134 Campo Electrico.compressed

Interacción electromagnética 3

© María Dolores Marín Hortelano / Manuel Ruiz Rojas

6. CAMPO ELÉCTRICO.

Desarrollamos la unidad de acuerdo con el siguiente hilo conductor:

1. ¿Cómo se explican las fuerzas electrostáticas?1.1. ¿Cuál es la causa de los fenómenos de electrización? La carga eléctrica.1.2. ¿Cómo se explica la interacción entre cargas eléctricas puntuales en reposo? Ley de Coulomb.

2. ¿Cómo describir el campo eléctrico?2.1. Perspectiva dinámica: fuerza e intensidad de campo.2.2. Enfoque energético: energía potencial y potencial.2.3. Relaciones fuerza-energía potencial e intensidad de campo-potencial.

3. ¿Cómo calcular el campo eléctrico en los casos de distribuciones continuas de carga? Ley de Gauss.3.1. ¿Qué movimiento experimentan las partículas cargadas en el seno de un campo eléctrico uniforme?

4. ¿Cómo se comportan los materiales bajo la acción de un campo eléctrico?

APÉNDICES: A.1. Experimento de la gota de aceite de Millikan. A.2. Aplicaciones de la electrostática.

1. ¿CÓMO SE EXPLICAN LAS FUERZAS ELECTROSTÁTICAS?1.1. ¿CUÁL ES LA CAUSA DE LOS FENÓMENOS DE ELECTRIZACIÓN? LA CARGA ELÉCTRICA.

Desde la antigüedad se conoce la propiedad que tienen algunos materiales de atraer objetos ligeros, comoplumas o virutas de madera, después de ser frotados rápidamente. Este fenómeno se conoce como electrización y suestudio científico llevaría al descubrimiento de la carga eléctrica y a sentar las bases de lo que se entiende porelectricidad estática o electrostática.

La carga eléctrica es, junto a la masa, una propiedad fundamental de la materia, que tiene su origen en laestructura atómica, descubierta a finales del siglo XIX y principios del XX1. La corteza o envoltura externa delátomo está formada por electrones, partículas con carga eléctrica negativa, mientras que el núcleo del átomo estáformado por protones, partículas con carga eléctrica positiva del mismo valor absoluto que la carga del electrón, yneutrones, partículas sin carga eléctrica. Electrones, protones y neutrones tienen masa, aunque la masa de protones yneutrones es unas 1860 veces mayor a la masa de los electrones.

En condiciones normales, los cuerpos u objetos son neutros porque tienen el mismo número de protones yelectrones, lo que explica que los fenómenos eléctricos pasaran desapercibidos durante mucho tiempo. Sin embargo,en ciertas situaciones, como en los fenómenos de electrización (cuadro 1), algunos átomos se desprenden fácilmentede sus electrones más externos adquiriendo los cuerpos carga eléctrica neta. El objeto que pierde electrones quedarácon una carga neta positiva; el objeto que los gana quedará con una carga neta negativa; pero en el proceso la cargaeléctrica total permanece constante (principio de conservación de la carga), ya que las cargas eléctricas no puedenser creadas ni destruidas2.

En 1909, Robert Millikan (1868-1953) confirmó que la carga eléctrica siempre se presenta en paquetesdiscretos (se dice que está cuantizada), es decir, se presenta como un múltiplo entero del valor absoluto de la cargadel electrón ( enq · ), conocida por ello como unidad fundamental de carga3. Sería natural, por tanto, utilizar el

valor de e como unidad para medir la carga eléctrica de un cuerpo; sin embargo, su uso sería bastante incómodo

debido a su pequeño valor. En el Sistema Internacional la unidad de carga es el culombio (C), que representa lacantidad de carga eléctrica que fluye a través de la sección de un conductor durante un segundo cuando la corrientees de un amperio. Para que te hagas una idea de lo grande que es la carga de un culombio, piensa que la unidadfundamental de carga equivale a 1,60·10-19 C, es decir, un culombio representa la carga de 6,25·1018 electrones

( e/1 ); por ejemplo, serían los electrones transferidos entre una nube y tierra a través del rayo de una tormenta. En

1 El electrón lo descubrió el inglés Joseph Thomson en 1897, el protón lo identificó el neocelandés Emest Rutherford en 1914 y el neutrón loreconoció el inglés James Chadwick en 1932.2 La carga eléctrica se conserva en todos los procesos físicos observados, incluso aquellos que implican creación o desintegración de partículas. Así,en ciertos procesos radiactivos, el neutrón se desintegra dando lugar a un protón, un electrón y otra partícula neutra, el neutrino, conservándose lacarga eléctrica. El principio de conservación de la carga es tan importante como el principio de conservación del momento lineal o el deconservación de la masa-energía.3 Millikan determinó la carga del electrón mediante el experimento de la gota de aceite que se describe en el apéndice 1 de esta unidad. Hoy sabemosque dentro del núcleo atómico existen partículas elementales, los quarks, con cargas inferiores a la unidad fundamental, 3e o 32 e , pero no existen

libres sino que se combinan tres quarks para dar protones y neutrones.



los fenómenos familiares de electricidad estática, la carga neta puesta en juego es del orden de micro onanoculombios (1 μC=10-6 C; 1 nC=10-9 C), lo que muestra que sólo una pequeña fracción de la carga totaldisponible se transfiere en las electrizaciones.

Cuadro 1. Las formas conocidas de electrizar objetos.

Electrización por frotamiento.Al frotar una varilla de vidrio con un paño de seda, se intercambia la energía

necesaria para que pase una pequeña fracción de electrones desde el vidrio a la seda.En el proceso, el vidrio se carga positivamente y la seda lo hace negativamente.

De igual forma, si se frota una varilla de plástico (de ámbar o de caucho) conun paño de lana, pasan electrones desde el paño a la varilla. El plástico se carga negativamente y la lana positivamente.

Aunque ambas varillas pueden atraer objetos ligeros, como hilos o trocitos de papel, la carga eléctrica adquirida porfrotamiento es de distinto tipo. Así, puede observarse que dos varillas de vidrio electrizadas se repelen entre sí, al igual que lasdos varillas de plástico. Sin embargo, la varilla de plástico es capaz de atraer a la de vidrio y viceversa.

Hay materiales que apenas se electrizan por frotamiento (por ejemplo, una varilla metálica) y otros que rápidamente seelectrizan (por ejemplo, una varilla de vidrio o de plástico). Este diferente comportamiento de los materiales se explica en base ala existencia o no de cargas eléctricas libres en su estructura, y permite clasificar a los materiales como conductores o comoaislantes (o dieléctricos). Los materiales conductores (metales, grafito, disoluciones iónicas,...) no se electrizan por frotamientoal distribuirse rápidamente la carga eléctrica por toda la superficie del objeto (poseen cargas con libertad de movimiento paradistribuir esa carga eléctrica). Los materiales aislantes (vidrio, plástico, lana, seda, papel, madera,...) se electrizan fácilmente porfrotamiento pues la carga eléctrica permanece confinada en la zona de frotamiento (no disponen de cargas con libertad demovimiento para distribuir esa carga eléctrica).

Entre los buenos conductores y los dieléctricos existe una gran variedad de situaciones intermedias. De entre ellasdestaca la de los materiales semiconductores (silicio, germanio, selenio) por su importancia en la fabricación de dispositivoselectrónicos que son la base de la actual revolución tecnológica (transistores, circuitos integrados, diodos emisores de luz,...). Encondiciones ordinarias se comportan como malos conductores, pero mediante pequeños cambios en su composición osometiéndolos a condiciones especiales (elevada temperatura, intensa iluminación,...) podemos lograr que se conviertan enconductores.

Electrización por contacto.Al acercar un objeto cargado a otro descargado (ya sea conductor o aislante), el objeto descargado se polariza, de modo

que cargas de distinto signo quedan enfrentadas en los dos objetos e inicialmente ambos se atraen. Si el objeto descargado esconductor, la polarización supone una redistribución de las cargas dentro de éste; si es aislante, la polarización supone unareorientación de los dipolos permanentes o inducidos, sin desplazamiento neto (se aclaran estos aspectos en el apartado 4 deesta misma unidad).

Al entrar en contacto los objetos, pasa carga eléctrica del objeto cargado aldescargado y acaban repeliéndose. El objeto descargado se electriza con carga del mismosigno que el objeto cargado. Si el objeto descargado es conductor, la carga se redistribuyepor toda la superficie; si es aislante, la carga queda confinada en la zona de contacto.

Por contacto, un material conductor cargado se descarga rápidamente,independientemente de la zona de contacto. Sin embargo, un material aislante cargado sólose descarga por contacto si éste tiene lugar en la zona donde se encuentra confinada la carga, la zona de frotamiento.Electrización por inducción (a distancia o por influencia) en materiales conductores.

Al acercar una varilla cargada a un objeto conductor se produce una redistribución superficial de electrones de forma quecargas de distinto signo quedan enfrentadas en la varilla y en el conductor.

Si a continuación se conecta a tierra el conductor por la zona opuesta a lavarilla, manteniendo la presencia de la varilla sin llegar al contacto, esa zonacomienza a neutralizarse. Si se interrumpe la conexión a tierra antes de retirar lavarilla, el conductor queda ahora cargado, con carga eléctrica opuesta a la de lavarilla.

Por inducción sólo se electrizan las sustancias conductoras, pues sólo ellas poseen cargas con libertad para desplazarsede un lugar a otro.

A.1. Resuelve las siguientes actividades:

A.1.1. Frota con vigor un peine con tu cabello o un bolígrafo de plástico con un jersey de lana y acércalos a un pequeño y uniforme chorro deagua. ¿Qué ocurre? ¿Cómo lo explicas?

A.1.2. Investiga por qué algunos camiones que transportan productos inflamables arrastran una cadena metálica.

A.1.3. Explica por qué un cuerpo cargado se descarga espontáneamente en el aire.

A.1.4. Desde una barra de cobre de 10 cm3 de volumen se transfiere una carga de 1 μC a otro cuerpo. Sabiendo que cada cm3 de cobrecontiene del orden de 1023 electrones libres, ¿cuál es la fracción de carga transferida en relación a la carga total disponible? Dato: e =

1,60·10-19 C.

1.2. ¿CÓMO SE EXPLICA LA INTERACCIÓN ENTRE CARGAS ELÉCTRICAS PUNTUALES ENREPOSO? LEY DE COULOMB.



Los hechos experimentales acumulados llevaron en 1785 al francés Charles A. de Coulomb (1736-1806) aenunciar la ley que lleva su nombre y que describe la interacción entre cargas eléctricas puntuales4 estáticas deforma análoga a como la ley de la gravitación universal describe la interacción entre masas:

La interacción electrostática entre dos partículas consideradaspuntuales cargadas eléctricamente (q1 y q2) es directamente proporcionalal producto de sus cargas e inversamente proporcional al cuadrado de ladistancia que las separa (r), y depende de la naturaleza del medio que lesrodea.

Las fuerzas electrostáticas que actúan sobre cada una de laspartículas cargadas,

12F

y21F

, forman un par de fuerzas de acción yreacción, por lo que su dirección es la de la recta que une sus centrosy su sentido es de atracción si las cargas tienen distinto signo y de repulsión si las cargas tienen el mismo signo(figura 1).

Escalarmente:2

21··r

qqKF . Vectorialmente: ru

r

qqKF

·

·· 2

21 , donde:

- rrur

es un vector unitario dirigido según la recta que une las cargas y de sentido de la

carga que ejerce la fuerza hacia la carga que experimenta dicha fuerza.

- K es la constante eléctrica (determinada por Coulombutilizando la balanza de torsión5, figura 2), una constantedependiente del medio en el que se sitúan las cargas. Confrecuencia, la constante K se define en función de otraconstante , denominada permitividad o constantedieléctrica del medio (cuadro 2). El valor más elevado de Kcorresponde al vacío, Ko= 9·109 Nm2C-2 ; su menor valor encualquier otro medio indica que el medio materialdisminuye la interacción eléctrica entre cargas.

La fuerza electrostática o eléctrica, al igual que lagravitatoria, es una fuerza a distancia central y, como

veremos, conservativa. En ambas, el módulo de la fuerza es directamente proporcional alproducto de las propiedades que las crean, masa o carga eléctrica, e inversamente proporcionalal cuadrado de la distancia que las separa. Sin embargo, existen diferencias fundamentales entre ambasinteracciones:- la fuerza gravitatoria es siempre atractiva mientras que la electrostática puede ser atractiva o repulsiva, según el

signo de las cargas que interactúan;- la fuerza gravitatoria no depende del medio (el valor de G es universal), mientras que la eléctrica sí (el valor de K

depende del medio en que se sitúen las cargas);- para valores equivalentes de la propiedad que crea la fuerza (masa o carga), la intensidad de la fuerza gravitatoria

es mucho menor que la intensidad de la fuerza electrostática (basta comparar los valores de G y K en unidadesSI).

En una distribución de cargas eléctricas también se cumple el principio desuperposición, por lo que la fuerza resultante que actúa sobre cada carga es igual a la suma

vectorial de todas las fuerzas que actúan sobre ella: i0r

n

1i2

i0

ion

1ii0 u

r

.qqKFF

(figura 3).

Recuerda la nota importante dada en la página 7 del bloque dedicado a la "Interacción gravitatoria"de cara a componer magnitudes vectoriales en los problemas planteados.

4 En el estudio del comportamiento eléctrico de la materia, encontramos en muchas ocasiones cuerpos cargados cuyas dimensiones son despreciablesfrente a las distancias a las que se manifiestan los efectos de las cargas. Se habla entonces de cargas puntuales. Un conjunto de cargas puntualesconstituye una distribución discreta de cargas.

Sin embargo, al analizar fenómenos físicos que se manifiestan cerca de un cuerpo cargado hay que tener en cuenta la forma en que se distri-buye lacarga en el seno del cuerpo. Se considera entonces una distribución continua de carga, caracterizada por la densidad de carga (lineal, Lq , para

cuerpos de forma unidimensional; superficial, Sq , para los bidimensionales; o cúbica, Vq , para los tridimensionales).

5 La balanza de torsión es un dispositivo que ya se describió en la página 12 del bloque dedicado a la “"Interacción gravitatoria". Fue después de queCoulomb publicara su trabajo cuando a Cavendish se le ocurrió emplear la balanza de torsión para determinar el valor de la constante de la gravitaciónuniversal G. Así, el empeño por utilizar la teoría de la gravitación de Newton como modelo para estudiar la interacción eléctrica, condujo a mejorar lapropia teoría de la gravitación.

Figura 2

Cuadro 2. Valores de ε y K paradistintos medios a 20°C (unidades SI).

Medioε

( C2N-1m-2) 4

1K

( Nm2C-2)Vacío 8,854·10-12 9·109

Aire 8,859·10-12≈9·109

Poliestireno 2,267·10-11 3,5·109

Papel 3,276·10-11 ≈2,4·109

Vidrio pirex 4,958·10-11 1,6·109

Porcelana 6,198·10-11≈1,3·109

Agua 7,083·10-10 1,1·108

Figura 3



En las actividades que se planteen, si no se especifica otro medio, se entiende que las cargas eléctricas se encuentran enel vacío o en el aire, donde K=9.109 Nm2C2. Si lo precisas, recuerda además que G=6,67·10-11Nm2kg-2.


A.2.1. Deseamos comparar las intensidades relativas de las fuerzas gravitatorias y eléctricas entre partículas elementales con carga, comodos protones, dos electrones o un protón y un electrón. Sabiendo que el electrón y el protón de un átomo de hidrógeno están separados, enpromedio, una distancia aproximada de 5,29·10-11 m, calcula la relación que existe entre los valores de la fuerza eléctrica y la fuerzagravitatoria ejercida entre estas dos partículas en el vacío. Datos: mp= 1,67·10-27 kg; me= 9,11·10-31 kg; e = 1,60·10-19 C.

A.2.2. Se tienen dos cuerpos cargados, con cargas q1 y q2, separados una distancia r. Debido a que se encuentran en el aire, los cuerpos sevan descargando lentamente. Supóngase que sus cargas se han reducido a la tercera parte de sus valores iniciales. ¿A qué distanciadeberán colocarse los cuerpos para que la fuerza eléctrica entre ellos no varíe?

A.2.3. Dos cargas (q1 y q2) separadas una distancia r, se atraen con una fuerza F. ¿Cuál es la fuerza F´ entre ellas si la separación entre ellasse triplica?

A.2.4. Los átomos de una molécula poseen cargas e , e2 y e , y están dispuestos en los puntos (0, 0´1), (0, 0) y (0´1, 0) de un sistema

cartesiano (distancias en nm). Determina la fuerza eléctrica: a) sobre el átomo con carga positiva; b) sobre el átomo con carga negativasituado en el eje X.

A.2.5. Dos pequeñas bolas, de 10 g de masa cada una, están suspendidas del mismo punto mediante dos hilos de 1 m de longitud cada uno.Si al colgar las bolitas con la misma carga eléctrica, los hilos se separan formando un ángulo de 10°, determina el valor de la carga y latensión de los hilos.

2. ¿CÓMO DESCRIBIR EL CAMPO ELÉCTRICO?Al igual que ocurre en la interacción gravitatoria, se introduce el concepto de campo eléctrico para explicar

la interacción a distancia entre las cargas eléctricas.

Se considera que una carga eléctrica Q modifica de algún modo el espacio. A este espacio perturbado por lacarga se llama campo eléctrico, y se considera que actúa sobre cualquier otra carga q ejerciendo la fuerza

electrostática sobre ella, según establece la ley de Coulomb: rur

qqKF

·

··

221 .

2.1. PERSPECTIVA DINÁMICA: FUERZA E INTENSIDAD DE CAMPO.La fuerza electrostática no sirve para caracterizar el campo,

pues su valor en un punto depende de la carga q colocada en elmismo. Se define por ello el vector intensidad de campo eléctrico(o simplemente, campo eléctrico):

La intensidad de campo eléctrico creado por una cargaeléctrica Q en un punto representa la fuerza que actuaría sobre launidad de carga positiva colocada en dicho punto.Matemáticamente:

r2u.

r

QK·

q

FE

(unidad SI: N/C o V/m).

De este modo, cada punto del espacio queda caracterizadopor un valor de E

, independiente de la carga q que se coloque en el

punto, dependiente sólo de factores propios del campo (la carga Qque lo crea y la distancia r al punto considerado). Alcolocar en los alrededores de Q una carga q, la fuerzaeléctrica que aparece sobre ella es EqF

· .

Dado el carácter vectorial del campo, se cumple elprincipio de superposición: el campo eléctrico creado enun punto por varias cargas eléctricas es la composiciónvectorial de los campos individuales generados en ese

punto por cada una de ellas, es decir,

n

1iiEE

.

La dirección y sentido del vector E

, como ya comentamos al hablar del campo gravitatorio, se representamediante líneas de campo. Estas líneas van de la carga positiva (fuentes o manantiales) a la negativa (sumideros) yno se pueden cortar (ello supondría tener dos valores distintos del campo en un mismo punto) (figura 4). La densidadde

El sentido de E

depende del signo de lacarga Q que crea elcampo. E

se aleja de la

carga positiva y va haciala carga negativa.

Figura 4



líneas de campo en una zona del espacio es proporcional a la intensidad delcampo allí. El cuadro 3 muestra las intensidades de algunos campos eléctricoscotidianos.


A.3.1. Dos cargas eléctricas puntuales positivas, de 3 C y 5 C, se encuentran separadas unadistancia de 1 cm. Determina los valores de: a) la fuerza con que se repelen; b) el campoeléctrico creado por la primera carga en el punto donde se encuentra la segunda.

A.3.2. Tenemos una carga de 0,1 nC situada en el punto i

2,0 m y otra de igual magnitud, pero

negativa, situada en el punto i

2,0 m. Determina el campo eléctrico producido por ambas en el

punto j

2,0 m. Si en dicho punto se coloca una carga de - 0,2 nC, ¿qué fuerza eléctrica ejercen

las otras dos cargas sobre ella?

A.3.3. Determina el campo eléctrico creado en el vértice V del cuadrado de la figura adjunta. Datos: q1=q2=q3=q= 0,03 C,r= 3 m.

A.3.4. Dos cargas puntuales, una de -4 nC y la otra de 25 nC, están separadas una distancia de d m. Determina el punto o puntos donde seanula el campo eléctrico.

A.3.5. En las proximidades de la superficie terrestre se aplica un campo eléctrico uniforme. Se observa que al soltar una partícula de 10 gcargada con 50 C permanece en reposo. a) Determina razonadamente las características del campo eléctrico (módulo, dirección y sentido).b) Explica qué ocurriría si la carga fuera de 100 C. c) Explica qué ocurriría si la carga fuera de - 50 C.

A.3.6. Aplicamos un campo eléctrico uniforme de 500 N/C a una disolución iónica de cloruro sódico. Sabiendo que la masa atómica relativadel sodio es 23 u y que la del cloro es 35,5 u, determina la relación existente entre las aceleraciones adquiridas por los iones Na+ y Cl- enpresencia del campo.

2.2. ENFOQUE ENERGÉTICO: ENERGÍA POTENCIAL Y POTENCIAL.Al igual que la interacción gravitatoria, la fuerza electrostática es una fuerza central conservativa. Ello

implica que para el campo eléctrico puede definirse una magnitud escalar que sólo depende de la posición, llamadaenergía potencial eléctrica, tal que el trabajo realizado por la fuerza electrostática para trasladar una carga eléctricaq de un punto A a otro B del campo creado por otra carga Q (figura 5) es igual a la diferencia de valores que tomadicha función escalar entre dichos puntos (ley de la energía potencial): WAB = - ΔEp = - (EpB - EpA ) = - EpB + EpA

Como el trabajo realizado por la fuerza electrostática es independiente delcamino seguido; consideramos, por comodidad, la trayectoria A-P-B, con lo que:

WAB=WAP+WPB=WAP= rdFP

A

dr

r

QqK

P

A2

P

Ar

QqK

AB r

QqK

r

QqK , donde se tiene

en cuenta los ángulos entre los vectores fuerza y desplazamiento en cada tramo (180º enel tramo A→ P y 90º en el tramo P→ B) y que rP es igual a rB. Se deduce que:

pApBAB

EEr

QqK

r

QqK , luego:

La energía potencial eléctrica de una carga q colocada a una distancia r de la carga Q creadora del

campo eléctrico es igual a:r

QqKE p (unidad SI: Julios (J) 6).

Observa que la energía potencial eléctrica en el infinito esigual a cero. Esto significa que las cargas infinitamente alejadas nointeraccionan entre sí, están desligadas, constituyen un sistemalibre; en cualquier otra situación, las cargas constituyen un sistemaligado y la energía potencial asociada a ellas puede ser positiva (silas cargas son del mismo signo) o negativa (si las cargas son designo contrario) (figura 6).

Durante una transformación espontánea, por ejemplo,acercar cargas de signo opuesto o separar cargas del mismo signo,la fuerza electrostática realiza un trabajo de signo positivo ydisminuye la energía potencial asociada al sistema de cargas: WAB > 0 J rB <rA EpB <EpA ΔEp < 0 J. Por elcontrario, en un proceso no espontáneo, como al separar dos cargas de signo opuesto o acercar cargas del mismo

6 En fenómenos a escala atómica el julio (J) es una unidad de energía muy grande. Por ello, se suele utilizar otra, llamada electronvoltio (eV), que sedefine como la energía que adquiere un electrón cuando se le somete a una diferencia de potencial de un voltio. Su equivalencia con el julio es: I eV= 1,60·10-19 J.

Cuadro 3. Valor de algunos camposeléctricos en la naturaleza (N/C o V/m)

Cables eléctricos domésticosOndas de la radio

10-2

10-1

Tubo de luz fluorescente 10Partes bajas de la atmósfera 102

Peine de plástico cargadoEn la luz solar

103

Bajo una nube tormentosa, con rayos 104

Acelerador de electrones de un TVCilindro cargado de unafotocopiadora

105

Tubo de rayos X 106

El electrón de un átomo dehidrógeno

1011

La superficie de un núcleo de uranio 6·1021

Figura 5

Figura 6



signo, la fuerza electrostática realiza un trabajo de signo negativo y aumenta la energía potencial asociada al sistemade cargas: WAB < 0 J rB >rA EpB >EpA ΔEp > 0 J.

Para un sistema de más de dos partículas cargadas, la energía potencial eléctrica del sistema es la suma delas energías potenciales de todos los pares distintos de cargas que se pueden formar. Así, por ejemplo, para unsistema de tres cargas eléctricas: Ep = Ep12 + Ep13+ Ep23.


A.4.1. Dos cargas de 3 C y - 6 C están situadas a una distancia de 2 m. Calcula la variación de energía potencial y el trabajo realizadopara separarlas hasta una distancia de 5 m. Interpreta el signo del resultado obtenido.

A.4.2. Tres electrones se encuentran en reposo a una distancia recíproca de 3·10-11 m formando un triángulo equilátero. Calcula la energíaelectrostática del conjunto de las tres partículas y razona el significado físico del resultado obtenido.

La energía potencial, por la misma razón que la fuerza, no sirve para caracterizar el campo, por lo que sedefine el potencial eléctrico:

El potencial eléctrico a una distancia r de la carga Q creadora del campo representa la energía potencial

eléctrica de la unidad de carga positiva colocada a dicha distancia:r

QK

q

EV p · (unidad SI: voltio (V = J/C)7 ).

Como Ep = q·V y WAB = - ΔEp = q·(-V) = - q·(VB -VA ) = q·(VA -VB ), el potencial eléctrico en un punto delcampo representa el trabajo que realiza la fuerza electrostática para trasladar la unidad de carga positiva desde esepunto hasta el infinito. El potencial es positivo o negativo según sea positiva o negativa la carga que crea el campo.

En muchos ámbitos cotidianos (circuitos de corriente eléctrica continua y alterna, condensadores, etc.) serealizan medidas de diferencias de potencial eléctrico (ddp) o voltajes entre dos puntos, ΔV, mediante dispositivosllamados voltímetros. En estas medidas se asigna el valor cero al potencial eléctrico de la Tierra; se dice que unconductor unido a tierra presenta un potencial eléctrico nulo8.

Si en una región del espacio hay un sistema de varias cargas eléctricas, el potencial eléctrico en un punto es

igual a la suma algebraica de los potenciales creados por cada una de las cargas en ese punto:

n

1i

ViV .

Para representar el campo eléctrico, al igual que ocurría en el campogravitatorio, utilizamos líneas de campo o de fuerza y superficies equipotenciales.Recuerda que las superficies equipotenciales son perpendiculares en todo punto a laslíneas de campo, las cuales señalan en la dirección en que disminuye el potencialeléctrico (figura 7), algo que se deduce de la relación matemática entre campo ypotencial (ver apartado siguiente). Puedes deducir que las cargas positivas se trasladanespontáneamente hacia potenciales decrecientes (en el sentido del campo) y las cargasnegativas hacia potenciales crecientes (en sentido contrario al campo).

2.3. RELACIONES FUERZA-ENERGÍA POTENCIAL E INTENSIDAD DECAMPO-POTENCIAL.

Análogamente a como ocurría en el campo gravitatorio, las expresionesmatemáticas que relacionan potencial y campo (o energía potencial y fuerza) son:

rFWEB

A

BAp

; o también: rFE p

; F

r

E- p

; rFE p

·

B

A

B

A

BAp rErq

F

q

W

q

EV

·· ; o también: rdEV

; Er

V-

; rEV

·

De estas relaciones se deduce que:

- El vector E

(y por tanto, las líneas de campo que lo representan, aquí equivalentes a las líneas de fuerza) tiene elsentido de los potenciales decrecientes y siempre es perpendicular a las superficies equipotenciales (sedemuestra fácilmente al trasladar una carga un espacio infinitesimal, r

, por una superficie equipotencial,

0V ; entonces 0 rE-

, lo que implica que E

y r son perpendiculares, luego E

es normal a las

superficies de nivel) (figura 7).

- Las superficies equipotenciales no se pueden cortar; si lo hicieran, en el punto de corte habría dos vectores E

,cada uno perpendicular a cada una de las superficies, lo que va en contra de la definición de campo.

7 En un punto de un campo eléctrico existe el potencial de un voltio cuando una carga de un culombio situada en dicho punto posee la energíapotencial de un julio.8 Este criterio es similar al de la elección de la energía potencial gravitatoria como cero en la superficie terrestre.

Figura 7




A.5.1. Dos cargas de igual magnitud (5 nC) se encuentran sobre el eje X, una en el origen y la otra en x= 8 cm. Determina el campo y elpotencial eléctrico en x=4 cm suponiendo: a) las dos cargas positivas; b) las dos cargas negativas; c) la primera positiva y negativa lasegunda.

A.5.2. Dos cargas eléctricas de valores q C y 4q C están separadas una distancia d m. Halla los puntos en los que se anula el campo o en losque se anula el potencial, según: a) las cargas sean del mismo signo; b) las cargas sean de signo contrario.

A.5.3. Una carga positiva de 6 C se encuentra en el origen de coordenadas. Calcula: a) El potencial eléctrico a una distancia de 4 m. b) Laenergía potencial de una carga de 2 C situada a 4 m. c) El trabajo que hay que hacer para traer la carga positiva de 2 C desde el infinitohasta esa posición.

A.5.4. Un dipolo eléctrico está formado por dos cargas de 2 y -2 C separadas una distancia de 5 m.1º Calcula el campo y el potencial resultante: a) en A, punto de la mediatriz del segmento que las une, situado en el cuadrante positivo,

distante 5 m de cada carga; b) en B, punto situado a 2,5 m de cada carga; c) en C, punto situado a 2,5 m de la carga positiva y a 7,5 mde la negativa.

2º Determina el trabajo que realizan las fuerzas del campo para trasladar una carga de -4 C desde: a) el punto A al punto B; b) el punto A alpunto C. (Interpreta el signo del trabajo obtenido).

A.5.5. En el centro de un rectángulo, de lados 3 y 4 m, se coloca una carga de 100 C. Calcula: a) La diferencia de potencial entre dos de losvértices del rectángulo. b) El trabajo que se realizará para trasladar entre ambos vértices una carga de 1 C. c) Si se coloca en uno de losvértices del rectángulo una carga igual a la situada en su centro, ¿cuánto vale la energía potencial del sistema?

A.5.6. En los vértices del triángulo equilátero adjunto se sitúan las cargas indicadas. Calcula: a) La intensidad de campo y elpotencial en el baricentro del triángulo. b) La energía potencial eléctrica que adquiere una carga de 10 C al situarse en elbaricentro. c) El trabajo realizado por las fuerzas del campo para llevar la carga de 10 C desde el infinito hasta elbaricentro.

A.5.7. En cada uno de los vértices de la base de un triángulo equilátero de 3 m de lado, hay una carga de 10 C. Calcula el campo eléctrico yel potencial creado en el tercer vértice.

A.5.8. Justifica el que las líneas de campo sean perpendiculares a las superficies equipotenciales y el que dentro de un campo eléctrico loselectrones se trasladan de forma espontánea hacia potenciales crecientes y los protones lo hacen hacia potenciales decrecientes.

A.5.9. ¿Cómo varían con la distancia el potencial eléctrico, el campo eléctrico y la fuerza eléctrica (sobre una carga q´) debidos a unapartícula con carga q? Dibuja su evolución sobre una misma gráfica.

A.5.10. El campo eléctrico es nulo en una región del espacio. ¿También debe ser nulo el potencial eléctrico?

A.5.11. El potencial eléctrico en un punto del eje X es V(x) = x2-3x (unidades SI). Calcula el potencial y el campo eléctrico en x= 4 m.

A.5.12. Sea un campo eléctrico uniforme dado por i500E

N/C. ¿Cómo serán las superficies equipotenciales de dicho campo? ¿Qué

trabajo hay que realizar para trasladar una carga de 2 C desde el punto P (2, 3, 0) m hasta el punto Q (6, 5, 0) m? ¿Qué distancia hay entrelas superficies equipotenciales V1 = 10 V y V2 = 20 V?

A.5.13. En una región del espacio actúa un campo eléctrico uniforme, de forma que al trasladar una carga de 4 C desde el punto A (x, 0)hasta el punto B (x+0´2, 0), la fuerza eléctrica realiza un trabajo de – 2·10-3 J. Si al punto A se le asigna un potencial eléctrico de 20 V, calculael potencial del punto B y la componente del campo eléctrico en la dirección del eje X.

A.5.14. En la figura se representan superficies equipotenciales correspondientes a una región del espacio en la que existeun campo eléctrico uniforme. Determina: a) El vector campo eléctrico y dibuja las líneas de campo eléctrico. b) Ladiferencia de potencial entre los puntos A y B. c) El trabajo que se realiza al trasladar un electrón desde el punto A hastael punto B. (Justifica el signo obtenido).

A.5.15. Dos cargas puntuales de -50 nC están fijas en los puntos P (0, 0) mm y Q (5, 0) mm. Halla: a) El campo eléctrico en el punto R (10, 0)mm. b) La velocidad con que llega al punto S (8, 0) mm una partícula, de 5 mg de masa y 8 nC, que se abandona libremente desde R.

3. ¿CÓMO CALCULAR EL CAMPO ELÉCTRICO EN LOS CASOS DE DISTRIBUCIONESCONTINUAS DE CARGA? LEY DE GAUSS.

Hasta ahora hemos calculado campos vectoriales creados por distribuciones discretas de carga (o de masa)aplicando el principio de superposición. Pero, ¿cómo calcular el campo creado por distribuciones continuas de estasmagnitudes?; por ejemplo, ¿cómo calcular el campo eléctrico creado por una nube cargada? Estos problemas puedenabordarse haciendo uso de la ley de Gauss, pero, para llegar a ella, debemos introducir primero el concepto de flujo,una magnitud matemática con la que medir el número neto de líneas de campo que atraviesan una superficie.



Cuando una superficie plana de área S (representada por el vector S

, perpendicular al plano de dichasuperficie) es atravesada por un campo uniforme E

(figura 8.a), consideramos que el número neto de líneas de

campo que atraviesan la superficie viene dada por el flujo eléctrico Φ, definido como el producto escalar:E·S·cosS·E

. En general (figura 8.b), debemos recurrir al cálculo integral para determinar el flujo:

SSE

· .

Si la superficie es cerrada se indica así:

S

SE

· . Por convenio, el vector S

siempre

está dirigido hacia el exterior de la superficiecerrada; por tanto, el flujo Φ siempre serápositivo cuando las líneas de campo salgan de lasuperficie cerrada, y será negativo cuando entrenen ella. La unidad de flujo eléctrico en el SI esNm2C-1 o V·m.


A.6.1. Justifica matemática y conceptualmente cuando esnulo el flujo del campo a través de una superficie y cuando es máximo.

A.6.2. El campo eléctrico kjE

N/C atraviesa la superficie determinada por los puntos O (0,0,0), A (1,0,0), B (1,4,0) y C (0,4,0). Calcula

el flujo del campo a través de la superficie.

A.6.3. ¿Cuál es el flujo eléctrico a través de una esfera de 1 m de radio y que porta en su interior una carga de 1 C? ¿Cómo sería el campoeléctrico y el flujo eléctrico a través de una esfera que porta la misma carga pero que tiene un radio de 0,5 m?

A.6.4. Si el flujo eléctrico a través de una superficie cerrada es nulo, también lo es el campo eléctrico dentro de la superficie. ¿Es correctaesta afirmación? Razona tu respuesta.

Una vez definido el flujo eléctrico, la ley de Gauss se puede expresar de la siguiente manera:

El flujo eléctrico que atraviesa unasuperficie cerrada es directamenteproporcional a la carga netacontenida en dicha superficie, einversamente proporcional a lapermitividad dieléctrica del medio.

Matemáticamente:

eriorQint

Si tenemos una superficie cerrada S1, más o menosirregular, que engloba a la carga Q, el flujo eléctrico quela atraviesa coincide con el que atravesaría cual-quierotra superficie cerrada que englobe a la misma carga,por ejemplo, la superficie esférica S de radio r, escogidapor conveniencia para el cálculo del flujo(frecuentemente conocida como superficie gaussiana):

QKQr

r

QKSESE

S 44··· 2

2

De la expresión obtenida para la ley de Gauss se deduce que el flujo eléctrico es una magnitud escalar cuyosigno coincide con el signo de la carga y es independiente del radio de la esfera gaussiana considerada (aún más, esindependiente de la forma que tenga la superficie cerrada).

La ley de Gauss nos permite determinar el campo eléctrico creado por distribuciones continuas de carga conuna geometría sencilla, como esferas, planos e hilos cargados (cuadro 4)9. El método consiste en rodear el cuerpocuyo campo queremos hallar con una superficie gaussiana que cumpla dos condiciones: que el campo sea normal adicha superficie, y que el área de la superficie sea conocida.

Cuadro 4. Campo y potencial eléctrico creados por distribuciones continuas de carga con simetría simple.

Campo y potencial eléctrico creados por una esfera aislante uniformemente cargada.Supongamos una esfera aislante de radio R que se encuentra uniformemente cargada, con

una densidad cúbica de carga ρ. La carga total de la esfera es: ·Vq

Las cargas eléctricas se reparten por todo el volumen de la esfera aislante, de tal forma quehay campo eléctrico en el exterior y en el interior de dicha esfera.- Campo y potencial eléctrico en el exterior:

Tomamos como superficie gaussiana una esfera de radio r ≥ R y aplicamos la definición de

flujo y la ley de Gauss:

intqE·S·cosS·E

; en nuestro caso:

q·rE·4 2 , luego:

224

1

r

qK

r

qE(r)

, el campo en el exterior varía con el inverso del cuadrado de la distancia

al centro de la esfera aislante cargada. Observar que el resultado es equivalente al de una cargapuntual localizada en el centro de la esfera.

Gráficas E-r y V-r para unaesfera aislante uniformementecargada.

9 Hacemos uso de la relación entre el campo y el potencial, descrita en el apartado 2.3. de esta unidad, para calcular el potencial eléctrico para estasdistribuciones continuas de carga.

a. El número neto de líneas de campo que atraviesala superficie S

, de área S, es el mismo que el que

atraviesa la superficie ´S

, de área S´. El flujoeléctrico es el mismo a través de ambas superficies:

E·SS·ES

; E·SE·S´·cos´S·ES

´

b. Cuando el campo de fuerzas

E

no sea uniforme o lasuperficie S

no sea plana

debemos recurrir al cálculointegral.

Figura 8



En base a la relación general: rEV

· ; en nuestro caso:r

qK

r

rqKV(r)

Rr

2· , el

potencial en el exterior varía con el inverso de la distancia al centro de la esfera aislantecargada, resultado idéntico al de una carga puntual localizada en el centro de la esfera.- Campo y potencial eléctrico en el interior:

Tomamos como superficie gaussiana una esfera de radio r < R y aplicamos la definición de

flujo y la ley de Gauss, obteniendo:

3

3

4· r

·rE·4 2 ; rE(r) ·3

r

R

qK ·

3, el campo en el

interior varía linealmente con la distancia al centro.La expresión para el potencial eléctrico en el interior debe ser acorde con el resultado

R

qKV(R) . Así, evaluamos la diferencia de potencial entre un punto situado a la distancia R y

un punto del interior de la esfera aislante:

Rr

R

Rr

R

r

R

qKrr

R

qKRVrV

2

··

·)()(

2

33

R

qK

R

rqK

2

1

·2

·3

2

; R

qK

R

rqKV(r)

2

3

·2

·3

2

2

2

3··2 R

r

R

qK , lo que nos lleva a que en el centro de la

esfera el potencial esR

qKV(0)

·2

3

Las líneas de campo sonperpendiculares a la superficie de laesfera. Se dirigen hacia fuera de laesfera si la carga que contiene espositiva y hacia dentro de ella si lacarga es negativa.

Las superficies equipotencialesson esferas concéntricas a lasuperficie de la esfera dada.

Campo y potencial eléctrico creados por una corteza esférica uniformemente cargada.Supongamos ahora una corteza esférica de radio R y grosor

despreciable que se encuentra uniformemente cargada, con unadensidad superficial de carga σ. La carga total es: ·Sq

- Campo y potencial eléctrico en el exterior evolucionan de formaidéntica al de la esfera sólida descrita anteriormente, aunque ahoraresulta conveniente expresarlos en función de σ (lo entenderemos alhablar del comportamiento de los conductores):

2

2

2

2

2

1·4·

4

1

4

1

r

R

r

R

r

qE(r)

r

R

r

qV(r)

1·

4

1 2

- Campo y potencial eléctrico en el interior:El campo es nulo en el interior ya que la carga neta es cero, con lo

Gráficas E-r y V-r para unacorteza esférica aislanteuniformemente cargada.

que el potencial debe ser constante (en base a la relación general: rEV

· ) y de valor acorde con

el resultado en la superficie de la corteza esférica.

Situación análoga a ladescrita para la esfera ais-lante uniformemente carga-da, pero aquí el campo esnulo en el interior y, portanto, el potencial es cons-tante.

Campo y potencial eléctrico creados por un plano infinito uniformemente cargado.Consideramos un plano de dimensiones infinitas cargado

uniformemente con una densidad superficial de carga σ.Para hallar el valor del campo en un punto situado a una cierta

distancia r, tomamos como superficie gaussiana un cilindro de alturaarbitraria y sección transversal de área S, con su eje perpendicular al planoy cortándolo simétricamente.

La carga en el interior del cilindro es: ·Sq . Solamente hay flujo a

través de las bases del cilindro. Por tanto, aplicando la definición de flujo

y la ley de Gauss:

SE·2S·

· ;

·2E(r) ; el campo es constante.

Las líneas de campo sonperpendiculares al plano,paralelas entre sí y unifor-memente espaciadas. Se di-rigen hacia fuera del plano sila carga que contiene espositiva y hacia dentro delmismo si la carga es negativa.

Las superficies equipo-tenciales son paralelas alplano y uniformemente es-paciadas.

Para calcular el potencial eléctrico a una distancia r del planoevaluamos la diferencia de potencial V(r)-V(0), donde V(0) es el potencial

en el plano: rrVrVr

··2·2

)0()(0

; rVV(r) ·

·2)0(

, lo que nos

lleva a que el potencial disminuye linealmente con la distancia desde elplano, donde tendrá el valor máximo.

Gráficas E-r y V-r para un plano infinito aislanteuniformemente cargado.

Campo y potencial eléctrico creados por dos planos paralelos, uniforme y opuestamente cargados.Tenemos ahora dos planos paralelos separados una distancia d, con igual densidad de carga

pero de diferente signo (+σ y –σ).La superposición de campos en la región comprendida entre los planos da lugar a un campo

total doble al creado por un solo plano (

E(r) ), dirigido desde el plano positivo hacia el

negativo, mientras que en la región exterior a los planos ambos campos se neutralizan y noLas líneas de campo son rectas



habrá campo neto.El potencial eléctrico a una distancia r<d del plano cargado positivamente es:

rVV(r) ·)0(

, lo que nos lleva a que el potencial disminuye linealmente con la distancia

desde el plano positivo al negativo. La diferencia de potencial entre los planos es:

dV-(R)V- ·)0(

paralelas entre sí y perpendicu-lares a los planos, uniformementeespaciadas. Se dirigen del planopositivo al negativo.

Las superficies equipotencialesson paralelas al plano y uniforme-mente espaciadas.

El condensador o capacitor plano es un dispositivo común en los circuitos electrónicos que sefundamenta en lo anterior y que sirve para almacenar energía eléctrica, utilizada para hacer funcionarlámparas de destello en cámaras de fotos o teclados de ordenador, para sintonizar la frecuencia deaparatos de radio y TV, como filtros en suministro de energía eléctrica, para eliminar chispas en lossistemas de encendido de automóviles, en desfibriladores, etc.

El condensador consta de dos placas metálicas paralelas separadas por una fina lámina de materialaislante (papel, por ejemplo); este emparedado o sándwich se arrolla, para ahorrar espacio, y se mete en un cilindro.

Cuando las placas metálicas se conectan a un dispositivo de carga o acumulador, por ejemplo, una batería, entre las placasse establece una diferencia de potencial eléctrico idéntico al del acumulador. Cuanto mayor sea el voltaje establecido entre lasplacas y más próximas se encuentren éstas, mayor será la carga eléctrica almacenada en el condensador.

A esta propiedad de almacenamiento de carga se le denomina capacidad o capacitancia (V

qC

); es la razón entre el

valor de la carga en cualquiera de los conductores y el valor de la diferencia de potencial entre ellos; por definición, un valorpositivo cuya unidad en el SI es el faradio (F=C/V)10.

Para un condensador plano:d

S

d

S

V

qC

·

·

·

. Su capacidad aumenta al aumentar la superficie de las placas y/o al

disminuir su separación y/o al colocar entre las placas un aislante de mayor constante dieléctrica.

Campo y potencial eléctrico creado por un hilo infinito uniformemente cargado.Consideramos un hilo de longitud infinita cargado

uniformemente con una densidad lineal de carga λ.Para hallar el valor del campo en un punto situado

a una cierta distancia r, tomamos como superficiegaussiana un cilindro centrado en el hilo, de altura h yradio r para las bases. Gráficas E-r y V-r para un hilo infinito

uniformemente cargado.

La carga en el interior del cilindro es: ·hq . Solamente hay flujo a través de la superficie

lateral del cilindro. Por tanto, aplicando la definición de flujo y la ley de Gauss:

h·r·h·E·2

· ;

rK

rE(r)

1··2

1·

2

; el campo varía con el inverso de la distancia al hilo.

En base a la relación general: rEV

· ; en nuestro caso:

1,0

1

··2rr

r r

rKV(r)

rK ·ln·2 ; el potencial disminuye al aumentar la distancia al hilo cargado, teniendo unvalor nulo a un metro de distancia del hilo.

Las líneas de campo son rectasperpendiculares al hilo en todos lospuntos y presentan simetría radial. Sedirigen hacia fuera del hilo si lacarga que contiene es positiva yhacia dentro si la carga es negativa.

Las superficies equipotencialesson superficies cilíndricasconcéntricas en torno al hilo, tantomás alejadas cuanto menor sea elpotencial.


A.7.1. Una superficie gaussiana esférica rodea una carga puntual Q. ¿Qué sucede con el flujo total a través de la superficie si: a) la carga setriplica; b) se introduce otra carga –Q; c) el radio de la esfera se duplica; d) la superficie esférica se cambia a un cubo; e) la carga Q se colocaen otra posición dentro de la superficie?

A.7.2. Dos placas metálicas horizontales y paralelas están separadas 2 cm. La diferencia de potencial entre ellas es de 120 V. Calcula: a) Lamagnitud del campo eléctrico entre las placas. b) La magnitud de la fuerza que actúa sobre un electrón. c) La energía que gana un electrón,inicialmente equidistante de las placas, tras recorrer 1 mm en una dirección que forma un ángulo de 30º con la dirección del campo eléctrico.

A.7.3. De un péndulo de un metro de longitud pende una partícula de masa 20 g y carga desconocida. Para averiguar el valor de la carga secoloca el péndulo en las proximidades de una placa plana, de gran superficie, con una densidad de carga superficial de 1 C/m2; se observaentonces que la partícula se aleja de la placa, quedando el hilo del péndulo formando un ángulo de 45º con la vertical. ¿Cuánto vale la cargade la partícula?

A.7.4. Un anillo de radio R tiene una carga +Q distribuida uniformemente. Si λ es la densidad de carga lineal, determina una expresión para elcampo creado a lo largo del eje del anillo a una distancia x del centro. Analiza el resultado para los casos en que x=0 y x>>>R.

A.7.5. ¿Qué es un condensador plano? ¿Qué utilidad tiene este dispositivo? ¿Qué es la capacidad de un condensador y de qué factoresdepende la capacidad de un condensador plano?

10 En la práctica, el faradio es una unidad de capacidad muy grande. Los dispositivos comunes tienen capacitancias que varían de los micro (10-6 F) alos picofaradios (10-12 F).



3.1. ¿QUÉ MOVIMIENTO EXPERIMENTAN LAS PARTÍCULAS CARGADAS EN EL SENO DE UN CAMPOELÉCTRICO UNIFORME?

Si se conoce el campo eléctrico E

que actúa en un punto del espacio, independientemente de cómo hayasido creado, se puede determinar la fuerza eléctrica que actúa sobre una partícula de masa m y carga q colocada endicho punto: EqF

· . El vector F

tiene la misma dirección que E

; ahora bien, el sentido de F

coincide con el de

E

si la carga tiene signo positivo y es contrario al de E

si la carga es negativa.

Si el campo eléctrico E

es uniforme (como el creado por un condensador plano), la fuerza eléctrica F

esconstante y la partícula está sometida a una aceleración que viene determinada por la segunda ley de newton:

m

Eq

m

Fa

·

. Observa que, a diferencia de g , E

no

representa la aceleración que experimenta una partícula cargadaen un punto del campo; la aceleración que adquiere una partículacargada depende no sólo del campo eléctrico que actúa sobreella sino también de su carga eléctrica y de su masa.

La trayectoria que siga la partícula dependerá de ladirección y sentido de su velocidad inicial (figura 9).


A.8.1. Dado un campo eléctrico uniforme de intensidad j410·5 N/C. Calcula: a) La fuerza ejercida por este campo sobre un electrón. ¿Cómo

podemos considerar el peso del electrón en relación a la fuerza eléctrica? b) El tiempo que transcurre para que el electrón recorra 2 cmdentro del campo y la rapidez que alcanza al cabo de ese tiempo, suponiendo que parte del reposo. Dato: me= 9,11·10-31 kg.

A.8.2. Un electrón se proyecta en un campo eléctrico uniforme iE

310 N/C con una velocidad inicial io

610·2 m/s. ¿Qué distancia

recorrerá el electrón antes de detenerse? Dato: me = 9,11·10-31 kg.

A.8.3. Un electrón se proyecta en un campo eléctrico uniforme jE

310·2 N/C con una velocidad inicial io

610 m/s. Deduce la

ecuación de la trayectoria que describe el electrón. ¿Cuánto se habrá desviado tras recorrer 1 cm en la dirección del eje X? ¿Qué distanciahabrá recorrido tras desviarse 1 cm en la dirección del eje Y? Dato: me = 9,11·10-31 kg.

4. ¿CÓMO SE COMPORTAN LOS MATERIALES BAJO LA ACCIÓN DE UN CAMPOELÉCTRICO?

Los materiales conductores y aislantes se comportan de manera diferente bajo la acción de un campoeléctrico.

4.1. COMPORTAMIENTO DE LOS MATERIALES CONDUCTORES.

Un material conductor (metal, grafito, disolución iónica,...) tiene cargas libres(electrones, iones) que se mueven en presencia de un campo eléctrico externo. Lacorriente inducida por el campo externo lleva a las cargas libres hasta la superficie,separándose hasta alcanzar una situación de equilibrio electrostático en la que no haymovimiento neto de cargas (figura 10). El tiempo que tarda un buen conductor enalcanzar esta situación de equilibrio es del orden de 10-16 s, lo que para la mayor parte de los propósitos puedeconsiderarse instantáneo.

La separación de las cargas libres en la superficie del conductor es tal que se induce un campo eléctricosuperficial que compensa y anula el campo eléctrico externo. Este hecho explica la electrización por inducción enlos metales y la separación de los iones de una disolución por acción de un campo (al introducir dos electrodos dedistinto signo en el seno de la disolución).

En el interior de un conductor en equilibrio electrostático el campo eléctricoes nulo (no hay carga eléctrica neta) y, por consiguiente, el potencial eléctrico esconstante.

Este hecho tiene su aplicación en el apantallamiento, protección o blindajeeléctrico. No se puede apantallar la gravedad, porque la gravedad sólo atrae, pero esmuy sencillo protegerse de campos eléctricos externos; basta rodear lo que queremosblindar con una superficie o rejilla conductora, pues en el interior el campo es nulo(efecto conocido como jaula de Faraday, figura 11). Esta capacidad de los conductoresde bloquear los campos eléctricos externos se utiliza para proteger aparatos delicadosde posibles efectos electrostáticos (por ejemplo, los discos duros de los ordenadores) oblindar ciertos cables contra la actividad eléctrica externa (por ejemplo, los cables

Una partícula cargada que penetraen la dirección del campo describeuna trayectoria rectilínea. Si penetraperpendicularmente al campo sigueuna trayectoria parabólica.

Figura 9

Figura 10

Comprueba el efecto de jaula deFaraday colocando un transistordentro de una rejilla metálica o dentrode una caja de papel envuelta depapel de aluminio.

Figura 11



coaxiales de TV, los conocidos cables de antena); también justifica que debamos colocar antenas receptoras en elexterior de los edificios o coches (la estructura metálica de los mismos provoca la atenuación de los camposeléctricos externos asociados a las ondas electromagnéticas).

Si un conductor tiene carga eléctrica neta, dicha carga se repartirá por su superficie debido a la repulsiónmutua entre cargas del mismo signo, hasta alcanzar el equilibrio electrostático. En el interior del conductorequilibrado el campo eléctrico siempre será nulo, pero superficialmente habrá un campo eléctrico directamenteproporcional a la densidad superficial de carga y siempre dirigido perpendicularmente a la superficie en cada punto(si existiera una componente del vector campo en línea con la superficie, las cargas libres tendrían un movimientoneto en esa dirección, lo que iría en contra de la condición de equilibrio impuesta) (figura 12). El hecho de que nohaya campo a lo largo de la superficie del conductor, sea cual sea su forma, equivale a decir que no hay variacionesde potencial de un punto a otro de la superficie, o sea, la superficie de un conductor en equilibrio es una superficieequipotencial; aún más, el potencial eléctrico es constante en todos lados en el interior de un conductor e igual a suvalor en la superficie. Esto nos lleva a que la densidad de carga superficial, y por tanto el campo, es mayor en lospuntos en los que el radio de curvatura de la superficie es más pequeño, alcanzando valores muy elevados en puntosafilados. Esto da lugar al conocido efecto de las puntas; en ellas, la concentración de cargas puede llegar a ser tangrande que su repulsión mutua las hace saltar del conductor, ionizando las moléculas de los gases componentes delaire y haciéndolas ponerse en movimiento (se origina así el llamado viento eléctrico, causa del giro de los“molinetes eléctricos”). Este efecto se encuentra también en la base del funcionamiento de los pararrayos colocadosen edificios altos (ver apéndice 2).

Un conductor esférico concarga neta se comporta de formaidéntica que una corteza esféricauniformemente cargada (casodescrito en la pág. 11 de estaunidad): el campo superficial vale

y el potencial constante en el

interior y en la superficie delconductor vale

R· .

Para un conductor de formairregular, el potencial en elinterior y en cualquier punto desu superficie sigue siendoconstante. Así, en nuestro caso,

AAA

RV

· y

BBB

RV

·

deben ser iguales, lo que lleva aque

BA (ya queBA RR ) y,

en consecuencia,BA EE .

Figura 12

4.2. COMPORTAMIENTO DE LOS MATERIALES AISLANTES.

Un material dieléctrico o aislante (vidrio, plástico, lana, seda, papel, madera,...) posee cargas eléctricasligadas a su estructura y no permite su desplazamiento por el interior, es decir, no conducen la corriente eléctrica.Un campo eléctrico externo polariza en mayor o menor medida los átomos o moléculas que forman el aislante,ocasionando un campo neto en el interior del dieléctrico menor que el campo externo (figura 13). No obstante, estapolarización inducida del dieléctrico no lleva asociada una electrización por inducción de forma análoga a comoocurre en los conductores; las cargas eléctricas no pueden abandonar el aislante al estar ligadas a su estructura.

Material dieléctrico con sustancias polares.(a) En ausencia de campo externo, los dipolos

permanentes están orientados al azardebido a la agitación térmica.

(b) En presencia de campo externo, los dipolospermanentes se orientan en línea con elcampo.

Material dieléctrico con sustancias nopolares.(a) En ausencia de campo externo, los posibles

dipolos inducidos se compensan.(b) En presencia de campo externo, se produce un

pequeño desplazamiento de las cargas, lo queinduce dipolos que se orientan en línea con elcampo.

El campo externo ocasiona la aparición de cargasinducidas en las paredes exteriores del dieléctrico,cargas que crean un campo eléctrico interno quese opone al campo exterior, aunque no llega acompensarlo. El campo en el interior deldieléctrico es menor que el campo externo.

Figura 13


A.9.1. ¿Cuándo decimos que un conductor está en equilibrio electrostático? ¿Cómo es el campo y el potencial eléctrico en el interior de unconductor en equilibrio electrostático? ¿Cómo se reparte la carga en el conductor?

A.9.2. Dibuja una gráfica que muestre como evoluciona el valor del campo y el potencial con la distancia al centro de una esfera maciza enequilibrio electrostático: a) en el caso de que la esfera sea conductora; b) en el caso de que la esfera sea aislante y la carga estéuniformemente repartida.

A.9.3. ¿Cómo se comporta un aislante en el interior de un campo eléctrico uniforme? ¿Por qué el campo eléctrico en el interior del dieléctricoes menor que en el exterior?



A.10. Para concluir el tema, resuelve las siguientes actividades:

A.10.1. Señala analogías y diferencias entre el campo gravitatorio y el campo eléctrico.

A.10.2. Disponemos de un tubo hueco muy largo en una región del espacio donde no existen influencias externas de campos gravitatorios oeléctricos. Una esfera metálica uniformemente cargada se encuentra fija en uno de los extremos del tubo. Introducimos otra esfera idénticapor el otro extremo del tubo; en ausencia de rozamientos, se observa que la esfera permanece en equilibrio independientemente de suposición en el tubo. Deduce la relación q/m de las esferas.

A.10.3. Dos pequeñas bolas, de 1 g de masa cada una, están suspendidas del mismo punto mediante dos hilos de 1 m de longitud cada uno.Si al colgar las bolitas con la misma carga eléctrica, los hilos se separan formando cada uno un ángulo de 30° con la vertical, determina elvalor de la carga y la tensión de los hilos.

A.10.4. Se construye un péndulo con una esfera metálica, de masa 10 mg, colgada de un hilo de material aislante y masa despreciable de 1m de longitud, y se desea estudiar su comportamiento en el seno de un campo eléctrico. Para ello, se carga la esfera con 10 C y se la haceoscilar en un campo eléctrico de valor 5,8 V·m-1, dirigido verticalmente hacia arriba. Calcula el período del péndulo. ¿Qué ocurriría si el campoestuviese dirigido hacia abajo?

A.10.5. Supón que junto a la superficie de la Tierra existe, además de su propio campo gravitatorio, un campo eléctrico uniforme dirigido envertical y hacia arriba E= 104 N/C. En esta región soltamos una partícula de 10 g de masa, con velocidad inicial nula. a) ¿Cuál debe ser sucarga para que permanezca en reposo? b) Si la carga de la partícula es el doble de la que acabas de calcular, realizará un movimientoascendente. ¿Por qué? ¿Cuál será su velocidad tras ascender 2 m respecto al punto inicial?

A.10.6. Dos cargas iguales, Q, están separadas por una distancia 2a m. Por el punto medio del segmento que las une, se traza una rectaperpendicular en la que se coloca una carga q a una distancia r del segmento anterior. Determina el valor de r para que el módulo de la fuerzaque actúa sobre la carga q sea máximo.

A.9.7. Una partícula cargada se desplaza en la dirección del campo eléctrico de forma que su energía potencial aumenta. ¿Qué signo tiene lacarga? Razona tu respuesta.

A.10.8. Dos cargas puntuales de -2 C están situadas en los puntos A (-4, 0) y B (4, 0). Calcula: a) La fuerza sobre una carga de 1 C,situada en el punto P (0, 3). b) La velocidad que tendrá la carga de 1 C al pasar por el punto O (0, 0), si su masa es de 1 g.

A.10.9. Una carga de 1 nC está fija en el origen de coordenadas de un sistema cartesiano. Otra de -20 nC está fija en el eje Y, a 3 m delorigen. Calcula: a) El potencial electrostático en el punto P (4, 0) m. b) El campo eléctrico en P. c) El trabajo realizado para llevar una carga de1 C desde P hasta Q (4,3) m. (Interpreta el signo del resultado obtenido).

A.10.10. En el origen de coordenadas se encuentra una carga de 1 C y en el punto (3, 0) m otra de - 5 C. ¿Hay algún punto en el que seanule el campo eléctrico? Si lo hay, ¿cuánto vale el potencial eléctrico en dicho punto?, ¿qué trabajo se realiza al transportar una carga de -2 C desde dicho punto hasta el punto (0, 4) m? (interpreta el signo del resultado obtenido).

A.10.11. En los vértices del triángulo equilátero adjunto se sitúan las cargas indicadas. Calcula: a) El valor de la intensidadde campo y el potencial eléctrico en el centro de cada uno de los lados del triángulo. b) La energía potencial eléctrica queadquiere una carga de 5 C al situarse en el centro de uno de los lados. c) El trabajo realizado para llevar la carga de 5 Centre puntos medios de lados contiguos.

A.10.12. Si el potencial eléctrico es constante en una región o dentro de un conductor, ¿cómo es el campo eléctrico en esa zona?Y si el campo eléctrico es uniforme en una región (o sea, constante en módulo, dirección y sentido), ¿cuánto vale la diferencia de

potencial entre dos puntos del campo, en función del valor de dicho campo? Razona el significado físico del resultado obtenido.

A.10.13. Una gran placa metálica plana cargada uniformemente con una densidad de carga superficial de 0,1 nC·m-2 se encuentra situadahorizontalmente sobre el suelo. Desde una altura de 1 m se deja caer una partícula de 1 g de masa y una carga de 10-3 C. Calcula el tiempoque tarda en caer y la rapidez con la que llega al suelo.

A.10.14. Un electrón con energía cinética inicial 100 eV penetra en el campo eléctrico uniforme de un condensador plano de 1 cm de ancho.Se observa que el electrón atraviesa dicha región sin desviarse de su trayectoria rectilínea inicial, pero su velocidad a la salida es la mitad dela inicial. Calcula: a) La velocidad inicial del electrón. b) El módulo y la orientación del campo eléctrico dentro de esa región. c) La diferenciade potencial entre las placas del condensador. Dato: me = 9,11·10-31 kg.

A.10.15. Se libera desde el reposo un protón en un campo eléctrico uniforme de intensidad 7·104 V/m dirigido a lo largo del eje X en sentidopositivo. El protón se desplaza una distancia de 0,2 m en la dirección del campo. Calcula: a) La diferencia de potencial que ha experimentadoel protón en el desplazamiento indicado. b) La variación de energía potencial. c) La velocidad del protón al final de los 0,2 m recorridos. Dato:mp = 1,67·10-27 kg.

A.10.16. Entre las placas de un condensador plano, separadas 1 cm, se crea un campo eléctrico uniforme iE

200 N/C. Un protón se deja

en libertad en la primera placa, partiendo del reposo. Calcula: a) La diferencia de potencial entre las placas del condensador. b) La variaciónde energía potencial que experimenta el protón en su recorrido entre las placas. c) La energía cinética del protón al llegar a la 2ª placa.

A.10.17. En una región del espacio ( 10 x , 10 y ) actúa un campo eléctrico, de forma que el potencial solamente

varía a lo largo del eje X tal y como muestra la figura adjunta. Determina el campo eléctrico en dicha región. ¿Qué trabajo serealiza al trasladar un protón desde el punto A (0´1, 0´3) al punto B (0´5, 0´8) y posteriormente hasta el punto C (0´5, 1).

A.10.18. Entre las placas de un condensador plano (de 3 cm de longitud y separadas 5 mm) se crea un campo eléctricouniforme jE

310 N/C. Un electrón penetra equidistante de las placas con una velocidad inicial io

610·5 m/s. Halla: a) La ecuación de

la trayectoria que describe el electrón. b) La desviación vertical experimentada por el electrón al salir de las placas. c) El ángulo dedesviación. d) El punto en el que incidirá sobre una pantalla paralela al campo a 20 cm del extremo de las placas. Dato: me = 9,11·10-31 kg.



A.10.19. Bajo la acción de un campo eléctrico uniforme iE

200 N/C se deja en libertad, partiendo del reposo, una partícula de 0,12 g de

masa y 3 C de carga. Calcula, teniendo en cuenta los efectos gravitatorios: a) La ecuación de la trayectoria descrita por la partícula. b) Eldesplazamiento vertical experimentado por la partícula tras recorrer 4 m en la horizontal. c) La energía cinética de la partícula tras el recorridoanterior. d) La variación de energía potencial en el mismo recorrido. e) La diferencia de potencial eléctrico entre la posición inicial y final enestudio.

A.10.20. Dos esferas conductoras de radios 90 y 45 cm, cargadas de modo que sus superficies presentan un potencial electrostático,respecto al infinito, de 10 y 20 V, respectivamente, tienen sus centros separados 10 m. Halla: a) El valor de la fuerza que ejercen entre síambas esferas. b) El campo eléctrico en el punto medio de la recta que une sus centros. c) Si ambas esferas se unen mediante un hiloconductor, ¿qué carga quedará en cada esfera?

A. Final. Realiza un resumen de las ideas más importantes aprendidas en esta unidad, así como un cuadro con las ecuacionesy fórmulas que has manejado a lo largo de la misma.

APÉNDICES:

A.1. EXPERIMENTO DE LA GOTA DE ACEITE DE MILLIKAN.

Robert Millikan desarrolló de 1.909 a 1.913 un brillante conjunto deexperimentos en los cuales midió e, la carga elemental de un electrón y demostró lanaturaleza cuantizada de esa carga. Por este trabajo fue honrado con el Premio Nobelde Física de 1.923.

El aparato utilizado por Millikan (figura A.1) incluye dos placas metálicasparalelas. Gotas de aceite cargadas que salen de un atomizador pasan a través de unpequeño agujero en la placa superior. Un haz luminoso dirigido horizontalmente (nodibujado en el gráfico) se utiliza para iluminar las gotas de aceite, las cuales seobservan mediante un telescopio cuyo eje está en ángulo recto con el haz de luz; de esta manera sepuede determinar la velocidad de caída de las gotas individuales.

Supongamos que se observa una gota de masa m y carga eléctrica negativa q. Si no hay campoeléctrico entre las placas, sobre la gota actúa la fuerza de la gravedad gm

, hacia abajo, y la fuerza de

arrastre viscosa,DF

, hacia arriba, proporcional a la velocidad de la gota. Cuando la gota alcanza su

rapidez final constante v

, las dos fuerzas se equilibran entre sí:DFgm

(figura A.2). Si creamos un

campo eléctrico E

entre las placas, dirigido hacia abajo y con la intensidad adecuada, podemos hacerque la gota ascienda con una nueva velocidad ´v

constante. Cuando esto ocurra debe cumplirse que:

EqFgm D

´ (al desplazarse hacia arriba, la fuerza de arrastre viscosa se dirige hacia abajo).

Podemos observar durante horas como una gota baja y sube alternativa y lentamente entre las placas (basta con desactivar yactivar el campo mediante la batería). Si hacemos que la gota baje y suba con la misma rapidez constante, resulta que:

mgFF DD ´ ; luego podemos determinar el valor de la carga: qEmg 2 ; Emgq 2 . Tras miles de mediciones, Millikan y sus

colaboradores encontraron, con una precisión del 1%, que todas las gotas tenían una carga igual a un múltiplo entero de la cargaelemental e, siendo e=-1,60·10-19 C; es decir, la carga está cuantizada.

A.2. APLICACIONES DE LA ELECTROSTÁTICA.

Entre las principales aplicaciones de la electrostática podemos mencionar el pararrayos, el generador de Van de Graff, losfiltros o precipitadores electrostáticos de partículas sólidas en suspensión, las fotocopiadoras, las impresoras de chorro de tinta, lostubos de rayos catódicos de TV, los aceleradores lineales de partículas, etc.

El pararrayos tradicional se basa en el sistema concebido por Benjamin Franklin en 1.752.Consiste en un conductor metálico que une una torre o la parte más alta de un edificio a tierra.Cuando las nubes, cargadas negativamente, pasan por la zona, la punta del pararrayos atrae aelectrones del aire, evitando que se acumule una gran carga positiva por inducción. No obstante,si por alguna razón no escapa carga suficiente del aire al cable metálico y se forma el rayo, ésteserá atraído al pararrayos, al poseer una elevada concentración de carga positiva por el efecto delas puntas, y llegará directamente al suelo sin dañar el edificio. El objeto principal del pararrayoses evitar incendios causados por rayos.

El generador de Van der Graff (figura A.4) permite producir altos voltajes, utilizados luego paraacelerar partículas cargadas. Consta de una esfera metálica grande y hueca sostenida por unsoporte aislante cilíndrico. Una banda de caucho, impulsada por un motor y dentro del soportepasa por un conjunto de agujas metálicas, parecido a un peine, que se mantienen a un potencialpositivo grande en relación con la tierra (unos 104 V). La carga positiva sobre la banda móvil setransfiere a la esfera metálica hueca por medio de las puntas metálicas colectoras. Como el campo eléctrico dentro del conductor escero, la carga positiva pasa a la superficie externa de la esfera conductora, con lo que el interior de la esfera puede recibir más carga amedida que la sube la banda. El proceso es continuo y la carga se acumula hasta que el potencial positivo en la esfera es mucho mayorque el de la fuente de voltaje en la parte inferior (del orden de millones de voltios).

Figura A.1.

Figura A.2.

Figura A.4.



Por las chimeneas de las plantas siderúrgicas y químicas así como en las plantas cementeras o en las centralestérmicas salen continuamente grandes cantidades de compuestos gaseosos contaminantes y pequeñas partículassólidas, que son las cenizas más volátiles producidas durante la combustión. El filtro o precipitadorelectrostático (figura A.5), un tubo metálico colocado en las chimeneas, se utiliza para recoger las partículassólidas en suspensión. La pared exterior del tubo está conectada a tierra, mientras que un alambre conductorcentral se mantiene a una tensión negativa muy grande; esto ocasiona en el interior del tubo continuas descargaseléctricas que ionizan las partículas que hay en el humo cargándolas con un exceso de electrones; las partículascargadas son aceleradas hacia la pared metálica exterior, contra la que acaban chocando y cayendo hacia la tolvainferior, de donde se extraen y eliminan. Estas cenizas pueden emplearse en la fabricación de cemento y otrosmateriales de construcción. Además de servir para evitar la contaminación, los precipitadores electrostáticos seemplean para otras muchas aplicaciones (recuperación de las sales de plata de las películas y del papelfotográfico, ahumado rápido de los alimentos,...).

El funcionamiento de las fotocopiadoras e impresoras láser se basa en las propiedades semiconductoras delselenio (proceso conocido como xerografía) (figura A.6).Cuando éste se ilumina conduce la electricidad, pero en laoscuridad se comporta como un aislante. En el interior de lafotocopiadora se encuentra un tambor de aluminiorecubierto por una capa de óxido de aluminio y por otra capa más externa deselenio, la cual se carga positivamente antes de comenzar a realizar la fotocopia. Acontinuación se ilumina el documento que se quiere copiar y su imagen seproyecta sobre el tambor. Las zonas iluminadas del tambor se descargarán y lasoscuras permanecerán con carga positiva debido a las propiedades del selenio. Deesta forma se produce sobre el tambor una imagen latente del documento a copiarformada por cargas positivas. Si se deposita sobre el tambor un polvo negro, eltoner, cargado negativamente con anterioridad, será atraído a las zonas de carga

positiva del tambor y repelido de las restantes. De esta manera se tendrá sobre el tambor una imagen latente formada por toner. Alcolocar sobre el tambor una hoja de papel cargada positivamente, el toner será transferido desde el tambor y formará la imagen sobreel papel. Un breve calentamiento del papel funde el toner y lo pega al papel produciendo una fotocopia lista para su utilización.

Las impresoras de chorro de tinta utilizan un oscilador ultrasónico que convierte el chorro de tinta en un haz de gotas. Elordenador regula la carga positiva de un cilindro por el cual pasan las gotas. Cada una de ellas adquirirá una carga diferente deacuerdo con las instrucciones del ordenador sobre la carga del cilindro. A continuación, las gotas cargadas atraviesan unas placasdeflectoras sobre las que existe una diferencia de potencial constante, con lo que cada gota será desviada verticalmente de formadiferente según la carga que adquirió en el cilindro y lanzada hacia una hoja de papel. De esta manera se pueden formar los diferentescaracteres.

El tubo de rayos catódicos (CRT, de Cathode Ray Tube, sus siglas en inglés, figura A.7) permitió al inglés J.J. Thomson descubrir elelectrón en 1.897. El tubo de rayos catódicos de un TV, monitor u osciloscopio convencionalconsiste en un tubo en cuyo interior se ha practicado un alto vacío y en uno de cuyos extremoshay un filamento C que al calentarse emite electrones. Dicho filamento (cátodo), está conectadoa un potencial negativo con respecto a la rejilla A (ánodo), lo que crea un campo eléctricodirigido de A a C que acelera los electrones hacia A. El haz de electrones atraviesa el ánodoperforado A y, mediante la aplicación de campos eléctricos (o magnéticos) variables,perpendiculares entre sí y perpendiculares al eje del tubo, se controla su movimiento ysu impacto sobre una pantalla fosforescente P, una pantalla recubierta de un materialque emite luz visible cuando se bombardea con electrones. Este aparato es útil paravisualizar señales eléctricas periódicas, muchas veces obtenidas de la transformación deseñales acústicas y ópticas.

Para su aplicación en pantallas de TV y en monitores de ordenador, el viejo CRT hasido superado por las actuales pantallas planas de plasma y LCD:- Una pantalla de plasma (figura A.8) posee muchos elementos comunes con una TVconvencional. En estas pantallas se iluminan pequeñas áreas fosforescentes para crear laimagen. Cada punto en la pantalla, o píxel, lo integran tres luces o celdas: roja, verde yazul. Al igual que en CRT, las plasmas varían las intensidades de luz en cada punto paragenerar una buena gama de colores. Pero… ¿por qué se les llama “plasma”? Cadaelemento fosforescente en la pantalla posee un componente básico: un celda con gasesnobles (xenón y el neón) que al pasar la corriente eléctrica se ioniza (estado de plasma),iluminándose (lo mismo que sucede dentro de un tubo fluorescente). Cada pantalla deplasma posee miles de pequeñas celdas. Por la combinación de intensidades de luz encada celda de las tres que componen cada píxel, es factible generar una amplia gama decolores.- Una pantalla LCD (de Liquid Crystal Display, pantalla de cristal líquido, figura A.9)utilizan una solución de moléculas de cristal líquido contenida entre dos placastransparentes que, a través de un arreglo de transistores delgados (el famoso TFT, ThinFilm Transistor), uno por cada color de cada píxel, reciben voltaje y son polarizadas.Cuando la corriente eléctrica pasa a través de las moléculas de cristal, éstas cambian suforma y filtran la luz para formar la imagen. Como estos cristales realmente no emiten luz, sino que simplemente permiten que pase através de ellos o no, estas pantallas no producen ninguna radiación. Además de su reducido tamaño, su principal ventaja frente a las

Figura A.5.

Figura A.6.

Figura A.7.

Figura A.8.

Figura A.9.



pantallas CRT o de plasma es el ahorro de energía y su vida útil es más larga.

Los aceleradores lineales de partículas (LINAC, linear accelerator) se fundamentan en el tubo de rayos catódicos descritoanteriormente y tienen una aplicación fundamental en el campo de la Física nuclear. Los LINAC proporcionan a la partícula cargadapequeños incrementos de energía cinética cuando pasa a través de una secuencia de campos eléctricos alternos. En 1.928 se construyóel primer acelerador lineal, que aceleraba iones de potasio hasta una energía de 50.000 eV. El acelerador lineal de la universidad deStanford es el más largo entre los aceleradores de electrones; mide 3,2 km de longitud y proporciona una energía de 50 GeV (5·1010

eV).

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los autores. Te facilitarán el estudio y la comprensión de los conocimientos tratados en esta unidad.

SOLUCIONES A LAS ACTIVIDADES PLANTEADAS EN LA UNIDAD.A.1.1. Se desvía ligeramente el chorro de agua. Se produce una electrización por inducción.A.1.2. El objetivo es neutralizar la electrización del camión por frotamiento con el aire.A.1.3. Porque en el aire siempre existe un número pequeño de iones positivos y negativos. Cuando se coloca en el aire un cuerpo cargado, ésteatrae a los iones del aire circundante que posean carga opuesta a la suya, tomando de ellos o cediéndoles electrones (según sean dichos ionesnegativos o positivos), con lo que se neutraliza su carga.A.1.4. 1210·25,6

total

atransferid

q

q. Observa como la carga transferida representa una fracción mínima del total.

A.2.1. Fe= 2,27·1039·Fg A.2.2. 3´ rr A.2.3. 9´ FF

A.2.4. a) Fuerzas en valor absoluto (aplicando ley de Coulomb): Nr

eeKFF 8

221 10·61,42·

· . Fuerzas como

vectores: NjF

81 10·61,4 ; NiF

8

2 10·61,4 ; NjiFFF )(10·61,4 821

(F = 6,52·10-8 N,

º45x

yOX F

Farctg

b) Fuerzas en valor absoluto: Nr

eeKF 8

21 10·15,12

·· ; N

r

eeKF 8

22 10·61,4·2

· . Fuerzas como vectores:

NjiNjseniF

·10·13,8)º45()º45cos(·10·15,1 881

; NiF

82 10·61,4 ;

NjiFFF

8821 10·13,810·80,3 (F = 3,88·10-8 N, º192

x

yOX F

Farctg ). En módulo, la fuerza neta o resultante también se puede

calcular directamente mediante el teorema del

coseno: la expresión: ),cos(2 21212

22

1 FFFFFFF

.

A.2.5. Como se observa en la figura adjunta, debe cumplirse: NTPFe 0

. Luego: senTTF xe · ;

·cosTTP y ; tgP

Fe ; tgrgm

qK

2

2

··

· ;K

tgrgmq

··· 2

; en nuestro caso:

CC

tgsenq 17,010·70,1

10·9

º5·º5·2·81,9·10 79

22

. Por tanto:cos

·gmT ;

NjseniTT

)º90()º90cos( ; en nuestro caso: NT 22

10·85,9º5cos

81,9·10

;

NjiT

23 10·81,910·58,8 ( º95OX ).

A.3.1. a) Aplicando la ley de Coulomb:

N

r

qqKFF 1350

10

10·5·10·3·10·9

··

22

669

221

1221

; b)

CN

r

qK

q

FE /10·70,2

10

10·3·10·9· 8

22

69

21

2

2121

A.3.2. Campos en valor absoluto: CNr

qKEE /25,11

08,0

10·10·9·

109

221

. Campos como vectores: CNjiE /)(95,71

;

CNjiE /)(95,72

; CNiEEE /91,1521

(E = 15,91 N/C, º180OX ).

NiiEqF

910 10·18,3)91,15)·(10·2(· (F = 3,18·10-9 N, º0OX ).

A.3.3. Campos en valor absoluto: CNr

qKEE /30

3

10·3·10·9·

2

89

231

; CNr

qKE /15

3·2

10·3·10·9

2·

2

89

22

.

Campos como vectores: CNiE /301

; CNjiE /)(2·5,72

; CNjE /303

;

CNjiEEEE /)·(61,40321

(E = 57,43 N/C, º45OX ).

A.3.4. El campo se anula a 2d/3 m a la izquierda de la carga negativa y en la línea que une a ésta con la otra carga,situada a la derecha.A.3.5. a) CNjE /962.1

(E = 1.962 N/C, º90OX ; es decir, en sentido opuesto a g

); b) La partícula se aleja de la Tierra aceleradamente:2/81,9 smja

; c) La partícula se acerca a la Tierra aceleradamente: 2/62,19´ smja

a)

b)



A.3.6. Teniendo en cuenta quem

Eq

m

Fa

·

; se llega a que:

Na

Cl

Cl

Na

m

m

a

a

, o sea:

ClNa

aa

·54,1

A.4.1. Jrr

KQqEAB

p210·86,4

11·

; JEW pBA

210·86,4 . El trabajo es negativo porque el proceso de separar las cargas que

tienden a atraerse no es espontáneo; se realiza en contra de las fuerzas del campo por algún agente externo.A.4.2. eVJEEEEE ppppp 14410·3,23 17

12231312 (La pE del conjunto de los tres electrones representa el trabajo a realizar por las

fuerzas del campo para llevar los electrones desde la posición que ocupan hasta el hipotético infinito; este trabajo de las fuerzas del campo espositivo dado que se trata de una transformación espontánea, separar cargas del mismo signo).A.5.1. a) 0 N/C; 2.250 V; b) 0 N/C; - 2.250 V; c) i

250.56 N/C; 0 V.

A.5.2. a) Campo nulo a d/3 m del lado interno de q, en la línea que contiene a q y 4q; el potencial no puede ser nulo; b) Campo nulo a d m dellado exterior de q, en la línea que contiene a q y 4q; el potencial nulo a d/5 m del lado interno de q, en la línea que contiene a q y 4q.A.5.3. a) 13.500 V; b) 2,7·10-2 J; c) - 2,7·10-2 J (el trabajo a realizar va en contra de las fuerzas del campo, pues el proceso de acercar cargasdel mismo signo no es espontáneo)A.5.4. 1°) a) i

720 V/m; 0 V; b) i

760.5 V/m; 0 V; c) i

560.2 V/m; 4.800 V; 2°) a) 0 J (desplazamiento dentro de una superficie

equipotencial); b) 1,92·10-2 J (el trabajo a realizar va a favor del campo; las cargas negativas se mueven espontáneamente hacia potencialescrecientes).A.5.5. a) 0 V (forman parte de una superficie equipotencial de 2,5 m de radio); b) 0 J; c) 36 J.

A.5.6. a) 0E

N/C ; 4,68.104 V; b) 0,468 J; c) - 0,468 J (proceso no espontáneo).

A.5.7. CNjE /10·73,1 4 ; V=6·104 V

A.5.8. Se justifica de la relación entre campo y potencial: rdEV

(se demuestra fácilmente al trasladar una carga un espacio

infinitesimal, r

, por una superficie equipotencial, 0V ; entonces 0 rE-

, lo que implica que E

y r

son perpendiculares, luego E

es normal a las superficies de nivel).La relación entre campo y potencial también nos dice que el vector campo tiene el sentido de los potenciales decrecientes. Como las líneas

de campo señalan el sentido en que se desplazan las cargas positivas, queda claro que los protones (cargas positivas) se desplazarán en elsentido de los potenciales decrecientes (sentido del campo) y los electrones (cargas negativas) en el sentido opuesto.A.5.9. Su evolución viene dada por las funciones: V=Kq/r; E=Kq/r2y F=q´·E=Kqq´/r2, cuyarepresentación gráfica se muestra en la figura adjunta.A.5.10. No, en una región donde el campo es nulo, el potencial debe ser constante y, portanto, no necesariamente cero.A.5.11. V(4)= 4 V; CNiix

r

V-E /532

A.5.12. Superficies contenidas en el plano YZ, uniformemente espaciadas; 4·10-3 J (procesoespontáneo); están separadas 0,02 m.A.5.13. VB = 520 V. V/mi2.500E

(el campo tiene el sentido del potencial decreciente).

A.5.14. a) N/Ci200

; b) - 40 V; c) - 6,4·10-18J (proceso no espontáneo).

A.5.15. a)

CNiiEEE BAR /10·25,2

5

1

10

1

10

10·5·10·9 7

2223

89

(E = 2,25·107 N/C, º180OX ). b) Aplicando el PCE en

ausencia de fuerzas disipativas: JE 0 ;pc EE ; )·(mv

2

1 2Rs VVq ;

m

VVq Rs )·(2v

; en nuestro caso: 15,1 m/s

A.6.1. Se justifica en base a la definición de flujo como producto escalar: E·S·cosS·E

A.6.2. VmkkjS·E 44)·(

; o bien: VmE·S·cos 4º45·cos4·2

A.6.3. Por la definición de flujo eléctrico:

q

rr

qE·S·cosS·E 2

24·

4

1; o atendiendo a la ley de Gauss:

q . Se observa que

el flujo no depende del radio de la esfera considerada; en ambos casos: Vm59

6

10·13,110·9·41

10

. El campo eléctrico si depende de la

distancia:2

·r

qKE ; a mitad de distancia el campo se cuadriplica; su valor en nuestro caso:

CNE /10·6,3

5,0

10·10·9 4

2

69

, siempre dirigido

perpendicularmente a la superficie de la esfera y hacia fuera, al portar carga positiva.A.6.4. No. El flujo a través de una superficie cerrada es nulo si no hay carga neta en su interior, pero también es nulo si entra por la superficieel mismo flujo que sale. En este último caso hay un campo eléctrico entrante y otro saliente dentro de la superficie cerrada.A.7.1. a) El flujo a través de la superficie se triplica, ya que el flujo es directamente proporcional a la cantidad de carga dentro de la superficie.b) El flujo total o neto es nulo, porque el número de líneas de campo que entran y salen a través de la superficie esférica es el mismo. c) Elflujo no cambia porque todas las líneas de campo eléctrico que salen de la carga pasan a través de la esfera, sin importar su radio. d) El flujo nocambia cuando lo hace la forma de la superficie gaussiana, porque todas las líneas de campo eléctrico que salen de la carga pasan a través de lasuperficie, sin importar la forma de la misma. E) El flujo no cambia cuando la carga se mueve a otra posición dentro de la superficie, porquetodas las líneas de campo eléctrico que salen de la carga siguen pasando a través de la superficie.A.7.2. a) CN

x

V-E /000.6

10·2

1202

. b) NEqF 16319 10·60,910·6·10·60,1· . c) Dado que el campo eléctrico es

conservativo, la energía del electrón se conserva, ni gana ni pierde.

A.7.3. Debe cumplirse: NTPFe 0

. Luego: Ctggm

E

tggmq 610·44,3

····2··



A.7.4. Dado que el anillo es circular y que la carga se encuentra repartida de forma homogénea, la simetría del caso (ver figura) nos indica queel campo neto en el punto P tiene la dirección del eje X, pues las componentes en Y se cancelan. Por la misma razón cabe esperar que elcampo en el centro del anillo (x=0) sea nulo.

Como se observa en la figura:r

x

r

QKEE x 2

·cos

. Dado que: 22 xRr y LQ · ; resulta:

2/322

··

xR

xLKE x

.

Para calcular el campo total debido al anillo, sumaremos (integraremos) todas las contribuciones de los elementos Q a todo lo largo

del anillo:

R

xR

xLKE

2

0 2/322

··

RL

xR

xK

2

02/322·

·

R

xR

xK

2·

·2/322

. Como:R

Q

2 , resulta:

2/322

·

xR

xQKE

Si x=0 es evidente que E=0 N/C. Si x>>>R, podemos despreciar el factor R frente a x en el denominador, con lo que la expresióndel campo es análoga a la que crea una carga puntual.A.7.5. (Ver apuntes).

A.8.1. a) NjjEqF

15419 10·810·5)·10·60,1(· ; NjjgmP

3031 10·94,8)81,9·(10·11,9· (despreciable frente a

la fuerza eléctrica). b) La fuerza constante producirá un MRUA en sentido contrario al campo: 21531

15

/10·78,810·11,9

10·8smj

j

m

Fa

;

aplicando las ecuaciones del MRUA, resulta: 22

2

110·2 at ; nsst 13,210·13,2

10·78,8

10·4 915

2

;

smat /10·87,110·13,2·10·78,8v 7915

A.8.2. La fuerza constante producirá un MRUR en el sentido del campo: 21431

319

/10·76,110·11,9

10)·10·60,1(·smi

i

m

Eq

m

Fa

;

aplicando las ecuaciones del MRUA, resulta: at ovv , t·10·76,110·20 146 ; st 8146 10·14,110·76,110·2 ; 2o 2

1·vs att ;

cmms 14,110·14,1)10·14,1)(10·76,1(2

110·14,1·10·2 2281486

A.8.3. 2·63,175 xy ; cmj

76,1 ; cmi

75,0

A.9.1. hasta A.9.3. (Ver apuntes).

A.10.1. Es importante que tengas clara esta cuestión.Analogías:- Ambos son campos centrales, ya que su dirección es la de la línea que une un punto con el lugar donde se encuentra la carga o la masa que crea el campo.- Ambos son campos conservativos, porque la fuerza central solamente depende de la distancia, y no del camino seguido. Por tanto llevan asociados a cadapunto una función escalar, el potencial.- Los campos creados en un punto por una carga puntual o una masa disminuyen con el cuadrado de la distancia de la carga o la masa al punto considerado, loque va a permitir describirlos de la misma forma, obteniendo teoremas aplicables a ambos.- Las fuerzas gravitatorias y eléctricas tienen siempre la dirección del vector intensidad de campo. Ambos se representan gráficamente con líneas de campo o defuerza abiertas y con las superficies equipotenciales perpendiculares a aquellas.Diferencias:- El campo gravitatorio es universal: existe para todos los cuerpos, al estar asociado a la masa. El campo eléctrico sólo existe cuando los cuerpos tienen cargaeléctrica neta.- El campo gravitatorio es siempre atractivo; las líneas de campo siempre se dirigen hacia la masa que crea el campo. El campo eléctrico puede ser atractivo orepulsivo, dependiendo del signo de las cargas que interaccionen; por convenio, las líneas de campo salen de las cargas positivas y se dirigen hacia las cargasnegativas.- El campo gravitatorio es independiente del medio que le rodea, al ser la constante de gravitación G universal. El campo eléctrico depende del medio que lerodea, al depender el valor de la constante eléctrica K de dicho medio (su mayor valor es en el vacío; la presencia de cualquier medio material debilita lainteracción eléctrica -efecto de apantallamiento). Esto hace que sea imposible aislarse de un campo gravitatorio, pero sí sea posible aislarse de un campoeléctrico (jaula de Faraday).- El campo gravitatorio es muy débil comparado con el campo eléctrico, lo que se deriva del valor de la constante eléctrica K, unas 1020 veces mayor que laconstante gravitatoria G. Como consecuencia, en el estudio de los fenómenos eléctricos, los efectos gravitatorios son despreciables.- El campo gravitatorio no se modifica si la masa que lo crea está en movimiento. Sin embargo, una carga en movimiento crea un campo magnético además deleléctrico, como veremos en la siguiente unidad.

A.10.2. kgCK

G

m

q/10·61,8 11

A.10.3. (Ver A.2.5.) Debe cumplirse: NTPFe 0

. Luego: K

tgrgmq

··· 2

CCtg

79,010·93,710·9

º30·1·81,9·10 79

23

;

cos

·gmT N2

3

10·13,1º30cos

81,9·10

; jseniTT

)º90()º90cos( Nji 33 10·81,910·67,5 ( º120OX ).

A.10.4. La atracción sobre la esfera es menor, luego el período es mayor (3,138 s). La atracción sobre la esfera es mayor, luego el período esmenor (0,256 s).A.10.5. a) 9,81 C . b) Porque hay una aceleración resultante vertical y hacia arriba de 9,81 m/s2; 6,26 m/s.A.10.6. ma 22

A.10.7. Negativo. Se justifica de la relación entre campo y potencial: rdEV

. El vector campo tiene el sentido de los potencialesdecrecientes, sentido que sigue espontáneamente una carga positiva disminuyendo su energía potencial. Por tanto, si al moverse en la direccióndel campo la energía potencial de la partícula aumenta (proceso no espontáneo), la carga debe ser negativa.A.10.8. a) Nj

410·64,8 (8,64·10-4 N, º270OX ). b) 1,90 m/s.

A.10.9. a) -33,8 V. b) CNji /32,420,5

(6,76 N/C, º28,140OX ). c) 9,45 J (proceso espontáneo).



A.10.10. A 2,43 m de la carga positiva, en línea con las cargas y en la parte externa del segmento que las une; - 4.583,6 V; 4,3·10-3 J (procesoespontáneo).A.10.11. a) 13.333 N/C; 154.641 V. b) 0,77 J . c) Nulo, pues forman parte de la misma superficie equipotencial.A.10.12. Dada la relación entre el campo y el potencial:

r

V-E

, se deduce que si el potencial eléctrico es constante, el campo es nulo.

Dada la relación: rdEV

, se deduce que si el campo es constante, la diferencia de potencial entre dos puntos del campo esdirectamente proporcional al valor del campo y a la distancia que separa los puntos, medida en la dirección de la línea de campo. Estadiferencia de potencial será negativa si el movimiento tiene lugar en el sentido que marcan las líneas de campo, y positiva en casocontrario.A.10.13. 0,7 s; 2,9 m/s.A.10.14. a) 5,93·106 m/s. b) 7.500 N/C, en la dirección y sentido en que se mueve el electrón cada vez más lento. c) –75 V (en el sentido delcampo, los potenciales son decrecientes).A.10.15. a) -1,4·104 V. b) -2,24·10-15 J. c) smi /10·64,1 6

A.10.16. a) – 2 V. b) –3,2·10-19 J. c) 3,2·10-19 J.A.10.17. CNi /20

; 1,28·1018 J (proceso espontáneo).

A.10.18. a) y = -3,51x2. b) cmj

32,0 . c) º9,11x

yOX v

varctg . d) cmj

53,4

A.10.19. a) y = -1,962x. b) mj

848,7 . c) 1,16·10-2 J. d) Aplicando el PCE en ausencia de fuerzas disipativas: JE 0 ;

JEE cp210·16,1 . e) ViixEV 800)4)·(200(

(al movernos a favor del campo disminuye el potencial).

A.10.20. a) Dado que q1 y q2 son iguales y de valor 1 nC, el valor de la fuerza es 9·10-11 N. b) Nulo, por simetría. c) Dado que deben igualarse

los potenciales, pasará carga la segunda esfera a la primera, quedando así: nCq1 3

4´ , nCq´2 3

2´

A. Final. Trabajo personal.

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