GUIA DE CALCULO GRADO 11 DOCENTE : HENRY PIERCE CUERO

Unidad 1. Reales, funciones y grficas 1. Los nmeros reales y sus propiedades. 2. Intervalos en la recta real. 3. Desigualdades. 4.funciones y relaciones 4. Funcin lineal. 5. Funcin cuadrtica. 6. Funciones polinmicas y racionales. 7. Funcin parte entera y valor absoluto. 8. lgebra de funciones. 9. Funcin inversa. Logros 1.identifica los nmeros reales y sus propiedades y los clasifica en intervalos .al igual que establece las propiedades de las desigualdades. 2. Comprende los conceptos de dominio y rango de una funcin y desarrolla herramientas para hallarlos. 3. Analiza funciones de una variable investigando ratas de cambio, interceptos, ceros, asintotas y comportamiento local y global.

UNIDAD 1 OPERACIONES CON NUMEROS REALES

CONJUNTOS NUMRICOS En el lgebra trabajamos con muchos conjuntos de nmeros. Por ejemplo: Para expresar la cantidad de alumnos de un aula usamos los nmeros naturales. Para expresar tasas de inters usamos decimales: 6%= 0.06 Para expresar temperaturas bajo cero utilizamos los nmeros negativos: 7 bajo 0= 7

R Q QHENRY PIERCE CUERO

Z

Npag 1

NUMEROS NATURALES: N Son aquellos que usamos para contar N = { x: x 1 , x es un entero} Ejemplo: N = { 1,2,3,7,9,245,.} NMEROS ENTEROS: Z Son todos los nmeros positivos, negativos y el cero Z = {x: x

(Z

+

{0 }

Z

)}

Ejemplo: Z = { ..,6, 5. 40, 1, 2, 3, 4, 5. NMEROS RACIONALES: Q Son llamados nmeros fraccionarios y se pueden escribir en la forma a / b, con (a y b ) Z, . Tambin se pueden indicar como un nmero decimal resultado de hallar el cociente de a / b. 0 Q = { x: x = a / b, (a y b ) b

Z,

b

0

}

Ejemplo: Q= { . . 8, 0.555,

2 7 2 8 45 , , 0, 0.125, , , 5 16 4 1 6

}

Todo decimal se puede escribir como un decimal que termina o se repite en bloques de dgitos. NMEROS IRRACIONALES: Q* Son aquellos nmeros cuyas formas decimales estn formadas por dgitos decimales no terminales y no repetitivos. Se prefiere dejarlo indicado como el radical de donde proviene. Q* = { x : x =n

a

a Q,

n Z , ( si n = par a 0 3

Ejemplo: Q* = 5 , 0.313313331......, e, , NMEROS REALES: R Son todos los nmeros que existen. R = { x : x (Q

{

9 ,

}

Q*5

})

Ejemplo: R = { .

1 11 ,2, , 0 , 4, 3.12, 5

}

INTERVALOS Intrvalos

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Un intrvalo es el conjunto de todos los nmeros reales entre dos nmeros reales dados. Para representar los intrvalos se utilizan los siguientes simbolos: Intrvalo abierto (a, b) = {x/a< x = 3} Igualmente, C* = R - C = ( , -1) U (4, + )= {x R/ x < -1 v x > 4} HENRY PIERCE CUERO pag 5

1.5.2 Ejercicios Propuestos Sobre Intervalos, Desigualdades y Valor Absoluto DESIGUALDADES LINEALES Desigualdades Lineales Una inecuacin o desigualdad lineal es lo mismo que una ecuacin lineal pero cambiando el signo de igualdad por signo(s) de desigualdad. Los signos de desigualdad son una desigualdad lineal se utilizan los mismos pasos que se usan para resolver una ecuacin lineal. C . Para resolver

PROPIEDADES DE LAS DESIGUALDADES

Sean x, y, z IR x 2? Significa que x es un nmero mayor que 2 unidades desde cero en la recta numrica. Esto ocurre cuando x est a la izquierda de -2 en la recta numrica, esto es, cuando x < -2. Tambin ocurre cuando x est a la derecha de 2 en la recta numrica, esto es, cuando x > 2. Dibuja la recta numrica en le espacio provisto para que puedas visualizarlo. De manera que la solucin de x> 2 es x < -2 x > 2. Propiedad: Si a es un nmero real positivo y x> a, entonces x < -a x > a. Ejemplos para discusin: HENRY PIERCE CUERO pag 8

1) x 3 2) x - 4> 5 3) 2x - 3> 5

4) 3

2 x 5 3

Desigualdades que Envuelven Dos Posibles Soluciones Hay desigualdades que envuelven dos posibles soluciones, una positiva y otra negativa. Por ejemplo: | 10x - 2|

9

10x - 2 -9 10x -9 +2 10x -7 10x/10 -7/10 x -7/10 10x - 2 9 10x 9 + 2 10x 11 10x/10 11/10 x 11/10

RELACIONES y FUNCIONES

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Hay casos en que no todos los pares ordenados de un producto cartesiano de dos conjuntos responden a una condicin dada. Se llama relacin entre los conjuntos A y B a un subconjunto del producto cartesiano A x B. Este puede estar formado por un solo par ordenado, varios o todos los que forman parte de A x B. Si establecemos una relacin entre los elementos de un mismo conjunto, existen tres propiedades fundamentales que pueden cumplirse en esa relacin: propiedad reflexiva, simtrica y transitiva. Se llama funcin a una relacin en la cual a cada elemento del conjunto de partida le corresponde slo un elemento del conjunto de llegada.

Introduccin En la vida diaria nos encontramos (a veces sin darnos cuenta) con la nocin de correspondencia. Por ejemplo, a cada persona le corresponde una fecha de nacimiento, a cada libro le corresponde un nmero de pginas, a cada objeto le corresponde un peso, a cada rectngulo le corresponde un rea, a cada nmero no negativo le corresponde su raz cuadrada, etc. En cada uno de los ejemplos anteriores hay dos conjuntos D y C entre los que se d la correspondencia. En el primer ejemplo el conjunto D es el conjunto de personas y el conjunto C es el conjunto de fechas (da, mes y ao). En el segundo ejemplo el conjunto D es el conjunto de libros y el conjunto C es un nmero entero (el nmero de pginas). Cules seran los conjuntos D y C para los otros tres ejemplos? Estas correspondencias se ilustran a menudo mediante diagramas como el que sigue:

Definicin de funcin Toda regla de correspondencia como los ejemplos anteriores es llamada relacin. Ciertos tipos especiales de reglas de correspondencia se llaman funciones.

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La definicin de funcin se d enseguida.

Funcin: Una funcin es una regla de correspondencia entre dos conjuntos de tal manera que a cada elemento del primer conjunto le corresponde uno y slo un elemento del segundo conjunto.

Al primer conjunto (el conjunto D) se le da el nombre de dominio. Al segundo conjunto (el conjunto C) se le da el nombre de contradominio o imgen. Una funcin se puede concebir tambin como un aparato de clculo. La entrada es el dominio, los clculos que haga el aparato con la entrada son en s la funcin y la salida sera el contradominio. Esta forma de concebir la funcin facilita el encontrar su dominio.

Notacin: al nmero que "entra" a la mquina usualmente lo denotamos con una letra, digamos x o s, o cualquier otra. Al nmero que "sale" de la mquina lo denotamos con el smbolo f(x) f(s).

Ejemplo: f(x) = x2+ 3x - 6 Esta funcin es una regla de correspondencia que dice lo siguiente: "A cada nmero en el dominio de f se le relaciona con el cuadrado de ese nmero mas el triple de ese nmero menos seis". Otra manera de ver esto es escribiendo la funcin de la siguiente manera: f ( ) = ( )2 + 3( ) - 6 Enseguida se muestran los valores de f para varios valores de ( ). Es decir, se muestra la "salida" de la "mquina" para varios valores de la "entrada".

f(x) = x2 + 3x - 6 pag 11

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f(10) = 124 f(-2) = -8 f(h + 1) = (h + 1)2 + 3(h + 1) - 6 f(x + b) = (x + b)2 + 3(x + b) - 6

f(

) = (

)2 + 3(

) - 6

El dominio de una funcin puede ser especificado al momento de definir la funcin. Por ejemplo, F(x) = 2x en el intervalo [-3,10] es una funcin cuyo dominio es el intervalo [-3,10]. A menudo no se especifica el dominio de una funcin definida por una ecuacin, por ejemplo, G(x) = 3x3 - 2x + 10 (Sin especificar el dominio) En adelante quedar entendido que: A menos que se especifique explcitamente, el dominio de una funcin ser el conjunto ms grande de nmeros reales para los cuales la funcin nos d como salida un nmero real. Por ejemplo: 1 f(x) = x-3

Para esta funcin x = 3 no forma parte del dominio, ya que al ingresar dicho valor en la funcin obtendramos un diagnstico de error pues no se puede dividir entre cero. Observa adems que la funcin no puede tomar el valor cero. Porqu? Observa la grfica.

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1. Completa la siguiente tabla Funcin y = x2 y= y = 2x + 5 y= y= Dominio Recorrido

2. Determina el valor de la funcin para el punto sealado: Funcin f(x) = -2x + 1 f(x) = f(x) = x2 f(x) = 4 f(-5) f(-2/3) f(a + 1) f(0,4) f(a - b) f( )

CLASIFICACION DE LAS FUNCIONES Funci n Inyectiva:

Una funcin es inyectiva si cada f(x) en el recorrido es la imagen de exactamente un nico elemento del dominio. En otras palabras, de todos los pares (x,y) pertenecientes a la funcin, las y no se repiten.

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Para determinar si una funcin es inyectiva, graficamos la funcin por medio de una tabla de pares ordenados. Luego trazamos lneas horizontales para determinar si las y (las ordenadas) se repiten o no.

Ejemplo:

A X Y Z

B 1 2 3 4

Funcin Sobreyectiva: Sea f una funcin de A en B , f es una funcin epiyectiva (tambien llamada sobreyectiva) , si y slo si cada elemento de B es imagen de al menos un elemento de A , bajo f . A elementos diferentes en un conjunto de partida le corresponden elementos iguales en un conjunto de llegada. Es decir, si todo elemento R es imagen de algn elemento X del dominio. Ejemplo: A = {a,e,i,o,u} B = {1,3,5,7} f = {(a,1),(e,7),(i,3),(o,5),(u,7)} Simblicamente: f: A B es biyectiva f es inyectiva y f es sobreyectiva Ejemplo: A X Y Z Funcin Biyectiva: B 1 2 3 4

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Sea f una funcin de A en B , f es una funcin biyectiva , si y slo si f es sobreyectiva e inyectiva a la vez . Si cada elemento de B es imagen de un solo elemento de A, diremos que la funcin es Inyectiva. En cambio, la funcin es Sobreyectiva cuando todo elemento de B es imagen de, al menos, un elemento de A. Cuando se cumplen simultneamente las dos condiciones tenemos una funcin BIYECTIVA. Ejemplo: A = {a,e,i,o,u} B = {1,3,5,7,9} f = {(a,5),(e,1),(i,9),(o,3),(u,7)} Teorema: Si f es biyectiva , entonces su inversa f 1 es tambin una funcin y adems biyectiva. Ejemplo: A X Y Z Q Funcin Par: Una funcin f: RR es par si se verifica que x R vale f(-x) = f(x) Si f: RR es una funcin par, entonces su grfico es lateralmente simtrico respecto del eje vertical. Simetra axial respecto de un eje o recta (el dominio tiene que ser un conjunto simetrico respecto al origen) Se dice que una funcin es par si f(x) = f(-x) Ejemplo: La funcin y = x2 es par pues se obtienen los mismos valores de y independientemente del signo de x. B 1 2 3 4

La funcin f(x)=x2 es par ya que f(-x) = (-x)2 =x2

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Funcin Impar: Una funcin f: RR es impar si se verifica que x R vale f(-x) = -f(x) Si f: RR es una funcin impar, entonces su grfico es simtrico respecto del origen de coordenadas. Simetra central respecto de un punto. (el dominio tiene que ser un conjunto simetrico respecto al origen) En el caso de que f(x) = -f(-x) se dice que la funcin es impar. Muchas funciones reales no son pares ni impares. Ejemplo: La funcin y(x)=x es impar ya que: f(-x) = -x f(x) = x entonces: f(-x) = - f(x). pero como

Funcin Creciente: Una funcin es creciente en un intervalo [a,b] si al tomar dos puntos cualesquiera del mismo, x1 y x2, con la condicin x1 x2, se verifica que f( x1 ) < f( x2 ). Se dice estrictamente creciente si de x1 < x2 se deduce que f(x1) < f(x2). Una funcin f se dice que es creciente si al considerar dos puntos de su grfica, (x1, f(x1) ) y ( x2, f(x2) ) con x1 < x2 Se tiene que f(x1) < f(x2) .

Prevalece la relacin f(x2) .

se dice que es decreciente si al puntos de su grfica, (x1, f(x1) ) y ( x2,

Cambia la relacin de < a >

y x1 x2

f(x1) f(x1) > f(x2)

x1 < x2

f(x2)

x

Una funcin es decreciente en un intervalo [a,b] si para cualesquiera puntos del intervalo, x1 y x2, que cumplan x1 x2, entonces f(x1 ) f(x2 ).

Siempre que de x1 < x2 se deduzca f(x1 ) > f(x2 ), la funcin se dice estrictamente decreciente. Anlogamente, una funcin es decreciente en un punto a si existe un intervalo abierto (a - e, a + HENRY PIERCE CUERO pag 17

e) en el que f(x) f(a) si x pertenece a (a - e, a) y f(x) f(a) si x pertenece a (a, a + e). La definicin de funcin estrictamente creciente o decreciente en un punto se obtiene sin ms que sustituir el smbolo por < y el por el >. Es preciso diferenciar el significado de funcin creciente o decreciente en un intervalo del de funcin creciente o decreciente en un punto. Funcin Peridica: Una funcin es peridica cuando la funcin 'repite' los mismos valores. Dicho matemticamente: f(x+T) = f(x) La funcin sen(x) es peridica (periodo 360) pues sen(x) = sen (x + 360) La aproximacin de una funcin peridica mediante una suma de armnicos es un problema importante en las Matemticas, la Fsica y las Ingenieras, baste citar todos los fenmenos vibratorios, ondulatorios que son fundamento de la acstica, de las telecomunicaciones, etc.

GRAFICA DE UNA FUNCION La grfica de una funcin es el conjunto de puntos en el plano de la forma (x,y) en donde x est en el dominio de la funcin y adems y=f(x). A continuacin discutiremos algunos tipos importantes de funciones y observaremos sus grficas. Pon atencin a la forma que tienen las grficas de estas funciones. Todos los ejemplos son de funciones algebricas, discutiremos otros tipos de funciones, como las funciones trigonomtricas, ms adelante. Por lo pronto, observa las siguientes funciones y sus grficas. Funcin constante: f(x)=k, donde k es alguna constante

Qu tienen en comn todas las grficas? En qu difieren? pag 18

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Funcin lineal: f(x) = ax + b

Qu tienen en comn todas las grficas? En qu difieren? Funcin cuadrtica: f(x)= ax2 + bx + c = a(x - x0)2 + y0

El punto rojo se llama vrtice de la parbola. Cules son sus coordenadas? Cmo se relacionan las coordenadas del vrtice con los nmeros en la forma f(x)= a(x-x0)2 + y0?

f(x)= x2 + 2 x + 1 = (x + 1)2

Funcin polinomial P(x) = x3 - 3x2 + 2x - 7

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pag 19

Funcin racional Una funcin racional es un cociente de dos polinomios, f(x) = P(x) / Q(x)

x+4 f(x) = x2 - 16

1.3.3 Grficas de las funciones trigonomtricas A continuacin te presentamos las grficas de las seis funciones trigonomtricas.

Ejemplos :

Taller funcin lineal pag 20

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1) Si la relacin entre concentracin de plomo y hemoglobina viene dada por: es la concentracin de plomo en 100ml y f(x) es la hemoglobina. Cul es la concentracin de hemoglobina si la de plomo es de 20mg/100ml?.

donde x

2). La frmula donde F =-459,67, expresa la temperatura en grados Celsius (C) como funcin de la temperatura Fahrenheit

3) Encuentre una frmula para la funcin inversa e interprtela. b) Si la temperatura del cuerpo oscila entre 37.2 c y 37.8c. Cul es su valor en grados Fahrenheit?. 4) Para qu valor ambas temperaturas son iguales?.Un nio que presenta un cuadro de intoxicacin, es internado de urgencia en la unidad de tratamiento intensivo, para ser sometido a un lavado gstrico. El volumen de lavado gstrico debe ser de 15 ml por kilo de peso del paciente. Si el nio pesa 25 kilos. Cul debe ser el volumen de lavado gstrico?, y para un paciente que pesa r kilos?.

5) Existe una funcin que relaciona la cantidad de grasa como mximo que debe consumir diariamente una persona conociendo su peso en kilos, sta es: donde p es el peso del individuo medido en kilos, y G(p) es la cantidad diaria de grasa, medida en gramos. Determine:

6) cul es la cantidad diaria de grasa que debe consumir como mximo una persona cuyo peso es 45 kilos?

b) Si una persona puede consumir como mximo 50 gramos de grasa diarios, cul es su peso?.

TALLER FUNCIN CUADRATICA

1. Trazar las grficas de las funciones en un mismo sistema coordenado. a. f(x) = -x2 , b. f(x) = x2 , c. f(x) = x2 + 1 , d. f(x) = (x -1)2

2. En un mismo sistema coordenado, traza las grficas de las funciones f(x) = 2x2 + b para distintos valores de b: b > 0 y b < 0.

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pag 21

3. Hallar el eje de simetra, el vrtice y la grfica de la funcin cuadrtica dada. a. f(x) = 2x2 - x 1 , b. f(x) = x2 x , c. f(x) = -x2 x + 2 , d. f(x) = - x2 + x

4. Hallar la ecuacin de la parbola con vrtice en (1, - 1). 5. Hallar la ecuacin de una parbola con vrtice en (1, -1), que pase por (0, 0). 6. Hallar el valor mximo o mnimo de cada funcin cuadrtica. a. f(x) = -0,5x2 + 6x + 17, b. f(x) = 4 x2 , c. f(x) = x2 4x + 4

7. Un objeto se lanza en lnea vertical desde el piso, con una velocidad inicial de 25 m/s. Si la altura del objeto a los t segundos es h(t) = 25 5t2 : a. Cul es la altura mxima que alcanza? b. Cuntos segundos despus de ser lanzado, alcanza su altura mxima? 8. Encuentra dos nmeros cuya suma es 24 y cuyo producto es mximo. 9. Hallar dos nmeros cuya diferencia es 36 y cuyo producto es mnimo

TALLER FUNCIN POLINIMICA

1. Decide cual de las funciones dadas son polinomios. a. f(x) = 3/4x2 1/2x b. f(x) = 1 / 4x2 1 c. x2 + 3x -2

2. Hallar los grados y los ceros de cada polinomio. a. P(x) = 2(x 1 ) b. P(x) = (x + 1)2(x 1) c. P(x) = 2 (x 1 )2(x2 + 1 )

3. Factoriza cada polinomio para hallas sus ceros. a. P(x) = x3 + x2 4x 12 b. 12x4 + 17x3 + 2x2 c. P(x) = 25x3 60x2 + 36x

4. Trazar las grficas de las funciones racionales. Determinar las asntotas verticales y horizontales. a. R(x) = x /1- x b. P(X) = x2 1 / x 1 c. P(x) = x / (1 x2)

Problemas pag 22

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5. Con un conjunto de n personas es posible obtener n(n 1) parejas distintas ya que el primer integrante puede ser seleccionado entre n posibles, mientras el Segundo de n 1 y las parejas no son ordenadas.

5. a. Comprueba que el nmero de grupos de 3 personas que puede formarse con n personas est dado por el polinomio P(n) = 1/6n3 1/2n2 + 1/3n. 6. b. Se ha determinado que en un curso de grado once pueden formarse 1140 grupos de exactamente 3 alumno. Cuntos alumnos tiene este curso?

TALLER FUNCIN INVERSA

1. Con base a la investigacin de algebra de funciones, hallar: suma, producto y cociente para cada par de funciones.

a. f(x) = cosx ; g(x) = x

b. f(x) = 3 + x ; g(x) = x2 2

c. f(x) = senx ; g(x) = logx

2. Verificar que f y g son funciones inversas mostrando que (f g) (x) y (g f) (x). a. f(x) = 3x + 1 ; g(x) = x 1 / 3 b. f(x) = x / 1 x ; g(x) = x / 1 + x

3. Hallar la inversa de la funcin dada. a. f(x) = 1 x3 b. f(y) = 3y / y 6 c. f(x) = x2 + 4 , x > 0

4. Hallar las funciones inversas en cada caso. a. f(x) = ax + b, con a 0. b. f(x) = ax2 + bx + c ; a 0, x > - b/2a.

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pag 23

OPERACIN ENTRE CONJUNTOS Sean f y g dos funciones, definimos: Suma: (f+g)(x)=f(x)+g(x) Diferencia: (f-g)(x)=f(x)-g(x) Producto: (fg)(x)=f(x)g(x) Cociente: (f/g)(x)=f(x)/g(x)

El dominio de f + g, f - g y fg es la interseccin del dominio de f con el dominio de g. El dominio de f / g es la interseccin del dominio de f con el dominio de g sin los nmeros para los que g(x) = 0. Ejemplo, considera las funciones f y g dadas a continuacin: f(x)= 2x2 - 5 g(x)= 3x + 4 La suma, diferencia, producto y cociente de estas dos funciones estn dados enseguida:

La suma (f+g)(x)= 2 x2 + 3 x - 1 La diferencia (f-g)(x)= 2 x2 - 3 x - 9 El producto (f g)(x) = (3 x + 4) (2 x2 -5) = 6 x3 + 8 x2 - 15 x - 20 El cociente 2 x2 - 5 (f/g)(x) = 3x+4

SUCESIONES

Se entender por sucesin una coleccin de nmeros dispuestos uno a continuacin de otro. pag 24

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Sirvan de ejemplo:

b) -1, 3, 7, 11, 15...

c) 3, 6, 12, 24, 48...

En el primero no es posible averiguar qu nmero seguira a 13 (no se encuentra una regla que indique la relacin entre los trminos). En el segundo, a 15 le seguiran 19, 23, 27... (cada trmino es cuatro unidades mayor que el anterior). En el tercero, al trmino quinto, que es 48, le seguira 96 (cada trmino es el doble del anterior).

Cuando se habla de una sucesin cualquiera, la forma ms usual de referirse a ella es escribir a1, a2, a3, a4, ..., an - 2 , an - 1 , an, ... donde los subndices determinan el lugar que cada trmino ocupa dentro de la sucesin, y los puntos suspensivos evitan la necesidad de escribir todos los nmeros.

Es tambin frecuente encontrar una sucesin simbolizada por (an)nN, o simplemente (an).

Trmino general de una sucesin El trmino general de una sucesin es una frmula que permite conocer el valor de un determinado trmino si se conoce previamente el lugar que ocupa en la misma. Por costumbre, al trmino general de una sucesin se le denota por an y se hablar de trmino n-simo.

De entre los muchos ejemplos que se podran citar, valgan los siguientes:

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pag 25

Ejercicio:

Resolucin:

Escribir los seis primeros trminos de la sucesin an = 3 2n - 1

Resolucin:

a1 = 3 21 - 1 = 3 1 = 3

a4 = 3 23 = 24

a2 = 3 2 = 6

a5 = 3 24 = 48

a3 = 3 22 = 12

a6 = 3 25 = 96

Sucesin convergente Toda sucesin que tenga lmite se dice que es convergente.

Una sucesin (an ) que tenga por lmite I, se dir que tiende a I o que converge a I.

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pag 26

Resolucin:

Se toma un cualquiera (sin especificar ms).

Hay que encontrar un no tal que para n no , 0 - k.

Esto es equivalente a afirmar que para nno ,an est en el intervalo (k, +), es decir, los trminos se hacen tan grandes como se quiera.

. Ejercicio: Probar que la sucesin an = 5n2 - 9 diverge a +. pag 27

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Resolucin:

Se elige un nmero k tan grande como se desee. Por ejemplo k = 108.

Hay que encontrar los valores de n para los cuales an>108, es decir, 5n2- 9 >108.

En 5n2 - 9 > 108 se suma 9 a los dos miembros: 5n2> 108 + 9 = 100 000 009.

A partir del trmino a4 473, an > 108.

Sucesin oscilante Una sucesin (an ) se dice que es oscilante si no es convergente ni divergente.

Tiene lmite la sucesin an = (-1)n 3?

Resolucin:

Los trminos de esta sucesin son: -3, 3, -3,3, -3,3, ...

La sucesin an = (-1)n 3 es oscilante.

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pag 28

PROGRESIONES PROGRESIONES ARITMETICAS Es una sucesin de nmeros tal que cada uno de los trminos posteriores al primero se obtiene sumando un nmero fijo llamado diferencia.

Ejemplo:

2, 4, 6, 8, 10, 12, 14

-3, 0, 3, 6, 9, 12, 15, 18

Las ecuaciones para la resolucin de problemas son:

an= a1+(n-1)d Sn= n(a1+ an)/2

Media Aritmtica.

a

x

b

La frmula para sacar el trmino medio de un progresin es:

A=(axb)2 PROGRESIONES GEOMTRICAS Es una sucesin de nmeros tal que cualquier nmero posterior al primero se obtiene multiplicando al trmino anterior por un nmero dado llamado razn de la progresin. a, a r2,a r3, a r4, a r5,..., a rn-1 HENRY PIERCE CUERO pag 29

Las Frmulas para resolver problemas son:

an= a rn-1 S= a (1-rn ) 1-r S= a- r an 1-r Para los medios geomtricos se utiliza la siguiente frmula. Sn= a/(a-r)

lMITE DE UNA VARIABLE

Para tratar esta nocin, una de las ms importantes de toda la matemtica, procedemos por induccin, dando primero una serie de ejemplos y luego la definicin general.

Ejemplo 1:

Supongamos que una variable x toma los valores , 1/25, ; 1/210 ;1/2100 ; sucesivamente. Si presentamos sobre un eje orientado, todos estos valores, en su orden, vemos que la variable x se mueve desde P hacia la izquierda, acercndose cada vez ms al punto Q que hemos elegido como origen; entonces, la variable x sale de P y pasa, sucesivamente, por P1, P2, P3, P4, , acercndose cada vez ms al punto Q, en el cual, si lo alcanzara, tomara el valor cero (ver figura).

Q

P4 P3

P2

P1

P

0 1/251/16 1/8

x

Ejemplo 2:

Supongamos que una variable y, recorre el conjunto de nmeros , 2/3, , 4/5, 5/6, , 100/101, , 1000000/ 1000001, en su orden. Nuevamente representamos sobre un eje matrizado estos valores (Ver figura). pag 30

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S

S1

S2 S3

H

0

2

/3

4

/5100 1101

y

Se observa que la variable y, va tomando las posiciones sucesivas: S, S 1, S2, S3, S4, , aproximndose cada vez ms al punto H, en cuyo caso, si y alcanzar este punto, tomara el valor 1.

Ejemplo 3:

Supongamos que una variable z toma los valores 3, 3.2, 3.4, 3.9, 3.99, 3.999, , 3.99999999,

Como en los ejemplos anteriores, representemos dichos valores sobre un eje matrizado Z (ver figura).

M 3

M1

M2 3.2 3.4

M3

399R 3.9 4 Z

Nuevamente la variable z, va aproximndose, cada vez ms, al punto R, representativo del valor 4.

Ejemplo 4:

Supongamos que una variable R toma todos los valores reales menores que 4, esta variable puede hacerse aproximar a cuatro tanto como deseamos.

Ejemplo 5:

Inscribamos en un crculo un cuadrado, luego un octgono regular, un polgono de 16 lados, un polgono de 32 lados, etc.

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Podemos observar que a medida que vamos duplicando los lados, el rea del polgono va aproximndose ms al valor del rea del crculo, hasta tal punto que haciendo el nmero de lados muy grande, la diferencia entre el rea del crculo y el rea del polgono se

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En los ejemplos anteriores, todas las variables 1 se estn acercando a un valor constante.

En el ejemplo 1 la variable x se est acercando al valor cero; en el ejemplo 2, z se acerca al valor 1, y en los valores 3 y 4 al valor 4. En el ejemplo 5, si consideramos que el polgono regular es una cantidad variable, esta cantidad se acerca al rea del crculo.

2 podemos hacer variar la voluntad, las variables x, y, z, R de tal manera que la diferencia entre la cantidad constante y un valor de la variable sea tan pequea como queramos.

En el ejemplo 1, si efectuamos la diferencia entre el valor constante 0 y un valor de la variable, digamos 1/16, se tiene:

0 1/16 = 0,625 Si solamente nos interesa el valor de la diferencia, prescindiendo del signo, tomaremos el valor absoluto de dicha diferencia.

|0 1/16| = 0,625

que es un valor pequeo. Ahora bien, si queremos que esta diferencia sea ms pequea, tomaremos otro valor de x, digamos 1/210 = 1/ 1024. Entonces

| 1 0.99009| = 0.00991

que es ms pequeo que 1/100 = 0.01

De la misma manera, en los ejemplos restantes podemos hacer la diferencia entre la cantidad constante y la variable, tan pequea como deseamos.

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4.2 DEFINICIN DE LMITE DE UNA VARIABLESe dice que una variable x tiende a un lmite a, si la diferencia entre a y la variable, en valor absoluto, es tan pequea como se desee.

Simblicamente

Lim.x = a si | a x| < m

En donde m es cantidad tan pequea como queramos.

La frmula anterior se lee: lmite de x igual a a.

En el ejemplo 1: lim x = 0 En el ejemplo 2: lim y = 1 En el ejemplo 3: lim z = 4 En el ejemplo 4: lim R = 4 En el ejemplo 5: lim (rea del polgono)= rea del crculo.

LMITE DE UNA FUNCINSea f(x) = x2 y supongamos que x toma, sucesivamente los valores 2.9, 2.99, 2.999, esto es, lim x = 3

la f(x) va tomando, entonces, los valores (2,9)2, (2.99)2, (2.999)2, o sea, que f(x) va acercndose mas y mas al valor (3)2 = 9.

La diferencia entre 9 y uno de los valores de f(x) se hace muy pequea, cuando x se acerca al valor 3.

Ejemplo 2:

sea f(x) = 1/x y supongamos que x se aproxima al valor 4 como lmite. f(x) = 1/x se aproxima al valor . pag 33

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Ejemplo 4:

Si f(x) = sen x, y x se aproxima al valor 0 como lmite, el valor de f(x) = Sen x se aproxima a Sen 0=0.

En los ejemplos anteriores observamos que la funcin se acerca a un valor constante cuando la variable x se acerca o tiende a un lmite. Podemos observar tambin que la diferencia entre el valor constante y la funcin se hace pequea cuando la variable x se aproxima a su lmite.

En el ejemplo 1, |9-f(x)| = |9-x2| se hace muy pequea cuando x se acerca a 3 como puede observarse en la siguiente tabla:

Valores de x 2.9 2.99 2.999

9-x2 9 - (2.9)2 9 - (2.99)2 9 - (2.999)2

Diferencia 0.49 0.0599 0.005999

3-x 3-2.9 3-2.99 3-2.999

Diferencia 0.1 0.01 0.001

LMITES Y continidad

.- Resolver el limite:

DEFINICIN DE LMITE DE UNA FUNCIN

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Una funcin f(x) tiende a un lmite b, cuando x tiende a un lmite a, si la diferencia entre b y f(x), en valor absoluto, se hace muy pequea, siendo la diferencia entre a y x, tan pequea como se desee.

En smbolos

Lm f(x) = b si |b-f(x)|