�

�,�

B ′C ′

A

BC

• Los ángulos son iguales:

A= 30°; B = B'= 70°; C = C '= 80°

• Los lados son proporcionales:ABAB'

= ACAC '

= BCB'C '

⇒ 22,5

= 1,62

= 1,31,625

=0,8

Ejemplo Comprobamos el 2.° criterio de semejanza.

Si los dos triángulos tienen un ángulo igual y los lados que lo forman proporciona-les, podemos colocarlos en posición de Tales:

A= A'= 25° y ABA'B'

= ACA'C '

⇒ 22,5

= 33,75

=0,8

Por tanto, los dos triángulos son semejantes y podemos asegurar que:

B = B', C = C ' y BCB'C '

=0,8

�,��

�,�

�

�

A = A ′

B ′B

C C ′

Ejemplo Comprobamos el 1.er criterio de semejanza.Si los dos triángulos tienen dos ángulos iguales:

A= A'= 40° y B = B'= 100°

Como la suma de los ángulos de un triángulo es 180°:

C = C '= 180°−40°− 100° = 40° Como tienen los tres ángulos iguales, los dos triángulos son semejantes.

40°

40°100°100° A ′

B ′

C ′A

C B

207

Ejemplo Comprobamos el 3.er criterio de semejanza.Si los dos triángulos tienen los tres lados proporcionales, podemos colocarlos en posición de Tales:

A A = A ′

B ′B ′C ′

A ′

C ′

B

�,��

�,��

�

�

CC B

ABA'B'

= ACA'C '

= BCB'C '

⇒ 54= 43,2

= 64,8

= 1,25

Por tanto, los dos triángulos son semejantes: A= A', B = B' y C = C '

ACTIVIDADES

12. Isabel está aburrida esperando a una amiga al lado deuna farola y observa que su sombra mide 40 cm y la dela farola, 60 cm. Si ella mide 1,6 m, ¿cuál es la alturade la farola?

8. Explica por qué los triángu-los que aparecen en la si-guiente figura son triángulosen posición de Tales.

9. Comprueba si estos triángulos son semejantes. Pista Utiliza el 3.er criterio de semejanza de triángulos.

10. Calcula la longitud de los lados desconocidos x e y delsiguiente triángulo.

x

y

6

3

2

4

11. Comprueba, aplicando los criterios de semejanza, silos siguientes triángulos son semejantes.

 Pista Utiliza el 2.º criterio de semejanza de triángulos.

A C

B

D F

E

��°

��� mm

���

mm

��� mm

���

mm

��°

Juan ha plantado en su jardín, al lado del granado, unpequeño laurel de 1,2 m. Si la sombra del laurel mide 2 m, y la del granado, 5 m, ¿cuánto mide este?

Aplicando el primer criterio comprobamos que los trián-gulos ABC y DEF son semejantes, ya que B = D = 90° yA= E , por ser los rayos de luz paralelos.

ABDE

= ACDF

⇒ h1,2

= 52⇒ h = 5 ⋅1,2

2= 3m

El granado mide 3 m de alto.

PROBLEMA RESUELTO Calcula la longitud del lado desconocido del siguien-

te triángulo.

Los dos triángulos están en posición de Tales y, por tan-to, son semejantes.

11,25

= 1+ 2x

⇒ x = 3 ⋅1,25 = 3,75

ACT IV IDAD RESUELTA

A C ″

B ″B ′

B

C ′ C

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 PRACTICA  Identifica triángulos semejantes.

�,� cm�,� cm

�,� cm�� cm

��,� cm

��,� cm

x�

� �,�

�,��

�,� cm�,� cm

�,� cm�� cm

��,� cm

��,� cm

3 Aplicaciones del teorema de Tales

El teorema de Tales tiene muchas aplicaciones.

División de segmentos en partes iguales

División de segmentos en partes proporcionales

Ejemplo Divide el segmento AB en 5 partes iguales.

1.º Trazamos una semirrecta auxiliar,con origen en uno de los extremos del segmento.

A B

2.º Utilizando un compás, señalamossobre la recta auxiliar 5 segmentos iguales.

D5D4

D3D2

D1

C1 C2 C3 C4A B

3.º Unimos la última división de la se-mirrecta auxiliar con el otro extremo del segmento y trazamos paralelas a esta recta que pasen por el resto de divisiones.

D5D4

D3D2

D1

C1 C2 C3 C4A B

El teorema de Tales nos asegura que nuestro segmento ha quedado divido en 5 partes proporcionales a las de la recta auxiliar, y por tanto, iguales entre sí.

Ejemplo Divide el segmento AB en tres partes proporcionales a 2, 3 y 5.

1.º Trazamos una semirrecta auxiliar,con origen en uno de los extremos del segmento y señalamos en ella 2 + 3 + 5 = 10 partes iguales, con ayuda de un compás.

C10

C2C1C3

C9C8C7C6C5C4

A B

2.º Unimos la última división de la se-mirrecta auxiliar con el otro extremo del segmento y trazamos paralelas a esta recta que pasen por la segunda y la quinta división.

C10

C2C1C3

C9C8C7C6C5C4

A BD E

El teorema de Tales nos asegura que los segmentos AD, DE y DB, en que ha quedado dividido el segmento AB, son proporcionales a 2, 3 y 5, respectivamente.

Ten en cuenta

Para trazar paralelas, ayúdate de una escuadra y un cartabón.

4 Mapas, planos y maquetas. Escalas

Escalas

Un mapa es la representación gráfica de una zona geográfica.

Un plano es la representación gráfica de otro tipo de elementos tales como una vivienda o una ciudad.

Una maqueta es la representación reducida de cualquier objeto, tal como un edificio, un avión, un automóvil…

La escala de un plano, mapa o maqueta es la razón de semejanza entre la repre-sentación de la zona u objeto y la realidad.

E = Distancia en la representaciónDistancia en la realidad

Ejemplo Un mapa de carreteras es un ejemplo de representación gráfica de una parte de la superficie terrestre.

Ejemplo Antes de iniciar la construcción de gran-des obras arquitectónicas suele diseñarse una ma-queta que permite tener una idea bastante aproxima-da del resultado final.

Ejemplo La distancia entre Lalín y Chantada es de 15 km en línea recta en la realidad. Si en el mapa están a 5 cm, ¿cuál es la escala?

E = 5 cm1500000 cm

Ejemplos El plano de tu ciudad es una represen-tación proporcional reducida de las posiciones reales de las calles.

El plano o esquema de un circuito electrónico es una representación pro-porcional ampliada del circuito real.

Ten en cuenta

En los planos se representan zonas pequeñas, por lo que no se tiene en cuenta la curvatura de la Tierra. Sin embargo, en los mapas, sí.

Ten en cuenta

Mientras que los mapas y los planos son representaciones en dos dimensiones, las maquetas son reproducciones en tres dimensiones.

Ten en cuenta

Una escala 51 500000

equivale,

simplificándola, a 1:300 000.

Escalas numérica y gráfica

La escala de un mapa, plano o maqueta se puede expresar mediante una rela-ción de proporcionalidad numérica o mediante una representación gráfica.

Ejemplo En el mapa de Lalín y Chantada hemos comprobado que 5 cm en el mapa corresponden a 15 km en la realidad. Por tanto, la escala numérica es:

1 : 300 000

La escala gráfica correspondiente a este mapa vendría representada por la siguien-te regla graduada:

� � � �� m0 3 km 6 km 9 km

Quiere decir que cada porción de distancia igual a una de las divisiones de dicha regla representa 3 km de la realidad.

ACTIVIDADES

15. La escala de un mapa es 1:50 000.

a) Calcula la distancia real que separa dos puntos si en elmapa están separados por 3,2 cm.

b) Dos puntos en la realidad están separados por 1250 m. ¿Qué distancia los separará en el mapa?

13. Para representar cada una de las siguientes situacio-nes, indica si utilizarías un mapa, un plano o una ma-queta.

a) La disposición de los asientos en un teatro.

b) Una locomotora de vapor.

c) La forma de llegar desde tu ciudad al pueblo de unamigo.

d) Los ríos y sus afluentes europeos.

e) Las conexiones internas de uno de los microchips detu ordenador.

f) Las salidas de incendio de un hospital.

14. ¿Qué tipo de representación es cada una de las si-guientes?

a) c)

b) d)

. La escala del mapa de una zona montañosa es1 : 30 000.

a) Calcula la distancia real que separa dos refugios sien el mapa están separados por 2,7 cm.

b) Si los picos de dos montañas están separados por2400 m, ¿qué distancia los separará en el plano?

a) Si 1 cm en el mapa equivale a 30 000 cm en la reali-dad, la distancia real entre los refugios es:

2,7 ⋅ 30 000 = 81 000 cm = 810 m

b) Como 1 cm equivale a 30 000 cm = 300 m, la distan-

cia en el plano es: 2400300

= 8cm

ACT IV IDAD RESUELTA

Organiza tus ideas

FIGURAS SEMEJANTES

Las figuras semejantes tienen la misma forma, pero distinto tamaño.

• La distancia entre dos puntos cualesquiera de una de ellas es proporcional a la distancia entre los dos puntos correspon-dientes de la otra.

• Dos polígonos son semejantes cuando sus ángulos correspondientes son iguales, y sus lados, proporcionales.

• La razón de semejanza, k, es el cociente de dos distancias homólogas (que se corresponden) cualesquiera.

TEOREMA DE TALES

Si varias rectas paralelas cortan a dos secantes, los segmentos correspondientes determinados por las rectas paralelas sobre las secantes son proporcionales.

ABA'B'

= BCB'C '

= ACA'C '

Dos triángulos están en posición de Tales si tienen un vértice co-mún y los lados opuestos a ese vértice son paralelos.

B ′C ′

A

C B

Los triángulos son semejantes.

1.er criterio

B ′

C ′

A ′A

C B

81°59°81°

59°

Si tienen dos ángulos correspondientes iguales.

2.° criterio

B ′

C ′A ′

��°

��°A C

B�

� �

�,�

Si tienen un ángulo igual, y los lados que lo forman, proporcionales.

3.er criterio

B ′

C ′A ′A C

B

��

�

�,��,�

�

Si tienen los tres lados de uno proporcionales a los del otro.

Triángulos en posición de Tales Criterios de semejanza de triángulos

Aplicaciones del teorema de Tales y del teorema de Pitágoras

División de segmentos en partes iguales

D5D4

D3D2

D1

C1 C2 C3 C4A B

División de segmentos en partes proporcionales

C10

C2C1C3

C9C8C7C6C5C4

A BD E

Construcción polígonos semejantes

B

E

G

F C

D

A

Razones de longitudes, áreas y volúmenes

• Razón de semejanza: k

• Razón de longitudes: k

• Razón de las áreas: k2

• Razón de los volúmenes: k3

Escala numérica

1 : 1 500 000

Escala gráfica

� � � �� m

EScALAS

C ′

r s

B ′

A ′A

B

C

Actividades

EJERCIC IOS PARA PRACTICAR

Figuras semejantes. Teorema de Tales

1. Comprueba si las siguientes figuras son semejantes en-tre sí. Justifica tu respuesta en cada caso. a)

� ��,�

��

b)

���

��,�

2. Las siguientes ternas de números representan las lon-gitudes de los lados de una pareja de triángulos. Estu-dia, en cada caso, si son o no semejantes. En caso afir-mativo, determina la razón de semejanza.

 Pista Utiliza el 3.er criterio de semejanza de triángulos.

a) a = 2; b = 4 y c = 5 a' = 8; b' = 16 y c' = 20

b) a = 3; b = 4 y c = 6 a' = 4,5; b' = 6 y c' = 8,5

c) a = 2,5; b = 5,5 y c = 7 a' = 7,5; b' = 16,5 y c' = 21

3. Calcula el valor de los segmentos desconocidos encada una de las siguientes representaciones.

a)

F

A

E D

xC

B

5

4 2

b)

A

B

x

y

E D

C

�,�

�,�

�,�

�

4. Comprueba que los dos triángulos que forman el carta-bón de la figura son proporcionales. Calcula la medidade todos los lados e indica la razón de semejanza. Pista Utiliza el teorema de Pitágoras para calcular el ca-

teto del triángulo grande desconocido.

� cm

�,��

�� cm

5. Las siguientes ternas de números representan las lon-gitudes de los lados de una pareja de triángulos seme-jantes. Calcula, en cada caso, la razón de semejanza ylos valores de los lados desconocidos.

 Pista aa'= bb'⇔ a ⋅b'= a'⋅b

a) a = 3, b = 4, c = 6 a' = 4,5, b' = x, c' = y

b) a = x, b = 4, c = 3 a' = 2, b' = 2, c' = y

c) a = x, b = y, c = 8 a' = 12, b' = 20, c' = 25

6. Del polígono ABCDE de la siguiente figura se conocenlas medidas:

AB = 27 mm CD = 30 mm EA = 25 mm

BC = 30 mm DE = 45 mm

EI

F

G HA

D

CB

Si el polígono EFGHI es semejante al anterior e IE = 2 cm:

 Pista El lado IE es homólogo del lado DE.

a) Calcula la razón de semejanza de los dos polígonos.

b) Halla los lados desconocidos de EFGHI.

Semejanza de triángulos

7. En la figura, los lados CD y BE son paralelos. Se sabe que:

AB = 3 AE = 2 BC = 1 BE = 2

A E D

B

C

a) ¿Cómo son los triángulos ABE y ACD?

b) Calcula las medidas de los segmentos AD, ED y CD.

8. Estudia si estos pares de triángulos son semejantes.

a)

A C

BD F

E

�,�

�

�,�

�

��°

��°

c)

A

C

B

D

F

E

��

����

��,�

��,���,��

b)

A

C

B

D

F

E

45

20 30

3096°

96°

d)

AC

B

D

F

E76°51°

51°53°

Actividades

Actividades de síntesis

9. Razona si las siguientes afirmaciones son ciertas o falsas.

a) Todos los cuadrados son semejantes.

b) Todos los rectángulos son semejantes.

c) Todos los triángulos equiláteros son semejantes.

d) Todos los triángulos rectángulos son semejantes.

e) Todos los triángulos isósceles son semejantes.

f) Todos los triángulos rectángulos e isósceles son seme-jantes.

14. Se ha realizado una maqueta de 25 cm de la estatua deun parque para colocarla en el centro de exposicionesdel colegio. Calcula la escala de la maqueta si la alturareal de esa estatua es de 2 m.

PROBLEMAS PARA RESOLVER

10. Un edificio de cinco plantas de igual altura proyecta,en cierto instante, una sombra de 22 m. Calcula la al-tura de cada planta si se sabe que en ese mismo mo-mento un árbol de 3 m de altura proyecta una sombrade 4,5 m.

11. El cuarto de Javier es un rectángulo de dimensiones3,15 m × 3,78 m. ¿Qué dimensiones tendrá su repre-sentación en un plano con escala 1:21?

12. Las dimensiones de un jardín rectangular en un planode escala 1:125 son 24 cm y 32 cm.

a) Calcula las dimensiones reales del jardín y expresa losresultados en metros.

b) Calcula el perímetro y el área del jardín.

. Pilar se encuentra cerca de un árbol y proyectan, res-pectivamente, sombras de 12 cm y 65 cm. Si Pilar mide168 cm, calcula la altura del árbol.

El árbol con su sombra y Pilar con la suya forman dos trián-gulos semejantes y por consiguiente podemos aplicar elteorema de Tales.

Llamando h a la altura del árbol, tenemos:

h168

= 6512

⇒12⋅h= 168⋅65= 10920⇒h= 1092012

=910cm

El árbol mide 9,1 m.

PROBLEMA RESUELTO

13. La distancia entre Badajoz y Lisboa en línea recta es de230 km. Calcula la distancia que separa ambas ciuda-des en un mapa con escala 1:1 200 000.