Introducción a las Integrales

Jhon Jairo Sabogal Pulido

11.3

2011

Funciones logaritmo natural.

La función logaritmo Natural o neperiano está definida para x > 0 y es creciente. La función inversa de logaritmo neperiano es la función exponencial.

Si  y es un número real que puede escribirse en la forma y = e^x entonces el exponente  se llama el logaritmo natural de y y se denota con In y.

La función logaritmo natural es creciente; y satisface las siguientes condiciones.

GRAFICAS DE LA FUNCION LOGARITMO NATURAL Para graficar la

función logarítmica, se elabora el cuadro de x vs. log respectivo.

Se le llama función logaritmica de base a a la función

F(x) = logax , siendo a > 0 y a diferente a 1

Es Inversa a la función exponencial.

Función Logarítmica.

Propiedades de la función logarítmica Dominio: Recorrido: Es continua.Los puntos (1, 0) y (a, 1) pertenecen a la

gráfica.Es inyectiva (ninguna imagen tiene más de

un original).Creciente si a>1.Decreciente si a<1.

Función ExponencialLa función exponencial, es conocida

formalmente como la función real ex, donde e es el número de Euler, aproximadamente 2.71828.... Esta función tiene por dominio de definición el conjunto de los números reales, Se denota equivalentemente como f(x)=ex o exp(x), donde e es la base de los logaritmos naturales y corresponde a lafunción inversa del logaritmo natural.

Propiedades de las funciones exponenciales.

Función φ de Euler

Es una función  importante en teoría de números. Si n es un número entero positivo, entonces φ(n) se define como el número de enteros positivos menores o iguales a n y coprimos con n.

+0 +1 +2 +3 +4 +5 +6 +7 +8 +9

0+   1 1 2 2 4 2 6 4 6

10+

4 10 4 12 6 8 8 16 6 18

20+

8 12 10 22 8 20 12 18 12 28

30+

8 30 16 20 16 24 12 36 18 24

40+

16 40 12 42 20 24 22 46 16 42

50+

20 32 24 52 18 40 24 36 28 58

60+

16 60 30 36 32 48 20 66 32 44

70+

24 70 24 72 36 40 36 60 24 78

80+

32 54 40 82 24 64 42 56 40 88

90+

24 72 44 60 46 72 32 96 42 60

Aplicaciones de las funciones exponenciales y logaritmcas.

Modelo de crecimiento y decreciento de poblaciones

Donde “Ao” es la población inicial.

Si el modelo es de crecimiento la tasa “k” > 0 , si es de decrecimiento la tasa k< 0 .

DESINTEGRACIÓN RADIOACTIVA.

Los elementos radiactivos tienden a disminuir su masa conforme transcurre el tiempo, sea t el tiempo medido en años y C(t) la cantidad medida en gramos del elemento radiactivo, entonces la cantidad de masa C(t) esta dada por :

Donde “Co” es la cantidad de masa inicial del elemento radiactivo

Ley de enfriamiento de Newton.

K>0

Donde “u” es la temperatura del medio, “T”es la temperatura inicial del cuerpo y “K”es la constante de enfriamiento del cuerpo

Modelo logístico de crecimiento

Donde a , b y c son constantes, c> 0 y b > 0

MAGNITUD DE UN SISMO

Donde I es la intensidad del terremoto e Io es la intensidad de un terremoto estándar de referencia

donde: A(t) = cantidad después de t años P =Capital o valor actual r = tasa de interés por año n = número de veces que el interés se

compone por año t = número de años

Interés compuesto

Interés compuesto en forma continua

donde A(t) = cantidad después de t años

P = capital o valor actual

r = tasa de interés por año

t = número de años

DERIVADA DE LA FUNCIÓN EXPONENCIAL. Su derivada es la misma función

Ejemplo: f(x)=ex

f(‘x)=ex

Derivada de la función logaritmica.

La derivada de un logaritmo en base a es igual a la derivada de la función dividida por la función, y por el logaritmo en base a de e.

Como también puede expresarse así: